17401

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей

Лекция

Математика и математический анализ

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей. Для построения линии пересечения некоторых поверхностей не рационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей. Если пересекаются две поверхно

Русский

2013-07-01

54.5 KB

8 чел.

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных  шаровых поверхностей.

Для построения линии пересечения некоторых поверхностей  не рационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей.

Если пересекаются две поверхности вращения общего вида  с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии.

Запишем такую теорему:

Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения ,

то сфера пересечет данную поверхность по окружностям.

Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пусть пресекаются две поверхности вращения - два прямых круговых конуса. (Эти поверхности выбраны из-за простоты построения чертежа на доске. Конус мог пересекаться с тором, цилиндром или поверхность вращения общего вида  могла бы пересекаться с цилиндром. Во всех этих случаях и всегда когда пересекаются две поверхности вращения с пересекающимися осями можно применить этот метод.)

В рассматриваемом случае конусы с пересекающимися осями лежат в плоскости параллельной фронтальной плоскости проекций.

ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОСЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИНИМАЕМ  ЗА ЦЕНТР ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР.

                                                               1222      

                           

 

                                                                        21

                                    

                                                              

                                                                             11

Если сфера соосна с каждой из поверхностей, то она пересечет их по окружностям плоскости которых перпендикулярны осям поверхностей соответственно. ЭТИ ОКРУЖНОСТИ ПЕРЕСЕКАЯСЬ ДАЮТ ТОЧКИ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. В общем случае таких точек будет четыре.

На чертеже показано построение точек 1 и 2.

Проведя множество сфер получим сколько угодно точек принадлежащих линии пересечения поверхностей.

Чтобы избежать лишних построений, надо сразу определить радиусы наибольшей  и наименьшей сфер.

Для этого отметим точки пересечения очерковых образующих поверхностей. Отрезок от центра сферы до проекции наиболее удаленной точки на линии пересечения поверхностей - будет радиусом наибольшей сферы.

Для определения радиуса наименьшей сферы  из центра сферы  О проводят две нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Точки пересечения нормалей с очерковыми образующими дадут нам точки  N  и N*.  Наибольший из отрезков ОN    или   ОN* даст нам радиус наименьшей сферы. Между этими сферами проводят необходимое количество вспомогательных сфер.

Вопрос видимости здесь решается просто. Обычным способом.

Достроим линию пересечения поверхностей.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ  ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ.

Нахождение точек пересечения прямой линии с поверхностью производится следующим методом.

Через заданную прямую проводят вспомогательную поверхность.

Находят линию пересечения вспомогательной поверхности с заданной поверхностью.

Определяют общие точки прямой с линией пересечения  поверхностей. Это и будут искомые точки.

Затем определяют видимость.

В каждом отдельном случае вспомогательную секущую поверхность выбирают так, чтобы она простейшим образом пресекалась с заданной поверхностью.

Например коническая поверхность пересекается горизонтальной прямой.

Заключим эту прямую в плоскость уровня горизонтальную плоскость.

Эта плоскость пресечет конус по окружности , которая на фронтальную плоскость проекций спроектируется в прямую линию, а на горизонтальную в окружность. Замерим радиус этой окружности от оси до очерковой образующей конуса  в месте прохождения секущей плоскости на фронтальной проекции. Проведем эту окружность на горизонтальной проекции. Определим точки пересечения горизонтальной проекции горизонтали с этой окружностью.

Найдем их фронтальные проекции. Определим видимость.

                                  h 2                   12              22

                                         

                                  h 1  

                                                  11                                 21

 

Рассмотрим аналогичную задачу, но более  сложный случай, когда плоскость частного положения в качестве дополнительной секущей провести нельзя.

                                                                                                       S 2

                                                          l 2

                                                                         1. 2       2 2

                                                                                                                                                                                                     

                                                                                                                T2

                                                                                                                              К2       

                                                                                                                     P 2              

                                           3 2                 4 2          

                                                                                                   S 1

                              l 1

                                                                                                                           

                                                                           11       21

                                                                                                                                                                                 Т 1      

                                                                                                                                                                                                                     К 1

                                                                                                                                                                                                   Р 1        

                                                                    3 1                                          4 1

Проведем линию через вершину конуса и пересекающую заданную прямую.  Эти две линии зададут нам плоскость общего положения пересекающую поверхность конуса.

Построение начнем с фронтальной проекции. Проведем проекцию  S2 T2 и продлим ее до пересечения  с проекцией прямой проходящей через основание конуса в точке Р2.

Продлим также проекцию прямой  l 2 до пересечения с проекцией  прямой проходящей через основание конуса в точке К 2.

          Переходим к построениям на горизонтальной плоскости проекций.

          По линии проекционной связи на проекции прямой l 1

найдем Т 1.

          На продолжении  S1 T1 на линии проекционной связи найдем положение Р 1.  

          Так как точка К принадлежит прямой  L , то найдем ее проекцию К 1 по линии проекционной связи на продолжении

l 1.

          Теперь у нас есть две точки  Р 1 и К 1 для того, чтобы

провести линию проходящую через основание конуса и одновременно принадлежащую плоскости в которую мы заключили прямую  L.

          Проведем горизонтальную проекцию этой прямой, которая пересечет основание конуса в точках 31 и 41.

Соединив проекции этих точек с вершиной  S 1 получим проекцию фигуры сечения .

           Там где прямая  l 1 пересечет фигуру сечения будут точки 11 и 21. Это  горизонтальные проекции  точек пересечения прямой  L   с поверхностью конуса.

                 Найдем фронтальные проекции этих точек. Для этого определим положение точек 32 и 42 и соединим их с вершиной  S2.  Остальное очевидно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82485. Теория сравнительных преимуществ и протекционизм. Международная торговля и распределение доходов 33.02 KB
  Она исходит из наличия двух стран и двух товаров; издержек производства только в виде заработной платы которая к тому же одинакова для всех профессий; игнорирования различий в уровне заработной платы между странами; отсутствия транспортных издержек и наличия свободной торговли. увеличению производства в отраслях ориентированных на экспорт и сокращению производства в отраслях конкурирующих с импортом. Теория ХекшераОлинадает возможность оценить последствия развития внешней торговли для владельцев различных факторов производства рабочих...
82486. Теории международной торговли (А. Смита, Д. Риккардо, Э. Хекшера, Б. Олина) 34.21 KB
  В своем труде Исследование о природе и причинах богатства народов в полемике с меркантилистами Смит сформулировал идею о том что страны заинтересованы в свободном развитии международной торговли поскольку могут выиграть от нее независимо от того являются они экспортерами или импортерами. Каждая страна должна специализироваться на производстве того товара где она обладает абсолютным преимуществом выгодой основанной на разной величине затрат на производство в отдельных странах участницах внешней торговли. При анализе направлений...
82487. Мировое хозяйство, понятие и эволюция. Интеграция в мировой экономике 32.42 KB
  Интеграция в мировой экономике Мировое хозяйство совокупность национальногосударственных и негосударственных структур а также их взаимодействий на основе международного разделения труда и политических контактов. В данной трактовке мировое хозяйство представляет собой единое экономическое пространство мегаэкономику в котором субъектами хозяйственных отношений выступают: национальные экономики стран мира; субъекты мирового бизнеса транснациональные корпорации и их альянсы; институты мирового хозяйства международные экономические...
82488. Международная торговля: свобода торговли и протекционизм 33.52 KB
  Сторонники свободной торговли считают что международная торговля должна развиваться на основе рыночных сил спроса и предложения т. Экономические аргументы в защиту протекционистских мер: с помощью импортных пошлин страна может достичь улучшения условий торговли и увеличения экономического выигрыша; поддержка национальной промышленности на этапе ее зарождения и становления; повышение уровня занятости национальных ресурсов; смягчение кризиса в отраслях испытывающих экономические трудности; ограждение национальной экономики от мировых...
82489. Международная валютная система 30.96 KB
  Основной задачей мировой валютной системы МВС является регулирование сферы международных расчетов для обеспечения устойчивого экономического роста и поддержания равновесия во внешнеторговом обмене. Мировая валютная система представляет собой: определенный набор международных платежных средств; режим обмена валют включая валютные курсы; условия конвертируемости механизм обеспечения валютноплатежными средствами международного оборота; регламентацию форм международных расчетов; режим международных рынков валюты и золота; статус...
82490. Объект и предмет экономической теории. Методология экономической науки 35.64 KB
  Методология экономической науки. Первый раздел имеет методологическое фундаментальное значение так как служит основным средством исследования двух следующих разделов микроэкономики и макроэкономики. Это привело к появлению множества методов исследования экономической теории: Метод научной абстракции Отвлечение в процессе познания от внешних явлений не экономических сторон выделение более глубокой сущности предмета или экономического явления Метод функционального анализа Используется зависимость функцияаргумент для проведения...
82491. Основные направления и школы в экономической теории. Экономические законы и категории 34.86 KB
  Экономические законы и категории. Экономические законы и категории. Различают специфические общие и особенные экономические законы. Специфические экономические законы действуют в пределах исторически определенных форм хозяйствования.
82492. Рынок и условия его возникновения: типы рынков, экономические и неэкономические блага, типы хозяйственных систем, виды и формы собственности 36.72 KB
  Рынок это такая экономическая система которая базируется на частной собственности на средства производства и на принципах самостоятельно независимого принятия решений отдельных хозяйствующих субъектов фирмами или частными лицами. экономическая обособленность производителей в форме частной собственности. виды и формы собственности Собственность можно классифицировать различным образом например: 1 По форме присвоения различных форм собственности индивидуальная коллективная и государственная собственность.
82493. Теория собственности: понятие, виды, формы. Права собственности. Приватизация, ее особенности в России 34.53 KB
  Права собственности. Теория собственности: понятие виды формы Собственность это система экономических отношений между людьми выражающаяся во владении пользовании и распоряжении средствами производства и соответствующей им формы присвоения средств и результатов производства. Собственность можно классифицировать различным образом например: 1 По форме присвоения различных форм собственности индивидуальная коллективная и государственная собственность.