17401

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей

Лекция

Математика и математический анализ

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей. Для построения линии пересечения некоторых поверхностей не рационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей. Если пересекаются две поверхно

Русский

2013-07-01

54.5 KB

8 чел.

Пересечение двух поверхностей способом сфер или вспомогательных  шаровых поверхностей.

Для построения линии пересечения некоторых поверхностей  не рационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей.

Если пересекаются две поверхности вращения общего вида  с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии.

Запишем такую теорему:

Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения ,

то сфера пересечет данную поверхность по окружностям.

Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пусть пресекаются две поверхности вращения - два прямых круговых конуса. (Эти поверхности выбраны из-за простоты построения чертежа на доске. Конус мог пересекаться с тором, цилиндром или поверхность вращения общего вида  могла бы пересекаться с цилиндром. Во всех этих случаях и всегда когда пересекаются две поверхности вращения с пересекающимися осями можно применить этот метод.)

В рассматриваемом случае конусы с пересекающимися осями лежат в плоскости параллельной фронтальной плоскости проекций.

ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОСЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИНИМАЕМ  ЗА ЦЕНТР ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР.

                                                               1222      

                           

 

                                                                        21

                                    

                                                              

                                                                             11

Если сфера соосна с каждой из поверхностей, то она пересечет их по окружностям плоскости которых перпендикулярны осям поверхностей соответственно. ЭТИ ОКРУЖНОСТИ ПЕРЕСЕКАЯСЬ ДАЮТ ТОЧКИ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. В общем случае таких точек будет четыре.

На чертеже показано построение точек 1 и 2.

Проведя множество сфер получим сколько угодно точек принадлежащих линии пересечения поверхностей.

Чтобы избежать лишних построений, надо сразу определить радиусы наибольшей  и наименьшей сфер.

Для этого отметим точки пересечения очерковых образующих поверхностей. Отрезок от центра сферы до проекции наиболее удаленной точки на линии пересечения поверхностей - будет радиусом наибольшей сферы.

Для определения радиуса наименьшей сферы  из центра сферы  О проводят две нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Точки пересечения нормалей с очерковыми образующими дадут нам точки  N  и N*.  Наибольший из отрезков ОN    или   ОN* даст нам радиус наименьшей сферы. Между этими сферами проводят необходимое количество вспомогательных сфер.

Вопрос видимости здесь решается просто. Обычным способом.

Достроим линию пересечения поверхностей.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ  ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ.

Нахождение точек пересечения прямой линии с поверхностью производится следующим методом.

Через заданную прямую проводят вспомогательную поверхность.

Находят линию пересечения вспомогательной поверхности с заданной поверхностью.

Определяют общие точки прямой с линией пересечения  поверхностей. Это и будут искомые точки.

Затем определяют видимость.

В каждом отдельном случае вспомогательную секущую поверхность выбирают так, чтобы она простейшим образом пресекалась с заданной поверхностью.

Например коническая поверхность пересекается горизонтальной прямой.

Заключим эту прямую в плоскость уровня горизонтальную плоскость.

Эта плоскость пресечет конус по окружности , которая на фронтальную плоскость проекций спроектируется в прямую линию, а на горизонтальную в окружность. Замерим радиус этой окружности от оси до очерковой образующей конуса  в месте прохождения секущей плоскости на фронтальной проекции. Проведем эту окружность на горизонтальной проекции. Определим точки пересечения горизонтальной проекции горизонтали с этой окружностью.

Найдем их фронтальные проекции. Определим видимость.

                                  h 2                   12              22

                                         

                                  h 1  

                                                  11                                 21

 

Рассмотрим аналогичную задачу, но более  сложный случай, когда плоскость частного положения в качестве дополнительной секущей провести нельзя.

                                                                                                       S 2

                                                          l 2

                                                                         1. 2       2 2

                                                                                                                                                                                                     

                                                                                                                T2

                                                                                                                              К2       

                                                                                                                     P 2              

                                           3 2                 4 2          

                                                                                                   S 1

                              l 1

                                                                                                                           

                                                                           11       21

                                                                                                                                                                                 Т 1      

                                                                                                                                                                                                                     К 1

                                                                                                                                                                                                   Р 1        

                                                                    3 1                                          4 1

Проведем линию через вершину конуса и пересекающую заданную прямую.  Эти две линии зададут нам плоскость общего положения пересекающую поверхность конуса.

Построение начнем с фронтальной проекции. Проведем проекцию  S2 T2 и продлим ее до пересечения  с проекцией прямой проходящей через основание конуса в точке Р2.

Продлим также проекцию прямой  l 2 до пересечения с проекцией  прямой проходящей через основание конуса в точке К 2.

          Переходим к построениям на горизонтальной плоскости проекций.

          По линии проекционной связи на проекции прямой l 1

найдем Т 1.

          На продолжении  S1 T1 на линии проекционной связи найдем положение Р 1.  

          Так как точка К принадлежит прямой  L , то найдем ее проекцию К 1 по линии проекционной связи на продолжении

l 1.

          Теперь у нас есть две точки  Р 1 и К 1 для того, чтобы

провести линию проходящую через основание конуса и одновременно принадлежащую плоскости в которую мы заключили прямую  L.

          Проведем горизонтальную проекцию этой прямой, которая пересечет основание конуса в точках 31 и 41.

Соединив проекции этих точек с вершиной  S 1 получим проекцию фигуры сечения .

           Там где прямая  l 1 пересечет фигуру сечения будут точки 11 и 21. Это  горизонтальные проекции  точек пересечения прямой  L   с поверхностью конуса.

                 Найдем фронтальные проекции этих точек. Для этого определим положение точек 32 и 42 и соединим их с вершиной  S2.  Остальное очевидно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53697. Образ весны в лирических произведениях 82 KB
  Цель: Познакомить с приёмом олицетворения на примере стихотворения Ф.И. Тютчева «Зима недаром злится...» Тип урока: комбинированный урок.
53698. Обучение технике старта и стартовому разгону 42.5 KB
  Цель урока: Формирование интереса детей к изучению легкоатлетических видов. Задачи урока: Формировать двигательные умения и навыки при выполнении старта и стартового разгона.
53699. Закрепление изученного материала по математике 72.5 KB
  Сегодня ребята мы вспомним с вами то, чему вы научились в этой четверти. Вы будете решать, и сравнивать числовые выражения, работать над задачами.
53701. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 138.5 KB
  Ввести понятие первообразной; доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции применяя определение первообразной; ввести определение неопределенного интеграла; доказать свойства неопределенного интеграла; отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла. Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F x ее...
53702. Нахождение неизвестного слагаемого 46 KB
  Как найти неизвестное слагаемое Чтобы найти неизвестное слагаемое надо от суммы отнять известное слагаемое Давайте вспомним компоненты вычитания. уменьшаемое вычитаемое разность В каких уравнениях неизвестное уменьшаемое к6=24 –Как найти неизвестное уменьшаемое Чтобы найти неизвестное уменьшаемое надо к вычитаемому прибавить разность. –Как найти неизвестное вычитаемое Чтобы найти неизвестное вычитаемое надо от уменьшаемого отнять разность. В каких уравнениях неизвестное вычитаемое 73х=70...
53703. «Комбинаторные задачи», 6 а класс 53.5 KB
  Цели урока: обобщить и систематизировать знания о комбинаторных задачах; повторить способы решения комбинаторных задач; совершенствовать навыки решения данных задач; развивать умение дискуссионной и групповой работы; развитие коммуникативных компетенций; формирование умений мыслить системно находить творческий подход в своей работе; умение создать и защитить минипроект по теме Комбинаторные задачи. Выставка творческих работ по теме...
53704. Скорость движения. Перевод скорости из одного наименования в другое 80.5 KB
  Цели урока: Образовательные: продолжить работу по усвоению понятия скорость. Научиться переводить скорость на основе различных заданий. С какой скоростью он шел 2 Мотоциклист ехал 4 часа со скоростью 80 км ч.
53705. Сравнение долей 98 KB
  На доске записана скороговорка. На доске записаны примеры: 3333= замени умножением и реши 46= замени сложением и реши 66= решите Ответы записываю на доске. Помогите Карлсону из предложенных чисел выбрать то которое соответствует возрасту Малыша на доске записаны числа: 1 6 8 9 73 1...