1737

ДВУХУРОВНЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Диссертация

Экономическая теория и математическое моделирование

Содержательное описание проблемы моделирования задач землепользования. Необходимость разработки новых методов прогнозирования. Инструментарий фазовых портретов для выявления циклов временного ряда и уточнения прогноза. Математическая постановка векторной задачи покрытия графа 4-циклами (паросочетаниями, звездами). Аппроксимация интервальной задачи покрытия графа 4-циклами векторной задачей.

Русский

2013-01-06

1.51 MB

15 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
 
КАРАЧАЕВО-ЧЕРКЕССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ  
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ 
 
 
 
На правах рукописи 
 
 
 
 
Темирова Лилия Гумаровна 
 
 
 
 
 
ДВУХУРОВНЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ 
ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 
 
05.13.18. – математическое моделирование, численные методы  
и комплексы программ 
 
Диссертация на соискание ученой степени 
кандидата физико-математических наук 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Научный руководитель 
 
 
 
 
 
 
 
 
доктор физ.-мат.наук, 
 
 
 
 
 
 
  профессор 
                                                                        В.А.Перепелица 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ставрополь - 2004 

 
2
СОДЕРЖАНИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
         стр 
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………… 

ГЛАВА 1. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ  ФОРМУЛИРОВКА  ИССЛЕ-
 
ДУЕМЫХ  ЗАДАЧ  ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЯ  В  КОН-
25 
ТЕКСТЕ 2-УРОВНЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ …… 
 
1.1. Актуальность 2-уровневого моделирования ……………………… 
25 
      1.1.1. Фундаментальная научная проблема ………………………… 
25 
      1.1.2. Предлагаемые методы и подходы ……………………………..
26 
      1.1.3. Современное состояние науки в данной области исследова-
 
ния……………………………………………………………… 
28 
1.2.  Содержательное описание проблемы моделирования задач  
 
        землепользования ……………………………………………………
29 
1.3. Необходимость многокритериального подхода …………………… 
32 
ГЛАВА 2. КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНАЯ  ПРОГНОЗНАЯ  МО-  
 
ДЕЛЬ ДЛЯ НИЖНЕГО УРОВНЯ ………………...…… 
38 
 
2.1. Необходимость разработки новых методов прогнозирования …… 
38 
2.2. Алгоритм R/S- анализа……………………………………………….
40 
2.3. Содержательная и качественная интерпретация результатов рабо-
 
ты алгоритма R/S- анализа …………………………………………. 
41 
2.4.  Фрактальный  анализ  временного  ряда  озимой  пшеницы  по  КБР 
 
за период с 1952 по 2002 г………………………………………… 
45 
2.5.  Инструментарий  фазовых  портретов  для  выявления  циклов  вре-
 
менного ряда и уточнения прогноза ……………………….……… 
49 
2.6.  Математический  инструментарий  линейных  клеточных  автома-
 
тов…………………………………………………………………….. 
55 
2.7. Прогнозная модель урожайности на базе клеточных автоматов и 
 
нечетких множеств, на примере анализа и прогнозирования уро-
 
жайности озимой пшеницы по КБР на 2003 год …………………. 
57 
2.7.1.  Преобразование  числового  временного  ряда  в  лингвисти-
 

 
3
ческий  временной ряд ……………………………………. 
57 
2.7.2.  Частотный  анализ  памяти    лингвистического  временного 
 
ряда …………………………………………………………… 
61 
2.7.3.  Получение  лингвистических  прогнозных  значений  уро-
 
жайности,  верификация  и  валидация  прогнозной  моде-
 
ли…………………………………………………………….. 
72 
       2.7.4. Получение числового прогноза, и оценка его точности……. 76 
ГЛАВА 3. ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЕ  МОДЕЛИ  ЗАДАЧ  ЗЕМЛЕ-
 
ПОЛЬЗОВАНИЯ С НЕЧЕТКИМИ ДАННЫМИ ……… 
79 
 
3.1. Общая постановка дискретной многокритериальной задачи в ус-
 
ловиях неопределенности………………………….…………….…. 
79 
3.2. Математическая постановка векторной задачи покрытия графа 4-
 
циклами (паросочетаниями, звездами)……………………………. 
81 
3.3.  Анализ  арифметических  операций  и  отношения  предпочтения 
 
83 
для задач с нечеткими данными…………………….……………… 
3.4.  Новые  определения  операции  суммирования  и  сравнения,  адек-
 
 
ватные математической модели задачи землепользования  с нечет-
 
кими данными……………………………………………………….. 
87 
3.4.1. Математическая постановка задачи…………………………. 87 
3.4.2. Новая операция суммирования  ⊕  нечетких весов………… 89 
3.4.3. Операция сравнения нечетких весов……………………….. 95 
ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ  ВЕРХНЕГО  УРОВНЯ.  ИССЛЕДОВАНИЕ 
 
ВЫЧИСИТЕЛЬНОЙ  СЛОЖНОСТИ,  РАЗРЕШИ-
 
МОСТИ  С  ПОМОЩЬЮ  АЛГОРИТМОВ  ЛИНЕЙ-
 
НОЙ  СВЕРТКИ  И  АЛГОРТИМЫ  ЛИНЕЙНОЙ 
 
СВЕРТКИ  ДЛЯ  ЗАДАЧ  ПОКРЫТИЯ  ГРАФА 4-
100 
ЦИКЛАМИ ……………………………………………….. 
4.1. Формулировка интервальной экстремальной задачи……….……... 101 
4.2. Аппроксимация интервальной задачи покрытия графа 4-циклами 
 
 
векторной задачей…………………………………………………… 
103 
4.3.  Исследование  разрешимости  с  помощью  алгоритмов  линейной 
 
 
свертки критериев задачи с интервальными данными и крите

 
4
свертки  критериев  задачи  с  интервальными  данными  и  крите-
 
105 
риями вида MAXSUM ……………………………………………… 
4.4.  Обоснование  свойства  полноты  задачи  покрытия  графа 4-
 
117 
циклами …………………………………………………………….. 
4.5. Исследование вычислительной сложности ………………………...
119 
4.6. Оценки точности приближенных алгоритмов …………………….. 
126 
4.7. Приближенный алгоритм  покрытия графа 4-циклами…………… 127 
4.8.  Обоснование  достаточных  условий  статистической  эффективно-
 
129 
сти алгоритма α  .. ……….……..…………………………………… 
 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………….
134 
ЛИТЕРАТУРА ……………………………………………………………  136 
ПРИЛОЖЕНИЯ  
 
 
 

 
5
ВВЕДЕНИЕ 
 
Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена разработ-
ке методов математического моделирования дискретных слабо структуриро-
ванных  процессов,  для  которых  характерны  множественность  критериев, 
стохастичность, интервальность или нечеткость значений исходных данных. 
Дальнейшее развитие каждого такого процесса существенным образом зави-
сит от его состояния на предыдущих этапах эволюционирования.  
Как часть этой проблемы в настоящей работе рассматриваются различ-
ные  постановки  задачи  землепользования  и  предлагается  двухуровневый 
подход  к  их  моделированию.  Классический  подход  к  моделированию  таких 
задач  оказывается  недостаточным  по  той  причине,  что  представление  пара-
метров  этих  задач  четкими  числовыми  значениями  оказывается  в  принципе 
неадекватным в силу их слабой структурированности, изменчивости  во вре-
мени  и  неопределенности.  Например,  для  выращиваемой  в  зоне  рискового 
земледелия  конкретной  культуры  можно  отнести  к  неадекватному  такое 
представление ее урожайности, как усреднение ее значения за определенный 
отрезок времени.  
Авторская концепция двухуровневого моделирования задач землеполь-
зования состоит в том, что исходные данные для многокритериальных задач 
верхнего  уровня  должны  базироваться  на  прогнозных  данных,  получаемых 
на нижнем уровне моделирования. В свою очередь исходными данными для 
нижнего  уровня  служат  временные  ряды,  отражающие  эволюцию  основных 
показателей рассматриваемых процессов. Однако к настоящему времени ма-
тематическое моделирование на нижнем уровне  исходных данных (т.е.  чис-
ленных значений параметров, коэффициентов и т.п.) для классических опти-
мизационных моделей верхнего уровня находится еще в зачаточном состоя-
нии.  Вместе  с  тем    уже  появилась  ясность  того,  что  наиболее  подходящим 
математическим  аппаратом  для  моделирования  задач  верхнего  уровня  явля-
ется  инструментарий  теории  графов.  При  этом  заслуживает  внимания  тот 
факт,  что  к  настоящему  времени  отсутствуют  достаточно  эффективные, 
имеющие  полиномиальную  трудоемкость,  алгоритмы  практически  для  всех 
дискретных  экстремальных  задач.  Поэтому  актуальной  является  разработка 
малотрудоемких  приближенных  алгоритмов,  которые  всегда  или  почти  все-
гда гарантируют нахождение приемлемых решений.   

 
6
Цель  и  задачи  диссертационного  исследования.  Основной  целью  на-
стоящей работы является разработка (на содержательном примере задач зем-
лепользования) двухуровневого подхода к математическому моделированию 
дискретных  эволюционных  процессов,  числовые  параметры  которых  явля-
ются  слабо  структурированными.  Поставленная  цель  требует  решения  сле-
дующих задач: 
- разработка общей структурной схемы двухуровневого моделирования и 
численных методов его реализации; 
- разработка  в  качестве  основной  составляющей  модели  нижнего  уровня 
новых  методов  прогнозирования  эволюционных  процессов  на  базе  ли-
нейных  клеточных  автоматов,  математического  аппарата  теории  нечет-
ких множеств и инструментария теории детерминированного хаоса; 
- осуществление  анализа  известных  теоретико-множественных  определе-
ний  операции  суммирования  нечетких  множеств  и  вместе  с  тем  пред-
ставление нового обоснованного определения операций суммирования и 
сравнения нечетких весов для исследуемой задачи землепользования; 
- исследование    вычислительной  сложности  рассматриваемых  задач  на 
графах  с  нечеткими    или  интервально  заданными  весами  ребер,  пред-
ставляющими урожайность; 
- исследование разрешимости с помощью классических подходов (в част-
ности,  алгоритмов  линейной  свертки  критериев)  рассматриваемых  экс-
тремальных задач на графах с интервальными весами; 
- разработка  малотрудоемких  алгоритмов  для  экстремальных  задач  по-
крытия  графа  типовыми  подграфами  (паросочетаниями,  звездами, 4-
циклами)  и  обоснование  достаточных  условий  статистической  эффек-
тивности предлагаемых алгоритмов. 
Методы  исследования.    Для  решения  поставленных  в  работе  научных 
задач  использованы  методы  теории  алгоритмов  с  оценками,  теории  графов, 
многокритериальной  оптимизации,  теории  вероятностей  и  математической 
статистики, теории нечетких множеств и интервального исчисления, методы 
прогнозирования временных рядов.  
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной рабо-
те  теоретических  результатов  и  формулировок  обеспечивается  корректным 
применением аппарата теории графов, математического программирования и 
теории вычислительной сложности алгоритмов, математической статистики, 

 
7
математического  аппарата  нечеткой  и  интервальной  математики,  методов 
теории детерминированного хаоса. Информационную базу исследования со-
ставили  аналитические  и  статистические  материалы  Госкомстата  России,  в 
частности  по  Ставропольскому  краю  и  Кабардино-Балкарской  республике 
(КБР).  Эффективность  предложенных  методов  подтверждается  верификаци-
ей и валидацией результатов, полученных путем проведения численных рас-
четов. 
 
На защиту выносятся следующие основные положения: 
1.  Концепция двухуровневого моделирования эволюционных дискретных 
процессов в условиях многокритериальности и неопределенности дан-
ных. 
2.  Конкретный  алгоритм  реализации  фрактального  анализа  временных 
рядов урожайности с целью выявления в них наличия долговременной 
памяти как предпосылки для построения прогнозной модели. 
3.  Построенная  для  нижнего  уровня  на  базе  инструментария  клеточных 
автоматов и теории нечетких множеств математическая модель и метод 
прогнозирования урожайности основных культур, выращиваемых в зо-
нах рискового земледелия. 
4.  Разработанные для верхнего уровня специальные подходы к моделиро-
ванию задач землепользования с нечеткими весами, включая обоснова-
ние  операций  суммирования  и  сравнения,  адекватных  реальному  со-
держанию задач землепользования. 
5.  Результаты  анализа  применимости  классических  подходов,  в  частно-
сти, алгоритмов линейной свертки критериев к конкретной задаче зем-
лепользования,  сформулированной  как  задача  покрытия  графа 4-
циклами с интервальными весами. 
6.  Разработанный для верхнего уровня моделирования задачи землеполь-
зования алгоритм отыскания оптимального покрытия графа 4-циклами, 
включая обоснование достаточных условий его статистической эффек-
тивности. 
   
Научная  новизна.  Научную  новизну  диссертационного  исследования 
содержат следующие положения: 
1.  Предложен  двухуровневый  подход  к  моделированию  эволюционных 
задач землепользования в условиях многокритериальности и неопреде-
ленности данных. 

 
8
2.  На базе R/S-анализа разработан и реализован метод фрактального ана-
лиза временных рядов с целью выявления в них долговременной памя-
ти и оценки степени применимости инструментария клеточных автома-
тов и нечетких множеств для построения прогнозной модели. 
3.  В  качестве  реализации  модели  нижнего  уровня  построена  прогнозная 
модель  на  базе  клеточных  автоматов,  а  также  разработаны  алгоритмы 
прогнозирования,  валидации  и  вычисления  оценки  погрешности  ре-
зультатов. 
4.  С  учетом  принципиальной  нечеткости  исходных  данных,  получаемых 
на нижнем уровне, оценена степень пригодности известных теоретико-
множественных  определений  арифметических  операций  для  нечетких 
множеств и предложены новые способы операций сложения и сравне-
ния,  отвечающие  содержательному  смыслу  рассматриваемых  задач 
землепользования. 
5.  В  качестве  математической  модели  для  верхнего  уровня  сформулиро-
вана и исследована векторная задача покрытия графа 4-циклами и па-
росочетаниями.  Первая  из  этих  задач  исследована  для  случая  интер-
вальных данных: осуществлено ее сведение к 2-критериальной задаче и 
установлена  ее  неразрешимость  с  помощью  алгоритмов  линейной 
свертки критериев (АЛСК). 
6.  В качестве базы для использования АЛСК разработан малотрудоемкий 
оптимизационный  алгоритм  покрытия  графа 4-циклами  и  доказаны 
достаточные  условия,  при  которых  он  является  статистически  эффек-
тивным. 
Практическая ценность полученных результатов и их реализация. 
 
Практическая  значимость  результатов  исследования  заключается  в  том,  что 
предложенные подходы, математические модели и алгоритмы универсальны 
и  позволяют  решать  широкий  круг  агроэкономических  задач.  Построенные 
на  базе  клеточных  автоматов  модель  и  метод  прогнозирования  временных 
рядов урожайности могут быть использованы всюду, где поведение рассмат-
риваемого эволюционного процесса с памятью не подчиняется нормальному 
закону.  
Предложенные методы, методики и алгоритмы моделирования на ниж-
нем уровне были погружены в модельные и реальные экономические процес-
сы  и  оправдали  себя.  Их  корректность  подтверждается  расчетами  на  кон-

 
9
кретных  материалах  прогнозирования;  оценки  точности  прогнозирования 
вычислены в процессе валидации по заказу Министерства сельского хозяйст-
ва Ставропольского края; прогнозное значение урожайности озимой пшени-
цы за период с 1952 г. по 2002 год уклонялось от реального временного ряда 
в среднем не более, чем на 10%. 
Разработанная  модель  и  математический  аппарат  их  количественного 
анализа и прогнозирования включены в лекционные курсы следующих дис-
циплин: «Теория рисков», «Дискретное программирование с нечеткими дан-
ными»,  читаемых  на  факультете  прикладной  математики  и  информатики 
КЧГТА, а также использованы при выполнении курсовых и дипломных про-
ектов. 
Апробация  работы.  Результаты  исследования  и  основные  его  положе-
ния  докладывались  и  обсуждались  на  заседаниях  научно-методического  се-
минара кафедры прикладной математики (КЧГТА, г. Черкесск, 2001-2003 гг.) 
и  получили  положительную  оценку  на  следующих  конференциях  и  симпо-
зиумах, проводимых различными академическими учреждениями и высшими 
учебными заведениями России: 
–  на IV Всероссийском  симпозиуме  «Математическое  моделирование  и    
компьютерные технологии» (Кисловодск, 2001); 
–  на  Северо-Кавказской  региональной  научной  конференции  молодых  уче-
ных, аспирантов и студентов «Перспектива–2001» (Нальчик, 2001); 
–  на II Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и род-
ственные  проблемы  математической  биологии,  информатики  и  физики» 
(Нальчик, 2001);  
–  на IV научно-практической конференции аспирантов и студентов «Регио-
нальная экономика управления и права» (Черкесск, 2002); 
–  на  Международной  школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. 
Ефимова  (Абрау-Дюрсо,  база  отдыха  Ростовского  госуниверситета 
«Лиманчик», 2002); 
–  на  Х  Международной  научно-технической  конференции  «Математиче-
ские  методы  и  информационные  технологии  в  экономике,  социологии  и 
образовании» (Пенза, Приволжский Дом знаний, 2002); 
–  на III Международной  конференции  «Новые  технологии  в  управлении, 
бизнесе и праве» (Невинномысск, 2003г.); 

 
10
–  на VIII Международной  конференции  серии  «Нелинейный  мир» (Астра-
хань, 2003). 
Теоретические  и  практические  результаты  диссертационной  работы 
использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект № 00-01-00652 
«Математическое моделирование структуры слабо формализованных систем 
в условиях неопределенности».    
Публикации.  Материалы  диссертации  опубликованы  в 4 научных 
статьях (из них 2 – в рецензируемых журналах) и в 11 тезисах докладов. 
Структура  и  объем  работы.  Диссертация  состоит  из  введения,  пяти 
глав, заключения, приложений и списка литературы, содержащего 92 наиме-
нования.  
Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного ис-
следования, сформулирована цель работы, описана структура и дан краткий 
обзор работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защи-
ту, раскрыта новизна и практическая значимость полученных результатов. 
В  главе  1  дано  содержательное  описание  предложенного  двухуровне-
вого  подхода  к  моделированию  эволюционных  агроэкономических  процес-
сов,  показатели  которых  не  подчиняются  нормальному  закону  распределе-
ния. 
Математическая модель верхнего уровня – это модель теории оптими-
зации, на базе которой строится и обосновывается наиболее целесообразное 
управление рассматриваемым  процессом. На нижнем уровне осуществляется 
моделирование исходных данных для модели верхнего уровня.  
На  верхнем  уровне  формируются  теоретико-графовые  модели  задач 
землепользования. В качестве таких постановок рассмотрены задачи покры-
тия  графа 4-циклами,  звездами  и  ребрами.  Если  задача  формулируется  на 
графе  =(,E),  то  ее  допустимое  решение  представляет  собой  такой  остов-
ный  подграф  = (VE

), E
,
x
в  котором  каждая  компонента  связности  яв-
ляется  соответственно 4-циклом,  звездой  или  ребром.  Эти  задачи  являются 
многокритериальными,  т.е.  на  множестве  допустимых  решений  (МДР) 
= { }
 определена векторная целевая функция (ВЦФ) 
F(x) = (F

1 (x), F2 (x), ..., FN (x)

 
11
состоящая из критериев вида  MAXSUM  
F
ν
ν (x) = ∑ (e) → max
ν
,  = ,
≤  
1
1

e Ex
 и критериев вида  MAXMIN   
Fν (x) = min wν (e) → max, ν = + ,
,  
1
eEx
где  wν (e)-  веса,  приписанные  ребрам  e∈   данного  графа.  Критерии  вида 
MAXSUM представляют собой обычно экономические показатели, а критерии 
вида  MAXMIN – агроэкологические  показатели,  например,  процентное  со-
держание гумуса в почве. ВЦФ  F(x) определяет в МДР   паретовское мно-
~
жество  (ПМ)  .  Искомым  решением  векторной  -  критериальной  задачи 
является  полное  множество  альтернатив  (ПМА)  0
.  Термин  ПМА  означает 
подмножество  0
~
⊆ , удовлетворяющее двум условиям: 
10. Мощность  0
- минимальна; 
20. 
0
~
F()= F(), где  F( *
)= {F(x)
*
∈ }  ∀ * ⊆ .  
В  главе  2  предлагаются  инструментальные  и  математические  методы 
моделирования  временных  рядов,  которые  обладают  долговременной  памя-
тью и вместе с тем в характере их поведения проявляется хаотичность. Нали-
чие такой памяти исключает независимость наблюдаемых значений элемен-
тов временных рядов, что, в свою очередь является причиной неподчинения 
этих  рядов  нормальному  закону  распределения.  Этот  факт  подтверждается 
также такими результатами статистического анализа, как аномально большие 
значения  коэффициентов  эксцесса  и  асимметрии.  С  учетом  выявленных  си-
туаций  становится  неправомерным  использование  классических  методов 
прогнозирования, которые базируются на вычислении скользящей средней и 
авторегрессии.  
В  главе    осуществлено    построение  прогнозной  модели  для  нижнего 
уровня на базе аппарата нечетких множеств и клеточных автоматов. Разрабо-
таны и представлены методы и алгоритмы  для выявления фундаментальных 
качественных и системных свойств, а именно:  глубина долговременной па-
мяти и ее оценка, мера хаотичности или, наоборот, трендоустойчивости, ква-
зицикличность, самоподобие. 

 
12
Предлагаемая новая прогнозная модель для временного ряда с памятью  
состоит из следующих пяти этапов, т.е. отдельных алгоритмов или процедур. 
Этап 1. Оценка степени прогнозируемости данного семейства времен-
ных рядов осуществляется на базе фрактального анализа некоторой выборки 
из  этого  семейства.  На  выходе  вычислительного  алгоритма  фрактального 
анализа получаются оценки следующих характеристик для рассматриваемых 
рядов:  признаки  наличия  трендоустойчивости  и  долговременной  памяти, 
оценка ее глубины; цвет шума, достаточно удаленный от зоны белого шума.  
Этап  2.  Преобразование  данного  (исходного)  числового  временного 
ряда (ВР) в лингвистический временной ряд (ЛВР)  с целью создания базиса 
памяти клеточного автомата. Для выполнения этапа 2 разработан «алгоритм 
преобразования ВР в ЛВР». На начальном этапе этого алгоритма формирует-
ся терм-множество ={ }
 характерных состояний исходного ВР, в частности  
трехэлементное  множество  = {Н СВ}:  –  низкая  урожайность, 
– средняя урожайность,   – высокая урожайность. Алгоритм пре-
образования ВР в ЛВР является вполне детерминированным, за исключением 
процедуры принятия решения о мощности   формируемого терм-множества 
(экспертная оценка).  
Этап  3.  Алгоритм  формирования  оперативной  памяти  клеточного  ав-
томата.  Эта  память  может  иметь  комбинаторное  или  теоретико-графовое 
представление.  В  последнем  случае  она  строится  в  виде  множества 2-
дольных  ориентированных  графов,  в  каждом  из  которых  вершины  правой 
доли взаимнооднозначно представляют собой элементы терм-множества , а 
вершины левой доли - фиксированные  - конфигурации; значения  = ,
1 ,...,
2

где  L- глубина памяти ЛВР. Дугам этих орграфов приписаны веса, означаю-
щие  собой  частости  переходов  заданной  конфигурации  в  соответствующие 
состояния из = {u}. 
Этап  4.  Алгоритм  формирования  прогноза  для  данного  ЛВР  ui 
= ,
1 ,..,
2
. Алгоритм вычисляет и представляет прогнозируемый элемент  u
 
1
+
в  виде  нечеткого  множества  (НМ)  U
µ = , µ
µ  – значение 
+
,  где 
1 (
) ({ j j )}
j
функции  принадлежности  элемента  = ,
1 ,...,
2
m,   .  Поскольку  пе-
j
речень  элементов    является  известным,  то  формирование  прогноза  в 
j

 
13
виде НМ сводится к вычислению значений  µ
= ,
1

 путем суммирования 
и нормирования весов соответствующих дуг в последовательности орграфов, 
затребованных из оперативной памяти. По своему содержательному опреде-
лению  эти  веса  отражают  долговременную  память  о  поведении  рассматри-
ваемого ЛВР, а затребованная последовательность орграфов определяется за-
вершающим отрезком длины   в рассматриваемом ЛВР.  
Этап 5. Алгоритм трансформации полученного прогноза в виде нечет-
кого терм-множества в числовой прогноз. В качестве подходящих числовых 
значений элементов   , где  U= ,
1 ,...,
2
,
 выбираются в ВР ближайшие 
j
j
к ним низкие, средние и высокие урожайности, которые затем усредняются. 
Применяя  к  полученному  нечеткому  множеству  операцию  дефазификации 
имеем прогнозное значение урожайности в обычном числовом виде. 
Для проведения валидации, т.е. проверки соответствия полученных на 
основе модели данных реальному процессу, последовательно рассматриваем 
лингвистические временные ряды  
,= ,
1 ,...,
2
,
  − ,  = ,
− ,  
i
которые получаются путем последовательного удаления из ЛВР последних   
его  членов.  Для  каждого  фиксированного  индекса    строим  прогноз  терма 
u
,  представляемого в виде НТМ U
H; µ , C; µ , B; µ

1
+
({
) (
) (
)}
1
+
Пусть, в полученном НТМ  U
µ , µ , µ
1
+ , среди чисел  
H
C
  максималь-
ным  является  то  число  µ ∆ ∈
∆ ,
{H,C, }
,  у  которого  индекс  ∆   совпадает  с 
термом     рассматриваемого ряда. Тогда, говорим, что для рассматривае-
1
+
мого  индекса    прогнозная  нечеткая  модель  привела  к  непротиворечивому 
прогнозу. В противном случае, говорим о противоречивом прогнозе для тер-
ма  .  
1
+
Валидация  результатов  прогнозирования  осуществлена  на  примере 
временных рядов урожайности озимой пшеницы по Ставропольскому краю и 
КБР. Для числового прогноза отклонение от реальных значений в среднем не 
превысила 10%. 
В главе 3 сформулирована задача верхнего уровня моделирования, ко-
торая  представляет  собой  теоретико-графовую  модель  задачи  землепользо-
вания с нечеткими данными.  

 
14
Для  математической  постановки  задачи  землепользования  введены  
следующие обозначения. Считается заданным  -вершинный граф, в котором: 
= ,
1 ,...,
2
-  индекс,  которым  занумерованы  выращиваемые  в  хозяйстве 
культуры;  = ,
1 ,...,
2
-  индекс,  которым  занумерованы  засеваемые  этими 
культурами  поля;  -  стоимость  единицы  -ой  культуры;  -  площадь  -го 
k
i
поля;  - директивное ограничение на минимальный объем выхода культуры 
k
;  = (,-  двудольный  граф,  в  котором  вершины  первой  доли 
1
2
)
=
 перенумерованы индексами культур  = ,
1 2,..., , а вершины 
1
{,...,,...,v
1
k
}
второй  доли  =
  перенумерованы  индексами  полей 
2
{,...,,...,v
1
i
}
= ,
1 ,...,
2
;  = { }
-  множество  ребер  графа  ,  которое  содержит  ребро 
= (,   тогда  и  только  тогда,  когда  в  прогнозируемом  году  разрешается  за-
k
)
севать культуру   на пахотные угодья поля  . Каждому ребру  e∈ , припи-
сан 
вес 
k i
, , 
представляющий 
собой 
нечеткое 
множество 
(
w e)
,i
=W
= ({ k,i k
; µ , , ; µ , , ; µ
  и  являющееся  результатом  моделиро-
H
) (
k i
k
C
) (
k i
k
B
)}
вания  на  нижнем  уровне.  Элемент-носитель 
,i
,i
W
⋅   ( k,i
,i
W
⋅ ,  
H
k
i
H
C
k
i
C
,i
,i
W
⋅ )  содержательно  означает  ожидаемый  объем    выхода  продук-
B
k
i
B
ции в рублях культуры   с поля   в случае низкого (среднего, высокого) про-
гнозируемого  урожая 
,i
U
, ,, .  В  общем  случае  единицей  измерения 
H
k i k i
C
)
каждого  веса 
k i
,
∆ ∈
∆ , 
{H,C, }
  могут  быть  рубли,  протеиновые  единицы  и 
др. 
 
Теоретико-графовая постановка сформулированной выше задачи пред-
ставляет собой задачу покрытия 2-дольного графа  = (, звездами. До-
1
2
)
пустимое  решение    представляет  собой  такой  его  остовный  подграф 
= (,,  ⊆ , в котором каждая компонента связности представляет 
1
2
)
x
собой  звезду  k
= {
,,,  V k ,  kE ⊂  с центром в опре-
}
k
k
2
)
k
1
2
2
x
x
деленной вершине   из первой доли  и множеством  k
 висячих вершин из 
k
1
2
второй  доли  .  На  МДР  графа    определена  целевая  функция  (ЦФ) 
2
F(x) → max  следующим образом. Для каждой пары  (,  ,   оп-
k
)
k
1
i
2
ределен объем  k i
,   ожидаемого  урожая  культуры    на  поле  .  Допустимым 
m
является всякое такое решение  = (,
k
=
, для которого выпол-
1
2
)
x
x
1
=

 
15
няются  неравенства  ∑ (
w e) ≥ ,  = ,
;  (G) = { }
 - множество  всех  до-
k
e E k
∈ x
пустимых решений на графе  . Если целевой функцией (ЦФ)  F(x) является 
экономический эффект, то она определяется на МДР   следующим образом: 
(1) 
(x)
m
m
= ∑ ∑⋅ w e
с
w e
k
( ) = ∑ ∑ ( )→ max . 
1
= ∈
e E k
1
=

e E k
x
x
Задача состоит в том, чтобы найти максимизирующее значение ЦФ (1) 
решение, т.е. построить и обосновать достаточно эффективный алгоритм на-
хождения указанного оптимума. При верификации модели возникла пробле-
ма адекватного суммирования нечетких весов. Анализ известных теоретико-
множественных  операций  суммирования  нечетких  множеств  показал  их  не-
соответствие  содержательному  смыслу  суммирования  НВ  в  ЦФ (1). Этот 
факт обусловил приведение нового способа суммирования «(+)» нечетких ве-
сов, основанный на принципе частичной дефазификации. Суть этого сумми-
рования  состоит  в  следующем.  Если  конкретное  допустимое  решение 
∈ (G)  состоит  из  звезд  k
= (
k
,  ,  = ,
,  то  НВ 
k
w z )  одной 
k
1
звезды  k
 определяется выражением: 
(wzk )= (+) (we)= ({w
µ
∆ (z k );
k
∆ )
0
: ∆ ∈}, 
(2)
e E k
∈ x
где  значение  w∆ ( k
)  элементов-носителей  определяется  скалярным  сумми-
рованием  НВ  ребер  рассматриваемой  звезды 
k
w z
=
w e
∆ (
) ∑ ∆( ), 
0
∆ ∈
∈ k
e Ex
= ,
,  а  функция  принадлежности  k
µ   вычисляется  операцией  дефазифика-

цией. Причем, терм-множество  
0
 является одинаковым для всех звезд, хо-
тя в общем случае не обязательно должно иметь вид 0 = {C, }
.  
Для  определения  операции  суммирования  НВ,  относящихся  к  различ-
ным культурам   рассматриваются две звезды 
1
k
 и 
k2
, для ко-
1
2
1
2
торых  вычислены  их  НВ  согласно  принципа  частичной  дефазификации (2). 
результирующая сумма (+) нечетких весов этих двух культур представляется 
в виде нечеткого множества  
(
w z (+) w z w z w z ; µ w z w z
:∆ ∈
(3)
1 )
( 2 ) {( ∆( 1) ∆( 2 ) ( ∆ ( 1) ∆ ( ) )
0
2
}
где функция принадлежности при этом определяется выражением: 

 
16
µ(
(4)
w
+
=
∆ (
L z z
( ) w z

1 )
∆ ( 2 )
( 1 2 ) , 
N∆ (z
1
2 )
в котором    L
=
⋅ µ
+
⋅ µ
∆ (z
w z
z
w z
,  
1
2 )
∆ ( 1 )
∆ ( 1 )
∆ ( 2 )
∆ ( 2 )
   N
=
+
∆ (z
w z
w z ,   
0
∆ ∈.  
1
2 )
∆ ( 1 )
∆ ( 2 )
Математическая  постановка  рассматриваемой  задачи  завершается  оп-
ределением бинарной операции сравнения. Практически все известные мето-
ды  сравнения  оперируют  исключительно  только  функциями  принадлежно-
сти,  без  учета  численных  значений  элементов-носителей  сравниваемых  НВ. 
Такой  способ  сравнения  не  соответствует  содержательному  смыслу  задачи 
землепользования. Предлагаемый в настоящей главе метод упорядочения НВ 
по  предпочтительности  базируется  на  процедуре  полной  дефазификации. 
Прежде, чем приводить описание этой процедуры, отмечаются условия, при 
которых операция сравнения считается определенной.  Рассматриваются два 
допустимых решения  ∈ , на которых ЦФ (1) принимает значения в ви-
1
2
де двух НВ 
(w x ; µ x
,    ∆∈{Н,С, },     = ,
1 2 . 
(5) 
)
({ ∆( j) ∆( j)}
В
Тогда, рассматривая величины  w
µ
∆ (x
 и 
( в качестве максимизируемых 

)
)
показателей,  можно  утверждать,  что  вариант    предпочтительнее  варианта 
1
, если выполняются следующие неравенства 
2
w

µ ≥ µ x
∆ (x
w x ,  ∆ (
,  ∆∈{Н,С, }, 
(6) 
1 )
∆ ( 2 )
1 )
∆ ( 2 )
В
среди которых хотя бы одно является строгим. 
В  случае  невыполнения  условия (6) предлагается  применить  новый 
способ сравнения двух НВ. Для этого сначала вычисляются величины:  
L(= ∑ w x ⋅ µ ,   (x
µ ,   (x
w x ,  = ,
1 2 , 
) = ∑
∆ ( )
) = ∑
∆ ( )
)
∆ ( )
∆ ( )
W


0
∆∈ 0
W


0
W
а затем и соответствующие им носители и степени принадлежности:  
(
w x L x
M x ,  µ(L x
N x .                               (7) 
)
) ( )
)
) ( )
Пару  ( (
w x ; µ x
  условимся  называть  сверткой  нечетких  весов.  Для 
)
)
упорядочения  вариантов  ,  = ,
1 2  по предпочтительности осуществляется 
j
операция сравнения интервалов  [µ(w x ,  = ,
1 2 . При этом границы этих 
)
j)]
интервалов рассматриваются  в качестве максимизируемых показателей. 

 
17
Определение 1. Вариант   предпочтительнее варианта   (эквивален-
1
2
тен  варианту  ),  или  в  другой  терминологии,    доминируется  вариантом 
2
2
(, если выполняются неравенства  µ(≥ µ ,  (
w x ≥ w x ,  среди  ко-
1 )
( 2)
1 )
( 2)
1
2 )
1
торых  хотя  бы  одно  является  строгим  (равенства  µ(= µ ,  (
w x w x ). 
1 )
( 2)
1 )
( 2)
Эквивалентность этих вариантов обозначаем через  .   
1
2
Определение 2. Варианты    и    являются  несравнимыми  ( ↔ ), 
1
2
1
2
если  в  паре  интервалов  [µ (w x ,  = ,
1 2 ,  один  из  них  является  строгим 
)
)]
включением другого. 
В  главе  4  исследуется  разрешимость  интервальной  задачи  покрытия 
графа  4-циклами  с  помощью  алгоритмов  линейной  свертки  критериев 
(АЛСК). Предлагается  малотрудоемкий алгоритм покрытия графа 4-циклами 
с оценкой его эффективности.  
Следует отметить, что интервальные задачи являются крайним случаем 
неопределенности,  т.к.  возникают  в  условиях  неточных  данных  параметров 
задачи.  Вопрос  разрешимости  интервальной  задачи  покрытия  графа  4-
циклами  с помощью АЛСК до настоящего времени оставался открытым. В 
главе 4 обосновывается  сведение    интервальной  задачи  покрытия  графа  4-
циклами  к 2-критериальной  и  доказывается  ее  неразрешимость  с  помощью 
АЛСК, следовательно, и соответствующей ей интервальной задачи. 
Алгоритмы линейной свертки критериев являются традиционными ме-
тодами  нахождения  парето-оптимальных  решений  многокритериальных  за-
дач. На сегодняшний день построение эффективных АЛСК для многокрите-
риальных задач остается одной из основных проблем оптимизации.  
Утверждение 1. Для любого вектора  

N
λ ∈Λ = λ
λ ,λ ,...,λ :
λ
,
1 λ
,
0 ν
,
1 ,...
2
N
⎨ = ( 1 2
)

∑ =
>
=
N
ν
ν
⎬  элемент  *
, мак-

ν =1

N
симизирующий на МДР   линейную свертку критериев  λ (x) = ∑λ F
ν ν (x) це-
ν =1
левых функций   F
,  является ПО. 
ν (x), ν = ,
1 ,...,
2
N
Заметим,  что  АЛСК    не  всегда  гарантируют  нахождение  всех  ПО 
~
~
∈ . Если ПМ  ~
 индивидуальной интервальной задачи и 2-критериальной 
задачи содержит такой элемент  *
, на котором не достигает максимума зна-
чение свертки  λ (x) ни при каком  λ ∈ Λ 2 , то  эти  задачи   неразрешимы с 

 
18
помощью АЛСК. Из неразрешимости хотя бы одной индивидуальной задачи 
вытекает неразрешимость с помощью АЛСК соответствующей массовой за-
дачи. 
В качестве частного случая  задачи на графах с НВ сформулируем ин-
тервальную  экстремальную  задачу  на  графах.  В  заданном  -  вершинном 
графе  = (E)  каждое  ребро  ∈   взвешено  интервалом  w(e),  т.е.  отрез-
ком  (
w e) = [w
,
, где  (
w e 
. Подграф  = (⊆ 
⊆  
x
)
1 )
w2 (e)
E
E
1(ew2 (e)]
x
x
представляет  собой  допустимое  решение  рассматриваемой  задачи.  Обозна-
чим через  = { }
 МДР рассматриваемой задачи, на котором определена ин-
тервальная целевая функция (ИЦФ) 
(
w x) = ∑ (
w e) → max  
(8) 

e Ex
или  ИЦФ  
(
w x) = min (
w e) → max . 
(9) 

e Ex
Значение  этих  ИЦФ  можно  получить  из  свойств  операций  сложения 
интервалов  и  сравнения  интервалов,  представляющих  значение  ИЦФ 
(
w x) = [w
,
,  где    w
.  Под  решением  интервальной 
(x) = ∑ wi (x), = ,
1 2
1 (xw2 (x)]

e Ex
задачи понимается такой элемент  x0 ∈ , на котором значение ИЦФ (8) или (9) 
достигает  требуемого экстремума. 
В  случае  интервальных  весов  нахождение  оптимума  наталкивается  на 
проблему  выбора  наиболее  целесообразного  решения  из  множества  несрав-
нимых альтернатив. В связи с этим необходимо ввести отношения предпоч-
тения, эквивалентности и несравнимости. 
Определение 3. Из двух решений   и  ,   ∈ ,   предпочти-
1
2
1
2
1
тельнее  решения  x
w x ≥ w x
=
2 ( ),  если 
( 1 )
( 2 ), 
,
1 2 ,  при  этом  хотя  бы 
1
2
одно неравенство является строгим. Решения   и   несравнимы ( ↔ ), 
1
2
1
2
когда  имеет  место  строгое  вложение  интервалов  w(⊂ w x ,  либо 
1 )
( 2)
(
w x ⊂ w x . Эти решения  эквивалентны ( ), если совпадают соответ-
2 )
( 1)
1
2
ствующие им интервалы  (
w x w x 
1 )
( 2 )
Отношения предпочтения и несравнимости порождают на МДР   па-
~
ретовское  множество  (ПМ)   ⊆ ,  состоящее  из  паретовских  оптимумов 
(ПО). 

 
19
~
Определение 4. Для задачи с ИЦФ (8) решение  ∈  называется ПО, 
если не существует  x* ∈  такого, что  x* f x~ . 
В  качестве  искомого  решения  сформулированной    задачи  можно  рас-
сматривать как ПМ  ~
, так и используемое в многокритериальной оптимиза-
ции понятие ПМА   0

Определение 5. ПМА есть подмножество  0
~
⊆  минимальной мощно-
сти, содержащее по одному представителю на каждое значение 
~
w(x),  ∈ 
где  (
w x) есть значение ИЦФ (8). 
Теорема 1. Для всякого  -вершинного графа    (  кратно 4),  интер-
вальная  задача  покрытия  графа 4-циклами  с  критериями  вида  MAXSUM  не-
разрешима с помощью АЛСК. 
В качестве базы для реализации АЛСК предлагается приближенный ал-
горитм покрытия графа 4-циклами и произведено обоснование его статисти-
ческой  эффективности.  Необходимость  разработки  такого  алгоритма  обу-
словлена  тем  обстоятельством,  что  для  решения  рассматриваемых  задач 
верхнего уровня неприменимы какие-либо известные алгоритмы, в том числе 
и  алгоритмы  линейного  или  целочисленного  программирования.  Указанная 
неприменимость, в свою очередь, обусловлена тем фактом, что представлен-
ное  в  главе 1 МДР  = { }
  невозможно  определить  системой  линейных  ра-
венств  и  неравенств,  т.е.  невозможно  представить  в  виде  многогранника  в 
соответствующем пространстве. 
Разработанный алгоритм  α  состоит из подготовительного этапа, четы-
рех вычислительных этапов и заключительного этапа формирования резуль-
татов. 
Подготовительный этап заключается в разбиении в данном  - вершин-
ном графе  = (E) множества  на четыре равномощных подмножества  
s
мощности  
n
=
, s = ,14 , в случае, когда   кратно  4  (ребрам  ∈  припи-
s
4
саны веса  (
)
{
∈ ,....,
2
,
1
}
).  Далее,  для  двух  пар  ,V   и 
 строятся два двудоль-
1
2
,V
2
3
ных графа  ,,,  1 ≤ ≤ ,
3 где множество   состоит из всех таких 
st
s t st)
st
ребер  = (v′,v′)∈ , у каждого из которых один конец  v′∈, а другой конец 
s
v′ ∈
t

 
20
Второй  этап  состоит  из  двух  вычислительных  подэтапов.  Работа  этих 
подэтапов заключается в том, что в каждом из двудольных графов   и   
12
23
осуществляется  нахождение  оптимальных  совершенных  паросочетаний,  ко-
торые обозначим соответственно через   и  . Для нахождения каждого 
12
23
из  таких  паросочетаний  =
  можно  воспользоваться  каким-либо  извест-
st
{ }
e
ным алгоритмом (например, венгерским методом или алгоритмом Лоулера). 
Объединяя паросочетания   и  
12
23  получаем   пар пересекающих-
ся  рёбер  вида      e′ = (,    ′ = (,.  Такие  пары  рёбер  объединяем  в 3-
2
3 )
1
2 ),
вершинные цепи вида  = [,,v
=
1
2
3 ], множество этих цепей обозначим 
{ }

Третий  этап  состоит  в  построении  специального  двудольного    графа 
= (, ,
)
ℜ  с равномощными долями мощности  m. Доля =
4
4
 
{ }
 со-
стоит из вершин  ∈ B, которые поставлены во взаимнооднозначное соответ-
ствие цепям  с ∈ С . Если ребро  ρ = (, )
 содержится в   ℜ , то оно определяет-
0
0
ся следующим образом: ребро  ρ = (, )
 включается  в состав  ℜ  тогда и толь-
0
0
ко  тогда,  когда  в  исходном  графе  = (VE)  множество    содержит  пару 
рёбер e′,  следующего вида: 
e′ = (,v
′ = (,                              (10) 
0
3 ),
0
1 )
              
,  
где   и   являются висячими вершинами цепи 
1
3
= [,,,                          
   (11) 
1
2
3 ]
                    
поставленной в соответствие вершине  . При этом ребру  ρ  приписывается 
0
вес W(ρ ) =
. Если же пара рёбер  e′ ,  ′ , удовлетворяющая указан-
0
(
w e′)+ (
w e′)
ным условиям (10) и (11) отсутствует в данном графе  , то соответственно 
ребро  ρ  не включается во множество  ℜ . 
0
Четвертый  вычислительный  этап  состоит  в  том,  что  с  помощью  соот-
ветствующего алгоритма в двудольном графе  = (B,ℜ) выделяется опти-
мальное  паросочетание  = { }
ρ
4
,  затем  для  каждого  ребра  ρ ,  принадлежа-
щего  выделенному  паросочетанию  ,  в  графе    выделяется  соответст-
4
вующая  ему  пара  рёбер  e′  и  ′ ,  которая  замыкает  соответствующую  цепь 
= [,, в 4-вершинный цикл  = [,,,
1
0
3
2 ]
1
2
3 ]
Работа алгоритма завершается  проверкой, все ли  вершины исходного 
графа    оказались  покрытыми  выделенными 4-циклами.  В  случае  положи-

 
21
тельного  исхода  множество  выделенных  циклов  представляется  в  виде  до-
пустимого решения задачи о покрытии графа 4-циклами.  
Пусть  ϕ = ϕ(n) -  сколь  угодно  медленно  растущая  функция  от  
ϕ(n) → 0 .  ℑ (nR) = {G}- множество всех   n  - вершинных графов  = (V,E), в 
каждом  из  которых  всякому  ребру    ∈ ,  приписан  вес  w(e)∈ { ,1 ,...,
3
,
2
}

R(n). Для всякого    обозначим через   α
ℑ (nR) подмножество таких графов 
∈ℑ (nR), для каждого из которых определенный алгоритм   α  находит оп-
ℑα (n,R)
тимальное покрытие 4-циклами. Если отношение мощностей 
 при 
(
ℑ n R) → 1
,
→ ∞ , то алгоритм  α  называется статистически эффективным. Достаточное 
условие  статистической  эффективности  предложенного  выше  алгоритма  α  
представляет 
Теорема 3. При выполнении неравенства  2 ≤
n
R
 алгоритм  α  явля-
4ln + ϕ
ется статистически эффективным. 
В  процессе  своей  работы  алгоритм  α     рассматривает  каждое  ребро 
данного  графа  = (R)   не  более  нескольких  раз,  откуда  вычислительная 
сложность его первых трех этапов составляет  O) ≤ O( 2
) . Отсюда вычисли-
тельную  сложность  алгоритма  α   можно  оценить  через  вычислительную 
сложность  четвертого  этапа  (нахождения  совершенного  паросочетания): 
τ (α)
2
3
≤ O() + O() = O( 3
). 
Основные  результаты,  полученные  в  ходе  исследований  можно  пред-
ставить в виде следующего перечня: 
1.  Сформулирована авторская концепция двухуровневого моделирования 
задач землепользования: математическая модель верхнего уровня – это 
модель теории оптимизации, на базе которой строится и обосновывает-
ся  наиболее  целесообразное  управление  рассматриваемым  процессом; 
на  нижнем  уровне  осуществляется  моделирование  исходных  данных 
для модели верхнего уровня; исходными данными для нижнего уровня 
служат  временные  ряды,  отражающие  эволюцию  основных  показате-
лей  рассматриваемых  эволюционных  процессов;  изложена  необходи-
мость многокритериального подхода и суть его реализации. 
2.  На базе инструментария фрактального анализа выявлены такие свойст-
ва временных рядов, как долговременная память с оценкой ее глубины, 

 
22
трендоустойчивость,  квазицикличность;  для  выявления  этих  свойств 
разработан  метод  фазового  анализа  временных  рядов;  на  базе  инстру-
ментария линейных клеточных автоматов и нечетких множеств разра-
ботана  новая  прогнозная  модель,  включая  алгоритмы  ее  валидации  и 
вычисления оценок точности прогнозирования. 
3.  В  качестве  конкретной  реализации  двухуровневого  моделирования 
представлена математическая постановка экстремальных задач покры-
тия  графа 4-циклами  (паросочетаниями,  звездами);  показана  неприме-
нимость  известных  в  научной  литературе  определений  операций  сло-
жения  и  сравнения  нечетких  весов;  представлено  новое  определение 
операций суммирования и сравнения нечетких весов, которые адекват-
ны рассматриваемым задачам землепользования. 
4.  Исследована на разрешимость с помощью алгоритмов линейной сверт-
ки критериев векторная задача покрытия графа 4-циклами с интерваль-
ными  весами;  осуществлено  ее  сведение  к 2-критериальной  задаче  и 
установлена ее неразрешимость. 
5.  В качестве базы для использования алгоритма линейной свертки разра-
ботан  малотрудоемкий  алгоритм  покрытия  графа 4-циклами  и  доказа-
ны  достаточные  условия,  при  которых  он  является  статистически  эф-
фективным. 
Пользуясь  возможностью,  автор  выражает  глубокую  благодарность 
своему научному руководителю заведующему кафедрой прикладной матема-
тики  Карачаево-Черкесской  государственной  технологической  академии, 
д.ф.-м.н., профессору Виталию Афанасьевичу Перепелице, а также к.ф.-м.н., 
доценту этой кафедры Тебуевой Фаризе Биляловне  за внимание и поддержку 
в процессе исследований, посвященных данной тематике. 

 
25
Глава 1. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ  ФОРМУЛИРОВКА  ИССЛЕДУЕ-
МЫХ  ЗАДАЧ  ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЯ  В  КОНТЕКСТЕ 
2-УРОВНЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ  

 
1.1.  Актуальность 2-уровневого моделирования 

1.1.1. Фундаментальная научная проблема 
 
Данная научная работа направлена на решение фундаментальной про-
блемы  разработки  методов  математического  моделирования  эволюционных 
дискретных  слабо  структурированных  процессов  и  систем,  для  которых  ха-
рактерны  множественность  критериев,  стохастичность,  интервальность  или 
нечеткость значений исходных данных и хаотичность структуры связей. 
Как  часть  этой  проблемы  в  настоящей  диссертационной  работе  рас-
сматриваются различные постановки задачи землепользования и предлагает-
ся двухуровневый подход [18] к их моделированию. Классический подход к 
моделированию таких задач оказывается недостаточным по той причине, что 
представление  параметров  этих  задач  четкими  числовыми  значениями  ока-
зывается  в  принципе  неадекватным  в  силу  их  слабой  структурированности, 
изменчивости    во  времени  и  неопределенности.  Например,  для  выращивае-
мой в зоне рискового земледелия конкретной культуры можно отнести к не-
адекватному такое представление ее урожайности, как усреднение ее значе-
ния за определенный отрезок времени.  
 Математическая модель верхнего уровня – это модель теории оптими-
зации, на базе которой строится и обосновывается наиболее целесообразное 
управление  рассматриваемой  системой  или  процессом.  На  нижнем  уровне 
осуществляется моделирование исходных данных для модели верхнего уров-
ня. В свою очередь исходными данными для нижнего уровня служат времен-
ные  ряды,  отражающие  эволюцию  основных  показателей  рассматриваемых 
эволюционных  процессов  и  систем.  Учитывая  объективно  обусловленную 
слабую структурированность этой эволюции, неподчинение ее нормальному 
или  другим  известным  законам  распределения,  автором  предусматривается 
построение для нижнего уровня прогнозной модели на базе аппарата нечет-
ких множеств и клеточных автоматов. Для выявления фундаментальных ка-

 
26
чественных и системных свойств, учитываемых в прогнозной модели, а так-
же для оценки надежности результатов прогнозирования предполагается раз-
работка методов, алгоритмов и программ для оценки глубины долговремен-
ной памяти и меры хаотичности или, наоборот, трендоустойчивости, для вы-
явления  и  обоснования  квазициклов,  самоподобия  и  других  фрактальных 
свойств.  Предлагаемый  автором  подход  предусматривает  системный  мони-
торинг моделируемых процессов и систем с целью формирования временных 
рядов,  отражающих  возможно  более  длительные  периоды  в  области  земле-
пользования, точнее, в отрасли растениеводства для проведения верификации 
и валидации построенных моделей. 
 
1.1.2. Предлагаемые методы и подходы 
 
Теоретическое моделирование конкретных эволюционных дискретных 
процессов и систем с хаотическим поведением, включая прогнозные модели 
для соответствующих временных рядов, осуществлено с учетом современной 
методологии  исследования  слабоформализованных  систем  в  условиях  неоп-
ределенности. Построение прогнозных моделей осуществлено на базе теории 
нечетких  множеств [2,44] и  клеточных  автоматов [34,42], а  применение  ме-
тодов детерминированного хаоса [72] и фрактального анализа [64] к модели-
рованию дискретных процессов и  систем в условиях многокритериальности 
и нечеткости или интервальности данных [44,1] оправданы тем, что они спо-
собствуют выявлению и более глубокому пониманию сложных хаотичных и 
противоречивых свойств моделируемых объектов. 
Для  задач  землепользования [51], выбранных  для  настоящего 
исследования, требуются: 
1)  разработка  методологии  и  конкретных  методов  использования  фрак-
тального  анализа  с  целью  выявления  наличия  системных  и  фракталь-
ных свойств в структуре или траектории эволюционных объектов (на-
личие  долговременной  памяти  и  оценка  ее  глубины,  наличие  трендо-

 
27
устойчивости или, наоборот, признаков хаотичности в характере пове-
дения, наличие квазициклов и др.) [64]; 
2)  разработка методологии и конкретных методов анализа фазовых траек-
торий [72,79] для  выявления  цикличности  в  поведении  рассматривае-
мых временных рядов; 
3)  разработка  конкретных  методов  построения  прогнозных  моделей  на 
базе  инструментария  клеточных  автоматов  и  теории  нечетких  мно-
жеств; 
4)  разработка  методологии  и  конкретного  подхода  к  созданию 2-
уровневых  математических  моделей  вида  «прогнозная  модель  для 
формирования  исходных  данных – математическая  модель  для  опти-
мального управления эволюционным процессом». 
Разработка общей концепции иерархического подхода к 2-уровневому 
моделированию  эволюционных  процессов  и  систем,  показатели  которых 
представляются  временными  рядами:  нижний  уровень – прогнозирование 
исходных данных для верхнего уровня, верхний уровень – нахождение мно-
жества  альтернатив,  выбор  и  принятие  решения  в  условиях  многокритери-
альности [35]. 
В процессе выполнения диссертационной работы осуществлены на базе 
реальной  статистики  по  отрасли  растениеводства  Ставропольского  края  и 
Кабардино-Балкарской  республики  (КБР)  следующие  научно-практические 
исследования и численные расчеты: 
- применение метода фазовых портретов и R/S- анализа для исследова-
ния  статистических  и  фрактальных  характеристик  конкретных  временных 
рядов  (ВР),  в  частности,  ВР  урожайностей  основных  (для  Ставропольского 
края и КБР) сельскохозяйственных культур с целью выявления наличия или 
отсутствия долговременной памяти, трендоустойчивости, циклов или квази-
циклов, а также для выявления тенденций в поведении эволюционного про-
цесса и оценки применимости предлагаемого математического инструмента-
рия для построения прогнозной модели; 

 
28
- разработка на базе теории нечетких множеств и аппарата клеточных 
автоматов  модели  для  реального  прогнозирования  дальнейшего  поведения 
рассматриваемых  временных рядов; 
-  верификация  и  валидация [36] конкретных  прогнозных  моделей  на 
базе рассмотренных ВР, в первую очередь ВР урожайностей основных сель-
скохозяйственных культур для Ставропольского края и КБР. 
Разработанная  математическая  модель  верхнего  уровня  базируется  на 
соотношениях  задачи  о  назначениях [70] и  моделях  управления  риском  на 
базе  многокритериального  подхода [50] в  условиях  нечетких  прогнозных 
данных. В математический и методологический арсенал предлагаемых мето-
дов и подходов включены: 
-  новые,  адекватные  рассматриваемым  процессам  и  системам,  опреде-
ления операций суммирования и сравнения нечетких весов; 
- аппроксимация моделей с нечеткими данными 2-критериальными мо-
делями на базе операции дефазификации; 
- аппроксимация моделей с нечеткими данными моделями с интерваль-
ными  данными;  исследование  разрешимости  с  помощью  алгоритмов  линей-
ной свертки интервальных задач; 
-  обоснование  оценок  вычислительной  сложности  линейных  задач 2-
уровневой  модели  с  прогнозными  нечеткими  данными  и  с  аппроксимирую-
щими интервальными данными. 
 
1.1.3. Современное состояние науки в данной области исследования 
 
Огромный  опыт  математического  моделирования  динамических  (эво-
люционных процессов, накопленный в мире за последние десятилетия, неиз-
меримо  расширил  и  во  многом  изменил  установившиеся  представления  об 
адекватности  существующих  математических  моделей  сути  этих  процессов. 
Стало ясно, что классического арсенала математического моделирования, ба-
зирующегося  на  так  называемой  линейной  парадигме  (малые  возмущения 

 
29
входных данных системы в малой степени меняют ее траекторию), во многих 
случаях  явно  недостаточно  для  построения  адекватных  математических  мо-
делей [64]. Это  обстоятельство  обусловило  фундаментальный  пересмотр 
прежней линейной концепции и переход на так называемую нелинейную па-
радигму (nonlinear science) [34,64] в математическом моделировании (малые 
возмущения  входных  данных  или  значений  переменных  динамической  сис-
темы могут в катастрофически большой степени изменить ее траекторию (в 
силу сложности самой системы и хаотичности ее поведения)). Практическая 
ценность указанной парадигмы обусловлена тем, что на ее базе удается более 
адекватно отражать специфические характеристики иерархичности [18], кон-
кретной  динамики [34] и  высокую  степень  неопределенности [2,83], прису-
щие реальным социальным, экономическим, финансовым, физическим и т.п. 
процессам и системам. Переход на новую концепцию вызвал необходимость 
создания принципиально новых инструментальных средств математического 
моделирования, в частности таких, как фрактальная геометрия [80,82], фрак-
тальный анализ [64], методы детерминированного хаоса [34] и др. В разрезе 
мировой науки математического моделирования этот переход датируется по-
следними двумя десятилетиями. Массовое внимание отечественных исследо-
вателей проявилось несколько позже и, соответственно, количество публика-
ций, посвященных nonlinear science в англоязычных научных изданиях, в де-
сятки,  если  не  в  сотни  раз  превосходят  количество  публикаций  в  этом  на-
правлении  в  русскоязычных  научных  изданиях.  Говоря  о  мировом  уровне 
знаний в этой области, к числу первостепенных можно отнести вопрос созда-
ния  математических  и  компьютерных  методов  получения  качественных 
(асимптотических)  свойств  из  количественных  характеристик  конечной  ис-
ходной модели. Причем, речь идет о таких качественных показателях, кото-
рые  невыводимы  прямо  из  свойств  элементов  системы  или  из  локальных 
взаимодействий  этих  элементов.  Тема  настоящего  диссертационного  иссле-
дования выбрана в контексте выше названной проблемы. 
 

 
30
1.2.  Содержательное  описание  проблемы  моделирования  задач 
землепользования 
 
Диссертационная  работа  посвящена  математическому  моделированию 
дискретных  систем  и  процессов,  дальнейшее  развитие  которых  существен-
ным  образом  зависит  от  состояния  системы  или  процесса  на  предыдущем 
этапе эволюционирования. Возможно, наиболее актуальные проблемы такого 
рода возникают в процессе моделирования агро-эколого-экономических сис-
тем,  когда  принятие  решений  на  очередном  этапе  землепользования  карди-
нальным  образом  отражается  на  последующих  состояниях  моделируемой 
системы. Можно считать общепризнанным тот факт, что экологический кри-
зис  конца  двадцатого  века  сделал,  как  никогда,  актуальными  вопросы  взаи-
моотношения  человека  с  окружающей  средой.  Динамическое  ухудшение 
экологической обстановки, истощение природных ресурсов оказывают самое 
негативное влияние на организацию сельского хозяйства. На пахотных поч-
вах  большинства  регионов  России  происходит  устойчивая  убыль  гумуса,  а 
также  катастрофически  растет  площадь  земель,  подверженных  эрозии [13].  
Одной  из  причин  этого  состояния  является  «исчерпанность»  развития  сло-
жившихся  современных  систем  земледелия.  Характерными  особенностями 
последних являются: 
-  распространение однообразия экологических систем; 
-  нарастание специализации, т.е. стремление к монокультуре; 
-  упрощение  севооборотов,  отчуждение  с  урожаем  одних  и  тех  же 
микроэлементов, т.е. истощение почвы в одностороннем порядке; 
-  увеличение засоренности посевов по причине узкой специализации; 
-  нарастание токсикологической нагрузки агросистемы. 
В свете этих обстоятельств возник социальный заказ на разработку ма-
тематических моделей агро-эколого-экономических задач землепользования, 
которые  базируются  на  адекватном  отражении  взаимоувязанного  эффекта, 
получаемого от агрохимических мероприятий с одной стороны и от ротации 

 
31
(плодосмена) культур на полях с другой стороны. Однако к настоящему вре-
мени  математическое  моделирование    такого  рода  систем  находится  еще  в 
зачаточном  состоянии,  хотя  уже  появилась  ясность  того,  что  наиболее  под-
ходящим математическим аппаратом для этой цели является инструментарий 
теории графов [21,43]. 
Вместе  с  тем  к  настоящему  времени  отсутствуют  достаточно  эффек-
тивные (т.е. имеющие полиномиальную трудоемкость) алгоритмы, практиче-
ски для всех задач на графах. Поэтому актуальным является разработка ма-
лотрудоемких  приближенных  алгоритмов,  которые  всегда  или  почти  всегда 
гарантируют нахождение приемлемых решений. Среди таких приближенных 
методов особый интерес представляют так называемые статистически эффек-
тивные  и  асимптотически  точные  алгоритмы.  К  первым  относятся  алгорит-
мы, которые при определенных условиях почти всегда находят асимптотиче-
ски оптимальные решения. 
Авторская концепция 2- уровневого моделирования задач землепользо-
вания  состоит  в  том,  что  возникающие  экономико-математические  задачи 
должны базироваться на прогнозных данных [73,43], получаемых на нижнем 
уровне  моделирования.  При  этом  целью  работы  является  не  только  получе-
ние возможно более точного прогноза ожидаемой урожайности, но и обеспе-
чение возможно более адекватного отражения хаотической природы модели-
руемого процесса [64].  
Предлагаемая автором прогнозная модель ориентирована на задачу на-
значения выращиваемых в конкретном хозяйстве культур на конкретные по-
ля. При определении такого назначения преследуется цель – снижение агро-
экономического  риска  за  счет  возможно  более  точного  прогноза  урожайно-
стей  следующего года [83]. Основную суть  комплекса  мероприятий по сни-
жению  агро-экономического  риска [50], обусловленного  погодно-
климатическими колебаниями представляют мероприятия определяющие со-
бой следующие задачи верхнего уровня: 
- варьирование различных культур и их сортов с учетом ожидаемых в 

 
32
следующем  году  климатических  условий,  имея  в  виду  использование  в  не-
благоприятном году наиболее устойчивых, неприхотливых сортов;  
-  использование  так  называемой  асинхронности  урожаев  различных 
культур,   имея в виду возможность расширять посевы культуры, для которой 
прогноз благоприятный, за счет уменьшения площади посева культуры с не-
благоприятным прогнозом урожая;  
- планирование форвардных и фьючерсных операций межрегионально-
го  сотрудничества,  заключение  торговых  соглашений  с  учетом  прогноза 
урожайности и ожидаемой конъюнктуры рынка. 
Перечень этих мероприятий по существу определяет собой ситуацион-
ный  базис  для  управления  агро-экономическим  риском.  Вместе  с  тем  оче-
видным является то, что это управление базируется в первую очередь на ре-
зультатах  прогнозной  модели.  Создание  такой  модели  является  актуальной 
задачей, так как все известные классические методы прогнозирования [73,85] 
оказываются несостоятельными применительно к прогнозированию сельско-
хозяйственных культур в зоне рискового земледелия [83]. Построение адек-
ватной прогнозной модели является основной задачей, которая рассматрива-
ется в настоящей диссертации при моделировании на нижнем уровне. 
 
1.3. Необходимость многокритериального подхода 
 
 
На  современном  этапе  развития  информационных  технологий  элемен-
ты классической теории выбора и принятия решений в той или иной степени 
реализованы  в  так  называемых  корпоративных  информационных  системах 
предприятий. Функции и назначения этих систем реализуют процесс приня-
тия  решений в самом широком смысле, включая такие операции, как плани-
рование,  регулирование,  координацию,  прогнозирование,  корректирование, 
выработка  целей  и  принятие  управленческих  решений  статистика,  анализ  и 
учет.  Меньше  всего  в  этих  системах  представлено  собственно  математиче-
ское моделирование и выбор наиболее целесообразного решения в условиях 

 
33
многокритериальности [65]. В настоящем параграфе предпринята попытка, в 
основном, изложить концепцию многокритериального подхода.  
В  качестве  иллюстративного  примера  из  области  землепользования 
можно  говорить  о  таких  трех  макро-характеристиках  землепользования  па-
хотными  угодьями,  как  состояние  плодородие  почвы,  экологическая  оценка 
почвы  и  продукции,  и  экономическая  эффективность  различных  вариантов 
землепользования.  Нетрудно  видеть,  что  каждую  из  этих  макро-
характеристик  невозможно  адекватно  оценить  каким-либо  одним  показате-
лем  или  критерием  качества.  Например,  плодородие  почвы  характеризуется 
такими показателями, как процентное содержание гумуса, удельное количе-
ство азота, фосфора, калия и других химических элементов, влажность, ком-
коватость,  кислотность  и  еще  ряд  других.  Из  сказанного  следует  однознач-
ный  вывод  о  том,  что  сколько-нибудь  адекватное  агро-эколого-экономико-
математическая модель должна строиться на базе многокритериального под-
хода. 
 
Примечание 1.1. Проблема принятия решений не возникает, например, 
для задач математического программирования, когда на множестве допусти-
мых  решений  = { }
  определена  единственная  целевая  функция,  т.е.  крите-
рий эффективности и все параметры или исходные данные задачи однознач-
но определены. В этом случае всякий оптимум и представляет собой искомое 
решение лица, принимающего решение (ЛПР). 
 
Заметим,  что  в  процессе  оценивания  конкурирующих  альтернатив  ис-
следователь (аналитик, ЛПР) оказывается в ситуации конфликта (столкнове-
ния) социальных интересов, житейских обстоятельств, эмоций и т.д., то есть 
в  этот  процесс  привносятся  социально-психологические  факторы.  От  этих 
факторов, однако, излагаемые ниже математические методы абстрагируются, 
хотя  конечный  смысл  принятия  рационального  решения  и  состоит  в  замене 
конфликта компромиссом. 
 
Смысл еще одного замечания состоит в том, что универсальных мето-
дов принятия решения просто не существует. В рамках теории принятия ре-

 
34
шений [35] развиваются  различные  подходы  или  методы  человеко-
машинные, аксиоматические, компенсации и др. Мы рассматриваем наиболее 
приспособленные для практического использования «прямые методы». Суть 
их в том, что общая (абсолютная или относительная) полезность альтернати-
вы  оценивается  посредством  нескольких  функций  от  численных  значений 
показателей,  т.е.  критериев,  составляющих  векторную  целевую  функцию. 
Здесь термин «функция» может означать формулы, таблицы, инструкции или 
систему  правил,  с  помощью  которых  альтернативы  ранжируются  в  порядке 
убывания  их  полезности.  Такие  задачи  называются  многокритериальными 
или задачами векторной оптимизации.  
Представим  их  математическое  определение.  Через  = { }
  обозначим 
множество  допустимых  решений  (МДР),  например,  множество  всевозмож-
ных назначений культур на поля. На МДР   определена векторная целевая 
функция (ВЦФ). Для определенности считаем, что ВЦФ 
x) = ( F x F x , ...,
,  
(1.1) 
1 (
) 2 ( )
F
x
(
))
состоит из минимизируемых или максимизируемых критериев 
x) → extr ν =
ν

1, ,  extr ∈{min,
}
max . 
(1.2) 
Критерии (1.2) отражают оценки различных качеств объекта или процесса, по 
поводу которых принимается решение. Критерии должны быть: 
 1. 
Однородными по виду экстремума (либо все критерии минимизиру-
ются, либо максимизируются); 
 2. 
Соизмеримыми – иметь одну и ту же единицу измерения. 
 
Если критерии не удовлетворяют условиям 1 и 2, то осуществляется их 
нормирование.  В  результате  нормирования  получим  «однонаправленность» 
критериев (выполнения условия 1) и соизмеримость, т.е. все критерии приво-
дятся к безразмерному виду, каковы бы ни были единицы измерения значе-
ний  ν
 (в рублях, процентах, в тысячах штук, в килограммах), что и является 
выполнением условия 2. 

 
35
 
Процесс решения классически сформулированной многокритериальной 
задачи можно представить в виде двух этапов. На первом этапе осуществля-
ется построение множества Парето. При определении множества Парето для 
задачи с ВЦФ (1.1)-(1.2) рассмотрим два определения: 
 
Определение 1.1.  Пусть    ВЦФ  в (1.1) состоит  только  из  минимзируе-
мых  критериев 
~
F
,  ν =
.  Элемент 
  называется  паретовским 
ν (x) → min
,
N
∈ X
оптимумом  (эффективной  точкой),  если  не  существует  такого  элемента 
x* ∈ , для которого выполняются неравенства 
F

 ν =

(1.3)
ν ( *
Fν (~x),
,
1 ,...,
2
N
среди которых хотя бы одно является строгим. 
 
Определение 1.2.  Совокупность  всех  паретовских  оптимумов  (эффек-
тивных точек)  ~∈  называют паретовским множеством (ПМ) и обозначают 
через  ~

 
Следовательно, можно сказать, что ПМ – это множество эффективных 
(недоминируемых) точек. Нахождение таких точек, для которых нет домини-
рующих альтернатив, является первым этапом решения многокритериальной 
задачи (1)-(2). Второй этап решения многокритериальной задачи заключается 
в  выборе  наиболее  приемлемой  для  поставленной  цели  эффективной  точки 
[18] из полученного ПМ  ~
. Как правило, это осуществляется лицом, прини-
мающим решение. 
 
Примечание 1.2.  Если  векторная  целевая  функция (1.1)-(1.2) состоит 
из  максимизирующих  критериев  F
,  ν =
,  то  определение 1.1. 
ν (x) → max
,
N
полностью  остается  в  силе,  за  исключением  одного:  знак  ≤   в  неравенствах 
(1.3) меняется на противоположный знак  ≥  в каждом из неравенств. 
 
Примечание 1.3. Практически  все  известные  теории  принятия  реше-
ний  явно  или  неявно  используют  две  аксиомы: 1) как  аксиому  используем 
принцип  Парето,  означающий,  что  при  решении  всякой  конкретной  задачи 
достаточно  ограничиться  выбором  из  ПМ  ~
;  иными  словами,  никакой  эле-
мент 
~
∈ ()  не  может  претендовать  на  роль  наилучшего  выбора; 2) если 

 
36
пара  элементов 
~
,
′ x′ ∈   эквивалентна  по  значению  ВЦФ (1.1), т.е. 
(x′) = (′), то полезность  x′  и  ′  также одинакова. Последнее означает, что 
полезность наилучшего выбора из ПМ  ~
  равна  полезности  наилучшего  вы-
бора из множеств  ~
~
\ {}
′  или  \ {}′. 
 
Из  примечания 1.3. вытекает,  что  для  исчерпывающего  решения  кон-
кретной  задачи  достаточно  получить  и  рассмотреть  ее  полное  множество 
альтернатив (ПМА), которое обычно обозначается  0
0
~
,  ⊆ 
 
Построение ПМА сводится к следующему. Сначала ПМ  ~
 разбивается 
на подмножества элементов, эквивалентных по значению ВЦФ (1.1). Затем из 
каждого такого подмножества выберем по одному представителю, объединяя 
которых  и  образует  ПМА.  Определяется  ПМА  неоднозначно,  если  ПМ  со-
держит хотя бы одну пару эквивалентных элементов. 
 
Фактически  процесс  решения  конкретной  многокритериальной  задачи 
подразумевает  реализацию  двух  этапов.  На  первом  этапе,  используя  подхо-
дящие  алгоритмы  математического  программирования,  исследователь  нахо-
дит ПМА  0
 или, в худшем случае, выделяет из МДР   множество альтер-
натив (МА)  * ⊆ , состоящее из векторно несравнимых, т.е. взаимнонедо-
минируемых допустимых решений. На втором этапе ЛПР определяет в пред-
ставленном  МА  наиболее  целесообразное  значение.  В  этом  случае  принято 
говорить, что ЛПР решает проблему выбора и принятия решений. Для реше-
ния  этой  проблемы  разработан  целый  ряд  подходов [35], среди  которых  за-
служивает  внимания  так  называемое  обобщенное  решающее  правило,  пред-
ставленное в [50]. 
Примечание 1.4.  Многокритериальный  подход  представляет  принци-
пиальную  возможность  разработки  конструктивных  методов  решения  экс-
тремальных задач в условиях неопределенности, когда числовые данные за-
дачи, например веса ребер рассматриваемого графа, являются интервальны-
ми [1,27,14] или нечеткими [44,2,24]. 
 

 
37
Выводы 
 
В  области  дискретных  математических  моделей  и  методов  выделен 
класс  задач,  отражающих  специфику  слабоформализованных  процессов  и 
систем,  эволюционирование  которых  представляется  такими  временными 
рядами,  которым  присуща  долговременная  память  и  признаки  хаотического 
поведения. 
Для  обеспечения  адекватного  моделирования  таких  задач,  автором 
предлагается 2-уровневый  подход  к  построению  соответствующих    матема-
тических  моделей.  Математическая  модель  верхнего  уровня – это  модель 
теории  оптимизации,  на  базе  которой  строится  и  обосновывается  наиболее 
целесообразное  управление  рассматриваемой  системой  или  процессом.  На 
нижнем уровне осуществляется моделирование исходных данных для модели 
верхнего  уровня.  В  свою  очередь  исходными  данными  для  нижнего  уровня 
служат временные ряды, отражающие эволюцию основных показателей рас-
сматриваемых эволюционных процессов и систем. 
В  качестве  конкретного  объекта  исследования,  автором  выбрана  про-
блематика  землепользования  в  рамках  отрасли  растениеводства.  С  учетом 
специфики  этого  объекта  автором  обосновывается  принципиальная  необхо-
димость  многокритериального  подхода  при  построении  соответствующих 
математических подходов. 
 
 

 
38
Глава 2. КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНАЯ ПРОГНОЗНАЯ МОДЕЛЬ  
                ДЛЯ НИЖНЕГО УРОВНЯ  

 
     2.1. Необходимость разработки новых методов прогнозирования 
 
Можно считать общепризнанным тот факт, что на рубеже  20-го и  21-
го столетий в мировой науке линейная парадигма сменилась на нелинейную. 
Краеугольным  камнем  первой  из  них  являлось  допущение  о  том,  что  в 
большей своей части показатели эволюционных экономических процессов и 
систем подчиняются нормальному закону. Проведенные учеными различных 
стран в нарастающем количестве экономико-математические исследования с 
очевидностью говорят о том, что показатели большинства природных и эко-
номических  систем  не  подчиняются    нормальному  закону  или  другим  из-
вестным законам распределениям.  Но если экономические показатели не яв-
ляются нормально распределенными, то тогда множество методов статисти-
ческого анализа, в частности, такие способы диагностики, как коэффициенты 
корреляции, t-статистики и др., серьезно подрывают к себе доверие, посколь-
ку могут давать ошибочные результаты. Иными словами, концепция подчи-
нения нормальному закону не отражает действительности, что явилось при-
чиной смены парадигм [64]. 
Переход  на нелинейную парадигму потребовал новых инструменталь-
ных  и  математических  методов,  в  частности,  методов  детерминированного 
хаоса [82,88,69,34,66,38]. Одним  из  эффективных  инструментов  теории  де-
терминированного  хаоса  является  фрактальный  анализ.  Фрактальные  вре-
менные ряды имеют статистическое самоподобие во времени и характеризу-
ются тем, что их вероятностные распределения не подчиняются нормальному 
закону.  Фрактальный  временной  ряд  имеет  дробную  фрактальную  размер-
ность [64]. Метод фрактального анализа базируется на алгоритме R/S – ана-
лиза временных рядов. 
История создания методологии R/S – анализа восходит к середине XX 
–  века,  когда  гидролог  Херст,  проработав  почти 40 лет  над  проектом  Ниль-

 
39
ской плотины, завершал обработку временных рядов объемов стока рек. Ко-
гда Херст решил проверить предположение о том, что эти ряды подчиняются 
нормальному закону, он в результате дал нам новую статистику – показатель 
Херста (H). Как оказалось, этот показатель имеет широкое применение в ана-
лизе  временных  рядов  благодаря  своей  замечательной  устойчивости.  Херст 
обнаружил,  что  большинство  природных  систем  не  следуют  случайному 
блужданию – гауссовскому,  т.е.  поведение  временных  рядов,  показателей 
этих систем, не подчиняется нормальному закону. Этот факт означает непри-
годность  инструментария  эконометрики  для  статистического  анализа  при-
родных временных рядов. При этом заметим, что достаточно часто парамет-
ры  и  коэффициенты  математических  моделей  реальных  задач  получаются  с 
помощью инструментария эконометрики. 
Обзор и краткий анализ существующих к настоящему времени подхо-
дов и методов прогнозирования можно найти в учебных пособиях [7,73,85]. 
Важно отметить, что известные методы прогнозирования базируются либо на 
корреляционно-регрессионных моделях, либо на трендах, для представления 
которых выбирается наиболее подходящие экстраполяционные зависимости. 
Принципиальная особенность классических методов прогнозирования состо-
ит  в  том,  что  они  требуют  подчинения  нормальному  закону  поведения  рас-
сматриваемых  временных  рядов.  В  реальности  ВР  многих  эволюционных 
процессов,  в  особенности  тех,  которые  обладают  долговременной  памятью, 
весьма  «далеки»  от  нормального  распределения,  т.к.  им  присущи  циклич-
ность, частая смена трендов, сопровождаемая потерей персистентности. Ус-
ловие  подчинения  нормальному  закону  востребовано  классическими  мето-
дами  прогнозирования  для  того,  чтобы  обеспечить  точность  прогноза  при 
использовании ими операции скользящего усреднения элементов ВР. Но та-
кого рода усреднение неизбежно приводит к (полной или частичной) потере 
памяти [64,73] рассматриваемого ВР и, следовательно, к ухудшению надеж-
ности прогнозирования ВР с долговременной памятью
 

 
40
2.2. Алгоритм R/S – анализа   
 
Приведем описание алгоритма R/S – анализа в том виде, как он реали-
зуется  в  современных  методах  фрактального  анализа [64]. Обозначим  через 
 данный временной ряд (ВР)  
:  = ,
1 ,...,
2
,
 
(2.1) 
i
в  котором  последовательно  выделяем  его  начальные  отрезки  =

τ
,..., z
1
2
τ
τ
τ
= ,
3 ,...,
4
, для каждого из которых вычисляем текущее среднее 
1
zτ = ∑ 
τ
i
i=1
Далее,  для  каждого  τ = ,
3 ,...,
4
  вычисляем  накопленное  отклонение  для  от-
t
резка  ВР  длины  :  =
z
,  = τ
,
1 .  После  чего  вычисляем  разность 
,t
∑( −
i
τ
τ
)
i=1
между  максимальным  и  минимальным  накопленными  отклонениями 
R(τ ) = max(X
− min X
τ
,  которую  принято  называть  термином  «раз-
t, )
( τ t, )
1≤τ

1≤τ

мах R». Этот размах нормируется, т.е. представляется в виде дроби  R S , где 
S(τ )- стандартное отклонение для отрезка ВР  , 3 ≤ τ ≤ n
τ
Показатель  Херста  (τ ),  характеризующий  фрактальную  размер-
ность рассматриваемого ВР, и соответствующий ему цвет шума, получаем из 
соотношения  R S = ( ⋅τ )H
a
,  (τ ) [64]. Логарифмируя обе части этого ра-
венства и полагая  = 1 2  [5,4], получаем значения ординат  - траектории:  
(τ ) log(R(τ ) S(τ )
=
 ,        τ = ,
3 ,...,
4
 
(2.2) 
log(τ 2)
Требуемая для фрактального анализа ряда (2.1)   R S - траектория пред-
ставляется  в  декартовых  логарифмических  координатах  последовательно-
стью точек, абсциссы которых  = log
=
τ
log(τ τ )
τ
(τ 2), а ординаты 
( ) ( . 
Соединяя отрезком соседние точки  (x
τ = ,
3 ,...,
4

τ , yτ )  и  (x
,
τ
y

1, по-
1
+
τ 1
+ )
лучаем графическое представление  R S - траектории в логарифмических ко-
ординатах.  

 
41
На  рисунке 2.1. представлены R/S- траектория  и  Н-  траектория,  полу-
ченные в результате применения алгоритма R/S- анализа к временному ряду 
урожайности озимой пшеницы по Кабардино-Балкарской республике. 
 
1,4
 
R/S- траектория 
 
1,2
 
 
Н-траектория 
1
Тренд 
 
10 
0,8
 
 
0,6
 
 
0,4
 
Смена тренда 
 
0,2
 
0
 
1
4
7
10
13
16
19
22  
25
28
31
34
37
40
43
 
Рисунок 2.1. R/S-  и  Н- траектории временного ряда озимой пшеницы по КБР 
 
 
2.3.  Содержательная  и  качественная  интерпретация  результатов       

работы алгоритма R/S- анализа 
 
Основными  фундаментальными  свойствами  ВР,  выявляемых  с  помо-
щью алгоритма R/S- анализа, являются: 
1)  значение показателя Херста и соответствующий ему цвет шума; 
2)  оценка  меры  устойчивости  ВР  лингвистическими  термами:  перси-
стентность, хаотичность, антиперсистентность; 
3)  наличие долговременной памяти и оценка ее глубины, наличие ква-
зициклов, являющихся обобщением понятия «цикл» [64]. 
Одной  из  таких  фрактальных  характеристик  ВР  является  цвет  шума, 
который соответствует ряду на том или другом его отрезке.  

 
42
 
 
   Н- показатель Херста  
 
 
 
 
 
 
1    
  
  
  
 
0,9 
 
Черный шум 
 
 
0,8 
 
 
 
 
 
0,7 
 
 
 
 
 
0,6 
 
 
 
 
 
0,5 
 
Белый шум 
 
0,4 
 
 
 
 
 
0,3 
 
Розовый шум 
 
 
0,2 
 
 
 
 
 
0,1 
 
 
 
 
 
 
 
Коричневый шум 
 
 
 
 
 
Количество наблюдений 
 
Рисунок 2.2. Соответствие значений  Н (показателя Херста) цвету шума 
 
Вкратце  охарактеризуем  методологию  выявления  «цвета  шума»  при-
менительно к временным рядам урожайностей с учетом того, что показатель 
Херста имеет следующую известную содержательную и качественную трак-
товку [64,82,88]. 
Значения  ≥ 2 3  определяют  собой  черный  цвет  шума.  Чем  больше 
значение  ∈[2 3 ]
1
, ,  тем  большая  трендоустойчивость  присуща  соответст-
вующему отрезку ВР.  
Значения    в  окрестности  ~ 5
,
0 ± 1
,
0   определяют  собой  в  смысле  не-
четкого  множества [44] область  белого  шума,  который  соответствует  «мак-
симальной хаотичности» и, следовательно, наименьшей прогнозируемости.  
Значения    в  окрестности  ~ 3
,
0 ± 1
,
0   определяют  собой  область  розо-
вого шума. Розовый шум говорит о присущей рассматриваемому отрезку ВР 
свойства  антиперсистентности [64], которое  означает,  что  ВР  реверсирует  
чаще, чем ряд случайный (частый возврат к среднему [64]).  
Значения    в  окрестности  меньше 0,1 определяют  собой  область  ко-
ричневого шума, который соответствует максимальной фрактальной размер-
ности ВР и полной неопределенности в отношении прогнозируемости. 
 Рассматриваемым в настоящей работе рядам, за редким исключением, 
присущи черный и белый шумы, а также, нестрого говоря, «серый шум», со-
ответствующий  области  нечеткого  разграничения  между  областями  черного 
и белого шумов. 

 
43
Для  оценки  меры  устойчивости  ВР  используются  такие  понятия,  как 
персистентность, хаотичность и антиперсистентность. Как было установлено 
Херстом [64], большинство природных систем не следует случайному блуж-
данию,  т.е.  временной  ряд  такой  системы  не  представляет  собой  в  «чистом 
виде» случайную величину, вероятность распределения которой подчиняется 
нормальному, равномерному или еще какому-либо известному закону.  Такие 
ряды  обладают  такой  характеристикой,  как  долговременная  память [64,73]. 
Влияние  настоящего  на  будущее  в  таких  системах  может  быть  выражено 
корреляционным соотношением: 
= 221
− −1, 
   (2.3) 
где   – мера корреляции между ранними событиями (наблюдениями) и сле-
дующими за ними событиями,   – показатель Херста. 
Имеются  три  различные  области  значений  для  показателя  Херста,  со-
ответствующие основным цветам шума:   = 1/ 2 ,  1/ 2 < < 1 ,  0 < <1/ 2 . По 
всей видимости трактовку этих областей целесообразно излагать с привлече-
нием понятий теории нечетких множеств [2,44,64]. 
1. Если в выражении (2.3) значение  = 1/ 2 , это означает, что анализи-
руемый  ВР  отражает  случайное  блуждание  и  является  хаотичным,  т.е.  мы 
имеем дело с известным понятием «белый шум». 
2. Если показатель Херста возрастает в интервале 1/ 2 < < 1 , то анали-
зируемый ВР приобретает (в смысле возрастания значений функции принад-
лежности [2,44]) свойство  персистентности  (трендоустойчивости)  по  мере 
«ухода» Н- траектории в область черного шума.  
3. Если же показатель Херста  в (2.3) убывает в интервале  0 < <1/ 2 , то 
исследуемый временной ряд приобретает по нарастающей свойство антипер-
систентности.  Последнее  означает,  что  такой  ряд  волатилен,  т.е.  более  из-
менчив,  чем  ряд  случайный.  Здесь  речь  идет  об  уходе  Н-  траектории  в  об-
ласть розового шума. 
Таким  образом,  познавательная  сила  фрактального  анализа  состоит  в 
том,  что  с  его  помощью  в  процессе  моделирования  на  нижнем  уровне  (см. 

 
44
главу 1) можно  упорядочивать  и  классифицировать  исследуемые  процессы 
по свойствам трендоустойчивости, хаотичности и волатильности. 
Далее перейдем к следующей фрактальной характеристике ВР – нали-
чие  долговременной  памяти.  Наличие  такой  памяти  в  рядах  означает,  что  в 
них заключена информация об определенных закономерностях, влияющих на 
дальнейшее поведение ВР.  О наличии долговременной памяти в рассматри-
ваемом  ВР (2.1) не  представляется  возможным  дать  положительное  или  от-
рицательное  заключение,  если  его  Н-траектория  не  находится  сколь-нибудь 
продолжительное  время  в  области  черного  шума,  а  поведение  R/S-  траекто-
рии носит хаотический характер, начиная с ее начальных точек. Основанием 
для утверждения о том, что ВР (2.1) обладает долговременной памятью, яв-
ляется выполнение следующих условий [64]: 
-  его Н-траектория через несколько своих начальных точек оказывается 
в области черного шума, а для R/S-траектории указанные точки вхож-
дения в черный шум демонстрируют собой наличие тренда; 
-  глубину  этой  памяти  определяет  такой  номер  τ = ,  для  которого  вы-
полняется следующее условие: в точке   Н - траектория получает отри-
цательное  приращение,  а  R/S-траектория  в  этой  точке  демонстрирует 
так называемый «срыв с тренда», т.е. резкое изменение тренда. 
Примечание 2.1. Факт  наличия  долговременной  памяти  в  рассматри-
ваемом ВР (2.1) можно обосновать также с помощью процедуры перемеши-
вания [64] элементов этого ВР. Если в данном ВР случайным образом пере-
тасовать его элементы и полученный ряд представить на вход алгоритма R/S-
анализа,  то  на  выходе  этого  алгоритма  максимальное  значение  показателя 
Херста и Н - траектории окажется явно меньше по сравнению со значениями 
Н  для исходного ВР в случае, если этот ВР обладает долговременной памя-
тью.  
 

 
45
2.4.  Фрактальный  анализ  временного  ряда  урожайности  озимой 
пшеницы  по  Кабардино-Балкарской  республике  за  период  с 
1952 по 2002 гг. 
 
В  настоящей  работе  осуществлен  массовый  фрактальный  анализ,  т.е. 
построены H- и R/S- траектории для многочисленных временных рядов уро-
жайностей  сельскохозяйственных  культур:  озимая  пшеница,  зерновых  «все-
го»,  подсолнечник,  кукуруза  «на  зерно»,  картофель  и  овощи  по  Кабардино-
Балкарской республике (Приложение 1). На основании полученных результа-
тов  можно  утверждать,  что  рассматриваемые  ВР  состоят  из  квазициклов  (в 
переводе с греческого «квази»- это «как бы»). При этом указанные выше (см. 
п.п. 2.2, 2.3) точки смены тренда чаще всего представляют собой окончание 
этих квазициклов. 
В  качестве  иллюстративного  примера  использования  инструментария 
фрактального анализа ВР рассмотрим на рисунке 2.1  R S - траекторию и  Н -
траекторию для  отрезка   ВР (2.1), представляющего собой ВР урожайно-
7
сти озимой пшеницы по КБР. 
На основании визуализации представленных на рисунке 2.1 траекторий 
можно сформулировать следующее заключение: 
-  для первых 7 точек (τ = 7
,
1 ) Н-траектория отрезка   находится в зоне 
10
белого шума, из которого она уходит в область черного шума  (значе-
ние (τ ) = 8
,
0  для  τ = 10 ), что говорит о наличии долговременной памя-
ти в отрезке  рассматриваемого ВР; 
10
-  смена тренда R/S-траектории в точке τ = 10, сопровождаемая уходом Н-
траектории в зону белого шума, позволяет оценить глубину долговре-
менной памяти числом 10. 
Важнейший  вывод,  вытекающий  из  установленного  факта  наличия 
долговременной  памяти  во  временных  рядах  урожайностей,  состоит  в  том, 
что появляются основания для разработки системы кратко- и  среднесрочно-

 
46
го прогноза этих урожайностей. Предложенные в настоящей работе инстру-
ментальные методы для этой системы базируются на  математическом  аппа-
рате теории клеточных автоматов и теории нечетких множеств. 
Объем памяти используемого клеточного автомата и, в конечном счете, 
трудоемкость  вычислительной  схемы  прогнозирования  существенным  обра-
зом  зависят  от  глубины  памяти  прогнозируемых  ВР.  Поэтому  в  настоящей 
работе  с  достаточной  полнотой  реализованы  численные  расчеты  с  целью 
обосновать верхнюю оценку глубины памяти рассматриваемых ВР.  
В настоящем исследовании разработан алгоритм α , который определя-
1
ет  наличие    такой  памяти  и  оценивает  ее  глубину  численно,  представляя  в 
виде  нечеткого множества.  
Алгоритм состоит из 3-х этапов.  Приведем его описание по этапам. 
Этап 1.  Формирование  на  базе  временного  ряда (2.1) семейства 
S() = {z r = ,
1 ,...,
2
= ,
1 ,...,
2
состоящего  из    временных рядов, где ин-
i
r
}
m
дексом        занумерованы  элементы    -го  ряда,  получаемого  из  (− )
1 -го  ВР 
путем  удаления  первого  его  элемента  1−
z
.  Здесь      определяется  как  наи-
1
большее значение индекса   такое, что ряд   m
,  = ,
1 ,...,
2
  еще  имеет  точку 
i
m
смены  тренда  в  его  -  траектории.  Исходный  ВР (2.1) также  принадле-
жит семейству  S(), в котором ему присвоено значение индекса  = 1. 
Этап 2 осуществляет  - анализ временных рядов из семейства  S(
и формирует нечеткое множество значений глубины памяти для начального 
ряда (2.1). 
Пусть для каждого из временных рядов   r
,  = ,
  из  S()  в результате 
i
r
его  - анализа построены   - траектория и   - траектория,  опреде-
ляющие собой номер в  - траектории  - той точки, в которой произошла 
r
смена тренда, т.е.  - это номер первой по порядку точки, в которой  Н- тра-
r
ектория  получила  отрицательное  приращение,  а  -  траектория  сменила 
тренд.   

 
47
Введем  следующие  обозначения:  N(l) –  количество  всех  рядов 
r
= ,
 из семейства  S() , у каждого из которых номер точки смены трен-
i
r
0
L
да    равен числу  ,  l0 = min   L0 = max;  = ∑ N(l)  – число рядов семейства 
r
r

r
rm

rm
l=4
N l
( )
S() ;  d l
( ) =
– доля таких рядов в  S(Z) , у каждого из которых потеря па-
m
мяти  произошла  на  глубине  ;  L(Z) = {l}–  множество  значений  номеров 
элементов  смены  тренда  в  рядах  из  семейства  S(Z); (Z) = {(l, µ(l) }– 
нечеткое множество (НМ) глубины памяти для начального ВР (2.1) 
 
Таблица 2.1 
Глубина   
4 5 6 7 8 9 10 11 
Количество  (l)  
13 11 6 6 3 4 1 2 
Доля  d(l)  
0,28 0,24 0,13 0,13 0,07 0,09 0,02 0,04 
Значения функции 
 
 
 
 
 
 
 
 
принадлежности   µ(l)  
0,90 
0,77 
0,42 
0,42 
0,22 
0,29 
0,06 
0,13 
 
Значения  µ   функции  принадлежности  нечеткому  множеству  (Z)  
l
пропорциональны  числам  d(l) ,  ∈ L()  и  получаются  путем  нормирования 
значений  долей    d(l)   так,  что  µ(l) < 1  для  всякого  ∈ L(S) .  Результат  работы 
этапа 2 для ВР (2.1) урожайности озимой пшеницы по Кабардино-Балкарской 
республике представлен в таб.2.1. Значения элементов   µ(l)  последней стро-
ки  в  таблице 2.1. вычисляются  следующим  образом.  Сначала  находим  мак-
симальную долю  * = max d(l) ( в таблице 2.1 значение  *
= ,
0 28 ) и соответст-
lL()
вующую  ей  глубину  *
  ( *
(l)
*
,  в  таблице 2.1 значение  *
= 4 ).  Далее  для 
этой глубины   *
 экспертным путем устанавливается значение функции при-
надлежности  *
µ = µ( *) ( в  таблице 2.1 значение  *
µ = µ(4) = 90
,
0
).  После  чего 
для  остальных  элементов  ∈ L()  соответствующие  им  значения  функции 
*
µ
принадлежности  µ(l)  вычисляются  по  формуле  µ(l) =
⋅ d(l).  Формирование 
*
НМ  () осуществляется путем попарного объединения элементов первой и 

 
48
последней 
строк 
таблицы 2.1, а 
именно 
получаем 
НМ  
() = (
{
90
,
0
;
4
),( ,0
;
5 77), (
,
0
;
6 42), (
,
0
;
7 42), ( ,
0
;
8 22), (
,
0
;
9 29), (
,
0
;
10 06), (
)
13
,
0
;
11
}. 
Выводы, вытекающие из результатов выполненных расчетов, состоят в 
следующем. 
1.  Глубина  памяти  конкретного  ВР  не  является  фиксированным  числом;  ее 
величина меняется вдоль рассматриваемого ВР, т.е. для различных его от-
резков она является различной, например,  как  видно из таблицы 2.1, для 
ВР урожайности озимой пшеницы (КБР) численное значение глубины па-
мяти колеблется в отрезке натурального ряда  4,5,...,11. 
2.  Для  численного  представления  глубины  памяти  рассматриваемого  ВР   
наиболее  целесообразным  является  математический  аппарат  теории  не-
четких  множеств,  т.е.  оцениваемая  глубина  представляет  собой  нечеткое 
множество  ()= (
{l, µ(l) },  ∈{ 0 0
0
+ ,...,
1
},  где   – численное  значение 
встречающейся глубины памяти,  µ(l)– значение функции принадлежности 
для этой глубины. 
Представленный  в  диссертации  метод  вычисления  глубины  долговре-
менной  памяти  временных  рядов  применен  к  ВР  урожайности  основных 
культур по Кабардино-Балкарской республике. Полученная для ВР   озимой 
пшеницы оценка глубины его памяти представляется в виде следующего не-
четкого множества  
() = (
{
)
90
,
0
;
4
,(
77
,
0
;
5
),( ,0
;
6
)
42 ,( ,
0
;
7
)
42 ,( ,
0
;
8
)
22 ,( ,
0
;
9
)
29 ,(
)
06
,
0
;
10
,(
)
13
,
0
;
11
}.  (2.4) 
Обнаружение долговременной памяти в рядах урожайности является не 
самоцелью,  а  должно  послужить  объективным  обоснованием  принципиаль-
ной возможности построения прогнозной модели, в процессе работы которой 
учитываются    все  существенные  факторы,  которыми  обусловлено  наличие 
этой памяти. В контексте проблемы прогнозирования уместно отметить уже 
сложившееся,  т.е.  ставшее  классическим  основное  положение  декомпозици-
онного анализа [85] временных рядов. Согласно этому положению  в общем 
случае ВР может быть поделен на 4 составляющие части: а) тренд, б) цикли-
ческая  компонента,  в)  сезонное  колебание,  г)  нерегулярная  или  остаточная 

 
49
компонента. При этом циклическая компонента, если она существует, может 
нести весьма существенную информацию для составления прогноза. В арсе-
нале современных методов прогнозирования ВР возрастающее значение при-
обретает такой подход, как визуализация их фазовых портретов, получаемых 
в интерактивном режиме использования ПЭВМ.  
 
2.5.  Инструментарий  фазовых  портретов  для  выявления  циклов   
временного ряда и подтверждения прогноза 
 
При  исследовании  ВР  урожайности  достаточно  информативным  и  це-
лесообразным  является  построение  фазовых  портретов  ВР (2.1) в  фазовом 
пространстве  F(Z)  [64, 12] размерности 2:  F(Z) = (
z
,  = ,
1 ...
−1. Такого 
i
1
+ )}
вида  фазовая траектория ВР урожайности озимой пшеницы по КБР (см. таб-
лица 2.2) представлена на рис.2.3.  
 
Исходные данные для точек абсциссы и ординаты на базе статистических данных 
урожайности озимой пшеницы по КБР с 1952 по 2002 гг. 
      
     Таблица 2.2. 
Годы 
zi 
zi+1 
Годы 
zi 
zi+1 
Годы 
zi 
zi+1 
1952 13,1 
7,5 
1969 20,5 
27,1 
1986 33,9 
26,8 
1953  7,5 8,3 
1970 27,1 
29,1 
1987 26,8 
32,8 
1954  8,3 7 
1971 29,1 
21,9 
1988 32,8 
36,2 
1955  7  13 
1972 21,9 
29,3 
1989 36,2 
44,3 
1956 
13 
13,9  1973 
29,3 
18,3 1990 
44,3  36,4 
1957 
13,9 15,7 
1974  18,3 21,9 
1991  36,4 28,7 
1958 15,7 
14,1 
1975 21,9 
30,9 
1992 28,7 
26,4 
1959 14,1 
18,8 
1976 30,9 
26,7 
1993 26,4 
30,3 
1960 18,8 
12,7 
1977 26,7 
26,9 
1994 30,3 
33,4 
1961 12,7 22 
1978 26,9 
30,1 
1995 33,4 
28,1 
1962 22 
18,1 1979 
30,1  29,1 1996 
28,1  25,5 
1963 18,1 
13,9 
1980 29,1 
27,5 
1997 25,5 
18,9 
1964 13,9 
15,4 
1981 27,5 
22,5 
1998 18,9 
28,4 
1965 
15,4 18,6 
1982  22,5 27,1 
1999  28,4 25,5 
1966 18,6 
24,4 
1983 27,1 
24,2 
2000 25,5 
31,2 
1967 24,4 
25,1 
1984 24,2 
21,1 
2001 31,2 
32,8 
1968 25,1 
20,5 
1985 21,1 
33,9 
2002 32,8  
 

 
50
Фазовый  портрет  этого  временного  ряда  в  двумерном  фазовом  про-
странстве представлен на рис.2.3. 
50
z i+1
45
40
35
30
25
20
15
10
z i
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
 
Рисунок 2.3. Фазовый портрет временного ряда урожайности озимой пшеницы  
                       по Кабардино-Балкарии за период с 1952 по 2002 гг. 
 
Примечание 2.2. Следуя Петерсу [64], Пакарду [89] и многим другим 
исследователям (см. литературные источники в [64]) для ВР   (2.1) в качест-
ве его фазового пространства используем простейший вариант вида  
Ф
=
− ρ + . 
(2.5) 
ρ () = {z
,..., z
,
1 ,...,
2
1
i
1
+
i+ ρ 1
− }
Как  известно,  при  построении  фазового  пространства (2.5) для  кон-
кретного временного ряда принципиально важным вопросом является вопрос 
о его размерности  ρ . Эта размерность должна быть не меньше, чем размер-
ность аттрактора наблюдаемого ряда. В свою очередь, как известно, в качест-
ве  размерности  аттрактора  с  достаточно  приемлемой  точностью  можно  ис-
пользовать  фрактальную  размерность  С   его  ряда.  Значение  этой  размерно-
сти, как отмечено в [64], вычисляется по формуле 
= 22Н
С
−1 
(2.6) 
Поскольку для анализируемых в настоящей работе значения   Н ∈( ,
0 )
1 , 
то из (2.5) получаем оценку  С < 2 . Таким образом, для целей нашего исследо-
вания  достаточно  использовать  фазовое  пространство (2.5) размерности 
ρ = 2 .   
Рассмотрим  этот  фазовый  портрет  в  виде  траектории,  т.е.  последова-
тельности точек, в которой каждая соседняя пара соединена звеном, т.е. от-
резком или кривой. В этой траектории выделяем также ее отрезки, которые 

 
51
называются  термином  «квазициклы».  Определение  квазицикла  в  определен-
ном смысле близко к определению цикла. Различие между этими двумя по-
нятиями состоит в том, что начальная и конечная точки квазицикла не обяза-
тельно должны совпадать. Конечная точка квазицикла определяется ее вхож-
дением в окрестность начальной точки. При этом допускается самопересече-
ние начального и конечного звеньев квазицикла, если это приведет к макси-
мальному сближению начальной и конечной точек. В реальности существу-
ют  такие  временные  ряды  эволюционных  процессов,  у  которых  фазовые 
портреты содержат такие пары несоседних по времени точек (наблюдений), у 
которых  координаты  в  фазовом  пространстве  фактически  совпадают.  Нали-
чие таких пар точек фактически разрушает циклическую структуру фазовых 
траекторий. 
Примечательная  и  весьма  важная  особенность  прогнозирования  рас-
сматриваемых  автором  ВР  озимой  пшеницы  состоит  в  том,  что  ее  фазовый 
портрет  состоит  из  последовательности  непересекающихся  квазициклов.  В 
целом траектория фазового портрета (рис.2.3) временного ряда урожайности 
озимой  пшеницы  состоит  из 10-ти    непересекающихся  квазициклов 
= ,
1 2...10 . На рис. 2.4-2.13 представлены все 10 квазициклов  ВР  
r
 
15
№1
1,6


13
1,2
11
5
0,8
9
5


R/S
7
0,4
Смена тренда
H
3
5
0
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
3
 
3
5
7
9
11
13
15
 
 
Рисунок 2.4. Первый квазицикл исходного ВР   и его    и  -траектории 
1

 
52
25
№2
1,6
10 
1,2
20

0,8
10

15
0,4
R/S
10

H

Смена тренда
0
10
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
10
15
20
25
 
 
Рисунок 2.5. Второй квазицикл исходного ВР   и его    и  -траектории 
10
30
№3
16
1,2
Смена тренда
25
15
17
17
0,8
20
14 
17
11 
R/S
15
0,4
13 
H
12 
10
0
10
15
20
25
30
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
 
 
Рисунок 2.6. Третий квазицикл исходного ВР   и его    и  -траектории 
17
30
№4
21
19
1,2
21
1
0,8
18
25
0,6
21
0,4
0,2
R/S
Смена тренда
20
H
0
20
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
20
22
24
26
28
30  
 
Рисунок 2.7. Четвертый квазицикл исходного ВР   и его    и  -траектории 
21
 
1
25
Смена тренда
35
№5
0,8
24
30
25
0,6
25
0,4
25
20
23
0,2
R/S
22
H
15
0
15
20
25
30
35
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
 
Рисунок 2.8. Пятый квазицикл исходного ВР   и его    и  -траектории 
25

 
53
1
35
№6
30
0,8
27
30
28
0,6
R/S
30
26 
29 
0,4
H
25
Смена тренда
0,2
30
20
0
20
25
30
35
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
 
 
Рисунок 2.9. Шестой квазицикл исходного ВР   и его    и  -траектории  
30
R/S
40
№7
1
H
34
35
0,8
34
30
0,6
25
31
32
20
0,4
34
Смена тренда
15
33
0,2
10
0
10
15
20
25
30
35
40
1
4
7
10
13
16
19
 
 
Рисунок 2.10. Седьмой квазицикл исходного ВР   и его    и  -траектории 
34
1
R/S
50
№8
H
38
45
0,8
40
40
37
39
0,6
35
36
40
30
0,4
40
25
35
0,2
20
15
0
10
1
3
5
7
9
11
13
15
17
10
15
20
25
30
35
40
45
50
 
 
Рисунок 2.11 Восьмой квазицикл исходного ВР   и его    и  -траектории 
40
35
№9
0,8
45
43
0,7
0,6
30
42
0,5
44
R/S
41 
0,4
45
H
25
0,3
45 
Смена тренда
0,2
0,1
20
0
20
25
30
35
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
 
 
Рисунок 2.12. Девятый квазицикл исходного ВР   и его    и  -траектории 
45

 
54
35
№10
0,8
49
49 
30
0,6
47 
R/S
H
25
48
0,4
49
20
0,2
46 
Смена тренда
15
0
10
1
2
3
4
5
6
10
15
20
25
30
35
 
 
Рисунок 2.13. Десятый квазицикл исходного ВР   и его    и  -траектории 
49
 
Размерности    этих  квазициклов  представлены в таблице 2.3 
k
 
Квазициклы и их размерности результат фазового портрета 
для временного ряда урожайности озимой пшеницы по КБР 
Таблица 2.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 
5 5 7 4 4 5 4 6 5 4 
k
 
Обозначим  через    такой  отрезок  ВР  ,  который  получается  путем 
k
удаления  из    всех  точек  наблюдения,  относящихся  к  квазициклам  
,..., ; согласно этому определению  
1
2
1

1
 
На  рис.2.4-2.13  представлены  также    и  -траектории [64] этих 
временных  рядов  = 10
,
1
.  Здесь,  начальные  точки  ВР    соответствуют 
k
k
точкам квазицикла 
r
 
Из  визуализации  рисунков 2.4-2.13 вытекает  принципиально  важный 
факт: длина квазициклов практически совпадает с глубиной памяти соответ-
ствующих им отрезков ВР. Этот факт, за редким исключением, имеет место и 
для остальных квазициклов, составляющих фазовую траекторию ВР Z. 
 
Заметим, что указанный факт констатирует собой научную новизну ре-
зультатов моделирования данных на нижнем уровне. 
Сравним  глубину  памяти  рассматриваемого  ВР,  представленную  не-
четким множеством (2.4), с размерностями квазициклов, представленными во 

 
55
второй  строке  таб.2.3.  Из  этого  сравнения  вытекает,  что  наличие  долговре-
менной памяти в рассматриваемом ВР наряду с другими факторами обуслов-
лено также циклической компонентой  этого ВР. 
Примечание 2.3. Наряду с представленным выше (на рис.2.3) сущест-
вуют  другие  подходы  к  построению  фазовых  портретов  временных  рядов. 
Многие  исследователи  строят  фазовые  портреты  вида  «уровень  показателя 
ВР – его  первая  производная»,  т.е.  эти  портреты  строятся  в  фазовом  про-
странстве  ′(z) = (
, ∆ , где  z
∆ – приращение  -го элемента ВР (2.1). Тако-
i
)}
i
го вида фазовая траектория ВР урожайности озимой пшеницы по КБР, пред-
ставлена в Приложении 2 на рис. П2.1. Эта траектория состоит из 10 квази-
циклов C′, = ,
1 ,...
2 10 , представленных на рис.П2.2.  
r
В таблице П2.1. представлены исходные данные для построения фазо-
вого портрета  приращения временного ряда урожайности озимой пшеницы 
по КБР. Размерности  L′   этих квазициклов представлены в таб. П2.2. 
k
Нетрудно видеть, что фазовые портреты на рис.П2.1 и рис.П2.2 так же 
подтверждают  наличие  циклической  компоненты  в  рассматриваемом  ВР  и 
обусловленную этим долговременную память в рассматриваемом ЛВР. 
 
2.6. Математический инструментарий линейных клеточных  
                    автоматов   
        
          Еще  более  полувека  назад  американский  математик  Дж.Нейман  пола-
гал,  что  многие  сложные  явления,  такие  как  самовоспроизведение,  рост  и 
развитие,  морфогенез, которые трудно моделировать с помощью дифферен-
циальных уравнений, удастся описать с помощью клеточных автоматов [42]. 
К  настоящему  времени  уже  осознано,  что  теория  клеточных  автоматов  по 
существу  связывает  два  междисциплинарных  подхода – синергетику  и  ки-
бернетику. По своей сути клеточные автоматы реализуют собой алгоритми-
ческий  подход  к  математическому  моделированию  процессов  и  систем, 
имеющих дискретный характер. 

 
56
Для  исследования  системы  методами  клеточных  автоматов  к  настоя-
щему времени можно выделить два подхода: статистический и конструктив-
ный [34]. Реализация первого из них начинается с составления перечня всех 
возможных  конфигураций,  которые  могут  встречаться  при  неограниченном 
продолжении  рассматриваемого  временного  ряда.  На  базе  той  информации 
можно вводить определения известных понятий теории детерминированного 
хаоса,  аналоги  ляпуновских  показателей,  фрактальных  размерностей  и  т.д. 
Реализация  второго  подхода  начинается  с  конструирования  и  анализа  раз-
личных типов структур, возникающих в изучаемой системе или процессе, и 
выявления типа взаимодействия между структурами.  
В  настоящей  главе  предлагается  математическая  модель  и  метод  для 
прогнозирования  ожидаемой  в  наступающем  году  урожайности  сельскохо-
зяйственных культур, рассматриваемой в процессе решения задач землеполь-
зования [53]. Предлагаемая модель базируется на инструментарии линейных 
клеточных  автоматов [34,42]. Исходными  данными  для  этой  модели  служат 
элементы  временного  ряда  урожайностей.  Результатом  применения  предла-
гаемого  метода  к  указанному  ряду  является  значение  ожидаемой  в  насту-
пающем  году  урожайности,  представленной  в  виде  нечеткого  множества  
[2,44]. 
Целью моделирования на нижнем уровне является не только получение 
возможно более точного прогноза ожидаемой урожайности, но и обеспечение 
возможно более адекватного отражения хаотической природы моделируемо-
го процесса. Достижение этих целей становится исключительно актуальным 
в случае практического решения задач землепользования, относящихся к зо-
не рискового земледелия [11] 
Важно отметить, что существующие к настоящему времени подходы и 
методы прогнозирования базируются либо на корреляционно-регрессионных 
моделях, либо на трендах, для представления которых выбирается наиболее 
подходящие  экстраполяционные  зависимости.  Глубокий  анализ  временных 
рядов урожайности сельскохозяйственных культур показывает слабую адек-

 
57
ватность  этих  моделей  указанным  рядам.  Причиной  тому  является  скрытая 
квазипериодичность,  наличие  долговременной  памяти  и  дробной  фракталь-
ной  размерности [64], присущей  временным  рядам  урожайностей  базовых 
культур,  выращиваемых  в  зоне  рискового  земледелия [83]. Знание  этих  ха-
рактеристик  является  весьма  полезным  при  анализе  развития  региона,  как 
социально-экономической системы. В силу этого обстоятельства в настоящей 
главе  для  построения  прогнозной  модели  урожайности  предлагается  новый 
подход, который базируется на использовании клеточных автоматов и мате-
матического аппарата нечетких множеств. При этом оговоримся заранее, что 
предлагаемая математическая модель относится только к пассивным прогно-
зам [36], которые  опираются  лишь  на  возможное  продолжение  развития 
внутренних, собственных тенденций рассматриваемой системы.  
 
2.7. Прогнозная модель урожайности на базе клеточных автоматов 

и нечетких множеств (на примере анализа и прогнозирования 
урожайности озимой пшеницы по КБР на 2003 год) 

 
     2.7.1. Преобразование числового временного ряда в лингвисти-
ческий временной ряд 
 
В настоящей работе для целей иллюстрации, валидации и верификации 
предлагаемой модели рассматриваем временной ряд 
,  = ,
 
(2.7) 
i
урожайности озимой пшеницы для Кабардино-Балкарской республики (КБР) 
за период с 1952 по 2002 годы, которые перенумерованы индексом   = ,1 ,...,
2

где 51
= 2002 −1952 +1 =
;  – средняя урожайность (ц/га) озимой пшеницы 
i
в  - ом году. С целью визуализации этого ряда на рисунке 2.4 дано графиче-
ское представление этого ряда в виде гистограммы. 

 
58
50
ц/га 
40
30
20
10
0
Годы 
1952
1954
1956
1958
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
 
Рисунок 2.14.  Гистограмма временного ряда (2.7) урожайности озимой пшеницы 
                            по  Кабардино-Балкарии с 1952 по 2002 гг. 
 
Для максимального учета долговременной памяти, присущей рассмат-
риваемому  временному  ряду,  предлагается  использовать  интервальные  зна-
чения прогнозируемого показателя, для чего весь  спектр наблюдаемых уро-
жайностей  разделен  на  три  альтернативы:  оптимистическую  (высокий  уро-
вень),  пессимистическую  (низкий  уровень)  и  среднюю  [36]. Если  каждому 
числовому  значению  элементов  данного  временного  ряда  поставить  в  соот-
ветствие одну из этих альтернатив, то получим интервальный временной ряд 
или в другой терминологии, лингвистический временной ряд (ЛВР). 
 
Преобразование  временного  ряда (2.7) в  ЛВР  означает  замену  число-
вых  элементов  ,  = ,
  лингвистическими  переменными,  называемыми 
i
термами;  совокупность  этих  термов  принято  называть  терм-множеством 
[2,24], которое в настоящей главе обозначаем через  = {u}. При этом прини-
маем,  что  множество    состоит  из  трех  элементов:  –  низкая  урожай-
ность,  –  средняя  урожайность,   – высокая  урожайность.  Заменяя 
элементы   ряда (2.7) соответствующими термами из 
i
, получаем ЛВР 
,  = ,
1 ,...,
2

(2.8) 
i
 
В работе [83] предлагается строить ЛВР вида (2.8), опираясь на сколь-
зящую  среднюю.  Однако,  скользящие  средние  обладают  тем  принципиаль-
ным  недостатком,  что  при  их  построении  практически  всегда  остается  от-
крытым вопрос определения наилучшего порядка скользящей средней. Чаще 

 
59
всего  на  практике  порядок  средней  определяется  эвристически,  т.е.  интуи-
тивно. В связи с этим в настоящей диссертационной работе предлагается ал-
горитм преобразования ряда (2.7) в ряд (2.8) на базе интервального подхода. 
Этот алгоритм состоит из трех этапов. 
 
Первый этап начинается с визуализации гистограммы, представляющей 
ряд (2.7). На этой гистограмме выделяем жирными точками столбики, пред-
ставляющие  явно  высокую  урожайность,  и  столбики,  представляющие  явно 
низкую  урожайность  (см.  рисунок 2.14). Далее,  соединяя  соседние  жирные 
точки  пунктирными  отрезками,  получаем,  как  показано  на  рисунке 2.15, 
верхнюю  огибающую  ломанную  (ВОЛ)  и  нижнюю  огибающую  ломанную 
(НОЛ).  
На  втором  этапе  последовательно  для  каждого  столбика  гистограммы 
рассматриваем отрезок, соединяющий точку его пересечения с НОЛ  точкой 
его пересечения с ВОЛ. Этот отрезок делим на три равновеликих интервала: 
нижний,  средний  и  верхний.  Отмечаем  на  каждом  из  таких  отрезков  концы 
среднего  интервала,  после  чего  каждую  пару  соседних  верхних  (нижних) 
концов  средних  интервалов  соединяем  пунктирным  отрезком,  в  результате 
чего получаем границы срединной области гистограммы (СОГ). На рисунке 
2.15 представлены результаты работы 1-го и 2-го этапов.  
50
ц/га
40
30
20
10
Годы 
0
1952
1954
1956
1958
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
 
Рисунок 2.15. Гистограмма временного ряда (2.7) урожайности озимой пшеницы по  Ка-
бардино-Балкарии с 1952 по 2002 гг. после 1-го и 2-го этапов алгоритма 

 
60
 
На  третьем  этапе  временной  ряд  вида (2.7) преобразуем  в  ЛВР  вида 
(2.8), осуществляя окрашивание каждого столбика гистограммы, как показа-
но на рис.2.16. Рассматривая  − й столбик этой гистограммы, элемент   за-
i
меняем термом  , если верх столбика находится ниже СОГ, иначе заменяем 
 термом С, если его верх принадлежит СОГ и, наконец, заменяем термом В
i
если верх этого столбика находится выше СОГ. Работа третьего этапа, а вме-
сте  с  ним  и  работа  алгоритма  заканчивается  тогда,  когда  элемент    ряда 
n
(2.7)  заменяется  соответствующим  термом.  Тем  самым  ЛВР (2.8) считается 
построенным.  
50
ц/га
низкий
средний
40
высокий
30
20
10
Годы 
0
1952
1954
1956
1958
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002  
Рисунок 2.16. Гистограмма ЛВР (2) урожайности озимой пшеницы  
                     по Кабардино-Балкарской республике с 1952 по 2002 гг. 
 
 
Примечание 2.4. Теоретически возможен случай, когда верх рассмат-
риваемого    − того  столбика  находится  на  верхней  или  на  нижней  границе 
СОГ. Тогда элемент   заменяем термом Н, если верх его столбика находится 
i
на нижней границе СОГ, и заменяем на С  в противном случае. 
Для временного ряда (2.7) в результате применения к нему алгоритма, 
получен конкретный ЛВР, который представлен таблицей 2.4 и отражает уро-
жайность озимой пшеницы по КБР. 
 
 
 

 
61
 
Лингвистический временной ряд  урожайности озимой пшеницы 
по КБР за период с 1952 по 2002 гг 
    Таблица 2.4 
 
i  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
ui  С  Н  Н  Н С  С  С  Н  В Н В С Н Н С В В С В В  С  В  Н  С В С
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ti 
1
952
1
953
1
954
1
955
1
956
1
957
1
958
1
959
1
960
1
961
1
962
1
963
1
964
1
965
1
966
1
967
1
968
1
969
1
970
1
971
1
972
1
973
1
974
1
975
1
976
1
977
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
i  27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
 
ui 
С  В  С  С Н  С  Н  Н  В С С В В В С С С В С С  Н  С  С  В В
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t
1
978
1
979
1
980
1
981
1
982
1
983
1
984
1
985
1
986
1
987
1
988
1
989
1
990
1
991
1
992
1
993
1
994
1
995
1
996
1
997
1
998
1
999
2
000
2
001
2
002

 
2.7.2.Частотный анализ памяти лингвистического временного  
ряда 
 
Как отмечается в [50,83], временные ряды вида (2.7) и ЛВР вида (2.8) 
обладают долговременной памятью [64]. Последнее означает, что такие ряды 
аккумулируют информацию о колебаниях погодных условий и их влияние на 
урожайность  сельскохозяйственных  культур.  Иными  словами,  в  этих  рядах 
заключена  информация  об  определенных  закономерностях,  которые  в  науч-
ной литературе принято относить к так называемой долговременной памяти. 
Наличие долговременной памяти у временного ряда (2.7) урожайности 
озимой  пшеницы  по  КБР  подтверждается  результатами  его  фрактального 
анализа [64] или, в более узком смысле, R/S – анализа [64], примененного к 
(2.7). Основная числовая характеристика этого результата заключается в том, 
что  полученные  значения  показателя  Херста  H  колеблются  для  ряда (2.7) в 
пределах  от 0,7 до 0,9. Многолетний  опыт,  накопленный  для  рядов  с  таким 
значением  H  свидетельствует, что в них имеют место долговременные кор-
реляции  между  текущими  событиями  и  будущими  событиями [64]. Особо 
отметим при этом, что такое поведение урожайности озимой пшеницы в зоне 
рискового  земледелия  (в  том  числе  и  в  КБР)  представляет  собой  типичное 
явление среди подавляющего большинства природных процессов и явлений 

 
62
[83].  
В [61] сформулировано предложение представлять наличие в ЛВР дол-
говременной  памяти  в  терминах  и  понятиях  клеточного  автомата,  в  частно-
сти, линейного клеточного автомата. Теория клеточных автоматов утвержда-
ет, что «если клетки располагаются линейно вдоль прямой, и каждая клетка 
находится  в  определенном  состоянии,  то  состояние  соседей  слева  от  рас-
сматриваемой  клетки  влияют  на  состояние  этой  клетки  на  следующем  вре-
менном  шаге» [8]. В  терминах  клеточного  автомата  значение  лингвистиче-
ской  переменной  ui+   в  ЛВР (2.8) (см.таб.2.4)  определяется 
k
-
конфигурациями 
u
,u
,...,= ,

(2.9) 
i+l
i++1
i+k
т.е. конфигурациями длины  в отрезке этого ряда 
                 ,,...,,  = ,
− +1,    
 
(2.10) 
i+1
i+2
i+k
где через   обозначаем глубину памяти рассматриваемого ряда. Из результа-
тов проведенного R/S – анализа вытекает, что для урожайности по Кабарди-
но-Балкарии  значение    ограничено  сверху  цифрой 8. Последнее  означает, 
что для всякого  = ,
1 ,...,
2
− +1 значение лингвистической переменной  ui+  
k
в (2.10) или в (2.8) определяется лишь такими  -конфигурациями вида (2.9), 
для  которых  ≤ = 8 .  Алгоритм  прогнозирования  основывается  на  частот-
ной статистике переходов в состояния Н,С и В всех  -конфигураций, имею-
щих место в ЛВР (2.8). 
 
Через  () обозначим множество всех  -конфигураций  ≤ k= 8, ко-
8
торые можно обнаружить в ЛВР (2.8);  () =
, где   - это подмножест-
l
U
l
1
=
во всех  -конфигураций в ЛВР   при фиксированном  . Для рассматривае-
мых ВР  (2.7) и ЛВР  (2.8) эти подмножества имеют следующий состав: 
=
,  =

2
{HHHCHB,CH,CC,CBBHBC, }
BB
1
{H,C, }
B
HHHHHCHHBHCHHCCHCBHBHHBC,CHH,CHC,CHB,CCH ,⎫
=
.  
3


CCC,CCB,CBH,CBC,CBBBHCBHBBCHBCCBCBBBCBBB

Для  =
8
,
7
,
6
,
5
,
4
 состав подмножеств  M
 представлен вершинами левых до-
()

 
63
лей 2-дольных орграфов на рисунках  2.17-2.24 
Примечание 2.5.  Через    обозначим  количество  всех  попарно  раз-
l
личных  -конфигураций  в  ЛВР (2.8). Для  принятого  терм-множества 
= {C, }
 
теоретически 
возможное 
количество 
различных 
-
конфигураций, 
= ,
1 ,...,
2
, 8
=  
составляет 
k l3 = 3 + 2
3 + 3
3 + 4
3 + 5
3 + 6
3 + 7
3 + 8
3 = 9828 ,  в то время как в реальном ЛВР 
=1
(2.8), представленного в таб. 2.4, количество   всех таких попарно различ-
l
8
ных  -конфигураций, 8
≤   составляет  = ∑ = 243.  Из  них  = 3,  = 9, 
l
1
2
1
=
= 24 ,  = 38 ,  = 41,  = 42 ,  = 42 ,  = 43. Тем самым установлен тот 
3
4
5
6
7
8
факт, что количество реальных  - конфигураций составляет менее 2,47% от 
количества теоретически возможных  - конфигураций. 
Рассмотрим  какую-либо  фиксированную  -конфигурацию,  которую 
обозначим в виде отрезка 
0
0
0
0
,,...,,...,.  
(2.11) 
1
2
j
l
Если в ЛВР (2.6) выделен отрезок  ,,...,,...,, совпадающей с 
i+1
i+2
ij
i+l
(2.11),  т.е. 
0
u
,  = ,1,  то  по  отношению  к  следующему  элементу 
ij
j
0
u
,  0 ∈= {H,C, }
 условимся говорить, что  -конфигурация (2.11) 
i+1
+
переходит  в  состояние  0
,  т.е.  в  лингвистическую  переменную  u
,  совпа-
i+1
+
дающую с термом   0

В предлагаемом автором подходе базовым является следующее теоре-
тическое предположение. Пусть последовательность (2.8) неограниченно рас-
тет,  т.е.  в  ряду  ,  = ,
  значение  параметра  → ∞ .  Если  в  этой  сколь 
i
угодно  длинной  последовательности  некоторая  конкретная  фиксированная 
конфигурация (2.11) появляется и при этом всякий раз после нее следует пе-
реход в одно и тоже состояние  0 ∈{C, }
, то говорим, что конфигурация 
(2.11) обладает памятью.  
Если  имеют  место  перемежающиеся  переходы  в  два  фиксированные 

 
64
состояния, то говорим, что отрезок (2.11), т.е.  -конфигурация (2.11) облада-
ет частичной памятью. Если же фиксированная конфигурация демонстрирует 
переходы в каждое из трех состояний Н, С, В, то говорим, что память у дан-
ной конфигурации не обнаружена.  
Переходы всех конфигураций, которые встретились в лингвистическом 
временном ряде урожайности озимой пшеницы по КБР за период с 1952 по 
2002  гг.,  представлены  в  виде    ориентированных  графов  на  рисунках 2.17-
2.24. 
 
                                             
4
 
Н

 
Н
3
 

 
 
9
С
  С
  8 
 
2  8 
 
В

  В
 
Рисунок 2.17. Орграф переходов из 1- конфигураций в состояния Н, С и В 
 
 



НН 
СН
Н
 2
ВН 
 2 
Н
Н

 4 








НС 
С
СС
С
ВС 
С

 4







НВ  0 
В
СВ

В
ВВ  1 
В
 
Рисунок 2.18. Орграф переходов из 2-конфигураций в состояния Н, С и В  
 
 
 
 


 


ННН 
Н 
НСН
 0
Н
НВН
Н 
 0
СНС 
Н

 1 


 1








ННС 
С 
НСС
С
НВС
С 

СНВ 
С

 1








0  2 
ННВ  0 
В 
НСВ 1 
В
СНН 1 
В 
ССН  1 
В
 

 
65
 
 
 
 


0

ССС 
Н 
СВС
ВСВ 
 3
Н
ВНВ 
Н 
Н
 0

 0 


 1









ССВ 
С 
СВВ
С
ВСН
С 
ВВС 
С
 2 


 2 

0  0





СВН  0 
В 
ВНС 1 
В
ВСС

В 
ВВВ  0 
В
     
  
   
 
 
Рисунок 2.19.  Орграф переходов из 3-конфигураций в состояния Н, С и В 
 
 
 
 




НННС
Н 
ННВС
Н
НССВ
Н
НВНВ
Н
 1 
 1
 0
 1 












ННСС 
С 
НСНН
С
НСВС 
С
НВСН 
С
 0 
 1
 0
 0 


0
0




ННСВ  1 
В 
НССС  0 
В
НСВВ  0 
В
НВСС  1 
В
 
 
 
 
 




СННН
Н
СНСН
Н
ССНС
Н
СССВ
Н
 1 
 0
 1
 1 












СННС 
С
СНСС 
С
ССНВ 
С
ССВС 
С
 1 
 1 
 0
 0 








СННВ  0 
В
СНВН  1 
В
СССН  1 
В
ССВВ  1 
В
 
 
 
 
 


СВСС
Н


ВСВН
Н
 0 
ВНСВ
Н
ВССН
Н
 1 

 1
 2









СВВС 
С


ВНВС 
С
ВССС 
С
ВСВВ 
С
 2 
 0
 1
 0 








СВВВ  0 
В
ВСНН  0 
В
ВССВ  1 
В
ВВСС  0 
В
 

ВВСВ
Н
 0

С


ВВВС 
 0
В
 
Рисунок 2.20. Орграф переходов из 4-конфигураций в состояния Н, С и В  

 
66
 
 
 
 




НННСС
Н
ННВСС
Н
НСВСС
Н
НВСНН
Н
 1 
 1
 0
 1 












ННССС 
С
НСННВ 
С
НСВВС 
С
НВССВ 
С
 0 
 0
 1
 1 








ННСВВ  0 
В
НСССН  1 
В
НВНВС  0 
В
СНННС  0 
В
 
 
 
 
 




СННСВ
Н 
СНССВ
Н
ССНСС
Н
СССВС
Н
 0 
 0
1   0
0   1 






СННВС  1 
С 
СНВНВ  1 
С
ССНВН  0 
С
ССВСС 

С
 0 
 0 
 1
 0 








СНСНН  1 
В 
ССНСН  0 
В
СССНВ  0 
В
ССВВВ  0 
В
 
 
 
 
 



ВСННС
Н

СВССН
Н
СВВВС
Н
ВССВС
Н
 2 
 0
0   1
0   1 






ВССНС  1 
СВССВ  1 
С
ВНСВС  1 
С
С
ВССВВ 

С
 0 
 0
 0
 1 








СВВСВ  1 
В
ВНВСН  0 
В
ВСССВ  0 
В
ВСВНС  1 
В
 
 
 


ВСВВС
Н
ВВСВВ
Н
 0 
 1



ВВССС  0 
С
С
 1 


1

ВВСВН  0 
В
 0
В
ВВВСС 
 
Рисунок 2.21. Орграф переходов из 5-конфигураций в состояния Н, С и В 
 
 
 
 
 




НННССС
Н 
ННВССВ
Н
НСВССВ
Н
НВСННС
Н
 1 
 0
 1
 0 








ННСССН 

С 
НСННВС 

С
НСВВСВ 

С
НВССВВ 

С
 0 
 0
 1
 0 








ННСВВС  0 
В 
НСССНВ

В
НВНВСН

В
СНННСС  0 
В

 
67
 
 
 
 




СННСВВ
Н 
СНВНВС
Н
ССНВНВ
Н
ССВССН
Н
 1 
 0
 1
 2 








СННВСС 

С 
ССНСНН 

С
СССНВН 

С
ССВВВС 

С
 1 
 1
 1
 0 








СНСННВ  0 
В 
ССНССВ

В
СССВСС

В
СВССНС  0 
В
  
 
 
 
 
 




СВССВС
Н 
СВВВСС
Н
ВСННСВ
Н
ВСССВС
Н
 1 
 1
 0
 1








СВВСВН 

С 
ВНСВСС 

С
ВССНСН 

С
ВССВСС 

С
 0 
 1
 0
 0 








СВВСВВ  0 
В 
ВНВСНН  0 
В
ВССНСС

В
ВССВВВ  0 
В
  
 
 
 


ВСВНСВ
Н
ВВСВНС
Н 
 1
 0




ВСВВСВ 

С
ВВСВВС 

С 
 0
 1




ВВСССВ  0 
В
ВВВССС

В 
     
 
Рисунок 2.22. Орграф переходов из 6-конфигураций в состояния Н, С и В 
 
 
 
 
 
 




НННСССН
Н 
ННВССВВ
Н
НСВССВС
Н
НВСННСВ
Н
 0 
 0
 1
 0 








ННСССНВ 

С 
НСННВСС 

С
НСВВСВВ 

С
НВССВВВ 

С
 0 
 1
 0
 0 








ННСВВСВ  1 
В 
НСССНВН  1 
В
НВНВСНН

В
СНННССС 

В
 
  
 
 
 
 
 
 




ССВВВСС
Н
СННСВВС
Н 
СНВНВСН
Н
СССНВНВ
Н 
 1
 0 
 0
 1








СННВССВ 

СВССНСН 

С 
ССНСННВ 

С
СССВССН 

С 
С
 1 
 0
 0
 0








СНСННВС  0 
В 
ССНВНВС

В
ССВССНС

В 
СВССНСС  1 
В
   
  
   
 

 
68
 
 
 




СВССВСС
Н 
СВВВССС
Н
ВСННСВВ
Н 
ВСССВСС
Н
 0 
 0
 1
 0








СВВСВНС 

С 
ВНСВССВ 

С
ВССНСНН 

С 
ВССВСНН 

С
 1 
 0
 1
 0








СВВСВВС  1 
В 
ВНВСННС  1 
В
ВССНССВ

В 
ВССВВВС  0 
В
   
 
 
 
 


ВСВНСВС
Н
ВВСВНСВ
Н 
 1
 1




ВСВВСВН 

С
ВВСВВСВ 

С 
 0
 0




ВВСССВС  0 
В
ВВВСССВ

В 
   
 
Рисунок 2.23. Орграф переходов из 7-конфигураций в состояния Н, С и В  
 



НННСССНВ
Н 
ННВССВВВ
Н
НСВССВСС 
Н
 0
 1
 0 






ННСССНВН 


С 
НСННВССВ  0 
С
НСВВСВВС 
С
 1
 1
 1 






ННСВВСВВ 

В 
НСССНВНВ

В
НВНВСННС 

В
        
    
 
 



НВСННСВВ 
Н 
СННСВВСВ
Н
СНВНВСНН 
Н
 1
 0
 1 






НВССВВВС 


С 
СННВССВВ  0 
С
ССНСННВС 
С
 0
 1
 0 






СНННСССН  1 
В 
СНСННВСС

В
ССНВНВСН 

В
        
    
 
 



СССНВНВС
Н 
ССВССНСС
Н
СВССНССВ 
Н
 0
 0
 0 






СССВССНС 


С 
ССВВВССС  0 
С
СВССВССН 
С
 0
 1
 1 






ССВССНСН 

В 
СВССНСНН

В
СВВСВНСВ 

В
        
    
 

 
69
 



СВВСВВСВ
Н 
ВНВСННСВ
Н
ВСССВВВС
Н
 0
 0
С
 1 






СВВВСССВ 


С 
ВСННСВВС  0 
С
ВССВССНС 
С
 0
 1
 0 






ВНСВССВС 

В 
ВССНСННВ

В
ВССВВВСС 

В
        
    
 
 


ВСВНСВСС
Н
ВВСВНСВС
Н 
 0
 1 





ВСВВСВНС 

С
ВВСВВСВН 
С 
 1
 0




ВВСССВСС 

В
ВВВСССВС

В 
        
 
Рисунок 2.24. Орграф переходов из 8-конфигураций в состояния Н, С и В 
 
По составу представленной выше памяти клеточного автомата (рисунки 
2.17-2.24) можно сказать, что выявлено наличие и глубина памяти ЛВР (2.8). 
Длина отрезка лингвистического временного ряда, не превосходящая 8 , оп-
ределяет  состояние  прогнозируемого  показателя  на  очередном  временном 
шаге. 
Анализ конкретного ЛВР, отражающего урожайность озимой пшеницы 
по  Кабардино-Балкарии,  позволяет  сформулировать  следующие  утвержде-
ния.  
Для  всякого  отрезка  длины 1 ( ,  или )  и  всякого  отрезка  длины 2 
(НН, НС, НВ, СН, СС, СВ, ВН, ВС, ВВ) в ряду  ,  = ,
  имеет место отсут-
i
ствие памяти (только переход в одно состояние), т.к. всякий раз находились 
случаи переходов из этих отрезков  в  2 или 3 состояния из числа Н, С и В. 
Первые «признаки» наличия памяти (частичной, т.е. переход в 2 состояния) 
обнаружились при  = 2 : уже 30%  2-конфигураций из числа встречающихся 
в  ряду (2.8) демонстрируют  частичную  память;  для  = 3  46%  3-
конфигураций  вида (2.11) демонстрируют  переход  только  в  одно  состояние 
(память), т.е. с различной частотой переходы в какое-либо из трех состояний 

 
70
∈{,C, }
  и 46% 3-конфигураций  демонстрируют  наличие  частичной  па-
мяти.  Для  = 4  88%  4-конфигураций  в  ряду (2.8) демонстрирует  наличие 
памяти  и 12% демонстрирует  наличие  частичной  памяти,  другие  случаи  от-
сутствуют. Для  = 5  наличие памяти демонстрирует 95% 5-конфигураций в 
ряду (2.8) и 5% демонстрирует частичную память. Для  = 6  наличие памяти 
демонстрируют все  97%  6-конфигураций вида (2.11), и 3% демонстрирует 
частичную  память.  Для  = 7   наличие  памяти  демонстрирует 97% 7-
конфигураций в ряду (2.8) и 3% - частичную память и  для  = 8  все 100%  8-
конфигураций вида (2.11) демонстрируют наличие памяти.  
Формирование  памяти  клеточного  автомата  завершается  вычислением 
частотной  статистики  переходов  -конфигураций (2.11) в  определенное  со-
стояние  0 ∈= {,C, }
. Эта статистика формируется следующим образом. 
Сначала, для каждой 1-конфигурации  0 ∈
 подсчитываем количест-
1
{H,C, }
B
во ее переходов в каждое из трех состояний  Н, С, В. Для наглядности эти пе-
реходы отражены на  двудольных полных орграфах, представленные на рис. 
2.17.-2.24., дугам которых приписаны числа, означающие количество наблю-
даемых в ЛВР (2.8) переходов каждой из трех 1-конфигураций  0
,  0 ∈ в 
1
1
каждое из состояний Н, С, В. Например, в конкретном ЛВР (2.8), относящем-
ся к КБР, как показано на рис.2.17, имеем 4 перехода  из Н  в Н, 5 переходов 
из Н в С и 3 перехода из Н в В. Как показано на рис.2.7, количество перехо-
дов из С в НС и В  равно соответственно 6,9 и 8. Здесь же, количество пере-
ходов из В в НС и В равно соответственно 9, 8 и 5.  
На  основании  этих  данных  можно  вычислить  эмпирические  значения 
частостей переходов из 1-конфигураций в каждое из состояний НС, и В
6
2
(Н → Н )
4
=

w C → Н =

w В → =

1(
)
1(
)
1
12
23
15
9
8
(Н → С)
5
=

w С → С =

w В → С =
,                   (2.12) 
1(
)
1(
)
1
12
23
15
8
(→ В)
3
=
5
 
w С → В =
 
w В → В =

1(
)
1(
)
1
12
23
15
Далее,  для  каждой 2-конфигурации    u0u0 ∈
  подсчитываем  коли-
1
2
(×U)

 
71
чество переходов в каждое из трех состояний Н, С, В. Для наглядности стро-
им 3 двудольных  полных  орграфа,  представленных  на  рисунке 2.18. Дугам 
этих  орграфов  приписаны  числа,  означающие  количество  наблюдаемых  в 
ЛВР (2.8) переходов  каждой  из  девяти 2-конфигураций  u0u0 ∈
  в  со-
1
2
(×U)
стояния Н,С или В. В конкретном ЛВР (2.8), относящемся к КБР, как показа-
но на рис. 2.18, имеем 1 переход из НН в Н, 2 перехода из НН  в С, 1 переход 
из НН в В, 1 переход из НС в Н,  2 перехода из НС в С, 2 перехода из НС в В
1 переход из НВ  в Н, 2 перехода из НВ  в С  и  0 переход из НВ в В. На осно-
вании  этих  данных  можно  вычислить  эмпирические  значения  частостей  пе-
реходов из 2-конфигураций НН, НС, НВ  в состояния НС и В
1
1
(НН → Н ) 1
= , 
w НС → Н = , 
w НВ → = , 
2 (
)
2 (
)
2
4
5
3
2
2
(НН → C) 2
= , 
w НС → С =

w НВ → С =
,               (2.13) 
2 (
)
2 (
)
2
4
5
3
2
(НН → В) 1
=
0

w НС → В = , 
w НВ → В = . 
2 (
)
2 (
)
2
4
5
3
Аналогичным образом, на основании рисунка 2.18 вычисляются эмпи-
рические значения частостей переходов из 2-конфигураций  СН, СС, СВ, ВН, 
ВС, ВВ  в Н, С и В. 
 
Далее, для каждого значения  ∈{ ,
3
7
,
6
,
5
,
4
}
8
,  рассматриваем множество 
  всех  -  конфигураций,  встречающихся   в  ЛВР (2.6), мощность  
l
l
l
По аналогии с (2.12), (2.13) вычисляем эмпирические значения частостей пе-
реходов из каждой конкретной  -конфигурации  u0uu0
...
∈  в состояние Н, 
1
2
l
l
С и В, = ,
3
8
,
7
,
6
,
5
,
4

0 0
0
...


0 0
0
...


0 0
0
...

,          (2.14) 
(u u
u
В
1 2
l
)
(u u
u
С
1 2
l
)
(u u
u
Н
1 2
l
)
= ,
3
8
,
7
,
6
,
5
,
4

Значения этих частостей (2.14) для ЛВР (2.8) представлены в Приложе-
нии 3.  
По результатам работы клеточного автомата была проведена верифика-
ция  и  валидация  представленной  прогнозной  модели,  которая  отражается  в 
следующем параграфе. 

 
72
 
2.7.3. Получение лингвистических прогнозных значений урожайно-
стей, верификация   и валидация прогнозной модели  
 
Сначала  на  примере  исследуемого  конкретного  ЛВР (2.8), представ-
ляющего  временной  ряд  урожайностей  озимой  пшеницы  по  КБР,  приведем 
описание алгоритма прогнозирования, работающего на базе представленной 
в п.2.7.2 прогнозной модели. Ставится задача прогнозирования для рассмат-
риваемого ЛВР  неизвестного элемента     на основании известных чле-
1
+
нов этого ряда = ,
, точнее, на основании вычисленных выше частостей 
i
вида (2.12)-(2.14), для = ,
1 ,...,
2
, где  − глубина памяти в ЛВР (2.8). 
Прогноз  терма    представляется  в  виде  нечеткого  терм-множества 
1
+
(НТМ)  U
H;µ , C;µ , B
, где значение функции принадлежности  µ  
1
+
({
) (
) (
)}
удовлетворяет равенству  µ + µ + µ = 1. Значение,  µ ,  µ , µ  вычисляются 
H
C
B
H
C
B
через значения частостей вида (2.10) – (2.12), получаемых для различных  -
конфигураций в следующем отрезке ЛВР  
u
,...,.   
 
    
n1
+
nk
n
 (2.15) 
Сначала  согласно (2.12) вычисляются  частости  переходов  из 1-
конфигурации   в состояния Н, С, В:  w
,  w
,  w
. По-
1 (u
→ B
n
)
1 (u
→ C
n
)
1 (u
→ H
n
)
n
сле чего, согласно (2.13), вычисляются эмпирические  значения частостей пе-
реходов    из 2-конфигурации  u u   в  состояния    Н,  С  и  В:   w

2 (u
→ H
n−1 n
)
1

n
w
 и  w
. Далее согласно (2.14) вычисляем значение час-
2 (u
→ B
n−1 n
)
2 (u
→ C
n−1 n
)
тостей переходов из 3-конфигурации в  u u u   в состояния Н, С и В. Если 
n−2
1

n
3-конфигурация    u u u   демонстрирует  наличие  памяти,  например,  
n−2
1

n
w u u u → = ,  то  переходим  к  вычислению  искомых  значений  
3 ( n−2 n
n
) 1
1
µ , µ , µ
H
C
.  Для  этого  сначала  вычисляем  ненормированные  значения 
µ ′ = w u → w u u → + , 
µ′ = w u → С w u u → С + , 
С
1 ( n
) 2( 1− n
) 1
H
1 ( n
)
2 ( n
n
) 0
1
µ′ = w u → w u u →  и их сумму  σ = µ′ + µ′ + µ′ , после нормиров-
B
1 ( n
) 2( n− n
) 0
1
3
H
C
B

 
73
ки которых получаем 
µ′
µ′
µ′
µ
H
=
, µ
C
=
, µ
B
=

H
σ
C
σ
B
σ
3
3
3
Если 3-конфигурация  u u u  не демонстрирует наличие памяти,  то 
n−2
1

n
рассматриваем 4-конфигурацию  u u u u , для которой вычисляем часто-
n−3
n−2
1

n
сти  ее  переходов  в  состояния  Н,  С  и  В.  Всякий  раз  к  вычислению  искомых 
µ , µ , µ   переходим  тогда,  когда  встретится  такая 
H
C
B
-конфигурация 
u
u
,  которая  демонстрирует  наличие  памяти,  например,  получаем  
n1
+
n+ ...
2
n
единичное  значение  частости    для  терма  В:  w u
u
→ = .  Тогда 
1 (
...
n1
+
nl+2
n
) 1
сначала вычисляем ненормированные значения:  
µ′ = w u → w u u → + + w u
u
→ +
H
1 ( n
) 2( 1− n
) ... 1−(
...
n+2 n+3
n
) ;0
µ′ = w u → С w u u → С + + w u
u
→ С +
C
1 ( n
) 2( 1− n
) ... 1−(
...
n+2 n+3
n
) ;0
µ′ = w u → w u u → + + w u
u
→ +  
B
1 ( n
) 2( 1− n
) ... 1−(
...
n+2 n+3
n
) 1
и значения их суммы  σ = µ′ + µ′ + µ′ . После чего, вычисляем искомое зна-
l
H
C
B
чение функции принадлежности для НТМ 
µ′
µ′
µ′
H
C
B
µ =
, µ =
, µ =
. 
1
+
H
C
B
σ
σ
σ
l
l
l
Представленный  таблицей 2.1 ЛВР  урожайности  озимой  пшеницы  за-
канчивается элементом  , где 51
=
 соответствует 2002 году. Осущест-
n
вим прогноз этой урожайности на 2003-й год, т.е. построим для отсутствую-
щего элемента   его  нечеткое терм-множество  0
U
H; µ , C; µ , ;
µ

1
+
({ 0) ( 0) ( 0)}
1
+
Прогноз  осуществляется  на  качественном  уровне,  т.е.  определенно  можно 
сказать, какая будет урожайность в следующем году: низкая, средняя или вы-
сокая.  
 Учитывая установленную глубину памяти  = 8 , рассматриваем отрезок 
ЛВР 
u
u
u u
u u
u u ВССНССВВ  
(2.16) 
n−7
n−6 n−5 n−4 n−3 n−2 n−1 n
Для  ряда (2.16) рассматриваем  все  его  − конфигурации,  = ,
,  = 8 : 
ВВВ;СВВ;ССВВНССВВ;СНССВВ;ССНССВВВССНССВВ . Для  =1 из ри-
сунка 2.17 получаем   
2
8
5
(→ ) =
,  (→ C) = , (→ B) =

(2.17) 
1
15
1
15
1
15

 
74
Для    = 2  из  рисунка 2.18 получаем  значения  частостей  переходов  из 2-
конфигурации ВВ в термы Н,С,В
3
1
(BВ → ) = 0 ,  (BВ → С) = ,  (ВB → В) = . 
(2.18) 
2
2
4
3
4
Для  = 3 , из рисунка  2.19 получаем 
2
1
(СBВ → ) = 0 ,  (СBВ → С) = ,  (СВB → В) = . 
(2.19) 
3
3
3
3
3
Для  = 4 , из рисунка  2.20  имеем 
(ССBВ → ) = 0 ,  (ССBВ → С) = 0 ,  (ССВB → В) = 1, 
(2.20) 
4
4
4
Для    = 4 ,  4-конфигурация  ССВВ,  демонстрирует  наличие  памяти,  в  силу 
чего для ряда (2.8) процесс вычисления частостей можно прекратить, но для 
достижения  более  высокой  точности  прогнозного  значения  можно  продол-
жить  частотный  анализ  до  исчерпания  памяти,  т.е.  до  конфигурации  длины  
8, а именно, для =
8
,
7
,
6
,
5
, соответственно из рисунков 2.21-2.24 имеем 
(НССBВ → ) = 0 ,  (НССBВ → С) = 0 ,  (НССВB → В) = 1 
(2.21) 
5
5
5
(СНССBВ → ) = 0 ,  (СНССBВ → С) = 0 ,  (СНССВB → В) = 1 
(2.22) 
6
5
5
(ССНССBВ → ) = 0 ,  (ССНССBВ → С) = 0 ,  (ССНССВB → В) = 1 
(2.31) 
7
7
7
(ВССНССBВ → ) = 0, (ВССНССBВ → С) = 0 ,  (ВССНССВB → В) = 1   (2.24) 
8
8
8
 
На  основании  значений  частостей (2.17-2.24), вычисляем  ненормиро-
ванные 
значения 
функции 
принадлежности: 
2
µ′ =
= 13
,
0

Н
15
8
3
2
µ′ =
+ + =
5
1
1
94
,
1
;  µ′ =
+ + + 1 = 91
,
1
 и их сумму  σ = 13
,
0
+ 94
,
1
+ 91
,
1
= 98
,
3

С
15
4
3
В
15
4
3
Далее,  осуществляя  операцию  нормирования  получим  искомое  значение 
функции 
µ′
µ′
µ′
принадлежности:  0
H
13
,
0
0
C
94
,
1
0
B
91
,
1
µ =
=
= ,
0
,
03 µ =
=
= ,
0
,
49 µ =
=
= ,
0 48 . 
Н
σ
98
,
3
С
σ
98
,
3
В
σ
98
,
3
l
l
l
Таким образом, прогноз урожайности озимой пшеницы по КБР на 2003 
год  представляется  в  виде  НТМ  0
U
H
C
B
.  В  лингвисти-
1
+
({
)
03
,
0
;
, (
,
0
; 49), (
,
0
; 48)}
ческих терминах этот прогноз можно  сформулировать следующим образом: 
урожайность  озимой  пшеницы  ожидается  средней  (µ = ,
0 49   или,  что  менее 
С
)

 
75
вероятно  высокой  (µ = ,
0 48 .  Промежуточные  и  окончательные  результаты 
В
)
работы алгоритма прогнозирования представлены в таб.2.5. 
 
Промежуточные и окончательные результаты работы  
алгоритма прогнозирования 
 
Таблица 2.5 
 
 
 
 
 
й
 
l
 
- конфигурация 
Ненормированные значе-
Сумма 
Значение 
 
и
 
в
 
,
В
Прогнозное 
,
С
ния функции принадлеж-
ненор-
функции 
нечеткое терм-множество 
руемы
 
р
а
ци
 
Н
ности 
миро-
принадлежно-
= ({Н;µ , C;µ , В,µ  
Н ) (
) (
В )}
ванных 
сти 
о
зи
 
год
µ′ µ′ µ′
яния
Н 
С 
В  
значений 
Переходы
нфигу
µ , µ , µ
Н
С
В
ко
сто
функций 
Прогн
l- 
со
принад-
 
лежности 
1 2  3 

5  6 

 
 
Н 2/14=0,13 
 
0,03   
2003 
ВССНССВВ 
С 8/15+3/4+2/3=1,94  3,98  0,49  U={(Н;0,03), (С;0,49), (В;0,48)} 
 
 
В 5/15+1/4+1/3+1=1,91   
0,48   
 
Применительно к понятию «модель»,  термин «верификация» означает 
проверку  структуры  и  логики  модели,  а  термин  «валидация»  означает  про-
верку  соответствия  данных,  полученных  на  основе  модели,  реальному  про-
цессу. Для реализации этих видов проверки построенной прогнозной модели 
последовательно рассматриваем лингвистические временные ряды  
,= ,
1 ,...,
2
,
  − ,  = ,
− ,  
(2.25) 
i
т.е.  ряды (2.25) получаются  последовательно  путем  удаления  из  ЛВР (2.8) 
последних   его членов. 
Для  каждого  фиксированного  индекса    строим  прогноз  терма 
u
, представляемого в виде НТМ U
H; µ , C; µ , B; µ

1
+
({
) (
) (
)}
1
+
Пусть,  в  полученном  НТМ  U
,  среди  чисел    µ , µ , µ     максималь-
1
+
H
C
B
ным  является  то  число  µ , ∆ ∈{,C},  у  которого  индекс  ∆   совпадает  с 

термом   ряда (2.8). Тогда, говорим, что для рассматриваемого индекса   
1
+
прогнозная нечеткая модель привела к непротиворечивому прогнозу. В про-
тивном случае, говорим о противоречивом прогнозе для терма  u

1
+
Для ЛВР (2.8), соответствующего ряду (2.7) урожайности озимой пше-
ницы по КБР, была проведена валидация прогнозной модели и был получен 

 
76
непротиворечивый  прогноз  для  каждого  − ,  = ,
1 ,...,
2
− 8 .  Иными  сло-
вами,  в  процессе  валидации  прогнозной  модели  подтверждена  адекватность 
предложенной  прогнозной  нечеткой  модели  реальным  временным  рядам 
урожайности  озимой  пшеницы  по  Кабардино-Балкарской  республике.  Ре-
зультаты  валидации  прогнозной  модели  сведены  в  таблицу  П4.1,  представ-
ленной в Приложении 4. 
 
2.7.4. Получение числового прогноза, и оценка его точности 

 
Пусть получено лингвистическое прогнозное значение урожайности  
0
U
H
C
B

(2.26) 
1
+
({
)
03
,
0
;
, (
,
0
; 49), (
,
0
; 48)}
Приведем описание процесса преобразования лингвистического нечет-
кого множества (ЛНМ) (2.26) в численное (классическое) НМ 
0 = 0 ; µ , 0 ; µ , 0 ; µ

(2.27) 
1
+
({ H H ) ( C C ) ( B B )}
В  качестве  подходящих  числовых  значений  элементов  y0 , 
, ,
  выби-
u
{H C }
B
раются в ВР    (2.7) ближайшие к элементам   низкие, средние и высокие 
u
урожайности, которые затем усредняются: 
0
=
9
,
18 ;   
H
47
0
1
=
;  
C
(=
+
=
48
49 )
1 ( ,
28 4
5
,
25 )
85
,
26
2
2
0
1
=
 
B
(=
+
=
50
51 )
1 ( ,
31 2
8
,
32 ) 32
2
2
Отсюда,  с  учетом  представленных  в  ЛНМ (2.26) значений  функции 
принадлежности  µ , µ , µ   получаем  искомый  прогноз  в  виде  НМ 
H
C
B
0
Y
=
.  Применяя  к  НМ  0
  операцию  дефазифи-
1
+
({
)
03
,
0
;
9
,
18
, (
,
0
;
85
,
26
49), (
,
0
;
32 48)}
1
+
кации [24], получаем прогнозное значение урожайности в обычном числовом 
3
виде, т.е.  0 =
µ ⋅
=

+

+

=
, где индексом 
+

0
03
,
0
9
,
18
,
0 49
85
,
26
,
0 48 32
6
,
28 ц га
1
t
t
1
=
= ,
1 3
,
2   перенумерованы  соответственно  термы  Н,С,В:  µ = µ = ,
0 03 , 
1
H
µ = µ = ,
0 49 ,  µ = µ = ,
0 48 . 
2
C
B
B
Согласно определению прогнозной модели на  ее выходе можно полу-

 
77
чить ВР   0
 прогнозных значений  0
,  L+ ,
1 ..., , занумерованных тем же 
i
индексом,  которым  были  занумерованы  значения  урожайности  в  ВР (2.7). 
Тогда относительная погрешность прогнозирования для каждого наблюдения 
y
0

∈{L+ ,
1 ..., }
  вычисляется  по  формуле 
i
i
ε =
.  В  качестве  оценки  точ-
i
yi
n
ности прогнозирования принимаем среднее значение ε =
1
ε . 
i

− +
i
i=L
Примечание 2.6. На  основании  валидации  результатов  прогнозирова-
ния ВР урожайности озимой пшеницы по Кабардино-Балкарской республике 
получена оценка средней погрешности прогноза ε ≤10%  (см. Приложение 5). 
Оценка  погрешности  результатов,  полученных  с  помощью  предлагае-
мой прогнозной модели, обосновывается также по отношению такого резуль-
тата 
валидации, 
как 
ВР 
лингвистических 
нечетких 
множеств 
+ ,...,
1
.  В  этом  случае  погрешность  ε   лингвистического  прогно-
i
i
зирования для каждого наблюдения   принимается равной нулю, если в ряду 
ЛНМ  L+ ,...,
1
  для  полученного  ЛНМ 
0
= (
{ 0u,µ , ,µ , ,µ , 
1
1 ) ( 0
2
2 ) ( 0
3
3 )}
i
где максимальное значение функции принадлежности  µ = max µ  достигается 
t
1≤t≤3
для такого индекса  , что в ЛВР (2.8) элемент   совпадает с термом  0

0
i
t0
т.е.  ε = 0 , если выполняется равенство 
0
, в противном случае значение 
i
i
t0
ε =1.  Погрешность  лингвистического  прогнозирования  определяется  как 
i
n
среднее значение ε =
1
∑ε . 
− +
i
i=L
Примечание 2.7.  На  основании  валидации  результатов  лингвистиче-
ского  прогнозирования  ВР  урожайности  озимой  пшеницы  по  КБР  получена 
оценка средней погрешности прогноза  ε = 0 , т.е. в процессе валидации про-
i
гнозная  модель  выдала  точный  прогноз  в  лингвистических  термах  для  каж-
дого года с 1952 по 2002 гг.   
 
 Выводы  

 
78
 
1.   В  совокупности  результаты  главы 2 представляют  собой  логически 
завершенный  комплекс  математических  инструментальных  методов 
для моделирования задач землепользования на нижнем уровне, т.е. на 
уровне  получения  адекватных  значений  численных  исходных  дан-
ных. 
2. Основным  математическим  результатом  главы 2 является  построен-
ная  на  базе  клеточных  автоматов  и  нечетких  множеств  прогнозная 
модель для временных рядов с памятью. 
3.   Методическим, методологическим и инструментальным базисом для 
предложенной прогнозной модели и базирующегося на ней алгорит-
ма послужили: 
-  алгоритм R/S- анализа; 
-  метод фрактального анализа временных рядов, базирующейся на со-
держательной  и  качественной  интерпретации  промежуточных  и 
окончательных результатов работы алгоритма R/S- анализа; 
-  инструментарий  фазовых  портретов  для  выявления  циклов  времен-
ного ряда и уточнения прогноза; 
-  предложенные  методы  верификации  и  валидации  прогнозной  моде-
ли, включая метод вычисления численных и лингвистических оценок 
точности прогнозирования. 

 
 
79 
   
Глава 3.  ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ  
ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЯ С НЕЧЕТКИМИ ДАННЫМИ  
 
3.1. Общая постановка дискретной многокритериальной задачи в 
условиях неопределенности данных 
 
Любые ситуации, требующие принятия решений, содержат, как прави-
ло,  большое  количество  неопределенностей.  Их  принято  разделять  на  три 
класса. Прежде всего, это – «неопределенности природы» - факторы нам про-
сто  не  известные.  Затем - «неопределенность  противника».  Человек  всегда 
существует в условиях, при которых результаты его решений не строго одно-
значны, они зависят от действий других лиц (партнеров, противников), дей-
ствия  которых  он  не  может  полностью  учесть  или  предсказать.  И,  наконец, 
существуют так называемые «неопределенности целей». В самом деле, перед 
исследователем всегда стоит несколько целей. Описать их одним показателем 
(критерием)  невозможно.  Конструктору  самолета,  например,  необходимо 
обеспечить  не  только  безопасность  пассажиров,  но  и  минимальную  стои-
мость перелета. Экономисту нужно построить такой план, чтобы с «миниму-
мом затрат добиться максимума выпуска продукции» и т.п., причем эти тре-
бования, как мы видим, часто противоречат друг другу.  
Легко понять, что свести подобные задачи с неопределенностями к точ-
но поставленным математическим задачам нельзя в принципе – для этого на-
до тем или иным образом «снять» неопределенности, т.е. ввести какие-то ги-
потезы. В конечном счете, никогда никакой математический анализ не может 
дать  строгого  точного  результата  выбора  альтернатив  в  условиях  неопреде-
ленности. 
Именно с этих позиций надо оценивать и попытку одного из известных 
современных специалистов в прикладной математике Л.Заде [92,95], который 
предложил  отказаться  от  какого-либо  четкого  описания  в  задачах  принятия 
решений. 
В  основе  теории  Л.Заде  лежит  достаточно  очевидный  факт – субъек-

 
 
80 
   
тивные представления о цели всегда нечетки. Но он делает и следующий шаг 
– он полагает, что и все оценки субъекта и ограничения, с которыми он рабо-
тает, также, как правило, нечетки, а иногда и вообще лишены в своем началь-
ном  виде  количественных  характеристик.  Так  он  приходит  к  понятию  лин-
гвистической  переменной – красное,  не  очень  красное,  совсем  не  красное  и 
т.п. – а затем вводит некоторую функцию принадлежности, как способ фор-
мализации  субъективного  смысла  этих  качественных  показателей.  В  свою 
очередь, лингвистическая переменная может иметь численное представление 
в виде нечеткого множества.  
Техника, развиваемая Л.Заде, основывается на использовании функции 
принадлежности. Эти функции всегда являются гипотезами. Они дают субъ-
ективное или прогнозное представление эксперта (исследователя) об особен-
ностях  исследуемой  операции,  о  характере  ограничений  и  целей  исследова-
ния.  Это всего  лишь  новая  форма  утверждения  гипотез,  но она  открывает  и 
новые  возможности  для  упомянутой  выше  «неопределенности  природы». 
Имея в своем распоряжении функции принадлежности, исследователь полу-
чает в свои руки и определенный   аппарат,  позволяющий  строить  числовые 
оценки для альтернатив. Л.Заде показал, каким образом нечеткую, качествен-
ного характера информацию можно использовать в формализованных проце-
дурах  численного  анализа.  По  существу,  он  предложил  такое  расширение 
языка математики, которое позволяет учитывать нечеткость исходной инфор-
мации в математических моделях. 
Выше  упомянутая  неопределенность  целей  в  процессе  моделирования 
трансформируется  в  адекватную  постановку  дискретной  многокритериаль-
ной  задачи.  Последняя  состоит  из  описания  условий,  определяющих  конеч-
ное или счетное множество допустимых решений  = { }
, и заданной на   
векторной  целевой  функции  (ВЦФ) (1.1)-(1.2). Если  фиксированы  все  пара-
метры ВЦФ (1.1) и система условий, определяющих МДР  , то принято го-
ворить об индивидуальной задаче [17].  
Под  математическим  решением  индивидуальной  задачи  дискретной 

 
 
81 
   
многокритериальной  оптимизации  следует  понимать  нахождение  того  или 
иного  множества  альтернатив  (МА).  Из  найденного  МА  впоследствии  с  по-
мощью  методов  многокритериального  выбора [35] осуществляется  выбор  и 
принятие решения. 
Перечислим наиболее известные типы МА: а)  - множество всех до-
пустимых решений (МДР), которое рассматривается в качестве МА в случае, 
когда критерий выбора и принятия решения является очень сложным; б)  X% - 
паретовское множество (ПМ), состоящее из всех паретовских оптимумов (на-
ряду  с  определениями 1.1 и 1.2 мы  приведем  ниже  их  аналоги  определения 
несравнимых  альтернатив  в  задачах  с  нечеткими  данными);  в) 
0
-  полное 
множество  альтернатив  (ПМА),  которое  формально  определяется  как  под-
множество  0
⊆ X%  минимальной мощности 
0
 такое, что  ( 0
F X ) = X% ), 
( *
) = {(x)
*
∈ 
*
X

⊆  [22]. ПМА является обобщением опреде-
ленного для 1-критериальных задач понятия «оптимум». Для всякой индиви-
дуальной задачи представленные выше МА образуют иерархически упорядо-
ченную цепочку включений  0
⊆ X% ⊆ 
Исследуя  какую-либо  задачу,  в  качестве  основной  проблемы  рассмат-
ривается  построение  достаточно  эффективного  алгоритма  нахождения  тре-
буемого  МА  этой  задачи.  Отметим,  что  в  классических  оптимизационных 
(т.е. однокритериальных) задачах с четкими числовыми данными ПМА обра-
зуется одним оптимальным решением  x0 ∈ 
 
3.2.  Математическая постановка векторной задачи покрытия  
                  графа 4- циклами (паросочетаниями, звездами) 
 
Для  общей  постановки  исследуемых  задач  в  условиях  многокритери-
альности  введем  ряд  терминов  и  обозначений.  Пусть  = (E)-  -
вершинный  граф [22], в  котором  каждому ребру  ∈   приписаны  N   весов, 
т.е. чисел   w
,  = ,
. Циклом называется замкнутая цепь, у которой 
ν (e) > 0

 
 
82 
   
начало  и  конец  совмещены  в  одной  и  той  же  вершине.  Длиной  цикла   
называется  число    ребер  в  цикле.  Цикл  длины    будем  называть  -  циклом, 
2 ≤ ≤ .  Паросочетанием  называется  произвольное  подмножество  попарно 
непересекающихся  ребер  графа.  Звездой  называется  связный  двудольный 
граф в первой доле, которого содержится одна вершина, смежная с множест-
вом  вершин  второй  доли.  Допустимым  покрытием  графа    будет  являться 
всякий его остовный подграф  = (,  ⊆ , у которого каждая компо-
)
x
нента связности для задачи покрытия графа 4-циклами представляет собой  4-
цикл; для задачи покрытия графа паросочетаниями – ребро; в задачах покры-
тия  графа  звездами  каждая  компонента  связности  в    представляет  собой 
звезду с определенным числом вершин. В области дискретной оптимизации 
допустимое  покрытие  принято  называть  термином  «допустимое  решение». 
Множество  всех  допустимых  решений  (МДР)  обозначим  через 
(G) = { }

Качество  или  эффективность  допустимого  решения  ∈   при  ≥ 2  
определяется векторной целевой функцией (ВЦФ) 
F(x) = (F x F x
F x  
(3.1) 
1 ( ),
2 ( ),...,
( ) ,
которая в общем случае включает в себя критерии вида MAXSUM 
F
  
(3.2) 
ν (x) = ∑ wν (e) → max, = ,
N
e E
∈ x
или критерии вида MAXMIN 
F

(3.3) 
ν (x) = min (e) → max, = ,
N
e E

ν
x
~
Эта ВЦФ определяет в МДР  X  паретовское множество (ПМ)  , состоящее 
из всех паретовских оптимумов (ПО).  
Искомым  математическим  решением  векторной  задачи  чаще  всего  яв-
ляется полное множество альтернатив (ПМА)  0
, из которого осуществляет-
ся  выбор  наиболее  целесообразной  альтернативы  (так  называемый  компро-
миссный или интегральный оптимум).  
Сформулированные выше математические постановки проблем нахож-
дения полного множества альтернатив условимся называть терминами «зада-

 
 
83 
   
ча покрытия графа 4-циклами», «задача покрытия графа паросочетаниями» и 
«задача покрытия графа звездами», уточняя при этом состав критериев ВЦФ 
(3.1)-(3.3).  Эти  же  задачи  рассматриваются  в  настоящей  работе  в  оптимиза-
ционной  (т.е.  однокритериальной)  постановке  в  случае,  когда  в  исходных 
графах веса их ребер представляют собой нечеткие множества [2,44] или ин-
тервалы [1,6,14,90]. Именно на этих задачах мы покажем, что ни одно из из-
вестных определений такого понятия как «суммирование двух нечетких мно-
жеств» не является адекватным содержательному смыслу задач землепользо-
вания. По этой причине является объективно необходимым осуществить кри-
тический  анализ  известных  определений  операции  суммирования  нечетких 
весов и, вместе с тем, представить и обосновать такое определение операции 
суммирования  нечетких  множеств,  которое  было  бы  вполне  адекватным  со-
держанию задач землепользования, рассматриваемых в настоящей работе. 
 
3.3. Анализ арифметических операций и отношения предпочтения 
для задач с нечеткими данными 
 
Нечеткое  множество (fuzzy set) [2,44,92] – это  математическая  модель 
численного представления лингвистических переменных, т.е. свойств (объек-
тов)  с  нечеткими  или,  иначе,  размытыми  границами.  В  основе  понятия  «не-
четкое  множество»  лежит  представление  о  том,  что  составляющие  данное 
множество  элементы,  обладающие  общим  свойством,  могут  обладать  этим 
свойством  в  различной  степени  и,  следовательно,  принадлежать  данному 
множеству с различной степенью.  
Введем  основные  термины  и  определения  теории  нечетких  множеств 
(НМ). 
 Лингвистической  переменной  называется  переменная,  значениями  ко-
торой  могут  быть  слова  или  словосочетания  некоторого  естественного  или 
искусственного языка, которые описываются нечеткими значениями. 

 
 
84 
   
Терм-множеством  называется  множество  всех  возможных  значений 
лингвистической переменной. При этом сами элементы этого множества на-
зываются термами. 
Нечетким множеством   некоторого универсального множества   на-
зывается совокупность пар вида  (
x
, где  µ (  - степень принадлеж-
A
)
(x) }
ности  элемента  ∈   множеству  .  Понятия  множества  и  подмножества  в 
их  классическом  определении  будем  называть  терминами  «четкое  множест-
во» и «четкое подмножество» 
Степень  принадлежности – это  число  из  диапазона [0,1], являющееся 
некоторой  элементарной  характеристикой  явления  (степень  загрязненности 
участка,  степень  эффективности  режима  и  т.д.).  Чем  выше  степень  принад-
лежности, тем в большей мере элемент универсального множества соответст-
вует свойствам нечеткого множества. 
Функцией  принадлежности  (ФП)  называется  функция,  которая  позво-
ляет  численно  отразить  степень  принадлежности  произвольного  элемента 
универсального множества [2,44] определенному НМ. 
Носителем нечеткого подмножества   называется четкое подмножест-
во из   , на котором  µ (x

A
)> 0
Перейдем к анализу известных операций  суммирования нечетких мно-
жеств,  для  которых  к  настоящему  времени  существуют  три  аксиоматически 
определенных метода [67]:  
  -алгебраический  ,  ⊂ B :  µ


−µ
⋅µ

A B
+ ( )
w
A( )
w
( )
w
A( )
w B( )
w
  -граничный  ⊕ :  µ
µ
µ
, для  w
∀ ∈
A B (w) =
w
w

A( )+ ( ) Λ1
  -драстический  A: где  µ
= µ
, если  µ (w
  µ
= µ
, ес-
A(w)
(w)
A
)= ,0
A(w)
(w)
ли  µ (w
  ∀ w и  µ
w
 в других случаях. Каждый из этих методов, 

A B (
) =1
B
) = 0
что  принципиально  важно,  представляет  собой  некий  вариант  теоретико-
множественного суммирования, т.е. сумма двух НМ 
'
и 
'
есть либо теоре-
тико-множественное объединение их терм-множеств, либо некоторая  его мо-
дификация.  Можно  утверждать,  что  представленные  три  метода  суммирова-

 
 
85 
   
ния  НМ  принципиально  не  соответствуют  содержательному  смыслу 
суммирования  нечетких    весов  (НВ) 
(
w e)  в  целевой  функции 
∑ (
w e) → еxtrextr ∈{min,
}
max   задач  землепользования,  что  вынуждает  предла-

e Ex
гать и обосновывать новое определение операции суммирования НВ ребер в 
допустимых решениях  ∈  задач, сформулированных в п.3.2.  
В большинстве литературных источников операция суммирования рас-
сматривается  как  теоретико-множественное  объединение.  В [2] удалось  из-
бежать  подмены  арифметического  сложения  следующим  видом  суммирова-
ния. Следуя [2], рассмотрим два НВ  (
w e′) и  (
w e ′), для которых определены со-
ответственно  два  множества-носителя  ′ = {w′,w′ ,...,w′   и  ′ = {,′w′,...,w′ . 
1
2
}
1
2
}
1
2
Для  элементов  этих  множеств  априори  известны  дискретные  функции  при-
надлежности  µ′ = µ (′w′)  и  µ ′ = µ (′w′),  0 ≤ µ (′ ′
), µ (′′) ≤ 1.  Предполагая,  что 
множества  ′  и  ′   упорядочены  по  возрастанию,  получаем  множество-
носитель  для  суммы  носителей  НВ  ′+′ ,  представляющее  собой  такое 
упорядоченное  по  возрастанию  множество  = {,...,,  в  котором 
1
2
}
w′ + ,′ w′ + ′, ...,  w′ + ′ . 
1
1
1
1
2
l
1
l
l2
Определение  функции  принадлежности  µ = µ (w)  элементов  в  сум-
ме  представим на примере одного элемента  wW

. В процессе суммиро-
вания представителей носителей НВ  ′ и ′  элемент  0
 может получаться 
в  результате  сложения  элементов  определенных  ≥ 1  пар:  w′ + ′ , 


1
s
1
s
w′ + ′ ,..., ′ + ′ , ′ < ′ < ... < ′ , ′ < ′ < ... < ′ . Тогда степень принадлежности 



w
s
s
s s
s
s
s
s
s

2
2
q
sq
1
2
q
1
2
q
элемента  0
 в  определяется согласно следующего выражения [6] 
µ(w0 ) = sup {min(µ
′ , µ
′ , 
(3.4)
′ ()
′ () }
(w′+w′)=wW

удовлетворяющего  общепринятому  свойству  меры  принадлежности: 
0 ≤ µ ≤ 1.  Таким  образом,  множество  и  определенная  для  его  элементов 
функция  принадлежности  µ ,  = ,
1 ,...,
2
  представляют  собой  НВ,  яв-
(
)
ляющийся нечетким множеством. 

 
 
86 
   
В качестве иллюстративного примера неадекватности такого (отметим, 
уже  четвертого  по  счету)  способа  суммирования  содержанию  рассматривае-
мой  задачи  землепользования  рассмотрим  два  конкретных  НВ,  полученных 
на выходе прогнозной модели [61], которая была применена для временного 
ряда (ВР) урожайности озимой пшеницы по Волгоградской области:  
(
w e′) = (
w e ′) = (
{
5
,
0
;
10
),(
,
0
;
25 4),(
)1
,
0
;
40
}. 
(3.5)
В  выражении (3.5) веса  (
w e′) и  (
w e ′) представляют собой ожидаемые 
урожайности,  т.е.  ожидаемые  урожаи,  которые  могут  быть  получены  с  еди-
ничной площади  га
1  на двух различных полях. Здесь ожидается: низкий уро-
жай  ц
10 / га   с  функцией  принадлежности  (ФП) 5
µ = ,
0 ;  средний  уро-
Н
жай  С =
ц
25 / га  с ФП  µ = ,
0 4  и высокий урожай  В =
ц
40 / га  с ФП  µ = 1
,
0 . 
С
В
Тогда  содержательно непротиворечивым суммированием этих двух одинако-
вых урожайностей является выражение 
(
w e′) + (
w e ′) = (
{
5
,
0
;
20
),(
,
0
;
50 4),(
)1
,
0
;
80
}. 
(3.6)
Содержательный смысл выражения (3.6) состоит в том, что на площади 
2га   ожидается  следующий  урожай:  =
ц
20 / 2га   с  ФП  µ = 5
,
0 , 
Н
С =
ц
50 / 2га  с ФП  µ = ,
0 4 ,   В =
ц
80 / 2га  с ФП   µ = 1
,
0 . 
С
В
Вычислим теперь сумму  (
w e′) + (
w e ′), используя формулу (3.4): 
(
w e′) + (
w e ′) = (
{
5
,
0
;
20
),(
,
0
;
35 4),(
,
0
;
50 4),(
)1
,
0
;
65
,(
)1
,
0
;
80

(3.7)
Сравнивая правые части выражений (3.6) и (3.7) видим, что каждый из 
них  представляет  собой  НМ,  причем  НМ (3.6) является  собственным  под-
множеством  нечеткого  множества (3.7). Иными  словами,  в  нечетком  множе-
стве (3.7) по сравнению с (3.6) появились два новых элемента: 
(35;0,4),  (65;0,1), 
(3.8)
которые по сути дела привносят собой ненужную, более того, отвлекающую 
информацию о результатах выполнения операции сложения. Действительно, 
представленные  в (3.8) урожайности 
ц
35 / 2га   с  функцией  принадлежности 
40% и 
ц
65 / 2га  с ФП 10% просто непредусмотрены содержательным смыс-

 
 
87 
   
лом рассматриваемой ситуации (о суммарном выходе продукции с пахотных 
угодий площадью  2га ). 
Таким  образом,  представленные  выше  известные  определения  опера-
ции  суммирования  нечетких  множеств [2,24,44,67] не  позволяют  адекватно 
отразить операцию суммирования нечетких весов в рассматриваемой матема-
тической  модели.  Применительно  к  рассматриваемой  задаче  землепользова-
ния представим новое более адекватное реальной ситуации определение опе-
рации суммирования двух нечетких множеств. 
 
3.4. Новые определения операций суммирования и сравнения, аде-
кватных математической модели задачи землепользования  
                  с нечеткими данными 
 

 
 3.4.1. 
Математическая постановка задачи 
 
Для  математической  постановки  задачи  введем  следующие  обозначе-
ния:  = ,
1 ,...,
2
- индекс, которым занумерованы культуры, выращиваемые в 
хозяйстве;  = ,
1 ,...,
2
- индекс, которым занумерованы поля, засеваемые эти-
ми культурами;  - стоимость единицы  -ой культуры;  - площадь  -го по-
k
i
ля;  - директивное ограничение на минимальный объем выхода культуры  
k
= (,-  двудольный  граф,  в  котором  вершины  первой  доли 
1
2
)
=
 перенумерованы индексами культур  = ,
1 ,...,
2
, а вершины 
1
{,...,,...,v
1
k
}
второй  доли  =
перенумерованы  индексами  полей  = ,
1 ,...,
2

2
{,...,,...,v
1
i
}
= { }
- множество ребер графа  , которое содержит ребро  = (,  тогда 
k
)
и только тогда, когда в прогнозируемом году разрешается засевать культуру   
на пахотное угодие поля  . Каждому ребру  = (,∈ , приписан вес  k i
, , 
k
)
представляющий  собой  НМ 
,i
W
= ({ k,i k
; µ , , ; µ , , ; µ
,  где  элемент-
H
) (
k i
k
C
) (
k i
k
B
)}
носитель [10]  k,i
,i
W
⋅  ( k,i
,i
W
⋅ ,   k,i
,i
W
⋅ ) содержатель-
H
k
i
H
C
k
i
C
B
k
i
B
но означает ожидаемый объем  выхода продукции в рублях культуры   с поля 
  в  случае  низкого  (среднего,  высокого)  прогнозируемого  урожая 

 
 
88 
   
k,i
U
, ,, .  В  общем  случае  единицей  измерения  каждого  веса 
k i
, , 
(
k i
k i
C
)

∆ ∈{H,C, }
 могут быть рубли, протеиновые единицы и др. 
 
Теоретико-графовая  постановка  сформулированной  выше  задачи  пред-
ставляет собой задачу покрытия 2-дольного графа звездами [53]. Допустимое 
решение  на 2-дольном графе  = (, этой задачи представляет собой 
1
2
)
такой  его  остовный  подграф  = (,,  ⊆ ,  в  котором  каждая  компо-
1
2
)
x
нента связности представляет собой звезду  k
= {
,,, ν ∈V k 
}
k
k
2
)
k
1
2
2
k
⊂  с центром в определенной вершине   из первой доли  и множест-
x
x
k
1
вом  k
  висячих  вершин  из  второй  доли  ;  звезды  k
,  = ,
1 ,...,
2
,  являю-
2
2
щиеся  по  определению 2-дольными  графами,  определяют  собой  разбиение 
вершин  второй  доли  и  множества  ребер    в  допустимом  решении: 
x
1
2
∪ ... ∪V m 
1
2
m
∪ ∪ ... ∪ .  На  множестве  допустимых 
2
2
2
2
x
x
x
x
решений (МДР) графа   определена целевая функция (ЦФ)  F(x) → max  сле-
дующим  образом.  Для  каждой  пары  (,  ,    определен  объем 
k
)
k
1
i
2
k i
, ожидаемого урожая культуры   на поле  , т.е. ребру  = (,∈  при-
k
)
писан  вес 
(
w e)
,i
.  Допустимым  является  всякое  такое  решение 
m
= (,
k
=
,  для  которого  выполняются  все  неравенства  следую-
1
2
)
x
x
1
=
щей системы:  
∑ (
w e) ≥ ,  = ,

(3.9) 
k
e E k
∈ x
(G) = { }
 - множество всех допустимых решений на графе  . Если це-
левой функцией (ЦФ)  F(x) является экономический эффект, то она определя-
ется на МДР  следующим образом: 
F(x)
m
m
= ∑ ∑⋅ w e
с
w e
 
(3.10) 
k
( ) = ∑ ∑ ( )→ max
1
= ∈
e E k
1
=

e E k
x
x
Задача состоит в том, чтобы найти оптимальное, т.е. максимизирующее 
значение  ЦФ (3.10) допустимое  решение.  Точнее,  требуется  построить  и 
обосновать достаточно эффективный алгоритм нахождения указанного опти-

 
 
89 
   
мума.  При  этом  с  учетом  проведенного  в  п.3.3  анализа  возникает  проблема, 
состоящая в том, чтобы операцию суммирования двух НВ адекватно опреде-
лить с учетом содержания рассматриваемой задачи землепользования. 
 
3.4.2. Новая операция суммирования  (+)  нечетких весов 
 
 
 
Суть  содержательных  особенностей  рассматриваемой  задачи  земле-
пользования требует такого определения операции суммирования (+)  нечет-
ких весов, которая удовлетворяет следующим условиям: 
 
10. В данном 2-дольном графе  = (, множество ребер    разбито 
1
2
)
на подмножества  k
,  = ,
1 ,
  , где  k
= { k
 состоит из всех таких ребер 
}
1
k
,  каждое  из  которых  соединяет  вершину  ,  соответствующую 
i
k i )
k
1
культуре  , с вершиной  , которая соответствует полю  . Каждому ребру 
i
2
ek ∈  приписан нечеткий вес  ( k
w e
,
=
, который для каждого  = ,
 и каж-
)
k i
i
дого  = ,
 имеет одну и ту же структуру, соответствующую принятому терм-
множеству   0
, т.е., если  0
= { }
∆ = {H,C, }
, то  
(
w ek =
µ
∆ ∈
 ∀ ek ∈ 
(3.11) 
)
({ k,
w i ;

k,
w i
∆ )
0
:
}
i
 
20.  Пусть  для  каждого  фиксированного  ∈{ ,1 ,...,
2
}
  является  одинако-
вым  для  всех  ребер  k
k
∈   значение  функции  принадлежности  µ( k,i
w
= µ , 
∆ )
k
i

= ,

0
∆ ∈. Если конкретное допустимое решение  ∈ (G) состоит из звезд 
k
= (
k
,  ,  = ,
,  то  НВ  ( k
w z )  одной  звезды  k
,  представляющий 
k
1
сумму НВ ребер этой звезды, определяется выражением: 
(
w z k )= (+) (
w e) = (
{w
µ

(3.12) 
∆ (z k );
k
∆ )
0
: ∆ ∈}
e E k
∈ x
где значение  w
 элементов-носителей определяется скалярным суммиро-
∆ ( k
)
ванием НВ ребер рассматриваемой звезды 
k
w z =
w e 
0
∆ ∈,  = ,

(3.13) 
∆ (
) ∑ ∆( )
∈ k
e Ex

 
 
90 
   
причем, терм-множество   0
 является одинаковым для всех звезд, хотя в об-
щем случае не обязательно должно иметь вид  0 = {H,C, }
. Иными словами, 
НВ звезды имеет ту же структуру, что и НВ ребра. 
 
Рассмотрим две звезды 
1
k
 и 
k2
, для которых вычислены их НВ 
1
2
согласно (3.12). Тогда операция суммирования (+) этих НВ определяется вы-
ражением 
(
w z
(+) w z w z w z ; µ w z w z
:∆ ∈
(3.14) 
1 )
( 2 ) {( ∆ ( 1) ∆ ( 2 ) ( ∆ ( 1) ∆ ( ) )
0
2
}
в  котором  суммирование  элементов-носителей  (w
+
  является  ска-
∆ (z
w z
1 )
∆ ( x2 )
лярным, а значение функции принадлежности вычисляется согласно правила 
центра тяжести, используемого в операции дефазификации [24]: 
µ(w
+
=

(3.15) 
∆ (
L z z
( ) w z

1 )
∆ ( 2 )
( 1 2 )
∆ (z
1
2 )
где   L
=
⋅ µ
+
⋅ µ
,    N
=
+
,   
0
∆ ∈
∆ (z
w z
w z
1
2 )
∆ ( 1 )
∆ ( 2 )
∆ (z
w z
z
w z
z
1
2 )
∆ ( 1 )
∆ ( 1 )
∆ ( 2 )
∆ ( 2 )
В этих обозначениях определенное выражениями (3.14)-(3.15) суммирование  
(+) представляется следующим образом:  
(
L z z
w z ( ) w z
N z z
;
:
W

1 ) +
( 2 ) ⎧⎛

= ⎨
1
2
0
∆ ( 1
2 )
∆ (
)




N z z
∆ ( 1
2 )
∆ ∈






Примечание 3.1. Определенная согласно (3.14) и (3.15) операция сум-
мирования (+)  в  случае  одинаковых  значений  функций  принадлежности 
µ(, µ   полностью  совпадает  с  операцией  скалярного  суммирования 
1 )
( 2 )
(3.12), относящейся к суммированию НВ ребер одной и той же звезды. 
 
Рассмотрим задачу покрытия двудольного графа  = (, звездами, 
1
2
)
где  множество  ребер      разбивается  на  подмножества  k
  ребер,  инцидент-
ных центрам звезд  ,   = ,
. При определении ЦФ (3.10) на допустимых 
k
1
решениях  = (,
 множество ребер   представляется в виде под-
1
2
)
(G)
x
множеств  k
, состоящих соответственно из ребер звезд  z k z k (x),  = ,
1 ,...,
2

x
В ЦФ (3.10) суммируются НВ  (
w e), которые в случае принадлежности ребра 
k
∈   имеют  вид  (
w e) = {wk
µ
. Пусть для всякого фиксирован-
∆ (e),
(wk∆(e)
0
: ∆ ∈}
x

 
 
91 
   
фиксированного  ∈{ ,1 ,...,
2
}
 значение  µ( k
 одинаковы для всех ребер 
k
∈ 
∆ )
E k ⊂  и равны числу  k
µ , т.е. 

(
w e) = (
{wk µ

k
∈ .   
(3.16) 
∆ (e),
k
∆ )
0
: ∆ ∈}
Введем 
обозначения: 
k
N x =
k
w E =
k
w e ;   k
L
=
⋅ µ  ; 
∆ (x)
k
∆ (x)
k
∆ ( )
∆ ( )
∑ ∆( )

∈ k
e Ex
m
m
N x =
⋅ k
N x ,   L x =
⋅ k
L x .  В  этих  обозначениях  использование  в 
∆ ( )
∑ ∆( )
∆ ( )
∑ ∆ ( )
=1
=1
ЦФ (3.10) операции  суммирования  (+),  определяемой  согласно (3.14), (3.15), 
приводит с учетом (3.16) к следующему представлению значения этой ЦФ в 
виде НВ: 
 
F(x)
m
= ∑c
w e µ
W
∑ (
k
k
∆ ∈
=
∆ ( ),
∆ ):
0 }
1
=

e Ekx
 
(3.17) 
m
= ∑ ({ k
k
N x µ
∆ ∈N x µ x
∆ ∈W
∆ ( ),
∆ ):
0 } ({ ∆ ( ) ; ∆ ( ) :
0 },
1
=
где  µ
=

∆ (x)
L∆ (x)
∆ (x)
Следует отметить, что НВ, представляющий значение ЦФ (3.10), также 
имеет ту же структуру, что и НВ ребра или звезды. 
В  качестве  иллюстративного  примера  рассмотрим  задачу  покрытия 2-
дольного 8-вершинного графа = (,E
 (рис.3.1)  
1
2
), =
1
{vk}, vk ∈{v′,}′
 
G
e
 
1
 
 
 
v
e′2
 
 
 
е 
 
3
 
 
  е ′4
V
V2
1
 
 
е ′  
1
е ′2
 

е 
 
3
е ′4
 
  Рисунок 3.1. 8-вершинный 2-дольный  граф   = (,,E
1
2
), =
1
{vk}, vk ∈{v′,}′
                              
 

 
 
92 
   
двумя  звездами  z′ = e′ e
e

,  образующими  до-
r
′ 

r

′ =
1
{ , ,...,
1
2
},, 1 { , ,...,
1
2
},
6
пустимое решение  =
. Нечеткие веса  для ребер двух звезд, 
1
(,,
1
2
)
(G)
1
соответствующих  культуре  «один  штрих»  и  культуре  «два  штриха»,  пред-
ставлены  в  виде    нечетких  множеств,  состоящих  из  совокупности  пар  вида 
= {w; µ(w)}, где  - элемент-носитель данного НВ, а  µ(w)– значение функции 
принадлежности этого элемента. 
    (
w e′ ) = (
{ 3,
0
;
8

(
w e ′ =

1 )
({
)1
,
0
;
18
, (
,
0
;
38 6), (
3
,
0
;
56
)}
1
),( ,0
;
18 2), (
5
,
0
;
38
)}
(
w e′ ) = (
{
3
,
0
;
10

(
w e ′ =

2 )
({
)1
,
0
;
20
, (
,
0
;
40 6), (
3
,
0
;
58
)}
2
),(
,
0
;
20 2), (
5
,
0
;
40
)}
(
w e′ =

(
w e ′ =

3 )
({
)1
,
0
;
22
, (
6
,
0
;
42
),(
)
3
,
0
;
60
}
3 )
({
)
3
,
0
;
12
, (
,
0
;
22 2), (
5
,
0
;
42
)}
(
w e′ ) = (
{
3
,
0
;
14

(
w e ′ =

4 )
({
)1
,
0
;
24
, (
,
0
;
44 6), (
3
,
0
;
62
)}
4
),(
,
0
;
24 2), (
5
,
0
;
44
)}
 
 
x
x
x
2
3
 
1
e′1
e
e
1
1
z
z′3
1
e
e′2
z
e
2
2
2
v
e
v
e
3
3
v
e′4



1
1
1
′1
z′2
e
e′2
2
e

2


3
e
e
3
3

e′4  
а) 
 
 
 
 
б) 
   в) 
 
Рисунок 3.2. Допустимые покрытия    8-вершинного 2-дольного графа звездами  
r
 
z′  и  ′ , = ,
1 3
,
2  
r
r
 
Проиллюстрируем этапы суммирования нечетких весов для каждого из 
решений  ,   и   (рис. 3.2 а,б,в). 
1
2
3
Для  , согласно (3.12) и (3.13) внутри одной звезды суммируем НВ ре-
1
бер первой звезды  (
w z′ = w e′ + w e′ + w e′ =
 и НВ ребер 
1 )
( 1) ( 2 ) ( 3 ) ({
)
3
,
0
;
30
, (
,
0
;
60 2), (
5
,
0
;
120
)}
второй  звезды  (
w z ′ = w e ′ + w e ′ + w e ′ =
.  Таким  обра-
1 )
( 1) ( 2 ) ( 3 ) ({
)1
,
0
;
60
, (
6
,
0
;
120
),(
)
3
,
0
;
174
}

 
 
93 
   
зом,  вычислены нечеткие веса двух звезд   (
w z′  и  (
w z ′ . Далее, согласно (3.14) 
1 )
1 )
и (3.15) находим сумму НВ для этих двух звезд, при этом, суммирование эле-
ментов-носителей является скалярным, а значение функции принадлежности 
вычисляется согласно (3.15): 
30 ⋅ 3
,
0 + 60 ⋅ 1
,
0
15
w
;   µ
 
(wH (
w z ′ =
=
=
1 ) ( )
( 1 )
17
,
0
(′ + w
′ =
+
1 )
( 1 )
30 60
30 + 60
90
60 ⋅ ,
0 2 + 120 ⋅ 1
,
0
84
w
;   µ
 
С (wС (
w z ′ =
=
=
1 ) ( )
С ( 1 )
,
0 47
(′ + w
′ =
+
1 )
( 1 )
60 120
60 + 120
180
120 ⋅ ,
0 2 + 174 ⋅ 3
,
0
,
112 2
w
;   µ

(wB (
w z ′ =
=
=
1 ) ( )
( 1 )
38
,
0
(′ + w
′ =
+
1 )
( 1 )
120 174
120 + 174
294
таким образом, для решения   из рис.3.2 значение ЦФ (3.10) представляется 
1
в  виде  НМ  F() = (
{
17
,
0
;
90
.  Для  наглядности  на  рис. 3.3  
1
),(
,
0
;
180 47), (
38
,
0
;
294
)}
приведено графическое представление слагаемых НВ  (
w z′  и  (
w z ′ , а также их 
1 )
1 )
суммы, представляющей НВ решения  
1
µ( (
w z)
1
0,8
(
w z ′1)
(
w z′ + w z 
1 )
( 1)
0,6
(
w z′1 )
0,4
0,2
(
w z)
0
0
25
50
75
100 125 150 175 200 225 250 275 300
 
Рисунок  3.3.  Графическое  представление  значения  нечеткого  множества  суммы 
весов  двух звезд  (
w z′  и  (
w z ′ , представляющих  культуру «один 
1 )
1 )
штрих» и культуру «два штриха»   
 
Для  решения    аналогично  находим  НВ  соответствующих  звезд  z′   и 
2
1
′ : 
2
(
w z′ = w e′ + w e′ + w e′ + w e′ =
   
2 )
( 1) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ({
)
3
,
0
;
44
, (
,
0
;
84 2), (
5
,
0
;
164
)}
и  (
w z ′ = w e ′ + w e ′ =
. Далее, сумма НВ этих двух звезд   
2 )
( 3) ( 4 ) ({
)1
,
0
;
46
, (
6
,
0
;
86
),(
)
3
,
0
;
122
}
(
w z′  и  (
w z ′  определяется по формуле (3.15): 
2 )
2 )

 
 
94 
   
44 ⋅ 3
,
0 + 46 ⋅ 1
,
0
8
,
17
w
;   µ
 
(wH (
w z ′ =
=
=
2 ) ( )
( 2 )
17
,
0
(
w z ′ =
+
2 )
( 2 )
44 46
44 + 46
90
84 ⋅ ,
0 2 + 86 ⋅ 6
,
0
,
68 4
w
;   µ
 
С (wС (
w z ′ =
=
=
2 ) ( )
С ( 2 )
,
0 40
(
w z ′ =
+
2 )
( 2 )
84 86
60 + 120
170
164 ⋅ 5
,
0 + 122 ⋅ 3
,
0
6
,
118
w
;   µ
.  
(wB (
w z ′ =
=
=
2 ) ( )
( 2 )
,
0 41
(
w z ′ =
+
2 )
( 2 )
164 122
164 + 122
286
Таким 
образом, 
для 
решения 
 
на 
рис.3.2 
значение 
ЦФ 
2
F(=

2 )
({
,
0
;
90 20), (
,
0
;
170 40), (
,
0
;
286
)
41 }
По аналогии с   и   для решения   (см. рис.3.2 в) находим НВ соответст-
1
2
3
вующих ему звезд:   (
w z′ = w e′ + w e′ =
  
3 )
( 3 ) ( 4 ) ({
)
3
,
0
;
18
, (
,
0
;
38 2), (
5
,
0
;
78
)}
и  (
w z ′ = w e ′ + w e ′ + w e ′ + w e ′ =
.  Далее,  в  соответст-
3 )
( 1) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ({
)1
,
0
;
84
, (
6
,
0
;
164
),(
)
3
,
0
;
236
}
вии с (2.14) и (2.15) находим сумму НВ этих звезд:   
18 ⋅ 3
,
0 + 84 ⋅ 1
,
0
8
,
13
w
;   µ
 
(wH (
w z ′ =
=
=
3 ) ( )
( 3 )
14
,
0
(′ + w
′ =
+
3 )
( 3 )
18 84
18 + 84
102
38 ⋅ ,
0 2 + 164 ⋅ 6
,
0
106
w
;   µ
 
С (wС (
w z ′ =
=
=
3 ) ( )
С ( 3 )
52
,
0
(′ + w
′ =
+
3 )
( 3 )
38 164
38 + 164
202
78 ⋅ 5
,
0 + 236 ⋅ 3
,
0
8
,
109
w
;   µ

(wB (
w z ′ =
=
=
3 ) ( )
( 3 )
35
,
0
(′ + w
′ =
+
3 )
( 3 )
78 236
78 + 236
314
Результатом суммирования НВ двух звезд (рис.2.2 в) является нечеткое мно-
жество значения ЦФ   F(w z′ + w z ′ =

3 )
( 3 ) ( ) ({
14
,
0
;
102
3
),(
6
,
0
;
164
),(
)
3
,
0
;
236
}
Представим  графически  на  (рис.3.4)  нечеткие  значения  ЦФ  рассмот-
ренных  трех решений   ,   и  . Эти НВ рассмотрим при определении опе-
1
2
3
рации сравнения нечетких значений максимизируемой ЦФ. 
µ(F(xr )
x
0,6
3
0,5
x1
0,4
0,3
x2
0,2
0,1
F(xr )
0
0
50
100
150
200
250
300
350
 
Рисунок 3.4. Графическое представление результатов нечетких весов значений ЦФ 
F(, = ,
1 . 
r
r

 
 
95 
   
3.4.3. Операция сравнения НВ 
 
Отметим теперь, что к настоящему времени отсутствует общепризнан-
ный метод упорядочения двух НВ или НМ по предпочтительности в задачах 
оптимизации. Практически все известные методы такого упорядочения [2,44] 
оперируют  только  значениями  функции  принадлежности  без  учета  числен-
ных  значений  элементов-носителей  сравниваемых  НВ,  что  совершенно  не 
адекватно целям рассматриваемой задачи землепользования. 
Предлагаемый  в  настоящей  работе  метод  упорядочения  НВ  по  пред-
почтительности  базируется  на  процедуре  дефазификации [24]. Прежде,  чем 
приводить  описание  этой  процедуры,  отметим  условия,  при  которых  она  не 
нужна. Для этого рассматриваем 2 допустимых решения  ∈ , на которых 
1
2
ЦФ (3.10) принимает значения в виде двух НВ 
F(w x ; µ x
,    ∆ ∈{Н,С, }
В ,     = ,
1 2 , 
(3.23) 
)
({ ∆( j) ∆( j)}
Тогда,  рассматривая  величины  w
  и  µ (  в  качестве  максимизируемых 

)
∆ (x j )
показателей,  можно  утверждать,  что  вариант    предпочтительнее  варианта 
1
, если выполняются следующие неравенства 
2
w

,  µ
≥ µ
,  ∆ ∈{Н,С, }
В 
(3.24) 
∆ (x
x
1 )
∆ ( 2 )
∆ (x
w x
1 )
∆ ( 2 )
среди которых хотя бы одно является строгим. В случае невыполнения усло-
вия (3.24) реализуется  следующая  процедура  дефазификации.  Сначала  вы-
числяются следующие величины:  
L(= ∑ w x ⋅ µ ,   (x
µ ,   N(x
w x ,  = ,
1 2 .  (3.25) 
) = ∑
∆ ( )
) = ∑
∆ ( )
)
∆ ( )
∆ ( )
W


0


0
W
∆∈ 0
W
Далее вычисляются центры тяжести носителей (ЦТН) и соответствующие им 
степени принадлежности (СП):  
(
w x L x
M x ,  µ(L x
N x 
(3.26) 
)
) ( )
)
) ( )
Пару  ( (
w x ; µ x
 условимся называть  сверткой нечетких весов (СНВ). 
)
)
Для упорядочения вариантов  , 2
= ,
1  по предпочтительности осуществля-
j
ется операция сравнения интервалов [42]  [µ(w x ,  =
. При этом гра-
)
)]
,
1 2

 
 
96 
   
ницы  этих  интервалов  рассматриваются    в  качестве  максимизируемых 
показателей. 
Определение 3.1.  Вариант    предпочтительнее  варианта    (эквива-
1
2
лентен варианту  ), или в другой терминологии,   доминируется вариантом 
2
2
  (, если выполняются неравенства  µ(≥ µ ,  (
w x ≥ w x , среди ко-
1 )
( 2)
1 )
( 2)
1
2 )
1
торых  хотя  бы  одно  является  строгим  (равенства  µ(= µ ,  (
w x w x ). 
1 )
( 2 )
1 )
( 2 )
Эквивалентность этих вариантов обозначаем через  .   
1
2
Определение 3.2. Варианты   и   являются несравнимыми ( ↔ ), 
1
2
1
2
если  в  паре  интервалов  [µ(w x ,  = ,12  один  из  них  является  строгим 
)
)]
включением другого. 
Примечание 3.2. Нетрудно убедиться в том, что при выполнении нера-
венств (3.24) вариант    преподчтительней    .  Если  в (3.24) выполняются 
1
2
равенства, то   .  
1
2
Определенные  выше  бинарные  отношения  БО  предпочтительности  f , 
эквивалентности ~ и несравнимости  ↔  позволяют вычленить из МДР  = { }
 
~
паретовское  множество  (ПМ)  ,  на  котором  для  каждой  пары  НВ 
( (
w x′); µ(x′) , ( (
w x ′); µ(′) )  выполняется  БО  несравнимости  и  БО  эквивалентно-
сти. Последнее разбивает ПМ  ~
 на классы эквивалентности. Выбирая из ка-
ждого класса по одному представителю, получаем полное множество альтер-
натив (ПМА)  ⊆ ~
, 0
⊆ . Определенное таким образом ПМА 
0
 являет-
ся  искомым  математическим  решением  задачи  дискретного  программирова-
ния  с  нечеткими  данными.  Далее  элементы  ПМА 
0
  упорядочиваются  по 
предпочтительности в смысле принятия решения [7,35,44]. 
Решение  выше  приведенного  примера  представляется  в  виде  МДР 
= {.  Полученное  МДР  проверяется  на  выполнение  для  всех  пар  из 
1
2
3 }
 условия (3.24), при котором решения упорядочиваются по предпочтитель-
ности и при этом операция дефазификации не нужна. Проведенная проверка 
выполнения условия (3.24) дала такой результат, что это условие не выполня-

 
 
97 
   
ется для каждой пары решений из  . В связи с эти переходим к следующему 
этапу, а именно к вычислению величин (3.25). Согласно этой процедуры вы-
числяем центры тяжести элементов-носителей и соответствующие им степе-
ни принадлежности: 
(

+

+

w x =
=
=

1 )
90
17
,
0
180 ,
0 47 294
38
,
0
62
,
211
5
,
207
17
,
0
+ ,
0 47 + 38
,
0
02
,
1
µ(

+

+

=
=
=

1 )
90
17
,
0
180 ,
0 47 294
38
,
0
62
,
211
,
0 45
90 +180 + 294
474
(

+

+

w x =
=
=

2 )
90 ,
0 20 170 ,
0 40 286 ,
0 41
,
203 26
,
201 25
,
0 20 + ,
0 40 + ,
0 41
01
,
1
µ(

+

+

=
=
=

2 )
90 ,
0 20 170 ,
0 40 286 ,
0 41
,
203 26
372
,
0
90 + 170 + 286
546
(

+

+

w x =
=
=

3 )
102
14
,
0
202
52
,
0
314
35
,
0
,
229 22 227
14
,
0
+ 52
,
0
+ 35
,
0
01
,
1
µ(

+

+

=
=
=

3 )
102
14
,
0
202
52
,
0
314
35
,
0
,
229 22
370
,
0
102 + 202 + 314
618
Согласно (3.26) вычисленные  центры  тяжести  элементов-носителей  и 
соответствующие им степени принадлежности можно представить в виде пар  
(
w x =
µ =
;  (
w x =
µ =
; (
w x =
µ =

3 )
,
227
( 3 ) 370
,
0
2 )
,
201
,
25
( 2 ) 372
,
0
1 )
207 ,
5
,
( 1) ,045
Каждую пару вида ( ;
µ ) можно назвать результатом свертки нечетких 
весов. Для упорядочения их по предпочтительности осуществляется сравне-
ния  интервалов  вида  [µ; ]
.  Результаты  применения  операции  сравнения  для  
решения примера сведены в таблицу 3.1.  
             Таблица 3.1      
Результат свертки нечетких весов в МДР  = {                                            
1
2
3 }

           µ(w x  
µ(x
(
w x  
)
)
)
)
x
 
r
           
 
0,45 207,5 
1
                 
 
0,372 201,25 
2
 
 
0,370 227 
3
Согласно  определения 3.1 и  значений  ЦФ (3.10) из  МДР    выделяем 
множество  альтернатив  (МА)  * ⊆ ,  состоящее  из  векторно  несравнимых, 
т.е.  взаимно  недоминируемых  допустимых  решений.  Из  табл.2.1  видно,  что  

 
 
98 
   
 предпочтительнее   ( ), т.е   доминируется   , а   и   по опреде-
1
2
1
2
2
1
1
3
лению 3.2   несравнимы:  (↔ . Тогда исключив из   решение  , получа-
1
2 )
2
ем ПМ,  совпадающее с ПМА  ~
0
= {
1
3 }
 
Выводы 

 
1.  Сформулирован  и  обоснован  вывод  о  том,  что  искомым  решением 
оптимизационной  или  векторной  задачи  в  условиях  неопределенности  (ин-
тервальные и нечеткие исходные данные) является определенное множество 
альтернатив, а не отдельное допустимое решение. В качестве конкретной мо-
дели  для  диссертационного  исследования  сформулирована  векторная  поста-
новка задачи покрытия графа звездами и паросочетаниями с нечеткими веса-
ми. 
2. Дано обоснование заключения о том, что все известные к настояще-
му времени определения операции суммирования для нечетких множеств яв-
ляются  неадекватными  содержательной  сущности  рассматриваемой  задачи 
землепользования.  
3.  Сформулированы  и  обоснованы  новые  определения  операций  сум-
мирования  и  сравнения,  адекватных  математической  модели  задачи  земле-
пользования с нечеткими данными. 
 

 
99 
 
ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ  ВЕРХНЕГО  УРОВНЯ.  ИССЛЕДОВАНИЕ  ВЫЧИС-
ЛИТЕЛЬНОЙ  СЛОЖНОСТИ,  РАЗРЕШИМОСТИ  С  ПО-
МОЩЬЮ  АЛГОРИТМОВ  ЛИНЕЙНОЙ  СВЕРТКИ  И  АЛ-
ГОРИТМ  С  ОЦНКАМИ  ЗАДАЧ  ПОКРЫТИЯ  ГРАФА 4- 
ЦИКЛАМИ 

 
 
 
 
В предыдущей главе рассматривалась проблема получения прогнозных 
значений  урожайностей.  Эта  проблема  относится  к  нижнему  уровню  общей 
2-уровневой  модели  землепользования  пахотными  угодьями.  Полученные  в 
виде нечетких или скалярных значений результаты прогнозирования, выпол-
ненные на нижнем уровне, представляют собой исходные данные для экстре-
мальных  задач  на  графах,  рассматриваемых  на  верхнем  уровне  моделирова-
ния. Такого рода задачи рассматривались в многочисленных публикациях, от-
носящихся  к  проблематике  дискретной  оптимизации.  Вместе  с  тем  следует 
отметить, что практически во всех таких публикациях рассматриваемые зада-
чи формулируются в предположении, что в данном графе весами ребер явля-
ются обычные числа или в условиях многокритериальности ребра взвешены 
векторами  чисел.  Экстремальные  задачи  на  графах  с  нечеткими  весами  для 
ребер до настоящего времени фактически не исследовались. Поэтому для та-
ких  задач  остаются  открытыми  все  вопросы,  касающиеся  таких  фундамен-
тальных  характеристик,  как  оценки  вычислительной  сложности,  разреши-
мость с помощью алгоритмов линейной свертки критериев (АЛСК), прибли-
женные методы с априорными оценками точности и трудоемкости и т.д. 
 
В качестве конкретного исследования главы 4 выбрана задача покрытия 
4- циклами графа с нечеткими либо интервальными весами в силу ряда при-
чин: во-первых, эта задача остается неисследованной даже для случая, когда 
весами ребер являются обычные числа; во-вторых в прикладном отношении 
эта  задача  является  актуальной  в  силу  наметившейся  в  землепользовании 
тенденций  культивирования  так  называемых  коротких (3-польных, 4-
польных) севооборотов;  в-третьих,  методологическая  проблема,  обусловлен-

 
100 
 
ная нечеткими весами, в равной мере присуща всем  задачам покрытия графа 
типовыми подграфами.    
В [86,87] представлена статья, посвященная взаимосвязи между интер-
вальной математикой и теорией нечетких множеств. Связь между интерваль-
ной математикой и теорией НМ очевидна в общем случае, а также в арифме-
тике, логике и в исследованиях математических неопределенностей. Многие 
исследователи по сегодняшний день используют интервальную математику в 
теории нечетких множеств. Влияние нечеткой теории на интервальную мате-
матику не совсем очевидно, но вместе с тем результаты, полученные в облас-
ти нечеткого множества используют в исследованиях, относящиеся к области 
интервальной математики. Кажущиеся различия между ними возникли в силу 
того, что основные направления интервальной математики и теории нечетко-
го множества развивались параллельно, практически не пересекаясь. Теория 
приближений  независимо  развилась  из  того,  что  было  известно  в  обобщен-
ном  интервальном  анализе,  и  вместе  с  тем,  она  может  быть  использована  в 
обобщенной теории нечетких множеств. 
 
Одно из направлений интервальной математики привело к валидацион-
ному анализу. Сравнимый аналог этого анализа можно использовать в нечет-
ких  множествах.  Интервальный  анализ – это  метод  моделирования  неопре-
деленностей,  возникающих  в  результате  компьютерных  вычислений.  Таким 
образом, интервальный анализ – это часть математического моделирования в 
поле теории нечетких множеств.  
 
Появились публикации [2,87], посвященные применению интервальных  
методов в теории нечетких множеств. Можно также утверждать, что эти  об-
ласти  являются  взаимодополняющими.  Кроме  того,  сегодня  уже  есть  доста-
точно много работ, посвященных методам оптимизации как в области интер-
вального анализа, так и в теории нечетких множеств. Эти работы устанавли-
вают взаимосвязь между интервальной и нечеткой оптимизациями. 
 
 

 
101 
 
4.1. Формулировка интервальной экстремальной задачи  
 
Интервальные задачи возникают в условиях неточных данных ее пара-
метров [1,14,68]. В математических моделях землепользования интервальный 
вес  может,  например,  представлять  урожайность  культуры,  прогнозируемое 
значение которой в принципе не может быть задано в виде однозначно опре-
деленного числа [47]. 
Сформулируем  интервальную  экстремальную  задачу  на  графах.  В  за-
данном  -вершинном графе  = (E)  каждое ребро  ∈  взвешено интерва-
лом  (
w e),  т.е.  отрезком  (
w e) = [w
,
, где  w

. Подграф  = (
x
)
1 (e)
w2 (e)
1 (ew2 (e)]
⊆ ,  ⊆  представляет собой допустимое решение рассматриваемой за-
x
x
дачи. Обозначим через  = { }
 МДР рассматриваемой задачи, на котором оп-
ределена интервальная целевая функция (ИЦФ) 
(
w x) = ∑ (
w e) → max  
(4.1) 

e Ex
или ИЦФ  
(
w x) = min (
w e) → max . 
(4.2) 

e Ex
Значение  этих  ИЦФ  можно  получить  из  свойств  операций  сложения 
интервалов [1,14,27] и  сравнения  интервалов [1], представляющих  значение 
ИЦФ 
(
w x) = [w
,

(4.3) 
1 (xw2 (x)]
где  w
= ∑
,  = ,
1 2 . Под решением интервальной задачи понимается та-
(x)
wi (e)
eEx
кой элемент  x0 ∈ , на котором значение ИЦФ (4.1) или (4.2) достигает  тре-
буемого экстремума. 
В  случае  интервальных  весов  нахождение  оптимума  наталкивается  на 
проблему  выбора  наиболее  целесообразного  решения  из  множества  несрав-
нимых  альтернатив.  В  связи  с  этим  необходимо  ввести  отношения  предпоч-
тения, эквивалентности и несравнимости [14,27]. 
Определение 4.1. Бинарное отношение (БО) предпочтительности усло-

 
102 
 
вимся обозначать символом  f , БО несравнимости – символом  ↔ , БО эквива-
лентности – символом ~. Из двух решений   и  ,   ∈ ,   предпочти-
1
2
1
2
1
тельнее решения  ), если  w

,  = ,
1 2 , при этом хотя бы одно 
(x
w x
1 )
( 2 )
2
1
2
неравенство является строгим. Решения   и   несравнимы ( ↔ ), когда 
1
2
1
2
имеет место строгое вложение интервалов  (
w x ⊂ w x , либо  (
w x ⊂ w x . Эти 
2 )
( 1)
1 )
( 2)
решения  эквивалентны ( ~  ), если совпадают соответствующие им интер-
1
2
валы  (
w x w x 
1 )
( 2 )
Отношения предпочтения и несравнимости порождают на МДР   па-
ретовское множество (ПМ)   ~
⊆  [65], состоящее из паретовских оптимумов 
(ПО). 
Определение 4.2.  Для  задачи  с  ИЦФ (4.1) решение  x~ ∈   называется 
ПО, если не существует  x* ∈  такого, что   x* f x~ . 
В  качестве  искомого  решения  сформулированной    задачи  можно  рас-
сматривать как ПМ  ~
, так и используемое в многокритериальной оптимиза-
ции понятие ПМА   0
 [47]. 
Определение 4.3. ПМА  есть  подмножество 
0
~
⊆   минимальной 
мощности,  содержащее  по  одному  представителю  на  каждое  значение  (
w x), 
~
∈ , где  (
w x) есть значение ИЦФ (4.1). 
Примечание 4.1.  Введение  указанных  бинарных  отношений  порядка 
f ,  ↔  и ~  на МДР   диктуется содержательной постановкой задачи. Отме-
тим, что отношения порядка, представленные  в определении 4.1, порождают 
паретовское  множество  меньшей  мощности,  нежели  отношения  порядка, 
предлагаемые в работах [28]. 
 
4.2. Аппроксимация интервальной задачи покрытия графа 4- цик-
лами  векторной задачей 
 
Поясним  термины  «векторная  задача  на  графах  с  критериями  вида 
MAXSUM»  и «2-критериальная  задача  на  графах  с  критериями  вида MAX-
MIN». Рассматривается  -вершинный граф  = (E), в котором каждое реб-

 
103 
 
ро  e∈   взвешено  парой  весов  W
,
,  причем,  является  обязательным 
1 (eW2 (e)
выполнение неравенства W

. На МДР   определена векторная целе-
1 (e)
W2 (e)
вая функция (ВЦФ)  
F(x) = (F
,

(4.4) 
1 (xF2 (x)
состоящая из критериев вида MAXSUM 
F
, ν =
 
(4.5) 
ν (x) = ∑Wν (e) → max
,
1 2

e Ex
или критериев вида MAXMIN 
 
F
,  ν =

(4.6) 
ν (x) = minWν (e) → max
,
1 2

e Ex
ВЦФ (4.4)-(4.6) определяет в МДР 
~
 ПМ  , а также ПМА  0
. В каче-
стве  искомого  решения  этой 2-критериальной  задачи  в  различных  работах  
рассматривается как ПМ  ~
, так и ПМА  0
.  
Примечание 4.2. Всякая математическая постановка векторной задачи 
на графах всегда предполагает строгое определение допустимого решения  
МДР  ,  а  также    критериев    F
,  ν =
,  extr ∈{min,
}, соответст-
ν (x) → extr
,
N
max
вующей ВЦФ  F(x) = ((x),(x),..., (x) . 
1
2
N
)
Перейдем теперь к проблеме определения методов решения интерваль-
ных задач на графах. В работе [90] представлено обоснование утверждения о 
том, что всякая интервальная задача на графах с ИЦФ (4.1) эквивалентна со-
ответствующей 2-критериальной  задаче  с  ВЦФ (4.4)-(4.5), а  всякая  интер-
вальная задача на графах с ИЦФ (4.2) эквивалентна 2-критериальной задаче с 
ВЦФ (4.4)-(4.6). При этом заметим, что в критериях этих задач значения ве-
сов  (e)   определяются  равенствами:  W
=
,  W
=
,  e∈ .  Здесь 
2 (e)
w2 (e)
1 (e)
w1(e)
ν
термин «эквивалентность»  означает, что ИЦФ (4.1) и ВЦФ (4.4)-(4.5) задают 
на МДР этих задач соответственно совпадающие   ПМ и ПМА. Следователь-
но,  для  нахождения  паретовских  оптимумов  данных  интервальных  задач 
можно их свести к 2-критериальным задачам с последующим использовани-
ем  подходящих АЛСК. 
До настоящего времени оставался открытым вопрос о разрешимости с 

 
104 
 
помощью АЛСК именно тех векторных задач, к которым сводятся соответст-
вующие интервальные задачи. Перейдем к рассмотрению этого вопроса. 
Как  указано  выше,  интервальная  задача  покрытия  графа 4 – циклами 
сводится к соответствующей 2-критериальной задаче [90], которая формули-
руется  следующим  образом.  В  данном  графе  = (E)  каждому  ребру  ∈  
приписана пара весов  w
, ν =
, причем для всякой такой пары выполня-
ν (e)
,
1 2
ется  неравенство  w

.  Будем  называть  -вершинный  цикл  -циклом, 
1(e)
w2(e)
2 ≤ ≤ .  Допустимым  покрытием  графа    циклами  называется  всякий  его 
остовный подграф  = (,,  ⊆ , у которого каждая компонента связности 
)
x
представляет собой некоторый   -цикл,  ∈ .  Для заданной пары  G со-
ответствующее ей МДР обозначается через  (G) = { }

На МДР    определена ВЦФ (4.3), состоящая из критериев вида MAX-
SUM 
F
,  ν =
 
(4.7) 
ν (x) = ∑ wν (e) → max
,
1 2

e Ex
и критериев вида MAXMIN 
 
F
,  ν =

(4.8) 
ν (x) = min wν (e) → max
,
1 2

e Ex
причем, для каждого ребра графа   его веса удовлетворяют условию 
w

,  e∈ 
(4.9) 
1 (e)
w2 (e)
 ВЦФ вида (4.4), (4.7), (4.9) и соответственно ВЦФ (4.4), (4.8), (4.9) за-
дают в МДР 
~
 и  ПМ  , которые, в свою очередь, содержат искомое ПМА 
0
. Нахождение этих ПМА и означает решение исходных интервальных за-
дач с ИЦФ (4.1)-(4.3) . 
 
4.3. Исследование разрешимости с помощью алгоритмов линейной 

свертки  критериев  задачи  с  интервальными  данными  и  кри-
териями вида MAXSUM 

 
Для  определения  понятия  «линейная  свертка  критериев»  введем  мно-
жество векторов размерности  

 
105 
 

      (4.10) 
⎨λ
λ λ
λ
∑λ
λ
ν

Λ =
=
=
>
=

N
(
N
, ,...,
:
1,
0,
1,2,...,
1
2
)
ν
ν


ν 1
=

Линейную  свертку  критериев  (ЛСК)  будем  обозначать  через  λ ( x). 
Для выбранного вектора λ ∈ Λ  ЛСК определяется выражением 
N
λ ( ) N
    (4.11) 
F
= ∑λ F
ν ν ( x) . 
ν 1
=
Вычислительная схема АЛСК, чаще всего, строится с учетом того, что 
является справедливым следующее 
Утверждение 4.1. Для любого вектора   λ  из множества векторов (4.7) 
элемент  *
,  максимизирующий  на  МДР    линейную  свертку  критериев 
(4.11) целевых функций   F
, ν =
, является ПО [65]. 
ν (x)
,
1 ,...,
2
N
Однако,  как  было  отмечено  выше,  АЛСК    не  всегда  обеспечивают  по-
лучение всех ПО  ~ ~
~
∈  [32,52]. Если ПМ   хотя бы одной индивидуальной 
интервальной  задачи  и  соответствующей  ей 2-критериальной  задачи  содер-
жит  такой  элемент  *
,  на  котором  ни  при  каком  λ ∈ Λ   не  достигает  макси-
2
мума значение свертки (4.11), то можно говорить о неразрешимости с помо-
щью АЛСК соответствующей массовой задачи [17]. 
Рассмотрим  конкретную  индивидуальную  задачу  покрытия 8-
вершинного  графа  *
= ( * *
) 4-вершинными  циклами  (рис.4.1).  Множество 
его вершин содержит 8 вершин,   *
= 8 ,  а множество  E* = {,  = ,
1 24   состо-
}
ит из следующих ребер:  
 
=

=

= ( 6
,
1

= ( 8
,
1 , 
= ( 5
,
1

=

6
( )
3
,
1
5
)
4
)
3
)
2
( ,14)
1
( ,12)
= ( 7
,
3

= ( 8
,
3

= ( 6
,
3

=

=

= ( 8
,
5

12
)
11
( ,57)
10
( ,34)
9
)
8
)
7
)
= ( 6
,
5

=

=

= ( 8
,
7

= ( 6
,
7

=

18
( ,74)
17
)
16
)
15
( ,52)
14
( ,54)
13
)
=

= ( 8
,
6

= ( 8
,
4

=

=

= ( 3
,
2

24
)
23
( ,24)
22
( ,26)
21
)
20
)
19
( ,72)
 
 

 
106 
 
этим ребрам приписаны интервальные веса:  
 
(
w e =

(
w e ) = [ 50
,
10

(
w e =

(
w e ) = [ 30
,
10

4
]
3 )
[ ]
35
,
5
2
]
1 )
[ ,5 40]
(
w e ) = [ 30
,
10

(
w e =

(
w e ) = [
],   
(
w e ) = [ 30
,
10

8
]
6 )
[
]
35
,
15
5
]
35
,
15
7
(
w e ) = [
]
15
,
10

(
w e
=

(
w e ) = [ ,
20
,   
(
w e
=

12 )
[ ,
25 40]
11
]
10 )
[ ]
15
,
5
9
25
(
w e ) = [ 30
,
10

(
w e ) = [ 50
,
10

(
w e
=

(
w e
=

16 )
[
]
35
,
30
15 )
[ ,
10 20]
14
]
13
]
(
w e ) = [
]
15
,
10

(
w e
=
,  
(
w e ) = [ 30
,
20

(
w e
=

20 )
[
]
15
,
10
19
]
18 )
[ ,5 20]
17
(
w e
=
, 
  (
w e
=
, 
(
w e ) = [ ,
10
, 
(
w e ) = [ 30
,
15
. 
24
]
23
]
22 )
[
]
15
,
10
25
21 )
[ ,5 10]
1
e
e6
1
e
e
2
5
e3
e4
2
e24
3
e
e
23
10
e
e
22
7
e9
e8
e15
e
4
14
5
e13 e12 e11
e19
e18
e17
6
7
e
e
16
21
e20
    
8
 
Рисунок 4.1.  8- вершинный  граф  = (E)  
 
Сведем  эту  интервальную  задачу  к 2-критериальной  задаче  с  ВЦФ 
(4.5).  В  результате  этого  сведения  получаем  тот  же,  т.е.  представленный  на 
рис.4.1 граф, который является 2-взвешенным и обозначается через  = (E) . 

 
107 
 
Согласно п.4.2 каждому ребру  ∈  с учетом исходных интервальных весов 
w(e) приписываются 2 веса  w e  и   w e 
2 ( )
1 ( )
w e = ,  w e =

w e
=
,  w e =

 
2 ( 13 )
30
1 ( 13 )
10
2 ( 1 )
40
1 (
) 5
1
w e =
w e =
;  w e =
w e
=

 
1 ( 14 )
,
10
2 ( 14 )
1 ( 2 )
,
10
2 ( 2 )
50
50
w e =
w e =

w e
=
w e
=

 
1 ( 15 )
,
10
2 ( 15 )
1 ( 3 )
,
5
2 ( 3 )
35
20
 
w e =
w e =

w e
=
w e
=

1 ( 16 )
,
30
2 ( 16 )
1 ( 4 )
,
10
2 ( 4 )
30
35
 
w e =
w e =

w e
=
w e
=

1 ( 17 )
,
10
2 ( 17 )
1 ( 5 )
,
10
2 ( 5 )
30
15
 
w e =
w e =

w e
w e =

1 ( 18 )
,
5
2 ( 18 )
1 ( 6 )
,
15
2 ( 5 )
35
20
 
w e =
w e =

w e
=
w e
=

1 ( 19 )
,
20
2 ( 19 )
1 ( 7 )
,
15
2 ( 7 )
35
30
 
w e =
w e =

w e
=
w e
=

1 ( 20 )
,
10
2 ( 20 )
1 ( 8 )
,
10
2 ( 8 )
30
15
(4.12) 
w e =
w e =

w e
w e =

1 ( 21 )
,
5
2 ( 21 )
1 ( 9 )
,
10
2 ( 9 )
15
10
w e
w e = ; 
w e
=
w e
=

1 ( 22 )
,
10
2 ( 22 )
1 ( 10 )
,
5
2 ( 10 )
15
15
w e
=
w e
=
;  w e =
w e
=

1 ( 23 )
,
10
2 ( 23 )
25
1 ( 11 )
,
20
2 ( 11 )
25
w e
=
w e
=
w e =
w e
=
.
1 ( 24 )
,
15
2 ( 24 )
1 ( 12 )
,
35
2 ( 12 )
40  
30  
МДР    рассматриваемой интервальной задачи на графе   состоит из 
12-ти допустимых покрытий   V E
,  = 12
,
1
, представленных на рисун-
r
( , rx )
ках 4.2-4.13:   
1
e
1
6
3
e
2
e
3
1
5
24
e
e
e
e
2
5
7
e
10
e11
23
4
5
e13
7
e
e12
4
e
21
22
e
e17
6
16
e
6
7
20
8
 
8
 
Рисунок 4.2.  
Рисунок 4.3. 
1
1
2
e
3
2
e5 3
15
ee9
e
e
4
8
e
e
4 22
e
5
14
14
4
5
e
e
9
e
3
e
e
7
e
18
19
19
6
6
e
7
21
8
7  
8
  
Рисунок 4.4. 
Рисунок 4.5. 

 
108 
 
1
3
2
e
1
e
2
e
1
e
6
2
5
e
3
e
e
5
15
1 0
7
22
4
e22
e
e8
1 3
e
5
4
21
7
e
e
11
17
e
e
6
7
2 1
1 6
6
8
 
8
  
Рисунок 4.6. 
Рисунок 4.7. 
 
1
1
e
2
e24 3
e
6
3
1
e
2
e
5
e
9
23
e
e
3
5
4 22
e14
5
4
e8
e
e
21
11
e
e11
17
7
e18
6
6
7
e16
8
 
8
 
 
 
Рисунок 4.8. 
Рисунок 4.9. 
 
 
1
2
1
2
e
e
24
3
6
e23
3
e
e
e
3
15
5
e23
e
5
4
3
e
e
7
e
18
e
4
18
8
5
6
e
7
e
11
e
20
6
12
e
8
7
20
 
8
 
 
 
Рисунок 4.11. 
Рисунок 4.10. 
1
1
2
e
e
24
3
6
e
2
3
5
e
e
23
e
15
e
23
e7
3
5
e
5
3
4
e8
e
e
4
21
11
e
e
e
21
12
17
7
6
6
e
7
17
8
 
8
  
 
 
Рисунок 4.12. 
Рисунок 4.13. 
 
МДР  представляет собой множество  = {,  V E ,  = 12
,
1
 где 
r
( , rx )
}

 
109 
 
=
,  =

 
x
{,,,,,,,e
2
5
7
12
17
21
22
24 }
x
{,,,,,,,e
1
6
10
11
13
16
20
23 }
1
2
        =
,  =

       
x
{,,,,,,,e
4
5
7
9
14
15
18
19 }
x
{,,,,,,,e
3
4
8
9
14
15
18
19 }
3
4
 
=
,  =

x
{,,,,,,,e
2
6
8
11
15
17
21
22 }
x
{,,,,,,,e
1
5
7
10
13
16
21
22 }
5
6
(4.13) 
=
,  =

x
{,,,,,,,e
1
6
9
11
14
16
18
22 }
x
{,,,,,,,e
3
5
8
11
17
21
23
24 }
7
8
=
,  =

x
{,,,,,,,e
3
6
8
11
15
18
20
23 }
x
{,,,,,,,e
3
5
7
12
18
20
23
24 }
9
10
=
,  =
.  
x
{,,,,,,,e
3
6
7
12
15
17
21
23 }
x
{,,,,,,,e
1
5
7
9
13
14
16
20 }
11
12
Для каждого допустимого решения   ∈ ,  = 12
,
1
 вычислим значения 
r
критериев  F
, ν =
 
ν (x
w e
,
1 2
) = ∑ ν ( ) → max

e Ex
F x = ∑w e w e w e w e w e w e w e w e w e =
1 ( 1 )
1 ( )
1 ( 1 )
1 ( 6 )
1 ( 10 )
1 ( 11 )
1 ( 13 )
1 ( 16 )
1 ( 20 )
1 ( 23 )
       

e E
 
1
x
= 5 +15 + 5 + 20 +10 + 30 +10 +10 =
.
105
F x = ∑w e w e w e w e w e w e w e w e w e =
2 ( 1 )
2 ( )
2 ( 1 )
2 ( 6 )
2 ( 10 )
2 ( 11 )
2 ( 13 )
2 ( 16 )
2 ( 20 )
2 ( 23 )
     

e E
 
1
x
= 40 + 35 +15 + 25 + 30 + 35 +15 + 25 =
.
220
Далее  аналогично  этому  вычисляем  значения  критериев 
  на  ос-
ν
(xr ), ν = ,
1 2
тальных решениях из  
F x =
+
+
+
+
+ +
+
=
 
 
1 ( 2 )
10 10 15 35 10 5 10 15 110
F x =
+
+
+
+
+
+
+
=
 
 
2 ( 2 )
50 30 35 40 15 10 15 30 225
          F x = + + + + + + +
=
 
1 ( 3 )
5 10 10 10 10 10 5 20 80
 
          F x = + + + + + + + =
 
2 ( 3 )
35 30 30 15 50 20 20 30 230
(4.14) 
F x =
+
+
+
+
+
+ +
=
 
1 ( 4 )
10 10 15 10 10 20 5 10 90
F x =
+
+
+
+
+
+
+
=
 
2 ( 4 )
30 30 35 15 50 30 10 15 215
        F x = + + + + + + + =  
1 ( 5 )
5 10 15 5 10 30 5 10 90
       F x = + + + + + + + =
 
2 ( 5 )
40 30 35 15 30 35 10 15 210
F x =
+
+
+
+
+
+ +
=
 
1 ( 6 )
10 15 10 20 10 10 5 10 80
F x =
+
+
+
+
+
+
+
=
 
2 ( 6 )
50 35 30 25 20 15 10 15 200
        F x = + + + + + + + =  
1 ( 7 )
5 10 10 20 10 5 10 15 85
       F x = + + + + + + + =
 
2 ( 7 )
35 30 30 25 15 10 25 30 200
F x = +
+
+
+
+
+ +
=
 
1 ( 8 )
5 15 10 20 10 30 5 10 105

 
110 
 
F x =
+
+
+
+
+
+
+
=
 
2 ( 8 )
40 35 15 25 50 35 20 15 225
         F x = + + + + + + + =
 
1 ( 9 )
5 10 15 35 5 10 10 15 105
        F x = + + + + + + + =
 
2 ( 9 )
35 30 35 40 20 15 25 30 220
F x
= +
+
+
+
+ +
+
=
 
1 ( 10 )
5 15 10 20 10 5 10 10 85
F x
=
+
+
+
+
+
+
+
=
 
2 ( 10 )
30 35 30 25 20 20 15 25 205
        F x = + + + + + + + =
 
1 ( 11 )
5 10 15 10 10 10 30 10 100
       F x = + + + + + + + =
 
2 ( 11 )
40 30 35 15 30 50 35 15 250
F x
= +
+
+
+
+
+ +
=
 
1 ( 12 )
5 15 15 35 10 10 5 10 110
F x
=
+
+
+
+
+
+
+
=
 
2 ( 12 )
35 35 35 40 20 15 10 25 215
Результаты вычислений занесем в таб. 4.1 
          
        Таблица  4.1. 
МДР  = {x
 и ВЦФ для заданной 2-критериальной задачи 
}, =
12
,
1
 
F
 
F
 
2 (xr )
1 (xr )
r
x
105 220 
x2  
110 225 
 
80 230 
3
 
90 215 
4
 
90 210 
5
 
80 200 
6
 
85 200 
7
 
105 225 
8
 
105 230 
9
 
85 205 
10
 
100 250 
11
 
110 215 
12
 
Из  таб. 4.1 видно,  что    векторнонесравнимыми,  точнее  парето-
оптимальными  являются  элементы  ,    и  ,  а  элементы 
2
9
11
x
1
3
4
5
6
7
8
10
12   являются  доминируемыми  по  ВЦФ (4.4)-(4.5). Со-
гласно представленных в таб. 4.1 значений   x
ν =
∈ %
ν

1,2 ,  x
, получаем 
)
r
совпадение ПМ и ПМА:  ~
0
= {
2
9
11}
Образуем  теперь  линейные  свертки  критериев,  пользуясь    формулой 

 
111 
 
(4.11):  
(4.15) 
λ ( = ∑λ ⋅ F x ,  = 12
,
1
,    где   λ ∈(λ ,λ ∈ Λ . 
1
2 )
)
2
ν
ν ( )
2
ν 1
=
Согласно (4.12)-(4.15) свертки критериев решений  ,   принимают 
2
9
11
вид:  
 
λ
(= λ w x + λ w x =110λ + 225λ ; 
 
2 )
1 1 ( 2 )
2
2 ( 2 )
1
2
λ
(= λ w x + λ w x =105λ + 230λ ; 
(4.16) 
9 )
1 1 ( 9 )
2
2 ( 9 )
1
2
λ
(= λ w x + λ w x =100λ + 250λ . 
11 )
1 1 ( 11 )
2
2 ( 11 )
1
2
 
С учетом равенства  λ =1 − λ  и согласно таблице 4.1, вместо представ-
2
1
ленных  выражением (4.16) сверток  рассмотрим  их  представление  в  виде 
функции от  λ : 
1
F(λ , =
λ −
− λ ; 
 
1
2 )
110
1
(
225
)
1
1
F(λ , =
λ −
− λ ; 
(4.17) 
1
9 )
105
1
(
230
)
1
1
F(λ , x
=
λ −
− λ . 
1
11 )
100
250 1
(
)
1
1
 
После раскрытия скобок из (4.17) получим: 
 
F(λ , = 225 − 115λ ; 
 
1
2 )
1
F(λ , = 230 − 125λ ; 
(4.18) 
1
9 )
1
F(λ , x
= 250 − 150λ . 
1
11 )
1
 
Графическое представление сверток  (4.18) дано на рис.4.14 

 
112 
 
25 0
(λ , x
1
11 )
(λ , x
1
9 )
1 1 0
(λ , x
1
2 )
23 0
1 0 5
22 5
1 0 0
0
1
λ1  
Рисунок 4.14. Графическое представление сверток  F(λ , F(λ , (λ ,  
1
11 )
1
9 )
1
2 )
 
Из  графического  представления  сверток  F(λ , ,  F(λ , ,  F(λ ,  
1
11 )
1
9 )
1
2 )
видно,  что  графики  сверток  F(λ ,   и  F(λ ,   образуют  верхнюю  границу 
1
11 )
1
9 )
паретовского  множества,  т.е.  F(λ , = max λ , λ , x
.  График  свертки  
1
)
( ( 1 9) ( 1 11)
F(λ ,   находится  строго  ниже  этой  границы,  представленной  на  рис.4.14 
1
2 )
жирной  ломаной,  т.е.  F(λ , < λ
    при  любом  λ ∈ 0,1 .  Таким  образом 
1
[ ]
1
2 )
F( , x
1
)
получаем,  что  для  всякого  значения  λ ∈ [ ]
1
,
0   и  соответственно  для  любого 
1
λ ∈Λ  значение  (λ , , а вместе с ним и   Fλ (x) может достигаться либо на 
1
)
2
элементе  , либо на элементе   и ни при каком значении  λ ∈Λ  этот мак-
2
11
2
симум не достигается на элементе  
2
Таким образом, мы получили, что приведенная индивидуальная интер-
вальная задача неразрешима с помощью АЛСК, поскольку линейная свертка 
ее критериев  достигает максимума на элементах   и   
9
11
Рассмотрим    теперь  случай  покрытия  произвольного  -вершинного 
графа  4-циклами. Представленный на рис.4.15  граф  G′ = (′, E′) получен из  
последовательным (по шагам  = ,
1 ,
2 ... ) присоединением очередного 4-цикла к 
каждой следующей несмежной паре вершин.  

 
113 
 
1
2
3
4
5
6
7
8
 
Рис.4.15.  -вершинный граф  G′ = (′, E′) полученный из   последовательным (по  
шагам ...
= ,
1 ,
2
)  присоединением  очередного 4-цикла  к  каждой  следую-
щей несмежной паре вершин  
 
 
В  результате  реализации  шага    получается  -вершинный  ( = 4+ 8 ) 
-реберный  ( = 9+ 24 )  граф.  МДР  = {x
 
12 }
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
рассматриваемой  задачи  на  графе    получается  соответственно  из  МДР 
′ = {x′, x′ , x′ , x′ , x′ , x′ , x′ , x′ , x′ , x′ , x′ , x′   этой  же  задачи  на  графе  G′ .  Каждое 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 }
,
ребро 
присоединенного 4-цикла 
взвешено 
точечным 
интервалом 
w
⎡ w e ⎤ = 1,1 =1

. Вычислим значения  (x′  для каждого  ′ ∈ ′: 
ν
x
X
)
1 ( )
2 ( )⎦ [
]
r

+
,    +
,   +

F

+
,   
2 ( 2 )
4
225
1( 2 )
4
110
2 ( 1 )
4
220
1( 1 )
4
105

+


+
,  + , 
F

+
,   
2 ( 4 )
4
215
1( 4 )
4
90
2 ( 3 )
4
230
1( 3 )
4
80
 

+


+
,  + , 

+

2 ( 6 )
4
200
1( 6 )
4
80
2 ( 5 )
4
210
1( 5 )
4
90
(4.19) 

+


+
,  +


+

2 ( 8 )
4
225
1( 8 )
4
105
2 ( 7 )
4
200
1( 7 )
4
85

 
114 
 

+

F

+
+ , 

x
+

2 ( 10 )
4
205
1( 10 )
4 6 85
2 ( 9 )
4
220
1( 9 )
4
105

+
,  +
+


x
+

2 ( 12 )
4
215
1( 12 )
4
110
2 ( 11 )
4
250
1( 11 )
4
100
 
Из представленных выше значений ВЦФ на МДР   видно, что элемен-
ты   x′, x′ , x′ , x′ , x′ , x′ , x′ , x′ , x′   являются доминируемыми по обоим критериям 
1
3
4
5
6
7
8
10
12
.  Таким  образом,  паретовское  множество  ~
  состоит  из  эле-
ν
(x′), ν = ,
1 2
⊆ X
ментов x′ , x′ , x′ .  Кроме  того,  среди  последних  нет  эквивалентных.  Следова-
2
9
11
тельно, искомые ПМ и ПМА совпадают:  ~
0
= {x′ , x′ , x′ . 
2
9
11 }
По аналогии с (4.16)-(4.18) получим: 
F(λ , x′ = 4+ 225 − 115λ ; 
 
1
2 )
1
F(λ , x′ = 4+ 230 − 125λ ; 
       (4.20) 
1
9 )
1
F(λ , x′ = 4+ 250 − 150λ . 
1
11 )
1
Графическое представление сверток  F(λ , x′ ,  =
11
,
9
,
2
 можно получить 
1
)
из рис.4.14, осуществив параллельный перенос всех его графиков параллель-
но  оси  ординат  на  величину  4.  Ясно,  что  подобное  преобразование  не  по-
влияет  на  топологическую  характеристику  графиков  сверток (4.16). Т.е. 
свертка 
F(λ , x′  
будет 
находиться 
ниже 
паретовской 
границы 
1
2 )
F(λ , x′ = max λ , x′ , λ , x′ .  Таким  образом  на  элементе  x′   не  достигает 
1
)
( ( 1 9) ( 1 11)
2
максимума значение свертки (4.20), т.е. являются справедливыми следующие 
утверждения. 
Теорема 4.1.  Задача  покрытия  графа   4-циклами  с  ВЦФ (4.4), (4.5), 
(4.6) неразрешима с помощью АЛСК. 
Теорема 4.2. Для всякого  -вершинного графа    ( n кратно 4),  интер-
вальная задача покрытия графа   4-циклами с ВЦФ (4.4), (4.5), (4.6)  нераз-
решима с помощью АЛСК. 
В качестве базы для реализации АЛСК в настоящей главе предлагается 
приближенный  алгоритм  покрытия  графа 4-циклами  и  произведено  обосно-
вание  его  статистической  эффективности.  Необходимость  разработки  такого 
алгоритма обусловлена тем обстоятельством, что для решения рассматривае-

 
115 
 
мых задач верхнего уровня неприменимы какие-либо известные алгоритмы, в 
том  числе  и  алгоритмы  линейного  или  целочисленного  программирования. 
Указанная  неприменимость,  в  свою  очередь,  обусловлена  тем  фактом,  что 
представленные в главе 1 МДР  = { }
 невозможно определить системой ли-
нейных  равенств  и  неравенств,  т.е.  невозможно  представить  в  виде  много-
гранника в соответствующем пространстве. 
 
4.4. Обоснование свойства полноты задачи покрытия графа 4- цик-

лами 
 
В [49] сформулирован  ряд  массовых  модельных  задач    на  графах 
q
= 9
,
1 .  Каждая  задача    идентифицируется  собственным  названием  и  опре-
q
делением своего допустимого решения  , где  - подграф  ( данного гра-
x
)
фа  = (E), ⊆ ,  ⊆ . В исследуемой задаче   (задача покрытия графа 
x
x
9
4-циклами)  допустимым  решением  является  остовный  подграф    графа  
каждая  компонента  связности  которого  является    звездой  из  заданного  МТЗ 
.  
Обозначим через  = {} семейство всех множеств допустимых реше-
ний  задачи  ,  т.е.    получается  путем  объединения  множеств    по  всем 
9
индивидуальным задачам, порождающим эти множества. 
Определение 4.4.    Векторная  задача    называется  полной  или  обла-
q
дающей свойством полноты, если для каждого множества   существуют 
такие параметры ее ВЦФ  x), при которых выполняется равенство 
0
X% = 
(4.21) 
Очевидным является интерес к полным задачам. Для них легче обосно-
вать оценки сложности нахождения любого МА, а также облегчается иссле-
дование структуры ПМ, ПМА. 
Пусть  N
 - евклидово  пространство  размерности  .  Из  определения 
ПМ и ПМА вытекает, что справедлива  

 
116 
 
Лемма 4.1.  Для  всякой  векторной  задачи  с  ВЦФ  вида 
N
→   вы-
полняется равенство мощностей  0
~
() . 
Для задачи   с ВЦФ (3.3) рассмотрим некоторую ее индивидуальную 
9
задачу  с  МДР 
~
,  ПМ  ,  ПМА 
0
.  После  добавления  к  ВЦФ (3.3) новых 
критериев получим другую индивидуальную задачу, у которой новая (расши-
ренная)  ВЦФ  определяет,  вообще  говоря,  другие  МА.  Возникает  вопрос  о 
том, как соотносятся «старые» и «новые» МА. С учетом того, что добавление 
«новых»  критериев  не  изменяет  значения  «старых»  критериев (3.4) на  всех 
элементах  ∈ , справедлива  
Лемма 4.2. При любом  ≥ 2  для всякой индивидуальной задачи с ВЦФ 
(3.3)-(3.5) добавление новых критериев к этой ВЦФ  либо оставляет ПМ  ~
 и 
ПМА  0
 неизменными, либо дополняет их новыми альтернативами. 
Теорема 4.3. Векторная задача   является полной, если  ее ВЦФ (3.3) 
9
содержит не менее двух весовых критериев вида (3.4). 
Доказательство.  Выберем  произвольное  ,  которое  определяется 
данным  -  вершинным  графом  = (E).  Для  случаев  = ∅   или  одноэле-
ментного МДР (мощность  = 1) утверждение теоремы  4.3  очевидно. 
Пусть мощность МДР  ≥ 2 . Рассматриваем вначале случай  = 2, ко-
гда ВЦФ (3.3) имеет вид 
F(x) = (F
,
=
,

(4.22) 
1 (xF2 (x)
(w1(xw2(x)
где  значения  ее  критериев  w
,  ν =
.  В  данном 2-взвешенном 
ν (x) = ∑ wν (e)
,
1 2
e E
∈ x
графе    ребра  ∈   перенумеруем  числами  t(e) = ,1 ,...,
2
,  ,  причем 
веса этих ребер определим следующим образом: 
( )
t
= 2 ,  w
= −
= ,
1 ..., 
(4.23) 
2 ()
r
w
0
1 ()
1
где  = 2m
r
+1. 
0
Согласно определению задачи  z9 , сформулированной на данном графе  
,  для допустимых решений  = ( выполняется равенство 
)

 
117 
 
  x
∀ ∈ (G,), 
(4.24) 
x
0
где  с − независящая  от  допустимых  решений  ∈   рассматриваемой  задачи 
0
(для всякой фиксированной размерности   
Из (4.23) и (4.24) получаем равенство 
F x F x ⋅    x
∀ ∈ (G,). 
(4.25) 
1 ( )
2 ( )
0
0
Обозначим  через  E E   разность    для  пары    множеств  ребер, 
l,s
l
s
определяющих допустимые решения  ∈ 
l
s
Тогда для всяких  ∈  
1
2
= ø ,   
(4.26) 
,
1 2
2, 1
,
1 2
2,1
Пусть среди элементов множества   ребро   с наибольшим но-
,
1 2
2,1
мером  t(e)  принадлежит  .  Тогда  из (4.22)-(4.25) вытекают  неравенства 
,
1 2
F x F x ,  F x () , которые означают, что любая пара  ∈  яв-
2 ( 1 )
1 ( 1 )
( )
1
2
2
2
1
2
ляется векторно-несравнимой по ВЦФ (4.22). Последнее с учетом леммы 5.1 
означает выполнение равенства (4.21). Для  = 2  теорема 4.3 доказана. 
В силу леммы 4.2 равенство (4.21) выполняется и при  ≥ 3 , если ν = ,
1 2  
критерии (3.2) определены  согласно (3.4), (3.5), а  для  ν = ,
3 ...,  - произволь-
ным образом. Теорема 4.3 доказана. 
 
4.5. Исследование вычислительной сложности  
 
Понятие трудоемкости алгоритма определяется как его вычислительная 
сложность, которая оценивается относительно входа [3,4,40,45] количеством 
элементарных  операций,  затрачиваемых  на  нахождение  и  представление  в 
явном  виде  искомого  МА.  В  настоящем  параграфе  обосновываются  оценки 
для двух видов вычислительной сложности: сложность в худшем случае [3], 
выражаемая в терминах гарантированных объемов вычислений, и сложность 
для  почти  всех  индивидуальных  задач [4] рассматриваемой  многокритери-
альной задачи. 
Полученные в настоящей главе оценки вычислительной сложности ха-

 
118 
 
рактеризуют  асимптотическую  временную  сложность [3,45]. Последнее  от-
ражает поведение вычислительной сложности как функция от размера входа 
в  пределе  при  увеличении  размера  задачи.  При  этом,  придерживаясь  терми-
нологии [3], мы  условимся,  что  предлагаемые  алгоритмы  реализуются  на 
«машинах с произвольным доступом у памяти». 
Наряду  с  понятием  «вычислительная  сложность  алгоритма»  в  настоя-
щей главе рассматривается также понятие «вычислительная сложность зада-
чи»  или  кратко, «сложность  задачи».  Оценивая  вычислительную  сложность 
задачи  в  худшем  случае,  используем  сложившуюся  к  настоящему  времени 
иерархию вида: «полиномиальные задачи» - « NP -трудные задачи»- «трудно-
решаемые  задачи».  Учитывая,  что  понятие  NP -полноты  относится  только  к 
задачам распознавания [3,45], условимся использовать упомянутую «шкалу» 
(иерархию) вычислительной сложности в контексте алгоритмических вопро-
сов  многокритериальной  оптимизации.  Это  предложение  означает  следую-
щее. 
Ставшая  уже  классической  теория  полиномиальной  сводимости [3,45] 
была  построена  для  задач  распознавания  свойств.  Аналогичную  теорию  по-
линомиальной  сводимости [45] можно  построить  и  для  экстремальных  дис-
кретных задач. При построении указанной теории можно не пользоваться мо-
делью  вычислительного  устройства  (например,  машины  Тьюринга),  т.е.  сде-
лать ее машинно независимой и использовать термины вычислимых операто-
ров  над  функциями.  Это  положение  фактически  используется  в  настоящей 
работе  при  обосновании  оценок  вычислительной  сложности  многокритери-
альных задач, базируясь на известном тезисе о том, что «задача оптимизации- 
это три (эквивалентные) задачи (распознавания, вычислительная и оптимиза-
ционная)».  Обоснование  этого  тезиса  дано  в [45]. Выражение  « NP -полная 
многокритериальная  задача»  можно  интерпретировать  как  свойство  сравни-
тельно простого (полиномиального) сведения этой многокритериальной зада-
чи к последовательности задач распознавания [40]. 
Таким образом, математическая постановка проблемы нахождения МА 

 
119 
 
обобщает вопрос нахождения оптимума в задачах дискретного программиро-
вания [3,8]. 
В  настоящей  главе  используемые  понятия  формулируются  в  терминах 
дискретного программирования (комбинаторной оптимизации) с привлечени-
ем тех же задач, которые наиболее часто используются в указанных источни-
ках в качестве модельных объектов исследования. Термины и понятия, отра-
жающие специфику многокритериальности, достаточно полно определены в 
[10,65]. 
Примечание 4.3.  Упомянутая  выше  мера  вычислительной  сложности, 
определяемая  как  граница  вычислительной  сложности  в  наихудшем  случае, 
является  традиционной,  т.е.  представляется  как  классическое  определение 
вычислительной сложности. Однако, такой подход, базирующийся на анализе 
худшего  случая,  часто  подвергается  обоснованной  критике  из-за  слишком 
пессимистических  результатов,  которые  этот  подход  дает.  В  случае  NP -
трудных  или  трудноразрешимых  комбинаторных  задач  экспоненциальные 
оценки вычислительной сложности имеют ограниченное значение для прак-
тических целей. В таких случаях средняя вычислительная сложность или, на-
пример,  вычислительная  сложность  в  типичном  (наиболее  часто  встречаю-
щемся) случае представляется более информативной. 
Поиски  эффективных  и  точных  методов  для  многих  NP -трудных  или 
трудноразрешимых  задач  не  имеют  практического  смысла.  В  этой  ситуации 
мы вынуждены либо переходить к изучению более  частных задач и поискам 
для  них  малотрудоемких  алгоритмов,  либо  строить  приближенные  алгорит-
мы. Отсюда возникает подход к алгоритмическим проблемам, который полу-
чил название «алгоритмы с оценками» [15]. Речь идет о векторной оценке ка-
чества алгоритмов. Критериями, т.е. компонентами этой векторной функции 
(т.е.  оценки)  являются  вычислительная  сложность,  точность,  объем  памяти, 
размер области, в пределах которой почти всегда на выходе алгоритма полу-
чается искомое решение (МА), и т.д. 
Обосновать  какой-либо  результат  для  той  или  иной  задачи    в  самом 

 
120 
 
общем ее виде, как правило, затруднительно. Желаемое обоснование удается 
получить обычно в предположении, что выполняются те или другие ограни-
чения,  условия.  Например,  задачу    о  коммивояжере  можем  рассматривать 
n
только  на  полных  графах  или  в  предположении,  что  веса  ребер  ограничены 
независящей от   константой, и т.д. Иными словами, рассматривая задачу  Z   
при тех или иных ограничениях (условиях) мы рассматриваем тот или иной 
класс   индивидуальных задач нашей задачи  . Не опасаясь возможных не-
доразумений, в дальнейшем вместо выражения «класс индивидуальных задач 
» будем говорить «класс задач  » и считать, что он состоит из элементов, 
т.е. индивидуальных задач, обозначаемых символом  . При этом, не оговари-
вая особо, подразумеваем, что ВЦФ, а также искомое МА заданы, т.е. они то-
же рассматриваются в качестве заранее оговоренных условий, определяющих 
класс  
Вначале сформулируем определения в терминах дискретной оптимиза-
ции. Пусть  - некоторый класс однокритериальных задач,  L(z)- оптимальное 
значение  целевой  функции  для  задачи  ∈ .  Будем  считать,  что  рассматри-
ваются задачи на минимум и  L(z) > 0  для всех  ∈ 
Рассмотрим  теперь  некоторый  алгоритм  α ,  который  может  быть  при-
менен к любой задаче   класса  , так что результатом этого применения яв-
ляется допустимое (не обязательно оптимальное) решение задачи  z  со значе-
нием целевой функции  L
. При этом не исключается, что применение ал-
α ()
горитма α  к некоторым задачам из   может оказаться безрезультатным. 
Если  получено  допустимое  решение  задачи  ,  то  качество  решения 
данной задачи может быть оценено величиной 
Lα (z)− L(z)   
(4.27) 
L()
относительным  уклонением  от  оптимума  Lz)   значения  целевой  функции, 
полученного в результате применения алгоритма α . 
Задаваясь некоторым ε ≥ 0 , можно определить множество задач 

 
121 
 
ε =
∈ :
≤ 1+
, 
(4.28) 
α
{z K L (z) ( ε
α
)L(z)}
для которых относительная погрешность получаемых алгоритмов решений не 
превышает заданной величины  ε . Набор множеств   ε
 для разных  ε ≥  мог 
α
0
бы служить достаточно полной характеристикой алгоритма α  с точки зрения 
точности  получаемых  решений.  Это,  в  свою  очередь,  позволяло  бы  сравни-
вать разные алгоритмы по указанным наборам множеств. Но трудность  тако-
го подхода к сравнению алгоритмов заключается в том, что практически мы, 
как  правило,  не  имеем  возможности  получить  простое  описание  множеств 
ε
Kα в явном виде. 
В подобной ситуации не остается ничего иного, как пытаться использо-
вать различные возможности косвенного описания, находить какие-то нетри-
виальные  характеристики  этих  множеств.  В  качестве  таких  характеристик 
можно,  например,  рассматривать  меры  множеств  0
  относительно  различ-
α
ных вероятностных распределений на классе  , что и осуществляется одним 
из возможных способов. 
Пусть  заданы  класс  задач    и  некоторое  семейство ℘  вероятностных 
мер, определенных на  . Будем говорить, что алгоритм α  имеет тип  (ε,δ ) от-
носительно ℘, если вероятность 
{
P L (z) ≤ (1+ ε L z ≥ −
 
α
) ( )} 1 δ ,
(4.29) 
для всех  ∈℘. 
Как было сказано ранее, каждый класс задач можно описать с помощью 
некоторых  параметров,  и  на  практике,  говоря  об  алгоритме  решения  задач 
этого класса, интересуются свойствами алгоритма в зависимости от этих па-
раметров. В качестве таких параметров часто применяют величины, характе-
ризующие  размерность  задачи,  вкладывая  в  это  понятие  всякий  раз  свой 
смысл.  Например,  говорят  о  классе  K   задач  коммивояжера  с    городами. 
n
Здесь число   выступает в качестве основного параметра класса задач. В свя-
зи  с  этим  будем  далее  говорить  о  классах    семейства  ℘ ,  оценках 
(n)
(n)

 
122 
 (ε(n),δ(n)  и их свойствах в зависимости от параметра n
Алгоритм с оценками  (ε(n),δ (n)  относительно семейства распределений 
(
℘ n)  будем  называть  асимптотически  точным  относительно 
(
℘ n),  если  
ε (n) → 0 и δ (n) → 0  при → ∞ . 
Пусть  0
α -  алгоритм  нахождения  ПМА  для  некоторой  задачи      с  по-
q
q
ложительно  определенной  ВЦФ,  например (3.1), причем  0
α   не  гарантирует 
q
получение точного решения, т.е. не для всех индивидуальных задач на выходе 
алгоритма  получаем  МА,  содержащее  искомое  ПМА.  Обозначим  через 
*
= { *
}  результат  применения  0
α   к  некоторой  индивидуальной  задаче  рас-
q
сматриваемой задачи  . Будем говорить, что если  F( 0
)\ F( *
) ≠ ∅ , то  *
 ап-
q
проксимирует  искомое  ПМА  0
.  При  этом  аппроксимацию  понимаем  в  об-
щепринятом  смысле  как  замену  одного  математического  объекта  (в  данном 
случае ПМА  0
)  другим (в данном случае подмножеством   *
). 
Рассматривая некоторую задачу  , представим ее в виде совокупности 
∞ {Z}
U
 множеств  {Z}  индивидуальных задач размерности  . При этом счита-
n
n
n=1
ем  выполненным  естественное  условие  монотонного  возрастания  мощности 
{Z}  с ростом  . Пусть  {Z}ω ≤  представляет собой подмножество таких 
n
{ }
n
n
индивидуальных задач из множества  {Z} , каждая из которых обладает опре-
n
деленным  свойством  ω .  Например,  для  каждого  представителя  из  {Z}ω   дан-
n
ный алгоритм находит оптимум. Тогда говорим, что почти всегда (или почти 
все) индивидуальные задачи рассматриваемой задачи   обладают свойством 
ω , если   lim {Z}ω / Z

n
{ } = 1
n→∞
n
Пусть  l(z)  обозначает  длину  входных  данных  некоторой  задачи  ∈ 
Алгоритм  α   статистически  эффективен  в  классе  ,  если:  он  почти  каждую 
задачу  ∈   решает  (находит  требуемое  МА)  точно;  его  вычислительная 
сложность полиномиальна по l(z) для почти всех  ∈ 

 
123 
 
Сначала заметим, что в некотором смысле сформулированная выше за-
дача о 4- циклах аналогична  известной задаче о 3-сочетаниях [45], в которой 
допустимое  решение  представляет  собой  покрытие  исходного  графа 3-
вершинными  циклами.  Задача  о 3-сочетаниях  является NP-трудной [45], 
вследствии чего для нее к настоящему времени неизвестны полиномиальные 
алгоритмы.  Этот  факт    можно  рассматривать  в  качестве  косвенного  довода 
для утверждения об  NP- трудности задачи покрытия  графа 4-циклами. 
В случае своей многокритериальной постановки [5] задача о покрытии 
графа 4-циклами  является  труднорешаемой  в  том  смысле,  что  вычислитель-
ная  сложность  нахождения  искомого  множества  альтернатив  растет  экспо-
ненциально с ростом размерности задач. Строгое обоснование этого факта на 
представленное  ниже  вспомогательное  утверждение  относящееся  к  задаче 
покрытия  − вершинного графа типовыми  − вершинными подграфами дока-
зана в [53]. 
Лемма 4.3. Для всякого  n  кратно   величина мощности МДР с 
ростом    не ограничена сверху никаким полиномом от  
Рассматривая  проблему  перебора  всех  допустимых  решений  рассмат-
риваемой  дискретной  задачи,  на  основании  леммы 4.3 сформулируем  сле-
дующее утверждение. 
Лемма 4.4. Перебор в худшем случае всех допустимых покрытий пол-
ного графа 4-циклами не ограничен сверху никаким полиномом от  , т.е. рас-
тет экспоненциально с ростом размерности задачи. 
В п.4.4 доказано, что если ВЦФ (3.1) содержит не менее двух критериев 
вида  MAXSUM , то для всякого графа   можно подобрать веса ребер так, что 
будет иметь место совпадение ПМА с множеством всех покрытий, т.е. будет 
выполняться равенство   0 = ~
(свойство полноты). 
Тогда с учетом терминологии [17,45], из  лемм 4.3 и 4.4  вытекает 
Теорема 4.4.  Векторная  задача  о  покрытии  графа 4-циклами  является 
труднорешаемой, т.е. вычислительная сложность нахождения ее ПМА растет 
экспоненциально  с  ростом  размерности  задачи,  если  ее  ВЦФ  содержит  хотя 

 
124 
 
бы пару критериев весового вида (3.2). 
Хотя  в  худшем  случае  мощность  ПМА 
0
  экспоненциальна,  тем  не 
менее,  можно  показать,  что  доля  таких  плохих  случаев  стремится  к  нулю  с 
ростом  размерности  задачи.  При  этом  оказывается,  что  почти  всегда  мощ-
ность  ПМА 
0
= 1  и  можно  предложить  быстрый  алгоритм,  который  почти 
всегда находит ПМА [15]. Другими словами, для некоторых постановок мно-
гокритериальной  задачи  покрытия  графа 4-циклами  вычислительная  слож-
ность нахождения ПМА почти всегда полиномиальна. 
С учетом вышесказанного для рассматриваемой задачи покрытия графа 
4-циклами  является  актуальной  проблемой  построение  такого  малотрудоем-
кого (полиномиального) приближенного алгоритма, для которого становится 
возможным  представить  строгое  обоснование  оценок  его  эффективности: 
точности, вычислительной сложности и т.д. Такие методы принято называть 
термином  «алгоритмы  с  оценками» [17]. Среди  алгоритмов  с  оценками  осо-
бый интерес представляет так называемые статистически эффективные алго-
ритмы [45]. Нестрого говоря, приближенный алгоритм называется статисти-
чески эффективным, если при определенных условиях он почти всегда при-
водит к нахождению искомого оптимума. 
 
4.6. Оценки точности приближенных алгоритмов 
 
Говоря  о  приближенных  алгоритмах,  т.е.  об  алгоритмах  с  оценками 
[15],  основное  внимание  сосредоточим  на  двух  показателях  эффективности 
алгоритма - «точность»  и  «трудоемкость».  Чаще  всего  точность  выражается 
через «погрешность». Как известно, существуют две формы определения это-
го показателя - «абсолютная погрешность» и «относительная погрешность». 
В дальнейшем будем придерживаться второй формы. Ее смысл для оптими-
зационной  задачи  состоит  в  том,  что  сначала  вычисляется  абсолютная  по-
грешность как величина уклонения значения ЦФ на получаемом решении от 
значения  ЦФ  на  оптимальном  решении.  После  чего  относительная  погреш-

 
125 
 
ность вычисляется в виде отношения этого уклонения к оптимальному значе-
нию ЦФ. При этом подразумевается, что указанное оптимальное значение яв-
ляется строго положительным. 
Понятие «точность решения векторной задачи» обобщает это же поня-
тие для оптимизационной, т.е. 1-критериальной задачи и вместе с тем нужда-
ется в уточнении. Говоря о приближенном решении векторной задачи с ВЦФ 
F(x) = (F
,  подразумеваем  в  общем  случае  определенное  под-
1(x), F2 (x),..., FN (x)
множество  * ⊆   такое,  что  его  мощность 
* =
( *
X
F X ) .  Абсолютная  по-
грешность решения  *
 представляется в виде вектора вычисляемых оценок: 
∆( *
) = (∆ ( *
),...,∆ ( *
),...,∆ X
, где  ∆ ( *
)
*
= max min F x − F x
ν =
. От-
ν
ν
ν
% , 
1, N
*
0
( )
( )
ν
(
*
1
)
xX
x
X
носительная погрешность по критерию  (x) → extr  определяется в виде от-
ν
ношения ε = ε
=
⋅ ∆
, 1 ≤ν ≤ , где 
F x  на оп-
ν
ν (
*
)
1
ν (
*
)
a
ν
- значение критерия  ν ( )
ν
тимальном решении  0
:  F
. Относительная погрешность решения  *
ν
ν ( 0
)
 
определяется  как  вектор  ε = ε(*)= (ε ,ε ,...,ε .  Если  значение  ε = 0 ,  то  гово-
1
2
)
ν
рим, что полученное решение является оптимальным по критерию  F

ν (x)
 
4.7. Приближенный алгоритм покрытия графа 4-циклами 

 
 
Предполагаемый ниже алгоритм условимся обозначать через α . 
Работа  алгоритма  α   состоит  из  подготовительного  этапа,  четырех  вы-
числительных этапов и заключительного этапа формирования результатов. 
Подготовительный этап заключается в том, что в данном  - вершинном 
графе  = (E)  множество    разбивается  на  четыре  равномощных  подмно-
жества 
n
 мощности   , s = ,
1 4 . Заметим, что по условию задачи все-
s
s
4
гда  рассматривается    случай    кратно  4 .  Далее,  для  двух  пар  ,V   и  , 
1
2
2
3
строятся  два  двудольных  графа  ,,  1 ≤ ≤ ,
  где  множество   
st
s t st)
st

 
126 
 
состоит  из  всех  таких  ребер  = (v′,v′)∈ ,  у  каждого  из  которых  один  конец 
v′ ∈, а другой конец  ′ ∈
s
t
Второй  этап  состоит  из  двух  вычислительных  подэтапов.  Работа  этих 
подэтапов состоит в том, что в каждом из двудольных графов   и   осу-
12
23
ществляется нахождение оптимальных совершенных паросочетаний, которые 
обозначим соответственно через   и  . Для нахождения каждого из таких 
12
23
паросочетаний  =
  можно  воспользоваться  каким-либо  известным  алго-
st
{ }
e
ритмом [71], например, либо  венгерским алгоритмом, либо более экономным 
алгоритмом Лоулера [45]. 
Объединяя паросочетания   и  
12
23
 получаем   пар пересекающихся 
рёбер  вида      e′ = (),     ′ = (), .  Такие  пары  рёбер  объединяем  в 3-
1
2
2
3
вершинные цепи вида  = [,,], множество этих цепей обозначим = { }

1
2
3
V
V
V
1
2
3
,E
,E
2 3
( 2 3 23)
1 2
( 1 2 12)
 
Рисунок 4.16. Результат работы 1-го и 2-го этапов работы алгоритма α  
 
Третий  этап  состоит  в  построении  специального  двудольного    графа 
= (B, ℜ) с  равномощными  долями  мощности  .  Доля  = { }
со-
4
4
стоит из вершин  ∈ , которые поставлены во взаимнооднозначное соответ-
ствие цепям  с ∈ С . Если ребро  ρ = (,b)  содержится в  ℜ , то оно определяет-
0
0
ся следующим образом: ребро  ρ = (,b)  включается  в состав  ℜ  тогда и толь-
0
0

 
127 
 
ко тогда, когда в исходном графе  = (E) множество   содержит пару рёбер 
e′  и  ′ ,  следующего вида:              
e′ = () ,  ′ = () , 
(4.30) 
0
1
0
3
где   и   являются висячими вершинами цепи  
1
3
           = [ ,                      
(4.31) 
1
2
3 ]
поставленной в соответствие вершине . При этом ребру  ρ  приписывается  
0
вес (ρ ) = (
w e )
′ + (
w e )
′ . 
0
 
Рисунок 4.17. Результат 3-4-го и заключительного этапов работы алгоритма α  
 
Если  же  пара  рёбер  e′ ,  ′ ,  удовлетворяющая  указанным  условиям (4.30) и 
(4.31) отсутствует в данном графе  , то соответственно ребро  ρ  не включа-
0
ется в множество ℜ . 
Четвертый  вычислительный  этап  состоит  в  том,  что  с  помощью  соот-
ветствующего алгоритма [45] в двудольном графе  = (B,ℜ) выделяется оп-
тимальное паросочетание  = {ρ}. 
4
Примечание 4.4.  Согласно  определению 3-го  этапа  определяемая  вы-
ражением (4.30) пара  рёбер  e′   и  ′ образует  цепь  вида  = [],  которая 
1
0
3
замыкает соответствующую цепь  = [,, вида (4.31) в 4-вершинный цикл 
1
2
3 ]
= [.  
1
0
3
2 ]

 
128 
 
Заключительный этап алгоритма состоит в том, что согласно примеча-
нию 4.4  для каждого ребра  ρ , принадлежащего выделенному паросочетанию 
, в графе   выделяется соответствующая ему пара рёбер  e′  и  ′ , которая 
4
замыкает  соответствующую  цепь  = [,,  в  4-вершинный  цикл 
1
2
3 ]
= [
1
0
3
2 ]
Работа алгоритма завершается  проверкой, все ли  вершины исходного 
графа    оказались  покрытыми  выделенными 4-циклами.  В  случае  положи-
тельного  исхода  множество  выделенных  циклов  представляется  в  виде  до-
пустимого решения задачи о покрытии графа 4-циклами.  
 
4.8. Обоснование  достаточных условий  статистической  эффектив-
ности алгоритма α  
 
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:  
ϕ = ϕ() - сколь  угодно  медленно  растущая  функция  от  n  такая,  что 
limϕ(n) = ∞ , например,  ϕ = ln ln 
n→∞
G(np) - вероятностный  n - вершинный граф, в котором для каждой па-
ры вершин  v′, ′∈ ребро  = (v′,′) появляется с вероятностью  р  и не появ-
ляется с вероятностью  = 1− , независимо от других ребер; 
Gst (mp)  - вероятностный  двудольный  граф  с  равномощными  долями 
,,  ,  в  котором  для    каждой  пары  вершин  ′∈,     ′∈  ребро 
s
t
s
t
s
t
= (v′,′)  появляется  с  вероятностью  ,  и  не  появляется  с  вероятностью 
= 1− 
ℑ(n,R) = {G}- множество всех  п - вершинных графов = (VE), в каждом 
из которых всякому ребру   ∈ , приписан вес  (
w e)∈ { ,
1
,...,
3
,
2
}

ℑ st(m,R) = ({,, - множество всех двудольных графов  ,, 
st
st t st )
s
t
)}
с  равномощными  долями  ,  у  которых  каждому  ребру  ∈   при-
s
t
st
писан вес  (
w e)∈ { ,
1
,...,
3
,
2
}


 
129 
 
Осуществляя  вероятностный анализ алгоритма  α , рассмотрим вероят-
ностный граф  = (np), в котором выделены два вероятностных двудольных 
подграфа  Gst (mp), 1 ≤ ≤ 3 . Если в этом графе или его подграфе содержит-
ся  некоторое    допустимое  решение    с  вероятностью  ≥ 1− δ ,  δ = δ (n) → 0  
при  → ∞ , то в этом случае принято говорить, что вероятностный граф почти 
всегда содержит указанное решение  
Применим алгоритм α  к вероятностному графу  = (np) и оценим зна-
чение вероятности  P , при которой каждый из вычислительных этапов алго-
ритма α  почти всегда окажется результативным. 
Лемма 4.5.  Если  в  графе  = (np)  вероятность    появления  ребра 
удовлетворяет неравенству 
+ ϕ
≥ ln

(4.32) 
n
то почти всегда каждый из подэтапов второго этапа алгоритма α  окажется ре-
зультативным,  т.е.  с  вероятностью  ≥ 1− δ (n) ,  limδ (n) = 0   в  двудольном  под-
n→∞
графе  Gst ( ,
m p)  будет выделено совершенное паросочетание. 
Доказательство.  Рассматривая  последовательность  множеств  двудоль-
ных графов  st
ℑ (mR) = (
{,,,  = ,1 ,...,
2
 будем обозначать через  k(m) чис-
s
t
)}
ло  рёбер  в  двудольных  графах  из  st
ℑ (mR.  Кроме  того,  условимся  говорить, 
что  “граф обладает свойством  ω ”, если в этом графе содержится совершен-
ное паросочетание  тогда и только тогда, когда  k(n) = n(ln + ϕ),  ϕ = O(ϕ) . В 
[31]  установлена  связь  между  числом  k   и  вероятностью  ,  при  которых 
обеспечивается  выполнение всякого монотонного по рёбрам свойства  ω  для 
почти  всех  графов  G
st
∈ ℑ ( ,
m R)   и  почти  всегда  с  вероятностью  ≥ 1− δ (n) , 
lim δ (n) = 0 , для вероятностного графа  G( ,
n p) . Согласно этому из теоремы 1 в 
n→∞
[30] вытекает, что почти всегда Gst ( ,
m R)  обладает свойством ω , если 
= (+ )
1 −1 ≥ (ln + ϕ) /  
(4.33) 
Заметим, что в случае  limϕ(n) = ∞  является справедливым равенство 
n→∞

 
130 
 
ϕ + O(ϕ) , 
(4.34) 
где  - константа, которая не зависит от аргумента   функции  ϕ = ϕ(т) . По-
скольку 
n
=
, то с учетом (4.34) неравенство (4.33) можно переписать в виде 
4
(4.32). Лемма 4.5 доказана. 
Обратимся  к  описанию  алгоритма  α   и  через  α   обозначим  второй      
2
подэтап алгоритма α . Напомним, что в применении к графу  G( ,
n p)  в процес-
се  работы  этапа  α   осуществляется    выделение  в  двудольных  подграфах 
2
12
( ,
m p)  и 
23
( ,
m p)  совершенных паросочетаний. Работу этого этапа 
12
23
условимся  называть  результативной,  если  указанные  паросочетания  будут 
выделены и в результате объединения  пересекающихся пар рёбер этих паро-
сочетаний получим множество = { }
, состоящее из   3- вершинных цепей. 
Лемма 4.6. Если вероятностный граф  удовлетворяет условиям леммы 
4.3, то в результате применения к нему этапа α  почти это применение всегда 
2
окажется результативным. 
Для доказательства леммы 4.6 с учетом леммы 4.5 достаточно заметить, 
что  lim 1
( − δ (
′ n)) ⋅ 1
( − δ (
′ n)) =1, если δ (′n),  δ (′n) → ,
0  при  → ∞ . 
n→∞
Обратимся  к  описанию  третьего  этапа,  который  обозначим  через  α . 
3
Применим α   к вероятностному графу  G( ,
n p) . Тогда результатом работы эта-
3
па α  является  специальный двудольный вероятностный граф, который также 
3
обозначим через  = (B,ℜ). Здесь множество рёбер  ℜ  будет содержать реб-
ро  ρ = (,b)  тогда и только тогда, когда в графе  G( ,
n p)  появится соответст-
0
0
вующая пара рёбер (4.30). Поскольку, вероятность появления каждого из этих 
рёбер  является  независимым  событием,  то  эта  пара  появляется  с  вероятно-
стью  2
  и,  следовательно,  вероятность  появления  ребра  ρ   в  множестве  ℜ  
0
равна  
2
P(ρ ∈ ℜ) = P(ρ ) = .  
(4.35)
0
0

 
131 
 
Обозначим через  α  четвертый этап алгоритма  α . Из определения эта-
4
пов  α ,α ,α   и    вероятностного  графа    с  учетом  леммы 4.5 и  равенства 
2
3
4
(4.35) вытекает, что является справедливой 
Лемма 4.5.  Если  в  графе  G( ,
n p)   вероятность  появления  всякого  ребра 
удовлетворяет неравенству  
2
+ ϕ
≥ ln
,       
 (4.36)
n
то почти всегда этап α  окажется результативным. 
4
Поскольку  из  выполнения  неравенства (4.36) вытекает  неравенство 
(4.32),  то  из  определения  всех  этапов  алгоритма  α   получаем,  что  является 
справедливой следующая  
Лемма 4.6.  Если  в  графе  G( ,
n p)   вероятность  появления  всякого  ребра 
удовлетворяет неравенству (4.36), то почти всегда применение алгоритма α  к 
вероятностному  графу  G( ,
n p)   окажется  результативным,  т.е.  с  вероятностью 
≥ 1− δ (n),   lim δ (n) = 0  на выходе алгоритма будет получено покрытие данного 
n→∞
n-вершинного графа 4-циклами. 
Согласно [15] (теорема 1) существует  следующая  взаимосвязь  между 
вероятностным  графом  G( ,
n p)   и  множеством  (
ℑ ,
n R) .  Если  при  выполнении 
неравенства (4.36) граф  G( ,
n p)  обладает свойством  ω , то почти каждый граф 
из  ∈ (
ℑ ,
n R)  обладает этим свойством в том случае, когда выполняется нера-
венство 
2 ≤
n
R

 (4.37)
4ln + ϕ
Отсюда получаем, что является справедливой следующая 
Теорема 4.5. При выполнении неравенства (4.37) алгоритм  α  является 
статистически эффективным. 
Для  завершения  доказательства  теоремы 4.5 остается  лишь  заметить, 
что в процессе своей работы алгоритм α   рассматривает каждое ребро данно-
го  графа  = (R)   не  более  нескольких  раз,  откуда  вычислительная  слож-

 
132 
 
ность его первых трех этапов составляет  O) ≤ O( 2
) . Отсюда вычислитель-
ную  сложность  алгоритма  α   можно  оценить  через  вычислительную  слож-
ность  четвертого  этапа  (нахождения  совершенного  паросочетания [45]: 
τ (α)
2
3
≤ O() + O() = O( 3

 
Выводы  
 
1.  В  качестве  конкретной  математической  модели  землепользования 
представлена математическая формулировка интервальной экстремальной за-
дачи покрытия графа 4-циклами.  
2. Основные результаты исследований  главы 4 относятся к алгоритми-
ческим вопросам решения рассматриваемых задач землепользования в усло-
виях неопределенности.  
3. Основное внимание уделено исследованию вычислительной сложно-
сти и разрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки критериев за-
дачи покрытия графа 4-циклами.  
4.  Получена  аппроксимация    интервальной  задачи  покрытия  графа 4-
циклами соответствующей векторной задачей, доказана неразрешимость этой 
задачи;  доказана  неразрешимость  с  помощью  алгоритмов  линейной  свертки 
критериев. 
5.  В  качестве  основного  результата  исследования  вычислительной 
сложности рассматриваемых  векторных задач на графах осуществлено стро-
гое обоснование достаточных условий наличия в них свойства полноты и, как 
следствие принадлежности этих задач к классу труднорешаемых. 
6. Основным результатом также является построение малотрудоемкого 
алгоритма для оптимизационной задачи покрытия графа 4-циклами и обосно-
вание достаточных условий, при которых этот алгоритм является статистиче-
ски эффективным. 
   

 
133
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
 
 

 1. 
Сформулирована  автоматическая  концепция 2-уровневого  модели-
рования  задач  землепользования:  математическая  модель  верхнего  уровня – 
это модель теории оптимизации, на базе которой строится и обосновывается 
наиболее целесообразное управление рассматриваемой системой или процес-
сом; на нижнем уровне осуществляется моделирование исходных данных для 
модели  верхнего  уровня;  исходными  данными  для  нижнего  уровня  служат 
временные  ряды,  отражающие  эволюцию  основных  показателей  рассматри-
ваемых эволюционных процессов и систем; изложена необходимость много-
критериального подхода и суть его реализации. 
 2. На базе инструментария фрактального анализа выявлены такие свой-
ства  временных  рядов,  как  долговременная  память  с  оценкой  ее  глубины, 
трендоустойчивость, квазицикличность; для обновления этих свойств разра-
ботан метод фазового анализа временных рядов; на базе инструментария ли-
нейных  клеточных  автоматов  и  нечетких  множеств  разработана  новая  про-
гнозная  модель,  включая  ее  верификацию,  а  также  алгоритмы  валидации  и 
вычисления оценок точности прогнозирования. 
 3. В  качестве  конкретной  реализации 2-уровневого  моделирования 
представлена  математическая  постановка  экстремальных  задач  покрытия 
графа 4-циклами  (паросочетаниями,  звездами);  показана  непригодность  из-
вестных в научной литературе определений операции сложения и сравнения 
нечетких  весов;  разработано  новое  определение  операции  суммирования  и 
сравнения  нечетких  весов,  которые  адекватны  рассматриваемым  задачам 
землепользования. 
 4. Исследована  на  разрешимость  с  помощью  алгоритмов  линейной 
свертки критериев (АЛСК) векторная задача покрытия графа 4-циклами с ин-
тервальными весами; осуществлено ее сведение к 2-критериальной задаче и 
установлена ее неразрешимость. 

 
134
 5. Разработан  малотрудоемкий  алгоритм  покрытия  графа 4-циклами  и 
доказано  достаточное  условие,  при  которых  он  является  статистически  эф-
фективным. 
 
 

 
135
ЛИТЕРАТУРА 
 
1.  Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. –  M.: 
Мир, 1987. –  360 с. 
2.  Алтунин  А.Е.,  Семухин  М.В.  Модели  и  алгоритмы  принятия  решений  в 
нечетких условиях. – Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2000. – 352 с. 
3.  Ахо А., Хопкрофт Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. 
– М.: Мир, 1979. – 536 с. 
4.  Баккет  М.  Фермерское  производство:  организация,  управление,  анализ.- 
М.: Агропромиздат, 1989. – 464 с. 
5.  Батищев  А.Ф.,  Перепелица  В.А.  Об  одном  алгоритме  нахождения  опти-
мального севооборота //Оптимизация планирования.  1970 16. C. 16-20. 
6.  Беляева И.П. Практические приложения интервального анализа // ВЦ СО 
АН СССР. – Переславль – Залесский, 1988.- 156 с. 
7.  Бережная  Е.В.,  Бережной  В.И.  Математические  методы  моделирования 
экономических  систем:  Учебное  пособие. – М.:  Финансы  и  статистика, 
2001. – 368 с. 
8.  Береснев  В.Л.,  Гимади  Э.Х.,  Дементьев  В.Т.  Экстремальные  задачи  стан-
дартизации. – Новосибирск: Наука, 1978.-333 с. 
9.  Борисов  А.Н.,  Алексеев  А.В.,  Меркурьева  Г.В.  Обработка  нечеткой  ин-
формации в системах принятия решений. –  М.: Радио и связь, 1989.- 304 
с. 
10. Буров  Д.И.,  Чуданов  И.А.  Некоторые  вопросы  плодородия  черноземных 
почв в связи с освоением пропашных севооборотов. В сб. Гидрофизика и 
структура  почвы.  Вып. 11. – Л.:  Гидрометеорологическое  изд-во, 1965. – 
С.196-204. 
11. Векленко  В.И.  Экономическая  проблема  устойчивости  и  повышения  эф-
фективности  земледелия.-  Курск:  Изд-во  Курской  сельскохозяйственной 
академии, 1999.- 216 с. 
12. Винтизенко  И.Г.  Детерминированное  прогнозирование  в  экономических 

 
136
системах // Труды III международной  конференции  «Новые  технологии  в 
управлении, бизнесе и праве», Невинномысск: Издательство ИУБП, 2003. 
– С.163-167 
13. Возбуцкая А.Е. Химия почвы.- 3-е изд., исправленное и дополненное. Под 
ред.проф. Д.Л. Аскинази.- М.: Высшая школа, 1968.- 427 с. 
14. Вощинин  А.П.,  Сотиров  Г.Р.  Оптимизация  в  условиях  неопределенности. 
М.,  1989. 
15. Гимади Э.Х., Глебов Н.И., Перепелица В.А. Об одном приближенном ал-
горитме с апосториорной оценкой точности решения для задачи размеще-
ния. В сб. Оптимальное планирование в отраслях промышленного произ-
водства.-Ч.1.-Новосибирск: ИЭОПП СО АН СССР, 1974.- С.102-110. 
16. Гирлих Э., Ковалев М.М., Кравцов М.К., Янушкевич О.А. Условия разре-
шимости  векторных  задач  с  помощью  линейной  свертки  критериев 
//Кибернетика и системный анализ. 1999.  № 1. C. 81 -95. 
17. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые  зада-
чи.- М.: Мир, 1982.- 416 с. 
18. Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин Р.М., Шамардин Ю.В. Задачи оптими-
зации  иерархических  структур. – Новосибирск:  Изд-во  Новосиб.  ун-та, 
1996. – 167 с.  
19. Долятовский В.А. Переход от хаоса к порядку в экономике: роль хаотиче-
ских  процессов  в  формировании  организации. – В  сб.  российский  ме-
неджмент на пороге 21 в. – Краснодар: ЮРИМ, 1997.  – 33-46. 
20. Долятовский В.А., Касаков А.И., Коханенко И.К. Методы эволюционной и 
синергетической  экономики  в  управлении. – Отрадная:  Изд-во  РГЭУ – 
ИУБиП – ОГИ, 2001. – 577 с.  
21. Емеличев  В.А. , Мельников  О.И.,  Сарванов  В.И.,  Тышкевич  Р.И.  Лекции 
по теории графов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 384 с. 
22. Емеличев  В.А.,  Перепелица  В.А.  О  некоторых  алгоритмических  пробле-
мах многокритериальной оптимизации на графах//Журн. Выч. Математики 
и мат. физики.-1989.-Т.29, №2.- С.171-183. 

 
137
23. Емеличев  В.А.,  Перепелица  В.А.  Сложность  дискретных  многокритери-
альных задач//Дискретная математика.– 1994.– Т.6, №1.– С.3-33. 
24. Жирабок А.Н. Нечеткие множества и их использование для принятия ре-
шений // Соровский  образовательный  журнал. – 2001.- Том 7, №2. – С. 
109-115. 
25. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к при-
нятию приближенных решений. М: Мир, 1976, 165 с. 
26. Занг  В.-Б.  Синергетическая  экономика.  Время  и  перемены  в  нелинейной 
экономической теории. М.: Мир, 1999.-335 с. 
27. Калмыков С.А., Шокин Ю.А., Юлдашев З.Х. Методы интервального ана-
лиза. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1986.-224 с. 
28. Ким-Гю-Пхир.  Оптимальное  распределение  ресурсов  в  условиях  интер-
вальной неопределенности. –  М.: Наука, 1992. – 256 с. 
29. Козина Г.Л., Рябовол Л.Д., Захарова А.В. основы интервального исчисле-
ния.-Запорожье: Изд-во ЗГУ, 1996. – 47 с. 
30. Коршунов А.Д. Об одном алгоритме нахождения паросочетаний  в конеч-
ных графах // Кибернетика. – 1975. - №1. – С. 1-8. 
31. Коршунов А.Д. Основные свойства случайных графов с большим числом 
вершин и ребер // Успехи матем. наук. – 1985. – Т.40, №1 (241).- С.107-173. 
32. Кравцов М.К. Неразрешимость задач векторной дискретной оптимизации 
в классе алгоритмов линейной свертки критериев //Дискретная математи-
ка. –  1996. –  8, № 2. –  C. 89-96. 
33. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник 
для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2000. – 543 с. 
34. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нестационарные структу-
ры,  динамический  хаос,  клеточные  автоматы.  В  сб.  Новое  в  синергетике. 
Загадки мира неравновесных структур. – М.: Наука, 1996. – С. 95-164. 
35. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решения.– М.: Наука, 1979.- 200 
с. 
36. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1987. – 

 
138
510 с.  
37. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учебное руково-
дство. – М.: Наука, 1990. – 240 с.  
38. Малинецкий  Г.Г.,  Потапов  А.Б.  Нелинейность.  Новые  проблемы,  новые 
возможности.  В  кн.  Новое  в  синергетике.  Загадки  мира  неравновесных 
структур. – М.: Наука, 1996. –С. 165-190. 
39. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория Иерархических многоуровне-
вых систем. – М.: Мир, 1973. – 344 с. 
40. Михалевич В.С., Трубин В.А., Шор Н.З. Оптимизационные задачи произ-
водственно транспортного планирования.- М.: Наука, 1986.- 264 с. 
41. Назаренко  Т.И.,  Марченко  Л.В.  Введение  в  интервальные  методы  вычис-
лительной математики. – Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1987. 
– 107 с. 
42. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. – М.: Мир, 1971. – 
378 с. 
43. Оре О. Графы и их применение.– М.: Мир, 1965.– 173 с.  
44. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной ин-
формации. – М.: Наука, 1981. – 203 с.  
45. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и 
сложность.- М.: Мир, 1985.- 512 с. 
46. Пасов  В.М.  Синоптико-статистический  метод  прогнозирования  зерновых 
культур// Методология и гидрология. – 1992. - №10. – С.77-84. 
47. Перепелица  В.A., Cepгиенко  И.В,  Исследование  одного  класса  целочис-
ленных многокритериальных задач //Журнал вычисл. матем. и матем. фи-
зики. – 1988. –  28, № 3. –  C. 400-419. 
48. Перепелица В.А., Касаева М.Д, Темирова Л.Г. Прогнозная модель урожай-
ности  на  базе  линейного  клеточного  автомата  // Современные  аспекты 
экономики – 2003. - №4(32). – С.190-206. 
49. Перепелица В.А., Мамедов А.А. Исследование сложности и разрешимости 
векторных задач на графах: Уч. пособие. Черкесск,  1995.- 68 с. 

 
139
50. Перепелица  В.А.,  Попова  Е.В.  Математическое  моделирование  экономи-
ческих  и  социально-  экологических  рисков. – Ростов  н/Д .: Изд-во  Рост. 
ун-та, 2001. – 126 с. 
51. Перепелица  В.А.,  Салпагаров  С.И.,  Тебуева  Ф.Б.  Точные  алгоритмы  для 
задач  покрытия  графов  звездами  и  цепями //Известия  вузов.  Северо-
Кавказский регион.- Ростов: №1, 2002.- С.63-74. 
52. Перепелица  В.А.,  Сергеева  Л.Н.  Исследование  неразрешимости  с  помо-
щью  алгоритма  линейной  свертки 3-невырожденных  дискретных  много-
критериальных задач //Кибернетика и системный анализ. –  1996. –  № 2. –  
C. 71-77. 
53. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б. Агроэкономическая задача покрытия графа 
звездами // Тезисы докладов Седьмой международной конференции «Ма-
тематика. Компьютер. Образование». – Дубна, 2002. –163 с. 
54. Перепелица  В.А.,  Тебуева  Ф.Б.,  Темирова  Л.Г,  Касаева  М..Д.  Построение 
прогнозной модели урожайности на базе клеточных автоматов и нечетких 
множеств / «Менеджмент,  экономика  и  финансы,  региональное  управле-
ние». Труды III Международной научно-практической конференции «Про-
блемы  регионального  управления,  экономики,  права  и  инновационных 
процессов в образовании», г. Таганрог, 10-13 сентября 2003 г. – Таганрог: 
Изд-во  Таганрогского  института  управления  и  экономики, 2003. – С.182-
185. 
55. Перепелица  В.А.,  Тебуева  Ф.Б.,  Темирова  Л.Г.  Дискретное  программиро-
вание с нечеткими данными. Сб.науч.трудов V Всероссийского симпозиу-
ма. «Математическое моделирование экономических и экологических сис-
тем», г. Кисловодск, 17-19 октября 2002г. – Кисловодск: Изд.центр КИЭП, 
2002. – С.7-10. 
56. Перепелица  В.А.,  Тебуева  Ф.Б.,  Темирова  Л.Г.  Математическая  модель 
землепользования  на  базе  нечетких  множеств  и  клеточных  автоматов 
Электронный  журнал  «Исследовано  в  России»- 207- 2003.- С. 2429-2438  
http:// zhurnal.ape.relarn.ru/articles/003/207.pdf  

 
140
57. Перепелица  В.А.,  Тебуева  Ф.Б.,  Темирова  Л.Г.  Моделирование  экстре-
мальных задач на графах с нечеткими данными // Труды участников Меж-
дународной  школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимо-
ва, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2002 г. /МГУ, РГУ. – Ростов-на-Дону, 2002. 
- С. 267. 
58. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Фрактальный анализ устой-
чивости развивающихся агросистем. Материалы III Международной науч-
но-практической конференции «Математическое моделирование в образо-
вании, науке и производстве». – Тирасполь, 17-20 сентября, 2003 г. – Ти-
располь: РИО ПГУ, 2003. – С.56-59. 
59. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г.,  Касаева М.Д. Использова-
ние инструментария клеточных автоматов для формирования прогнозных 
нечетких  значений  урожайностей  на  базе  временного  ряда //Известия  ву-
зов - Ростов-на-Дону.- 2003.- №4.- С.67-76.  
60. Перепелица  В.А.,  Тебуева  Ф.Б.,  Темирова  Л.Г.,  Касаева  М..Д.  Об  одном 
подходе к оценке глубины фрактальной памяти временных рядов урожай-
ностей.-  Нальчик  (Международный  Российско-Узбекский  симпозиум) 
«Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и инфор-
матики», п.Эльбрус,  21-25 мая 2003 г./ КБГУ.- Нальчик.- 2003. 
61. Перепелица  В.А.,  Тебуева  Ф.Б.,  Темирова  Л.Г.,  Касаева  М.Д.  Прогнозная 
модель  урожайности  на  базе  клеточных  автоматов  и  нечетких  множеств 
//Труды III международной  конференции    «Новые  технологии  в  управле-
нии, бизнесе и праве». НФ ИУБиП г.Невинномыск, 30 мая 2003. – С. 163-
167. 
62. Перепелица В.А., Ф.Б.Тебуева, Темирова Л.Г. Новый метод прогнозирова-
ния на базе клеточных автоматов и нечетких множеств. / Тезисы  докладов 
VIII  Международной  конференции  серии  «Нелинейный  мир»,  г.  Астра-
хань, 15-20 сентября 2003г. – Астрахань:  ГУП  «Издательско-
полиграфический комплекс»  «Волга», 2003.-С.240.  
63. Перепелица В.А., Ф.Б.Тебуева, Темирова Л.Г. Об одной задаче землеполь-

 
141
зования в условиях неопределенности. Математические  методы и инфор-
мационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сборник 
статей X Международной научно-технической конференции.- 24-25 декаб-
ря 2002 г.  – Пенза, 2002 - С. 69-71. 
64. Петерс  Э.  Хаос  и  порядок  на  рынках  капитала.  Новый  аналитический 
взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. – М.: Мир, 2000. – 333 с.  
65. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокрите-
риальных задач. М.Наука, 1982.- 256 с. 
66. Пригожин  И.,  Стингерс  И.  Порядок  из  хаоса.  Новый  диалог  человека  с 
природой. – М.: Прогресс, 1986. 
67. Прикладные  нечеткие  системы.  Под  редакцией  Т.Тэрано,  К.Асаи, 
М.Сугэно. - М.: Мир, 1993. – 368 с. 
68. Рощин В.А., Семенова Н.В., Сергиенко Н.В. Декомпозиционный подход к 
решению  некоторых  задач      целочисленного  программирования  с  неточ-
ными данными //Журнал вычисл. матем. и матем. физики. –  1990. –  29, № 
5. –  C. 789-791. 
69. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности// Странные аттракторы. – 
М.; 1991, С.117-151. 
70. Сакович  В.А.  Исследование  операций:  Справочное  пособие.-  Минск, 
1985.- 256 с. 
71. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы: Пер. с англ.  – М.: 
Мир, 1984. – 455 с. 
72. Сергеева Л.Н. Моделирование поведения экономических систем методами 
нелинейной динамики (теории хаоса). – Запорожье: ЗГУ, 2002. – 227 с. 
73. Сигел,  Эндрю.  практическая  бизнес-статистика.:  Пер.  с  англ. – М.:  Изда-
тельский дом «Вильямс», 2002. – 1056 с. 
74. Суслов  О.П.,  Кудина  Т.М.  Моделирование  формирования  иерархической 
структуры систем управления // Машинная обработка информации . – Ки-
ев: Ин-т нар.хоз-ва, 1988.- № 46. – С.116-126.  
75. Темирова Л.Г. Полиномиально разрешимый подкласс теоретико-графовой 

 
142
модели  для  задачи  землепользования.  Тезисы II Международной  конфе-
ренции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математи-
ческой биологии, информатики и физики». КБНЦ РАН, 3-7 декабря 2001 г. 
- Нальчик, 2001. -  С.45-46.  
76. Темирова  Л.Г.  Статистически  эффективный  алгоритм  для  одной  задачи 
формирования  целевых  групп.  Материалы  Северо-Кавказской  региональ-
ной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Пер-
спектива-2001».-Нальчик, 2001.- С.191-198. 
77. Темирова  Л.Г.  Статистически  эффективный  алгоритм  для  одной  задачи 
землепользования // Современные аспекты экономики. - Санкт-Петербург. 
- 2002 г.-  №15(28). - С.47-56.  
78. Темирова Л.Г., Петова Е.Х. Об одном подходе к моделированию процесса 
формирования состава малых групп. Решение научно-технических и соци-
ально-экономических проблем современности // Сборник трудов IV науч-
но-практической конференции. Часть II, КЧГТИ.- Черкесск,  2002. - С 42-
44. 
79. Тимошенко П.Н., Яковенко В.С. Экономические циклы – новые подходы к 
обнаружению,  анализу,  прогнозированию. «Циклы».  Материалы  пятой 
Международной  конференции.  Том 1. – Ставрополь:  Изд.  Северо-
Кавказского государственного технического университета, 2003. – С.87-90. 
80. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 260 с. 
81. Шокин  Ю.И.  Интервальный  анализ // ВЦ  СО  АН  СССР.-  Новосибирск, 
1988.- 137 с. 
82. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введени. – М.: Мир, 1988. – 240 с. 
83. Яновский Л.П. Принципы, методология и научное обоснование урожая по 
технологии «Зонт». – Воронеж: ВГАУ, 2000.-379 с. 
84. Cootner P. “Comments on the Variation of Certain SpeculativePrices”, in P. 
Cootner ed. The Random Chaacter of Stock Market Prices. Cambridge:MIT 
Press, 1964 a. 
85. Holden K., Peel D.A. and Thompson J.L. – Press Syndicate of the University of 

 
143
Cambridge, 1990. – P. 231.  
86. Kuchert W.Y.M. and oth. Aplication of Fuzzy Controller in a Warm Water Plent. 
“Automatica”, v.12, №4, 1976, Р.301-308. 
87. Lodwick A.W. Special Issue on the Linkages Between Interval Mathematics 
and Fuzzy Set Theory // Reliable Computing. – 2002. – Volume 8 – P. 93-95. 
88. Mandelbrot B. The Fractal Geometryof Nature. New York: W.H.Freeman, 1982. 
89. Packard N., Cruthfield I., Forman D., Shaw R. “Geometry from a Time Series”, 
Phisical Review Letters 45, 1980. 
90. Perepelitsa V.A. and Kozina G.L. Interval Discrete Models and  Multiobjectiv-
ity. // Interval computations. – 1993. –  №1. – P. 51-59.  
91. Scheikman J.A., LeBaron B. “Nonlinesr Dinamics and Stock Returns”. Journa 
of Business 62, 1989. – P. 311-337/ 
92. Zadeh L.A. Fuzzy sets. – Inf. Contr., 1965, 8, P.338-353. 
 

                               Приложение 2             
Исходные данные для точек абсциссы   и ординаты  ∆ на базе статистических 
i
i
данных озимой пшеницы по КБР с 1952 по 2002 гг. 
Таблица П2.1 
Годы 
z
 
 
 

i
Годы 
zi 
i
Годы 
zi 
i
1952 13,1 
-5,6 
1969 20,5 
6,6 
1986 33,9 
-7,1 
1953  7,5 0,8 
1970 27,1 2 
1987 26,8 6 
1954 
8,3 
-1,3 1971 
29,1  -7,2 1988 
32,8 
3,4 
1955  7  6 
1972 21,9 
7,4 
1989 36,2 
8,1 
1956 
13 
0,9 
1973 
29,3 
-11 1990 
44,3  -7,9 
1957 
13,9 1,8 
1974  18,3 3,6 
1991  36,4 -7,7 
1958 15,7 
-1,6 
1975 21,9 9 
1992 28,7 
-2,3 
1959 14,1 
4,7 
1976 30,9 
-4,2 
1993 26,4 
3,9 
1960 18,8 
-6,1 
1977 26,7 
0,2 
1994 30,3 
3,1 
1961 12,7 
9,3 
1978 26,9 
3,2 
1995 33,4 
-5,3 
1962 22 
-3,9 
1979 30,1 -1 
1996 28,1 
-2,6 
1963 18,1 
-4,2 
1980 29,1 
-1,6 
1997 25,5 
-6,6 
1964 13,9 
1,5 
1981 27,5 -5 
1998 18,9 
9,5 
1965 
15,4 3,2 
1982  22,5 3,2 
1999  28,4 -2,9 
1966 18,6 
5,8 
1983 27,1 
-1,5 
2000 25,5 
5,7 
1967 24,4 
0,7 
1984 24,2 
-3,1 
2001 31,2 
1,6 
1968 25,1 
-4,6 
1985 21,1 
12,8 
2002 32,8  
 
z
15
i
10
5
zi
0
0
10
20
30
40
50
-5
-10
-15
 
Рис.П2.1.  Фазовый  портрет  вида  ′(z) = (
, ∆  временного ряда урожайности 
i
)}
озимой пшеницы по Кабардино-Балкарии за период с 1952 по 2002 гг. 
 
8
3
10
4
6
4
5
2
0
0
0
10
20
30
40
-2 0
10
20
30
-5
-4
-6
-10
 
 

 
 
15
5
4
6
10
2
5
0
0
-2 26
27
28
29
30
31
-5 0
10
20
30
40
-4
-10
-6
-15
 
15
7
10
8
10
5
5
0
0
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
-5
-5
 
-10
 
6
9
4
15
10
2
10
0
5
-2 0
10
20
30
40
0
-4
-5 0
10
20
30
40
-6
-10
 
Рис.П2.2.  Квазициклы  временного  ряда  урожайности  озимой  пшеницы  по  КБР, 
выявленные из фазового портрета вида  ′(z) = (
, ∆  указанного ВР. 
i
)}
 
            
Размерности    этих  квазициклов  представлены в таблице П2.3 
k
 Таблица П2.2. 
C′  
 
 
 
k
1
 
2
3
 
4
5
 
6
7
 
8
 
9
 
10
 
L′  
5  5 7 4 4 5 4 6 5 5 
k
 

Приложение 3 
Эмпирические значения частостей переходов из каждой конкретной -
конфигурации  00
...
∈  в состояние Н, С и В, = ,
3
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,  0 0
0
...

,  
(u u
u
Н
1 2
l
)
1
2
l
l
0 0
0
...

,   w
0
0
0
...

 для урожайности озимой пшеницы по КБР 
(u u
u
В
1
2
l
)
(u u
u
С
1 2
l
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
в
 
 
в
 
 
 
в
 
 
в
 
 
 
в
 
 
в
а
 
ть
во
 
ть
во
 
ть
ина
 
 
до
до
до
до
до
до
о
г
о

о
ина
 
 
ест
о
г
о

о
ина
 
 
ест
о
г
о

о
из
в
из
в
из
в
Все
Все
Все
Глуб
Переход
Переход
Частот
Глуб
Глуб
перех
переходов
Частос
перех
Переход
Переход
переходов
Частос
Переход
Переход
переходов
Частос
Колич
перех
перех
Колич
перех
перех
1  2 3  4  5 6  1


4 5 6 1
2 3 4 5 6 
 
Н 0 
 
0  
Н 
0  0 
 
Н 1    1 
ННН  С 1 1 1 
СВН 
С 
1 1 1  СНВ  С 0 1 

 
В 0 
 
0  
В 
0  0 
 
В 0   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 0   0  
Н 
0  0 
 
Н 
0  0 
ННС  С 1 2 
1/2 
СВС 
С 
3 3 1  ССН  С 
2 3 2/3 
 
В 1   
1/2  
В 
0  0 
 
В 
1  1/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 0   0  
Н 
0  0 
 
Н 
1  1/2 
ННВ  С 1 1 

СВВ 
С 
2 3 2/3  ССС  С 
0 2 0 
конфигурация
 
В 0   
0  
В 
1  1/3 3-  
В 
1  1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
Н 1   
1  
Н 
0  0 
 Н 0    0 
НСН  С 0 1 

ВНС 
С 
0 1 0  ССВ  С 2 4 
1/2 
 
В 0   

 
В 
1  1 
 
В 2   
1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
Н 0   0  
 
Н 
0  0 
НСС  С 1 2 
1/2 
ВНВ 
С 
1 1 1 
 
В 1   
1/2  
В 
0  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 0   0  
Н 
1  1 
НСВ  С 1 2 
1/2 
ВСН 
С 
0 1 0 
конфигурация
 
В 1   
1/2  
конфигурация
В 
0  0 
3-
3-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 0   0  
Н 
2  2/5 
НВН  С 0 1 

ВСС 
С 
1 5 1/5 
 
В 1   
1  
В 
2  2/5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 1   1/2  
Н 
1  1/2 
НВС  С 1 2 
1/2 
ВСВ 
С 
0 2 0 
 
В 0   
0  
В 
1  1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 1   1/3  
Н 
0  0 
СНН  С 1 3 
1/3 
ВВС 
С 
1 3 1/3 
 
В 1   
1/3  
В 
2  2/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 1   1/2  
Н 0    0 
СНС  С 1 2 
1/2 
ВВВ 
С 1 1 

 
В 0   
0  
В 0   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Всего 3-конфигураций –24 шт. Из них с памятью (однозначных переходов) – 10 шт. 


2 3 




2 3 

5

1

3  4 5  6 
 
Н 0  0 
  Н 1  1/2
 
Н  0   0 
ННСС  С 1 1  1 
ССНС  С 1 2 1/2
ВСВВ С  1 1  1 
 
В 0  
0  
В 0  
0  
В  0   0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 0  0 
  Н 1   1  
Н  0   0 
ННСВ  С 0 1  1 
ССНВ  С 0 1

ВВСС С  1 1  1 
 
В 1  
0  
В 0  
0  
В  0   0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 1  1 
  Н 0   0  
Н  1   1/2 
конфигурация
НССС  С 0 1  0 
СССН  С 0 1

4- ВВСВ С  0 2  0 
 
В 0  
0  
В 1  
1  
В  1   1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 0  0 
  Н 0   0 
 
 
 
 
 
НССВ  С 0 1  0 
СССВ  С 1 1

Всего 4-конфигураций – 39 шт. 
 
В 1  
1  
В 0  
0       Из них с памятью – 32 шт. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 0  0 
  Н 0   0   
 
 
 
 
 
НСВС  С 1 1  1 
ССВС  С 2 2 2/2  
 
 
 
 
 
 
В 0  
0  
В 0  
0   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 0   
  Н 0   0   
 
 
 
 
 
НСВВ  С 1 1  1 
ССВВ  С 0 1
0   
 
 
 
 
 
 
 
В 0  
 
 
 
В 1  
1   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 1  1 
  Н 2  2/3  
 
 
 
 
 
НВСН  С 0 1  0 
СВСС  С 0 3
0   
 
 
 
 
 
 
В 0  
0  
В 1   1/3  
 
 
 
 
 
конфигурация
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
4-
конфигурация
 
Н 0  0 
  Н 0   0   
 
 
 
 
 
4-
НВСС  С 0 1  0 
СВВС  С 0 2
0   
 
 
 
 
 
 
В 1  
1  
В 2  2/2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 0  0 
 
Н 
0   0  
 
 
 
 
 
СННН  С 1 1 1 
СВВВ 
С 
1 1
1  
 
 
 
 
 
 
В 0  0 
 
В 
0   0  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 0  0  
Н 
0   0  
 
 
 
 
 
СННС  С 0 1  0 
ВССН  С  2 2 2/2  
 
 
 
 
 
 
В 1  
1  
В 
0   0  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 0  0  
Н 
0   0  
 
 
 
 
 
СННВ  С 1 1  1 
ВССС  С  0 1
0  
 
 
 
 
 
 
В 0  
0  
В 
1   1  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 1  1  
Н 
0     
 
 
 
 
 
СНСН  С 0 1  0 
ВССВ  С  1 2 1/2  
 
 
 
 
 
 
В 0  
0  
В 
1  1/2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 0  0  
Н 
0   0  
 
 
 
 
 
СНСС  С 0 1  0 
ВСВН  С  1 1
1  
 
 
 
 
 
 
В 1  
1  
В 
0   0  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 


2 3 

5 6 1 
2 3 


6 1 


4 5 6 
 
Н 
1  1 
 
Н 0    0  
Н 
1  1/2
ССНСН  С 
0 1 0 
ССВССН С 2  2 
2/2 
ССВССНС  С 
1 2 1/2
 
 
В 
0  0 
 
В 0   
0  
В 
0  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
0  0 
  Н 
1  1/2 
 
Н 
1  1 
ССНСС  С 0 1 

СВССНС С 
1 2 1/2  СВССНСН  С 
0 1 0 
 
В 1  
1  
В 
0  0 
 
В 
0  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
конфигурация
 
 
Н 2   2/2  
Н 
0  0 7-
 
Н 
0  0 
ССВСС  С 0 2 

СВВСВН С 
1 1 1  СВССНСС  С 
0 1 0 
 
В 0  
0  
В 
0  0 
 
В 
1  1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Всего 7-конфигураций – 48 шт. 
 
Н 0     
 
Н 
0  0  Из них с памятью – 46 шт. 
СВССН  С 2 2 
2/2 
СВВСВВ С 
1 1 1 
 
 
 
 
 
 
конфигурация
 
В 0    
6-
 
В 
0  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 
0  0 
  Н 
1  1 
 
Н  1   1 
 
СВССВ  С 
1 1 1  ВССНСН С 
0 1 0  ССВССНСН  С  0 1   
 
 
В 
0  0 
  В 
0  0 
 
В  0    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
1  1/2 
  Н 
0  0 
 
Н  0   0 
СВВСВ  С 
0 2   
ВССНСС С 
0 1 0  ССВССНСС  С  0 1  0 
 
В 
1  1/2 
 
В 
1  1 конфигурация
 
В  1   1 
 
 
 
 
 
Всего 6-конфигураций- 45 шт. 
8-
 
 
 
 
 
конфигурация
 
Н 
1  1/2 
   Из них с памятью – 43 шт. 
 
Всего 8-конфигураций – 48 шт. 
5- ВССНС  С  1  2 1/2  
 
 
 
 
 
Из них с памятью – все 48 шт. 
 
В 
0  0 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 
0  0 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
ВССВС  С 
1 1 1 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
В 
0  0 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 
0  0 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
ВССВВ  С 
0 1 0 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
В 
1  1 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 0   0 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
ВВСВН  С 1 1 
1   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
В 0  
0   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Н 0   0 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
ВВСВВ  С 1 1 
1   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
В 0  
0   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
Всего 5-конфигураций –43 шт.    
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
Из них с памятью – 39 шт.  
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение 4 
Результат валидации прогнозной модели на примере урожайности озимой 
пшеницы за 1952-2002 гг. по КБР 
 
Таблица П4.1. 
 
 
 
 
 
й
 
l
 
- конфигурация 
Ненормированные значения функции 
Сумма 
Значение 
 
и
 
в
 
,
В
Прогнозное 
,
С
принадлежности 
ненорми
функции 
нечеткое терм-множество 
руемы
 
р
а
ци
 
Н
µ′ µ′ µ′
рован 
принадле
Н 
С 
В  
= ({Н;µ , C;µ , В,µ  
Н ) (
) (
В )}
ных 
жности 
о
зи
 
год
яния
значений 
Переходы
нфигу
ко
сто
функций 
Прогн
l- 
со
принадле
жности 
1 2  3 




 
 
Н 2/15=0,27 
 
0,03 
 
2003 
ВССНССВВ 
С 8/15+3/4+2/3=1,94 
3,98  0,49 
U={(Н;0,03), (С;0,49), (В;0,48)} 
 
 
В 5/15+1/4+1/3+1=1,91 
 
0,48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/12+1/7=0,27 
 
0,07 
 
2002 
СВССНССВ 
С 8/15+3/7+2/4=1,45 
3,97  0,36 
U={(Н;0,07), (С;0,36), (В;0,57)} 
 
 
В 5/15+3/7+2/4+1=2,25 
 
0,57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+3/9=0,59 
 
0,15 
 
2001 
ССВССНСС 
С 9/23+2/9+1/2=1,11 
3,99  0,28 
U={(Н;0,15), (С;0,28), (В;0,57)} 
 
 
В 8/23+4/9+1/2+1=2,29 
 
0,57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/5+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2=2,96  0,37 
 
2000 
СССВССНС 
С 9/23+2/5+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1=4,29 8  0,54 
U={(Н;0,37), (С;0,54), (В;0,09)} 
 
 
В 8/23+2/5=0,75 
 
0,09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 4/12+3/6=0,83 
 
0,12 
 
1999 
ВСССВССН 
С 5/12+2/6+2/3+2/2+2/2+2/2+1=5,4 6,97 
0,77 
U={(Н;0,12), (С;0,77), (В;0,11)} 
 
 
В 3/12+1/6+1/3=0,74 
 
0,11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+3/9+2/5+2/3+2/2+1=3,65  
0,61 
 
1998 
ВВСССВСС 
С 9/23+2/9+1/5=0,81 
5,97  0,14 
U={(Н;0,61), (С;0,14), (В;0,25)} 
 
 
В 8/23+4/9+2/5+1/3=1,51 
 
0,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/8=0,38 
 
0,08 
 
1997 
ВВВСССВС 
С 9/23+5/8+3/3+2/2+1=4,01 4,97 
0,81 
U={(Н;0,08), (С;0,81), (В;0,11)} 
 
 
В 8/23+2/8=0,58 
 
0,11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/17+1/7=0,27 
 
0,07 
 
1996 
СВВВСССВ 
С 8/15+3/7+2/4+1=2,45 
3,97  0,62 
U={(Н;0,07), (С;0,62), (В;0,31)} 
 
 
В 5/15+3/7+2/4=1,25 
 
0,31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+3/9+1/2=1,09 
 
0,27 
 
1995 
ССВВВССС 
С 9/23+2/9=0,61 
3,98  0,15 
U={(Н;0,27), (С;0,15), (В;0,58)} 
 
 
В 8/23+4/9+1/2+1=2,28 
 
0,58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+3/9+2/5=0,99 
 
0,25 
 
1994 
ВССВВВСС 
С 9/23+2/9+1/5+1=1,81 
3,98  0,55 
U={(Н;0,25), (С;0,55), (В;0,30)} 
 
 
В 8/23+4/9+2/5=1,18 
 
0,30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/8=0,38 
 
0,1  
1993 
НВССВВВС 
С 9/23+5/8+1/3+1=2,34 
3,96  0,6 U={(Н;0,1), (С;0,6), (В;0,3)} 
 
 
В 8/23+2/8+2/3=1,24 
 
0,3  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15=0,13 
 
0,02 
 
1992 
ННВССВВВ 
С 8/15+3/4+1=2,28 
4,99  0,76 
U={(Н;0,04), (С;0,76), (В;0,20)} 
 
 
В 5/15+1/4=0,58 
 
0,20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15=0,13 
 
0,03 
 
1991 
СННВССВВ 
С 8/15+3/4+2/3=1,95 
3,99  0,49 
U={(Н;0,03), (С;0,49), (В;0,48)} 
 
 
В 5/15+1/4+1/3+1=1,91 
 
0,48 
(по факту-высокий) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15+1/7=0,27 
 
0,05 
 
1990 
НСННВССВ 
С 8/15+3/7+2/4+1/2=1,95 
4,97  0,40 
U={(Н;0,05), (С;0,40), (В;0,55)} 
 
 
В 5/15+3/7+2/4+1/2+1=2,75 
 
0,55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+3/9+2/5=0,99 
 
0,25 
 
1989 
СНСННВСС 
С 9/23+2/9+1/5=0,81 
3,98  0,20 
U={(Н;0,25), (С;0,20), (В;0,55)} 
 
 
В 8/23+4/9+2/5+1=2,18 
 
0,55 
 

1 2  3 




 
 
Н 6/23+1/8+1/2=0,88 
 
0,22 
 
1988 
ССНСННВС 
С 9/23+5/8+1/2+1=2,51 
3,97  0,63 
U={(Н;0,22), (С;0,63), (В;0,15)} 
 
 
В 8/23+2/8=0,58 
 
0,15 
 
 
 
 
Н 2/15+1/3=0,46 
 
0,15 
 
1987 
ВССНСННВ 
С 8/15+2/3+1=2,19 
2,98  0,73 
U={(Н;0,15), (С;0,73), (В;0,12)} 
 
 
В 5/15=0,33 
 
0,12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 4/12+1/4+1/3=0,91 
 
0,23 
 
1986 
СВССНСНН 
С 5/12+2/4+1/3=1,24 
3,98  0,31 
U={(Н;0,23), (С;0,31), (В;0,46)} 
 
 
В 3/12+1/4+1/3+1=1,83 
 
0,46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 4/12+3/6+1=1,83 
 
0,61 
 
1985 
ССВССНСН 
С 5/12+2/6=0,74 
2,98  0,25 
U={(Н;0,61), (С;0,25), (В;0,14)} 
 
 
В 3/12+1/6=0,41 
 
0,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/5+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1=3,96   0,49 
 
1984 
ВССВССНС 
С 9/23+2/5+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2=3,29 8 0,41 
U={(Н;0,49), (С;0,41), (В;0,10)} 
 
 
В 8/23+2/5=0,75 
 
0,10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 4/12+3/6=0,83 
 
0,12 
 
1983 
СВССВССН 
С 5/12+2/6+2/3+2/2+2/2+2/2+1=5,4 6,97 
0,77 
U={(Н;0,12), (С;0,77), (В;0,11)} 
 
 
В 3/12+1/6+1/3=0,74 
 
0,11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+3/9+2/5+2/3+2/2+1=3,65  
0,61 
 
1982 
НСВССВСС 
С 9/23+2/9+1/5=0,81 
5,97  0,14 
U={(Н;0,61), (С;0,14), (В;0,25)} 
 
 
В 8/23+4/9+2/5+1/3=1,51 
 
0,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/8=0,38 
 
0,08 
 
1981 
ВНСВССВС 
С 9/23+5/8+3/3+2/2+1=4,01 4,98 
0,8 
U={(Н;0,08), (С;0,8), (В;0,12)} 
 
 
В 8/23+2/8=0,59 
 
0,12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15+1/7=0,27 
 
0,05 
 
1980 
СВНСВССВ 
С 8/15+3/7+2/4+1/2+1=2,95 4,97 
0,60 
U={(Н;0,05), (С;0,60), (В;0,35)} 
 
 
В 5/15+3/7+2/4+1/2=1,75 
 
0,35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+3/9+2/5+2/3=1,65 
 
0,33 
 
1979 
ВСВНСВСС 
С 9/23+2/9+1/5=0,81 
4,97  0,16 
U={(Н;0,33), (С;0,16), (В;0,51)} 
 
 
В 8/23+4/9+2/5+1/3+1=2,51 
 
0,51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/8=0,38 
 
0,09 
 
1978 
ВВСВНСВС 
С 9/23+5/8+3/3+1=3,01 
3,98  0,76 
U={(Н;0,09), (С;0,76), (В;0,15)} 
 
 
В 8/23+2/8=0,59 
 
0,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15+1/7=0,27 
 
0,07 
 
1977 
СВВСВНСВ 
С 8/15+3/7+1/2+1=2,45 
3,97  0,62 
U={(Н;0,07), (С;0,62), (В;0,31)} 
 
 
В 5/15+3/7+1/2=1,25 
 
0,31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/5=0,46 
 
0,16 
 
1976 
ВСВВСВНС 
С 9/23+2/5=0,79 
2,8  0,28 
U={(Н;0,16), (С;0,28), (В;0,56)} 
 
 
В 8/23+2/5+1=1,55 
 
0,56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 4/12=0,33 
 
0,11 
 
1975 
ВВСВВСВН 
С 5/12+1/2+1=1,91 
2,99  0,64 
U={(Н;0,11), (С;0,64), (В;0,25)} 
 
 
В 3/12+1/2=0,75 
 
0,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15+1/7+1/2+1/2+1/2+1=2,77  
0,46 
 
1974 
СВВСВВСВ 
С 8/15+3/7=0,95 
5,97  0,16 
U={(Н;0,46), (С;0,16), (В;0,38)} 
 
 
В 5/15+3/7+1/2+1/2+1/2=2,25  
0,38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/8=0,38 
 
0,10 
 
1973 
НСВВСВВС 
С 9/23+5/8+1/3=1,34 
3,97  0,34 
U={(Н;0,01), (С;0,34), (В;0,56)} 
 
 
В 8/23+2/8+2/3+1=2,25 
 
0,56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15=0,13 
 
0,03 
 
1972 
ННСВВСВВ 
С 8/15+3/4+2/3+1=2,94 
3,98  0,74 
U={(Н;0,03), (С;0,74), (В;0,23)} 
 
 
В 5/15+1/14+1/3=0,91 
 
0,23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15+1/7+1/2+1/2+1/2+1/2=1,77  
0,30 
 
1971 
СННСВВСВ 
С 8/15+3/7=0,95 
5,97  0,16 
U={(Н;0,30), (С;0,16), (В;0,54)} 
 
 
В 5/15+3/7+1/2+1/2+1/2+1=3,25  
0,54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/8=0,38 
 
0,09 
 
1970 
ВСННСВВС 
С 9/23+5/8+1/3=1,34 
3,97  0,34 
U={(Н;0,09), (С;0,34), (В;0,57)} 
 
 
В 8/23+2/8+2/3+1=2,25 
 
0,57 
 
 
 
 
 
 
 
 

1 2  3 




 
 
Н 2/15=0,13 
 
0,03 
 
1969 
НВСННСВВ 
С 8/15+3/4+2/3+1=2,92 
3,98  0,74 
U={(Н;0,03), (С;0,74), (В;0,23)} 
 
 
В 5/15+1/14+1/3=0,91 
 
0,23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15+1/7=0,27 
 
0,07 
 
1968 
ВНВСННСВ 
С 8/15+3/7+1/2=1,45 
3,97  0,37 
U={(Н;0,07), (С;0,37), (В;0,56)} 
 
 
В 5/15+3/7+1/2+1=2,25 
 
0,56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/5=0,46 
 
0,12 
 
1967 
НВНВСННС 
С 9/23+2/5+1/2=1,29 
3,99  0,32 
U={(Н;0,12), (С;0,32), (В;0,56)} 
 
 
В 8/23+2/5+1/2+1=2,24 
 
0,56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 4/12+1/2+1/3=1,16 
 
0,27 
 
1966 
СНВНВСНН 
С 5/12+2/4+1/3+1=2,24 
4,23  0,53 
U={(Н;0,27), (С;0,53), (В;0,20)} 
 
 
В 3/12+1/4+1/3=0,83 
 
0,20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 4/23+3/6+1=1,83 
 
0,61 
 
1965 
ССНВНВСН 
С 5/12+2/6=0,74 
2,98  0,25 
U={(Н;0,61), (С;0,25), (В;0,14)} 
 
 
В 5/12+1/6=0,41 
 
0,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 6/23+1/8+1/2+1=1,88 
 
0,47 
 
1964 
СССНВНВС 
С 9/23+5/8+1/2=1,51 
3,98  0,38 
U={(Н;0,47), (С;0,38), (В;0,15)} 
 
 
В 8/232/8=0,59 
 
0,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15+1/3=0,46 
 
0,12 
 
1963 
НСССНВНВ 
С 8/15+2/3+1=3,19 
3,98  0,80 
U={(Н;0,12), (С;0,80), (В;0,08)} 
 
 
В 5/15=0,33 
 
0,08 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 4/12=0,33 
 
0,11 
 
1962 
ННСССНВН 
С 5/12+1/2=0,91 
2,99  0,30 
U={(Н;0,11), (С;0,30), (В;0,59)} 
 
 
В 3/12+1/2+1=1,75 
 
0,59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 2/15+1/3+1=1,46 
 
0,49 
 
1961 
НННСССНВ 
С 8/15+2/3=1,19 
2,98  0,40 
U={(Н;0,49), (С;0,40), (В;0,11)} 
 
 
В 5/15=0,33 
 
0,11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 4/12+3/6=0,83 
 
0,21 
 
1960 
СНННСССН 
С 5/12+2/6=1,4 
3,97  0,35 
U={(Н;0,21), (С;0,35), (В;0,44)} 
 
 
В 3/12+1/6+1/3+1=1,74 
 
0,44 
 
 

Приложение 5 
Результат работы прогнозной модели для урожайности озимой пшеницы 
 по КБР за 1952-2002 гг. 
.
предш
.
предш
.
предш
− S
x

∑ и
 
и
иС
В
i
i
Н
µ ⋅
µ ⋅
µ ⋅
σ =
С
 
В
№ 
Годы 
ц/га 
Н
.
предш
n
.
предш
n
.
предш
n
=+C+B 
xi
Терм
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1952 13,1 
 
 
 
 
 
 
2 1953  7,5 
 
 
 
 
 
 
3 1954  8,3 
 
 
 
 
 
 
4 1955  7 
 
 
 
 
 
 
5 1956  13 
 
 
 
 
 
 
6 1957 13,9 
 
 
 
 
 
 
7 1958 15,7 
 
 
 
 
 
 
8 1959 14,1 
 
 
 
 
 
 
9 1960 18,8 
1,410 
2,556 
13,536 
17,502 
7,42% 
В 
10 1961  12,7 
11,421 
2,130 
0,752 
14,303 
11,21% 
Н 
11 1962  22 
0,508 
1,562 
15,980 
18,050 
21,88% 
В 
12 1963  18,1 
0,762 
12,780 
0,880 
14,422 
25,50% 
С 
13 1964  13,9 
9,398 
3,439 
1,540 
14,377 
3,32% 
Н 
14 1965  15,4 
11,954 
1,629 
3,300 
16,883 
8,78% 
Н 
15 1966  18,6 
2,051 
13,756 
2,200 
18,007 
3,29% 
С 
16 1967  24,4 
0,879 
2,976 
17,160 
21,015 
16,11% 
В 
17 1968  25,1 
0,440 
3,348 
19,276 
23,064 
8,83% 
В 
18 1969  20,5 
0,293 
16,182 
2,723 
19,198 
6,78% 
С 
19 1970  27,1 
0,733 
3,485 
19,305 
23,523 
15,21% 
В 
20 1971  29,1 
3,223 
2,460 
17,886 
23,569 
23,47% 
В 
21 1972  21,9 
0,293 
17,835 
3,091 
21,219 
3,21% 
С 
22 1973  29,3 
0,733 
3,723 
21,918 
26,374 
11,10% 
В 
23 1974  18,3 
0,879 
2,628 
8,204 
11,711 
56,26% 
Н 
24 1975  21,9 
0,732 
18,834 
2,930 
22,496 
2,65% 
С 
25 1976  30,9 
1,098 
2,190 
24,612 
27,900 
10,75% 
В 
26 1977  26,7 
0,549 
17,739 
4,944 
23,232 
14,93% 
С 
27 1978  26,9 
0,915 
23,496 
2,163 
26,574 
1,23% 
С 
28 1979  30,1 
3,843 
2,680 
21,321 
27,844 
8,10% 
В 
29 1980  29,1 
0,549 
20,100 
6,622 
27,271 
6,71% 
С 
30 1981  27,5 
0,915 
25,608 
2,107 
28,630 
3,95% 
С 
31 1982  22,5 
12,993 
2,830 
5,418 
21,241 
5,93% 
Н 
32 1983  27,1 
2,250 
22,640 
3,010 
27,900 
2,87% 
С 
33 1984  24,2 
11,025 
11,111 
3,010 
25,146 
3,76% 
Н 
34 1985  21,1 
20,812 
2,439 
1,505 
24,756 
14,77% 
Н 
35 1986  33,9 
2,492 
4,336 
21,973 
28,801 
17,71% 
В 
36 1987  26,8 
1,359 
24,390 
1,356 
27,105 
1,13% 
С 
37 1988  32,8 
2,492 
21,976 
2,373 
26,841 
22,20% 
С 
38 1989  36,2 
2,532 
2,980 
26,442 
31,954 
13,29% 
В 
39 1990  44,3 
0,680 
7,152 
26,426 
34,258 
29,31% 
В 
40 1991  36,4 
0,453 
7,152 
29,785 
37,390 
2,65% 
В 
41 1992  28,7 
0,453 
27,118 
2,728 
30,299 
5,28% 
С 
42 1993  26,4 
1,133 
22,960 
5,845 
29,938 
11,82% 
С 
43 1994  30,3 
2,718 
20,112 
5,845 
28,675 
5,67% 
С 
44 1995  33,4 
3,171 
2,277 
30,394 
35,842 
6,81% 
В 
45 1996  28,1 
0,680 
23,058 
5,344 
29,082 
3,37% 
С 
46 1997  25,5 
1,133 
24,728 
2,338 
28,199 
9,57% 
С 
47 1998  18,9 
10,622 
2,680 
6,346 
19,648 
3,81% 
Н 
48 1999  28,4 
1,890 
21,440 
3,340 
26,670 
6,49% 
С 
49 2000  25,5 
6,993 
15,336 
3,006 
25,335 
0,65% 
С 
50 2001  31,2 
1,323 
3,773 
26,386 
31,482 
0,90% 
В 
51 2002  32,8 
0,567 
4,851 
24,648 
30,066 
9,09% 
В 
 
 
 
 
 
 
Погрешность 10% 
 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78418. Строение вспомогательных электрических машин 324.26 KB
  Стартергенератор ПСГУ2 2ТЭ четырехполюсных электрическая машина постоянного тока которая предназначена для работы в двух режимах: стартерные как электродвигатель последовательно возбуждения с питанием от аккумуляторной батареи при пуске дизеля и в генераторном как вспомогательный генератор с независимым возбуждением осуществляет питание электрических цепей управления и электродвигателей постоянного тока собственных нужд освещение и заряда аккумуляторной батареи тепловоза при напряжении 110 3 В. Этим достигается увеличение маховой...
78419. Способы управления электроприводами. Схемы ручного управления электроприводами. Контакторные, контроллерные и командно-контроллерные схемы управления 927.72 KB
  Контроллерные системы управления применяют преимущественно в ЭП мощностью до 20 кВт (в отдельных случаях и большей мощности). Управление ЭП при данной системе осуществляется силовым кулачковым контроллером серии КВ, контакты которого включены в силовую цепь ЭД
78420. Элементы и схемы автоматизированных систем управления судовыми электроприводами 317.94 KB
  Системы релейно-контакторного управления состоят из двигателя постоянного или переменного тока магнитного пускателя или контроллера командоконтроллера и ящиков сопротивлений в схемах на постоянном токе. Систему генератор двигатель Г Д применяют в электродвигателях большой и средней мощности с плавным регулированием скорости в широких пределах. Систему частотного регулирования асинхронного двигателя с использованием машинного преобразователя частоты система Д СГ АД применяют в многодвига тельных приводах с одинаковым режимом работы...
78421. Электроприводы по системе генератор – двигатель 192.88 KB
  Здесь ДПТ двигатель переменного тока обычно асинхронный; Г генератор постоянного тока независимого возбуждения получающий ток возбуждения от небольшого генератора с параллельным возбуждением В; Д регулируемый двигатель и РМ рабочий механизм например рулевая машина. Регулирование скорости вращения двигателя получается достаточно экономичным так как здесь изменение напряжения U на зажимах двигателя достигается путем изменения относительно небольшого тока в обмотке возбуждения генератора. В этом случае изменяют направление тока в...
78422. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ В СУДОВОМ ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ 179.22 KB
  Преобразователи для управления приводом постоянного или переменного тока. Принципы построения схем преобразователей для управления приводом постоянного тока Тиристорный привод постоянного тока применяется прежде всего для замены системы генератор двигатель. В реверсивных выпрямителях схемы усложняются в зависимости от способа изменения направления вращения: изменением направления тока возбуждения без изменения направления тока в цепи якоря электродвигателя; изменением направления тока в цепи якоря с помощью двух вентильных групп...
78423. Защита судовых электроприводов. Требования , предъявляемые к защитным устройствам. Виды защиты систем управления ЭП 110.76 KB
  Например в рулевых электроприводах применяется защита от токов короткого замыкания при перегрузке включается сигнализация при снижении напряжения срабатывает не нулевая а минимальная защита обеспечивающая автоматическое повторное включение электропривода после восстановления напряжения более подробно см. При подаче напряжения на выводы А и В начинает протекать ток через параллельную обмотку возбуждения L. Защиты по снижению напряжения Причины и последствия снижения напряжения...
78426. ГЭУ двойного рода тока 40.27 KB
  Основные сведения Гребными установками двойного рода тока называются такие установки в которых в качестве источников электроэнергии используются синхронные генераторы переменного тока а в качестве гребных электродвигателей – электродвигатели постоянного тока. Появление мощных на сотни кВт выпрямителей позволило объединить высокие маневренные качества ГЭУ постоянного тока с достоинствами ГЭУ переменного тока возможность применения высокооборотных первичных двигателей малые массогабаритные показатели.