17394

Плоскость, линии и точки в плоскости

Лекция

Математика и математический анализ

Плоскость линии и точки в плоскости. Проецирование элементов определяющих плоскость. При ортогональном проецировании любая плоскость может быть задана на чертеже проекциями трех точек не лежащих на одной прямой ; проекциями прямой и точки не лежащей на данно...

Русский

2013-07-01

73.5 KB

1 чел.

Плоскость, линии и точки в плоскости.

Проецирование элементов, определяющих плоскость.

    При ортогональном проецировании любая плоскость может быть задана на чертеже проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой ;  проекциями  прямой и точки, не лежащей на данной прямой;  проекциями двух параллельных прямых; двух пересекающихся прямых; проекциями любой плоской фигуры. Плоскость может быть задана следами - линиями пересечения плоскости с плоскостями проекций.

                       В2   

            А2                                                                             В2

                                               С 2                                    А2                                        С2

                                                                         

X

                                                                                                                                                  

                                                                                          А1                                           С1

                                                 С 1                                                                    В1               

                 А 1                                                                                                              K2                      a 2

                                В1                                                                                    

                                          В2                          D2                                                                                  b 2

       А2                                  С2                      

X

                                                                                                                                                                    b 1

       A 1  

                                                  C1

                                           B1                        D1                                                        K 1

                                                                          В 2                                                                                       a 1

                        А2 

                                                                  С 2                                                                   P 2

                                                                                                                                                                   

                                                                                                    X                                                                     P x

                                                                           В1

                       А1                                                      

                                                                                                                                   P 1

                                                               С1

 Плоскости бывают общего положения и частного.  Выше на рисунках приведены примеры плоскостей общего положения.

Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Плоскость частного положения параллельна или перпендикулярна хотябы к одной из плоскостей проекций .  Плоскости частного положения делятся на две группы :

    плоскости уровня - перпендикулярные двум плоскостям проекций и параллельные одной из них ;   

     проецирующие -  перпендикулярные к одной плоскости проекций и наклонные к двум другим.

Плоскости уровня могут находиться в трех положениях :

1) параллельна горизонтальной плоскости проекций и перпендикулярна фронтальной и профильной;

                                       А2                 В2                 С2

 

                 

                          Х

                                                                                                                 С1

                                                   А1   

                                                                                    В1

2)  параллельна  фронтальной плоскости и перпендикулярна  горизонтальной и профильной;                                              В2

                                       А2                                        С2               

                                   Х

                                                      А1                             В1                   С1

3)  параллельна профильной плоскости проекций и перпендикулярна горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций:

       А2                                                           А3

      В2                                                                                 В3          

                      

    С2                        

                                     С3     

                                   0

                                   

 

         С1

      А1

        В1

Прецирующие плоскости  также могут находиться в трех  положениях :

1) перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций и наклона к фронтальной и профильной плоскостям:

                                                                                            В2               В3         

    1)   В2                                2)                   В2             3)                                                                            

                                                    С2                     А2                                          А3

А2                                 А2                                                                                                                                       

                               С2                                                  С 2                                Сз        

                                                                                                                                 В1

   А1                                                                                    В1

                                                    А1                                             А1    

                 В1

                                                                                                                             С1

                                     С1                            С1      

2) перпендикулярна фронтальной плоскости проекций и наклона к горизонтальной и   профильной плоскостям.

3) перпендикулярна профильной плоскости проекций и наклона к горизонтальной и фронтальной  плоскостям.

         Углы между проецирующей плоскостью и не перпендикулярными ей плоскостями проекций проецируются в натуральную величину  на ту  плоскость проекций , которой перпендикулярна данная плоскость.

Плоскости уровня и проектирующиеся плоскости характерны тем, что проекции всех точек и линий лежащих в этих плоскостях , будут лежать на проекции этой плоскости, которая изображается прямой линией.  

Рассмотрим    ОСОБЫЕ   ЛИНИИ   ПЛОСКОСТИ.

   Среди линий принадлежащих плоскости можно выделить линии параллельные плоскостям проекций :  горизонтали плоскости, фронтали плоскости, профильные прямые плоскости.  К особым относится и линия наклона, которая определяет угол наклона плоскости к той или иной плоскости проекций.

Линию наклона к плоскости П1 принято называть линией ската. Линия наклона к плоскости П2 перпендикулярна к фронталям плоскости, линия ската перпендикулярна к горизонталям плоскости, а линия наклона к плоскости П3 перпендикулярна к профильным прямым плоскости.

       Условием принадлежности прямой плоскости будет:

если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки данной прямой будут лежать в этой плоскости.

       Т.е., чтобы начертить прямую лежащую в плоскости, достаточно  найти две общие точки.

Проведем горизонталь в плоскости заданной отсеком:

 Пространственный алгоритм:   h   ABC )

Мы знаем, что фронтальная проекция горизонтали параллельна оси  Х,  вместе с тем горизонталь принадлежит плоскости заданной треугольником  АВС.

Проведем через точку  А 2  линию параллельную оси Х  и  отметим  пересечение этой линии со стороной В2С2 точкой 1 2 .

( ГА: h 2   А2В2С2 ;    h 2    )  (Построить фронтальную проекцию горизонтали пересекающую треугольник  А2В2С2; фронтальная проекция горизонтали параллельна оси  Х).

Проведем линию проекционной связи для нахождения проекции 1 1.

   С   (1 1) (Построить точку 11 принадлежащую отрезку В1С1 и линии проекционной связи 1 2 1 1.

                                                        В 2

                                                             

                                          1 2

              А2                                        h 2

                                    С 2

Х

              А  1                                       В1

                                                        h 1

                                             1 1

                                      С 1

(А1 11)  А1  11

(Построить линию А1 11 включающую  точки А1 и 11).

Эта линия будет горизонтальной проекцией горизонтали.

     Если бы плоскость была бы задана при помощи трех

       точек не лежащих на одной прямой и надо было бы провести горизонталь плоскости, задача мало бы отличалась от уже рассмотренной. Аналогично, если плоскость задана  двумя пересекающимися прямыми. Любые две стороны нашего треугольника  АВС можно рассматривать как пересекающиеся прямые.

Рассмотрим случай  построения фронтали плоскости, если плоскость

задана двумя параллельными прямыми.

Воспользуемся тем, что нам известно направление горизонтальной

проекции фронтали. Возьмем произвольную точку 11 на прямой a1 и

проведем линию параллельно оси Х до пересечения  в точке 21 с прямой  b 1.   

Воспользовавшись линиями проекционной связи найдем точки  12 и 22

 через которые проходит фронтальная проекция фронтали и проведем ее.

                                                                                                        22                                                                         

              a 2                                 f 2      

           12

                                          b2    

      Х

                                          b 1

            11                                    f 1                                                  21

             a 1       

                       

Точка в плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если лежит на прямой принадлежащей плоскости.

Пусть плоскость задана пересекающимися прямыми  а и b.

Имеется горизонтальная проекция точки  А1 необходимо построить А2.

             a 2

                                12

                                                      22

                                                                                          A2

            b 2

           b 1

                                                                                          

                                                                                         *А1

               a1           1 1                     21      

Через горизонтальную проекцию точки а1 проведем произвольную прямую пересекающую горизонтальные проекции  линий задающих плоскость

в точках  1 1 и 2 1. Построим фронтальную проекцию этой линии и на ней найдем точку   а 2.

Подумайте самостоятельно, как бы мы решали аналогичную задачу,  если бы были заданы обе проекции точки А и требовалось определить принадлежит ли точка А плоскости заданной пересекающимися прямыми.

Дома самостоятельно, на листе в клетку в тетради для конспектов построить эллипс. Большую и малые оси задать произвольно. Прошу не строить овал вместо эллипса.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83432. Як живуть птахи? 70.5 KB
  Мета: дати уявлення про довкілля птахів на прикладі ластівки і синички їх пристосованість до умов життя. Щоб гніздо було міцнішим ластівки додають до глини невеликі соломинки. Пташенята і дорослі ластівки голодують бо тоді комахи не літають. Ластівки знищують багато шкідливих комах.
83433. Дивовижний птах. Паперопластика 82 KB
  Форма: конкурс змагання на найкращій виріб Тип: урок творчості Обладнання: музика лісу зображення лебедя асоціативний куб послідовності роботи груп шаблони вироби лебедя. Германці вірили що сонце може перетворюватись в прекрасну Богиню білосніжного лебедя...
83434. Урок А.С. Пушкин «Сказка о рыбаке и рыбке» 51 KB
  На какие две группы делятся все известные вам сказки Сказки бывают народные а бывают авторские. Чем авторская сказка отличается от народной Авторы народных сказок неизвестны сказки передаются из поколения в поколения с возможными изменениями.
83435. Система міжнародного права 33.8 KB
  Система міжнародного права - це обєктивно існуюча цілісність внутрішньо взаємозвязаних норм міжнародного права, що розподіляються по відносно відособленим комплексам, спрямованим на регулювання однорідних суспільних відносин. Вона включає галузі, інститути та норми.
83436. Співвідношення міжнародного публічного і міжнародного приватного права 36.01 KB
  Відбуваються постійні контакти між фізичними і юридичними особами різних держав відносини на рівні міжнародних неурядових організацій які регулюються нормами міжнародного приватного права. Норми міжнародного приватного права не повинні суперечити основним принципам міжнародного права. Крім того вони мають спільну мету забезпечення мирного співіснування та розвитку міжнародного співробітництва держав.
83437. Поняття та перелік джерел міжнародного права 37.16 KB
  У міжнародному праві відсутній єдиний нормотворчій орган а також відповідна система судових органів які б мали юрисдикцію тлумачення та визначення порядку застосування норм міжнародного права. Жодний з документів міжнародного права не містить вичерпного переліку його джерел. Загальновизнано що джерела сучасного міжнародного права названі у ст.
83438. Міжнародний звичай у системі джерел міжнародного права 37.26 KB
  Статут Міжнародного суду ООН визначає звичай як доказ загальної практики що визнана в якості правової норми. Доказами існування opinio juris є: конвенції що не набирали чинності; акти Міжнародного суду ООН; акти міжнародних органів та організацій; офіційні заяви щодо позицій держав законодавство та судова практика держав тощо. Для створення міжнародного звичаю потрібно стільки часу скільки вимагає ситуація.
83439. Міжнародний договір у системі джерел міжнародного права 31.03 KB
  міжнародний договір це міжнародна угодаукладена державами та іншими суб\'єктами міжнародного права в письмовій формі незалежно від того чи міститься така угода в одному двох або декількох пов\'язаних між собою документах а також незалежно від конкретного найменування. На відміну від звичаю міжнародний договір є більш сучасним та свідомим методом формулювання норм міжнародного права. Вплив договору на процес створення норм міжнародного права залежить від його природи.
83440. Загальні принципи права як джерело міжнародного права 32.76 KB
  У більшості випадків вони були сформульовані ще у римському праві і використовуються при застосуванні та тлумаченні норм міжнародного права. Не всі принципи права що властиві національним правовим системам можуть бути застосованими в міжнародному праві. Прикладом загальних принципів права що є застосовними в міжнародному праві можна вважати uditur et lter prs вислухаємо і іншу сторону res judict принцип остаточності рішень суду ut dedere ut punire видай або покарай lex specilis derogt legi generli спеціальний закон деталізує...