17401

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей

Лекция

Математика и математический анализ

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей. Для построения линии пересечения некоторых поверхностей не рационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей. Если пересекаются две поверхно

Русский

2013-07-01

54.5 KB

8 чел.

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных  шаровых поверхностей.

Для построения линии пересечения некоторых поверхностей  не рационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей.

Если пересекаются две поверхности вращения общего вида  с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии.

Запишем такую теорему:

Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения ,

то сфера пересечет данную поверхность по окружностям.

Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пусть пресекаются две поверхности вращения - два прямых круговых конуса. (Эти поверхности выбраны из-за простоты построения чертежа на доске. Конус мог пересекаться с тором, цилиндром или поверхность вращения общего вида  могла бы пересекаться с цилиндром. Во всех этих случаях и всегда когда пересекаются две поверхности вращения с пересекающимися осями можно применить этот метод.)

В рассматриваемом случае конусы с пересекающимися осями лежат в плоскости параллельной фронтальной плоскости проекций.

ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОСЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИНИМАЕМ  ЗА ЦЕНТР ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР.

                                                               1222      

                           

 

                                                                        21

                                    

                                                              

                                                                             11

Если сфера соосна с каждой из поверхностей, то она пересечет их по окружностям плоскости которых перпендикулярны осям поверхностей соответственно. ЭТИ ОКРУЖНОСТИ ПЕРЕСЕКАЯСЬ ДАЮТ ТОЧКИ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. В общем случае таких точек будет четыре.

На чертеже показано построение точек 1 и 2.

Проведя множество сфер получим сколько угодно точек принадлежащих линии пересечения поверхностей.

Чтобы избежать лишних построений, надо сразу определить радиусы наибольшей  и наименьшей сфер.

Для этого отметим точки пересечения очерковых образующих поверхностей. Отрезок от центра сферы до проекции наиболее удаленной точки на линии пересечения поверхностей - будет радиусом наибольшей сферы.

Для определения радиуса наименьшей сферы  из центра сферы  О проводят две нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Точки пересечения нормалей с очерковыми образующими дадут нам точки  N  и N*.  Наибольший из отрезков ОN    или   ОN* даст нам радиус наименьшей сферы. Между этими сферами проводят необходимое количество вспомогательных сфер.

Вопрос видимости здесь решается просто. Обычным способом.

Достроим линию пересечения поверхностей.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ  ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ.

Нахождение точек пересечения прямой линии с поверхностью производится следующим методом.

Через заданную прямую проводят вспомогательную поверхность.

Находят линию пересечения вспомогательной поверхности с заданной поверхностью.

Определяют общие точки прямой с линией пересечения  поверхностей. Это и будут искомые точки.

Затем определяют видимость.

В каждом отдельном случае вспомогательную секущую поверхность выбирают так, чтобы она простейшим образом пресекалась с заданной поверхностью.

Например коническая поверхность пересекается горизонтальной прямой.

Заключим эту прямую в плоскость уровня горизонтальную плоскость.

Эта плоскость пресечет конус по окружности , которая на фронтальную плоскость проекций спроектируется в прямую линию, а на горизонтальную в окружность. Замерим радиус этой окружности от оси до очерковой образующей конуса  в месте прохождения секущей плоскости на фронтальной проекции. Проведем эту окружность на горизонтальной проекции. Определим точки пересечения горизонтальной проекции горизонтали с этой окружностью.

Найдем их фронтальные проекции. Определим видимость.

                                  h 2                   12              22

                                         

                                  h 1  

                                                  11                                 21

 

Рассмотрим аналогичную задачу, но более  сложный случай, когда плоскость частного положения в качестве дополнительной секущей провести нельзя.

                                                                                                       S 2

                                                          l 2

                                                                         1. 2       2 2

                                                                                                                                                                                                     

                                                                                                                T2

                                                                                                                              К2       

                                                                                                                     P 2              

                                           3 2                 4 2          

                                                                                                   S 1

                              l 1

                                                                                                                           

                                                                           11       21

                                                                                                                                                                                 Т 1      

                                                                                                                                                                                                                     К 1

                                                                                                                                                                                                   Р 1        

                                                                    3 1                                          4 1

Проведем линию через вершину конуса и пересекающую заданную прямую.  Эти две линии зададут нам плоскость общего положения пересекающую поверхность конуса.

Построение начнем с фронтальной проекции. Проведем проекцию  S2 T2 и продлим ее до пересечения  с проекцией прямой проходящей через основание конуса в точке Р2.

Продлим также проекцию прямой  l 2 до пересечения с проекцией  прямой проходящей через основание конуса в точке К 2.

          Переходим к построениям на горизонтальной плоскости проекций.

          По линии проекционной связи на проекции прямой l 1

найдем Т 1.

          На продолжении  S1 T1 на линии проекционной связи найдем положение Р 1.  

          Так как точка К принадлежит прямой  L , то найдем ее проекцию К 1 по линии проекционной связи на продолжении

l 1.

          Теперь у нас есть две точки  Р 1 и К 1 для того, чтобы

провести линию проходящую через основание конуса и одновременно принадлежащую плоскости в которую мы заключили прямую  L.

          Проведем горизонтальную проекцию этой прямой, которая пересечет основание конуса в точках 31 и 41.

Соединив проекции этих точек с вершиной  S 1 получим проекцию фигуры сечения .

           Там где прямая  l 1 пересечет фигуру сечения будут точки 11 и 21. Это  горизонтальные проекции  точек пересечения прямой  L   с поверхностью конуса.

                 Найдем фронтальные проекции этих точек. Для этого определим положение точек 32 и 42 и соединим их с вершиной  S2.  Остальное очевидно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49557. Технико-экономическое обоснование проекта цеха электролиза алюминия 567 KB
  Зарубежная практика японская американская целиком полагается на разработку системы планирования построенной на определении потребности в сырье и материалах.
49558. Расчет системы кондиционирования для прядильного цеха со станками типа ПК - 110М - 216 1.53 MB
  Физические параметры воздуха: температура влажность подвижность и его чистота влияют на самочувствие человека и его работоспособность. Большое значение имеют параметры воздуха и для веления технологических процессов. Создание необходимых условий можно осуществить путем подвода и отвода теплоты влаги и замены загрязненного воздуха свежим. Придание воздуху помещения необходимых свойств осуществляется при помощи отопления вентиляции и кондиционирования воздуха.
49559. График движения поездов на двухпутном участке железной дороги 4.32 MB
  Основой организации движения поездов на железной дороге является график движения поездов, который объединяет и регламентирует работу всех подразделений железных дорог, устанавливает последовательность и продолжительность занятия поездами перегонов и станций, каждого раздельного пункта, нормы массы поездов, а так же серию локомотивов, время нахождения их на станциях и пунктах оборота, экипировки и технического обслуживания.
49560. Проект зеркальной приемной антенны 788 KB
  Приближенный расчет размеров антенны. Расчет распределения амплитуды поля на излучающей поверхности антенны S1 и его аппроксимация Расчет электрический характеристик антенны и если потребуется уточнение размеров Зеркальные параболические антенны применяют в различных диапазонах волн: от оптического до коротковолнового особенно широко в сантиметровом и дециметровом диапазонах.
49561. Программа Ms.Project 94.25 KB
  Этапы создания проекта Последовательность создания проекта Project является составление рабочего дня Понедельник Введение Microsoft Project программный продукт компании Microsoft призванный помочь менеджерам и руководителям в планировании и управлении проектами. При планировании проекта нужно составить список задач требующих решения и список ресурсов которые могут в этом помочь а затем назначить ресурсы задачам.
49562. Проектирование промышленного центробежного компрессора 1.74 MB
  Оптимизационный расчет ступени компрессора на ЭВМ Расчет КПД двухзвенной ступени компрессора Расчет улитки первой ступени
49563. БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ В СИСТЕМЕ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ (автоматизация бухгалтерского учета и отчетности в ТПК «НИВА-СХП) 5.72 MB
  Типовой программный комплекс автоматизации бухгалтерского учета и отчетности сельскохозяйственной организации (ТПК «НИВА-СХП») разработан в Головном информационно-вычислительном центре Министерства сельского хозяйства и продовольствия Республики Беларусь
49564. Разработка базы данных риэлтерского агенства 1.44 MB
  ПРОЕКТИРОВАНИЕ МОДЕЛИ ДАННЫХ Построение модели данных Построение модели данных. ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК использованных источников ВВЕДЕНИЕ В современном мире в производственной торговой сервисной и прочих сферах экономики и жизни человека роли баз данных огромны.