17401

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей

Лекция

Математика и математический анализ

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей. Для построения линии пересечения некоторых поверхностей не рационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей. Если пересекаются две поверхно

Русский

2013-07-01

54.5 KB

8 чел.

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных  шаровых поверхностей.

Для построения линии пересечения некоторых поверхностей  не рационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей.

Если пересекаются две поверхности вращения общего вида  с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии.

Запишем такую теорему:

Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения ,

то сфера пересечет данную поверхность по окружностям.

Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пусть пресекаются две поверхности вращения - два прямых круговых конуса. (Эти поверхности выбраны из-за простоты построения чертежа на доске. Конус мог пересекаться с тором, цилиндром или поверхность вращения общего вида  могла бы пересекаться с цилиндром. Во всех этих случаях и всегда когда пересекаются две поверхности вращения с пересекающимися осями можно применить этот метод.)

В рассматриваемом случае конусы с пересекающимися осями лежат в плоскости параллельной фронтальной плоскости проекций.

ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОСЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИНИМАЕМ  ЗА ЦЕНТР ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР.

                                                               1222      

                           

 

                                                                        21

                                    

                                                              

                                                                             11

Если сфера соосна с каждой из поверхностей, то она пересечет их по окружностям плоскости которых перпендикулярны осям поверхностей соответственно. ЭТИ ОКРУЖНОСТИ ПЕРЕСЕКАЯСЬ ДАЮТ ТОЧКИ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. В общем случае таких точек будет четыре.

На чертеже показано построение точек 1 и 2.

Проведя множество сфер получим сколько угодно точек принадлежащих линии пересечения поверхностей.

Чтобы избежать лишних построений, надо сразу определить радиусы наибольшей  и наименьшей сфер.

Для этого отметим точки пересечения очерковых образующих поверхностей. Отрезок от центра сферы до проекции наиболее удаленной точки на линии пересечения поверхностей - будет радиусом наибольшей сферы.

Для определения радиуса наименьшей сферы  из центра сферы  О проводят две нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Точки пересечения нормалей с очерковыми образующими дадут нам точки  N  и N*.  Наибольший из отрезков ОN    или   ОN* даст нам радиус наименьшей сферы. Между этими сферами проводят необходимое количество вспомогательных сфер.

Вопрос видимости здесь решается просто. Обычным способом.

Достроим линию пересечения поверхностей.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ  ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ.

Нахождение точек пересечения прямой линии с поверхностью производится следующим методом.

Через заданную прямую проводят вспомогательную поверхность.

Находят линию пересечения вспомогательной поверхности с заданной поверхностью.

Определяют общие точки прямой с линией пересечения  поверхностей. Это и будут искомые точки.

Затем определяют видимость.

В каждом отдельном случае вспомогательную секущую поверхность выбирают так, чтобы она простейшим образом пресекалась с заданной поверхностью.

Например коническая поверхность пересекается горизонтальной прямой.

Заключим эту прямую в плоскость уровня горизонтальную плоскость.

Эта плоскость пресечет конус по окружности , которая на фронтальную плоскость проекций спроектируется в прямую линию, а на горизонтальную в окружность. Замерим радиус этой окружности от оси до очерковой образующей конуса  в месте прохождения секущей плоскости на фронтальной проекции. Проведем эту окружность на горизонтальной проекции. Определим точки пересечения горизонтальной проекции горизонтали с этой окружностью.

Найдем их фронтальные проекции. Определим видимость.

                                  h 2                   12              22

                                         

                                  h 1  

                                                  11                                 21

 

Рассмотрим аналогичную задачу, но более  сложный случай, когда плоскость частного положения в качестве дополнительной секущей провести нельзя.

                                                                                                       S 2

                                                          l 2

                                                                         1. 2       2 2

                                                                                                                                                                                                     

                                                                                                                T2

                                                                                                                              К2       

                                                                                                                     P 2              

                                           3 2                 4 2          

                                                                                                   S 1

                              l 1

                                                                                                                           

                                                                           11       21

                                                                                                                                                                                 Т 1      

                                                                                                                                                                                                                     К 1

                                                                                                                                                                                                   Р 1        

                                                                    3 1                                          4 1

Проведем линию через вершину конуса и пересекающую заданную прямую.  Эти две линии зададут нам плоскость общего положения пересекающую поверхность конуса.

Построение начнем с фронтальной проекции. Проведем проекцию  S2 T2 и продлим ее до пересечения  с проекцией прямой проходящей через основание конуса в точке Р2.

Продлим также проекцию прямой  l 2 до пересечения с проекцией  прямой проходящей через основание конуса в точке К 2.

          Переходим к построениям на горизонтальной плоскости проекций.

          По линии проекционной связи на проекции прямой l 1

найдем Т 1.

          На продолжении  S1 T1 на линии проекционной связи найдем положение Р 1.  

          Так как точка К принадлежит прямой  L , то найдем ее проекцию К 1 по линии проекционной связи на продолжении

l 1.

          Теперь у нас есть две точки  Р 1 и К 1 для того, чтобы

провести линию проходящую через основание конуса и одновременно принадлежащую плоскости в которую мы заключили прямую  L.

          Проведем горизонтальную проекцию этой прямой, которая пересечет основание конуса в точках 31 и 41.

Соединив проекции этих точек с вершиной  S 1 получим проекцию фигуры сечения .

           Там где прямая  l 1 пересечет фигуру сечения будут точки 11 и 21. Это  горизонтальные проекции  точек пересечения прямой  L   с поверхностью конуса.

                 Найдем фронтальные проекции этих точек. Для этого определим положение точек 32 и 42 и соединим их с вершиной  S2.  Остальное очевидно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85235. ПУТИ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ПРИМЕРЕ ЗАО «СТРОЙСЕРВИС» 374.5 KB
  Для успешного развития любой отрасли экономики необходимо своевременное воспроизводство капитала посредством инвестиций. Их количественный и качественный состав определяет характер и скорость восполнения экономических ресурсов, потребляемых в процессе производства благ.
85236. Совершенствование регулирования деятельности коммерческих банков Центробанком 724 KB
  Оптимизация стратегии реформирования российской экономики обеспечение стабильного развития и динамичных темпов экономического роста являются в настоящее время без преувеличения первостепенной задачей. Одной из важных задач российской экономической науки сегодня является исследование влияния государства...
85237. Утеплювач для зовнішніх огороджуючих конструкцій 457.06 KB
  Розрахунок тепловтрат зовнішніх огороджуючи конструкцій. Найбільш поширеними системами теплоізоляції є системи фасадної теплоізоляції опоряджені штукатурками та конструкції зовнішніх стін із фасадною теплоізоляцією з вентильованим повітряним прошарком.
85239. АНАЛИЗ ОРГАНИЗАЦИИ И ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ВНЕДРЕНИЯ CRM-СИСТЕМЫ 2.56 MB
  Целью данной работы является оценка эффективности внедрения CRM-системы «Петрол плюс». Для достижения поставленной цели выполняются следующие задачи: Описание особенностей, видов и этапов внедрения CRM-систем; Обоснование показателей эффективности внедрения CRM-систем...
85240. Активное управление портфелем ценных бумаг в условиях неопределенности и риска 1.81 MB
  На современном этапе реформирования экономики Украины, актуальной проблемой является обеспечение полноценного функционирования фондового рынка, как эффективного механизма перераспределения финансовых ресурсов между субъектами экономической деятельности.
85241. Пути повышения эффективности управления оборотными активами ОАО «Дзержинский мясокомбинат» 550.5 KB
  Теоретические основы управления оборотными активами Общие основы управления оборотными активами Особенности управления оборотными активами Анализ технико-экономических и финансовых показателей ОАО Дзержинский мясокомбинат Пути повышения эффективности управления оборотными активами ОАО Дзержинский мясокомбинат Анализ состава и структуры оборотных активов ОАО Дзержинский мясокомбинат Оптимизация размера основных видов оборотных активов Пути рационального использования оборотных средств ОАО Дзержинский...
85243. Совершенствование организации процесса приготовления и приготовление сложных горячих фирменных блюд из мяса (говядины, телятины, свинины) в ресторанной кухне с использованием современных технологий и оборудования 153.5 KB
  Актуальность моей работы заключается в том, что она имеет практическую значимость для предприятий общественного питания. Результаты проделанной работы могут быть использованы для разработки рецептур мясных блюд европейской кухни и определения технологических нормативов закладки сырья, что необходимо...