17396

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА

Лекция

Математика и математический анализ

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА Все поверхности можно подразделить на графические закон образования которых нам не известен и примером такой поверхности может быть топографическая поверхность Земли и геометрические закон которых известен. Часть пространства ограниченная

Русский

2013-07-01

70.5 KB

1 чел.

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА

Все поверхности можно подразделить на графические, закон образования которых нам не известен и примером  такой поверхности может быть топографическая поверхность Земли и геометрические, закон которых известен.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется  телом.

Геометрические поверхности могут быть образованы движением в пространстве прямой или кривой линии, которая называется образующей.

В учебном пособии  Н. Н . Рыжова “Курс начертательной геометрии” , часть 1, М.1995 г.  из многообразия поверхностей выделяются следующие :

линейчатые поверхности, которые могут быть образованы движением в пространстве прямой линии ;

циклические поверхности, которые могут быть образованы движением в пространстве окружности ;

поверхности вращения, которые могут быть образованы движением какой либо линии вокруг закрепленной оси;

винтовые поверхности, при образовании которых хотя бы одна точка образующей совершает винтовое движение.

У линейчатых и циклических поверхностей форма образующей остается постоянной, а закон ее движения меняется.

Для поверхностей вращения закон движения постоянен, но разнообразны формы образующих.

Для винтовых поверхностей возможно как разнообразие  форм образующих, так и широкий диапазон законов движения.

 Закон движения образующей это по сути закон  определения и  построения  образующей в каждый момент ее движения.

Совокупность  геометрических элементов, которая будучи заданной позволяет  реализовать закон образования поверхности, называется определителем поверхности.

Обычно  определитель и закон образования поверхности представляют в определенной знаковой записи, которую называют формулой поверхности.

Эпюр поверхности.  Изображая поверхность в ортогональных проекциях, обычно строят эпюр тех линий или точек , которые определяют единственно возможную форму поверхности.

Рассмотрим представителей семейства линейчатых поверхностей.

Линейчатая поверхность вполне определена, если известны три ее направляющие. Однако, в некоторых случаях достаточно знать расположение только одной направляющей и вершины.

Зададим неподвижную точку  S (вершину) и направляющую k  по которой скользит образующая  b.

                S

                                        b                                 k

                                                    A

                                                      

                                                          

Положение образующей  b проходящей через точку А , как и через любую другую точку направляющей  k  однозначно задает поверхность. В данном случае коническую.

На  эпюре коническая поверхность может быть задана так

Формула поверхности   S   S    

                                                        S 2

                                                     

                                           b 2

                                A2   

           к2                 

                                                         S 1

 

                                              b 1

             к1

                                                                S1 -A1 горизонтальная проекция

                               A1                              построенной произвольной

                                                                образующей конической поверхности.

Если направляющая представляет собой ломаную линию, то  поверхность становится пирамидальной и относится к гранным линейчатым поверхностям.

                S  

                                                              b

                                                                                   A      k

           На практике редко приходится изображать коническую или пирамидальную поверхность. Гораздо чаще изображают тела - конус или пирамиду.       

Если вершина поверхности удалена в бесконечность,  то все образующие пересекающиеся с направляющей  параллельны друг-другу. Когда направляющая  кривая линия - поверхность носит название цилиндрической, а когда она ломаная, то поверхность будет призматической. Таким образом цилиндрическая поверхность это частный случай конической поверхности, а призматическая поверхность частный случай пирамидальной.

На эпюре цилиндрическая поверхность может быть задана так

                                                                      

                u2

                                        

                                    А2

                    u1                                           

                                                                       

                                          А 1  

Формула поверхности      u   u      u .

Линейчатые поверхности с двумя направляющими

и плоскостью параллелизма.

Это линейчатые поверхности заданные двумя направляющими и дополнительным условием - образующая параллельна  плоскости. Плоскость называют плоскостью параллелизма.

В качестве примера рассмотрим  построение  гиперболического параболоида, который в технике часто называют косой плоскостью.

Формула поверхности  a, b, ) (   a, b  .

Направляющими примем две скрещивающиеся прямые  a и b и вертикальную плоскость параллелизма . Образующая скользит по этим направляющим параллельно плоскости . Построение  эпюра  поверхности произведем следующим образом.  Построим проекции двух произвольных образующих   и ` и отметим точки пересечения  с направляющими a и b как  D, E , F, G.

                                                                                                         F2

                             D 2                                                    ”2

                                 

                                                a2

                                                        E2                              b2

                                                                  2   

                                                                                                                             

                                                                              G2

                                                       E1          ”1                               

                                                                                                    

                                               a1                                                   F1

 

                              D1                                                             b1

                                                    1                  

          1                                                                     G1

Проекции  D1 E1,   F1 G1 разделим на произвольное число равных частей и проведем через них горизонтальные проекции образующих. Затем построим фронтальные проекции образующих. Кривая огибающая фронтальные проекции образующих представляет собой параболу.

Подобную задачу вы будете решать в Тетради  (58) на практических занятиях.

Линейчатые поверхности с тремя направляющими прямыми линиями.

Если три направляющие  b , c,  d  прямые линии не параллельны никакой плоскости, то скользящая по ним прямая  образует поверхность однополостного гиперболоида.

Для большей наглядности ограничим  поверхность двумя плоскостями пересекающимися с поверхностью по окружностям  (так как это  представлено на макете).   Сечение поверхности может  представлять  и эллипс.

Построение эпюра поверхности заключается в том, что проекции окружностей -

сечений делят на произвольное число частей . В данном случае на 12 частей.

Деление произведем циркулем начав с горизонтальных проекций сечений.

(На горизонтальной проекции они накладываются друг на друга).

Когда деление произведено как на горизонтальных, так и на фронтальных проекциях соединяем  первую точку (т.1) нижней окружности с пятой точкой (т.5) верхней окружности .   Строим горизонтальную, затем фронтальную проекции линии 1 - 5. Вторую точку (т.2)  нижней окружности  с шестой точкой (т.6) верхней окружности и т.д.. Следите за построением на доске.

Таким образом строится каркас поверхности.

Второй каркас состоит из прямых, соединяющих первую точку верхней  окружности с пятой нижней окружности и т.д..

Очерк поверхности на плоскостях П 2 и П 3 - гиперболы. Он представляет собой огибающие прямые.

На макете видно, что эта поверхность может превращаться в коническую или цилиндрическую, которые являются частными случаями однополостного гиперболоида.

                                 10    9         8           7           6        5     4  

                                       11       12           1           2        3

                                                                 7

                                                8                                6

                                 

                                    9                                                      5

                                

                                 10                                                         4       

                                    11                                                    3                

                                             

                                                12                            2    

                                                                1                                                           

Поверхность эта не развертываемая. Часто используется в технике при строительстве водонапорных башен,  телевизионных мачт и других сооружений.

На прошлой лекции я предлагал построить эллипс по двум осям.

В учебнике Н.С. Кузнецова на 33 странице , задача 3.(Издание 1969 г.)

Для построении эллипса по его осям необходимо выполнить следующее.

Проведем две окружности

с центром в точке О ,

радиусами соответственно                                            Е

равными половине

большой и малой осей                                                     К                                                     

эллипса.

Отметим точку Е ,

пересечения произвольной

прямой  ОЕ с большей окруж-

ностью и точку   ее пересечения

с меньшей окружностью.

Через точку Е проведем линию параллельно малой оси эллипса,

а через точку линию параллельно большой оси эллипса.

Эти прямые пересекаются в точке К, принадлежащей эллипсу. Кроме найденной точки эллипсу принадлежат уже заданные четыре точки расположенные на  концах большой и малой осей.

К следующему разу в тетради для конспектов постройте параболу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47343. Разработка системы защиты ИСПДн СКУД ОАО «ММЗ» с использованием биометрических данных 678 KB
  Под системой контроля и управлением доступа обычно понимают совокупность программно- технических и организационно-методических средств, с помощью которых решается задача контроля и управления помещением предприятия и отдельными помещениями, а также оперативный контроль за передвижением персонала и времени его нахождения на территории предприятия
47344. ЦИВIЛЬНЕ ПРАВО УКРАЇНИ 375 KB
  Цивільне право є однією з найважливіших та найбільших галузей права України, протягом свого життя усі громадяни постійно стикаються із дією його норм. Кожного разу, здійснюючи купівлю товарів у магазині, поповнюючи рахунок мобільного телефону, ми потрапляємо у сферу суспільних відносин, які регулює цивільне право.
47345. Основні принципи роботи в середовищі MS Excel 1.63 MB
  Призначення та загальна характеристика табличного процесора МS Excel. Інтерфейс та основні прийоми роботи у середовищі МS Excel. Робоча книга МS Excel та її основні елементи. Типи даних МS Excel. Особливості введення та форматування даних різних типів.
47346. Створення, редагування та форматування електронних таблиць MS Excel 733.08 KB
  Форматування робочих листів. Умовне форматування. Використання стилів при форматуванні. Створення власних форматів даних. Додаткові засоби введення даних. Форматування робочих листів. Умовне форматування
47347. Обчислення в середовищі MS Excel 1.96 MB
  Формули MS Excel та її складові елементи. Введення формул, їх заміна та пошук помилок. Друкування електронної таблиці. Захист робочих аркушів та робочих книг. Формули MS Excel та її складові елементи.
47348. Обчислення в середовищі MS Excel з використанням функцій 887.98 KB
  Поряд з розглянутими способами адресації комірок і діапазонів робочого аркуша, в MS Excel існує можливість посилання на комірки, діапазони,діаграми та інші об’єкти за допомогою імен, які визначає користувач. Взагалі кажучи, адреси комірок і діапазонів можна розглядати як імена, які надає їм MS Excel за замовчуванням.