17397

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА. Циклические поверхности

Лекция

Математика и математический анализ

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА Циклические поверхности Циклические поверхности могут быть образованы движением в пространстве какой либо окружности постоянного или переменного радиуса при перемещении ее центра по криволинейной направляющей а плоскость окружности ост

Русский

2013-07-01

74.5 KB

26 чел.

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА

Циклические поверхности

Циклические поверхности,  могут быть образованы движением в пространстве какой - либо  окружности ,  постоянного или переменного радиуса  при перемещении ее центра по криволинейной направляющей , а плоскость окружности остается  перпендикулярной  к этой кривой.

Под  это определение в качестве частного случая  могут подойти уже известные нам как линейчатые поверхности кругового конуса и цилиндра.

Действительно, если направляющая прямая, а окружность постоянного радиуса,

получим цилиндр.

Если направляющая прямая, а окружность монотонно увеличивается (уменьшается) поверхность будет коническая.

Давайте в качестве примера циклической поверхности рассмотрим трубчатую поверхность переменного радиуса.

Для  этой поверхности надо задать во-первых закон направляющей, а во вторых закон изменения радиуса окружности.

Зададим изменение радиуса  R по длине дуги графиком

                  R   

                                           R = f (L )

                      0                                                                       L

              Определитель трубчатой поверхности переменного радиуса будет иметь вид      L ,  R = f (L) .

                                                                       m 2      m 1

                    m (n)

                                                                                                j                                           

                                                 O      

   

                         O n                                             O2      O1

Если радиус постоянный, то поверхность называется просто трубчатой.

Если направляющей будет окружность, то при движении по ней окружности постоянного радиуса получится торовая поверхность.

Более подробно мы остановимся на рассмотрении торовых поверхностей в разделе поверхности вращения.

Давайте приведем еще пример циклической поверхности.

Таким примером может служить поверхность цилиндрической винтовой пружины.

           

                                                                          h            

                                                                                r

                                                         

                                                             R

Подсчитаем число параметров которые задают некоторые частные виды циклических поверхностей.

Для цилиндра  вращения это один параметр - радиус,  для тора это два параметра это радиус окружности направляющей и радиус окружности которая перемещается в плоскости перпендикулярной направляющей, для трубчатой винтовой поверхности (поверхность пружины) это три параметра -

два радиуса (R, r ) и шаг  (h).

               П О В Е Р Х Н О С Т И   В Р А Щ Е Н И Я                   

Поверхности вращения, могут быть образованы движением какой либо линии (образующей) вокруг закрепленной оси. Образующая может быть как плоской так и пространственной кривой.

Для поверхностей вращения закон движения постоянен, но разнообразны формы образующих.

В примере в качестве образующей  примем кривую k состоящую из дуг двух окружностей ( R , r)  , которая вращается вокруг оси  j.

Любая точка кривой  k описывает вокруг оси окружность лежащую в плоскости перпендикулярной оси и с центром принадлежащим оси. Эти окружности называют параллелями поверхности. Наибольшую из параллелей называют экватором, а наименьшую - горлом.

Если плоскость которой рассекают поверхность включает в себя ось, то получаемые кривые называют меридианами. Все меридианы равны между собой.

Образующая k  лежит на одном из меридианов.

Меридиан расположенный во фронтальной плоскости и проектирующийся на фронтальную плоскость в натуральную величину называется главным меридианом.

Для построения главного меридиана образующую k вращают до совпадения с фронтальной плоскостью.

Если необходимо построить горизонтальную проекцию точки М принадлежащей поверхности, то достаточно провести через точку М` параллель m`1.

и найти ее горизонтальную проекцию m 1 на которой будет лежать М .

                                                      j ` ось

                                                                          

                                                                      k`

            параллель (m`1)                           горло(m`2)  экватор (m`3)

                                                                                           

                                 M`

   меридиан                                                главный меридиан

Здесь окружности                                               m 1

концентрические.                                                   m 2   

                                                                     k          m 3

                                 M

                                       j   

где :

m` , m ,     j` , j ,  M`, M,  

k` , k   соответственно, фронтальные и горизонтальные проекции.

К поверхностям вращения относится сфера (тело - шар).

Сфера может быть образована вращением окружности вокруг диаметра.

  m m j m j    C m  j  m i m j .

Проецируется на все плоскости ввиде равных окружностей.

Экватор шара на горизонтальную плоскость проецируется ввиде круга, а на фронтальную плоскость ввиде прямой линии параллельной оси  Х.

                                       А2                                                          А3

                                                            А1

                                                     

Всякое сечение,  параллельное  экватору  будет проецироваться на горизонтальную плоскость проекций ввиде окружности.

Воспользуемся этим для нахождения проекций точки А находящейся на поверхности сферы.

ТОР - поверхность вращения часто встречаемая в деталях машин.

Тор получается вращением окружности вокруг оси, расположенной в плоскости  окружности, но не проходящей через ее центр.

Торовую поверхность вы видите на демонстрируемой модели. Это открытый тор. Окружность при вращении не пресекает ось и такой тор представляет собой кольцо.

Изобразим его основной чертеж.

                     j 2

                                                                       A2

                                             m 2

                                            m 1                 A 1

                             

                     j 1

Запишем формулу этой поверхности

m j m m  Г  j m j  m i m j

Тор бывает закрытым. Это случай когда окружность касается  оси вращения или пересекает ее. Образно эту поверхность можно представить ввиде яблока.

Формула этой поверхности    Ф    m m, j,  m    j m j mi m j.

Произвольная прямая пересекает тор в четырех точках.  В аналитической геометрии доказывается , что тор это алгебраическая поверхность четвертого порядка.

                                                j 2

                                                                   m 2

                                                                          A2

                                                 j 1            m1     A1

  

Коротко остановимся на поверхностях вращения второго порядка.

К ним относится эллипсоид вращения, образующийся вращением эллипса вокруг его оси. В зависимости от того какая ось эллипса выбрана осью вращения получаем сжатый  или вытянутый эллипсоид вращения.

Вы уже освоили построение эллипса по двум заданным осям,  теперь попробуйте изобразить в тетради основной чертеж эллипсоида вращения.

Хочу обратит ваше внимание, что в частном случае эллипс превращается в окружность , а эллипсоид в сферу.

ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ ОБРАЗУЕТСЯ ВРАЩЕНИЕМ ПАРАБОЛЫ ВОКРУГ ЕЕ ОСИ  ОZ .

                                    j2

                                                A2

                      j1

                                      A1   

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ  МОЖЕТ БЫТЬ ОБРАЗОВАН ВРАЩЕНИЕМ ГИПЕРБОЛЫ ВОКРУГ ЕЕ МНИМОЙ ОСИ  ОZ.   

                                 10    9         8           7           6        5     4  

                                       11       12           1           2        3

                                                                 7

                                                8                                6

                                 

                                    9                                                      5

                                

                                 10                                                         4       

                                    11                                                    3                

                                             

                                                12                            2    

                                                                1                                                           

ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ ОБРАЗУЕТСЯ  ВРАЩЕНИЕМ ГИПЕРБОЛЫ ВОКРУГ ЕЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ .

В отличие от однополостного он не является одновременно и линейчатой поверхностью. Он не может быть образован движением прямой.

Комплексный чертеж  двуполостного гиперболоида прошу построить самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25419. Сущность и технология проектирования и моделирования в социальной работе 22.54 KB
  Сущность и технология проектирования и моделирования в социальной работе Социальное проектирование это проектирование социальных объектов социальных качеств социальных процессов и отношений. В отличие от проектирования таких объектов при изменении которых не учитывается субъективный фактор при проектировании социальных объектов этот фактор должен учитываться. Его учет во многом предопределяет специфику социального проектирования. При этом в основания социального проектирования должны быть заложены следующие параметры: противоречивость...
25420. Сила в социальном конфликте 68.5 KB
  Её предметом стало объяснение процессов жизни функционирование и развитие общественных систем и подсистем по средством категории конфликта.Фрейда причина конфликта в расчленении человека на ОНО Я СВЕРХЯ Центральным понятием теоретической системы К. В отечественной психологии наиболее полное и последовательное описание явлений психологического конфликта принадлежит В. Им разработана проблема психологического конфликта проанализирована мотивация личности в конфликтной ситуации описаны социально типичные отношения личности в...
25421. Модели разрешения конфликтов в процессе с/р 17.72 KB
  Предпосылки решения ков: 1 достаточная зрелость кта к ая выражается в видимых формах проявления объявлении своих или противоположных интересов и позиций в организации конфликтных групп; 2 потребность субъектов разрешать кты и способность это осуществить; 3 наличие необходимых средств и ресурсов для разрешения ктов: матерх политич культурных человечх. Выделяют 5 оснх стратегий поведения в конфх ситуациях: а приспособление субъект не проявляет ни активности ни заинтересованности в достижении х результатов. Она направлена...
25422. Методы исследования в области СР 15.92 KB
  Всю совокупность методов используемых в СР можно классифицировать на 2 большие группы: теоретические и практические. К теоретическим методам СР следует отнести общенаучные методы: индукция заключение осуществляется от фактов к гипотезе и к общему утверждению; дедукция заключение от общих утверждений к частным фактам; синтез соединение элементов в единое целое; аналогия умозаключение при котором 3 об изученном объекте переносятся на сходный менее изученный; сравнение метод позволяющий установить сходство...
25423. Методы исследования в социальной статистике 14.9 KB
  Задачами для СоцС явся: систематический анализ ситуации в соц сфере; анализ важнейших тенденций и закономерностей развития отраслей соц инфрастрры; изучение уровня и условий жизни нася; оценка степени дифференциации этих характеристик; анализ динамики; прогнозирование наиболее вероятного хода развития на ближайшую и более отдаленную перспективу; исследование факторов под влиянием к х сложилась данная ситуация; выяснение соотношений объективных и субъективных факторов. Разработка подходов к построению обобщающих показателей позволяющих...
25424. Семья и ее основные функции. Социально-экономические, духовно-культурные, психолого-педагогические основания современной семьи 47.5 KB
  Социальноэкономические духовнокультурные психологопедагогические основания современной семьи. Структура ответа: Вступление Понятие семьи Основные функции семьи Вывод Общеизвестно что семья является уникальным социальным созданием человечества.1 Интегральными характеристиками семьи которые во многом определяют ее потенциалы считаются: психологическое здоровье функциональноролевая согласованность социальноролевая адекватность эмоциональная удовлетворенность адаптивность в микросоциальных отношениях устремленность на семейное...
25425. Основные направления и технологии социальной работы с семьей 50.5 KB
  Сегодня многие семьи нуждаются в помощи и поддержке для того чтобы полноценно реализовывать предписываемые обществом функции. В такой помощи нуждаются неполные и многодетные семьи семьи одиноких матерей военнослужащих семьи воспитывающие детей с ограниченными возможностями усыновленных и опекаемых детей имеющие родителейинвалидов студенческие семьи семьи беженцев мигрантов безработных асоциальные семьи и др. Исходя их этого социальный работник призван выполнять следующие функции: диагностическую изучение особенностей семьи...
25426. Проблемы социальной защиты семьи, материнства и детства в России 18.19 KB
  В Конституции РФ сказано что в Российской Федерацииобеспечивается государственная поддержка семьи материнства отцовства и детстваразвивается система социальных служб устанавливаются государственные пенсии пособия и иные гарантии социальной защиты. Основными принципами социальной работы с семьей являются: Приоритет прав и интересов ребенка всесторонней развитие и уважение его человеческого достоинства; Уважение прав родителей объективная и компетентная оценка ситуации в семье со стороны социальных служб; Соблюдение конфиденциальности...
25427. Государственная семейная политика и механизм ее реализации 17.26 KB
  Государственная семейная политика это целостная система принципов оценок и мер организационного экономического правового научного информационного пропагандирующего и кадрового характера направленная на улучшение условий и повышение качества жизни семьи. Цель ГСП обеспечение государством необходимых условий для реализации семьей ее функций и повышения качества жизни семьи. была принята концепция ГСП в России необходимость семейной политики определилась теми неблагоприятными последствиями в изменении структуры и функций семьи...