17395

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Лекция

Математика и математический анализ

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ Прямая параллельная плоскости. Если прямая АВ параллельна прямой лежащей в некоторой плоскости то она параллельна этой плоскости. Если необходимо через заданную точку провести прямую параллельную заданной плоскости необ

Русский

2013-07-01

64.5 KB

15 чел.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Прямая  параллельная плоскости.

Если прямая АВ параллельна прямой лежащей в некоторой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если необходимо через заданную точку провести прямую параллельную заданной плоскости необходимо провести в этой плоскости прямую, а затем  параллельно ей через заданную точку проводят искомую прямую.

Например, плоскость задана отсеком АВС и надо провести параллельную плоскости прямую через точку К.

   Проведем  горизонтальную проекцию произвольной прямой  11 - 22,  затем

построим  фронтальную проекцию  12 - 22. Через проекции токи К проводим линии параллельные соответствующим проекциям прямой 1 - 2.

                                           В2

                                  1 2

                                                                      К2

                                                      22            

              А2                                       С2

                                 11

                                                     21

              А1                                       С1    

                                                                      

                                                                     К1

  

Параллельные плоскости.

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Поэтому, если требуется через точку  D  провести плоскость параллельную заданной  АВС, то через точку проводят две прямые, параллельные любым прямым, находящимся в заданной плоскости.

                                                                                              В2

                             D2    

                                                            А2

                                                                              С2

                                                                             С 1

                              D1                              

                                                           А1

 

                                                                                             В1

Пересекающиеся плоскости.

Если плоскости не параллельны, то они обязательно пересекутся.

Если плоскости занимают частное положение  в пространстве, то положение линии пересечения  определить довольно просто.

Например, подумайте какое положение в пространстве займет линия пересечения двух  горизонтально проецирующих плоскостей ?

                                                   

                                                            

                                                     1

Рассмотрим случай когда  плоскость общего положения пересекается с плоскостью параллельной плоскости П1,  т.е. с горизонтальной плоскостью.

Априори можно утверждать, что линия пересечения будет горизонтальной прямой. Действительно, линия пересечения принадлежит одновременно плоскости общего положения  и горизонтальной плоскости, а все линии принадлежащие горизонтальной плоскости являются горизонталями.

Аналогичные  рассуждения можно привести рассматривая пересечение плоскости общего положения и фронтальной плоскости. Линия пересечения будет фронталью.  Запомним это.

А теперь рассмотрим наиболее сложный случай пересечения двух плоскостей общего положения.

                              В2                                     D2

         T 2   12      22           72                                   32                                E2

А2                    42                     82                                   52                  62              2

 

                   C2                                                             

                                                                                     F2

A1           1  1                                                               F 1           6 1 

                   В1                                                        5 1                             E1      

                           41

                                21         8 1                           3  1

                                                                      D1   

                               C1    71

Плоскости  общего положения  заданные     треугольниками  АВС  и DFE.

Задача решается с помощью двух вспомогательных горизонтальных плоскостей  Т и .  Эти плоскости пересекут заданные по горизонталям 1и 2,

3 и Е ;  А и 4, 5 и 6. Фронтальные проекции горизонталей очевидны.  Найдем горизонтальные проекции этих горизонталей на чертеже при помощи линий проекционной связи.

Продлевая горизонтальные проекции линий пересечения можно найти где они пересекаются между собой - это точки 7 1  и 8 1. Каждая из этих точек принадлежит трем плоскостям одновременно.  Точка 7 принадлежит плоскостям  Т, АВС,  DFE , а  точка  8 плоскостям , АВС, DFE. Через точки  7 и 8 можно провести линию пересечения плоскостей  АВС и DFE .Построение начинаем с горизонтальной проекции соединяя точки 71 и 81, а затем с помощью линий проекционной связи находим фронтальную проекцию 72, 82.

При решении подобных задач  можно в качестве вспомогательных применять плоскости фронтальные и фронтально или горизонтально проецирующие.

            ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ.

Если прямая не параллельна плоскости, то она пересекает ее под тем или иным углом.

Задача на пересечение прямой с плоскостью является одной из основных задач.

Алгоритм или план решения таких задач будет следующий.

1) Заключаем отрезок прямой во вспомогательную проецирующую  плоскость и находим линию пересечения плоскостей.

2) Находим точку пересечения отрезка прямой с линией пересечения плоскостей, которая будет искомой точкой пересечения прямой с заданной плоскостью.

3)   Определяем видимость отрезка прямой используя метод конкурирующих точек.

Например. Отрезок   DE общего положения  пересекает плоскость общего положения АВС .

                               

                                T2        D2                   B2  

                                                      

                                                   

                                                   3 2     12  

                                                                    K 2    

                                                                        

                                                     A2                                           22              C2   

                                                                        42

                                                                                                                              E2  

                                                                                            E1

                                                      11          B1

                                                                    K1

                                     A1                                                                                                                                

                                                  

                                    D1           31 41             21           C1

Заключаем отрезок DE во фронтально проецирующую плоскость Т .

Находим проекции линии пересечения 1,2, сначала фронтальную проекцию 12, 22  , а затем горизонтальную 11,21. Находим горизонтальную проекцию точки К1, а затем фронтальную К2.

Для определения видимости воспользуемся конкурирующими точками 3 и 4.

На горизонтальной проекции точка 31 принадлежащая прямой накладывается на точку 41 принадлежащую плоскости, однако  достаточно по линии проекционной связи подняться на фронтальную плоскость проекций и видим, что точка  32 выше  точки 42. Значит до точки пересечения с плоскостью прямая на горизонтальной проекции видима.

Примените самостоятельно этот метод для  определения видимости фронтальной проекции прямой.

                  ПРЯМАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна по крайней мере двум прямым, лежащим  в плоскости и не параллельным друг другу.

Прямой угол проецируется в натуральный размер только в том случае, когда одна его сторона параллельна плоскости проекций. (СМ прошлую лекцию).

Поэтому достаточно в плоскости провести горизонталь и фронталь и к ним восстановить перпендикуляр, так как эти прямые проведенные из одной точки задают плоскость.  

 Для того чтобы восстановить перпендикуляр к плоскости, необходимо, чтобы его горизонтальная проекция была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция фронтальной проекции  фронтали.

Горизонтали и фронтали плоскости служат для определения направления проекций перпендикуляра к плоскости.

Если необходимо найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью, то СМ задачу на пересечение прямой с плоскостью.

                                                          В 2                                    D 2

                                    22

                   А2                                                 12                  

                                                                90 гр.

                                                                                   С2

                                                              В2

                                                                           11      

                                      21                        90 гр.         С1

                  А1

                                                                                                  D1   

Дома самостоятельно по точкам построить параболу. Построения

выполнить на листе бумаги в клетку в тетради для конспектирования.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61464. Информационные технологии на уроках ИЗО 223.73 KB
  Цель моей педагогической деятельности в течение последних лет выявить возможности применения компьютера на уроках ИЗО. В результате я определила формы применения компьютера на уроках ИЗО...
61465. Быстрый эффект Instagram в Фотошоп 238.16 KB
  Откройте изображение, к которому вы хотите применить эффект, далее, идём Слой – Новый Корректирующий слой – Уровни (Layer>New Adjustment Layer>Levels). В панели RGB, выберите Канал Синий...
61466. Путешествие в страну «Имя числительное» 157.7 KB
  Станция Орфографическая. Станция Кинематографическая. Станция Творческая включить музыку –Минус На фоне музыки читается стихотворение о Гжели: О. Станция Финальная О.
61467. Додавання та віднімання чисел частинами. Задачі на різницеве порівняння 31.6 KB
  Лялька Буратіно тестові завдання картки для роботи в групах іграшковий мікрофон зразки банкнот різних країн світу шоколадні монетки. Правильно це Буратіно. Відправляючись в країну дурнів Буратіно потрапляє в казковий математичний ліс.
61468. Літературні казки. І.Я.Франко «Фарбований лис»; узагальнення та систематизація знань з тем «Натуральні числа» та «Геометричні фігури». Інтегрований урок з математики і української літератури 69.26 KB
  Учитель літератури: Перед вами віхи життя і творчості І. Учитель математики: Щоб заповнити пропуски таблиці вам доведеться здійснити математичнолітературну подорож у яку поведуть вас ваші капітани яких ми оберемо так.
61469. Интерактивный урок по физике: Излучение и поглощение света атомами. Виды спектров, спектральный анализ 23.73 KB
  Цели урока: образовательные: сформировать представление о том как происходит излучение света познакомить с различными видами источников света объяснить природу линейчатого полосатого и сплошного спектров суть спектрального анализа.