17396

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА

Лекция

Математика и математический анализ

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА Все поверхности можно подразделить на графические закон образования которых нам не известен и примером такой поверхности может быть топографическая поверхность Земли и геометрические закон которых известен. Часть пространства ограниченная

Русский

2013-07-01

70.5 KB

1 чел.

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА

Все поверхности можно подразделить на графические, закон образования которых нам не известен и примером  такой поверхности может быть топографическая поверхность Земли и геометрические, закон которых известен.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется  телом.

Геометрические поверхности могут быть образованы движением в пространстве прямой или кривой линии, которая называется образующей.

В учебном пособии  Н. Н . Рыжова “Курс начертательной геометрии” , часть 1, М.1995 г.  из многообразия поверхностей выделяются следующие :

линейчатые поверхности, которые могут быть образованы движением в пространстве прямой линии ;

циклические поверхности, которые могут быть образованы движением в пространстве окружности ;

поверхности вращения, которые могут быть образованы движением какой либо линии вокруг закрепленной оси;

винтовые поверхности, при образовании которых хотя бы одна точка образующей совершает винтовое движение.

У линейчатых и циклических поверхностей форма образующей остается постоянной, а закон ее движения меняется.

Для поверхностей вращения закон движения постоянен, но разнообразны формы образующих.

Для винтовых поверхностей возможно как разнообразие  форм образующих, так и широкий диапазон законов движения.

 Закон движения образующей это по сути закон  определения и  построения  образующей в каждый момент ее движения.

Совокупность  геометрических элементов, которая будучи заданной позволяет  реализовать закон образования поверхности, называется определителем поверхности.

Обычно  определитель и закон образования поверхности представляют в определенной знаковой записи, которую называют формулой поверхности.

Эпюр поверхности.  Изображая поверхность в ортогональных проекциях, обычно строят эпюр тех линий или точек , которые определяют единственно возможную форму поверхности.

Рассмотрим представителей семейства линейчатых поверхностей.

Линейчатая поверхность вполне определена, если известны три ее направляющие. Однако, в некоторых случаях достаточно знать расположение только одной направляющей и вершины.

Зададим неподвижную точку  S (вершину) и направляющую k  по которой скользит образующая  b.

                S

                                        b                                 k

                                                    A

                                                      

                                                          

Положение образующей  b проходящей через точку А , как и через любую другую точку направляющей  k  однозначно задает поверхность. В данном случае коническую.

На  эпюре коническая поверхность может быть задана так

Формула поверхности   S   S    

                                                        S 2

                                                     

                                           b 2

                                A2   

           к2                 

                                                         S 1

 

                                              b 1

             к1

                                                                S1 -A1 горизонтальная проекция

                               A1                              построенной произвольной

                                                                образующей конической поверхности.

Если направляющая представляет собой ломаную линию, то  поверхность становится пирамидальной и относится к гранным линейчатым поверхностям.

                S  

                                                              b

                                                                                   A      k

           На практике редко приходится изображать коническую или пирамидальную поверхность. Гораздо чаще изображают тела - конус или пирамиду.       

Если вершина поверхности удалена в бесконечность,  то все образующие пересекающиеся с направляющей  параллельны друг-другу. Когда направляющая  кривая линия - поверхность носит название цилиндрической, а когда она ломаная, то поверхность будет призматической. Таким образом цилиндрическая поверхность это частный случай конической поверхности, а призматическая поверхность частный случай пирамидальной.

На эпюре цилиндрическая поверхность может быть задана так

                                                                      

                u2

                                        

                                    А2

                    u1                                           

                                                                       

                                          А 1  

Формула поверхности      u   u      u .

Линейчатые поверхности с двумя направляющими

и плоскостью параллелизма.

Это линейчатые поверхности заданные двумя направляющими и дополнительным условием - образующая параллельна  плоскости. Плоскость называют плоскостью параллелизма.

В качестве примера рассмотрим  построение  гиперболического параболоида, который в технике часто называют косой плоскостью.

Формула поверхности  a, b, ) (   a, b  .

Направляющими примем две скрещивающиеся прямые  a и b и вертикальную плоскость параллелизма . Образующая скользит по этим направляющим параллельно плоскости . Построение  эпюра  поверхности произведем следующим образом.  Построим проекции двух произвольных образующих   и ` и отметим точки пересечения  с направляющими a и b как  D, E , F, G.

                                                                                                         F2

                             D 2                                                    ”2

                                 

                                                a2

                                                        E2                              b2

                                                                  2   

                                                                                                                             

                                                                              G2

                                                       E1          ”1                               

                                                                                                    

                                               a1                                                   F1

 

                              D1                                                             b1

                                                    1                  

          1                                                                     G1

Проекции  D1 E1,   F1 G1 разделим на произвольное число равных частей и проведем через них горизонтальные проекции образующих. Затем построим фронтальные проекции образующих. Кривая огибающая фронтальные проекции образующих представляет собой параболу.

Подобную задачу вы будете решать в Тетради  (58) на практических занятиях.

Линейчатые поверхности с тремя направляющими прямыми линиями.

Если три направляющие  b , c,  d  прямые линии не параллельны никакой плоскости, то скользящая по ним прямая  образует поверхность однополостного гиперболоида.

Для большей наглядности ограничим  поверхность двумя плоскостями пересекающимися с поверхностью по окружностям  (так как это  представлено на макете).   Сечение поверхности может  представлять  и эллипс.

Построение эпюра поверхности заключается в том, что проекции окружностей -

сечений делят на произвольное число частей . В данном случае на 12 частей.

Деление произведем циркулем начав с горизонтальных проекций сечений.

(На горизонтальной проекции они накладываются друг на друга).

Когда деление произведено как на горизонтальных, так и на фронтальных проекциях соединяем  первую точку (т.1) нижней окружности с пятой точкой (т.5) верхней окружности .   Строим горизонтальную, затем фронтальную проекции линии 1 - 5. Вторую точку (т.2)  нижней окружности  с шестой точкой (т.6) верхней окружности и т.д.. Следите за построением на доске.

Таким образом строится каркас поверхности.

Второй каркас состоит из прямых, соединяющих первую точку верхней  окружности с пятой нижней окружности и т.д..

Очерк поверхности на плоскостях П 2 и П 3 - гиперболы. Он представляет собой огибающие прямые.

На макете видно, что эта поверхность может превращаться в коническую или цилиндрическую, которые являются частными случаями однополостного гиперболоида.

                                 10    9         8           7           6        5     4  

                                       11       12           1           2        3

                                                                 7

                                                8                                6

                                 

                                    9                                                      5

                                

                                 10                                                         4       

                                    11                                                    3                

                                             

                                                12                            2    

                                                                1                                                           

Поверхность эта не развертываемая. Часто используется в технике при строительстве водонапорных башен,  телевизионных мачт и других сооружений.

На прошлой лекции я предлагал построить эллипс по двум осям.

В учебнике Н.С. Кузнецова на 33 странице , задача 3.(Издание 1969 г.)

Для построении эллипса по его осям необходимо выполнить следующее.

Проведем две окружности

с центром в точке О ,

радиусами соответственно                                            Е

равными половине

большой и малой осей                                                     К                                                     

эллипса.

Отметим точку Е ,

пересечения произвольной

прямой  ОЕ с большей окруж-

ностью и точку   ее пересечения

с меньшей окружностью.

Через точку Е проведем линию параллельно малой оси эллипса,

а через точку линию параллельно большой оси эллипса.

Эти прямые пересекаются в точке К, принадлежащей эллипсу. Кроме найденной точки эллипсу принадлежат уже заданные четыре точки расположенные на  концах большой и малой осей.

К следующему разу в тетради для конспектов постройте параболу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75197. Просторечие и жаргон 30.5 KB
  Литературное просторечие – это когда в речи образованного человека встречается фамильярная лексика: братан земляк пацан батя к пожилому мужчине. Следует различать салонные жаргоны социальной верхушки которые возникают из ложной моды как стилистический нарост на нормальном языке; практической ценности в них нет; особенно опасно их проникновение в литературу и практические жаргоны исходящие из профессиональной речи и преследующие цели языкового обособления данной группы и тайноречия для осуществления своего ремесла и засекречивания...
75198. Функциональная классификация языков 19.85 KB
  Существует несколько видов социолингвистической классификации языков: Существуют языки-гиганты. Эти языки являются рабочими языками ООН: английский немецкий франц. Дело в том что носители малых языков просто переходят на языки более крупные более распространенные так как малые языки – неэффективны. Существует Красная книга языков России в которой перечисляются языки наиболее редкие.
75199. Общенациональный язык как система форм существования языка 43.5 KB
  Синтагматические связи и парадигматические отношения. Иерархические отношения в системе языка. Существует 3 типа системных отношений в языке: Синтагматические связи Парадигматические отношения Иерархические отношения Синтагматические связи связи и зависимости между языковыми элементами единицами любой сложности одновременно сосуществующими в линейном ряду тексте речи например между соседними звуками. На синтагматических отношениях строятся слова как совокупность морфем и слогов словосочетания и аналитические наименования...
75200. Искусственные языки 19.78 KB
  Искусственные языки Система изучающая данную область называется Интерлингвистика Она изучает аналоги человеческого языка и языки используемые в узколокальных целях например машинные языки Эсперанто окциденталь или интерлингве волапюк – это искусственные языки которые изначально создавались с целью преодоления языкового барьера который существует в человечестве легенда о языковом барьере появилась ещё в дохристианское время во время строительства Вавилонской башни. в Варшаве появился проект языка эсперанто составленный...
75201. Языковые ситуации и их виды 44.5 KB
  Языковая ситуация – это совокупность языков или форм существования одного языка а также социальные и функциональные отношения между ними на определенной территории. Языковая ситуация складывается постепенно и определяется языковой политикой. Выделяется 3 класса языков: крупные говорит не менее 25 населения малые меньше 25 особые языки употребляющиеся в определенной сфере деятельности Формула СтюартсФюргюсона американский социолингвист 5L=2Lmj1Lmin2Lspec Spin 5 языков=испанскийкаталанский баскский ...
75202. Искусственные языки 19.76 KB
  Искусственные языки Система изучающая данную область называется Интерлингвистика Она изучает аналоги человеческого языка и языки используемые в узколокальных целях например машинные языки Эсперанто окциденталь или интерлингве волапюк – это искусственные языки которые изначально создавались с целью преодоления языкового барьера который существует в человечестве легенда о языковом барьере появилась ещё в дохристианское время во время строительства Вавилонской башни. в Варшаве появился проект языка эсперанто составленный...
75203. Язык как объект лингвистики. Определение языка. Специфика языка как средства передачи информации 28 KB
  Язык- коммуникативная система, приобретенная в результате соц. опыта, состоящая из произвольных знаков, которые представляют внешний и внутренний мир, организованная согласно грамматическим правилам и открытая
75204. Понятие сродства языков 19.53 KB
  Было установлено что ряд языков образуют единую группировку хотя не восходят к ед. Языковые союзы. А медведька как в русском а мужик-то Дальневосточный языковой союз имеют общий признак тон.
75205. Функции языка 33 KB
  Функции языка Основная – коммуникативная все остальные являются ее проявлениями видами этой функции. Использование языка для передачи информации. Общественные и внутриструктурные язык...