17397

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА. Циклические поверхности

Лекция

Математика и математический анализ

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА Циклические поверхности Циклические поверхности могут быть образованы движением в пространстве какой либо окружности постоянного или переменного радиуса при перемещении ее центра по криволинейной направляющей а плоскость окружности ост

Русский

2013-07-01

74.5 KB

29 чел.

ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА

Циклические поверхности

Циклические поверхности,  могут быть образованы движением в пространстве какой - либо  окружности ,  постоянного или переменного радиуса  при перемещении ее центра по криволинейной направляющей , а плоскость окружности остается  перпендикулярной  к этой кривой.

Под  это определение в качестве частного случая  могут подойти уже известные нам как линейчатые поверхности кругового конуса и цилиндра.

Действительно, если направляющая прямая, а окружность постоянного радиуса,

получим цилиндр.

Если направляющая прямая, а окружность монотонно увеличивается (уменьшается) поверхность будет коническая.

Давайте в качестве примера циклической поверхности рассмотрим трубчатую поверхность переменного радиуса.

Для  этой поверхности надо задать во-первых закон направляющей, а во вторых закон изменения радиуса окружности.

Зададим изменение радиуса  R по длине дуги графиком

                  R   

                                           R = f (L )

                      0                                                                       L

              Определитель трубчатой поверхности переменного радиуса будет иметь вид      L ,  R = f (L) .

                                                                       m 2      m 1

                    m (n)

                                                                                                j                                           

                                                 O      

   

                         O n                                             O2      O1

Если радиус постоянный, то поверхность называется просто трубчатой.

Если направляющей будет окружность, то при движении по ней окружности постоянного радиуса получится торовая поверхность.

Более подробно мы остановимся на рассмотрении торовых поверхностей в разделе поверхности вращения.

Давайте приведем еще пример циклической поверхности.

Таким примером может служить поверхность цилиндрической винтовой пружины.

           

                                                                          h            

                                                                                r

                                                         

                                                             R

Подсчитаем число параметров которые задают некоторые частные виды циклических поверхностей.

Для цилиндра  вращения это один параметр - радиус,  для тора это два параметра это радиус окружности направляющей и радиус окружности которая перемещается в плоскости перпендикулярной направляющей, для трубчатой винтовой поверхности (поверхность пружины) это три параметра -

два радиуса (R, r ) и шаг  (h).

               П О В Е Р Х Н О С Т И   В Р А Щ Е Н И Я                   

Поверхности вращения, могут быть образованы движением какой либо линии (образующей) вокруг закрепленной оси. Образующая может быть как плоской так и пространственной кривой.

Для поверхностей вращения закон движения постоянен, но разнообразны формы образующих.

В примере в качестве образующей  примем кривую k состоящую из дуг двух окружностей ( R , r)  , которая вращается вокруг оси  j.

Любая точка кривой  k описывает вокруг оси окружность лежащую в плоскости перпендикулярной оси и с центром принадлежащим оси. Эти окружности называют параллелями поверхности. Наибольшую из параллелей называют экватором, а наименьшую - горлом.

Если плоскость которой рассекают поверхность включает в себя ось, то получаемые кривые называют меридианами. Все меридианы равны между собой.

Образующая k  лежит на одном из меридианов.

Меридиан расположенный во фронтальной плоскости и проектирующийся на фронтальную плоскость в натуральную величину называется главным меридианом.

Для построения главного меридиана образующую k вращают до совпадения с фронтальной плоскостью.

Если необходимо построить горизонтальную проекцию точки М принадлежащей поверхности, то достаточно провести через точку М` параллель m`1.

и найти ее горизонтальную проекцию m 1 на которой будет лежать М .

                                                      j ` ось

                                                                          

                                                                      k`

            параллель (m`1)                           горло(m`2)  экватор (m`3)

                                                                                           

                                 M`

   меридиан                                                главный меридиан

Здесь окружности                                               m 1

концентрические.                                                   m 2   

                                                                     k          m 3

                                 M

                                       j   

где :

m` , m ,     j` , j ,  M`, M,  

k` , k   соответственно, фронтальные и горизонтальные проекции.

К поверхностям вращения относится сфера (тело - шар).

Сфера может быть образована вращением окружности вокруг диаметра.

  m m j m j    C m  j  m i m j .

Проецируется на все плоскости ввиде равных окружностей.

Экватор шара на горизонтальную плоскость проецируется ввиде круга, а на фронтальную плоскость ввиде прямой линии параллельной оси  Х.

                                       А2                                                          А3

                                                            А1

                                                     

Всякое сечение,  параллельное  экватору  будет проецироваться на горизонтальную плоскость проекций ввиде окружности.

Воспользуемся этим для нахождения проекций точки А находящейся на поверхности сферы.

ТОР - поверхность вращения часто встречаемая в деталях машин.

Тор получается вращением окружности вокруг оси, расположенной в плоскости  окружности, но не проходящей через ее центр.

Торовую поверхность вы видите на демонстрируемой модели. Это открытый тор. Окружность при вращении не пресекает ось и такой тор представляет собой кольцо.

Изобразим его основной чертеж.

                     j 2

                                                                       A2

                                             m 2

                                            m 1                 A 1

                             

                     j 1

Запишем формулу этой поверхности

m j m m  Г  j m j  m i m j

Тор бывает закрытым. Это случай когда окружность касается  оси вращения или пересекает ее. Образно эту поверхность можно представить ввиде яблока.

Формула этой поверхности    Ф    m m, j,  m    j m j mi m j.

Произвольная прямая пересекает тор в четырех точках.  В аналитической геометрии доказывается , что тор это алгебраическая поверхность четвертого порядка.

                                                j 2

                                                                   m 2

                                                                          A2

                                                 j 1            m1     A1

  

Коротко остановимся на поверхностях вращения второго порядка.

К ним относится эллипсоид вращения, образующийся вращением эллипса вокруг его оси. В зависимости от того какая ось эллипса выбрана осью вращения получаем сжатый  или вытянутый эллипсоид вращения.

Вы уже освоили построение эллипса по двум заданным осям,  теперь попробуйте изобразить в тетради основной чертеж эллипсоида вращения.

Хочу обратит ваше внимание, что в частном случае эллипс превращается в окружность , а эллипсоид в сферу.

ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ ОБРАЗУЕТСЯ ВРАЩЕНИЕМ ПАРАБОЛЫ ВОКРУГ ЕЕ ОСИ  ОZ .

                                    j2

                                                A2

                      j1

                                      A1   

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ  МОЖЕТ БЫТЬ ОБРАЗОВАН ВРАЩЕНИЕМ ГИПЕРБОЛЫ ВОКРУГ ЕЕ МНИМОЙ ОСИ  ОZ.   

                                 10    9         8           7           6        5     4  

                                       11       12           1           2        3

                                                                 7

                                                8                                6

                                 

                                    9                                                      5

                                

                                 10                                                         4       

                                    11                                                    3                

                                             

                                                12                            2    

                                                                1                                                           

ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ ОБРАЗУЕТСЯ  ВРАЩЕНИЕМ ГИПЕРБОЛЫ ВОКРУГ ЕЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ .

В отличие от однополостного он не является одновременно и линейчатой поверхностью. Он не может быть образован движением прямой.

Комплексный чертеж  двуполостного гиперболоида прошу построить самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63156. Я розкажу про Україну 22.62 KB
  У якій природній зоні найбільше лісів Лісова зона Яка природна зона більш розорана Зона степів Яка зона є перехідною між лісом і степом Зона лісостепу Яку територію охоплює зона субтропіків...
63158. Оцінювання навчальних досягнень учнів із теми «Життя людей за первісних часів» 25.6 KB
  Мета: оцінити навчальні досягнення школярів під час вивчення: теми шляхом проведення заліку. Очікувані результати. Після цього уроку учні зможуть: продемонструвати свої знання з теми «Життя людей за первісних часів»...
63159. Урок-узагальнення з теми «Передня Азія» 35.66 KB
  Мета. Систематизувати та узагальнити знання учнів із теми; ознайомити з культурною спадщиною та релігійними віруваннями народів Передньої Азії; простежити взаємозвязок між господарським і духовним розвитком країн; розширити світогляд школярів...
63160. Урок-узагальнення з теми «Греція в II — першій половині І тис. до н. є.» 27.03 KB
  Кожна з чотирьох команд грає з усіма іншими тобто має відбутися 6 раундів І II І III І IV II III II IV III IV. 3 Кожний раунд включає чотири питання різного ступеня складності що оцінюються так: перше питання 1 бал друге 2 бали третє...
63161. Римська республіка II—І ст. до нашої ери 33.42 KB
  Мета: розглянути особливості устрою римської армії епохи республіки; ознайомитися з ходом перетворення Риму на центр величезної держави; визначити причини та наслідки суспільно-політичної боротьби в Римі...