17401

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей

Лекция

Математика и математический анализ

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей. Для построения линии пересечения некоторых поверхностей не рационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей. Если пересекаются две поверхно

Русский

2013-07-01

54.5 KB

6 чел.

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных  шаровых поверхностей.

Для построения линии пересечения некоторых поверхностей  не рационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей.

Если пересекаются две поверхности вращения общего вида  с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии.

Запишем такую теорему:

Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения ,

то сфера пересечет данную поверхность по окружностям.

Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пусть пресекаются две поверхности вращения - два прямых круговых конуса. (Эти поверхности выбраны из-за простоты построения чертежа на доске. Конус мог пересекаться с тором, цилиндром или поверхность вращения общего вида  могла бы пересекаться с цилиндром. Во всех этих случаях и всегда когда пересекаются две поверхности вращения с пересекающимися осями можно применить этот метод.)

В рассматриваемом случае конусы с пересекающимися осями лежат в плоскости параллельной фронтальной плоскости проекций.

ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОСЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИНИМАЕМ  ЗА ЦЕНТР ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР.

                                                               1222      

                           

 

                                                                        21

                                    

                                                              

                                                                             11

Если сфера соосна с каждой из поверхностей, то она пересечет их по окружностям плоскости которых перпендикулярны осям поверхностей соответственно. ЭТИ ОКРУЖНОСТИ ПЕРЕСЕКАЯСЬ ДАЮТ ТОЧКИ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. В общем случае таких точек будет четыре.

На чертеже показано построение точек 1 и 2.

Проведя множество сфер получим сколько угодно точек принадлежащих линии пересечения поверхностей.

Чтобы избежать лишних построений, надо сразу определить радиусы наибольшей  и наименьшей сфер.

Для этого отметим точки пересечения очерковых образующих поверхностей. Отрезок от центра сферы до проекции наиболее удаленной точки на линии пересечения поверхностей - будет радиусом наибольшей сферы.

Для определения радиуса наименьшей сферы  из центра сферы  О проводят две нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Точки пересечения нормалей с очерковыми образующими дадут нам точки  N  и N*.  Наибольший из отрезков ОN    или   ОN* даст нам радиус наименьшей сферы. Между этими сферами проводят необходимое количество вспомогательных сфер.

Вопрос видимости здесь решается просто. Обычным способом.

Достроим линию пересечения поверхностей.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ  ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ.

Нахождение точек пересечения прямой линии с поверхностью производится следующим методом.

Через заданную прямую проводят вспомогательную поверхность.

Находят линию пересечения вспомогательной поверхности с заданной поверхностью.

Определяют общие точки прямой с линией пересечения  поверхностей. Это и будут искомые точки.

Затем определяют видимость.

В каждом отдельном случае вспомогательную секущую поверхность выбирают так, чтобы она простейшим образом пресекалась с заданной поверхностью.

Например коническая поверхность пересекается горизонтальной прямой.

Заключим эту прямую в плоскость уровня горизонтальную плоскость.

Эта плоскость пресечет конус по окружности , которая на фронтальную плоскость проекций спроектируется в прямую линию, а на горизонтальную в окружность. Замерим радиус этой окружности от оси до очерковой образующей конуса  в месте прохождения секущей плоскости на фронтальной проекции. Проведем эту окружность на горизонтальной проекции. Определим точки пересечения горизонтальной проекции горизонтали с этой окружностью.

Найдем их фронтальные проекции. Определим видимость.

                                  h 2                   12              22

                                         

                                  h 1  

                                                  11                                 21

 

Рассмотрим аналогичную задачу, но более  сложный случай, когда плоскость частного положения в качестве дополнительной секущей провести нельзя.

                                                                                                       S 2

                                                          l 2

                                                                         1. 2       2 2

                                                                                                                                                                                                     

                                                                                                                T2

                                                                                                                              К2       

                                                                                                                     P 2              

                                           3 2                 4 2          

                                                                                                   S 1

                              l 1

                                                                                                                           

                                                                           11       21

                                                                                                                                                                                 Т 1      

                                                                                                                                                                                                                     К 1

                                                                                                                                                                                                   Р 1        

                                                                    3 1                                          4 1

Проведем линию через вершину конуса и пересекающую заданную прямую.  Эти две линии зададут нам плоскость общего положения пересекающую поверхность конуса.

Построение начнем с фронтальной проекции. Проведем проекцию  S2 T2 и продлим ее до пересечения  с проекцией прямой проходящей через основание конуса в точке Р2.

Продлим также проекцию прямой  l 2 до пересечения с проекцией  прямой проходящей через основание конуса в точке К 2.

          Переходим к построениям на горизонтальной плоскости проекций.

          По линии проекционной связи на проекции прямой l 1

найдем Т 1.

          На продолжении  S1 T1 на линии проекционной связи найдем положение Р 1.  

          Так как точка К принадлежит прямой  L , то найдем ее проекцию К 1 по линии проекционной связи на продолжении

l 1.

          Теперь у нас есть две точки  Р 1 и К 1 для того, чтобы

провести линию проходящую через основание конуса и одновременно принадлежащую плоскости в которую мы заключили прямую  L.

          Проведем горизонтальную проекцию этой прямой, которая пересечет основание конуса в точках 31 и 41.

Соединив проекции этих точек с вершиной  S 1 получим проекцию фигуры сечения .

           Там где прямая  l 1 пересечет фигуру сечения будут точки 11 и 21. Это  горизонтальные проекции  точек пересечения прямой  L   с поверхностью конуса.

                 Найдем фронтальные проекции этих точек. Для этого определим положение точек 32 и 42 и соединим их с вершиной  S2.  Остальное очевидно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57963. Діяльність людини і сучасний стан біосфери 68 KB
  Мета: сформувати поняття про людину як частинку природи її вплив на стан біосфери шляхи подолання екологічних проблем; розвивати вміння висловлювати свої думки аргументувати їх; виховувати любов до природи потребу в дбайливому ставленні до неї...
57964. Біосфера. Червона книга 49.5 KB
  Обладнання: червонокнижні види рослин Хмельниччини сторінки Червоної книги України опорні блоксхеми Червона книга презентація уроку на електронних носіях. Тема нашого уроку Червона книга. Вчитель розділяє дошку на чотири блоки майбутньої опорної блоксхеми: Червона книга України.
57965. Политический портрет Бисмарка 143.5 KB
  Цели: Раскрыть особенности объединительных процессов в Германии и роль в этом Бисмарка; охарактеризовать личность Отто фон Бисмарка; формировать умения учащихся прослеживать причинно-следственные связи; на основе конкретного сюжетного материала развивать личностные отношения...
57966. Brieffreunde. Друзі по листуванню 75 KB
  Мета: вчити учнів орієнтуватися в незнайомому тексті, знаходити в ньому потрібну інформацію. Тренувати використовувати вивчену лексику у монологічному мовленні. Тренувати навички аудіювання за темою.
57967. Велика Британія 324.5 KB
  Мета: сформувати в учнів систему знань про особливості географічного положення, населення та господарства Великої Британії; удосконалювати навички складання комплексної економіко-географічної характеристики країни за допомогою карт атласа...
57968. Вікторіанська Британія. Велика Британія в 50-60-х роках ХІХ століття 81 KB
  Мета: охарактеризувати економічний розвиток В.Британії в 50-60-х роках ХІХ ст.., визначити причини економічного піднесення Британії; охарактеризувати політичну систему Британії, порівняти політичні платформи лібералів і консерваторів...
57969. Будова і функції сечовидільної системи 50 KB
  Обладнання: таблиця Видільна система електронна презентація Видільна система муляж нирки свіжа нирка. Навпаки за низької температури коли випаровування води шкірою зменшується нирки виводять більше води.
57970. Харчування і здоров’я. Основи безпечного харчування 140 KB
  Обладнання: продукти харчування мультимедійна дошкаплакати з написами що таке здоров’я Хід уроку I. В ньому ми поєднаємо знання важливих для вас 2 предметів –біології і основ здоров’я. Вчитель основ здоров’я.
57971. Протилежні числа 48 KB
  Мета: сформувати уявлення про зміст поняття протилежні числа; навчити знаходити й записувати число протилежне до даного розвязувати рівняння що передбачають застосування поняття числа протилежного до даного.