17396

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА

Лекция

Математика и математический анализ

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА Все поверхности можно подразделить на графические закон образования которых нам не известен и примером такой поверхности может быть топографическая поверхность Земли и геометрические закон которых известен. Часть пространства ограниченная

Русский

2013-07-01

70.5 KB

1 чел.

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА

Все поверхности можно подразделить на графические, закон образования которых нам не известен и примером  такой поверхности может быть топографическая поверхность Земли и геометрические, закон которых известен.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется  телом.

Геометрические поверхности могут быть образованы движением в пространстве прямой или кривой линии, которая называется образующей.

В учебном пособии  Н. Н . Рыжова “Курс начертательной геометрии” , часть 1, М.1995 г.  из многообразия поверхностей выделяются следующие :

линейчатые поверхности, которые могут быть образованы движением в пространстве прямой линии ;

циклические поверхности, которые могут быть образованы движением в пространстве окружности ;

поверхности вращения, которые могут быть образованы движением какой либо линии вокруг закрепленной оси;

винтовые поверхности, при образовании которых хотя бы одна точка образующей совершает винтовое движение.

У линейчатых и циклических поверхностей форма образующей остается постоянной, а закон ее движения меняется.

Для поверхностей вращения закон движения постоянен, но разнообразны формы образующих.

Для винтовых поверхностей возможно как разнообразие  форм образующих, так и широкий диапазон законов движения.

 Закон движения образующей это по сути закон  определения и  построения  образующей в каждый момент ее движения.

Совокупность  геометрических элементов, которая будучи заданной позволяет  реализовать закон образования поверхности, называется определителем поверхности.

Обычно  определитель и закон образования поверхности представляют в определенной знаковой записи, которую называют формулой поверхности.

Эпюр поверхности.  Изображая поверхность в ортогональных проекциях, обычно строят эпюр тех линий или точек , которые определяют единственно возможную форму поверхности.

Рассмотрим представителей семейства линейчатых поверхностей.

Линейчатая поверхность вполне определена, если известны три ее направляющие. Однако, в некоторых случаях достаточно знать расположение только одной направляющей и вершины.

Зададим неподвижную точку  S (вершину) и направляющую k  по которой скользит образующая  b.

                S

                                        b                                 k

                                                    A

                                                      

                                                          

Положение образующей  b проходящей через точку А , как и через любую другую точку направляющей  k  однозначно задает поверхность. В данном случае коническую.

На  эпюре коническая поверхность может быть задана так

Формула поверхности   S   S    

                                                        S 2

                                                     

                                           b 2

                                A2   

           к2                 

                                                         S 1

 

                                              b 1

             к1

                                                                S1 -A1 горизонтальная проекция

                               A1                              построенной произвольной

                                                                образующей конической поверхности.

Если направляющая представляет собой ломаную линию, то  поверхность становится пирамидальной и относится к гранным линейчатым поверхностям.

                S  

                                                              b

                                                                                   A      k

           На практике редко приходится изображать коническую или пирамидальную поверхность. Гораздо чаще изображают тела - конус или пирамиду.       

Если вершина поверхности удалена в бесконечность,  то все образующие пересекающиеся с направляющей  параллельны друг-другу. Когда направляющая  кривая линия - поверхность носит название цилиндрической, а когда она ломаная, то поверхность будет призматической. Таким образом цилиндрическая поверхность это частный случай конической поверхности, а призматическая поверхность частный случай пирамидальной.

На эпюре цилиндрическая поверхность может быть задана так

                                                                      

                u2

                                        

                                    А2

                    u1                                           

                                                                       

                                          А 1  

Формула поверхности      u   u      u .

Линейчатые поверхности с двумя направляющими

и плоскостью параллелизма.

Это линейчатые поверхности заданные двумя направляющими и дополнительным условием - образующая параллельна  плоскости. Плоскость называют плоскостью параллелизма.

В качестве примера рассмотрим  построение  гиперболического параболоида, который в технике часто называют косой плоскостью.

Формула поверхности  a, b, ) (   a, b  .

Направляющими примем две скрещивающиеся прямые  a и b и вертикальную плоскость параллелизма . Образующая скользит по этим направляющим параллельно плоскости . Построение  эпюра  поверхности произведем следующим образом.  Построим проекции двух произвольных образующих   и ` и отметим точки пересечения  с направляющими a и b как  D, E , F, G.

                                                                                                         F2

                             D 2                                                    ”2

                                 

                                                a2

                                                        E2                              b2

                                                                  2   

                                                                                                                             

                                                                              G2

                                                       E1          ”1                               

                                                                                                    

                                               a1                                                   F1

 

                              D1                                                             b1

                                                    1                  

          1                                                                     G1

Проекции  D1 E1,   F1 G1 разделим на произвольное число равных частей и проведем через них горизонтальные проекции образующих. Затем построим фронтальные проекции образующих. Кривая огибающая фронтальные проекции образующих представляет собой параболу.

Подобную задачу вы будете решать в Тетради  (58) на практических занятиях.

Линейчатые поверхности с тремя направляющими прямыми линиями.

Если три направляющие  b , c,  d  прямые линии не параллельны никакой плоскости, то скользящая по ним прямая  образует поверхность однополостного гиперболоида.

Для большей наглядности ограничим  поверхность двумя плоскостями пересекающимися с поверхностью по окружностям  (так как это  представлено на макете).   Сечение поверхности может  представлять  и эллипс.

Построение эпюра поверхности заключается в том, что проекции окружностей -

сечений делят на произвольное число частей . В данном случае на 12 частей.

Деление произведем циркулем начав с горизонтальных проекций сечений.

(На горизонтальной проекции они накладываются друг на друга).

Когда деление произведено как на горизонтальных, так и на фронтальных проекциях соединяем  первую точку (т.1) нижней окружности с пятой точкой (т.5) верхней окружности .   Строим горизонтальную, затем фронтальную проекции линии 1 - 5. Вторую точку (т.2)  нижней окружности  с шестой точкой (т.6) верхней окружности и т.д.. Следите за построением на доске.

Таким образом строится каркас поверхности.

Второй каркас состоит из прямых, соединяющих первую точку верхней  окружности с пятой нижней окружности и т.д..

Очерк поверхности на плоскостях П 2 и П 3 - гиперболы. Он представляет собой огибающие прямые.

На макете видно, что эта поверхность может превращаться в коническую или цилиндрическую, которые являются частными случаями однополостного гиперболоида.

                                 10    9         8           7           6        5     4  

                                       11       12           1           2        3

                                                                 7

                                                8                                6

                                 

                                    9                                                      5

                                

                                 10                                                         4       

                                    11                                                    3                

                                             

                                                12                            2    

                                                                1                                                           

Поверхность эта не развертываемая. Часто используется в технике при строительстве водонапорных башен,  телевизионных мачт и других сооружений.

На прошлой лекции я предлагал построить эллипс по двум осям.

В учебнике Н.С. Кузнецова на 33 странице , задача 3.(Издание 1969 г.)

Для построении эллипса по его осям необходимо выполнить следующее.

Проведем две окружности

с центром в точке О ,

радиусами соответственно                                            Е

равными половине

большой и малой осей                                                     К                                                     

эллипса.

Отметим точку Е ,

пересечения произвольной

прямой  ОЕ с большей окруж-

ностью и точку   ее пересечения

с меньшей окружностью.

Через точку Е проведем линию параллельно малой оси эллипса,

а через точку линию параллельно большой оси эллипса.

Эти прямые пересекаются в точке К, принадлежащей эллипсу. Кроме найденной точки эллипсу принадлежат уже заданные четыре точки расположенные на  концах большой и малой осей.

К следующему разу в тетради для конспектов постройте параболу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25049. Соціокультурні світи 34 KB
  Будьякий соціокультурний світ відрізняється не тільки своєрідністю культури але й звичаями життя у ньому. Соціокультурні світи можуть бути замкнуті у сферу якоїнебудь окремої етнічної культури наприклад світ Стародавнього Єгипту чи світ інків. Але на відміну від національних культур вони не обов`язково виникають на основі етнічної спільності і можуть охоплювати різні народи і країни наприклад світ європейського середньовіччя світ арабської культури.
25050. Вихідним моментом інформаційно-семіотичного підходу до культури 58.5 KB
  І такими видами смислів виступають знання цінності і регулятиви. Відповідно цьому знання те що дається пізнанням цінності те що встановлюється за допомогою оцінки і регулятиви те чим регулюються дії представляють собою три основних види смислів. Знання когнітивний смисл лат cognitio знання пізнання це інформація про властивості об'єкту. Невірне помилкове твердження це також знання тільки недостовірні якщо враховувати що у знаннях є елемент суб'єктивності і що істинність їх відносна; Таким чином знання важлива...
25051. Мир культуры во всем его разнообразии и богатстве творится человеком 36.5 KB
  Как человек творит культуру так и культура формирует человека обусловливает цели и смысл его бытия развивает его собственную сущность. Существенными определяющими ведущими для человека в целом являются не биологические а общественные закономерности его развития 191. Анализируя соотношение человека и культуры исследователи отмечают его многоаспектный характер. Духовность человека это богатство мыслей сила чувств и убеждений.
25052. Желчнокаменная болезнь 1.23 MB
  Желчнокаменная болезнь (камни в желчном пузыре) известна с глубокой древности. Упоминания о ней встречаются в трудах врачей эпохи Возрождения. Развитие анатомии в ХVI-ХVII веках способствовало изучению заболеваний печени и желчного пузыря.
25053. Методи й принципи культурології 32 KB
  Він становить епістемологію культури епістемологіяце теорія пізнання представлену загальною системою методологічних підходів принципів і методів пізнання систематизації й аналізу світових культурних процесів: Діахронний – виклад явищ фактів і подій світової та вітчизняної культури у хронологічній послідовності. Археологічний – вивчення загального стану розвитку культури минулих поколінь на підставі матеріальних знахідок. Психологічний вивчення суб’єктивних механізмів функціонування культури індивідуальних якостей людини та...
25054. Створення контркультури 38 KB
  Поняття контркультура з'явилось в західній літературі у 1960 р. Контркультура об'єднує концепції які утворюють еклектичну суміш з різних понять екзистенціалізму фрейдизму вульгаризованого марксизму руссоїзму анархізму цинізму східної філософії та релігії. Контркультура протиставляла себе тим що ставила на перше місце чуттєвоемоційне переживання буття що знаходиться за рамками умогляднологічних методів пізнання. Контркультура як правило не просто має парадигму відмінну від парадигми домінуючої культури а й явно протиставляє...
25055. Жизнедеятельность общества 38 KB
  Культура играет важную роль в жизни человека и общества которая состоит прежде всего в том что культура выступает средством аккумуляции хранения и передачи человеческого опыта. Именно культура делает человека личностью. Культура личности обычно ассоциируется с развитыми творческими способностями эрудицией пониманием произведений искусства свободным владением родным и иностранными языками аккуратностью вежливостью самообладанием высокой нравственностью и т. Культура сплачивает людей интегрирует их обеспечивает целостность...
25056. Контркультура 40.5 KB
  Она определила функциональное направление и начала выполнять действие определенное законами диалектического процесса развития общества. Культура как олицетворение процесса жизнедеятельности вырабатывала своеобразный комплекс правила игры коллективного сосуществования определяла критерии оценивания тех или других интеллектуальных действий вырабатывала методы и методики передачи информации которое оказывало содействие развитию общества. Соответственно цивилизационный процесс существенно различается у народов каждой исторической эпохи а...
25057. Народная культура 44.5 KB
  Попкультура совокупность произведений различных видов искусства музыки живописи скульптуры прикладного искусства и т. Попкультура ныне включает в себя музыку кинематограф и мультипликацию литературу средства массовой информации включая комиксы и Интернет моду кулинарию рекламу спорт туризм дизайн и множество других элементов. Культура приобретает приставку поп в случае если она превращается в нечто большее чем просто игру разума или творческое рефлексирование некое произведение должно стать широко популярным в обществе....