1747

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АГРЕГИРОВАНИЯ В МЕТОДАХ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ КОТИРОВКИ АКЦИЙ

Диссертация

Экономическая теория и математическое моделирование

Неопределенность котировки акций и проблема ее прогнозирования. Агрегирование как способ усиления структурированности данных. Фрактальный анализ временных рядов котировок четырех видов акций. Фазовые портреты временных рядов котировки акций, агрегированных недельными интервалами.

Русский

2013-01-06

1.48 MB

163 чел.

 
СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
На правах рукописи 
 
 
 
Беляков Станислав Сергеевич 
 
 
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АГРЕГИРОВАНИЯ В МЕТОДАХ НЕЛИНЕЙНОЙ  
ДИНАМИКИ ДЛЯ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ  
ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ КОТИРОВКИ АКЦИЙ 
 
 
08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики 
 
Диссертация на соискание ученой степени  
кандидата экономических наук 
 
 
 
 
 
Научный руководитель 
доктор физ.-мат.наук, 
профессор 
В.А. Перепелица 
 
 
 
 
Ставрополь – 2005 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Введение 
5
Глава 1 АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ПРИНЦИПОВ СУЩЕСТВУЮЩИХ  
МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ 
17
1.1  Неопределенность  котировки  акций  и  проблема  ее  прогнозирова-
ния  
17
1.2 Анализ и классификация традиционных подходов к прогнозирова-
21
нию временных рядов котировки акций  
1.3 Современные подходы к прогнозированию котировки акций мето-
40
дами нелинейной динамики 
1.4 Выводы к главе 1 
50
Глава 2 ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ И АГРЕГИРОВАН-
НЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ КОТИРОВКИ АКЦИЙ 52
2.1 Фрактальная статистика в экономико-математическом моделирова-
нии 52
2.2 Предмет исследования и его статистические характеристики 
58
2.3 Агрегирование как способ усиления структурированности  
       данных 62
2.4 Инструментарии фрактального анализа 
64
      2.4.1 Верификация алгоритма нормированного размаха Херста 
68
      2.4.2 Алгоритм последовательного  R S - анализа 
74
2.5  Фрактальный  анализ  временных  рядов  котировок  четырех  видов 
акций 
80
      2.5.1 Фрактальный анализ временных рядов ежедневных 
                показателей 
80
      2.5.2  Фрактальный  анализ  временных  рядов  недельного  интервала 
агрегирования 
82
      2.5.3 Фрактальный анализ временных рядов двухнедельного  
              интервала агрегирования 
86
2.6 Результат сравнительного анализа эффективности агрегирования 89

2.7 Выводы к главе 2 
92
Глава 3  ПРЕДПРОГНОЗНЫЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 
КОТИРОВКИ АКЦИЙ НА БАЗЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ  
И АГРЕГИРОВАНИЯ 93
3.1 Фазовые пространства и фазовые портреты 93
3.2 Фазовые портреты исходных временных рядов котировки акций 95
3.3  Фазовые  портреты  временных  рядов  котировки  акций,  агрегиро-
ванных недельными интервалами 
99
3.4  Фазовые  портреты  временных  рядов  котировки  акций,  агрегиро-
ванных двухнедельными интервалами 101
3.5 Предпрогнозный анализ временных рядов на базе их фазовых порт-
ретов и агрегирования 109
3.5.1  Предпрогнозная  информация  для  временного  ряда  ~1
Z   коти-
ровки акций  РАО ЕЭС 
111
3.5.2  Предпрогнозная  информация  для  временного  ряда  ~2
Z   коти-
ровки акций Сбербанка 
111
3.5.3  Предпрогнозная  информация  для  временного  ряда  ~3
Z   коти-
ровки акций  Ростелекома 
112
3.5.4  Предпрогнозная  информация  для  временного  ряда  ~4
Z   коти-
ровки акций Сибнефти 
113
3.6 Выводы к главе 3 
113
Глава 4 АДАПТАЦИЯ  КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНОЙ  ПРОГНОЗНОЙ 
МОДЕЛИ ДЛЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ КОТИРОВКИ АКЦИЙ 116
4.1 Особенности временных рядов, для которых традиционные методы 
прогнозирования неадекватны 116
4.2 Клеточные автоматы для прогнозирования экономических времен-
ных рядов их преимущества перед классическими методами 117
4.3 Общая схема и принципы работы клеточно-автоматной прогнозной 
модели 119
4.3.1 Преобразование числового временного ряда в лингвистический  
 
3

временной ряд методом огибающих ломаных 
119
4.3.2  Частотный  анализ    памяти  лингвистического  временного  124
ряда 
4.3.3 Формирование прогнозных значений котировки акций россий-
ской  компании  «Сбербанк»,  верификация  и  валидация  про-
гнозной модели 
132
4.3.4 Получение числового прогноза и оценка его точности 
135
Выводы к главе 4 
139
Заключение 141
Список использованных источников 142
Приложения 151
 
 
4

Введение 
Актуальность темы исследования. Российский рынок ценных бумаг за 
свою  новейшую  постсоветскую  историю  пережил  много  хороших  и  плохих 
времен. Финансовый кризис 1998 года почти разрушил этот сектор экономи-
ки.  Однако,  следует  понимать,  что  без  развитого  рынка  ценных  бумаг  по-
строить  рыночную  экономику  невозможно.  Не  случайно  в  последние  годы 
одно из важнейших направлений развития России связано с принципиальным 
изменением роли рынка ценных бумаг в финансовой системе государства и 
его  хозяйственном  механизме  в  целом.  Развиваются  институты  рынка  цен-
ных  бумаг,  регулирующиеся  государством.  Огромные  усилия  государства 
направлены на повышение доверия инвесторов к российской экономике. 
Одной из важных задач на пути стабилизации фондового рынка России 
является  привлечение  частных  лиц  для  инвестирования  в  предприятия  и 
крупные компании нашей страны. Для инвесторов особо необходимым и ак-
туальным является возможность прогнозирования ситуации на рынке ценных 
бумаг Прогнозирование предполагает научно-обоснованное суждение о воз-
можных состояниях экономической системы в будущем, об альтернативных 
путях и сроках его осуществления, оно должно предполагать получение  ка-
чественных  оценок  этих  состояний  при  помощи  математических  и  инстру-
ментальных средств реализации.  
Сложившейся  к  настоящему  времени  методологии  экономико-
математического  прогнозирования  присущи  общие  черты.  Практически  все 
прогнозные  модели  в  той  или  иной  мере  используют  экстраполяцию  про-
шлых тенденций в отношении как общенациональных, так и частичных пока-
зателей производства, народонаселения, технического прогресса. Общая чер-
та эконометрических и эмпирических прогнозов – стремление на основе от-
дельных, частичных показателей составить общую картину будущего эконо-
мического роста.  
Развитие экономического моделирования, анализа и прогнозирования в 
современных  условиях  связано  с  последовательным  ростом  уровня  их  фор-
 
5

мализации. Основу этого заложил прогресс в области прикладной математи-
ки, математической статистики, методов оптимизации, теории приближений, 
в эконометрике, прогностике и пр. 
Среди  факторов,  характеризующих  динамику  рынка  и  влияющих  на 
нее,  есть  изрядное  количество  данных  нечисловой  природы,  значения  кото-
рых  известны  только  с  определенной  долей  уверенности.  Можно  выделить 
различные  типы  неопределенностей,  из  которых  для  финансового  анализа 
важны следующие: 
-  связанные с незнанием или неточным знанием некоторых факторов 
или процессов, влияющих на развитие ситуации; 
-  связанные  с  математической  несоизмеримостью  численных  оценок 
величин, характеризующих динамику системы; 
-  связанные  с  нелинейностью  и  наличием  у  системы  нескольких  со-
стояний равновесия или аттракторов; 
- связанные с недостатком или неадекватностью понятийного аппарата 
и невозможностью отождествления фактов. 
С целью понимания того, какие преимущества дают предлагаемые да-
лее новые методы анализа данных и прогнозирования, необходимо указать на 
три принципиальные проблемы, возникающие при создании систем  анализа 
финансовых рынков и разработке прогнозных моделей. 
Первая - это определение необходимых и достаточных параметров для 
оценки состояния рынка, а также целевых функций, т.е. выбор критериев эф-
фективности  действий.  Формализация,  т.е.  моделирование  поведения  систе-
мы, состоящей из разнородных компонентов, требует использования единой 
метрики для их описания. 
Вторая проблема – это проблема размерности. Желание учесть в моде-
ли как можно больше показателей и критериев оценки может привести к не-
реализуемым практически объемам вычислительной сложности. Иными сло-
вами, суть этой проблемы сводится к ограничению на быстродействие и раз-
меры вычислительного комплекса в зависимости от количества информации, 
 
6

обрабатываемого в единицу времени. 
Третья  проблема  возникает  в  силу  проявления  признака  надсистемно-
сти. Известно, что взаимодействующие системы образуют надсистему - сис-
тему  более  высокого  уровня,  обладающую  собственными  (надсистемными) 
свойствами,  которых  не  имеет  ни  одна  из  составляющих  систем.  Проблема 
заключается в принципиальной невозможности выявить указанные проявле-
ния  надсистемного  отображения  средствами,  входящих  в  состав  взаимодей-
ствующих систем. 
Пришедшие  на  смену  классическим  новые  подходы  к  прогнозирова-
нию  появились  именно  с  целью  преодоления  некоторых  из  перечисленных 
проблем. Эти подходы базируются на применении таких разделов современ-
ной  математики,  как  нейрокомпьютеры,  теория  стохастического  моделиро-
вания  (теория  хаоса),  теория  катастроф,  синергетика  и  теория  самооргани-
зующихся систем, включая генетические алгоритмы, теория фракталов и не-
четкие логики. Считается, что эти методы позволят увеличить глубину про-
гноза  на  финансовых  рынках  за  счет  выявления  скрытых  закономерностей, 
присущих этим рынкам.  
Таким образом, в связи с тем, что в рамках классического подхода не 
удается  получить  существенного улучшения  качества  прогнозирования  кур-
сов  ценных  бумаг  на  фондовом  рынке,  актуальным  является  совершенство-
вание методик прогноза, сочетая достоинства теории хаоса, клеточных авто-
матов и теории нечетких множеств. 
Степень  разработанности  проблемы.  Большой  вклад  в  исследование 
фондового  рынка  внесли  зарубежные  ученые,  особо  можно  отметить  труды 
У.Ф.  Шарпа,  Г.  Марковитца,  Г.Дж.  Александера,  Дж.В.  Бэйли,  Б.Вильямса, 
Р.Колби,  Д.Мерфи,  Дж.  Швагера,  а  так  же  труды  соотечественников  Я.М. 
Миркина,  А.В.  Захарова,  И.В.  Костикова,  Б.Б.  Рубцова,  А.О.  Недосекина, 
Ю.В. Жваколюк, П.П. Кравченко Т.Ю. Сафоновой, Н.И. Червякова и др..  
В  развитии  теоретической  прогностики  стоит  отметить  работы 
И.Бернара,  Н.  Винера,  Д.Ж.  Джонстона,  Ж.-К.Колли,  В.В.Леонтьева, 
 
7

К.Паррамоу,  М.  Песарана,  О.  М.Дж.Кендалла,  Ю.Колека,  Л.Слейтера  и  др.  
История развития продуктивной прикладной прогностики начинается с про-
гнозов  Г.Ландсберга,  Л.Фишмана,  Дж.  Фишера,  прогноза  Дж.Ф.Дьюхорста, 
Дж.О.Коппока, П.Л.Йейста, и др. 
В бывшем СССР проводились серьезные  экономические прогностиче-
ские исследования. Отметим труды известных  советских и российских уче-
ных:  А.Г.  Аганбегяна,  Л.В.Канторовича,  С.А.  Айвазяна,  В.А.  Кардаша,  В.С. 
Немчинова, В.В. Новожилова, Н.П. Федоренко, С.С. Шаталина, А.Н. Ширяе-
ва, 
В.А.Буторова, 
И.Г.Винтизенко, 
Г.В.Гореловой, 
А.А.Горчакова, 
В.Е.Демидова,  А.С.Емельянова,  Э.Б.Ершова,  С.В.Жака,  П.С.Завьялова, 
А.Н.Ильченко, 
В.И.Калиниченко, 
В.В.Ковалева, 
Ф.М.Левшина, 
Ю.П.Лукашина,  В.И.Максименко,  Е.Н.Мельниковой,  А.В.Морозова,  А.Л. 
Новоселова, Б.В. Рязанова, Е.М.Четыркина и др.     
При  большом  числе  серьезных  работ,  широте  исследований,  обилии 
полученных в прогнозировании результатов, все еще находятся разделы про-
гностической науки, в которых новые методы могут улучшить решение, сде-
лать его универсальным, конструктивным и более точным.  
Важно  отметить,  что  последнее  десятилетие – это  начало  активного 
изучения  и  переосмысливание  вопросов  математического  моделирования 
экономических  процессов.  Пересматриваются  законы  линейной  парадигмы, 
появляются  публикации  (Б.М.  Фридман,  Д.И.  Лейсбон,  Е.Д.  Вейгель,  А.Л. 
Тернер и др.), в которых отмечается, что многие экономические процессы не 
следуют  нормальному  закону  распределения  по  причине  невыполнения  ус-
ловия  независимости  наблюдений.  Это  в  свою  очередь  ставит  вопрос  о  не-
правомерности  применения  известных  классических  методов  прогнозирова-
ния эволюционных процессов. В контексте экономических теорий появляет-
ся  экономическая  синергетика,  как  наука,  занимающаяся  изучением  хаоса  в 
поведении  экономических  процессов.  Исследованию  этих  вопросов  посвя-
щены  работы  как,  в  основном,  зарубежных,  так  и  отечественных  авторов:  
А.Е.Андерсон, 
Дж.Грендмонт, 
В.-Б.Занг, 
Б.Мандельброт,             
 
8

Э.Петерс,  А.И.  Пригожин,  Э.Сигел,  Р.Чен,  В.А.  Долятовский,  С.П.  Курдю-
мов, Г.Г. Малинецкий и др. 
Характеризуя  степень  разработанности  новых  подходов  можно  отме-
тить  следующее.  Существуют  уже  разработанные  системы  и  методики,  ис-
пользующие аппарат нечетких логик. Оболочки экспертных систем, поддер-
живающие  работу с  нечеткими  знаниями,  такие,  например,  как Gold Works, 
Guru, Flex и  т.д.  Созданы  первые  в  мире  электронные  таблицы Fuzzi Calc, 
способные  работать  с  нечеткими  данными.  Являются  предметом  промыш-
ленного использования и достаточно мощные средства разработки приложе-
ний, использующих аппарат нечетких логик, - это пакеты фирмы HyperLogic 
CubiCalc RTS и CubiCalc 2.0 для Windows. 
Уже  завоевали  признание  и  нейросетевые  технологии.  Практика  ис-
пользования  нейросетей  показала  их  эффективность  в  таких  областях,  как 
прогнозирование,  выявление  зависимостей,  ситуационное  управление.  Все 
это  применимо  и  на  финансовых  рынках.  Этот  инструментарий  позволяет 
выявлять и получать новые знания о динамике стоимости ценных бумаг, об 
изменениях показателей экономической активности и о колебаниях обменно-
го  курса  валют,  включая,  государственные  облигации.  На  базе  этих  знаний 
можно выявить взаимозависимости, существующие между этими характери-
стиками, что в свою очередь позволяет существенным образом повысить на-
дежность прогнозирования. 
Еще  один  подход,  находящий  все  большее  применение  при  анализе 
финансовых  рынков,  и,  особенно,  в  случае  наличия  в  них  быстротекущих 
процессов базируется на методах теории хаоса, или, в другой терминологии, 
нелинейной динамики. 
Применительно  к  области  финансов  на  основе  теории  хаоса  впервые 
был разработан принципиально новый подход к анализу рынка, отличный от 
"портфельной теории". Этот подход базируется на положении о том, что ры-
нок представляет собой сложную нелинейную систему с обратной связью, а 
характер  группового  взаимодействия  участников  рынка  порождает  хаотиче-
 
9

скую  динамику  цен  вследствие  спорадического  использования  инвесторами 
информационного  потока  и,  как  следствие,  возникновение  квазистохастиче-
ских временных интервалов их действия на рынках. 
В условиях резкого увеличения требований к масштабам и темпам раз-
вития науки и техники для получения эффективных прибылей на российском 
рынке (в частности на рынке ценных бумаг) становятся актуальными вопро-
сы планирования и принятия решений на основе прогнозирования. 
Исследования в этой области обусловлены необходимостью внедрения 
в  практику  работы  профессиональных  участников  рынка,  методов  научного 
управления, основанного на строгой формализации процедур принятия инве-
стиционных  решений,  и  необходимостью  использования  на  практике  новых 
инвестиционных  технологий.  Существенными  составными  частями  таких 
технологий, используемых в настоящей работе, являются клеточные автома-
ты,  фрактальный  анализ  и  фазовые  портреты,  позволяющие  в  явлениях,  на 
первый взгляд случайных, обнаружить порядок и некоторую структуру. Тот 
факт,  что  хаотические  модели  дают  хорошее  приближение  для  финансовых 
временных рядов, говорит о важности изучения поведения финансовых рын-
ков как нелинейных динамических систем и является дополнительным аргу-
ментом  в  пользу  применения  в  задачах  прогноза  различных  методов  нели-
нейной динамики. 
Цель и задачи исследования. Целью настоящей диссертационной рабо-
ты  является  исследование  потенциальной  прогнозируемости  временных  ря-
дов курсов акций на фондовой бирже России на базе новых инструментариев 
нелинейной динамики, в частности, фрактального анализа, теории клеточных 
автоматов и фазовых портретов. 
 
В соответствии с целью работы решались следующие задачи: 
-  анализ  и  оценка  принципиальной  возможности  использовать  некото-
рые  методы  нелинейной  динамики,  в  первую  очередь  фрактального 
анализа, фазового анализа и клеточных автоматов для предпрогнозного 
 
10

анализа и прогнозирования временных рядов котировки акций, для ко-
торых использование классических методов является проблематичным; 
-  оценка предпрогнозных характеристик временных рядов котировки ак-
ций  российских  компаний    «Сбербанк», «Ростелеком», «РАОЕЭС», 
«Сибнефть» и разработка методов предпрогнозного анализа этих рядов 
на базе их агрегирования с последующим использованием инструмен-
тария фрактального анализа; 
-  использование  и  адаптация  инструментария  фазового  анализа  для  по-
лучения предпрогнозных характеристик, выбор подходящего принципа 
агрегирования  и  его  применение  для  улучшения  предпрогнозных  ха-
рактеристик агрегированных временных рядов; 
-  использование  клеточно-автоматной  прогнозной  модели    для  прогно-
зирования временных рядов котировки акций и ее адаптация к специ-
фике поведения курсов акций российских компаний; 
-  использование комбинированного подхода к построению визуализации 
и  совместному  применению  результатов  фазового  анализа  и R/S- ана-
лиза  временных  рядов  с  целью  получения  дополнительной  информа-
ции для их прогнозирования. 
Объектом  исследования  является  фондовый  рынок  ценных  бумаг,  как 
один из главных финансовых элементов международной экономической сис-
темы. 
Предметом исследования являются временные ряды такого финансово-
экономического  показателя,  как  котировки  акций  российских  компаний  на 
протяжении переходного периода отечественной экономики. 
Методология и методы исследования. Теоретическую и методологиче-
скую базу исследования составляют научные труды современных российских 
и  зарубежных  ученых  по  методам  статистического  и  фрактального  анализа 
временных рядов, экономической синергетики, теории фазовых портретов и 
клеточных  автоматов,  а  также  работы,  посвященные  вопросам  моделирова-
 
11

ния, прогнозирования и содержательной экономической интерпретации про-
гнозных процессов и результатов. 
Информационную  базу  исследования  составили  аналитические  и  ста-
тистические материалы Госкомстата России, а также региональной власти и 
научно-практические публикации по финансово-экономическим вопросам. 
Диссертационная  работа  выполнена  в  соответствии  с  пунктом 1.8 
«Паспорта  специальности 08.00.13 – математические  и  инструментальные 
методы экономики»: «Математическое моделирование экономической конъ-
юнктуры,  деловой  активности,  определение  трендов,  циклов  и  тенденций 
развития».  
Научная  новизна.  Научная  новизна  диссертационного  исследования 
заключается в решении научной задачи – создание целостного теоретическо-
го, методологического и инструментального обеспечения для математическо-
го моделирования, анализа и прогнозирования экономических временных ря-
дов. Научную новизну содержат следующие положения: 
1.  Развита  методика  анализа  динамики  котировки  ценных  бумаг  с  ис-
пользованием  фрактального  анализа  экономических  временных  рядов  с  па-
мятью, адаптировано и апробировано на конкретных временных рядах мате-
матическое  обеспечение  реализации  на  персональной  ЭВМ  этого  анализа  с 
целью получения предпрогнозной информации, включая ее содержательную 
интерпретацию. 
2.  Разработан  и  апробирован  новый  метод  преобразования  временных 
рядов  макроэкономических  показателей  в  соответствующие  им  временные 
ряды методом агрегирования, что позволяет снять проблему размерности ис-
следуемого временного ряда и улучшить их предпрогнозные характеристики. 
3.  На  примере  временных  рядов  котировки  акций  известных  россий-
ских  компаний  таких  как  «Сбербанк», «Ростелеком», «РАО  ЕЭС», «Сиб-
нефть»  осуществлен  фрактальный  анализ  агрегированных  временных  рядов 
на  базе  алгоритма  нормированного  размаха  и  предложена  содержательная 
предпрогнозная их интерпретация. 
 
12

4. Осуществлено распространение и развитие фазового анализа для вы-
явления  предпрогнозной  характеристики  динамики  агрегированных  времен-
ных рядов котировки акций. 
5.  Адаптирована  и  реализована  клеточно-автоматная  прогнозная  мо-
дель на базе агрегированных временных рядов котировки акций.  
Практическая  значимость  полученных  результатов.  Практическая  зна-
чимость  работы  определяется  тем,  что  основные  положения,  выводы,  реко-
мендации, модели, методы и алгоритмы диссертации ориентированы на ши-
рокое  использование  организационно-экономического,  методического,  алго-
ритмического  обеспечения  и  инструментальных  средств  и  могут  быть  ис-
пользованы  финансовыми  учреждениями,  органами  регионального  управле-
ния,  разработчиками  информационно-аналитических  систем  для  поддержки 
принятия  управленческих  решений  на  различных  уровнях  социальной,  эко-
номической и административной деятельности. 
Предложенные  методы,  алгоритмы,  модели  и  программы  апробирова-
ны на реальных экономических временных рядах и оправдали себя. Их кор-
ректность и адекватность подтверждаются расчетами на конкретных данных 
котировки  акций  российских  компаний: «Сбербанк», «Ростелеком», «РАО 
ЕЭС» и «Сибнефть». 
Обоснованность  и  достоверность  научных  положений,  выводов  и  ре-
комендаций подтверждается применением: системного анализа, математиче-
ских  и  инструментальных  методов  экономики,  включая  статистику,  прогно-
стику  и  методы  агрегирования;  построением  информационных  моделей, 
включая  проверенные практикой методы экспертных систем; известных ме-
тодов теории нечетких множеств и теории клеточных автоматов; построени-
ем экономико-математических моделей, реализующих методы анализа и про-
гнозирования на базе современных информационных технологий; наглядной 
визуализацией  результатов  моделирования,  анализа  и  прогнозирования;  до-
кументальным характером использованных данных по объектам приложений 
разработанных моделей и методов. 
 
13

На защиту выносятся следующие основные положения: 
1.  Концепция  предпрогнозного  исследования  экономических  временных 
рядов  с  памятью,  реализуемая  на  базе  инструментария  фрактального 
анализа и теории нечетких множеств. 
2.  Адаптация  методов  предпрогнозного  анализа  временных  рядов  коти-
ровки акций на базе их агрегирования и методов фрактального анализа. 
3.  Предпрогнозный анализ временных рядов котировки акций на базе фа-
зовых портретов и агрегирования этих рядов. 
4.  Адаптация  известной  клеточно-автоматной  прогнозной  модели  для 
прогнозирования временных рядов котировки акций. 
5.  Комбинированный подход к построению, визуализации и совместному 
использованию  фазовых  портретов  и R/S- анализа  временных  рядов 
для получения дополнительной прогнозной информации. 
Апробация  и  внедрение  результатов  исследования.  Результаты  иссле-
дования и его положения докладывались и получили положительную оценку 
на  следующих  конференциях  и  симпозиумах,  проводимых  различными  ака-
демическими учреждениями и высшими учебными заведениями России: 
-  на VII Всероссийском  симпозиуме  «Математическое  моделирование 
и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2005); 
- на XIII Международной научно-практической конференции «Матема-
тика. Экономика. Образование» (Ростов-на-Дону, 2005); 
-  на VI Международной  научно-практической  конференции  «Матема-
тическое  моделирование  в  образовании,  науке  и  производстве» (Тирасполь, 
2005); 
-  на II Международной  конференции  «Нелокальные  краевые  задачи  и 
родственные  проблемы  математической  биологии,  информатики  и  физики» 
(Нальчик, 2001); 
-  на I Региональной  научно-практической  конференции  «Теория  и 
практика  экономических  реформ:  Проблемы  и  перспективы» (Черкесск, 
1998); 
 
14

- на II Региональной научно-практической конференции «Региональная 
экономика, управление и право» (Черкесск, 1999). 
Результаты исследования, отдельные положения и рекомендации полу-
чили принципиальное одобрение Министерства экономики КЧР. Отдельные 
рекомендации, вытекающие  из диссертации, приняты к внедрению в акцио-
нерном  коммерческом  банке  «Кавказ-Гелиос».  Разработанные  модели  фрак-
тального анализа и прогнозирования включены в лекционный материал дис-
циплины «Экономическая кибернетика» для студентов специальности «При-
кладная  математика»  Карачаево-Черкесской  государственной  технологиче-
ской академии. 
Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в 
10 печатных работах общим объемом 3,38 п.л., в которых автору в совокуп-
ности принадлежит 2,9 п.л. 
Объем и структура работы.  Диссертация состоит из введения, 4 глав, 
заключения, списка использованной литературы и приложений.  
Во  введении  обоснована  актуальность  темы  диссертационного  иссле-
дования,  сформулирована  цель  и  задачи  работы,  описана  структура  и  дан 
краткий обзор  работы, изложены основные научные результаты, выносимые 
на защиту. 
Основные  результаты,  полученные  в  ходе  исследований  можно  пред-
ставить в виде следующего перечня: 
1.  Проведен  анализ  основных  принципов  существующих  подходов  к 
прогнозированию  временных  рядов,  осуществлено  обоснование  факта  огра-
ниченной применимости классических методов прогнозирования для эконо-
мических временных рядов с памятью. 
2. Сформулирована и развита авторская концепция агрегирования эко-
номических  временных  рядов  для  получения  предпрогнозной  информации 
методами  нелинейной  динамики  и  теории  хаоса,  в  частности,  фрактального 
анализа временных рядов, базирующейся на выявлении таких фундаменталь-
ных характеристик, как глубина памяти, наличие свойства персистентности и 
 
15

наличия (или отсутствия) свойства трендоустойчивости. 
3.  Выполнен  предпрогнозный  анализ  временных  рядов  котировки  ак-
ций на базе фазовых портретов и агрегирования этих рядов, в результате чего 
выявлена эффективность использования процедуры агрегирования. 
4.  Осуществлена  адаптация  вычислительной  схемы  этапов  известной 
клеточно-автоматной  прогнозной  модели  для  прогнозирования  временных 
рядов котировки акций. 
5. Для получения дополнительной  прогнозной информации предложе-
но совместное использование R/S-анализа, клеточно-автоматной прогнозной 
модели и фазовых портретов.  
 
16

Глава 1  АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ПРИНЦИПОВ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТО-
ДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ 
 
1.1 Неопределенность котировки акций и проблема ее прогнозиро-
вания   
 
Теория эффективности рынка [78,97] утверждает, что в рыночной цене 
бумаг  верно  и  почти  без  задержки  отражается  вся  известная  информация  и 
все  ожидания  участников  рынка.  Согласно  этой  теории,  постоянно  обыгры-
вать  рынок  невозможно,  потому  что  поступление  новой  информации  носит 
случайный характер, а реакция рынка на нее почти мгновенна. Следователь-
но, в любой момент времени все бумаги оценены рынком совершенно точно. 
Поэтому,  как  гласит  теория,  бумаги  не  могут  быть  переоценены  или  недо-
оценены достаточно долго для того, чтобы можно было извлечь из этого при-
быль. 
Целью настоящей диссертационной работы является исследование по-
тенциальной прогнозируемости временных рядов курсов акций на фондовой 
бирже России на базе новых инструментариев нелинейной динамики, в част-
ности,  фрактального  анализа,  теории  клеточных  автоматов  и  фазовых  порт-
ретов. 
Технический анализ [91,140] почти целиком основан на анализе цены и 
объема. Приведем список полей, определяющих цену бумаг и объем торгов: 
цена  открытия (open) – цена  первой  сделки  данного  периода,  максимум 
(high) – наибольшая цена бумаги заданный период, минимум (low): наимень-
шая  цена  бумаги  за  данный  период,  цена  закрытия (close): последняя  цена 
бумаги за данный период, объем (volume) – количество акций (или контрак-
тов),  по  которым  были  заключены  сделки  за  данный  период  и  др.  Следует 
отметить, что взаимосвязь между ценами и объемом (например, рост цен на 
фоне возрастающего объема) имеет большое аналитическое значение. 
В настоящее время известно множество технических средств и методов  
для  преобразования  финансовых  данных  в  информацию,  используемую  в 
процессе принятия решений. Развитие математического аппарата происходи-
 
17

ло  параллельно  с  эволюцией  соответствующих  научных  дисциплин,  таких 
как  статистика,  исследование  операций  и    вычислительная  техника.  Любая 
компьютерная система статистических расчетов дает представление о разно-
образии  средств,  имеющихся  в  распоряжении  финансовых  аналитиков.  По-
добные программы делают современные вычислительные методы и сложные 
прогностические  модели    широкодоступными.  Но,  несмотря  на  растущую 
сложность  статистических  методов,  даже  простой  статистический  анализ  и 
построение  нескольких  графиков  уже  значительно  способствуют  процессу 
преобразования данных в полезную информацию, позволяя, по крайней мере, 
подготовить почву для более тщательного анализа.  
Недостатком статистических методов является то, что они не позволя-
ют сократить количество данных. Сокращение количества данных путем ка-
тегоризации или  группировки их сходных элементов называется кластериза-
цией данных. Группировка данных путем кластеризации является  наиболее  
универсальной,  поскольку  людям  свойственно  упорядочивать  информацию 
аналогичным образом. Одним из мотивов для использования  кластеризации  
является    стремление  автоматизировать  построение    категорий.  Кластерный 
анализ  можно  использовать  в  случаях,  когда  необходима  группировка  тех 
или  иных  образов    (изображений  предприятий  в  виде  наборов  финансово-
экономических  показателей),  о  взаимосвязях  между  которыми  заранее  не 
существует  ясного  представления.  С  помощью  кластерного  анализа  исход-
ные данные можно объединять в различные группы и подгруппы. Основные 
методы  кластеризации  можно  разделить  на  два  основных  типа:  иерархиче-
ские и неиерархические.  
Наиболее популярными методами являются такие многомерные стати-
стические методы, как дискриминантный анализ и логистическая регрессия. 
Общим в этих методах является то, что все они имеют целью получение не-
которой оценки, которую можно было бы легко интерпретировать как пока-
затель платежеспособности  компании. Разные компании могут обладать раз-
личной финансовой структурой и одновременно иметь при этом одинаковые  
 
18

значения  показателя  платежеспособности.  Поэтому  однозначно  определить 
финансовые  признаки, характеризующие компанию или стоящие перед ней 
проблемы,  на  основании  одного  только  показателя  платежеспособности 
нельзя. С математической точки зрения все методы визуального представле-
ния  сложных  многомерных  данных  призваны  снизить  их  размерность,  т.е. 
сжать  массивы  финансово-экономических  параметров  предприятий  с  мини-
мальной  потерей  информации.  Иными  словами,  нужно  определить    наи-
меньшее  число  переменных,  которые  являлись  бы  функциями    исходных 
данных,  с  целью  повышения  их  содержательности.  При  наличии  ограниче-
ния, согласно которому новые переменные должны представлять  собой  ли-
нейные комбинации старых, для решения подобной задачи часто использует-
ся  метод  главных  компонент [57],  реализуемый  с  помощью  компьютерных 
программ, при этом метод главных компонент  нельзя  рекомендовать в каче-
стве  приемлемого метода сжатия массивов финансово-экономических пара-
метров предприятий. Попытки точного описания модели стоимости пакетов 
ценных  бумаг  ведут  к  получению  системы  нелинейных  уравнений  большой 
размерности, в которых отдельные компоненты стоимости сложным образом 
зависят от большого числа переменных. 
Методы,  основанные  на  использовании  микроимитационных  моделей 
[141]  настолько  хорошо  применимы  к  решению  задач  прогнозирования  фи-
нансово-экономического  состояния    предприятий,  что  заслуживают  отдель-
ного рассмотрения. Микроимитационные  модели  относятся  к  группе ана-
литических    вычислительных  моделей,  которые    могут  оперировать    с    от-
четными  данными  по  предприятиям (данными микроуровня). Модели этого 
класса получили в последнее время широкое распространение в качестве ин-
струмента    анализа    возможных    последствий    решений    по  управлению 
предприятиями  или  компаниями.  Растущая  популярность  этих  моделей  на-
блюдается не только в развитых странах, но и во всем мире. В России микро-
имитационные  модели пока не получили широкого  распространения. В зна-
чительной  мере  это  объясняется  высокими  требованиями  микроимитацион-
 
19

ного моделирования к качеству и количеству исходных данных, которые для  
отечественных эмитентов  собрать достаточно сложно. Именно поэтому в на-
стоящее время для решения  задач прогнозирования следует отдать предпоч-
тение алгоритмам адаптивных нейронных сетей, менее критичным к качеству 
исходных  данных.  Однако  по  мере  того,  как  растет  информационная  про-
зрачность  эмитентов,  и  данные  о  предприятиях  становятся  более  доступны-
ми, а также по мере развития компьютеризации, эффективное использование 
подобных моделей в России может стать более реальной задачей. Для  подго-
товки  рекомендаций по  управлению  пакетом  акций  необходимо  знать  не  
только    то,  каких    дополнительных  поступлений  в  настоящем  можно  ожи-
дать в связи с принятием того или иного решения, но и то, каким образом это 
решение повлияет на динамику развития эмитента в будущем.  
Микроимитационная  модель  является    хорошим    средством    оценки  
ожидаемых  дивидендных  поступлений  и  динамики  развития  предприятия. 
Используя данные микроуровня, т.е. данные об экономическом субъекте, эти 
модели показывают, как скажется принятие того или иного управленческого  
решения  на  доходности ценных бумаг. При использовании  данных  моде-
лей  для прогнозирования  строится  экстраполяция  имеющихся данных  на  
будущее  и  рассчитывается  ожидаемая  доходность по этой новой выборке. 
Статические  модели  чаще  всего  используются  для  имитации возможных  
краткосрочных  последствий  конкретных управленческих  решений  в  виде  
увеличения  или  уменьшения денежных потоков. Динамические модели ис-
пользуются,  главным  образом,  для  имитации  долгосрочных последствий  
в    виде    изменения    финансово-экономического  положения  предприятия. 
Главное  различие между этими подходами  заключается в том, что статиче-
ские модели исходят из предположения, что поведение предприятия  (отно-
сительно сферы деятельности  и  качественных  экономических  параметров)  
в  результате  управленческих  решений  не  изменится.  Динамические  мик-
роимитационные  модели  отражают  реакцию  экономических  субъектов  на 
решения  акционеров, т.е. изменение финансовых параметров в ответ на из-
 
20

менение    структуры    распределения  прибыли.  Если    в  статическую  модель 
ввести предположения о том, как изменится поведение предприятия  в  ответ 
на  принятие    тех  или  иных  управленческих  решений,  модель  превратится  в 
динамическую.  
В стандартной  микроимитационной  модели  содержится три основные 
компоненты:   
-  база  данных  микроэкономического  уровня  данных  по  выборке    эко-
номических;  
-  программа  экономических  расчетов,  которая  может  быть  дополнена 
также блоком «поведенческих реакций» предприятий в ответ на решения ак-
ционеров; 
- программа представления результатов, которая формирует и выводит 
на экран или на печать итоговые таблицы.  
 
1.2  Анализ  и  классификация  традиционных  подходов  к  прогнози-
рованию временных рядов котировки акций  
В  последние  годы  в  эконометрической  литературе  большое  внимание 
уделяется исследованию временных рядов динамики экономических показа-
телей. В практике построения эконометрических моделей основное внимание 
уделяется  проблемам  идентификации  моделей,  отбору  эндогенных  и  экзо-
генных показателей, но почти не обращается внимания на формальный ана-
лиз структуры исходных статистических временных рядов. 
Предложенная  в [30] классификация  методов  прогнозирования  разби-
вает наиболее известные из этих методов на следующие  группы: 
1.  Методы,  основанные  на  построении  многофакторных  корреляцион-
но-регрессионных моделей. 
2. Методы авторегрессии, учитывающие взаимосвязь членов временно-
го ряда. 
 
21

3. Методы, основанные на  разложении временного ряда на компонен-
ты: тренд, сезонные колебания, циклическая компонента и случайная состав-
ляющая. 
4. Методы, позволяющие учесть неравнозначность исходных данных. 
5.  Методы  прямой  интерполяции,  использующие  разные  трендовые 
модели. 
К настоящему времени из перечисленных выше групп методов прогно-
зирования  наибольшее  распространение  и  применение  в  реальных  расчетах 
получили  методы  третьей  группы.  Чаще  всего  в  реальном  экономико-
математическом моделировании основное внимание уделяется анализу трен-
дов и сезонности. При этом построение прогнозной модели рассматриваемо-
го  ВР  реализуется  через  преобразование  его  в  базовую  модель  временного 
ряда. Точно так же каждый элемент, т.е. каждое число в этом базовой модели 
временного ряда получается путем перемножения пяти компонент:  
«Данные = тренд × сезонность × цикличность × регулярность× событийность». 
Содержательное  определение  этих  пяти  компонент  в  случае  экономи-
ческого прогнозирования состоит в следующем [39,124]: 
1.  Долгосрочный  тренд  (тенденция)  указывает  действительно  долго-
срочное поведение временного ряда, как правило, в виде прямой, или экспо-
ненциальной,  реже,  степенной  кривой.  Это  бывает  полезно  в  случае,  если 
требуется увидеть картину в целом. 
2. Точно повторяющаяся сезонная компонента определяет влияние вре-
мени года. Каждый период времени в течение года характеризуется своим се-
зонным индексом, который свидетельствует о том, насколько выше или ниже 
соответствующий показатель в данный период времени по сравнению с дру-
гими периодами. 
3.  Среднесрочная  циклическая  компонента  состоит  из  последователь-
ных повышений и понижений, которые не повторяются регулярно, например 
каждый год и поэтому исключаются из сезонной компоненты. Поскольку эти 
повышения и понижения чередуются, их нельзя считать достаточно случай-
 
22

ными и рассматривать как часть независимой случайной ошибки (нерегуляр-
ной  компоненты).  Циклическую  вариацию  особенно  трудно  прогнозировать 
за  пределами  ближайшего  будущего.  Тем  не  менее,  она  может  быть  очень 
важна,  поскольку  основные  явления  экономического  цикла  (такие,  как  эко-
номический  спад)  рассматриваются  как  часть  циклической  вариации  в  эко-
номических показателях. 
4.  Краткосрочная  нерегулярная  (случайная)  компонента  представляет 
остаточную  вариацию,  которую  невозможно  объяснить.  В  нем  проявляется 
действие тех однократных событий, которые происходят с течением времени 
случайно, а не систематически. Самое большое, что можно сделать с этой не-
регулярной компонентой, оценить ее величину, воспользовавшись, например, 
стандартным отклонением, определить, меняется ли она с течением времени, 
и признать, что даже в идеальных условиях прогноз не может быть точнее (в 
среднем), чем типичная величина нерегулярной вариации. 
5.  Событийная  компонента  или  кратко  «событийная  составляющая» 
(unusual events) имеет  место  в  динамике  таких  временных  рядов,  на  уровни 
которых каким-либо образом повлияло текущее событие глобального или ло-
кального характера.  
Эти пять базовых компонент временного ряда (тренд, сезонность, цик-
личность,  случайная  и  событийная  компоненты)  можно  оценивать  различ-
ными способами. Ниже приведен краткий обзор методов, которые базируют-
ся на скользящей средней. В основе этих методов [39,124] происходит деле-
ние элементов ряда на значения ординат скользящей средней (ее подробное 
определение см. в [122,131]) следующим образом. 
1. Скользящая средняя используемая для устранения сезонных эффек-
тов усреднения по всему году, а также для уменьшения нерегулярной компо-
ненты и получения комбинации тренда и циклической компоненты. 
2.  Деление  элементов  исходного  ряда  на  значения  соответствующих 
ординат сглаженного ряда скользящей средней, дающее «отношение к сколь-
зящей  средней»,  которое  представляет  нам  сезонные,  так  и  нерегулярные 
 
23

значения.  Выполняя  группирование  по  сезонным  периодам,  например,  по 
времени года, а затем усреднение в полученных группах, находим сезонный 
индекс для каждого времени года. Выполняя деление каждого значения ряда 
на  соответствующий  сезонный  индекс  для  соответствующего  времени  года, 
находим значения с сезонной поправкой. 
3.  Регрессия  ряда [77,114] с  сезонной  поправкой  ()  по  времени  (
служащая  для  оценивания  долгосрочного  тренда [74] в  виде  прямой  линии 
как функции от времени, т.е. эта переменная времени   может состоять из 
чисел 1,2,3,… . Этот  тренд  (тенденция)  не  отражает  сезонных  колебаний  и 
дает возможность получить прогноз с сезонной поправкой. 
4.  Прогнозирование,  выполняемое  с  учетом  сезонности  тренда.  Полу-
чая  из  уравнения  регрессии  прогнозируемые  значения  (тренд)  для  будущих 
периодов  времени  и  затем,  умножая  их  на  соответствующий  сезонный  ин-
декс,  можно  получать  прогнозы,  которые  отражают  как  долгосрочную  тен-
денцию, так и сезонное поведение.  
Анализ  публикаций,  посвященных  методам  и  моделям  прогнозирова-
ния, позволяет утверждать о существовании большого количества классифи-
кационных  схем  методов  прогнозирования [41,60,92,95,118]. Однако  боль-
шинство  из  них  или  неприемлемы,  или  обладают  недостаточной  познава-
тельной ценностью. Основной погрешностью существующих классификаци-
онных схем является нарушение принципов классификации. К числу основ-
ных  таких  принципов,  относятся:  достаточная  полнота  охвата  прогностиче-
ских  методов,  единство  классификационного  признака  на  каждом  уровне 
членения  при  многоуровневой  классификации,  непересекаемость  разделов 
классификации, открытость классификационной схемы, т.е. возможность до-
полнения новыми методами. 
Предлагаемая  в работе [118] многоуровневая классификация  методов 
прогнозирования  вполне  сохраняет  свою  адекватность  в  настоящее  время. 
Каждый уровень определяется своим классификационным признаком: степе-
нью  формализации,  общим  принципом  действия,  способом  получения  про-
 
24

гнозной информации.  
Согласно этой классификации  все методы прогнозирования по степени 
формализации  делятся  на  интуитивные  и  формализованные.  Интуитивное 
прогнозирование  применяется  тогда,  когда  объект  прогнозирования  либо 
слишком  прост,  либо  настолько  сложен,  что  аналитически  учесть  влияние 
многих факторов практически невозможно. В этих случаях прибегают к оп-
росу  экспертов.  Полученные  индивидуальные  и  коллективные  экспертные 
оценки используют как конечные прогнозы или в качестве исходных данных 
в комплексных системах прогнозирования.  
В  выборе  методов  прогнозирования,  важным  показателем  является 
глубина  упреждения  прогноза.  При  этом  необходимо  не  только  знать  абсо-
лютную величину этого показателя, но и отнести его к длительности эволю-
ционного цикла развития объекта прогнозирования.  
Формализованные  методы  прогнозирования  являются  действенными, 
если  величина  глубины  упреждения  укладывается  в  рамки  эволюционного 
цикла. При возникновении в рамках прогнозного периода «скачка» в разви-
тии объекта прогнозирования необходимо использовать интуитивные методы 
как для определения силы «скачка», так и для оценки времени его осуществ-
ления.  В  этом  случае  формализованные  методы  применяются  для  оценки 
эволюционных  участков  развития  до и  после  скачка.  Если  же  в  прогнозном 
периоде  укладывается  несколько  эволюционных  циклов  развития  объекта 
прогнозирования,  то  при  комплексировании  систем  прогнозирования  боль-
шее значение имеют интуитивные методы. 
В  зависимости  от  общих  принципов  действия  интуитивные  методы 
прогнозирования,  например,  можно  разделить  на  две  группы:  индивидуаль-
ные экспертные оценки и коллективные экспертные оценки. 
Методы  коллективных  экспертных  оценок  уже  можно  отнести  к  ком-
плексным  системам  прогнозирования  (обычно  неполным),  поскольку  в  по-
следних сочетаются методы индивидуальных экспертных оценок и статисти-
ческие  методы  обработки  этих  оценок.  Но  так  как  статистические  методы 
 
25

применяются  во  вспомогательных  процедурах  выработки  прогнозной  ин-
формации, на наш  взгляд, коллективные экспертные оценки целесообразнее 
отнести к сингулярным методам прогнозирования. 
В группу индивидуальных экспертных оценок можно включить (прин-
цип классификации - способ получения прогнозной информации) следующие 
методы: метод «интервью», аналитические докладные записки, метод  сцена-
риев. В группу коллективных экспертных оценок входят анкетирование, ме-
тоды «комиссий», «мозговых атак» (коллективной генерации идей). 
Класс  формализованных  методов  в  зависимости  от  общих  принципов 
действия  можно  разделить  на  группы  экстраполяционных,  системно-
структурных, ассоциативных методов и методов опережающей информации. 
В группу методов прогнозной экстраполяции можно включить методы 
наименьших  квадратов,  экспоненциального  сглаживания,  вероятностного 
моделирования и адаптивного сглаживания. К группе системно-структурных 
методов – можно отнести методы функционально-иерархического моделиро-
вания,  морфологического  анализа,  матричный,  сетевого  моделирования, 
структурной аналогии.  
Ассоциативные  методы  можно  разделить  на  методы  имитационного 
моделирования  и  историко-логического  анализа.  В  группу  методов  опере-
жающей  информации – включаются  методы  анализа  потоков  публикаций, 
оценки значимости изобретений и анализа патентной информации. 
Представленный  перечень  методов  и  их  групп  не  является  исчерпы-
вающим. Нижние уровни классификации, открыты для внесения новых эле-
ментов,  которые  могут  появиться  в  процессе  дальнейшего  развития  инстру-
ментария прогностики [118,135]. 
В литературе, посвященной моделям прогнозирования, содержится ут-
верждение  о  существовании  двух  параллельных  направлений  в  этой  теории 
[8,10,143,145].  Объекты  первого  из  этих  направлений  имеют  социально-
экономическое содержание. Объектами второго направления являются слож-
 
26

ные системы техногенного происхождения из различных областей жизнедея-
тельности. 
Авторы  книги [52] известные  методы  прогнозирования  технического 
состояния рассматривают в составе следующих 5 основных групп: 
1)  эвристические методы прогнозирования; 
2)  математические методы прогнозирования; 
3)  математические методы пространственной экстраполяции; 
4)  методы моделирования процессов развития; 
5)  логические и структурные методы искусственного интеллекта (ИИ). 
Математические  методы  временной  экстраполяции  можно  условно 
разделить на три группы: 
- методы аналитического прогнозирования; 
- методы вероятностного прогнозирования; 
- методы статистической классификации. 
К  числу  методов  аналитического  прогнозирования  многомерных  про-
цессов относится градиентный метод, в рамках которого функция состояния 
экстраполируется в направлении вектора функции состояния [119]. Сущест-
вует ряд методов аналитического прогнозирования, учитывающих производ-
ные  изменений  функции  состояния.  К  числу  таких  методов  относят  опера-
торный метод, метод суммирования производных и т.д.  
Необходимость  вероятностного  прогнозирования  многомерных  про-
цессов  определяется  сильным  влиянием  внешних  и  внутренних  факторов, 
имеющих  случайный  характер.  Преобладание  случайной  составляющей  при 
измерениях  приводит  к  большим  случайным  изменениям  функций  состоя-
ний. К методам вероятностного прогнозирования относится метод статисти-
ческого градиента. При этом закономерность движения функции состояния к 
допустимым границам оценивается статистически. 
К методам вероятностного прогнозирования относится метод гипотез и 
фильтрации. Он состоит в том, что вводится гипотеза о том или ином пове-
 
27

дении функции состояния, а затем все результаты контроля и прогнозирова-
ния, не удовлетворяющие принятой гипотезе, отфильтровываются. 
Наиболее  часто  для  получения  непрерывного  прогноза  используются 
оптимальные  фильтры:  фильтр  Винера-Хопфа  для  прогнозирования  стацио-
нарных процессов и фильтр Калмана для нестационарных процессов [118]. 
К  методам  статистической  классификации  относится  метод  канониче-
ского  разложения  процесса.  Он  по  своему  принципу  является  промежуточ-
ным  между  методом  наименьших  квадратов  (регрессией)  и  использованием 
прогнозирующих фильтров. Основными недостатками данного метода явля-
ются  невозможность  учета  скачков  и  необходимость  в  представительном 
объеме априорных статистических оценок. 
К общим недостаткам большинства вероятностных методов прогнози-
рования многомерных процессов можно отнести: 
1)  необходимость  наличия  представительного  объема  статистических 
данных о процессах изменения параметров; 
2) невозможность учета скачков на участке прогнозирования; 
3)  невозможность  обойтись  без  математического  описания  процессов 
изменения параметров. 
Методы моделирования процессов развития, т.е. физическое моделиро-
вание  позволяет  воспроизводить  функционирование  только  отдельных  эле-
ментов и подсистем объекта с сохранением его физической природы. Имити-
руя предполагаемые воздействия на эти элементы, можно прогнозировать их 
ТС в интересующих условиях. Данный метод позволяет получить любую не-
достающую информацию для построения прогнозной модели, однако в ряде 
случаев  физическое  моделирование  невыполнимо.  Как  правило,  выделяют 
три метода моделирования: физическое, математическое и имитационное.  
При  анализе  временных  рядов  с  выраженным  трендом  в  течение  до-
вольно длительного времени было принято производить оценивание и выде-
ление  детерминированного  тренда,  после  чего  производить  подбор  динами-
ческой  модели  (например, ARMA – auto regression moving overage) к  ряду, 
 
28

"очищенному от тренда", т.е. к ряду остатков от соответствующей оцененной 
регрессионной  модели.  После  введения  Боксом  и  Дженкинсом [114,124] в 
обиход моделей ARIMA стало возможным приведение рядов к стационарно-
му виду с выраженным трендом и медленным убыванием (оцененной) авто-
корреляционной функции путем перехода к рядам первых или вторых разно-
стей.  Однако,  как  показали  дальнейшие  исследования,  произвольный  выбор 
одного из этих двух способов приведение ряда к стационарному вовсе не так 
безобиден, как это казалось поначалу. 
Прогнозирование  на  базе ARIMA-моделей. ARIMA-модели  охватыва-
ют достаточно широкий спектр временных рядов, а небольшие модификации 
этих моделей позволяют весьма точно описывать и временные ряды с сезон-
ностью. Начнем исследование проблемы прогнозирования временных рядов 
с  методов,  основанных  на  использовании ARIMA-моделей.  Говоря  об 
ARIMA-моделях, будем иметь в виду, что сюда входят частные случаи AR-, 
МА- и ARMA-модели. Кроме того, будем исходить из того, что уже осущест-
влен  подбор  подходящей  модели  для  анализируемого  временного  ряда, 
включая идентификацию этой модели. Поэтому в дальнейшем предполагает-
ся, что все параметры модели уже оценены. 
Будем  прогнозировать  неизвестное  значение  ≥ 1  полагая,  что  – 
1
+
t
последнее  по  времени  наблюдение  анализируемого  временного  ряда,  имею-
щееся в нашем распоряжении и обозначим его через  l
. Заметим, что хотя  l
 
t
t
и  1+
  обозначают  прогноз  одного  и  того  же  неизвестного  значения  ,  но 
1

1
+
вычисляются они по-разному, т.к. являются решениями разных задач. 
Ряд  τ,  анализируемый  в  рамках ARIMA (p,k,q)-модели,  представим 
(при любом τ > ) в виде 
(
k
1− α − ... −
p
α L
C x
δ
θ δ
... θ δ

(1.1) 
1
p
)⋅∑(− )k j = −
− −
k
τ −1
τ
1 τ −1
τ −q
j=0
где    - оператор сдвига функции времени на один временной такт назад. 
Из 
соотношения (1.1) можно 
выразить 
τ
 
для 
любого  
τ = − q,...,− ,
+ ,...,
1
+1. Получаем 
 
29

⎛ p


p

(1.2) 
j
j
⎛ k
j
i
⎞ ⎛
q

= ∑α L x + 1−
L
C x
1
L

j
∑α
⋅ ⎜
j
∑ −
j
k
− ⎟ +

i
∑θ
δ
τ
τ
( )
τ
j
τ












⎝ j=1


j=1
⎠ ⎝ i=0
⎠ ⎝
j=1

Правые части этих соотношений представляют собой линейные комби-
нации  из    предшествующих  (по  отношению  к  левой  части)  значений 
анализируемого  процесса  τ,  дополненные  линейными  комбинациями  теку-
щего и   предшествующих значений случайных остатков  δ . Причем коэф-
τ
фициенты, с помощью которых эти линейные комбинации подсчитываются, 
известны, т.к. выражаются в терминах уже оцененных параметров модели. 
Этот факт и дает возможность использовать соотношения (1.2) для по-
строения прогнозных значений анализируемого временного ряда на   тактов 
времени  вперед.  Теоретическую  базу  такого  подхода  к  прогнозированию 
обеспечивает известный результат, в соответствии с которым наилучшим (в 
смысле  среднеквадратической  ошибки)  линейным  прогнозом  в  момент  вре-
мени    с  упреждением    является  условное  математическое  ожидание  слу-
чайной величины  xt+, вычисленное при условии, что все значения  τ
 до мо-
мента  времени  .  Этот  результат  является  частным  случаем  общей  теории 
прогнозирования [60,92,114,124]. 
Таким  образом,  определяется  следующая  процедура  построения  про-
гноза по известной до момента траектории временного ряда: 
1)  по  формулам (1.2) вычисляются  ретроспективные  прогнозы 
l
l
l
x
,...,  по предыдущим значениям временного ряда; 
tql
tq
1

2)  используя формулы (1.2) для  τ > , подсчитываются условные матема-
тические ожидания для вычисления прогнозных значений. 
Описанная  процедура  выглядит  достаточно  сложной.  Однако,  как  мы 
покажем ниже, при реалистичных значениях параметров  p, и   эта проце-
дура в действительности оказывается весьма простой. 
Метод  экспоненциального  сглаживания.  Весьма  эффективным  и  на-
дежным  методом  прогнозирования  является  экспоненциальное  сглаживание 
[118,124]. Основные достоинства метода состоят в возможности учета весов 
 
30

исходной  информации,  в  простоте  вычислительных  операций,  в  гибкости 
описания различных динамик процессов. Метод экспоненциального сглажи-
вания дает возможность получить оценку параметров тренда, характеризую-
щих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту по-
следнего  наблюдения.  После  появления  работ  Р.Брауна [118] наибольшее 
применение  метод  нашел  для  реализации  краткосрочных  и  среднесрочных 
прогнозов.  Для  метода  экспоненциального  сглаживания  основным  и  наибо-
лее трудным моментом является выбор параметра сглаживания а, начальных 
условий и степени прогнозирующего полинома [59,60,71,92].  
Пусть исходный динамический ряд описывается функцией 
a
a
    (1.3) 
2
2
p
p
a t +
+ ... +
+ ε . 
1
0
1
t
2
p!
Метод  экспоненциального  сглаживания,  являющийся  обобщением  ме-
тода  скользящего  среднего,  позволяет  построить  такое  описание  процесса 
(1.3), при котором более поздним наблюдениям придаются большие веса по 
сравнению  с  ранними  наблюдениями,  причем  веса  наблюдений  убывают  по 
экспоненте. Выражение 
[k]
n
S
1
= α ∑ 1

−α
 
 
t
(y)
(
)[]
St 1− (y)
i=0
называется экспоненциальной средней  -гo порядка для ряда  , где  α  - па-
t
раметр сглаживания. 
В расчетах для определения экспоненциальной средней пользуются ре-
куррентной формулой [71,119] 
[k]
S
1

= α
+ 1−α

 
t
(y)
[]
St (y) (
) [k]
St 1−(y)
Как было отмечено, важную роль в методе экспоненциального сглажи-
вания играет выбор оптимального параметра сглаживания α , так как именно 
он определяет оценки коэффициентов модели, а следовательно, и результаты 
прогноза. Выбор параметра  α  целесообразно связывать с точностью прогно-
за, поэтому для более обоснованного выбора  α  можно использовать проце-
 
31

дуру  обобщенного  сглаживания,  которая  позволяет  получить  соотношения, 
связывающие дисперсию прогноза и параметр сглаживания [118,124]. 
Весьма  существенным  для  практического  использования  является  во-
прос  о  выборе  порядка  прогнозирующего  полинома,  что  во  многом  опреде-
ляет  качество прогноза. В работах [118,124] показано,  что превышение вто-
рого  порядка  модели  не  приводит  к  существенному  увеличению  точности 
прогноза, но значительно усложняет процедуру расчета. 
Отметим,  что  данный  метод  является  одним  из  наиболее  надежных  и 
широко применяется в практике прогнозирования. Учитывая, что метод экс-
поненциального  сглаживания  является  обобщением  метода  наименьших 
квадратов, можно надеяться, что он будет совершенствоваться и дальше как в 
теоретическом,  так  и  в  прикладном  аспекте.  Одно  из  наиболее  перспектив-
ных направлений развития данного метода представляет собой метод разно-
стного прогнозирования, в котором само экспоненциальное сглаживание рас-
сматривается как частный случай [118,124]. Главный недостаток этого мето-
да состоит в том, что он рассматривает временные ряды изолировано от дру-
гих  явлений.  Кроме  того,  точность  прогноза  заметно  падает  при  долгосроч-
ном прогнозировании [118]. 
Как отмечено ранее, узким местом всех адаптивных методов, и методов 
экспоненциального сглаживания в частности, является подбор подходящего к 
данной конкретной задаче параметра сглаживания (адаптации)  α . Даже при 
оптимальном подборе параметра модель Брауна уступает в точности прогно-
за ARIMA (0,1,1)-модели.  
Особо отметим, что в 70-е годы привлекали внимание специалистов в 
области  прогнозирования  методы  теории  распознавания  образов  и  методы 
группового учета аргументов [92,118,124]. Однако в дальнейшем эти подхо-
ды не получили широкого распространения. 
Одной из важнейших проблем, возникающих при  получении конкрет-
ных  прогнозов,  является  оценка  исходной  информации.  При  прогнозирова-
нии  развития  сложной  системы  возникает  ситуация,  когда  поведение  систе-
 
32


мы может быть описано с помощью многих различных показателей. Реализа-
ция прогнозов по всей совокупности этих показателей приводит к необходи-
мости  учитывать  и  взаимосвязи  между  ними,  что  подчас  бывает  весьма  за-
труднительно.  Ситуация  облегчается,  когда  для  реализации  прогнозов  ис-
пользуется аппарат распознавания образов и прогнозируются возможные ва-
рианты развития сложной системы. В этой связи важной является проблема 
прогнозного анализа, в рамках которой решается задача определения качест-
ва исходной информации, т. е. рассматриваемых показателей, для возможно-
го описания исследуемой системы. 
Параллельно  фундаментальному  анализу  в  настоящее  время  развитие 
получил  технический  анализ – метод  изучения  цен,  главным  инструментом 
которого  служат  графики.  Своими  корнями  современный  технический  ана-
лиз  уходит  в  начало  века,  в  теорию  Чарльза  Доу.  Проистекая  из  нее  прямо 
или  косвенно,  он  вобрал  в  себя  такие  принципы  и  понятия,  как  направлен-
ный  характер  движения  цен, «цены  учитывают  всю  известную  информа-
цию», подтверждение и расхождение, объем как зеркало ценовых изменений 
и поддержка/сопротивление.  
Технический анализ [91,140] состоит в изучении прошлых цен с целью 
определения  вероятного  направления  их  развития  в  будущем.  Текущая  ди-
намика цен (т.е. текущие ожидания) сравнивается с сопоставимой динамикой 
цен  в  прошлом,  посредством  чего  достигается  более  или  менее  реалистич-
ный прогноз.  
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1.1 - График курса акций компании Merck 
 
 
33

На  рисунке 1.1 представлена  явно  нисходящая  тенденция,  без  призна-
ков  разворота.  Хотя  компания,  возможно,  имеет  перспективы  высокой  при-
были  и  хорошие  фундаментальные  показатели,  покупать  ее  ценные  бумаги 
нет  смысла,  пока  какие-либо  технические  признаки  в  динамике  цен  не  ука-
жут на изменение тенденции. 
Независимо от того, какому типу анализа отдает предпочтение трейдер 
[75,95] – фундаментальному  или  техническому,  при  составлении  рыночных 
прогнозов он обращается к понятию "линия тренда" (trendline). Понятие "ли-
ния тренда" зачастую трактуется неоднозначно и непоследовательно. Однако 
следует помнить, что из множества возможных линий тренда истинной явля-
ется  только  одна.  Разработана  эффективная  методика  выбора  двух  критиче-
ских  точек,  необходимых  для  построения  истинной  линии  тренда [75]. Гра-
фический анализ линий тренда утратил былую субъективность и превратился 
в  чисто  механическую  процедуру.  Появились  четкие  критерии  истинности 
прорывов  линии  тренда  и  возможность  легко  рассчитывать  ценовые  ориен-
тиры, что само по себе достаточно для создания полноценных торговых сис-
тем.  Ценовые  разрывы  и  значительные  изменения  цен  в  течение  торговой 
сессии  приобрели  значимость,  о  которой  раньше  приходилось  только  меч-
тать.  На  рисунках 1.2 и 1.3 представлены 2 линии  тренда:  предложение – 
нисходящей линией, спрос – восходящей. 
 
Рисунок 1.2 – График линии тренда (нисходящая) 
 
Можно  обратить  внимание,  что  на  рисунке 1.2 постепенное  снижение 
цен отражено нисходящей линией "предложения"; ценовые пики и впадины 
также последовательно снижаются. 
 
34

 
Рисунок 1.3 – График линии тренда (восходящая) 
На рисунке 1.3 постепенное повышение цен отражено восходящей ли-
нией "спроса"; ценовые пики и впадины также последовательно повышаются. 
Сложность заключается в выборе особых точек, через которые проходят эти 
прямые линии (см. рисунок 1.3). Как правило, аналитик привносит изрядную 
долю субъективизма в построение линий тренда. Так, движение цен на рынке 
принято рассматривать в ретроспективе – от прошлого к будущему, поэтому 
и  даты  на  графике  перечисляются  слева  направо.  Соответственно  линии 
спроса  и  предложения  строятся  и  располагаются  на  графике  слева  направо. 
Интуиция подсказывает, что это неверно. Движение цен в настоящий момент 
гораздо важнее, чем движение рынка в прошлом. Иными словами, стандарт-
ные линии тренда должны вычерчиваться справа налево так, чтобы в правой 
части графика были самые последние данные о состоянии рынка. Поначалу 
это может показаться необычным, но мой собственный опыт и обширные на-
блюдения подтверждают целесообразность такого подхода. Не стоит жертво-
вать  точностью  и  логикой  во  имя  простоты.  Общепринятая  процедура  по-
строения  множества  линий  тренда,  из  которых  одна  милостиво  полагается 
верной,  также  грешит  неточностью  и  полным  невниманием  к  мелким  дета-
лям.  Между  тем  успешное  применение  линий  тренда  требует  от  аналитика 
повышенной внимательности и последовательности. 
 
35

 
Рисунок 1.4 – График линии тренда  
 
На  рисунке 1.4 представлена  тенденция  в  развитии  цен  можно  графи-
чески представить различными прямыми линиями. Главным моментом явля-
ется выбор из множества точек двух ключевых. Именно через них проходит 
истинная линия тренда. 
Нами рассмотрены и проанализированы некоторые методы и алгорит-
мы прогнозирования, имеющие четкую математическую формализацию и по-
зволяющие  нам  работать  с  временными  рядами.  Отметим,  что  на  практике, 
кроме  рассмотренных  методов,  для  прогнозирования  широко  используются 
методы  экспертных  оценок,  теория  межотраслевого  баланса,  методы,  осно-
ванные  на  теории  игр,  вариационного  исчисления,  спектрального  анализа  и 
др. [109,110,104,105,106,107,108,111,112].  
Следует  отметить,  что  наиболее  общие  классические  методы,  исполь-
зуемые в мире для анализа и прогнозирования финансового состояния пред-
приятий,  связаны  с  применением  эконометрических  моделей,  за  каждой  пе-
ременной которых стоит определенный статистический индикатор, с той или 
иной точностью измеряющий какую-то сторону хозяйственной деятельности 
исследуемого  объекта.  В  ряде  случаев  они  позволяют  выявить  конкретные 
количественные  взаимосвязи  экономических  процессов,  протекающих  на 
предприятиях-эмитентах,  с  индикативными  показателями,  доступными  для 
инвесторов. Однако в современных российских условиях использование раз-
работанных  на  основе  западной  практики  моделей  по  очевидным  причинам 
 
36

затруднено. Отечественная эконометрика пока не создала широко известных 
моделей,  о  достоинствах  и  недостатках  которых  можно  было  бы  судить  с 
учетом опыта их использования [34].  
Обзор  литературы  позволил  выявить  ряд  недостатков  существующих 
методов прогнозирования и задач, которые необходимо решить в данной об-
ласти. 
Недостатками  метода  наименьших  квадратов  является  использование 
процедуры оценки предполагающей обязательное удовлетворение целого ря-
да  предпосылок,  невыполнение  которых  может  привести  к  значительным 
ошибкам:  
1) случайные ошибки имеют нулевую среднюю, конечные дисперсии и 
ковариации;  
2)  каждое  измерение  случайной  ошибки  характеризуется  нулевым 
средним, не зависящим от значений наблюдаемых переменных;  
3) дисперсии каждой случайной ошибки одинаковы, их величины неза-
висимы от значений наблюдаемых переменных (гомоскедастичность);  
4) отсутствие автокорреляции ошибок, т.е. значения ошибок различных 
наблюдений независимы друг от друга;  
5)  нормальность,  т.е.  случайные  ошибки  имеют  нормальное  распреде-
ление;  
6) значения эндогенной переменной   свободны от ошибок измерения 
и имеют конечные средние значения и дисперсии. 
Выбор модели в каждом конкретном случае осуществляется по целому 
ряду  статистических  критериев,  например  по  дисперсии,  корреляционному 
отношению  и  др.  Классический  метод  наименьших  квадратов  предполагает 
равноценность исходной информации в модели. В реальной же практике бу-
дущее  поведение  процесса  значительно  в  большей  степени  определяется 
поздними наблюдениями, чем ранними. Это обстоятельство породило так на-
зываемое дисконтирование, т. е. уменьшение ценности более ранней инфор-
мации. 
 
37

Важным  моментом  получения  прогноза  с  помощью  метода  наимень-
ших  квадратов  является  оценка  достоверности  полученного  результата.  Для 
этой цели используется целый ряд статистических характеристик:  
-  оценка стандартной ошибки; 
-  средняя относительная ошибка оценки;  
-  среднее линейное отклонение; 
-  корреляционное отношение для оценки надежности модели; 
-  оценка достоверности выбранной модели через значимость индекса 
корреляции по Z-критерию Фишера;  
-  оценка достоверности модели по F-критерий Фишера; 
-  проверка на наличие автокорреляций по критерию Дарбина - Уотсо-
на. 
Недостатки метода наименьших квадратов обусловлены жесткой фик-
сацией тренда и надежный прогноз при этом можно получить на небольшой 
период упреждения. Здесь речь идет об ограниченных возможностях методов 
математической  статистики,  теории  распознавания  образов,  теории  случай-
ных процессов и т.п., так как многие реальные процессы не могут адекватно 
быть описаны с помощью традиционных статистических моделей, поскольку 
являются  существенно  нелинейными  и  имеют  либо  хаотическую,  либо  ква-
зипериодическую, либо смешанную основу. 
Одним из методов прогнозирования, применяемых к стационарным ВР 
является  метод  экспоненциального  сглаживания.  Для  него  основным  и  наи-
более трудным моментом является выбор параметра сглаживания  а , началь-
ных условий и степени прогнозирующего полинома. Кроме того, для опреде-
ления  начальных  параметров  модели  остаются  актуальными  перечисленные 
недостатки метода наименьших квадратов и проблема автокорреляций. 
В  процессе  прогнозирования  имеет  место  использование  вероятност-
ных  моделей.  Недостатком  этих  моделей  является  требование  большого  ко-
личества наблюдений и незнание начального распределения, что может при-
вести к неправильным оценкам. 
 
38

Недостатком метода адаптивного сглаживания является то, что только 
при  очень  длинных  рядах  можно  получить  надежный  прогноз  на  интервал 
больший,  чем  при  обычном  экспоненциальном  сглаживании.  К  сожалению, 
для данного метода нет строгой процедуры оценки необходимой или доста-
точной  длины  исходной  информации,  для  конечных  рядов  нет  конкретных 
условий оценки точности прогноза. Поэтому для конечных рядов существует 
риск получить весьма приблизительный прогноз, тем более что в большинст-
ве случаев в реальной практике встречаются ряды, содержащие не более 20-
30 точек. 
Проблемы  с  методом  Бокса - Дженкинса  (модели  авторегрессии - 
скользящего среднего) связаны, прежде всего, с неоднородностью временных 
рядов и практической реализации метода из-за своей сложности. 
В целом результаты применения традиционных технологий оценки и прогно-
зирования  финансового  состояния  компаний,  а  также  реальной  стоимости 
пакетов их ценных бумаг (акции, облигации), которые свободно продаются и 
покупаются на фондовом рынке, можно назвать ограниченными. Ограничен-
ность этих методов состоит в их зависимости от исходных условий и отсут-
ствии  гибкости.  Жесткие  статистические  предположения  о  свойствах  вре-
менных рядов ограничивают возможности методов математической статисти-
ки, теории распознавания образов, теории случайных процессов и т.п. Они не 
способны учитывать то, что относительная значимость отдельных показате-
лей финансовой отчетности и определяющих их факторов на практике меня-
ются со временем, подчас очень резко и непредсказуемо. Кроме этого тради-
ционные  подходы  характеризуются  ограниченной  информативностью,  так 
как  предназначены  для  описания  качественных  факторов  или  закономерно-
стей  в  количественных  терминах.  Таким  образом,  на  смену  традиционным 
технологиям должны прийти новые подходы, более эффективные в условиях 
структурной нестабильности российской экономики [34]. 
В  последнее  время  все  большее  внимание  уделяется  исследованию  и 
прогнозированию  финансовых  временных  рядов  с  использованием  теории 
 
39

динамических  систем,  теории  хаоса.  Это  достаточно  новая  область,  которая 
представляет собой популярный и активно развивающийся раздел математи-
ческих методов экономики [33,39,113,114,118,119,122,123]. 
В силу вышеперечисленных недостатков существующих методов про-
гнозирования  возникает  необходимость  разработки  эффективных  методов 
анализа  экспериментальных  данных  и  подходов  к  вычислению  стохастиче-
ских характеристик сигналов в нелинейных динамических системах, а также 
в разработке усовершенствованной методики, алгоритмов анализа и прогно-
зирования временных рядов фондовых показателей. 
 
1.3 Современные подходы к прогнозированию котировки акций 
методами нелинейной динамики 
 
Многие  реальные  процессы,  в  том  числе  и  показатели  рынка  ценных 
бумаг, не могут адекватно быть описаны с помощью традиционных статисти-
ческих  моделей,  т.к.  по  сути  являются  существенно  нелинейными  и  имеют 
либо  хаотическую,  либо  квазипериодическую,  либо  смешанную  (стохастика 
+ хаос-динамика+детерминизм) основу [122]. В данной ситуации адекватным 
аппаратом для решения задач анализа и прогнозирования рынка ценных бу-
маг могут служить специальные искусственные сети, реализующиеся на базе 
искусственного  интеллекта.  Программно-математической  основой  этих  ме-
тодов 
являются 
самоорганизующиеся 
нейронные 
сети 
(НС) 
[3,18,42,51,54,120,125].  
Нейронная сеть - это совокупность нейронных элементов и связей ме-
жду  ними.  Основной  элемент  нейронной  сети – это  формальный  нейрон, 
осуществляющий операцию нелинейного преобразования суммы произведе-
n
ний  входных  сигналов  на  весовые  коэффициенты 


F⎜∑ ⋅ ⎟ ⋅ F
,  где 
i
i
(WX )
⎝ i=1

= (,..., x
  вектор  входного  сигнала;  = (,...,   весовой  вектор; 
1
2
)
1
2
)T
n
 оператор нелинейного преобразования. 
 
40

В  настоящее  время  методы  искусственных  сетей  уже  доказали  свою 
высокую  эффективность  в  области  экономики  и  финансов.  Искусственные 
нейронные  сети  являются  аппаратом  из  области  нейрокомпьютинга (neural 
computing)  быстро развивающейся  в  последнее  время  области  вычислитель-
ных  технологий,  стимулированной  исследованиями  мозга.  Вычислительные 
операции в таких сетях выполняются большим числом сравнительно простых 
процессорных элементов (processing element). Структура сети (network) тож-
дественна математически определенной структуре вычислительной системы, 
в которой все операции выполняются в определенных узлах, а поток инфор-
мации  отображается  направленными  ребрами  графа.  Каждый  узел  (нейрон) 
сети  представлен  процессорным  элементом,  нейроноподобной  ячейкой,  ко-
торая  совместно  со  многими  другими  процессорными  элементами  образует 
нейронную вычислительную сеть. Аналогом такого узла в физиологической 
нервной системе является нервная клетка мозга [34].  
В  общем  случае  искусственная  нейронная  сеть  представляет  собой 
адаптивную  нелинейную  динамическую  систему.  Посредством  равновесных 
состояний  такой  сети  можно  решать  математические  или  вычислительные 
задачи.  Нейронные  сети  представляют  собой  совокупность  математических 
методов, которые могут быть использованы для обработки информации, про-
гнозирования и кластеризации. Существует два класса нейронных сетей: 
- сети, обучаемые с учителем; 
- сети, обучаемые без учителя. 
Нейронные сети, обучаемые с учителем, представляют собой средства 
для извлечения из набора данных информации о взаимосвязях между входа-
ми и выходами нейросети. Эти взаимосвязи могут быть переведены в мате-
матические    уравнения,  которые  можно  использовать  для  прогнозирования 
или выработки управленческих решений. «Учителем» в данном случае явля-
ется набор параметров, который исследователь помещает на выходе сети. На 
вход сети при этом подается соответствующий данному выходу входной на-
 
41

бор  данных.  Сеть  обучается  устанавливать  взаимоотношения  между  исход-
ной информацией и результатами адаптивного итерационного процесса [34].  
Алгоритм работы сети, обучаемые без учителя, основывается на сорев-
новательном  обучении.  Алгоритм  предполагает  такое  поведение  нейронов 
сети, что при каждой подаче очередного набора данных на вход они как бы 
«соревнуются»  друг  с  другом  на  наилучшее  соответствие  входному  набору 
по  выбранным  критериям.  В  результате  соревнования  определяется  нейрон 
победитель, после чего структура сети подвергается коррекции. Класс само-
организующихся  нейронных  сетей,  обучаемых  без  учителя,  обозначается 
термином адаптивные нейронные сети (АНС). Важным достоинством метода 
АНС  является  то,  что  он  представляет  собой  численный,  а  не  символьный 
метод обработки данных. Одной из уникальных особенностей АНС является 
то,  что  она  предоставляет  внутренне  присущие  ей  точные  и  простые  меха-
низмы для разделения вычислительной задачи на субъединицы, что позволя-
ет проводить вычисления с высокой степенью параллельности. Обучение без 
учителя  дает  возможность  обнаруживать  во  входных  наборах  данных  неиз-
вестные  ранее  структуры  или  закономерности,  что  отражает  способность 
АНС к обобщению (generalization) на основе входных примеров. Это свойст-
во  позволяют  обобщать  большие  наборы  многомерных  данных,  которыми 
являются  финансово-экономические  показатели  предприятий,  выявлять  и 
демонстрировать содержащиеся в них структуры, а также обнаруживать но-
вые образы и взаимосвязи в таких наборах данных.  
В сущности, все нейронные сети являются мощным инструментом про-
гнозирования.  Заложенные  в  них  генетические  алгоритмы,  эволюционируя 
естественным путем, позволяют выявить правила и стратегии, преследующие 
множественные цели. При введении одного или большего числа ограничений 
можно  оптимизировать  систему  в  любом  направлении  ее  развития,  что  по-
зволяет осуществить направленный прогноз, поэтому нейронные сети могут 
служить  хорошим  инструментом  для  изучения  и  анализа  нелинейности  ди-
намики процессов, характеризуемых потоками входных данных.  
 
42

Первые  шаги  в  области  искусственных  нейронных  сетей  сделали  в 
1943 г. В. Мак-Калох и В. Питс. Они показали, что при помощи пороговых 
нейронных  элементов  можно  реализовать  исчисление  любых  логических 
функций [54]. В 1949 г.  Хебб  предложил  правило  обучения,  которое  стало 
математической  основой  для  обучения  ряда  нейронных  сетей [51]. В 1957-
1962 гг. Ф. Розенблатт предложил и исследовал модель нейронной сети, ко-
торую он назвал персептроном [120]. В 1959 г. В. Видроу и М. Хофф пред-
ложили  процедуру  обучения  для  линейного  адаптивного  элемента - AD 
ALINE. Процедура обучения получила название "дельта правило" [54]. В 80-е 
годы  значительно  расширяются  исследования  в  области  нейронных  сетей. 
Д. Хопфилд в 1982 г. дал анализ устойчивости нейронных сетей с обратными 
связями  и  предложил  использовать  их  для  решений  задач  оптимизации.  Т. 
Кохонен разработал и исследовал самоорганизующиеся нейронные сети. Ряд 
авторов предложил алгоритм  обратного  распространения  ошибки,  кото-
рый стал мощным средством для обучения многослойных нейронных се-
тей [51,54,120]. В настоящее время разработано большое число нейроси-
стем,  применяемых  в  различных  областях:  прогнозировании  финансовых 
показателей, управлении, диагностике в медицине и технике, распознавании 
образов  и  т.  д. [18,27,31,49,62,68,69]. Для  обучения  сети  используются  раз-
личные  алгоритмы  обучения  и  их  модификации [36,38,44,56,82,142]. Авто-
рами [129,139] разработан алгоритм обучения сети, который минимизирует 
среднеквадратичную  ошибку  нейронной  сети  за  счет  использования  адап-
тивного  шага  обучения  α(t).  Предлагается  использовать  логарифмическую 
функцию активации для решения задач прогнозирования, которая позволяет 
получить  прогноз  значительно  точнее.  Анализ  многослойных  нейронных 
сетей  авторов [129,139] и  алгоритмов  их  обучения  позволил  выявить  ряд 
недостатков и возникающих проблем: 
-  неопределенность  в  выборе  числа  слоев  и  количества  нейронных 
элементов в  слое; 
 
43

-  медленная  сходимость  градиентного  метода  с  постоянным  шагом 
обучения; 
- сложность выбора подходящей скорости обучения; 
-  невозможность  определения  точек  локального  и  глобального  мини-
мума, так как градиентный метод их не различает; 
-  влияние  случайной  инициализации  весовых  коэффициентов  НС  на 
поиск минимума функции среднеквадратической ошибки. 
Применение 
нейронных 
сетей 
для 
обработки 
финансово-
экономических данных предприятий или компаний иногда является недоста-
точно гибким. Например,  в процессе самообучения нейросети не допускает-
ся  добавление  новых  нейронов.  Сложность  использования  АНС  также  обу-
словлена тем, что размерность плоскости выходных параметров должна быть 
определена до начала обучения. В таких случаях метод АНС целесообразно 
дополнить генетическими алгоритмами.  
Прогнозирование  с  использованием  инструментария  генетических  ал-
горитмов впервые (machine learning) была предложена в 70-е годы [1,9,53,83]. 
Во второй половине 1980-х к этой идее вернулись в связи с обучением ней-
ронных сетей. Они позволяют решать задачи  прогнозирования (в последнее 
время наиболее широко генетические алгоритмы обучения используются для 
банковских  прогнозов),  классификации,  поиска  оптимальных  вариантов,  и 
совершенно незаменимы в тех случаях, когда в обычных условиях решение 
задачи основано на интуиции или опыте, а не на строгом (в математическом 
смысле)  ее  описании.  Использование  механизмов  генетической  эволюции 
для  обучения  нейронных  сетей  кажется  естественным,  поскольку  модели 
нейронных сетей разрабатываются по аналогии с мозгом и реализуют неко-
торые  его  особенности,  появившиеся  в  результате  биологической  эволюции 
[12,13,37,117]. 
Важным недостатком генетических алгоритмов является сложность для 
понимания и программной реализации. Однако преимуществом является эф-
фективность в поиске глобальных минимумов адаптивных рельефов, так как 
 
44

в них исследуются большие области  допустимых значений параметров ней-
ронных сетей. Генетические алгоритмы дают возможность оперировать дис-
кретными  значениями  параметров  нейронных  сетей,  что  может  привести  к 
сокращению общего времени обучения. 
Инструментарий  клеточных  автоматов  является  также  современным 
методом прогнозирования экономических временных рядов, поведение кото-
рых  не  подчиняется  законам  линейной  динамики.  Впервые  идея  клеточных 
автоматов  была  предложена  Конрадом  Цузе  и  Станиславом  Уламом [22] и 
воплощена  практически  Джоном  фон  Нейманом  с  целью  воспроизвести  по-
ведение сложных пространственно протяженных систем [22]. Американский 
математик  Дж.  Нейман  обоснованно  полагал,  что  многие  сложные  явления, 
такие, как самовоспроизведение, рост и развитие, морфогенез, турбулентные 
процессы,  которые  трудно  моделировать  с  помощью  дифференциальных 
уравнений,  удается  описать  с  помощью  клеточных  автоматов.  Становление 
теории клеточных автоматов во многом связано с работами Стивена Вольф-
рама и ряда других авторов, которые взглянули на многие физические теории 
с алгоритмической точки зрения [25,80]. Изданная под его редакцией антоло-
гия [26], а  также  монография [144] дают  достаточно  полный  объем  совре-
менного состояния теории клеточных автоматов. 
Клеточным  автоматом  (КА)  называют  сеть  из  элементов,  меняющих 
свое  состояние  в  дискретные  моменты  времени  в  зависимости  от  состояния 
самого  элемента  и  его  ближайших  соседей  в  предшествующий  момент  вре-
мени [80, 144]. В более общем представлении КА – это определенная дина-
мическая система, состоящая из множества   идентичных, имеющих предел 
машин  или  ячеек,  которые  повторно  меняют  «цвет»  или  состояние,  следуя 
заранее  определенным  правилам,  и  эти  правила  одинаково  действует  по  от-
ношению ко всем элементам множества   в дискретном временном отрезке. 
Клеточные  автоматы  могут  быть  одно-,  двух-  или  многомерными  ( -  мер-
ными,  ≥ 3 ) при этом, чаще всего их определение базируется на целочислен-
ных решетках  d
.  
 
45

 
Гипотеза Вольфрама состоит в том, что многие физические, социально-
экономические,  технические  и  др.  системы  и  их  модели,  для  которых  в  на-
стоящее  время  неизвестно  прямого  описания,  являются  вычислительно  не-
приводимыми [80]. Для эволюционных процессов таких систем наблюдается 
отсутствие  характеристического  масштаба  времени  и  пространства.  Указан-
ное  отсутствие  восполняется  использованием  такой  характеристики,  как  са-
моподобие. В подобной ситуации на базе инструментария клеточных автома-
тов  появляются  принципиально  новые  методы,  например,  теория  самоорга-
низованной  критичности [87,144]. К  классическим  объектам  этой  теории, 
предложенной Пер Баком, Чао Таном и Куртом Висенфельдом [2], относятся 
сход лавин, биржевые крахи, ряд процессов микроэкономики [87]. 
В теории клеточных автоматов имеется классификация [24,96], соглас-
но  которой  все  автоматы  делятся  на  четыре  класса,  в  зависимости  от  типа 
динамики изменяющихся состояний. Автоматы первого класса по истечении 
конечного  времени  достигают  однородного  состояния,  в  котором  значения 
всех  элементов  одинаковы  и  не  меняются  со  временем.  Ко  второму  классу 
автоматов  относятся  системы,  приводящие  к  локализованным  структурам 
стационарных  или  периодических  во  времени  состояний  элементов.  Третий 
класс составляют «блуждающие» автоматы, которые с течением времени по-
сещают произвольным (непериодическим) образом все возможные состояния 
элементов, не задерживаясь ни в одном из них. И, наконец, четвертый класс 
составляют  «странные»  автоматы,  характер  динамики  которых  зависит  от 
особенностей начального состояния элементов. К автоматам четвертого типа 
относится знаменитая игра «Жизнь» Дж.Конвея [80,144].  
Инструментарий фазовых портретов является новым методом для про-
гнозирования  экономических  временных  рядов,  в  частности  рынка  ценных 
бумаг. Отметим на дальнейшее, что в настоящей работе термин «эволюцион-
ный процесс» подразумевает определение такого понятия, как «фазовое про-
странство». Согласно установившимся представлениям, фазовое пространст-
во  означает  совокупность  мгновенных  состояний  рассматриваемой  системы 
 
46

(экономической,  технической,  социальной,  экологической  и  т.д.),  снабжен-
ной определенной структурой в зависимости от рассматриваемых задач и по-
ставленных  целей.  С  математической  точки  зрения  фазовое  пространство – 
это  множество  с  надлежащей  структурой,  элементы  которого  (фазовые  точ-
ки)  представляют  (условно  изображают)  состояния  системы.  Чаще  всего  не  
делается различия между состояниями и изображающими их фазовыми точ-
ками в силу имеющего место изоморфизма между ними.  
При  исследовании  эволюционного  процесса  исходной  информацией 
является временной ряд, т.е. упорядоченная последовательность наблюдений 
за значениями некоторого показателя. При этом число переменных, опреде-
ляющих  поведение  процесса,  и  тип  функции,  описывающий  это  поведение, 
заранее неизвестны. 
Пусть эволюционный процесс определяется векторным итерационным 
уравнением 
X t+1 = (X t ), = ,
1 ,...
2

(1.4) 
Здесь  X t  - это вектор из   компонент, где   может быть очень большим чис-
лом и обычно включает много переменных, о которых мы ничего не знаем. 
Функция   в (1.4) переводит систему из одного момента времени в следую-
щий,  вид  ее  тоже  неизвестен.  Исследователь  наблюдает  временной  ряд  ска-
лярных  величин  ,  = ,
1 ,...,
2
.  Наблюдения  генерируются  в  соответствии  с 
t
некоторой функцией 
h X 
(1.5) 
t
)
Будем называть функцию   «функцией наблюдателя». Временной ряд 
образует траекторию, которая является плотной на аттракторе [52,90,92,93]. 
Для получения сведений об исходной системе нам нужен некоторый способ, 
с помощью которого мы сможем возвращаться от наблюдаемой к исследуе-
мой системе. Этот способ осуществляется путем построения фазовой траек-
тории [58,80], или, в другой терминологии, фазового портрета [110] размер-
ности  ρ : 
 
47

Φ
,  =

(1.6) 
ρ () = (
{,,....,x
t
,
1
T
,...
2
t
1
+
t+ρ 1
− )}
Термины «фазовый портрет» или «фазовая траектория» обычно подра-
зумевают,  что  соседние  точки  множества (1.4) для  наглядности  соединены 
отрезками прямой или кривой линии. Объективную информацию о характере 
поведения эволюционного процесса (1.4) можно получить через наблюдения 
(1.5),  опираясь  на  теорему  Таккенса [21]: если  система,  которая  порождает 
временной ряд, является  - размерной, и обеспечено выполнение неравенст-
ва  ρ ≥ 2+1, тогда в общем случае фазовые траектории воссоздают динамику 
исследуемой системы. Этот результат позволяет делать выводы о поведении 
системы, опираясь на данные наблюдений, и, более того, получать информа-
цию для прогнозирования этого поведения. 
Особого  внимания  заслуживают  «кусочно-полиномиальные»  подходы 
к  представлению  фазовых  траекторий.  Среди  этих  подходов  наиболее  пер-
спективным  является  использование  сплайн  функций [46,127]. Отличитель-
ная  особенность  сплайнов  заключается  в  том,  что  они  состоят  из  отрезков 
степенного  полинома  малого  порядка  (степени).  Эти  отрезки  сходятся  в  за-
данных узловых точках процесса (узлах решетчатой функции). Необходимой 
составной частью такого подхода является «сшивка» кусков сплайн-функции  
значениями  самой  функции  и  значениями  ее  производных.  Такая  структура 
сплайна  автоматически  собирает  его  отдельные  фрагменты  в  единый  ан-
самбль. На рисунках 1.6 – 1.8 с иллюстративной целью представлены фазо-
вые  инфляционные  сплайн-портреты.  Они  демонстрируют  удивительно  ста-
бильно сохраняющуюся цикличность, периодичность инфляции в разные го-
ды  как  стабильного  процветания (1975-1988 гг.)  экономики  США,  так  и 
«смутных» времен (1929-1949 гг.). 
В  англоязычной  литературе  термин spline-smoothing переводится  как 
«сплайн-сглаживание»  и  подчеркивает  ограниченность  применения  сплайн-
функций – только для построения интерполяционной кривой на дискретном 
множестве  точек  (рисунок 1.8). Однако  в  работе [46] автор  показал,  что  на 
самом деле сплайны при моделировании, анализе и прогнозе экономики мо-
 
48

гут  давать  гораздо  больше.  Например,  использование  сплайн-модели  в  ана-
лизе  работы  Невинномысского  отделения  Северо-Кавказского  банка  России 
позволило получить необычные результаты и по-новому взглянуть на многие 
экономические процессы. В процессе моделирования была найдена не очень  
Рисунок 1.5 -  Двумерный портрет поведения финансового результата банка (ось 
абсцисс) и его первой производной  (ось ординат) 
полезная  системная  цикличность  финансовых  потоков  в  коммерческих  бан-
ках, которую можно объяснить как следствие имеющегося временного запаз-
дывания  со  стороны  регулирующих  воздействий.  На  рис. 1.5 показан  фазо-
вый портрет динамики финансового результата территориального отделения 
банка  в 2002 г. (цифра  конца  каждого  месяца  нанесена  на  кривую),  в  точке 
замыкания цикла повторяется не только значение финансового результата, но 
и значение его первой производной, указывающей перспективу дальнейшего 
изменения.  
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1.6 - Фазовый портрет уровня инфляции (ось абсцисс) 
 
 
 
 
 
49

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1.7 - Трехмерная фазовая спираль инфляции американской 
экономики в 1929-1949 гг. и его производной 
 
Рисунок 1.8 - Сплайн-представление (классический случай spline-smooting) 
динамики уровней инфляции (SPL3_ILE), доли безработных в рабочей силе 
(SPL3_UEM), изменение реального ВНП (SPL3_GNP) 
 
 
Таким  образом,  на  сплайн-функциях  базируются  методы  прогнозиро-
вания,  суть  которых  заключается  в  экстраполяции  скользяще-средних  про-
гнозных тенденций.  
 
1.4 Выводы к главе 1 
 
Краткий обзор подходов и экономико-математических методов прогно-
зирования  временных  рядов  позволяет  сделать  следующий  вывод:  одного 
универсального,  удовлетворяющего  всем  требованиям,  не  обладающего  не-
достатками  метода  прогнозирования  не  существует.  Каждый  подход  и  каж-
дый метод имеют свои достоинства, недостатки, границы применения. В ми-
ровой  экономической  литературе  количество  методов  прогнозирования  ис-
 
50

числяется многими десятками. Важно отметить, что эти методы базируются 
либо на корреляционно-регрессионных моделях, либо на трендах, для пред-
ставления которых выбирается наиболее подходящие экстраполяционные за-
висимости. 
Огромный  опыт  математического  моделирования  динамических  (эво-
люционных)  процессов,  накопленный  в  мире  за  последние  десятилетия,  не-
измеримо расширил и во многом изменил установившиеся представления об 
адекватности  существующих  математических  моделей  сути  этих  процессов. 
Стало ясно, что классического арсенала математического моделирования, ба-
зирующегося  на  так  называемой  линейной  парадигме  (малые  возмущения 
входных данных системы в малой степени меняют ее траекторию), во многих 
случаях  явно  недостаточно  для  построения  адекватных  математических  мо-
делей. Это обстоятельство обусловило фундаментальный пересмотр прежней 
линейной  концепции  и  переход  на  так  называемую  нелинейную  парадигму 
(nonlinear science) в  математическом  моделировании  (малые  возмущения 
входных  данных  или  значений  переменных  динамической  системы  могут  в 
катастрофически большой степени изменить ее траекторию в силу сложности 
самой системы и хаотичности ее поведения). Практическая ценность указан-
ной парадигмы обусловлена тем, что на ее базе удается более адекватно от-
ражать специфические характеристики иерархичности, конкретной динамики 
и высокую степень неопределенности, присущие реальным социальным, эко-
номическим, финансовым, физическим и т.п. процессам и системам. Переход 
на новую концепцию вызвал необходимость создания принципиально новых 
инструментальных средств математического моделирования, в частности та-
ких, как фрактальная геометрия, фрактальный анализ, методы детерминиро-
ванного хаоса и др. В силу этого обстоятельства для построения прогнозной 
модели предложен новый подход, который базируется на использовании ин-
струментарий  линейных  клеточных  автоматов  и  математического  аппарата 
нечетких множеств. 
 
 
51

Глава 2 ФРАКТАЛЬНЫЙ  АНАЛИЗ  ИСХОДНЫХ  И  АГРЕГИРО-
ВАННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ КОТИРОВКИ АКЦИЙ 
 
2.1 Фрактальная статистика в экономико-математическом 
        моделировании 

 
Современная  экономика  вступила  в  новый  цикл  своего  развития.  Это 
связано  с  глобализацией  макроэкономики,  её  усложнением,  а  также  с  втор-
жением  в  науку  «математических  методов  нелинейной  динамики» [67,110]. 
Важнейшей причиной ее появления является также рождение новейших ком-
пьютерных технологий, которые дают возможность исследовать сложные яв-
ления и процессы путем визуализации на экране дисплея. 
Практика  показала,  что  в  современных  условиях,  к  примеру,  для  рос-
сийской  экономики  с  её  упадком  и  финансовыми  кризисами,  классические 
экономическая теория и статистика, построенные на линейных равновесных 
моделях [110], оказались малопродуктивными или, более того, неадекватны-
ми. Это и неудивительно, поскольку переход от социалистического планово-
го  хозяйства  к  свободной  рыночной  экономике  является  крупным,  можно 
сказать  «бифуркационным» [67] поворотом,  влекущим  за  собой  необозри-
мую  совокупность  «нелинейностей».  Именно  понятие  бифуркации  является 
ключевым понятием нелинейной науки («nonlinear science», как  ее называют 
в англоязычной литературе). По существу, это математический образ «пере-
хода количественных изменений в качественные». Таким образом,  о чем го-
ворили философы от диалектиков античного мира до Гегеля и Маркса, нашло 
точное и конкретное воплощение в нелинейной динамике [87]. 
Зарождение  новой  парадигмы [98,110], включающей  в  себя  новую 
фрактальную статистику, было предопределено временем, развитием науки и 
экономических процессов. Вплоть до 90-х годов ХХ века при использовании 
инструментария  классической  статистики  в  экономико-математическом  мо-
делировании  доминировала  линейная  парадигма.  Согласно  этой  парадигме 
каждое воздействие на начальные условия  вызывает пропорциональную ре-
акцию получаемого результата. Однако рынки редко бывают столь устойчи-
 
52

выми и на незначительные возмущения могут  реагировать нелинейно. Весь-
ма часто возникает бифуркационная [80] или, в другой терминологии экспо-
ненциальная  суперреакция [67] на  воздействие – это  и  представляет  собой 
еще одну трактовку сущности нелинейности. Поэтому, в  отношении целого 
ряда  реальных  экономических  процессов  классические  линейные  методы 
статистики являются неадекватными. Эти методы моделируют рынок, исходя 
из  теории  равновесия [110], и,  порой,  игнорируют  время.  Иными  словами, 
использование  линейных  методов  предполагает,  что  рассматриваемые  эво-
люционные процессы не обладают памятью о прошлом или имеют очень ог-
раниченную  память [110], что  не  соответствует    сути  реальных  экономиче-
ских процессов. 
В течение последней трети ХХ века  тысячи исследователей, работаю-
щих  над  проблемами  физики  и  распознавания  образов,  экономики  и  гидро-
динамики,  а  также  в  десятках  других  областей  направляли  свои  усилия  на 
обнаружение общих черт в нелинейных процессах, протекающих в рассмат-
риваемых  открытых  системах.  В  конечном  счете  это  привело  к  построению 
нового междисциплинарного подхода, получившего название «синергетика» 
[67,80]. Ключевой концепцией синергетики является концепция «параметров 
порядка», т.е. нескольких основных ключевых переменных, которые опреде-
ляют, «подчиняют»  все  остальные  степени  свободы  системы.  Математиче-
ское моделирование многих и многих течений и систем, возникающих в эко-
логии, экономике, химической технологии, и т.д., показало, что их поведение 
действительно  определяется  конечным  числом  параметров  порядка,  иными 
словами, из практически бесконечного, трудно обозримого множества значе-
ний наблюдаемых функций и состояний можно совершить переход к конеч-
ному, а иногда небольшому числу переменных (параметров). 
В  контексте  экономико-математического  моделирования  уже  можно 
говорить о самостоятельном научном направлении «экономической синерге-
тики».  Последняя источники сложности экономической эволюции находит в 
неустойчивости  и  нелинейности  более,  нежели  в  устойчивости  или  же  ли-
 
53

нейности, как это свойственно традиционной теории экономической динами-
ки.  Особо  отметим  то,  что  экономическая  синергетика  во  главу  угла  ставит 
концепцию хаоса, т.е. тот факт, что хаос лежит в природе любой эволюцион-
ной экономической системы. Это означает, что точные экономические пред-
сказания – вещь почти невозможная. В историческом контексте отметим, что 
упор    на  неустойчивость    (вытекающую  из  нелинейности),  можно  обнару-
жить в трудах Маркса, Кейнса, Шумпетера и других «ранних» экономистов. 
Особо также отметим, что экономическая синергетика может сыграть суще-
ственную отрицательную роль в развитии эконометрики, которая полностью 
базируется  на  классическом  инструментарии  математической  статистики. 
Представляется также, что воздействие концепции  хаоса может отрицатель-
но сказаться не только на эконометрике, но и на всей экономической науке  в 
целом. Задача  современной экономической теории состоит не только в том, 
чтобы описать  и объяснить экономические явления в историческом аспекте, 
но и в том, чтобы создать базис для аргументированных экономических про-
гнозов. В этом контексте факт присутствия хаоса может приводить  к ошиб-
кам в случае использования традиционного  инструментария математической 
статистики. 
Синонимом термина «нелинейная динамика» является ее более раннее 
название  «теория  хаоса» [122,145]. По  отношению  к  динамике  социально-
экономических систем и процессов теория хаоса не только объясняет бифур-
кационные  явления  (большие  падения  или  большие  выбросы),  но прямо  го-
ворит нам, что их невозможно предсказать. По этой причине многие рыноч-
ные    технические  аналитики  обоснованно  предположили,  что  распознать  в 
хаотическом движении новые закономерности им поможет фрактальная гео-
метрия [80,110,122,134]. Уже достигнуто понимание того, что сложность ок-
ружающей  нас  природы  тесно  связана  с  этой  геометрией.  Природа  не  есть 
ряд  повторяющихся  закономерностей,  но  в  противоположность  тому  харак-
теризуется локальной случайностью и глобальным порядком. Фракталы в ре-
альном  мире  обусловлены  глобальными    статистическими  структурами,  од-
 
54

новременно порождающими локальные случайности, т.е. хаос и порядок со-
существуют. Для рыночного экономического анализа это имеет далеко иду-
щие последствия. 
Не существует абсолютно точного определения фрактала. Одно из из-
вестных  определений  представляет  фрактал  как  некое  самоподобие,  т.е. 
фрактал – это  структура,  состоящая  из  частей,  которые  в  каком-то  смысле 
подобны  целому.  Второе  из  известных  определений  представляет  фрактал 
как множество точек, размерность Хаусфорда – Безиковича [122,134] которо-
го строго больше его топологической размерности. Последняя всегда  равна 
целому числу (для точки – это 0, для прямой – 1, для плоскости – 2, для про-
странства -3), в то время как фрактал имеет дробную (фрактальную) размер-
ность [110,122,145]. Вполне возможно, что определение термина фрактал ни-
когда не будет найдено, ибо фрактальная геометрия есть геометрия природы. 
Дефиниция фрактала стоит в одном ряду с дефиницией природы. 
В  статистическом  смысле  фрактал  есть  аттрактор  (предельное  множе-
ство) порождающего правила. Это правило реализуется на каждом шаге как 
игра хаоса: порождающая  процедура не знает,  по какому направлению она 
движется  до  того,  как  завершится  реализация  предыдущего  шага.  Предска-
зать  это  направление  невозможно,  но,  получив  информацию,  процесс  на-
правляется внутренним детерминистическим правилом. При этом количество 
возможностей бесконечно. Таким образом, аттрактор, образно говоря, пред-
ставляет  собой  бесконечное  количество  возможных  решений,  т.е.  реализа-
ций. При этом важно отметить, что положение каждой его  точки зависит от 
того, где расположилась точка  предыдущая. В действительности место каж-
дой точки зависит  от положения всех предыдущих. Последнее утверждение 
означает, что временной ряд, представляющий процесс порождения  аттрак-
тора, обладает долговременной памятью [110]. 
Вернемся  к  вопросу  о  том,  действительно  ли  существует  необходи-
мость  использования  новой  (фрактальной)  статистики  в  экономико-
математическом    моделировании  эволюционных  процессов  и  систем.  Отме-
 
55

тим,  что  классическая  статистика  базируется  на  центральной  предельной 
теореме (или Законе больших чисел), которая утверждает, что по мере про-
ведения все большего числа наблюдений, предельное распределение случай-
ных  значений  будет  нормальным  распределением.  Последнее  означает,  что 
события должны быть независимыми, т.е. не должны влиять друг на друга, и 
при этом все они должны иметь одинаковую вероятность наступления. Дол-
гое время предполагалось, что поведение большинства реальных социально-
экономических систем подчиняется нормальному или «почти нормальному» 
закону. 
К началу 90-х годов прошлого столетия фактически отпали сомнения в 
том, что рынки капитала не подчиняются нормальному закону. Вместе с этим 
появилось осознание того, что для адекватного моделирования этих рынков 
нужен инструментарий новой статистики, отличный от стандартной. 
К указанному времени многие исследователи пришли  к уверенности в 
том,  что  подходящий    инструментарий  новой  статистики  уже  существует  в 
виде непараметрической методологии, которая была открыта Х.Е. Херстом – 
знаменитым британским гидрологом. В 1951 г. он опубликовал работу, оза-
главленную «Долгосрочная вместимость водохранилища». На первый взгляд 
работа  рассматривала  моделирование  проекта  водохранилища,  но  Херст 
включил  в свое исследование многие естественные системы и дал нам но-
вую статистическую методологию для  различения   случайных и неслучай-
ных систем, постоянства трендов и продолжительности циклов, если таковые 
имеются. Т.е., он дал нам метод, названный методом нормированного разма-
ха, или  -анализом, используемый для различения случайного временно-
го ряда и фрактального временного ряда. 
На  наш  взгляд,  представляется  весьма  интересным  проследить  логику 
рождения  Херстом  новой  статистики,  получившей  позже  название  «фрак-
тальная статистика». Херст знал о работе  Эйнштейна (1908), в которой обос-
новывалось  следующее  утверждение:  в  процессе  броуновского  движения 
случайная  частица  проходит  расстояние R, которое  увеличивается  пропор-
 
56

ционально  квадратному  корню  из  времени  Т  наблюдения  за  этой  частицей, 
т.е.  ≈ . Отметим, что это уравнение используется, например  в финансо-
вой  экономике  для  того,  чтобы  вычислить  стандартное  отклонение.  Херст 
пронормировал размах R стандартным отклонением S и представил следую-
щее обобщение вышеуказанного уравнения: 
H
(S) = , где С- константа 
n
и n – число наблюдений (уровней), составляющих рассматриваемый времен-
ной ряд  (ВР). Значения  (S)  называются нормированным размахом, а по-
n
казатель  степени  Н  называется  показателем  Херста.  Отметим  при  этом,  что 
показатель Херста можно приближенно, но с приемлемой точностью вычис-
лять посредством вычерчивания в декартовых координатах точек со значени-
ем ординаты  = log(S)  для значения абсцисс  = log(n)  и вычисления тан-
n
n
n
генса  угла  наклона  отрезка  прямой,  которая    для  этих  точек  представляет 
простую регрессию, определяемую методом наименьших квадратов. 
Идея новой статистики родилась в виде следствия из следующего фак-
та: если бы уровни наблюдаемого ВР (у Херста эти уровни представляли со-
бой  величину  годовых  притоков  Нила)  были  независимо  распределены,  то 
для  значения  Н  должно  выполняться  равенство  = 50
,
0
.  Но  Херст  обнару-
жил, что  = 91
,
0
. Последнее означает, что  нормированный размах увеличи-
вается быстрее, чем квадратный корень из времени. Значение   = 91
,
0
озна-
чало,  что  изменение  в  ежегодных  нильских  разливах  влияли  друг  на  друга 
или,  другими  словами,  что  рассматриваемый  ВР  (притоков  Нила)  обладает 
долговременной  памятью.  Дальнейшее  исследование  Херста  и  других  уче-
ных привели к открытию существования памяти практически  во всех ВР, от-
ражающих  эволюцию  явлений  природы – выпадение  осадков,  пятнам  на 
солнце,  годичным  кольцам  и  т.д.  Осознание  универсальности  этого  факта 
появилось спустя треть века, когда многочисленными исследователями было 
установлено, что долговременная память присуща многим и многим ВР, от-
ражающих  динамику  эволюционных  процессов  в  социально-экономической 
и других сферах человеческой деятельности. 
 
57

Описание математического инструментария  и алгоритмов использова-
ния  фрактальной  статистики,  в  частности, R/S-анализа,  можно  найти  в 
[100,105,107,108,109,110,122]. Область значений  показателя Херста – это ин-
тервал (0,1). Если    H ∈ ( ;
5
,
0
]
,то  рассматриваемый  ВР  является  персистент-
ным [109,110] и  характеризуется  эффектом  долговременной  памяти.  К  эти 
эффектам  относятся  наличие  в  рассматриваемом  ВР  трендоустойчивых  от-
резков вместе с оценками их длины, численные оценки фрактальной  размер-
ности («меры  зазубренности»)  этого  ВР,  наличие  периодических  циклов 
[109].  Или  непериодических  циклов,  называемых  квазициклами  [85] и  др. 
Значения  численных  значений  указанных  эффектов  долговременной  памяти 
играют очень важную роль в предпрогнозном анализе ВР, в особенности та-
ких  ВР,  по  отношению    к  которым  классические  методы  прогнозирования 
являются  неадекватными [124]. Значение  ∈[ ;
0
)
50
,
0
  означает  антиперси-
стентность [67,109] рассматриваемого  ВР.  В  нестрогом  определении  анти-
персистентность  означает  возврат  к  среднему  или,  в  другой  терминологии, 
реверсирование  (чередование  положительных  и  отрицательных  прираще-
ний), чаще, чем в случайном процессе. 
В  заключение  приведем  высказывание [109] о  том,  что  фрактальный 
анализ  не  вытесняет  другие  методологии;  он  является  сильной  формой  ана-
лиза ВР и должен быть одним из инструментов предпрогнозного анализа. 
2.2 Предмет исследования и его статистические характеристики 
Предметом  исследования  являются  временные  ряды  таких  биржевых 
показателей,  как  цены  акций  крупных  компаний  Российской  Федерации. 
Известно, что котировка акций (share quotation; stock quotation) имеет важное 
значение,  в  первую  очередь,  для  самой  компании,  так  как  одной  из 
предпосылок  получения  кредитов  и  займов  для  этой  компании  служит 
благоприятная картина показателей ее акций на фондовой бирже. 
В настоящей работе рассматриваются 4 временных ряда (ВР) ежеднев-
ных максимальных цен акций. Введем обозначения этих ВР: 
 
58

1
1
,   =

(2.1) 
i
i
,
1 ,...,
2
n
2
2
z
,   =

(2.2) 
i
i
,
1 ,...,
2
n
3
3
z
,   =

(2.3) 
i
i
,
1 ,...,
2
n
4
4
z
,   =

(2.4) 
i
i
,
1 ,...,
2
n
В представленных  ВР  k
  значение  индекса  ∈{ ,
1
,
3
,
2
}
4   имеет  следующее  со-
ответствие: 1 – РАО  ЕЭС, 2 – Сбербанк, 3 – Ростелеком  и 4 –Сибнефть;  в 
этих ВР индексом  = ,
1 ,...,
2
 занумерованы дни календарного периода с 1 ап-
реля 2002 г. по 31 марта 2005 г., 745
=
. Здесь численные значения уровней 
(наблюдений)  1
,  2
i
,  3
i
,  4
i
 означают максимальную за день стоимость одной 
i
акции  в  рублях.  На  рисунках 2.1-2.4 приведено  графическое  представление 
этих ВР в виде гистограмм.  
1
, руб. 
12
i
10
8
6
4
2
, дата
0
20020401
20020424
20020522
20020617
20020710
20020802
20020827
20020919
20021014
20021106
20021202
20021226
20030123
20030217
20030314
20030408
20030505
20030529
20030624
20030717
20030811
20030903
20030926
20031021
20031114
20031209
20040108
20040202
20040226
20040323
20040415
20040513
20040607
20040701
20040726
20040818
20040910
20041005
20041028
20041123
20041217
20050120
20050214
20050311
 
Рисунок 2.1 Графическое изображение ВР  1
 ежедневных максимальных цен на акции  
                      РАО ЕЭС 
 
2
18000
, руб. 
i
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
, дата
0
401
508
614
719
823
927
101
209
117
221
401
508
617
721
825
929
103
209
120
225
401
511
616
721
825
929
103
209
125
302
020
020
020
020
020
020
021
021
030
030
030
030
030
030
030
030
031
031
040
040
040
040
040
040
040
040
041
041
050
050
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
Рисунок 2.2 Графическое изображение ВР  2
 ежедневных максимальных цен на акции  
                      Сбербанка 
 
59

3
80
, руб. 
i
70
60
50
40
30
20
10
, дата
0 5 4 5 1 4 6 0 3 8 1 7 4 6 4 8 2 0 6 8 1 5 7 0 4 8 4 2 6 2 6 9 7 2 5 9 1 4 9 2 7 1 3 1 5
1
1
0
0
2
1
1
0
2
2
1
1
0
0
2
2
2
1
0
3
2
1
1
0
2
2
2
1
1
0
2
2
2
1
0
0
2
1
1
0
1
0
0
2
204
205
206
207
207
208
209
210
210
211
212
301
302
303
303
304
305
306
307
307
308
309
310
311
311
312
401
402
403
404
404
405
406
407
408
409
409
410
411
412
501
502
503
503
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
200
 
Рисунок 2.3 Графическое изображение ВР  3
 ежедневных максимальных цен на акции 
                       Ростелеком 
4
120
, руб. 
i
100
80
60
40
20
, дата
0 5 4 5 1 4 6 0 3 8 1 7 4 6 4 8 2 0 6 8 1 5 7 0 4 8 4 2 6 2 6 9 7 2 5 9 1 4 9 2 7 1 3 1 5
041
051
060
070
072
081
091
100
102
112
121
011
020
030
032
042
052
061
070
073
082
091
101
110
112
122
012
021
031
040
042
052
062
071
080
090
092
101
111
120
011
020
030
032
2
002
2
002
2
002
2
002
2
002
2
002
2
002
2
002
2
002
2
002
2
002
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
003
2
004
2
004
2
004
2
004
2
004
2
004
2
004
2
004
2
004
2
004
2
004
2
004
2
004
2
004
2
005
2
005
2
005
2
005
 
Рисунок 2.4 Графическое изображение ВР  4
 ежедневных максимальных цен на акции  
                       Сибнефть 
Приведем  численные  значения  так  называемых  рисковых  статистиче-
ских показателей [124] этих ВР: коэффициент вариации 
1
VZ = 35
,
0

2
VZ = 36
,
0

3
VZ = ,
0 22   и 
4
VZ = 18
,
0
;  коэффициент  асимметрии 
1
AZ = − 38
,
0

2
AZ = 54
,
0

3
AZ = 11
,
1
 и 
4
AZ = 11
,
1
; коэффициент эксцесса  
1
EZ = 62
,
1

2
EZ = 12
,
2

3
EZ = 85
,
1
 
и 
4
EZ = 15
,
2

Основные  особенности  статистических  характеристик  рассматривае-
мых ВР заключаются в следующем. Во-первых, достаточно одной визуализа-
ции  представленных  на  рисунках 2.5– 2.8 эмпирических  функций  распреде-
ления  для  того,  чтобы  утверждать,  что  поведение  рассматриваемых  ВР  не 
подчиняется нормальному закону. К этому добавим, что эти ВР не обладают 
свойством стационарности.  
 
 
60

 
0,25
ения
0,2
 
ел
 
0,15
п
ред
Рисунок 2.5 Эмпирическая функция  
0,1
распределения  ВР 
1
  цен  акции 
0,05
РАО ЕЭС 
с
т
о
с
т
ь
 
рас
0
ча
 
3,26
4,03
4,81
5,58
6,35
7,13
7,90
8,68
9,45
10,23
11,00
 
цена, руб
 
0,2
 
 
ения 0,15
ел
 
 
с
п
рд
0,1
 
 
0,05
с
т
о
с
т
ь
 
ра
Рисунок 2.6 Эмпирическая  функ-
ча
ция распределения ВР  2
 цен ак-
0
5 514,91
6 681,82
7 848,73
9 015,64 10 182,55 11 349,45 12 516,36 13 683,27 14 850,18 16 017,09 17 184,00
ции Сбербанка 
цена, руб.
 
 
 
0,2
 
ения
ел 0,15
 
 
п
ред
0,1
 
0,05
Рисунок 2.7 Эмпирическая  функ-
с
т
о
с
т
ь
 
рас
ция  распределения    ВР   
3
  цен 
ча
0 35,75 39,97 44,18 48,40 52,62 56,84 61,06 65,27 69,49 73,71 77,93
акции Ростелеком 
цена, руб.
 
 
 
0,16
 
0,14
ения
 
ел 0,12
0,1
 
п
ред 0,08
Рисунок 2.8 Эмпирическая  функция 
0,06
0,04
распределения ВР  4
 цен акции Сиб-
0,02
с
т
о
с
т
ь
 
рас
нефть 
ча
0
56,31
62,23
68,14
74,06
79,97
85,89
91,80
97,72
103,63
109,55
115,46
 
цена, руб.
 
 
 
Во-вторых,  принимая  во  внимание  факт  наличия  достаточно  частой  смены 
знаков  во  временных  рядах  приращений 
k
k
k
z
∆ = − ,  = ,1−1,  = ,
1
,
3
,
2 4  
i
i+1
i
можно  утверждать,  что  трендовые  компоненты [103,107], базирующиеся  на 
скользящих средних, фактически не представляют сколь-нибудь ценной ин-
 
61

формации  о  дальнейшем  поведении  рассматриваемых  ВР.  Таким  образом, 
представленные  выше  количественные  и  качественные  статистические  ха-
рактеристики  являются  определенным  основанием  для  следующего  предва-
рительного заключения: традиционные (базирующиеся на  трендах и регрес-
сии)  статистические  методы  предпрогнозного  анализа  рассматриваемых  ВР 
не являются адекватными этим рядам.  
2.3 Агрегирование как способ усиления структурированности  
       данных 

 
Агрегирование [aggregation, aggregation problem] — объединение,  ук-
рупнение  показателей  по  какому-либо  признаку.  С  математической  точки 
зрения агрегирование рассматривается как преобразование исходной модели 
в  модель  с  меньшим  числом  переменных  и  ограничений,  дающую  прибли-
женное (по сравнению с исходным) описание изучаемого процесса или объ-
екта. Его сущность – в соединении исходных однородных элементов в более 
крупные “элементы -агрегаты”.  
В некоторых экономических публикациях термин "агрегирование" по-
нимается также как переход от микроэкономического к макроэкономическо-
му  взгляду  на  изучаемые  экономические  явления.  В  экономико-
математических моделях агрегирование необходимо потому, что ни одна мо-
дель не в состоянии вместить всего многообразия реально существующих в 
экономике продуктов, ресурсов, связей. Вместе с тем, если показатели агре-
гируются и число их уменьшается, то при этом часть информации "теряется". 
Существует различные способы агрегирования: сложение показателей, 
представление группы агрегируемых показателей через их среднюю, исполь-
зование различных взвешивающих коэффициентов, баллов и т.д. [85] 
В настоящем исследовании предлагается ежедневные показатели агре-
гировать  в  еженедельные,  затем  двухнедельные  (полумесячные)  периоды, 
используя метод взятия максимального значения показателя за период агре-
гирования.  В  результате  проведенного  агрегирования  из  временных  рядов 
 
62

1
,  2
,  3
 и  4
, представленных соответственно формулами (2.1)-(2.4), по-
лучены  ВР  еженедельных  значений  максимальных  цен  акций,  представлен-
ные формулами (2.5)-(2.8). 
1
1
ˆ
= ˆ,  = ,
1 ,...,
2
nˆ , 
(2.5) 
i
2
2
ˆ
= ˆ,  = ,
1 ,...,
2
nˆ , 
(2.6) 
i
3
3
ˆ
= ˆ,  = ,
1 ,...,
2
nˆ , 
(2.7) 
i
4
4
ˆ
= ˆ,  = ,
1 ,...,
2
nˆ , 
(2.8) 
i
где  ˆ= 156. Формулы (2.9)-(2.12) представляют собой ВР двухнедельных зна-
чений максимальных цен акций: 
~1
~1
,  = ,
1
n~
,...,
2

(2.9) 
i
~2
~2
,  = ,
1
n~
,...,
2

(2.10) 
i
~3
~3
,  = ,
1
n~
,...,
2

(2.11) 
i
~4
~4
,  = ,
1
n~
,...,
2

(2.12) 
i
где  ~= 78. 
В таблице 2.1 приведены статистические показатели исходных ВР  k

= ,
1 4 ,  ВР  недельного  интервала  агрегирования  k
Zˆ ,  = ,
1 4   и  ВР  двухне-
~
дельного интервала агрегирования  k
,  = ,
1 4 . 
Таблица 2.1     Статистические показатели исходных и агрегированных ВР 
 
1
~
~
~
~
Z
1
2
2
3
3
4
4
 
1
ˆ
Z
ˆ
 
 
 
2
ˆ
 
 
 
3
ˆ
 
 
 
 
4
 
 
0,35 0,35 0,35 0,36 0,37 0,37 0,22 0,22 0,22 0,18 0,18 0,18 
 
-0,38 -0,31 -0,33 0,54 0,46 0,45 -0,16 -0,18 -0,24  0,26  0.23  0,18 
 
1,62 1,55 1,52 2,12 2,03 1,95 1,85 1,81 1,78 2,15 2,13 2,00 
Из визуализации табл.2.1 с очевидностью вытекает, что для рассматри-
ваемых ВР  k
,  = ,
1 4  в результате применения к ним одно- и двухнедельного 
агрегирования  фактически  не  приводит  к  сколь-нибудь  заметному  измене-
нию  учитываемых  рисковых  статистических  показателей,  т.е.  значений  ко-
эффициентов  вариации,  асимметрии,  эксцесса.  С  точки  зрения  дальнейшего 
 
63

предпрогнозного  анализа  этот  факт  следует  считать  положительным  в  сле-
дующем  смысле:  применение  указанной  выше  процедуры  агрегирования  в 
достаточной  степени  сохраняет  характер  поведения  рассматриваемых  ВР, 
точнее, сохраняет практически неизменными статистические характеристики 
динамики поведения этих ВР. 
Особо отметим, что одной из основных целей настоящего диссертаци-
онного исследования является предпрогнозный анализ динамики экономиче-
ских ВР. В этом смысле на основании полученных выше результатов появля-
ется  возможность  предположить  следующее  правило  для  верхней  оценки 
максимального интервала агрегирования ВР: интервал агрегирования следует 
считать  недопустимо  большим,  если  его  использование  приводит  к  сущест-
венным изменениям статистических показателей временных рядов, получае-
мых на выходе процедуры агрегирования. 
2.4 Инструментарии фрактального анализа 
Классические  методы  прогнозирования  экономических  ВР,  в  частно-
сти,  эконометрики  требуют  от  эволюционного  процесса    выполнения  ряда 
условий,  которые  в  реальности  достаточно  часто  не  выполняются.  Важней-
шее  из  этих  условий    обусловлено  требованием  подчинения  поведения  ВР 
нормальному закону, которое обеспечивается  свойством независимости на-
блюдений,  составляющих  рассматриваемый  ВР.  Именно  это  условие  для 
экономических  ВР  чаще  всего  не  выполняется.  Возникшую  в  связи  с  этим 
проблему полезно рассмотреть в историческом разрезе.  
Прежде всего отметим, что математический инструментарий классиче-
ской эконометрики разрабатывался и обосновывался, опираясь на следующее 
предположение:  поведение  рассматриваемого  процесса  подчиняется  нор-
мальному закону.  Еще до того, как полностью оформилась гипотеза эффек-
тивного рынка, обнаруживались исключения, которые ставили под сомнение 
предположение о нормальности [131]. Одна из аномалий была найдена, когда 
Осборн [135] вычертил  функцию  плотности  прибылей  фондового  рынка  и 
 
64

назвал их «приблизительно нормальными»: это было необычное наблюдение, 
так  как  хвосты  этого  распределения  отличались  свойством,  которое  стати-
стики называют «эксцесс». Осборн заметил, что они толще, чем должны бы-
ли  бы  быть,  но  не  придал  этому  значения.  К  тому  времени,  как  появилась 
классическая публикация Кутнера [143], стало общепринятым, что распреде-
ление  ценовых  изменений  имеют  толстые  хвосты,  но  значение  этого  откло-
нения  от  нормальности  еще  находилось  в  стадии  обсуждения.  Статья  Ман-
дельброта [143] в сборнике Кутнера содержала доказательства того, что при-
были могут принадлежать семейству устойчивых распределений Парето, ко-
торые  характеризуются  неопределенной  или  бесконечной  дисперсией.  Кут-
нер оспаривал это утверждение  (оно серьезно ослабляло гауссовскую гипо-
тезу)  и предлагал альтернативу, которая состояла в том, что сумма нормаль-
ных  распределений может являть распределение с более толстыми хвостами, 
тем не менее оставаясь гауссовским. Такого рода дебаты продолжались поч-
ти десять лет, что и предопределило смену линейной парадигмы на нелиней-
ную [85]. 
Линейная парадигма в своей основе предлагает, что эволюционная сис-
тема  линейно  реагируют  на  информацию,  т.е.  использует  информацию  по 
получении, а не ожидает  ее накопления в ряде последующих событий. Ли-
нейный  взгляд  соответствует  концепции  рационального  поведения,  которая 
утверждает, что прошлая информация уже дисконтирована, найдя отражение 
в стоимости ценных бумаг. Таким образом, линейная парадигма подразуме-
вает,  что  уровни  временного  ряда  котировки  этих  ценных  бумаг  должны 
иметь приблизительно нормальное распределение и быть независимыми. Но-
вая  парадигма  обобщает  реакцию  эволюционной  системы,  включая  в  себя 
возможность  нелинейной  реакции  на  информацию  и,  следовательно,  влечет 
за собой естественное расширение существующих взглядов. 
Первое  подробное  изучение  ежедневных  котировок  акций  было  пред-
принято  Фамэ [145], который  нашел,  что  их  эмпирические  распределения  в 
отличие  от  нормального  распределения  имеют  отрицательную  асимметрию: 
 
65

большее количество наблюдений было на левом (отрицательном) хвосте, чем 
на правом. Кроме того, хвосты были толще, и пик около среднего значения 
был выше, чем предсказывалось нормальным распределением, т.е. имел ме-
сто  так  называемый  «лептоэксцесс».  Это  же  отметил  Шарп [146] в  своем 
учебнике 1970 г. «Теория портфеля и рынки капитала». Когда Шарп сравни-
вал  годовые  прибыли  с  нормальным  распределением,  он  заметил,  что  «у 
нормального распределения вероятность сильных выбросов очень мала. Од-
нако  на  практике  такие  экстремальные  величины  появляются  довольно  час-
то». 
Позже  Тернер  и  Вейгель [110,144] провели  более  глубокое  изучение 
волатильности,  используя  дневной  индекс  рейтинговой  компании  Стандарт 
энд Пур (S&P) с 1928 по 1990 гг. – результаты оказались похожими. Авторы 
нашли, что «распределения дневной прибыли по индексам Доу-Джонсона  и 
S&P имеют отрицательную асимметрию и большую плотность в окрестности 
среднего значения, а также в области очень больших и очень малых прибы-
лей, – если сравнивать это распределение с нормальным». 
Проделанные  различные  исследования  с  очевидностью  говорят  о  том, 
что  показатели  большинства  природных  и  экономических  систем  не  подчи-
няются нормальному закону или другим известным распределениям. Но, ес-
ли  экономические  показатели  не  являются  нормально  распределенными,  то 
тогда множество методов статистического анализа, в частности, такие спосо-
бы  диагностики  как  коэффициенты  корреляции,  t-статистики,  серьезно  под-
рывают к себе доверие, поскольку могут давать ошибочные результаты.  
Гипотеза  о  подчинении  нормальному  закону  была  необходима  для 
применения  статистического  анализа  к  временным  рядам.  Этот  статистиче-
ский анализ был необходим хотя бы только для того, чтобы теория портфеля 
была  применима  в  реальности.  Без  нормального  распределения  огромное 
число  теоретических  и  эмпирических  работ  ставится  под  вопрос,  ибо  тогда 
традиционный  компромисс  между  риском  и  прибылью  не  всегда  имеет  ме-
сто. Концепция подчинения нормальному закону не отражает действительно-
 
66

сти. Таким образом нынешняя линейная парадигма требует изменения, кото-
рое приняло бы этот факт в расчет. 
Мандельброт [145] говорил о том, что поведение временных рядов  на 
рынках  капитала  следуют  семейству  распределений,  которое  он  назвал  ус-
тойчивым  паретианом.  Это  распределение  имеет  высокий  пик  на  среднем 
значении и толстые (в другой терминологии – “тяжелые” хвосты. Устойчивое 
распределение  Парето  (устойчивый  паретиан)  характеризует  тенденция  к 
трендам и циклам, внезапным и прерывистым изменениям; оно также может 
быть  несимметричным.  Однако  дисперсия  этих  распределений  бесконечна, 
или неопределенна. Кутнер [143] и Шиллер [144] признали концепцию бес-
конечной  дисперсии  неприемлемой,  выдвинув  требование  переформулиро-
вать существующую теорию в терминах нормального распределения, чтобы 
не стать  перед лицом возможности серьезного подрыва результатов сорока-
летних исследований экономических рынков и рынков капитала. Кутнер на-
помнил, что если Мандельброт был прав, то «почти все наши статистические 
инструменты атрофированы». Он чувствовал,  что требуется больше основа-
ний  для  того,  чтобы  отправить  сотни  работ  в  макулатуру.  Устойчивые  рас-
пределения  Парето  теперь  могут  быть  названы    фрактальными  распределе-
ниями. Используя фрактальный анализ [103,110], мы сможем отличать тяже-
лохвостые гауссовские распределения от распределений фрактальных. 
Фракталы оказали влияние на статистический анализ, которое в значи-
тельной  мере еще не оценено. Природа не есть ряд повторяющихся законо-
мерностей,  но  в  противоположность  тому  характеризуется  локальной  слу-
чайностью и глобальным порядком. Каждый естественный фрактал отличен в 
деталях  и  в  то  же  время  подобен  любому  другому  в  общей  концепции.  На-
пример, все дубовые деревья различны, и в то же время легко узнаются как 
дубы. Фракталы в реальном мире обусловлены глобальными статистически-
ми структурами, одновременно порождающими локальные случайности. Для 
рыночного  и  экономического  анализа  это  может  иметь  далеко  идущие  по-
следствия.  Использование  фрактального  анализа  стало  одним  из  самых  по-
 
67

лезных  подходов  к  исследованию  эволюции  финансовых  и  экономических 
показателей. 
  
Фрактальные  временные  ряды  имеют  статистическое  самоподобие  во 
времени.  Они  являются  случайными  фракталами  и  имеют  больше  общего  с 
естественными объектами, чем чистые математические фракталы.  
Фрактальные временные ряды качественно самоподобны, ибо в разных 
масштабах  длительности  они  имеют  одинаковые  статистические  характери-
стики. Для оценки этих характеристик Херстом была предложена новая ста-
тистика, получившая название «нормированный размах». 
2.4.1 Верификация алгоритма нормированного размаха Херста 
Целью  фрактального  анализа  какого-либо  ВР  является  обнаружение 
наличия в нем долговременной памяти, оценка ее глубины, а также значение 
показателя Херста   [110]. Кроме того, эта цель предусматривает выявление 
такой характеристики, как трендоустойчивость  или  такого обратного к ней 
свойства,  как  «возврат  к  среднему  чаще,  чем  в  случайном  поведении  ВР» 
(частое  реверсирование  спад-подъем).  Кроме  того,  очень  важным  для  про-
гнозирования оказывается выявление (периодических) циклов [109], если та-
ковые  имеются,  или  квазициклов [85]. Для  последних  в  других  источниках 
используются  термины  «дробная  квазипериодичность» [147]  или  «хаотиче-
ские  циклы» [109]. Знание  перечисленных  фрактальных  характеристик  рас-
сматриваемого  ВР  предоставляет  аналитику  предпрогнозную  информацию, 
т.е. позволяет ему оценить перспективность надежного прогнозирования ВР 
с помощью клеточно-автоматной прогнозной модели [102]. 
На протяжении более, чем полстолетия, начиная с публикации [85], ос-
новным инструментарием фрактального анализа ВР является алгоритм  
анализа. Приведем его краткое описание, обозначая рассматриваемый ВР че-
рез  
. Работа этого алгоритма реализуется поэтапно согласно 
i
= ,
1 ,...,
2
m
представленной  ниже  вычислительной  схеме,  известной  в  англоязычных 
 
68

публикациях  под  названием  «алгоритм  нормированного  размаха  Херста» 
[110] или, в другой терминологии, под названием « - анализ: руководство 
шаг за шагом» [102]. 
10. Зададимся целочисленным значением величины шага  ∆ ≥ 1 и сфор-
мируем последовательность значений длин отрезков, на которые разбивается 
данный ВР для каждой фиксированной длины: 
                               ,,...,,...,,                                           (2.13) 
1
2
k
l
где  n
+ ∆ ,  = ,
−1 и максимальное значение индекса   определяется 
+1
k
m
неравенством  
. Следующие ниже этапы 20-60 выполняются последо-
l
⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦
вательно по возрастанию индекса  = ,
1 ,...,
2

Примечание 2.1 Последовательность (2.13) сформирована, следуя [87]. 
Другой  подход  к  ее  формированию  изложен  в [109], где  эта  последователь-
ность  состоит  из  всех  таких  чисел  ≥10 ,  на  каждое  из  которых  длина   
k
данного ВР   делится без остатка (  кратно  ,  = ,
). 
k
20. Для очередного значения индекса   рассматриваемый ВР   разби-
вается на 
⎡ 
=
 отрезков  t
,   = ,
1 ,...,
2
,   = ,
1 ,...,
2
, где для всяко-
k
⎢ ⎥
z j

k
k
k

го   отрезок  t
 определяется своим первым элементом  tz , который в исход-
k
1
ном ВР   занумерован индексом  t
n
. Отметим, что в процес-
t
( − )1⋅ +1
k
се разбиения ВР   на указанные отрезки может образоваться остаток, длина 
которого  меньше  .  Этот  остаток  отбрасываем,  следуя [110]. Для  каждого 
k
nk
1
отрезка  t
 вычисляется среднее значение  t
=
∑ tz ,  = ,1 . 
k
j
m
k
r
j=
k
1
30.  Для  каждого  отрезка  t
,  = ,
  при  фиксированном  ∈{ ,
1 ,...,
2
l
k
k
q
вычисляется ряд накопленных отклонений  t
X
=
z
,  = ,
, на базе 
,q
∑( − t
j
)
k
j=1
которых находится значение размаха 
                   t
t
t
= max X
− min                                        (2.14) 
k
,q
,q
1≤qn
1≤qn
k
k
 
69

для каждого = ,1 . 
k
r
40.  При  фиксированном    для  отрезка  t
  вычисляем  его  стандартное 
k
0,

t
kn

отклонение  =
z
z
и нормируем значение размаха (2): 
k
∑( − t
j
) 5
2




n j 1

=
k

⎛ t
⎛ t

                      ⎜ ⎟ = ⎜ 

,       = ,1 ,        1 ≤ ≤ .                    (2.15) 

⎝ 
k
r
k
⎝ Sk 
50.  Для  каждого  фиксированного    вычисляем  среднее  значение  нор-
мированных размахов (2.15): 
t
                              ⎛ 
k
r
1
R
⎜ ⎟ =
∑⎛ ⎞
⎜ ⎟ ,        1 ≤ ≤ .                         (2.16) 
⎝ k
k
r t= ⎝
k
60.  На  основании  полученных  средних  значений (2.16) для  каждого 
= ,
1 ,...,
2
  вычисляем  для  рассматриваемого  ВР    логарифмические  коорди-
наты (абсциссу и ординату) точек, представляющих промежуточный резуль-
тат работы алгоритма нормированного размаха Херста: 
                   
,     
⎛ ⎞ ,      
.                          (2.17) 
k
= lg k
n
yk = lg⎜ ⎟
= ,
l
⎝ k
70.  Используя  известный  метод  наименьших  квадратов  для  множества 
точек с координатами  (

  вида (2.17), строим график линейной 
k
yk = ,
1 ,...,
2
l
регрессии. Наклон полученной линии регрессии к оси абсцисс позволяет по-
лучить усредненную оценку показателя Херста   для ВР   [105]. Численное 
значение  () этой оценки вычисляется как тангенс угла наклона получен-
ной прямой. 
Примечание 2.2 Важно отметить, что полученная оценка  () показа-
теля Херста отражает именно среднее (для рассматриваемого ВР   в целом) 
значение этого показателя. 
Соединяя  отрезками  соседние  точки  в  последовательности (2.17), по-
лучим представленную в логарифмических координатах траекторию норми-
рованного размаха разбиений данного ВР  , которую ради краткости в даль-
нейшем  будем  называть  термином  «траектория  нормированного  размаха» 
(см. рис.2.9). 
 
70

Если рассматриваемый ВР   обладает свойством цикличности, то ему 
присуща  долговременная память, в  силу чего  некоторое количество началь-
ных точек  полученной траектории нормированного размаха образуют отчет-
ливо  выраженный  линейный  тренд.  При  некотором  значении    траекто-
0
рия  нормированного  размаха  достаточно  резко  изменяет  свой  наклон,  т.е.  в 
точке  (  траектория  получает  значительное  по  абсолютной  величине 
k
)
0
0
отрицательное приращение δ = y
− . Появление этого наклона называют 
k
+1
k
сменой тренда или “срывом с тренда”, подразумевая при этом, что возвраще-
ния к прежнему тренду не происходит. При этом подразумевается, что в точ-
ке    эффект  “долговременной  памяти  о  начале  рассматриваемого  ВР”  дис-
0
сипатирует [109]. Иначе говоря, срыв с тренда демонстрирует потерю памяти 
о начальных условиях, а также сигнализирует (возможно с лагом, т.е. с неко-
торым  запаздыванием)  об  исчерпании  цикла  или  квазицикла,  который  со-
держится в начальном отрезке этого ВР. 
В теории временных рядов под термином «квазицикл» («цикл») подра-
зумевается локально наибольший отрезок ВР, состоящий из двух частей та-
ких, что элементы первой части монотонно получают положительные (отри-
цательные)  приращения,  а  элементы  второй  части  монотонно  получают  от-
рицательные (положительные) приращения. Например, в отрезке  
2,1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,2,1,2 содержится квазицикл  
                    ,
1
,
3
,
2
,
5
,
4
7
,
6
,
5
,
6
,
,
3
,
4
1
,
2                                   (2.18) 
длины  = 13 .  В  данном  определении  термины  «положительные» («отрица-
тельные»)  можно  понимать  как  «неотрицательные» («неположительные»). 
При этом «квазицикл» именуется термином «цикл» в случае, когда он регу-
лярно повторяется на протяжении рассматриваемого ВР, сохраняя свою кон-
фигурацию. 
Примечание 2.3  В  реальных  процессах  анализа  рассматриваемого  ВР 
представленное  выше  определение  квазицикла  не  рекомендуется  применять 
формально. Более точно, при определении понятия «квазицикл» может ока-
 
71

заться  целесообразным  использование  понятий  теории  нечетких  множеств 
[33].  Практический  опыт,  накопленный  в  процессе  фрактального  анализа 
конкретных  ВР  свидетельствует,  что  это  определение  имеет  однозначный 
смысл в том случае, если для рассматриваемого ВР 
              ,   = ,
m                                            (2.19) 
i
приращения  его  элементов  ∆ = − ,  = ,
− 1  по  абсолютной  величине 
i
i+1
i
однозначно  превосходят  абсолютную  величину  погрешности  ε > 0   исполь-
зуемых исходных данных (численных значений уровней  = ,
m). 
i
Примечание 2.4  Представленное  выше  определение  квазицикла  отра-
жает  собой  локальное  свойство  ВР.  Последнее  означает,  что  его  не  нужно 
рассматривать в контексте сложившейся к настоящему времени теории эко-
номических циклов, например таких, как бизнес-циклов и  др. [32]. 
Как  отмечено  в [109], алгоритм  нормированного  размаха  (НР)  Херста 
не только обнаруживает периодические или непериодические циклы, но так-
же  может  оценить  среднюю  длину  непериодических  циклов.  Покажем,  что 
это  утверждение  нельзя  отнести  ко  всему  неограниченному  разнообразию 
динамики временных рядов, т.е. оно является истинным лишь для некоторой 
части бесконечного множества ВР. Действительно, рассмотрим ВР (2.19), ко-
торый состоит из непересекающихся циклов вида (2.18), т.е. для 299
=
 ка-
ждый  из  его  отрезков  t
,  = ,
1 23  длины  = 13 ,  определяемых  значениями 
своего первого индекса  = 13 t
( − )
1 + , 13
= ,
1 ,...,
2
, 23
= ,
1 ,...,
2
 представля-
t
ет собой не что иное, как цикл (2.18). Определенный таким образом ВР (2.19) 
обозначим через  0

Для ВР  0
 сформируем последовательность (2.13) следующего вида 
,
18
,
23 ..., + ,
5 ..., ,       = 27                    (2.20) 
k
k
q
и последовательно по возрастанию индекса  = ,
1 ,
2 ...,  применим описанный 
выше  алгоритм  НР  Херста  10-70..  Реализуя  описанные  выше  этапы  20-60  для 
каждой  длины  из (2.20), получим  представленную  на  рис.2.9 «траектория 
нормированного  размаха»  ВР  0
.  Реализуя  заключительный  шаг  алгоритма 
 
72

НР  Херста,  получаем  график  линейной  регрессии,  который  на  рис.2.9  пред-
ставлен пунктирной линией. 
1,4
1,3
lg()  
k
1,2
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
lg  
k
0,5
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
 
Рисунок 2.9 Траектория нормированного размаха временного ряда  0
 
Примечание 2.5 На основании визуализации рис.2.9 можно сформули-
ровать следующие выводы. Во-первых, наклон полученной линии регрессии 
является  фактически  нулевым,  в  силу  чего  не  представляется  возможным 
оценить  значение  показателя  Херста    для  рассматриваемого  ВР  0
.  Во-
вторых,  конфигурация  расположения  точек  с  координатами (2.17), а  также 
определяемая ими траектория нормированного размаха и ее линия регрессии 
фактически  не  представляют  какой-либо  информации  о  циклах  вида (2.18) 
рассматриваемого ВР  0

Сформулированный  выше  отрицательный  результат  применения  алго-
ритма  НР  Херста  к  ВР  0
  обусловлен  следующими  свойствами  этого  ВР: 
значения уровней   в рассматриваемом ВР  0
i
, а также соотношение длины 
его  циклов 13
=
  и  шага  ∆ = 5   в  последовательности (2.13) специально  по-
добраны так, что величина размаха (2.14) и соответствующие значения стан-
дартного отклонения  t
 обеспечивают такие  значения нормированного раз-
k
маха (3), которые  с  ростом  длины  отрезков  k
  воспроизводят  регулярные  с 
почти  одной  и  той  же  амплитудой  периодические  колебания  относительно 
«будущей»  линии  регрессии,  получаемой  в  результате  реализации  шага  70 
используемого алгоритма. Важно отметить, что это свойство ВР  0
  практи-
 
73

чески  сохраняется  и  в  том  случае,  если  его  длину    многократно  увеличи-
вать, например, до ~ 4
10  и более. 
Из примечаний 2.2 и 2.5 вытекает, что в общем случае описанный вы-
ше  классический  алгоритм  НР  Херста  не  всегда  является  достаточным  для 
целей фрактального анализа [109] экономических ВР. С целью восполнения 
этого  пробела    в  настоящей  работе  предлагается  новый  алгоритм  фракталь-
ного анализа ВР, обладающих долговременной памятью. Перейдем к описа-
нию этого алгоритма. 
2.4.2 Алгоритм последовательного  - анализа 
Предложенный  в [107] новый  подход  к  обнаружению  циклов  (квази-
циклов)  в  рассматриваемом  ВР  мы  используем  для  вычисления  верхней 
оценки  глубины  памяти [110] рассматриваемых  ВР.  Приведем  описание  од-
ной  модификации  рассмотренного  в  п.2.3.1  алгоритма  НР  Херста.  Работа 
этой модификации состоит из следующих четырех этапов. 
1. 
Для  данного  ВР,  например  для  ВР  ∈{ 1 2 3 4
},  
i
= ,
 рассматриваем его начальные отрезки  =
τ
,..., , для каждого из 
1
2
τ
τ
1
которых  вычисляем  их  текущее  среднее  =
τ =
τ
∑ 
,
3 ,...,
4
  и  находим 
τ
i
i=1
t
накопленное  отклонение  X
=
z
z
τ
  для  всякого  текущего  индекса 
,t
∑ ( −
i
τ )
i=1
= ,
1
τ
,...
2

2. 
Для  каждого  начального  отрезка  Zτ   вычисляем  согласно (2.14) 
размах  R(τ ) = max − min X
τ
, который нормируем согласно (2.15), т.е. 
,t
τ ,t
1≤τ

1≤τ

представляем в виде дроби  , где  S(τ ) – стандартное отклонение для 
отрезка ВР  3 ≤ τ ≤
τ , 

3. 
Строим  - траекторию  (τ ), τ = ,
3 ,...,
4
, координаты точек 
которой  ( τ
yτ )  определяются  известным  “эмпирическим  законом  Херста” 
 
74

[109]  (τ ) = (log(R(τ )/ S(τ ) )/ log(aτ ), в котором согласно [110] полагаем 
1
= . Следуя (5), вычисляем логарифмические координаты точек  - траек-
2
тории: 
абсциссы 
= log
τ
(τ 2) 
и 
ординаты 
(τ =
τ =
τ
) (log (R(τ )/ S(τ ) ) log(τ / 2) , 
,
3 ,...,
4

4. 
Вторая,  так  называемая  -  траектория  рассматриваемого  ВР 
(2.19) представляется в логарифмических координатах последовательностью 
точек  (
0
,
=
0 =
τ
log (τ / τ )
τ
τ
), 
τ
τ
log , 
( ) ( .  Соединяя  отрезком  соседние 
точки  (
0
,
0
τ =

τ yτ )  и  (x
,
τ
y

,
3 ,...,
4
1,  получаем  графическое  представ-
1
+
τ 1
+ )
ление  - траектории. 
Этот 4-этапный  алгоритм  последовательного  наращивания  -  траек-
тории и  - траектории данного ВР условимся называть термином «алго-
ритм последовательного  - анализа». 
Применим  алгоритм  последовательного  -  анализа  к  отрезку  1
Z
 
646
временного  ряда (2.1) ( 1
1
Z
=
,  =
)  с  целью  продемонстрировать 
646
zi
745
,
646
«распознавательные»  возможности  представленного  выше  модифицирован-
ного алгоритма по отношению к циклам и квазициклам. На выходе этого ал-
горитма  получим  представленные  в  логарифмических  координатах  -  тра-
екторию  и  -  траекторию,  графическое  изображение  которых  дано  на 
рис.2.10. 
1,6
1,4
R/S- траектория
1,2
H- траектория
1

)
S
0,8
g
(
R/
lo

0,6
0,4

Смена тренда R/S- траектории 
0,2

0
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
log(номер наблюдения)
 
Рисунок 2.10  - и  - траектории отрезка  ВР  1
 
 
 
75

На рис.2.10  - траектория демонстрирует исчерпание в данном от-
резке ВР  1
  цикла тем, что в точке τ = 4  этой  - траектории происходит 
646
смена тренда («срыв с тренда») без возвращения к первоначальному тренду 
каких-либо последующих точек. В точке τ = 4   - траектория получает отри-
цательное приращение, т.е. во временном ряде  
                                          (τ ),      τ = ,
3 ,...,
4
                          (2.21) 
его уровень  (4) получает отрицательное приращение. Таким образом,  
траектория и  - траектория сигнализируют об исчерпании в ВР  1
 цикла 
646
длины = 4 . 
Примечание 2.6  Рассматривая  рис.2.10  и  исследуя  представленные  на 
нем траектории, будем придерживаться утверждения, что по истечении дли-
тельности  цикла  (квазицикла)  теряется  память  о  начальных  условиях  для 
рассматриваемого ВР [109,110], т.е. теряется долговременная коррелирован-
ность  последующих  наблюдений  по  отношению  к  начальным.  Таким  обра-
зом, говоря об оценке глубины памяти для рассматриваемого начального от-
резка  данного  ВР,  подразумеваем  длину  первого  цикла  (квазицикла),  кото-
рый  содержится  в  этом  отрезке  и  его  начало  совпадает  с  началом  этого  от-
резка. 
Из рис.2.9, а также примечаний 2.2 и 2.5 с очевидностью вытекает, что 
представленный в п. 2.3.1 алгоритм НР Херста может оказаться непримени-
мым  в  целях  обнаружения  в  рассматриваемом  ВР  долговременной  памяти, 
дифференцированной  оценки  ее  глубины,  а  также  распознавания  наличия  в 
рассматриваемых ВР циклов или квазициклов различной длины.  
Автор  работы [11] был  первым,  кто  понял,  что  периодическая  компо-
нента рассматриваемого ВР может быть обнаружена с помощью  - анали-
за. Однако, как указано в [110], это свойство алгоритма НР Херста позволяет 
нам определить лишь «среднюю длину» циклов этого ВР. Здесь же отмечено, 
что в терминах нелинейной динамики систем средняя длина цикла есть дли-
тельность, по истечении которой теряется память о начальных условиях или, 
что то же самое, память о начале цикла (квазицикла). 
 
76

Реальные  экономические  ВР  содержат  квазициклы  различной  длины, 
некоторые  из  которых  пересекаются  между  собой.  Ради  строгости  дальней-
ших утверждений оговоримся, что мы рассматриваем такие ВР вида (2.19), в 
которых  всякая  пара  соседних  уровней  не  совпадает  между  собой,  т.е 
≠ = ,
− 1. В этом случае является справедливым следующее 
i
1
+
Примечание 2.7 Если в ВР вида (2.19) некоторый уровень   является 
i
началом определенного квазицикла  , то этот ВР не содержит какого-либо 
отличного от   цикла, который начинается с этого же уровня   
i
Идея выявления содержащихся в рассматриваемом ВР квазициклов ба-
зируется на примечании 2.7 и состоит в следующем. В данном ВР вида (2.19) 
отметим  каждый  уровень  ,  который  является  началом  некоторого  квази-
i
цикла. Удалим в этом ВР элементы  ,...,  и к оставшейся части ВР при-
1
2
1

меним описанный в п.3 алгоритм последовательного  - анализа. Тогда на 
выходе этого алгоритма получим  - траекторию и  - траекторию, кото-
рые сигнализирует о наличии квазицикла, начинающего с уровня  . Соглас-
i
но  примечанию 2.6, эти  траектории  наряду  с  выявлением  указанного  квази-
цикла представляют также оценку глубины памяти о начале представленного 
на вход алгоритма последовательного  - анализа усеченного ВР. 
Представленный ниже алгоритм получения нечеткой оценки «глубины 
памяти ВР в целом» в дальнейшем условимся  называть  «алгоритм последо-
вательного  - анализа». Работа этого алгоритма начинается с формирова-
ния на базе рассматриваемого ВР семейства  S() = { r
},  = ,
1 ,...,
2
, состояще-
го из   временных рядов  r
r
,  = ,
1 ,...,
2
, где ряд  r
 получается ре-
i
r
куррентно путем удаления первого элемента  1−
z
 в ряде  1−
Z
. Здесь   опреде-
1
ляется как наибольшее значение индекса   такое, что ряд  m
 еще имеет 
точку  смены  тренда  в  его  -  траектории.  Дальнейшая  работа  алгоритма 
последовательного  - анализа выполняется поэтапно. 
 
77

Этап 1.  Формирование  на  базе  ВР    семейства  S() = { r
},  r
r

i
= ,
1 ,...,
2
,  = ,
1 ,...,
2
состоящего из   временных рядов  r
, где индексом     
r
занумерованы элементы  -го ряда, получаемого из  (− )
1 -го  ВР  1

Z
  путем 
удаления его первого элемента  1−
z
. Здесь    определяется как указано выше. 
1
Исходный ВР   также принадлежит семейству  S(Z) , в котором ему присвое-
но значение индекса  = 0.  
Этап 2.  с  помощью  алгоритма  последовательного  -  анализа  осу-
ществляет фрактальный анализ временных рядов из семейства  S() и форми-
рование  нечеткого  множества  значений  глубины  памяти  о  начале  ряда  для 
каждого ВР из этого семейства. 
Пусть для каждого из ВР  r
r
,  = ,
,  = ,
 в результате приме-
i
r
нения к нему алгоритма последовательного   - анализа построены   
траектория и   - траектория,  определяющие собой номер  точки  , который 
r
согласно  примечанию 2.6 представляет  собой  оценку  глубины  памяти  о  на-
чале ВР  r

Введем  следующие  обозначения:  N(l) –  количество  всех  рядов  r
  из 
семейства  S(Z) ,  у  каждого  из  которых  номер  точки  смены  тренда    равен 
r
l
числу 
N l
( )
;    l0 =
min
;    l′ = max ;    = ∑ N l() ;    d l() =
 – доля таких ря-
r
r
1 ≤ ≤ m

rm
m
=l0
дов  в  S(Z) ,  у  каждого  из  которых  потеря  памяти  произошла  на  глубине  
L0 = {l} – множество  носителей [33], т.е.  множество  значений  номеров  точек 
смены тренда в рядах из семейства  S(Z); L(Z) = {(l, µ(l) )}, 
0
∈ ,  L()  – нечет-
кое  множество  «глубины  памяти  для  ВР    в  целом»,  µ(l) – это  значения 
функции принадлежности «глубины  » нечеткому множеству  L(Z) . Значения 
µ(l) пропорциональны числам 
0
d(l), ∈ ; они получаются путем нормирова-
ния значений долей  d(l)  так, что µ(l) < 1 для всякого ∈ L(Z) . 
В качестве иллюстративного примера применим  алгоритм последова-
тельного  - анализа к реальному отрезку ВР  1
 (2.1), в котором его уров-
 
78

ни   представляют собой ежедневные курсы котировок акций РАО ЕЭС за 
i
период 28 октября 2004 г. – 31 марта 2005 г. В целях визуализации этого ВР 
на рис.2.11 дано его графическое представление. Промежуточные результаты 
применения    алгоритма  последовательного  -  анализа  к  этому  ВР  пред-
ставлены в табл.2.2. 
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
6
11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
 
Рисунок 2.11 Графическое  изображение  отрезка  ВР  1
  максимальных  цен  акций 
РАО ЕЭС 
 
Таблица 2.2 Нечеткое множество глубины памяти отрезка ВР  1
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
38
28
11
11
2
1
2
1
0
0
0,40
0,30
0,12
0,12
0,02
0,01
0,02
0,01
0
0
0,90
0,66
0,26
0,26
0,05
0,02
0,05
0,02  
Этап 3. Формирование нечеткого множества (НМ) для семейства  S(Z)  
осуществляется путем попарного объединения элементов первой и последней 
строк таблицы вида табл.2.2. Например, конкретно из табл.2.1 получаем   НМ  
L() = (
{ ;3 90
,
0
), ( ;4 66
,
0
), ( ;5 ,026), ( ;6 ,026), ( ;7 ,005), ( ;8 02
,
0
), ( ;9 05
,
0
), ( ;
10 ,
0 02)},
графическое представление которого приведено на рис.2.12. 
 
1
µ(l)  0,9
µ(l
 
0,66
 
Рисунок 2.12 Графическое  представле-
ние  нечеткого  множества  L( 1
)  глуби-
0,26
0,26
 
ны  памяти  для  отрезка  ВР  1
  котиро-
0,05
0,02
0,05
0,02
вок акций РАО ЕЭС  в целом 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 
 
 
79

Примечание 2.8 Визуализируя рис.2.12 как графическое представление 
результата  предпрогнозного  анализа,  в  качестве  наиболее  важного  отметим 
тот  факт,  что  глубина  памяти  = 3  фигурирует  с  наибольшими  значениями 
функции  принадлежности  µ(3) = 9
,
0 .  Такое  значение  глубины  памяти  свиде-
тельствует о весьма низкой трендоустойчивости многих отдельных отрезков 
рассмотренного ВР  1
Z
. Вытекающее отсюда качественное заключение сви-
646
детельствует о слабой прогнозируемости рассмотренного ВР  1
Z

646
2.5 Фрактальный анализ временных рядов котировок четырех  
        видов акций 

 
2.5.1 Фрактальный анализ временных рядов ежедневных 
          показателей 
 
Применим описанный в п.2.3.2 алгоритм последовательного  - ана-
лиза  к  отрезкам  ВР  ежедневных  котировок  акций 
k
k
z
,  где  =

i
,
1 4
=
,
646 745 . 
На рисунках 2.13-2.15 приведено графическое представление нечетких 
множеств (НМ) глубины памяти, полученных в результате описанного выше 
метода  фрактального  анализа  к  отрезкам  следующих  ВР:  2
 – ВР  ежеднев-
ных котировок акций Сбербанка,  3
 – ВР ежедневных котировок акций Рос-
телеком,  4
 – ВР ежедневных котировок акций Сибнефти. 
 
1,00
0,9
µ(l
 
0,90
0,80
0,70
Рисунок 2.13 Графическое  представле-
0,60
0,54
0,50
ние нечеткого множества  L( 2
) глуби-
0,40
 
0,30
ны  памяти  отрезка  ВР 
2
  котировок 
0,20
0,20
0,18
акций Сбербанка 
0,10
0,04
0,02
0,02
0,00
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 
 
 
 
80

 
 
1,00
µ(l)
0,90
0,9
 
Рисунок 2.14 Графическое  представле-
0,80
0,71
0,70
ние  нечеткого  множества  L
0,60
( 3Z) глуби-
0,50
ны  памяти  отрезка  ВР 
3
  котировок 
0,40
0,28
 
0,30
акций Ростелекома 
0,19
0,20
0,07
0,10
 
0,02
0,02
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 
 
 1,00
0,9
µ(l)
0,90
0,87
 
 
0,80
Рисунок 2.15 Графическое  представ-
0,70
0,60
ление  нечеткого  множества  L( 4
) глу-
0,50
0,44
0,40
бины памяти отрезка ВР  4
 котировок 
0,29
0,30
 
акций Сибнефти 
 
0,20
0,15
0,10
0,03
 0,00 1
2
3
4
5
6
7
8
Визуализируя рисунки 2.13-2.15 и сравнивая их с рис.2.12, по аналогии 
с  примечанием 2.8 можем  сформулировать  следующее  заключение  относи-
тельно рассматриваемых ВР (2.1) – (2.4). Для каждого ВР  k
,  = ,
1
,
3
,
2 4  глу-
бина  памяти  = 3  фигурирует  в  соответствующем  ему  НМ  с  максимальным 
значением  функции  принадлежности  µ(3) = 9
,
0 .  Такая  глубина  памяти  с  ука-
занным  высоким  значением  функции  принадлежности  свидетельствует  о 
весьма  низкой  трендоустойчивости  на    значительной  части  протяженности 
каждого из четырех рассматриваемых ВР. 
Сформулированные  выше  выводы  о  слабой  прогнозируемости  рас-
сматриваемых ВР  k
,  = ,
1
,
3
,
2 4  требуют реализации определенных конструк-
тивных  предложений,  направленных  на  улучшение  этой  прогнозируемости. 
Представленные  ниже  предложения  базируются  на  следующем  высказыва-
нии, которое приведено в разделе «Число наблюдений против отрезка време-
ни»  в  монографии [109]. «Предположим,  что  мы  имеем  систему,  подобную 
циклу солнечных пятен, который длится 11 лет. Наличие в течение года од-
номинутных наблюдений, т.е. 525600 наблюдений, не поможет нам найти 11- 
 
81

летний цикл. Однако наличие месячных чисел за 188 лет, т.е. 2256 наблюде-
ний, было достаточным для отчетливого выявления 11- летнего цикла». 
2.5.2  Фрактальный  анализ  временных  рядов  недельного  интервала 
агрегирования 
Приведенная  выше  цитата  означает,  что  автору  монографии [109] из-
вестны публикации, в которых представлены результаты об улучшении пока-
зателей трендоустойчивости временных рядов путем использования простого 
агрегирования уровней, из которых состоят рассматриваемые ВР. Речь идет о 
следующей процедуре агрегирования. Сначала выбирается конкретное целое 
n
число  ≥ 2   и  рассматриваемый  ВР  k
k
z
,  =
  разбивается  на  nˆ =
 
i
i
,
n
⎢ ⎥

следующих друг за другом интервалов (отрезков)  Z k
,  = ,
1 ˆ . После чего в 
(q)
j
n
зависимости  от  содержательного  смысла  задачи  вычисляются  либо  суммы 
k
k
zˆ =
,   = ,
1 ˆ , например, (как в настоящем случае) максимумы 
j
∑ zi
j
n
z Z j

i
(q)
                                   k
k
zˆ =
,     = ,
1 ˆ ,                                   (2.22) 
j
max z
j
n
z Z j

i
( ) j
q
либо  средние  значения  элементов  отрезка.  Вычисленные  таким  образом  ве-
личины  k
zˆ  представляют собой соответствующие уровни нового ВР  
j
                               k
k
Zˆ = zˆ
,    = ,
1 ˆ ,   ≤
.                            (2.23) 
j
j
≤ 4
В  представленной  выше  процедуре  агрегирования  число    называем 
термином  «интервал  агрегирования».  В  книге [109] рассматривается  ВР  ин-
декса Доу-Джонса для акций промышленных компаний. В процессе анализа 
стабильности этих ВР использовались следующие интервалы агрегирования: 
= 5  (5- дневные  прибыли),  = 20  (20- дневные  прибыли),  = 60  (60- днев-
ные  прибыли).  В [109]  уровни  нового  ВР  вида (2.23) представляют  собой 
суммы вида  zˆ = ∑
. В настоящей работе эти уровни мы определяем как 
j
zi
z Z

i
()
экстремумы виды (2.22).  
 
82

Выбирая  конкретное  значение  параметра  агрегирования  ,  отметим, 
что  исходные  ВР (2.1) – (2.4) состоят  из  уровней,  которые  в  календарном 
смысле относятся к будним дням. Иными словами, эти ВР можно разбить на 
недельные  интервалы,  принимая  значение  = 5.  Количество  таких  интерва-
лов  ˆ= 156 .  Применяя  процедуру  агрегирования  вида (2.22) к  каждому  не-
дельному интервалу в исходных ВР (2.1) – (2.4), получаем новые (агрегиро-
ванные)  ВР,  которые  представлены  выражениями (2.5) – (2.8). Графическое 
изображение этих ВР представлено соответственно на рисунках 2.16 – 2.19. 
В  результате  применения  представленного  в  п.2.4.2.  алгоритма  после-
довательного   - анализа  к  агрегированным  ВР (2.5) – (2.8) получены 
оценки  глубины  памяти  этих  ВР.  Графическое  изображение  этих  оценок  в 
виде соответствующих нечетких множеств представлено на рисунках 2.20 – 
2.23.
1
ˆ, руб. 
12
i
10
8
6
4
2
0
1
6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131 136 141 146 151 156
Номера наблюдений 
 
Рисунок 2.16 Графическое  изображение  ВР  1
ˆ
  еженедельных  максимальных  цен 
на акции РАО ЕЭС 
18000,00
2
ˆ, руб. 
i
16000,00
14000,00
12000,00
10000,00
8000,00
6000,00
4000,00
2000,00
0,00
1
6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101106111116121126131136141146151156
Номера наблюдений 
 
Рисунок 2.17 Графическое  изображение  ВР  2
ˆ
  еженедельных  максимальных  цен 
на акции Сбербанка 
 
83

80
3
ˆ, руб. 
i
70
60
50
40
30
20
10
0
1
6
11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131 136 141 146 151 156
Номера наблюдений 
 
Рисунок 2.18 Графическое  изображение  ВР  3
ˆ
  еженедельных  максимальных  цен 
на акции Ростелеком 
4
120
ˆ, руб. 
i
100
80
60
40
20
0
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96101106
111
116
121
126
131
136
141
146
151
156
Номера наблюдений 
 
Рисунок 2.19 Графическое  изображение  ВР  4
ˆ
  еженедельных  максимальных  цен 
на акции Сибнефти 
 
1
0,9
0,9
µ(l
 
0,8
0,77
0,7
 
0,6
0,5
 
0,38
0,4
Рисунок 2.20 Гистограмма  нечеткого  мно-
0,3
0,23
0,2
0,13
0,05
жества  L( 1
ˆ
) глубины памяти ВР  1
ˆ
  еже-
0,1
0,02
0,02
0
недельных  максимальных  цен  на  акции 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
РАО ЕЭС 
 
 
1
0,90
 
µ(l
0,9
0,8
0,73
 
0,7
0,6
 
0,5
0,40
Рисунок 2.21 Гистограмма  нечеткого  мно-
0,4
0,3
0,23
0,21
жества  L( 2
ˆ
) глубины памяти ВР  2
ˆ
 еже-
0,2
0,09
0,1
0,03
недельных  максимальных  цен  на  акции 
0
Сбербанка 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 
 
 
84

 
1,00
0,9
 
µ(l)
0,90
 
0,86
0,80
 
0,70
 
0,60
0,49
0,50
 
0,40
0,29
0,27
Рисунок 2.22 Гистограмма нечеткого множе-
0,30
0,20
0,12
ства  L( 3
ˆ
)  глубины  памяти  ВР  3
ˆ
  ежене-
0,10
0,00
дельных  максимальных  цен  на  акции  Росте-
1
2
3
4
5
6
7
8
леком 
 
 
1,00
 
0,9
µ(l
0,90
 
0,80
0,74
0,70
 
0,60
0,46
 
0,50
0,40
Рисунок 2.23 Гистограмма нечеткого множе-
0,30
0,21
0,21
0,20
ства  L( 4
ˆ
)  глубины  памяти  ВР  4
ˆ
  ежене-
0,10
0,09
0,04
дельных  максимальных  цен  на  акции  Сиб-
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
нефти 
 
 
На наш взгляд, достаточно одной лишь визуализации для осуществле-
ния сравнительного анализа нечетких множеств глубины памяти неагрегиро-
ванных  ВР (2.1) – (2.4) и  соответствующих  им  агрегированных  ВР (2.5) – 
(2.8).  Фактически  имеет  место  сильно  выраженное  соотношение  подобия  в 
следующих  парах  рисунков:  рис. 2.12 и  рис.2.20 (НМ  ВР  1
  и  НМ  ВР  1
ˆ
); 
рис. 2.13 и рис.2.21 (НМ ВР  2
 и НМ ВР  2
ˆ
); рис. 2.14 и рис.2.22 (НМ ВР  3
 
и НМ ВР  3
ˆ
); рис. 2.14 и рис.2.23 (НМ ВР  4
 и НМ ВР  4
ˆ
). Из этого соот-
ветствия подобия вытекает, что сформулированное в примечании 2.8 заклю-
чение о низкой трендоустойчивости ВР  1
Z
 в полной мере относится к каж-
646
дому из четырех агрегированных ВР (2.5) – (2.8). Иными словами, процедура 
агрегирования  с  недельным  интервалом  фактически  не  привела  к  сколь-
нибудь  заметному  улучшению  предпрогнозных  фрактальных  характеристик 
полученных ВР (2.5) – (2.8). По этой причине используем повторную проце-
дуру агрегирования, увеличивая вдвое параметр интервала агрегирования  
 
 
 
85

2.5.3 Фрактальный анализ временных рядов двухнедельного  
          интервала агрегирования 

Повторное  использование  процедуры  агрегирования  для  значения 
=10  можем осуществить на базе временных рядов (2.5) – (2.8), рассматри-
вая пары соседних уровней и выбирая из них максимум: 
~
+ 1
1
1
k
= max zˆ , zˆ
,    = j
t
,   n~
,
1 ,   ~
= ˆ= 156 = 78 .           (2.24)  
t
k k
j
1
+ )
2
2
2
Применяя процедуру агрегирования вида (2.24) к каждому из четырех 
~
ВР 
k
Zˆ ,  = ,
1 4 ,  получаем  соответственно  новые  агрегированные  ВР   
k

= ,
1 4 , которые представлены выражениями (2.9) – (2.12). Графическое изо-
бражение этих ВР представлено соответственно на рисунках 2.24-2.27. 
В  результате  применения  представленного  в  п.2.4.2  алгоритма  после-
довательного   - анализа  к  агрегированным  ВР (2.9) – (2.12) получены 
оценки  глубины  памяти  этих  ВР.  Графическое  изображение  этих  оценок  в 
виде  соответствующих  нечетких  множеств  представлено  на  рисунках 2.28-
2.31. 
12
~1
, руб.
i
10
8
6
4
2
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76
Номера наблюдений 
 
~
Рисунок 2.24 Графическое изображение ВР  1
 двухнедельных максимальных 
                         цен на акции РАО ЕЭС 
 
86

18000,00
~2
, руб. 
16000,00
i
14000,00
12000,00
10000,00
8000,00
6000,00
4000,00
2000,00
0,00
1
4
7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76
Номера наблюдений 
 
 
~
Рисунок 2.25 Графическое изображение ВР  2
 двухнедельных максимальных  
                        цен на акции Сбербанка 
80
~3
, руб. 
70
i
60
50
40
30
20
10
0
1
4
7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76
 
Номера наблюдений 
 
~
Рисунок 2.26 Графическое изображение ВР  3
 двухнедельных максимальных  
                        цен на акции Ростелекома 
120
~4
, руб. 
i
100
80
60
40
20
0
1
4
7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76
Номера наблюдений 
 
 
~
Рисунок 2.27 Графическое изображение ВР  4
 двухнедельных максимальных  
                        цен на акции Сибнефти 
 
  1
0,90
µ(l)
0,9
0,8
 0,7
0,6
0,5
0,47
Рисунок 2.28 Гистограмма 
0,42
0,4
0,33
~
0,28
0,3
нечеткого 
множества 
L( 1

0,2
~
0,1
0,03
глубины 
памяти 
ВР 
1
 
0
двухнедельных максимальных цен 
1
2
3
4
5
6
7
8
на акции РАО ЕЭС 
 
87

 
1
µ(l
0,9
 
0,9
 
0,8
0,7
 
0,6
 
0,46
0,5
 
0,37
0,4
Рисунок 2.29 Гистограмма  нечетко-
0,3
0,24
0,25
~
го  множества  L
0,2
( 2
) глубины памя-
~
0,1
0,03
ти  ВР 
2
  двухнедельных  макси-
0
мальных цен на акции Сбербанка 
1
2
3
4
5
6
7
8
 
 
 
1
 
0,90
0,9
µ(l
 
0,8
0,7
 
0,63
0,6
 
0,5
 
0,4
0,34
0,3
0,25
0,27
Рисунок 2.30 Гистограмма  нечетко-
~
0,2
го  множества  L
0,07
( 3
) глубины памя-
0,1
0,03
0,03
~
0
ти  ВР 
3
  двухнедельных  макси-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
мальных цен на акции Ростелекома 
 
 
1
0,90
0,9
0,84
µ(l
 
0,8
0,7
 
0,6
0,56
0,47
0,5
 
0,4
Рисунок 2.31 Гистограмма  нечетко-
0,3
0,23
~
0,2
го  множества  L( 4
) глубины памя-
0,09
0,1
0,04
~
ти  ВР 
4
  двухнедельных  макси-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
мальных цен на акции Сибнефти 
 
Сравним рисунки 2.20 и 2.28, которые отражают  собой  глубину памя-
ти  агрегированных  ВР  соответственно  для  значений  = 5   и 10
=
 
= 5  – 
недельный  интервал  агрегирования, 10
=
 –  2-недельный  интервал  агреги-
рования).  Результат  визуализации  этих  рисунков  можно  сформулировать 
следующим образом. Имеются все основания считать, что в контексте  пред-
~
прогнозных характеристик  трендоустойчивость ВР  1
  (2- недельное  агре-
гирование) улучшилось самым  существенным образом по сравнению с трен-
доустойчивостью ВР  1
ˆ
 (недельное агрегирование). Действительно, функция 
принадлежности для  = 3   уменьшила  свое  значение  с    µ(3) = 9
,
0       до  
 
88

µ( )
~
3 = ,
0 28. При этом для ВР  1
 значения  µ(l) для всех  ≥ 4 увеличились по 
~
сравнению с соответствующими значениями для ВР  1
. Аналогичное заклю-
~
чение имеет место и для остальных агрегированных ВР  k
, 4
=
,
3
,
2
. Таким 
образом,  с  помощью  процедуры  агрегирования  представляется  возможным 
существенным  образом  улучшить  значения  фрактальных  предпрогнозных 
характеристик. 
 
2.6 Результат сравнительного анализа эффективности  
       агрегирования 

Представляемые  рисунками 2.12 – 2.15 нечеткие  множества  глубины 
памяти для временных рядов (2.1) – (2.4), записываются соответственно сле-
дующими выражениями: 
                        L(Z k )= ({l k
; µ (l))},    = 10
,
3
;   = ,
1 4 ,                         (2.25) 
где функция принадлежности  k
µ (l) принимает строго положительные значе-
ния  для  всех  ∈{ ,
3 ,
4 ..., }
10 ,  кроме  2
µ (9)
3
= µ (10)
4
= µ (9)
4
= µ (10) = 0 .  С  целью  по-
следующих ссылок запишем: 
-  нечеткие  множества  глубины  памяти  агрегированных  с  интервалом 
= 5  ВР (2.5) – (2.8), представляемых соответственно рисунками 2.20 – 2.23, 
                                   L(Z k
ˆ )= ({l k
; µˆ (l))},    = 10
,
3
;   = ,
1 4 ,                         (2.26) 
где функция принадлежности  k
µˆ (l) принимает строго положительные значе-
ния для всех ∈{ ,
3 ,
4 ..., }
10 , кроме  ˆ 2
µ (10) = ˆ 3
µ (10) = ˆ 4
µ (9) = ˆ 4
µ (10) = 0 ; 
- - нечеткие  множества  глубины  памяти  агрегированных  с  интервалом 
= 10   ВР (2.9) – (2.12), представляемых  соответственно  рисунками 2.28 – 
2.31, 
                                   ~
L(Z k ) = ({l k
µ~
;
(l))},    = 10
,
3
;   = ,
1 4 ,                         (2.27) 
где функция принадлежности  k
µ~ (l) принимает строго положительные значе-
ния для всех ∈{ ,
3 ,
4 ..., }
10 , кроме  ~1
µ ( ) ~
9
1
= µ ( ) ~
10
2
= µ ( ) ~
9
2
= µ ( ) ~
10
4
= µ (10) = 0 . 
 
89

Как  отмечено  в  примечании 2.8, наиболее  информативным  показате-
лем,  характеризующим  степень  трендоустойчивости  рассматриваемых  ВР 
является представленное в соответствующих НМ 
~
Lk
),  Lk
Zˆ ),  Lk
) значение 
функции принадлежности  k
µ (l),  k
µˆ (l) и  k
µ~ (l) для глубины памяти  = 3. При 
этом условимся считать, что для исходных ВР (2.1) – (2.4) длина интервала 
агрегирования  = 1. Для наглядности на рисунках 2.32 – 2.35 дано графиче-
ское представление динамики убывания значений функций принадлежности 
k
µ ( )
3 ,  ˆ k
µ ( )
3 ,  ~k
µ ( )
3 ,  = ,
1 4  с ростом длины интервала агрегирования   
1
1
1
µ ( )
3  
2
µ ( )
3  
0,9
0,9
ˆ1
µ ( )
3  
ˆ 2
µ ( )
3  
0,83
0,81
~1
µ ( )
3  
~2
µ ( )
3  
0,28
0,25
0
0
1
5
10
1
5
10
 
 
Рисунок 2.32 Динамика  убывания  значения  Рисунок 2.3. Динамика  убывания  значения 
функции принадлежности глубины  = 3 с рос- функции принадлежности глубины  = 3 с рос-
том интервала агрегирования для ВР котировки  том интервала агрегирования для ВР котировки 
акций РАО ЕЭС 
акций Сбербанка 
1
3
1
µ ( )
3  
ˆ 3
µ ( )
3  
4
µ ( )
3  
0,9
0,9
ˆ 4
µ ( )
3  
0,84
0,74
~3
µ ( )
3  
~4
µ (3) 
0,30
0,25
0
0
1
5
10
1
5
10
 
 
Рисунок 2.34 Динамика  убывания  значения  Рисунок 2.35 Динамика  убывания  значения 
функции принадлежности глубины  = 3 с рос- функции принадлежности глубины  = 3 с рос-
том интервала агрегирования для ВР котировки  том интервала агрегирования для ВР котировки 
акций Ростелекома 
акций Сибнефти 
Вторым по значению информативным показателем, характеризующим 
степень  трендоустойчивости  рассматриваемых  ВР  является  значение  центра 
тяжести (ЦТ) нечетких множеств (2.25), (2.26), (2.27). Значения ЦТ, обозна-
чаемые  через 
~
Ck
),  Ck
Zˆ ),  Ck
),  вычисляются  с  помощью  известных  фор-
мул дефазификации [65]: 
 
90

10
10
10
⋅ k
µ (l)
⋅ ˆ k
µ (l)
⋅ ~k
µ (l)
 
~
Ck
l=
= 3
,    C( ˆ k
l=
= 3
,    Ck
l=
= 3
,     = ,
1 4 .             
10
10
10
∑ k
µ (l)
∑ ˆ k
µ (l)
∑ ~k
µ (l)
l=3
l=3
l=3
Чем больше значение тяжести рассматриваемого ВР, тем большая сте-
пень трендоустойчивости присуща этому ВР. Для последующей оценки этой 
характеристики в зависимости от длины интервала агрегирования в табл. 2.1 
представлены  значения  ЦТ  нечетких  множеств  глубины  памяти  рассматри-
ваемых ВР. 
 
     Таблица 2.3 Центры тяжести НМ глубин памяти при различных интервалах  
                            агрегирования 
 
~
 
Zˆ  
Zˆ  
РАО ЕЭС 4,22 
4,32 
5,00 
Сбербанк 3,99 
4,42 
4,78 
Ростелеком 4,11 4,43 4,98 
Сибнефть 4,25 
4,5 
5,18 
 
На  рис.2.36  дано  графическое  представление  динамики  возрастания 
значений ЦТ глубины памяти рассматриваемых ВР в зависимости от возрас-
тания длины интервала агрегирования  
5,3
5,1
РАО ЕЭС
4,9
Сбербанк
Ростелеком
4,7
Сибнефть
4,5
4,3
4,1
q
3,9
1
5
10
 
Рисунок 2.36 Динамика возрастания значений центров тяжести глубины памяти 
                        рассматриваемых ВР в процессе возрастания интервала агрегирования  
 
 
 
 
 
 
91

2.7 Выводы к главе 2 
 
В результате использования процедуры агрегирования получено улуч-
шение  предпрогнозных  характеристик  для  каждого  из  четырех  временных 
рядов котировки акций российских компаний. Этот результат не противоре-
чит  сути  экономического  содержания  рассматриваемых  финансово-
экономических показателей. Таким образом, появляются основания рассмат-
ривать процедуру агрегирования в качестве перспективного инструмента для 
улучшения предпрогнозных характеристик экономических временных рядов, 
для которых классические подходы к прогнозированию оказываются недос-
таточно эффективными. 
 
92

Глава 3 ПРЕДПРОГНОЗНЫЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 
                  КОТИРОВКИ АКЦИЙ НА БАЗЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ 
                  И АГРЕГИРОВАНИЯ 
 

3.1 Фазовые пространства и фазовые портреты 
 
Отметим на дальнейшее, что в настоящей работе термин «эволюцион-
ный процесс» подразумевает определение такого понятия, как «фазовое про-
странство». Согласно установившимся представлениям, фазовое пространст-
во  означает  совокупность  мгновенных  состояний  рассматриваемой  системы 
(экономической,  технической,  социальной,  экологической  и  т.д.),  снабжен-
ной определенной структурой в зависимости от рассматриваемых задач и по-
ставленных целей. С математической точки зрения фазовое пространство – 
это  множество  с  надлежащей  структурой,  элементы  которого  (фазовые  точ-
ки)  представляют  (условно  изображают)  состояния  системы.  Чаще  всего  не  
делается различия между состояниями и изображающими их фазовыми точ-
ками в силу имеющего место изоморфизма между ними. Термин «эволюци-
онный процесс» (или эволюция системы) означает хронологически упорядо-
ченную последовательность точек фазового пространства, т.е. понятия «эво-
люционный процесс» и «эволюция системы» (изменение со временем ее со-
стояний) рассматриваются как синонимы. 
Математическая формализация понятий «эволюционный процесс» или 
«эволюция системы» обычно включает в качестве существенной части опре-
деление соответствующего фазового пространства (или класса фазовых про-
странств) [58,90]. Эволюция системы может быть строго детерминированной  
или иметь стохастический характер. При исследовании эволюционного про-
цесса  исходной  информацией  является  временной  ряд,  т.е.  упорядоченная 
последовательность  наблюдений  за  значениями  некоторого  показателя.  При 
этом число переменных, определяющих поведение процесса, и тип функции, 
описывающий это поведение, заранее неизвестны. 
 
93

Пусть эволюционный процесс определяется векторным итерационным 
уравнением 
Z t+1 = (Z t ), = ,
1 ,...
2

(3.1) 
Здесь  Z t  - это вектор из   компонент, где   может быть очень большим чис-
лом и обычно включает много переменных, о которых мы ничего не знаем. 
Функция   в (1.3) переводит систему из одного момента времени в следую-
щий, вид  ее тоже неизвестен. Исследователь наблюдает  временной ряд ска-
лярных  величин  ,  =
.  Наблюдения  генерируются  в  соответствии  с 
t
t
,
1 ,...,
2
T
некоторой функцией 
=

(3.2) 
t
h(Zt )
Будем называть функцию   «функцией наблюдателя». Временной ряд 
образует траекторию, которая является плотной на аттракторе [55,90,92,93]. 
Для получения сведений об исходной системе нам нужен некоторый способ, 
с помощью которого мы сможем возвращаться от наблюдаемой к исследуе-
мой системе. Этот способ осуществляется путем построения фазовой траек-
тории [58,90], или, в другой терминологии, фазового портрета [45] размерно-
сти  ρ : 
Φρ ()= ({,
,  =

(3.3) 
t zt 1,....,
+
zt+ρ 1
− )} t
,
1 ,...
T
Термины  «фазовый  портрет»  или  «фазовая  траектория»  обычно  подразуме-
вают, что соседние точки множества (3.3) для наглядности соединены отрез-
ками прямой или кривой линии. Объективную информацию о характере по-
ведения эволюционного процесса (3.1) исследователь может получить через 
наблюдения (3.2), опираясь  на  замечательную  теорему  Таккенса [21]: если 
система,  которая  порождает  временной  ряд,  является  -  размерной,  и  обес-
печено  выполнение  неравенства  ρ ≥ 2+1,  тогда  в  общем  случае  фазовые 
траектории воссоздают динамику исследуемой системы. Существует диффе-
оморфизм [90] между фазовыми траекториями и истинными данными, поро-
ждаемыми  системой.  Этот  замечательный  результат  позволяет  делать  выво-
 
94

ды о поведении системы, опираясь на данные наблюдений, и, более того, по-
лучать информацию для прогнозирования этого поведения. 
В  отличие  от  наиболее  изученных  дифференцируемых  динамических 
систем в настоящей работе рассматриваем эволюционные процессы, которым 
присуще  дискретное  изменение  наблюдаемых  показателей  во  времени,  т.е. 
изменения,  происходящие  в  определенные  промежутки  времени  (скачки).  В 
этом случае соответствующее фазовое пространство является дискретным, а 
упорядоченная во времени последовательность значений наблюдаемого про-
цесса  называется  временным  рядом.  Если  эволюционный  процесс,  точнее,  
изменение во времени его состояний подчиняется некоторым вероятностным 
закономерностям, то его принято называть стохастическим процессом. 
Особого  внимания  заслуживают  «кусочно-полиномиальные»  подходы 
к представлению фазовых траекторий. Среди этих подходов, вероятнее всего, 
наиболее  перспективным  является  использование  сплайн  функций [46,127] 
или,  кратко,  сплайнов.  Отличительная  особенность  сплайнов  заключается  в 
том, что они состоят из отрезков степенного полинома малого порядка (сте-
пени). Эти отрезки сходятся в заданных узловых точках процесса (узлах ре-
шетчатой функции). Необходимой составной частью такого подхода является 
«сшивка» кусков сплайн-функции  значениями самой функции и значениями 
ее  производных.  Такая  структура  сплайна  автоматически  собирает  его  от-
дельные фрагменты в единый ансамбль. 
3.2 Фазовые портреты исходных временных рядов котировки 
         акций 

В процессе моделирования временных рядов методами нелинейной ди-
намики  (теории  хаоса) [21,145], по-видимому,  наиболее  важным  вопросом 
является вопрос о том, содержит траектория рассматриваемого ВР аттрактор 
(странный аттрактор) [21,145]. Для обоснования ответа на этот вопрос к на-
стоящему  времени  разработан  ряд  алгоритмов  и  тестов  (вычисление  корре-
ляционной  размерности,  максимального  показателя  Ляпунова,  К-энтропии 
 
95

Колмогорова, BDS-тест, тест остатков Брока), общее описание которых мож-
но найти в [21,145]. Вышеуказанные методы получили название метрических 
тестов. К последним относится также инструментарий фрактального анализа   
[80,110,144]. 
Следует  отметить  достаточно  высокую  методическую  и  вычислитель-
ную сложность реализации метрических тестов. По этой причине они до на-
стоящего времени не находили должного применения в реальном экономико-
математическом моделировании. Судя по ряду публикаций, можно говорить 
о наметившейся тенденции использования так называемых графических тес-
тов в процессе моделирования социально-экономических ВР методами нели-
нейной динамики.  Можно упомянуть графический тест  хаоса [145], предло-
женный  Гилмором.  Этот  тест  выявляет  неустойчивые  квазипериодические 
периоды, заключенные в странном аттракторе. Для обнаружения таких орбит 
в рассматриваемом ВР наиболее удобным по своей реализации нам представ-
ляется  подход,  который  можно  называть  термином  «разложение  фазового 
портрета на квазициклы». 
Рассмотрим какой-либо ВР  ,  =
 и последовательность его от-
i
i
,
n
резков  (,
,  =
− + , называемых  - историями [35]. Здесь 
i zi
,
1 ,...
2
1
1 ,...,
+
zi+1
− )
число   представляет собой размерность фазового портрета, который опре-
деляется в виде множества 
                  Φ
,  =
− + .                      (3.4) 
() = {(,
i zi 1,...,
+
zi+1
− )}
,
1 ,...,
2
1
В настоящей работе мы ограничимся фазовым портретом размерности 
= 2 , в частности, для ВР   он определяется выражением 
                              Φ ,
,       = ,
1 ,...,
2
−1.                           (3.5) 
2 ( )
{( i zi 1+)}
В  целях  визуализации  на  рисунках 3.1–3.4 дано  графическое  представление 
фазовых портретов ВР (2.1)–(2.4). 
Упомянутое выше разложение фазового портрета на квазициклы в су-
щественной  мере  базируется  на  визуализации  графического  представления 
(на  экране  дисплея)  фрагментов  данного  фазового  портрета.  При  этом  при-
 
96

нимается  во  внимание  характер  вращения  звеньев,  соединяющих  соседние 
точки  (,  (x
 визуализируемого фрагмента рассматриваемого фазо-
+1
+ 2 )
i
+1 )
вого портрета. Определение термина «квазицикл» в некотором смысле близ-
ко  к  определению  общепринятого  понятия  «цикл».  Различие  между  этими 
двумя понятиями состоит в том, что начальная и конечная точки квазицикла  
не обязательно должны совпадать. Конечная точка квазицикла определяется 
ее вхождением в окрестность начальной точки. При этом допускается само-
пересечение начального и конечного звеньев квазицикла, если это приводит к 
наилучшему сближению его начальной и конечной точек.  
 
11
 
1
10
zi 1
+
9
 
8
 
7
6
 
5
 
4
3
 
1
zi
2
 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
 
Рисунок 3.1 Фазовый портрет временного ряда  1
 котировки акций РАО ЕЭС (2.1) 
 
 
19000
2
zi 1
+
 
17000
15000
 
 
13000
 
11000
 
 
9000
 
7000
 
 
5000
2
 
 
i
3000
 
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
 
 
Рисунок 3.2 Фазовый портрет временного ряда  2
 котировки акций Сбербанка (2.2) 
 
 
97

 
85
 
3
zi 1
+
75
 
 
65
 
 
55
 
 
45
 
35
 
3
 
i
 
25
 
25
35
45
55
65
75
 
 
Рисунок 3.3 Фазовый портрет временного ряда  3
 котировки акций Ростелеком (2.3) 
 
120
 
4
110
zi 1
+
 
100
 
90
80
 
70
 
 
60
 
50
4
 
i
 
40
 
40
50
60
70
80
90
100
110
120
 
Рисунок 3.4 Фазовый портрет временного ряда  4
 котировки акций Сибнефти (2.4) 
 
Для каждого из представленных на рисунках 3.1 – 3.4 фазовых портре-
тов  осуществлено  разложение  их  на  квазициклы.  На  рис.3.5  представлены 
типичные  квазициклы,  составляющие  большинство  в  указанных  разложени-
ях. Характерной особенностью этих квазициклов является то, что при малой 
их длине они содержат такие пары соседних звеньев, которые имеют проти-
воположное направление вращения (см.рис.3.5 (а)). Вторая особенность рас-
сматриваемых  фазовых  портретов  состоит  в  том,  что  они  содержат  такие 
достаточно  продолжительные  отрезки  траектории,  в  которых  отсутствует 
цикличность  (см.рис.3.5 (б)).  Эти  две  особенности  подтверждают  получен-
ный  с  помощью  фрактального  анализа  и  сформулированный  в  главе 2, п. 
 
98

2.5.1  вывод  о  «плохих»  предпрогнозных  характеристиках  рассматриваемых 
временных рядов (2.1) – (2.4) котировки акций российских компаний.  
 
 
4,6
zi 1
+
8
z
 
7,5
1
+
4,55
7
 
6,5
4,5
6
 
5,5
4,45
z
5
i
z
4,5
i
 
4,4
4
4,48
4,5
4,52
4,54
4,56
4
5
6
7
8
 
а) 
б) 
Рисунок 3.5 Типичные квазициклы во временных рядах  k
,  = ,
1 4  
Таким образом, из  фазового анализа этих ВР вытекает необходимость 
применения к ним процедуры агрегирования с целью улучшения их предпро-
гнозных характеристик. 
3.3 Фазовые портреты временных рядов котировки акций,  
        агрегированных недельными интервалами 
 
С целью улучшения свойства цикличности в рассматриваемых времен-
ных рядах  k
,  = ,
1 4  котировки акций применим описанную ранее процедуру 
агрегирования (2.2) с  интервалом  агрегирования  = 5  (недельный  интервал 
агрегирования).  На  рисунках 3.6-3.9 приведены  фазовые  портреты  времен-
ных рядов агрегированных недельных котировок акций. 
 
12
1
ˆzi+1
 
11
10
 
9
8
 
7
6
 
5
4
 
3
2
1
ˆzi  
 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Рисунок 3.6 Фазовый портрет агрегированного с интервалом  = 5   
                       временного ряда  1
ˆ
 котировки акций РАО ЕЭС 
 
99

 
 
18000
2
16000
ˆzi 1
+  
 
14000
 
12000
10000
 
8000
 
6000
2
4000
ˆ 
 
i
2000
 
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
 
Рисунок 3.7 Фазовый портрет агрегированного с интервалом  = 5   
                       временного ряда  2
ˆ
 котировки акций Сбербанка 
 
  85
 
3
ˆzi 1
+
  75
 
  65
  55
 
  45
 
  35
3
 
ˆzi
  25
 
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
 
Рисунок 3.8 Фазовый портрет агрегированного с интервалом  = 5   
                       временного ряда  3
ˆ
 котировки акций Ростелекома 
 
  120
4
  110
ˆzi 1
+
  100
  90
  80
  70
  60
  50
 
4
ˆzi
  40 45
55
65
75
85
95
105
115
 
Рисунок 3.9 Фазовый портрет агрегированного с интервалом  = 5   
                       временного ряда  4
ˆ
 котировки акций Сибнефти 
 
100

Для каждого из представленных на рисунках 3.6 – 3.9 фазовых портре-
тов  осуществлено  разложение  их  на  квазициклы.  На  рис.3.10  представлены 
типичные  квазициклы,  составляющие  большинство  в  указанных  разложени-
ях. Характерной особенностью этих квазициклов является то, что при малой 
их длине они содержат такие пары соседних звеньев, которые имеют проти-
воположное направление вращения (см.рис.3.10). 
 
 
ˆ  
 
4,4
z
100
i
+
1
+  
1
4,35
98
 
 
4,3
96
 
4,25
 
94
4,2
 
92
 
4,15
90
4,1
 
 
88
4,05
 
 
i
86
zˆ  
 
4
i
3,95
84
 
 
4
4,02
4,04
4,06
4,08
4,1
4,12
4,14
84
86
88
90   92
94
96
98
а) 
б) 
Рисунок 3.10 Типичные квазициклы во временных рядах  k
Zˆ ,  = ,
1 4  
Из визуализации квазициклов фазовых портретов агрегированных вре-
менных рядов  k
Zˆ ,  = ,
1 4   на  рисунках 3.6–3.9 вытекает,  что  процедура  агре-
гирования  с  интервалом  = 5  фактически  не  привела  к  сколь-нибудь  замет-
ному улучшению предпрогнозных характеристик, в частности, цикличности 
агрегированных  ВР (2.5) – (2.8). По  этой  причине  используем  повторную 
процедуру агрегирования, увеличивая вдвое параметр интервала агрегирова-
ния  
3.4 Фазовые портреты временных рядов котировки акций,  
        агрегированных двухнедельными интервалами 
 

На рисунках 3.11–3.14 представлены фазовые портреты  Φ
,  = ,
1 4 , 
2 (~ k
)
агрегированных с интервалом  = 10  временных рядов (2.9)–(2.12). В резуль-
тате разложения этих фазовых портретов на квазициклы  k
,  =
,  = ,
1 4  
r
r
,
mk
выяснилось,  что  они  характеризуются  достаточно  хорошими  предпрогноз-
ными  свойствами.  На  рисунках 3.15–3.18 изображены  квазициклы  фазовых 
 
101

портретов агрегированных двухнедельным интервалом временных рядов  ~k

= ,
1 4  котировки акций четырех российских компаний. 
 
12  
11
~1
zi+  
 
1
10
9  
8  
7  
6  
5
4  
3  
~1
zi  
2  
 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
 
 
Рисунок 3.11 Фазовый портрет агрегированного с интервалом  = 10  
~
                         временного ряда  1
 котировки акций РАО ЕЭС 
 
 
 
18000
 
~2
 
 
16000
1
+
 
 
14000
 
 
12000
 
 
10000
 
8000
 
 
6000
 
 
4000
~ 2
zi  
 
 
2000
  2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
 
 
Рисунок 3.12 Фазовый портрет агрегированного с интервалом  = 10  
~
                         временного ряда  2
 котировки акций Сбербанка 
 
 
 
 
102

 
 
 80
~3
 
zi 1
+  
75
 
 70
 65
 
 60
 55
 50
 
 45
 40
 35
~3
 
zi  
 30
  30
40
50
60
70
80
 
 
Рисунок 3.13 Фазовый портрет агрегированного с интервалом 10
=
 
~
                         временного ряда  3
 котировки акций Ростелекома 
 
 
 120
~4
zi+  
 
1
110
 
 100
  90
 
  80
 
  70
  60
 
  50
~4
 
 
i
  40
 
40
50
60
70
80
90
100
110
120
 
Рисунок 3.14 Фазовый портрет агрегированного с интервалом 10
=
 
~
                         временного ряда  4
 котировки акций Сибнефти 
 
 
 
5,35
~1
3
 
1
6
~1
 
 
4
 
5,5
1
+
5,3
1
+
5
5
 
5,25
4,5
6
5,2
 
4
9
7
5,15
3,5
 
5,1
2
~1
3
10
8
11
 
~1
 
 
5,05
i
2,5
i
2
 
5
2
3
4
5
6
5
5,05
5,1
5,15
5,2
5,25
5,3
5,35
5,4
 
 
 
103

4,5
4,4
20
21
18
4
17
4,3
4,2
3,5
16
24
22
12
4,1
3
19
15
4
23
2,5
14
13
3,9
2
3,8
2,5
2,7
2,9
3,1
3,3
3,5
3,7
3,9
3,8
3,9
4
4,1
4,2
4,3
4,4
 
 
4,7
26
10
34
35
29
33
4,6
9
31
4,5
8
36
28
7
32
4,4
27
6
4,3
5
4,2
30
25
4
4,1
3
4
3
4
5
6
7
8
9
10
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
 
 
48
11
39
40
9,5
10,5
38
9,3
10
24
37
41
9,1
47
50
49
9,5
8,9
9
8,7
8,5
42
44
8
8,5
45
43
7,5
8,3
46
7
8,1
7
8
9
10
11
8,1
8,3
8,5
8,7
8,9
9,1
9,3
9,5
 
 
10,5
53
54
8,8
59
65
10
64
9,5
51
8,3
52
61
9
58
55
7,8
8,5
63
60
8
57
56
7,3
62
7,5
7
6,8
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
10,5
6,8
7,3
7,8
8,3
8,8
 
 
76
10
66
67
8,7
9,5
8,5
69
74
68
9
8,3
75
70
8,5
8,1
8
72
7,9
71
7,5
7,7
73
7
7,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
7,5
7,7
7,9
8,1
8,3
8,5
 
 
 
Рисунок 3.15 Квазициклы  1
,  =
 
=
r
12
,
1
агрегированного с интервалом 
10 
~
                        временного ряда  1
 котировки акций РАО ЕЭС 
 
104

6500
4
6000
12
7
6000
6
2
8
5500
5500
1
3
5000
5000
13
4500
4500
4000
11
9
4000
5
3500
10
3500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
3000
 
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
 
18
25
28
7500
7500
7000
16
26
6500
21
7000
24
6000
19
6500
5500
14
15
17
5000
6000
4500
27
4000
20
23
22
5500
3500
3000
5000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
5000
5500
6000
6500
7000
7500
 
 
40
10000
32
10000
9500
9000
30
37
45
33
9000
41
8000
39
36
34
8500
44
42
8000
7000
29
31
43
7500
7000
6000
35
38
6500
5000
6000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
6000
7000
8000
9000
10000
 
 
10500
50
14000
53
10000
47
13000
52
9500
12000
9000
48
49
56
54
8500
11000
8000
46
10000
51
55
7500
9000
7000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
 
 
59
66
13000
58
61
14000
68
12500
13500
12000
13000
67
11500
63
57
60
12500
11000
65
10500
12000
64
10000
62
11500
9500
11000
9500
10000
10500
11000
11500
12000
12500
13000
11000
11500
12000
12500
13000
13500
14000
 
 
 
17000
76
 
16000
69
15000
74
70
Рисунок 3.16 Квазициклы  2
,  =
 
r
11
,
1
14000
агрегированного с интервалом 10
=
  
13000
75
71
~
12000
временного  ряда 
2
  котировки  акций 
11000
73
72
10000
Сбербанка 
10000
11000
12000
13000
14000
15000
 
 
 
 
105

2
50
1
42
15
40
45
3
14
38
9
40
6
4
7
36
13
34
10
35
8
5
32
12
11
30
30
30
35
40
45
50
55
30
32
34
36
38
40
 
 
42
16
46
23
17
19
45
41
44
22
43
24
25
42
40
41
40
21
39
18
39
20
38
38
37
36
38
39
40
41
42
36
38
40
42
44
46
 
 
29
65
28
57
36
60
55
35
37
32
30
55
53
31
50
51
34
45
26
27
49
33
40
47
35
45
35
40
45
50
55
60
65
45
47
49
51
53
55
57
 
 
39
45
70
67
46
68
66
66
42
65
44
64
62
40
64
60
63
58
41
38
62
56
43
54
61
52
60
48
53
58
63
68
73
60
61
62
63
64
65
66
67
 
 
78
51
73
64
76
71
74
50
52
69
63
65
72
48
67
70
47
65
62
57
68
49
63
61
66
61
58
64
56
53
54
59
62
55
57
60
59
60
55
60
65
70
75
80
55
60
65
70
75
 
 
 
106

7766
75
66
67
70
64
75
65
73
72
68
60
62
74
55
60
50
76
70,  71
69
45
58
40
59
60
61
62
63
43
48
53
58
63
68
73
78
 
 
Рисунок 3.17 Квазициклы  3
,  =
 
r
12
,
1
агрегированного с интервалом 10
=
 
~
                        временного ряда  3
котировки акций Ростелекома 
 
 
9
75
2
67
6
70
62
65
5
60
1
3
57
8
55
7
50
4
52
10
45
40
47
40
45
50
55
60
65
70
75
47
52
57
62
67
72
 
 
70
12
75
17
25
13
70
65
16
18
24
19
65
60
22
60
20
11
14
55
21
55
50
15
50
23
45
45
45
50
55
60
65
70
75
45
50
55
60
65
70
 
 
83
26
95
28
34
90
31
78
85
80
73
75
30
32
27
70
68
29
65
33
63
60
63
68
73
78
83
60
65
70
75
80
85
 
 
38
44
110
90
43
45
85
100
39
46
80
90
75
42
37
70
80
40
65
35
41
60
70
36
55
60
50
60
70
80
90
100
110
50
55
60
65
70
75
80
85
90
 
 
 
107

48
110
90
54
105
85
100
49
53
80
55
95
50
90
75
85
51
70
80
47
52 56
75
65
70
60
70
80
90
100
110
65
70
75
80
85
90
 
 
63
101
60
115
62
96
110
91
59
105
86
100
81
95
90
76
64
57
85
71
80
65
66
61
75
61
58
70
56
70
80
90
100
110
120
56
61
66
71
76
81
86
 
 
88
68
105
71
72
69
100
83
95
75
78
74
90
73
67
85
73
66
70
68
80
68
73
78
83
88
70
75
80
85
90
95
100
105
 
 
Рисунок 3.18 Квазициклы  4
,  =
 
r
14
,
1
агрегированного с интервалом 10
=
 
~
                        временного ряда  4
 котировки акций Сибнефти 
 
В таблице 3.1 приведены результате разложения временных рядов  ~k

= ,
1 4  на квазициклы  k
,  =
=

r
r
,
mk
,
1 4
 
Таблица 3.1  
Порядковый номер   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
квазицикла 
1
1
3 8 7 6 5 7 9 6 8 7  7 4 – – 
Длина  n r  квазицикла  K r  
Длина  2
n
K
 квазицикла 
2
 
6 7 8 7 9 8 5 6 7 5  8 – – – 
Длина  3
n
K
 квазицикла 
3
 
6 4 6 9 4 5 6 6 5 5  4 5 4 6 
4
4
8 7 4 6 7 5 6 4 10 9  8 4 – – 
Длина  nr  квазицикла  Kr  
 
На  основании  визуализации  и  анализа  разложения  фазовых  портретов 
Φ
,   = ,
1 4  (см. рис.3.11–3.14) на квазициклы, представленные на рисун-
2 (~ k
)
 
108

ках 3.15–3.18, сформулируем  выводы  о  предпрогнозной  информации,  полу-
чаемой  на  базе  анализа  фазовых  портретов,  а  также  улучшения  характери-
стик этой информации путем использования процедуры агрегирования. 
 
3.5  Предпрогнозный  анализ  временных  рядов  на  базе  их  фазовых 

портретов и агрегирования 
На рисунках 3.15–3.18 все квазициклы помещены в габаритные прямо-
угольники.  Построение  такого  прямоугольника  состоит  из  следующих  опе-
раций.  Сначала  в  рассматриваемых  квазициклах  k
  выделяются  две  точки: 
r
первая  с  минимальным  значением  абсциссы,  вторая – с  максимальным  зна-
чением абсциссы; через эти выделенные точки проводим (пунктиром) отрез-
ки прямых, параллельные оси ординат. Далее, в квазицикле  k
  выделяются 
r
две точки: первая – с минимальным значением ординаты, вторая – с макси-
мальным значением ординаты; через эти выделенные точки проводим (пунк-
тиром)  отрезки  прямых,  параллельных  оси  абсцисс.  Пересечение  построен-
ных  двух  пар  параллельных  прямых  образует  искомый  габаритный  прямо-
угольник  для  рассматриваемого  квазицикла 
k
;  центр  этого  квазицикла 
r
представляется точкой пересечения диагоналей габаритного прямоугольника. 
В  каждом  габаритном  прямоугольнике  точка  пересечения  его  диагоналей 
представляет центр вращения соответствующего квазицикла. 
Рассматривая направление вращения звеньев квазициклов на рисунках 
3.15–3.18 (по часовой стрелке или против часовой   стрелки),  отметим,  что 
явное большинство звеньев имеют направление вращения по часовой стрел-
ке.  Вместе  с  тем,  на  каждом  из  этих  рисунков  представлены  квазициклы,  в 
которых  некоторые  звенья  имеют  направление  вращения  против  часовой 
стрелки. 
Для всякого ВР представляемую его фазовым портретом предпрогноз-
ную информацию  можно разделить на 3 группы. Первую группу составляет 
прогнозная информация,  которая представляется разложением  ФП  этого ВР 
 
109

на квазициклы (см.рисунки 3.15–3.18 для ВР, рассматриваемых в настоящей 
работе). 
Вторую  группу  составляет  прогнозная  информация,  представляемая 
траекториями  дрейфа  центров  квазициклов,  представленных  на  рисунках 
3.15–3.18. Номера точек на этих траекториях совпадают с номерами   соот-
ветствующих квазициклов  k
, а координаты  ( k k
, т.е. абсциссы и ордина-
r
)
r
ты  этих  точек  представляют  собой  координаты  центров  соответствующих 
квазициклов в фазовом пространстве  Φ
, 1 ≤ ≤ 4 . 
2 ( ~ k
)
Фазовый  анализ  многочисленных  временных  рядов  показал,  что  цен-
тры габаритных прямоугольников представляют собой либо точки на биссек-
трисе  положительного  ортанта,  которые  находятся  в  узкой  ε -  окрестности 
этой  биссектрисы.  Иллюстративным  примером  для  этого  утверждения  слу-
жит рис.3.19. С целью повышения эффективности визуализации этой траек-
тории целесообразно строить фазовый анализ портрет для временного ряда, 
состоящего из значений абсцисс  k

k
= ,
1 ,...,
2
, где  k
 – число квазициклов, 
r
полученных при разложении фазового портрета  Φ

2 ( ~ k
)
На рисунках 3.19, 3.21, 3.23 и 3.25 дано графическое изображение тра-
екторий  дрейфа  центров  габаритных  прямоугольников  квазициклов,  полу-
ченных при разложении фазовых портретов  Φ
,  = ,
1 4 , а также  фазовых 
2 ( ~ k
)
портретов этих траекторий. 
Третью  группу  составляет  предпрогнозная  информация,  представляе-
мая  траекторией  дрейфа  полупериметров  габаритных  прямоугольников  ква-
зициклов,  полученных  в  результате  разложения  рассматриваемого  ФП,  а 
также  фазовым  портретом  этой  траектории.  На  рисунках 3.20, 3.22, 3.24 и 
3.26  представлены  соответственно  траектории  дрейфа  полупериметров  ква-
зициклов  фазовых  портретов  для  рассматриваемых  ВР  ~k
,   = ,
1 4 ,  а  также 
фазовые портреты этих траекторий. 
 
 
 
110

3.5.1 Предпрогнозная информация для временного ряда  ~1
 
          котировки акций  РАО ЕЭС 
 
 

 
10
 
10
~1
zi 1
+  
8
 
8
6
 
6
4
 
4
2
 
2
~1
zi
0
 
0
0
2
4
  6
8
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 
а) 
б) 
Рисунок 3.19 Траектория (а) дрейфа центров габаритных прямоугольников квазициклов 
~
агрегированного  с  интервалом  = 10   временного  ряда  1
  и  ее  фазо-
вый портрет (б) 
 
~
10
1
10
zi 1
+
8
8
6
6
4
4
~1
2
2
zi
0
0
0
5
10
15
0
5
10
 
 
а) 
б) 
Рисунок 3.20 Траектория  дрейфа  полупериметров  габаритных  прямоугольников 
квазициклов (а) на рис. 3.15 и ее фазовый портрет (б) 
 
3.5.2 Предпрогнозная информация для временного ряда  
~2
 котиров-
ки акций Сбербанка 
 
16000
14000
~2
z
14000
12000
1
+
12000
10000
10000
8000
8000
6000
6000
~
4000
2
z
4000
i
2000
2000
0
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
 
а) 
б) 
 
Рисунок 3.21 Траектория  (а)  дрейфа  центров  габаритных  прямоугольников  квази-
~
циклов ВР  2
 и ее фазовый портрет (б) 
 
111

 
 
 
~2
8000
8000
zi 1+
7000
7000
6000
6000
5000
5000
4000
4000
3000
3000
2000
2000
~2
z
1000
1000
i
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
 
 
а) 
б) 
 
Рисунок 3.22 Траектория (а) дрейфа полупериметров габаритных прямоугольников 
квазициклов на рис. 3.16 и ее фазовый портрет (б) 
 
 
3.5.3 Предпрогнозная информация для временного ряда  
~3
 котиров-
ки акций  Ростелекома 
 
 
80
80
~3
zi 1+
70
60
60
40
50
40
20
~3
z
30
i
0
20
30
40
50
60
70
80
20
30
40
50
60
70
80
 
 
а) 
б) 
 
Рисунок 3.23 Траектория  (а)  дрейфа  центров  габаритных  прямоугольников  квази-
~
циклов ВР  3
 и ее фазовый портрет (б) 
 
 
~
50
50
3
zi 1+
40
40
30
30
20
20
10
10
~3
zi
0
0
-1
1
3
5
7
9
11
13
-10
10
30
50
 
 
а) 
б) 
 
Рисунок 3.24 Траектория  дрейфа  полупериметров  габаритных  прямоугольников 
квазициклов (а) на рис. 3.17 и ее фазовый портрет (б) 
 
112

3.5.4 Предпрогнозная информация для временного ряда  ~4
 котиров-
ки акций Сибнефти 
 
~4
120
100
zi 1+
100
90
80
80
60
70
40
60
~4
20
z
50
i
0
40
40
60
80
100
40
50
60
70
80
90
100
 
 
а) 
б) 
Рисунок 3.25 Траектория  (а)  дрейфа  центров  габаритных  прямоугольников  квази-
~
циклов ВР  4
 и ее фазовый портрет (б) 
 
70
~4
70
zi 1+
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
~
10
10
4
z
0
i
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
20
40
60
80
 
 
а) 
б) 
Рисунок 3.26 Траектория (а) дрейфа полупериметров габаритных прямоугольников 
квазициклов рис. 3.18 и ее фазовый портрет (б) 
 
 
 
 
3.6 Выводы к главе 3 

 
1.  Каждый  из  агрегированных  с  интервалом  = 10  временных  рядов 
(2.9)–(2.12)  содержит  отчетливо  выраженную  циклическую  компоненту.  В 
составе этих компонент преобладают квазициклы, длина которых в типичном 
случае принимает значение из множества  { ,
4 ,
5 ,
6 7, }
8 . Содержательную кален-
дарную интерпретацию этих длин можно трактовать как наличие в динамике 
рассматриваемых  временных  рядов  таких  видов  цикличности,  как  двухме-
сячные, 2,5- месячные, 3- месячные, 3,5- месячные и 4- месячные. При этом 
для различных ВР являются преобладающими различные виды цикличности: 
для  «РАО  ЕЭС» –3,5- месячные;  для  «Сбербанка» – 3,5 и 4- месячные;  для 
 
113

«Сибнефти» – 2- месячные, 2,5- месячные и 3- месячные; для «Ростелеком» – 
2- месячные и 4- месячные. 
2.  Звенья  квазициклов  имеют,  как  правило,  направление  вращения  по 
часовой стрелке. Доля звеньев, имеющих противоположное (против часовой 
стрелки) направление вращения составляет не более 10 %. Эту долю можно 
рассматривать  в  качестве  косвенной  оценки  риска  ошибочного  прогнозиро-
вания рассматриваемых ВР на базе фазовых портретов. 
3. Сравнительный анализ предпрогнозной информации по каждому из 
рассматриваемых  ВР (2.9)–(2.12) представим  с  учетом  разбиения  ее  на 3 
группы.  С  точки  зрения  первой  группы  наиболее  информативным  является 
представленный  на  рисунках 3.12 и 3.16 ФП  ВР  ~2
 (2.10) котировки  акций 
Сбербанка. Основанием для такого утверждения является тот факт, что этот 
ФП не содержит квазициклов длины 3 и 4, при этом большая часть квазицик-
лов на рис.3.16 имеет в основном длину 8, а именно периодичность порядка 
четырех  месяцев.  При  этом  из 65 звеньев,  составляющих  эти  квазициклы 
только 6 (т.е. ~9 %) имеют вращение против часовой стрелки. Остальные 3 из 
рассматриваемых  ВР  демонстрируют  менее  надежную  прогнозируемость  с 
точки зрения первой группы предпрогнозной информации. 
4.  С  точки  зрения  второй  группы  наиболее  информативным  также  яв-
ляется  ФП  агрегированного  с  интервалом 
~
= 10   ВР 
2
  котировки  акций 
Сбербанка. Как видно из рис.3.21, дрейф центров  квазициклов, относящихся 
к этому ВР в основном концентрируются в весьма ограниченной окрестности  
биссектрисы  положительного  ортанта  декартовых  координат  его  фазового 
пространства.  При  этом,  что  очень  важно,  траектория  дрейфа  центров  не 
имеет отрицательных (возвратных) приращений, т.е является монотонно воз-
растающей.  Визуализация  рисунков 3.15, 3.17 и 3.18 позволяет  сделать  за-
ключение  о  значительной  степени  неопределенности  второй  группы  про-
гнозной  информации,  относящейся  к  фазовым  портретам  ВР  «РАО  ЕЭС», 
«Сибнефти» и «Ростелекома». 
 
114

5.  Визуализация  рисунков 3.20, 3.22, 3.24 и 3.26 также  позволяет  ут-
верждать,  что  с  точки  зрения  третьей  группы  прогнозной  информации  наи-
меньшая  неопределенность  присуща  траектории  дрейфа  полупериметров 
квазициклов,  относящихся  к  ФП  агрегированного  временного  ряда  «Сбер-
банка». В терминологии [80] эта траектория имеет наиболее предсказуемый 
скейлинг (изменение частоты и амплитуды колебаний).  
Из вышеуказанного вытекает, что достаточно веские предпосылки для 
надежного  прогнозирования  имеются  для  агрегированного  с  интервалом 
= 10   ВР  котировки  акций  «Сбербанка».  Остальные  три  из  рассмотренных 
ВР нуждаются в дополнительном предпрогнозном анализе. 
 
 
 
 

 
115

Глава 4 АДАПТАЦИЯ  КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНОЙ  ПРОГНОЗНОЙ      
МОДЕЛИ ДЛЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ КОТИРОВКИ АКЦИЙ 
4.1 Особенности временных рядов, для которых традиционные 
       методы прогнозирования неадекватны 
 

Областью  применения  предлагаемого  в  настоящей  главе  алгоритма 
прогнозирования  являются  эволюционные  процессы,  временные  ряды  (ВР) 
показателей  которых  обладают  долговременной  памятью [110]. К  их  числу 
относятся  чаще  всего  либо  природные  ВР,  либо  ВР  основных  показателей 
эволюционных  процессов  в  различных  отраслях  народного  хозяйства:  ВР 
урожайности в области растениеводства, ВР заболеваний в региональной или 
городской  отрасли  здравоохранения,  ВР  индекса  цен  стройматериалов,  ВР 
стоимости  ценных  бумаг - государственных  облигаций,  курса  валют,  и  др. 
Применение к этим ВР традиционных методов статистического анализа [110] 
весьма  часто  приводит  к  неудовлетворительному  результату  прогнозирова-
ния.  Например,  для  ВР  урожайности  основных  сельскохозяйственных  куль-
тур, выращиваемых в южно-российской зоне рискового  земледелия, являет-
ся в принципе неправомерным использование классических методов прогно-
зирования,  которые  базируются  на  авторегрессии  и  скользящем  среднем 
[110,112]. Причиной тому оказалось, что многие реальные ВР обладают дол-
говременной  памятью [110], что  означает  отсутствие  независимости  наблю-
дений  и  неподчинение  ВР  нормальному  закону,  более  того,  в  характере  их 
поведения  проявляются  такие  свойства  как  хаотичность,  наличие  тяжелых 
хвостов [110] при отсутствии сезонной компоненты и долговременного трен-
да [60,62]. 
Таким  образом,  если  у  рассматриваемого  ВР  достаточно  часто  сменя-
ется  тренд  и  он  обладает  долговременной  памятью,  то  применение  к  нему 
классических методов прогнозирования зачастую оказываются неадекватны-
ми.  Отсюда  естественным  является  вопрос  о  существовании  таких  принци-
пиально  новых  моделей  и  методов  прогнозирования,  у  которых  «мешаю-
щий», в указанном выше смысле, фактор долговременной памяти становится 
 
116

«созидательным».  Положительный  ответ  на  этот  вопрос  удается  не  только 
обосновать, но и конструктивно реализовать, используя идеи искусственного 
интеллекта и алгоритмы, родственные генетическим («квазигенетические ал-
горитмы») [115], которые, в частности, могут быть реализованы на базе кле-
точных автоматов [80]. 
 
4.2  Клеточные  автоматы  для  прогнозирования  экономических 
временных  рядов  их  преимущества  перед  классическими  ме-
тодами 

 
           Американский  математик  Дж.Нейман  еще  более  полувека  назад  пола-
гал,  что  многие  сложные  явления,  такие  как  самовоспроизведение,  рост  и 
развитие,  морфогенез, которые трудно моделировать с помощью дифферен-
циальных уравнений, удастся описать с помощью клеточных автоматов [94]. 
К настоящему времени уже осознано, что теория клеточных автоматов (КА) 
по существу связывает два междисциплинарных подхода – синергетику и ки-
бернетику. По своей сути клеточные автоматы реализуют собой алгоритми-
ческий  подход  к  математическому  моделированию  процессов  и  систем, 
имеющих дискретный характер. 
Для  исследования  системы  методами  клеточных  автоматов  к  настоя-
щему времени можно выделить два подхода: статистический и конструктив-
ный [80]. Реализация первого из них начинается с составления перечня всех 
возможных  конфигураций,  которые  могут  встречаться  при  неограниченном 
продолжении  рассматриваемого  временного  ряда.  На  базе  той  информации 
можно вводить определения известных понятий теории детерминированного 
хаоса,  аналоги  ляпуновских  показателей,  фрактальных  размерностей  и  т.д. 
Реализация  второго  подхода  начинается  с  конструирования  и  анализа  раз-
личных типов структур, возникающих в изучаемой системе или процессе, и 
выявления типа взаимодействия между структурами.  
В  настоящей  главе  предлагается  математическая  модель  и  метод  для 
анализа рынка ценных бумаг, в частности прогнозирование котировки акций 
 
117

ведущих  российских  компаний  «РАО  ЕЭС», «Сбербанк», «Ростелеком», 
«Сибнефть». Предлагаемая модель базируется на инструментарии линейных 
клеточных автоматов, которые имеют ряд преимуществ перед традиционны-
ми классическими моделями [80,94].  
Важно  отметить,  что  существующие  к  настоящему  времени  традици-
онные подходы к прогнозированию экономических ВР базируются на деком-
позиции,  т.е.  на  выделении  из  рассматриваемого  ВР  компонент  тренда,  се-
зонности, цикличности, а также остаточной компоненты. В работе [124] от-
мечено,  что  в  результате  проведения  указанной  «хирургической»  операции 
декомпозиции  теряется  или  искажается  в  отдельных  случаях  существенная 
информация о динамике поведения ВР, что негативным образом сказывается 
на  точности  получаемого  прогнозного  значения.  Преимущество  предлагае-
мого  подхода к прогнозированию экономических временных рядов, а имен-
но    клеточно-автоматной  прогнозной  модели  состоит  в  том,  что  она  не  ис-
пользует  указанную  декомпозицию  рассматриваемого  ВР  и,  следовательно, 
снимает проблему потери информации при разложении ВР на компоненты.  
Второе замечание, относящееся к традиционным подходам к прогнози-
рованию,  обусловлено  тем  фактом,  что  при  выборе  тренда,  при  выделении 
сезонной  компоненты,  при  определении  циклических  компонент  неизбежно 
присутствует  определенная  мера  субъективизма.  Такого  рода  «проблема 
субъективизма» не возникает при построении клеточно-автоматной прогноз-
ной  модели  просто  потому,  что  она  не  оперирует  понятиями  тренд,  сезон-
ность, цикличность. 
Отмеченная  в  работе [124] проблема  ограниченной  преемственности 
макроэкономических данных является особенно характерной для экономики 
переходного периода, например, данные, относящиеся к начальному «социа-
листическому»  периоду,  по  своей  экономической  сущности  отличаются  от 
данных,  относящихся  к  завершающему  «капиталистическому»  периоду. 
Имеются  основания  утверждать,  что  проблема  ограниченной  преемственно-
сти  макроэкономических  данных  в  значительной  степени  снимается  в  кле-
 
118

точно-автоматной прогнозной модели по той причине, что эта модель опери-
рует  не  числовыми  значениями  измеряемых  наблюдений,  а  качественными 
лингвистическими оценками. Аналогичным образом, в клеточно-автоматной 
прогнозной  модели  снимается  или  ослабляется  известная  проблема  исполь-
зования различных инструментов или методов измерения уровней (наблюде-
ний) экономических ВР. 
Из  сравнения  традиционного  и  клеточно-автоматного  подхода  к  про-
гнозированию вытекает четвертое замечание, отмечающее возможность при-
влечения в процесс клеточно-автоматного прогнозирования нечисловой  (ка-
чественной, лингвистической и т.д.) информации, характеризующей динами-
ку рассматриваемого процесса. 
Особого внимания заслуживает тот факт, что в отдельных случаях в ре-
зультате применения клеточно-автоматной прогнозной модели к остаточной 
(считающейся  не  прогнозируемой  традиционными  методами)  компоненте 
удается  получить  дополнительную  информацию,  использование  которой 
приводит к более точному и надежному прогнозу. 
 
4.3  Общая  схема  и  принципы  работы  клеточно-автоматной       
прогнозной модели 
 
 4.3.1 Преобразование числового временного ряда в лингвистический 
временной ряд методом  огибающих ломанных 
Алгоритм прогнозирования на базе клеточного автомата реализуется в 
системном  единстве  с  процессом  моделирования  долговременной  памяти  и 
завершается получением прогноза, включая валидацию (оценивание погреш-
ности  результата).  Алгоритм  его  реализации  состоит  из  следующих  шести 
этапов. 
Этап 1. Использование статистических методов [110,112] и визуализа-
ция  для  предварительного  анализа  данного  ВР  на  предмет  выявления  нали-
чия  или  отсутствия  тяжелых  хвостов,  трендов,  циклических  или  сезонных 
компонент и др. 
 
119

Этап 2. Фрактальный анализ [110] данного ВР с целью установления в 
нем долговременной памяти, включая оценку ее глубины, а также выявления 
в  поведении  ВР  таких  характеристик  и  тенденций,  как  трендоустойчивость 
или, наоборот, хаотичность, персистентность или антиперсистентность [110] 
и  др.  Вычислительная  часть  фрактального  анализа  базируется  на  алгоритме 
R/S-  анализа [110]. Оценки,  получаемые    на  выходе  этого  этапа,  имеют  чи-
словую  природу:  наиболее  адекватным  является  их  представление  в  терми-
нах и понятиях нечетких множеств [6,99,110]. 
Этап 3. Преобразование данного ВР в лингвистический временной ряд 
(ЛВР) с целью обеспечить возможность применить квазигенетический  алго-
ритм [115], работающий с комбинаторными конфигурациями, составляющи-
ми собой структуру ЛВР и его терм-множество [33] 
Этап 4.  Построение  определяемой  данным  ЛВР  генетической  памяти 
клеточного автомата состоит из подэтапов: 
- формирование множества   всех  -конфигураций, содержащих в по-
лученном ЛВР, = ,
1 ,...,
2
,  где  L  - глубина памяти [80,110] этого ЛВР; 
-  вычисление  частот  и  частостей  переходов  -  конфигураций  из  M   в 
состояния-термы из 
Этап 5. Формирование прогноза для рассматриваемых ВР и ЛВР путем 
реализации «мягких вычислений» на базе построенной памяти КА: 
-  получение  прогноза  в  виде  нечеткого  лингвистического  множества 
(НЛМ); 
-  преобразование  НЛМ  в  числовое  нечеткое  множество,  которое  при 
необходимости с помощью процедуры дефазификации [65] можно перевести 
в четкий числовой прогноз. 
Этап 6.  Валидация,  т.е.  получение  оценок  погрешности  для  получен-
ного прогноза для данных ВР и ЛВР. 
 
Все  этапы  предлагаемой  прогнозной  модели  были  осуществлены  на 
временных  рядах  показателей  котировки  акций  «РАО  ЕЭС», «Сбербанк», 
«Ростелеком», «Сибнефть».  
 
120

 
Первые два этапа предлагаемого метода прогнозирования были осуще-
ствлены и реализованы в главах 2 и 3. Третий этап прогнозной модели состо-
ит  в формировании памяти клеточного автомата. С этой целью осуществим 
преобразование  числового  временного  ряда  в  лингвистический  временной 
ряд. 
В настоящей главе для целей иллюстрации, валидации и верификации 
прогнозной  модели  рассматриваем  агрегированный  временной  ряд  двухне-
дельной  котировки  акций  российской  компании  «Сбербанк»  за  период  с 1 
апреля 2002 г. по 31 марта 2005 г.  
~
y~ ,   = ,
1 ,...,
2

(4.1) 
i
где индексом  = ,
1 ,...,
2
,  = 78  перенумерованы  полумесяцы  этого  пе-
риода.  
С целью визуализации на рис.4.1 дано графическое представление это-
го ряда в виде гистограммы.   
1 8 0 0 0
Цена, руб. 
1 6 0 0 0
1 4 0 0 0
1 2 0 0 0
1 0 0 0 0
8 0 0 0
6 0 0 0
4 0 0 0
2 0 0 0
0
1
3
5
7
9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 1 2 3 2 5 2 7 2 9 3 1 3 3 3 5 3 7 3 9 4 1 4 3 4 5 4 7 4 9 5 1 5 3 5 5 5 7 5 9 6 1 6 3 6 5 6 7 6 9 7 1 7 3 7 5 7 7
 
 
Номер наблюдения 
 Рисунок  4.1  Гистограмма агрегированного временного ряда котировки акций  
                        российской компании «Сбербанк» за период с  2002 г. по 2005 г. 
 
По результатам фрактального анализа  (п.2.5.3) исследуемый  ВР  (4.1) 
обладает долговременной памятью, глубина которой оценена в терминах не-
четких множеств и представлена гистограммой на рис.2.29. 
 
121

Для  отражения  долговременной  памяти,  присущей  рассматриваемому 
ВР,  предлагается  использовать  интервальные  значения  прогнозируемых  по-
казателей,  для  чего  весь  спектр  наблюдаемых  показателей  разделяем  на 3 
альтернативы: низкий уровень, средний уровень, высокий уровень. Если ка-
ждому числовому значению элементов рассматриваемого ВР поставить в со-
ответствие  одну  из  этих  альтернатив,  то  получим  интервальный  ВР  или,  в 
другой терминологии, лингвистический временной ряд (ЛВР).  
Преобразование  ВР (4.1) в  ЛВР  означает  замену  числовых  элементов 
y~ ,   = ,
1 ,...,
2
  лингвистическими переменными, называемыми термами. Со-
i
вокупность этих термов принято называть терм множеством [29,33,99], ко-
торое в настоящей главе обозначаем  = {u}. При этом принимаем, что мно-
жество  состоит из трех элементов:  - низкий уровень котировки курса 
акций,  - средний уровень,  - высокий уровень котировки курса ак-
ций. Заменяя элементы  y~  ВР (2.10) соответствующими термами из  , по-
i
лучаем ЛВР  
                                    ,       = ,
1 ,...,
2
.                  (4.2) 
i
В  работе [52] предлагается  строить  ЛВР  вида (4.2) путем  построения 
трендовых  коридоров  для  столбцов  гистограммы  (рис.4.1).  Такой  алгоритм  
[101] базируется на предположении, что в пределах отдельно взятого годово-
го периода может присутствовать проблема преемственности макроэкономи-
ческих данных.  
В настоящей диссертационной работе предлагается строить ЛВР на ба-
зе  интервального  подхода  путем  построения  верхней  и  нижней  огибающих 
ломаных для столбцов гистограммы на рис.4.1. Предлагаемый алгоритм пре-
образования числового ВР в ЛВР состоит из трех этапов.  
 
Первый этап начинается с визуализации гистограммы, представляющей 
ряд (4.1). На этой гистограмме выделяем жирными точками столбики, пред-
ставляющие  явно  высокий  курс  акций,  и  столбики,  представляющие  явно 
низкий курс (см. рис.4.2). Далее, соединяя соседние жирные точки пунктир-
 
122

ными  отрезками,  получаем,  как  показано  на  рисунке 4.2, верхнюю  огибаю-
щую ломанную (ВОЛ) и нижнюю огибающую ломанную (НОЛ).  
На  втором  этапе  последовательно  для  каждого  столбика  гистограммы 
рассматриваем отрезок, соединяющий точку его пересечения с НОЛ  точкой 
его пересечения с ВОЛ. Этот отрезок делим на три равновеликих интервала: 
нижний,  средний  и  верхний.  Отмечаем  на  каждом  из  таких  отрезков  концы 
среднего  интервала,  после  чего  каждую  пару  соседних  верхних  (нижних) 
концов  средних  интервалов  соединяем  пунктирным  отрезком,  в  результате 
чего получаем границы срединной области гистограммы (СОГ).  
На третьем этапе исследуемый временной ряд преобразуем в ЛВР вида 
(4.2), осуществляя окрашивание каждого столбика гистограммы, как показа-
но на рис.4.2. Рассматривая  − й столбик этой гистограммы, элемент  y~  за-
i
меняем термом  , если верх столбика находится ниже СОГ, иначе заменяем 
y~  термом  С, если его верх принадлежит СОГ и, наконец, заменяем термом 
i
В,  если  верх  этого  столбика  находится  выше  СОГ.  Работа  третьего  этапа,  а 
вместе с ним и работа алгоритма заканчивается тогда, когда элемент  y~  ря-
n
да (4.1) заменяется соответствующим термом. Тем самым ЛВР (4.2) считает-
ся построенным. 
Полученный для агрегированного временного ряда двухнедельной ко-
тировки  акций  «Сбербанк» (4.1) лингвистический  ВР (4.2) представлен  таб-
лицей 4.1, а соответствующим образом раскрашенная гистограмма представ-
лена на рис.4.2. 
 
 
123

Таблица  4.1  Агрегированный лингвистический временной ряд двухнедельной  
                                  котировки акций «Сбербанк»  
 
i  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
ui  Н  С  С  В  С  В  Н  В  С С Н Н Н С Н С С В С  В  С  Н  С Н Н С
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
i  27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
ui  В  С  Н  С  С  В  С  В  В С Н С С Н С В В С Н  Н  С  Н  С Н Н С
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i  53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
ui  С  В  В  С  Н  С  С  В  С В С Н Н С С В С С В  В  С  Н  Н С С В
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 8 0 0 0
Цена, руб 
Н-низкий 
ВОЛ 
1 6 0 0 0
С-средний 
В-высокий 
1 4 0 0 0
СОГ 
1 2 0 0 0
1 0 0 0 0
НОЛ 
8 0 0 0
6 0 0 0
4 0 0 0
2 0 0 0
0
1
3
5
7
9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 1 2 3 2 5 2 7 2 9 3 1 3 3 3 5 3 7 3 9 4 1 4 3 4 5 4 7 4 9 5 1 5 3 5 5 5 7 5 9 6 1 6 3 6 5 67 6 9 7 1 7 3 7 5 7 7
 
Номер наблюдения
   
  Рис.4.2 Гистограмма агрегированного лингвистического временного ряда котировки  ак-
ций  «Сбербанк»  после 1-5 этапов  алгоритма  преобразования  числового  ВР    в 
ЛВР 
 
4.3.2 Частотный анализ памяти лингвистического  
         временного ряда 
 

Как отмечается в [104], временные ряды вида (4.1) и ЛВР вида (4.2) об-
ладают долговременной памятью [147]. Последнее означает, что такие ряды 
аккумулируют предыдущую информацию об уровне стоимости курса акций 
и степень ее влияния на последующие значения курса акций. Иными слова-
ми, в этих рядах заключена информация об определенных закономерностях, 
которые в научной литературе принято относить к так называемой долговре-
 
124

менной памяти. 
Наличие долговременной памяти у временного ряда (4.1) подтвержда-
ется результатами его фрактального анализа [110] или, в более узком смысле, 
R/S – анализа [110], примененного к (2.10). Основная числовая характеристи-
ка этого результата заключается в том, что полученные значения показателя 
Херста  H  колеблются  для  ряда (4.1) в  пределах  от 0,7 до 0,9. Многолетний 
опыт, накопленный для рядов с таким значением  H  свидетельствует, что в 
них имеют место долговременные корреляции между текущими и будущими 
событиями [110]. Эта  характеристика  является  основанием  для  разработки 
метода прогнозирования на базе использования долговременной памяти. 
В [80] сформулировано предложение представлять наличие в ЛВР дол-
говременной  памяти  в  терминах  и  понятиях  клеточного  автомата,  в  частно-
сти, линейного клеточного автомата. Теория клеточных автоматов утвержда-
ет, что «если клетки располагаются линейно вдоль прямой, и каждая клетка 
находится  в  определенном  состоянии,  то  состояние  соседей  слева  от  рас-
сматриваемой  клетки  влияют  на  состояние  этой  клетки  на  следующем  вре-
менном шаге» [80,94]. В терминах клеточного автомата значение лингвисти-
ческой  переменной  u
  в  ЛВР (4.2) (см.таб.4.1)  определяется 
i+1
+
-
конфигурациями 
u
,u
,...,= ,

(4.3) 
i+l
i++1
i+k
т.е. конфигурациями длины = ,
1 ,...,
2
 в отрезке этого ряда 
                 ,,...,,  = ,
− +1,    
 
(4.4) 
i+1
i+2
i+k
где через   обозначаем глубину памяти рассматриваемого ряда. Из результа-
тов проведенного R/S – анализа вытекает, что для представленного выше ВР 
(4.1) полумесячных курсов акций «Сбербанк» значение   ограничено сверху 
цифрой 10. Последнее  означает,  что  для  всякого  = ,
1 ,...,
2
− +1  значение 
лингвистической  переменной  ui+   в (4.4) определяется  лишь  такими 
k
-
конфигурациями  вида (4.3), для  которых  ≤ = 10 .  Алгоритм  нахождения 
глубины  памяти  основывается  на  частотной  статистике  переходов  в  состоя-
 
125

ния Н,С и В всех -конфигураций, имеющих место в ЛВР (4.2). 
Примечание 4.1 Через   обозначим количество всех попарно различ-
l
ных  -конфигураций в ЛВР. Для принятого терм-множества = {H,C, }
 тео-
ретически  возможное  количество  различных  -конфигураций,  = ,
1 ,...,
2

k
= 10   составляет  ∑ l3 = 3+ 2
3 + 3
3 + 4
3 + 5
3 + 6
3 + 7
3 + 8
3 + 9
3 + 10
3 = 88572 ,  в  то  время 
=1
как в реальном ЛВР, представленного в табл. 4.1, количество   всех таких 
l
10
попарно  различных  -конфигураций,  ≤10   составляет  = ∑ = 432. Из них 
l
1
=
= 3 ,  = 9 ,  = 18 ,  = 34 ,  = 45 ,  = 56 ,  = 64 ,  = 67 , = 68 , 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
= 68.  Тем  самым  установлен  тот  факт,  что  количество  реальных 
10
-  кон-
фигураций  составляет 
N
432
=
=
⋅100 ≈ ,
0
%
48   от  количества  теоретиче-
k
l
88572
∑3
1
=
ски  возможных    -  конфигураций.  Это  говорит  о  высокой  вариабельности 
ВР,  т.е.  о  степени  проявления  долговременной  памяти  в  ЛВР  и  косвенно  в 
ВР.  
Через  () обозначим множество всех  -конфигураций  ≤ k=10 , ко-
8
торые можно обнаружить в ЛВР (4.2);  () =
, где   - это подмножест-
l
U
l
1
=
во всех  -конфигураций в ЛВР   при фиксированном  . Для рассматривае-
мых ВР  и ЛВР  эти подмножества имеют следующий состав: 
=

1
{H,C, }
B
=
,
2
{HHHCHB,CH,CC,CBBHBC, }
BB
HHHHHCHCH HCCHCBHBC,CHH ,CHC,ССН ,CCB,CBH,CBC,CBB,⎫
=
.  
3


BHBBCHBCCBCBBBC

Для  =
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
  состав подмножеств  M
 представлен в приложении 1. 
()
Рассмотрим  какую-либо  фиксированную  -конфигурацию,  которую 
обозначим в виде отрезка 
0
0
0
0
,,...,,...,.  
(4.5) 
1
2
j
l
 
126

Работу клеточного автомата в рамках предлагаемой прогнозной модели 
организуем следующим образом. 
Если в ЛВР (4.2) выделен отрезок  ,,...,,...,, совпадающей с 
i+1
i+2
ij
i+l
(4.5),  т.е. 
0
u
,  = ,1,  то  по  отношению  к  следующему  элементу 
ij
j
0
u
,  0 ∈= {H,C, }
  условимся  говорить,  что  -конфигурация (4.5) 
i+1
+
переходит  в  состояние  0
,  т.е.  в  лингвистическую  переменную  u
,  совпа-
i+1
+
дающую с термом   0

В предлагаемом авторами [102] подходе базовым является следующее 
теоретическое предположение. Пусть последовательность (4.4) неограничен-
но растет, т.е. в ряду = ,
 значение параметра  → ∞ .  
i
Если в этой сколь угодно длинной последовательности некоторая кон-
кретная фиксированная конфигурация (4.4) появляется и при этом всякий раз 
после  нее  следует  переход  в  одно  и  тоже  состояние  0 ∈{C, }
,  то  гово-
рим, что конфигурация (4.5) обладает памятью.  
Пусть  терм-множество    имеет  мощность  ≥ 3.  Тогда,  если  имеют 
место  перемежающиеся  переходы  в  два  фиксированные  состояния,  то  гово-
рим,  что  отрезок (4.5), т.е.  -конфигурация (4.4) обладает  частичной  памя-
тью. Если же фиксированная конфигурация демонстрирует переходы в каж-
дое из трех состояний Н, С, В, то говорим, что память у данной конфигура-
ции не обнаружена. Эту память можно представить либо комбинаторно, либо 
в форме ориентированных двудольных графов.  
Переходы всех конфигураций с частотами и частостями этих переходов 
представляют собой память клеточного автомата, являющаяся составной ча-
стью  математической  модели,  предназначенной  для  прогнозирования  ЛВР 
(4.2). На основании данных приложения 2 можно сформировать следующую 
статистику  переходов  и  оценку  памяти  отдельных  -  конфигураций  ЛВР 
(4.2), составляющих множество  .  
         
 
 
 
127

Таблица 4.2  Статистика  переходов  и  оценка  памяти  соответствующих  конфигураций    
для агрегированного временного ряда двухнедельной котировки акций 
«Сбербанк» 
−  
Всего  Всего 
Из них переходов 
Память 
кон-
кон-
пере- 
1-
2-
3-
полная 
частич-
отсутствие  
фигу-
фигу-
ходов  знач
знач-
знач-
 
ная 
памяти 
рации  раций 
шт. 
ных 
ных 
ных 



шт. 
шт. 
шт. 
шт. 
1 3 77 0 0  3  -  - 
100 
2 9 
76 

4 3  22 45  33 
3 18 75 4 10  4  22  56 
22 
4 34 74 17 15  2  50  44 

5 45 73 28 16  1  62  36 
22 
6 56 72 41 14  1  73  25 

7 64 71 58 6  -  91  9 

8 67 70 64 3  -  96  4 

9 68 69 66 2  -  97  3 

10 68 68 68 -  -  100  - 

Итого 432  725  348  70 
14 
- - 
 
 
Для всякого отрезка длины 1 ( ,   или  ) и всякого отрезка длины 2 
(НН, НС, НВ, СН, СС, СВ, ВН, ВС, ВВ) в ряду  ,  = ,
  всякий раз находи-
i
лись случаи переходов в Н, С и В. Первые признаки наличия памяти (частич-
ной- переход в два состояния) обнаружились при  = 2 : 22%  демонстрируют 
переход  только  в  одно  состояние  (память),  45%  2-конфигураций  из  числа 
встречающихся  в  ряду (4.1) демонстрируют  частичную  память;  для  = 3  
22%  3-конфигураций  вида (4.5) демонстрируют  наличие  памяти,  т.е.  с  раз-
личной  частотой  переходы  в  какое-либо  из  трех  состояний  ∈{,C, }
  и 
56% 3-конфигураций  демонстрируют  наличие  частичной  памяти.  Для  = 4 
50%  4-конфигураций в ряду (4.5) демонстрирует наличие памяти и 44% де-
монстрирует наличие частичной памяти. Для  = 5  наличие памяти демонст-
рирует 62%  5-конфигураций  в  ряду (2.1) и 36% демонстрирует  частичную 
память. Для   = 6  наличие памяти демонстрируют  73%   и  25% частичной 
памяти. Для   = 7  91% конфигураций демонстрирует память, а  9% - частич-
ную память. Для   = 8  96%  8-конфигураций показывает память и 4%- час-
тичную память. Для  = 9  память демонстрирует 97% 9-конфигураций и час-
тичную  память – 3%. Для    = 10   все 100% 10- конфигураций  вида (4.5) де-
 
128

монстрируют наличие памяти. 
Частотная статистика из приложения 2 переходов -конфигураций (4.5) 
в  определенное  состояние  0 ∈= {,C, }
  формируется  следующим  обра-
зом.  Сначала,  для  каждой 1-конфигурации  0 ∈
  подсчитываем  ко-
1
{H,C, }
B
личество ее переходов в каждое из трех состояний  Н, С, В. Для наглядности 
эти переходы отражены в табл.4.3. Частота перехода это числа, означающие 
количество  наблюдаемых  в  ЛВР (4.2) переходов  каждой  из  трех 1-
конфигураций  0
,  0 ∈ в каждое из трех состояний Н, С, В. Например, из 
1
1
табл.4.5 видно, что  имеем 7 переходов  из Н  в Н, 14 переходов из Н в С и 1 
переход из Н в В.  Количество переходов из С в НС и В  равно соответст-
венно 13, 10 и 14. Здесь же, количество переходов из В  в НС и В  равно 1, 
13 и 4 соответственно. На основании этих данных можно вычислить эмпири-
ческие значения частостей переходов из 1-конфигураций в состояние НС, и 
В
13
11
(Н → Н )
7
=

w C → Н =

w В → =

1 (
)
1 (
)
1
22
37
18
10
13
(Н → С) 14
=

w С → С =

w В → С =
,                   (4.6) 
1 (
)
1 (
)
1
22
37
18
14
(→ В)
1
=
 
w С → В =
 
w В → В =

1 (
) 4
1 (
)
1
22
37
18
Далее, для каждой 2-конфигурации  u0u0 ∈  подсчитываем количество 
1
2
переходов  в  каждое  из  трех  состояний  Н,  С,  В.  Таких  конфигураций  в  кон-
кретном  ЛВР (4.2)оказалось  девять.  Как  показано  в  приложении 2, имеем 
один переход из НН  в Н, 6 переходов из НН в С, 4 перехода из НС в Н,  8 пе-
реходов из НС в С, два перехода из НС в В и один переход из НВ  в С. На ос-
новании  этих  данных  можно  вычислить  эмпирические  значения  частостей 
переходов из 2-конфигураций НН, НС, НВ  в состояния НС и В
4
0
(НН → Н ) 1
= , 
w НС → Н =

w НВ → = , 
2 (
)
2 (
)
2
7
14
1
8
1
(НН → C) 6
= , 
w НС → С =

w НВ → С = ,               (4.7) 
2 (
)
2 (
)
2
7
14
1
 
129

2
0
(НН → В) 0
= , 
w НС → В =

w НВ → В = . 
2 (
)
2 (
)
2
7
14
1
Аналогично,  на  основании  приложения 2 вычисляются  эмпирические 
значения частостей переходов из 2-конфигураций  СН, СС, СВ, ВН, ВС, ВВ  в 
Н, С и В. 
Далее,  для  каждого  значения  ∈{ ,
3
,
5
,
4
,
6 7
}
10
,
9
,
8
,
  рассматриваем  подмно-
жество  (2) ⊂   всех  -  конфигураций,  встречающихся    в  ЛВР (4.2), мощ-
l
ность 
(2)
(2)
M
. По аналогии с (4.6), (4.7) вычисляем эмпирические значе-
l
l
ния  частостей  переходов  из  каждой  конкретной  -конфигурации 
0
0
0
(2)
u u ...∈  в состояние Н, С и В. 
1
2
l
l
0 0
0
...


0 0
0
...


0 0
0
...

,         (4.8) 
(u u
u
В
1 2
l
)
(u u
u
С
1 2
l
)
(u u
u
Н
1 2
l
)
= ,
3
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
.  Значения  этих  частостей  переходов  представлены  в  прило-
жении 2.  
Статистика переходов и оценка памяти для   - конфигураций ЛВР агрегиро-
ванных временных рядов котировки акций «РАО ЕЭС», «Ростелеком», «Сиб-
нефть» отражена в таблицах 4.3-4.5. 
Таблица 4.3 Статистика  переходов  и  оценка  памяти  соответствующих  -  конфигураций          
для агрегированного временного ряда котировки акций «РАО ЕЭС» 
 
 
 
Из них переходов 
 Память 
 
Всего 
Всего 
1-
2-
3-
полная  частич-
отсутствие  
−  
кон-
пере-
знач-
знач-
знач-
 
ная 
памяти 
Конфи-
фигу-
ходов 
ных 
ных 
ных 



гурации  раций 
шт. 
шт. 
шт. 
шт. 
шт. 
1 3 77 0 0 3  -  -  100 
2 9 55 2 4 3 22 44  33 
3 17 55 6 8  3  35 47  18 
4 26 58 14 9  3  54 35  12 
5 36 60 23 
12 1  64 33 

6 46 63 35 
11 -  76 24 

7 52 64 44 8  -  85 15 

8 57 65 51 6  -  89 11 


60 
66 
54 


90       
10 

10 62 66 58 4  -  94  6 

11 63 66 60 3  -  95  5 

12 64 66 62 2  -  97  3 

13 65 65 65 -  -  100  0 

Итого 
560 
826 
474 
73 
13 
- -  - 
 
130

Таблица 4.4 Статистика  переходов  и  оценка  памяти  соответствующих  -  конфигураций    
для агрегированного временного ряда котировки акций «Ростелеком» 
 
 
 
Из них переходов  
Память 
−  
Всего  Всего 
1-
2-
3-
полная 
час-
отсут-
кон-
кон-
пере-
значных 
знач-
значных 
 
тичная 
ствие  
фигу-
фигу-
ходов 
шт. 
ных 
шт. 

 
памяти 
рации  раций 
шт. 
шт. 


шт. 


78 0 0 3 - - 
100 


77 2 3 4 22 
33 
45 

21 
76 7 9 5 33 
43 
24 
4 37 75  20  16  1  54  43  3 

52 74  36 16  1  68 30 2 
6 59 73  46  12  1  78  20  2 
7 64 72  56  8 
-  88  12  - 
8 67 71  63  4 
-  94  6  - 
9 67 70  64  3 
-  96  4  - 
10 67 69  65 


97  3  - 
11 67 68  66 


99  1  - 
12 67 67  67 

-  100  - 

Итого 580  870 
492 
74 
15 
 
 
 
 
Таблица 4.5 Статистика  переходов  и  оценка  памяти  соответствующих  -  конфигураций    
для агрегированного временного ряда котировки акций «Сибнефть» 
 
 
 
 
Из них переходов 
Память 
−  
Всего  Всего 
  
кон-
кон-
пере-
1-
2-
3-
полная 
час-
отсут-
фигу-
фигу-
ходов  значных 
знач-
значных 
 
тичная 
ствие  
рации  раций 
шт. 
шт. 
ных 
шт. 

 
памяти 
шт. 
шт. 




78 - - 3 - - 
100 


76 - 4 5 - 
44 
56 

22 
75 5 10 7 23 
45 
32 
4 41 75  17  20  4  41  49  10 

58 
74 
43 15 - 74 
26 - 

63 
73 
53 10 - 84 
16 - 
7 66 72  60  6 
-  91  9  - 
8 68 71  65  3 
-  96  4  - 
9 69 70  68  1 
-  99  1  - 
10 69 69  69 

-  100  - 

Итого 
468 
733 
380 
69 
19 
 
 
 
 
 
131

Таблица 4.6 Статистика конфигураций и вариабельность  агрегированных  временных  ря-
дов котировки акций «РАО ЕЭС», «Ростелеком» и «Сибнефть» 
 
Возможное число конфигураций 
Вариабельность 
Наименование 
Глубина 
временного ряда, 
акций 
памяти 
теоретически 
практически 

РАО ЕЭС 13 
2391480  560  0,02 
Ростелеком 12  797160 
580 
0,07 
Сибнефть 10 88572  468  0,52 
 
4.3.3  Формирование  прогнозных  значений  котировки  акций  россий-
ской компании «Сбербанк», верификация и валидация прогноз-
ной модели 

 
Для  конкретного  ЛВР,  представленного  в  приложении 1 осуществим 
прогнозирование  неизвестного  терма    на  основании  известных  членов 
1
+
этого ряда  ,  = ,
 с учетом вычисленных выше частостей вида (4.5)-(4.7), 
i
для = ,
1 ,...,
2
, где  − глубина памяти в ЛВР (4.2). 
Прогноз  терма    представляется  в  виде  нечеткого  терм-множества 
1
+
(НТМ)  U
H;µ , C;µ , B
, где значение функции принадлежности  µ  
1
+
({
) (
) (
)}
удовлетворяет равенству  µ + µ + µ = 1. Значение,  µ ,  µ , µ  вычисляются 
H
C
B
H
C
B
через  значения  частостей  вида (4.6)-(4.8), получаемых  для  различных  -
конфигураций в следующем отрезке ЛВР  
                 u
,...,
 
                      
    
n1
+
nk
n
 (4.9) 
Сначала  согласно (4.6) вычисляются  частости  переходов  из 1-
конфигурации   в состояния Н, С, В:  w
,  w
,  w
. Да-
1 (u
→ B
n
)
1 (u
→ C
n
)
1 (u
→ H
n
)
n
лее, согласно (4.7), вычисляются эмпирические  значения частостей перехо-
дов    из 2-конфигурации  u u   в  состояния    Н,  С  и  В:   w

2 (u
→ H
n−1 n
)
1

n
w
  и  w
,  после  чего    вычисляем  значение  частостей 
2 (u
→ B
n−1 n
)
2 (u
→ C
n
)
переходов  из 3-конфигурации  в  u u u     в  состояния  Н,  С  и  В.  Если 3-
n−2
1

n
конфигурация    u u u   демонстрирует  наличие  памяти,  например,  
n−2
1

n
w u u u → = ,  то  переходим  к  вычислению  искомых  значений  
3 ( n−2 n
n
) 1
1
 
132

µ , µ , µ
H
C
.  Для  этого  сначала  вычисляем  ненормированные  значения 
µ ′ = w u → w u u → + , 
µ′ = w u → С w u u → С + , 
С
1 ( n
) 2( 1− n
) 1
H
1 ( n
)
2 ( n
n
) 0
1
µ′ = w u → w u u →  и их сумму  σ = µ′ + µ′ + µ′ , после нормиров-
B
1 ( n
) 2( n− n
) 0
1
3
H
C
B
ки, которых получаем 
µ′
µ′
µ′
µ
H
=
, µ
C
=
, µ
B
=

H
σ
C
σ
B
σ
3
3
3
Если 3-конфигурация  u u u  не демонстрирует наличие памяти,  то 
n−2
1

n
рассматриваем 4-конфигурации  u u u u ,  для  которой  вычисляем  часто-
n−3
n−2
1

n
сти  ее  переходов  в  состояния  Н,  С  и  В.  Всякий  раз  к  вычислению  искомых 
µ , µ , µ   переходим  тогда,  когда  встретится  такая 
H
C
B
-конфигурация 
u
u
,  которая  демонстрирует  наличие  памяти,  например,  получаем  
n1
+
n+ ...
2
n
единичное  значение  частости    для  терма  В:  w u
u
→ = .  В  таком 
1 (
...
n1
+
nl+2
n
) 1
случае, как было сказано выше,  сначала вычисляем ненормированные значе-
ния функции принадлежности:  
µ′ = w u → w u u → + + w u
u
→ +
H
1 ( n
) 2( 1− n
) ... 1−(
...
n+2 nl+3
n
) ;0
µ′ = w u → С w u u → С + + w u
u
→ С +
C
1 ( n
) 2( 1− n
) ... 1−(
...
n+2 n+3
n
) ;0
µ′ = w u → w u u → + + w u
u
→ +  
B
1 ( n
) 2( 1− n
) ... 1−(
...
n+2 n+3
n
) 1
и значения их суммы  σ = µ′ + µ′ + µ′ . После чего, вычисляем искомое зна-
l
H
C
B
чение функции принадлежности для НТМ 
µ′
µ′
µ′
H
C
B
µ =
, µ =
, µ =
. 
1
+
H
C
B
σ
σ
σ
l
l
l
Представленный  таблицей 4.1 ЛВР  котировки  акций  «Сбербанк»  за-
канчивается элементом , где  = 78 и соответствует 31 марту 2005 года. 
n
Осуществим  прогноз  котировки  акций  на  следующий  полумесяц  (апрель) 
2005  года,  т.е.  построим  для  отсутствующего  элемента    его    нечеткое 
1
+
терм-множество  0
U
H; µ , C; µ , ;
µ
. Прогноз осуществляется на лин-
1
+
({ 0) ( 0) ( 0)}
гвистическом уровне, т.е. определенно можно сказать каким будет значение 
курса акций  на следующем временном шаге: низким, средним или высоким.  
Учитывая установленную глубину памяти   = 10 , рассматриваем отре-
зок ЛВР 
u u u u u u u u u u ССВВСННССВ 
(4.10) 
n−9 n−8 n−7 n−6 n−5 n−4 n−3 n−2 n−1 n
 
133

Для ряда (4.10) рассматриваем все его − конфигурации, = ,
,  = 10 :  
В;СВ;ССВ;НССВ;ННССВ;СННССВ;ВСННССВ;ВВСННССВ;СВВСННССВ; 
ССВВСННССВ. 
Для =1 из приложения 2 получаем   
1
13
4
(→ ) =
,   (→ C) = ,   (→ B) = . 
(4.11) 
1
18
1
18
1
18
Для  = 2 из приложения 2  получаем значения частостей переходов из 
2-конфигурации  СВ в термы Н, С, В
1
8
4
(СВ → ) =
,  (СВ → С) =
,  (СB → В) =

(4.12) 
2
13
2
13
3
13
Для  = 3  из приложения 2 получаем 
5
2
(ССВ → ) = 0 ,  (ССВ → С) = ,  (ССB → В) = . 
(4.13) 
3
3
7
3
7
Для  = 4  из приложения 2 имеем 
5
1
(НССВ → ) = 0 ,  (НССВ → С) = ,  (НССВ → В) = , 
(4.14) 
4
4
6
4
6
Для = 5  из приложения 2 получаем значение частостей 
1
1
(ННССВ → ) = 0 ,  (ННССВ → С) = ,  (ННССВ → В) = , 
(4.15) 
5
5
2
5
2
Для = 6  приложения 2 получаем 
1
1
(СННССВ → ) = 0 ,  (СННССВ → С) = ,  (СННССВ → В) = , 
(4.16) 
6
6
2
6
2
Для = 7   приложения 2 имеем 
(ВСННССВ → ) = 0 ,  (ВСННССВ → С) = 1,  (ВСННССВ → В) = 0 , 
(4.17) 
7
7
7
Для  = 7  соответствующая 7-конфигурация ВСННССВ  демонстриру-
ет наличие памяти, в силу чего для ряда (4.2) процесс вычисления частостей 
можно прекратить. 
На  основании  значений  частостей (4.11)-(4.17), вычисляем  ненорми-
рованные значения функции принадлежности: 
1
1
µ′ =
+
+ 0 = 14
,
0
;  
Н
18 13
13
8
5
5 1
1
µ′ =
+
+ + + + +
4
4
2 1
1
1
1 = 88
,
4
;  µ′ =
+
+ + + + + 0 = 98
,
1
 и их сумму  
С
18 13 7
6
2
2
В
18 13 7
6
2
2
σ = 14
,
0
+ 88
,
4
+ 98
,
1
= 0
,
7 .  Далее,  осуществляя  операцию  нормирования,  полу-
 
134

µ′
чим  искомое  значение  функции  принадлежности: 
0
14
,
0
µ = =
= ,
0 02 , 
Н
σ
7
l
µ′
µ′
0
98
,
1
0
C
88
,
4
µ =
=
= ,
0 69 ,  µ = =
= ,
0 29 . 
С
σ
7
В
σ
7
l
l
Таким  образом,  прогнозное  значение  курса  акций  для    +1  пред-
ставляется  в  виде  НТМ 
0
U
H
C
B
.  В  лингвистических 
1
+
({
02
,
0
;
),(
69
,
0
;
),( ,0
; 29)}
терминах этот прогноз можно сформулировать следующим образом: в сере-
дине  апреля 2005 года  ожидается  средний  курс  акций  или  менее  вероятно 
низкий, что соответствует реальности. 
Применительно к понятию «модель», термин «верификация» означает 
проверку  структуры  и  логики  модели,  а  термин  «валидация»  означает  про-
верку  соответствия  данных,  полученных  на  основе  модели,  реальному  про-
цессу. Для реализации этих видов проверки построенной прогнозной модели 
последовательно рассматриваем лингвистические временные ряды  
,= ,
1 ,...,
2
,
  − ,  = ,
− 
(4.18)
i
т.е.,  ряды (4.18) получаются  путем  удаления  из  ЛВР (4.2) последних    его 
членов.  Для  каждого  фиксированного  индекса    строим  прогноз  терма 
u
, представляемого в виде НТМ U
H; µ , C; µ , B; µ

1
+
({
) (
) (
)}
1
+
Пусть,  в  полученном  НТМ  U
,  среди  чисел  µ , µ , µ ,  максималь-
1
+
H
C
B
ным  является  то  число  µ , ∆ ∈{,C},  у  которого  индекс  ∆   совпадает  с 

термом   ряда  (4.2). Тогда, говорим, что для рассматриваемого индекса   
1
+
прогнозная нечеткая модель привела к непротиворечивому прогнозу. В про-
тивном случае, говорим о противоречивом прогнозе для термина  m
 
4.3.4 Получение числового прогноза и оценка его точности 
 
Осуществим  трансформацию  прогнозного  НТМ  в  числовой  прогноз  с 
помощью известной процедуры дефазификации НМ [65]. 
Пусть получено лингвистическое прогнозное значение урожайности  
0
U
H
C
B

(4.19) 
1
+
({
02
,
0
;
),(
69
,
0
;
),( ,0
; 29)}
 
135

Приведем  описание  процесса  преобразования  лингвистического  не-
четкого множества (ЛНМ) (4.19) в численное (классическое) НМ 
0 = 0 ; µ , 0 ; µ , 0 ; µ

(4.20) 
1
+
({ H H ) ( C C ) ( B B )}
В  качестве  подходящих  числовых  значений  элементов  y0 , 
, ,
  выби-
u
{H C }
B
раются  в  ВР    (4.2)  ближайшие  к  элементам    низкие,  средние  и  высокие 
u
курсы акций, которые затем усредняются: 
  0
1
=
;   
H
(=
+
=
74
75 )
1 (12100 11970) 12035
2
2
0
1
=

C
(=
+
=
76
77 )
1 (13350 14000) 13675
2
2
0
= 16349 . 
В
78
Отсюда,  с  учетом  представленных  в  ЛНМ (4.19) значений  функции 
принадлежности  µ , µ , µ   получаем  искомый  прогноз  в  виде  НМ 
H
C
B
0
Y
=
.  Применяя  к  НМ  0
  операцию  дефа-
1
+
({
02
,
0
;
12035
),(
69
,
0
;
13675
),(
,
0
;
16349 29)}
1
+
зификации [65], получаем прогнозное значение котировки акций в обычном 
3
числовом  виде,  т.е.  0
Y
=
µ ⋅ 0
= 02
,
0
⋅12035 + 69
,
0
⋅13675 + ,
0 29 ⋅16349 =
,
14401 2 , 
n+1
∑ t t
t=1
где  индексом  = ,
1 3
,
2   перенумерованы  соответственно  термы  Н,С,В
µ = µ = ,
0 02 ,  µ = µ = 69
,
0
,  µ = µ = ,
0 29 . 
1
H
2
C
B
B
Согласно определению прогнозной модели на ее выходе можно полу-
чить ВР   0
 прогнозных значений  0
,  L+ ,
1 ..., , занумерованных тем же 
i
индексом,  которым  были  занумерованы  значения  курсов  акций  в  исследуе-
мом ВР (2.10). Тогда относительная погрешность прогнозирования для каж-
0
− y
дого наблюдения  ∈{L+ ,1..., }
 вычисляется по формуле 
i
i
ε =
. В каче-
i
0
yi
стве  оценки  точности  прогнозирования  принимаем  среднее  значение 
n
ε =
1
ε . 
i

− +
i
i=L
На основании валидации результатов прогнозирования ВР котировки 
акций «Сбербанк» получена оценка средней числовой погрешности прогноза 
 
136

ε ≤ 7%  (см. приложение 3). 
Оценка погрешности результатов, полученных с помощью предлагае-
мой прогнозной модели, обосновывается также по отношению такого резуль-
тата 
валидации, 
как 
ВР 
лингвистических 
нечетких 
множеств 
+ ,...,
1
.  В  этом  случае  погрешность  ε   лингвистического  прогно-
i
i
зирования для каждого наблюдения   принимается равной нулю, если в ряду 
ЛНМ  L+ ,...,
1
  для  полученного  ЛНМ 
0
= (
{ 0u,µ , ,µ , ,µ , 
1
1 ) ( 0
2
2 ) ( 0
3
3 )}
i
где максимальное значение функции принадлежности  µ = max µ  достигается 
t
1≤t≤3
для такого индекса  , что в ЛВР (2.8) элемент   совпадает с термом  0

0
i
t0
т.е.  ε = 0 , если выполняется равенство 
0
, в противном случае значение 
i
i
t0
ε =1.  Погрешность  лингвистического  прогнозирования  определяется  как 
i
n
среднее значение ε =
1
∑ε . 
− +
i
i=L
На основании валидации результатов лингвистического прогнозирова-
ния ВР курса акций «Сбербанк» получена оценка средней погрешности лин-
гвистического  прогноза  ε = 3
,
8 % ,  т.е.  в  процессе  валидации  прогнозная  мо-
i
дель выдала один неточный прогноз в лингвистических термах для    (см. 
72
приложение 3). В  табл.4.7  отражены  результаты  клеточно-автоматной  про-
гнозной модели для агрегированных двухнедельных временных рядов коти-
ровки  акций  ведущих  российских  компаний  «РАО  ЕЭС», «Ростелеком»  и 
«Сибнефть».  
Таблица 4.7 Результаты клеточно-автоматной прогнозной модели для агрегирован-
ных временных рядов котировки акций «РАО ЕЭС», «Ростелеком» и 
«Сибнефть». 
 
 
-
 
-
ре
Прогнозные значения в виде 
о
 
-  
 
ог
Наимено-
й
 
от
ов
оза
вание ко-
 
памяти
 
щи
сл
тировки 
ю
зок
 
дефацифи
 
чи  
 
лингвисти  прогн
акций 
б
ина
лингвистического нечет-
числового 
за
рша
 
кого множества 
нечеткого множества 
но
Глу
ог
Заве
Результат кации
Ошибка пр
Ошибка ческого
 
137

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
РАО ЕЭС 
13 
{(Н;0,23),(С;0,75),(В;0,02)}  {(8,2;0,23),(8,6;0,75),(9,4;0,02)} 
8,54 
23,5
14,5


НСВСССВСНННСВ
 
 
 
 
 
ВССВ
 
 
 
 
 
 
Ростелеком 12 
{(Н;0,1),(С;0,3),(В;0,6)} 
{(50,8;0,1),(57,9;0,3),(65,3;0,6)} 
61,6 
18,6
12,8


ВВСНННСВ
 
 
 
 
Сибнефть 
10 
{(Н;0,04),(С;0,8),(В;0,16)} {(79;0,04),(86,5;0,8),(94;0,16)}  87,4  26,2
19,3
 
НСВВСВВ


ННС
 
 Таким  образом,  с  учетом  предпрогнозных  результатов  полученных  в 
предыдущих главах 2 и 3, можно утверждать, что реализация выбранного в 
настоящей  работе  подхода  к  моделированию  представляет  собой  полную 
общепринятую последовательность устоявшего стандарта  набора этапов мо-
делирования: 
1.  Анализ  объекта  моделирования,  включая  структурирование,  с  целью  
формирования перечня параметров и показателей моделей. 
2.  Выбор  адекватного  подхода  и  используемых  математических  методов 
моделирования. 
3.  Численная  реализация  выбранных  математических  методов  на  базе 
конкретных исходных статистических данных. 
4.  Верификация, т.е. логический анализ модели и результатов моделиро-
вания. 
5.  Валидация используемых методов, включая оценку погрешности. 
6.  Доработка  и  представление  окончательного  варианта  предлагаемого 
процесса моделирования. 
Вышеуказанная последовательность шести этапов моделирования реа-
 
138

лизована  на  временных  рядах  котировки  акций  известных  российских  ком-
паний «РАО ЕЭС», «Ростелеком» и «Сибнефть» и наиболее полно представ-
лена в настоящей диссертационной работе на конкретных исходных данных 
компании «Сбербанк».  
 
4.4 Выводы к  главе 4 
 
 
1.  Сопоставляя  результаты  предпрогнозного  анализа,  полученные  в 
главах 2 и 3, с результатами прогнозирования, представленными в приложе-
нии 3 и таблице 4.7, представляется возможным утверждать, что результаты 
прогнозирования на базе клеточного автомата в достаточной степени согла-
суются  с  результатами  предпрогнозного  анализа,  полученными  как  с  помо-
щью фрактального анализа, так и с помощью фазового анализа: 
-  достаточно  значительным  погрешностям  числового  и  лингвистиче-
ского  прогноза  временных  рядов  котировки  акций  компаний  «РАО  ЕЭС», 
«Ростелеком»  и  «Сибнефть» (см.табл.4.7)  предшествовали  неудовлетвори-
тельные предпрогнозные характеристики этих рядов (как исходных так и аг-
регированных); 
-  вполне  приемлемым  (т.е.  сопоставимым  с  погрешностью  исходных 
данных)  погрешностям  числового  и  лингвистического  прогноза  временного 
ряда котировки акций компании «Сбербанк» предшествовали вполне удовле-
творительные  прогнозные  характеристики  агрегированного  ВР  этой  компа-
нии. 
2. В контексте сложившихся к настоящему времени методов экономи-
ко-математического  прогнозирования  можно  утверждать,  что  реализации 
собственно  прогнозирования,  по  необходимости  должен  предшествовать 
этап  предпрогнозного  анализа.  Имеется  основание  ожидать,  что  чем  лучше 
предпрогнозные  характеристики,  тем  лучше  результаты  прогнозирования. 
При  этом  целесообразно  реализовать  комбинированный  подход  к  построе-
нию,  визуализации  и  совместному  использованию  клеточного  автомата,  фа-
 
139

зовых  портретов  и  фрактального  анализа  временных  рядов  для  получения 
дополнительной прогнозной информации. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
140

Заключение 
Основные  результаты,  полученные  в  ходе  диссертационного  исследо-
ваний можно представить в виде следующего перечня: 
1.  Проведен  анализ  основных  принципов  существующих  подходов  к 
прогнозированию  временных  рядов,  осуществлено  обоснование  факта  огра-
ниченной применимости классических методов прогнозирования для эконо-
мических  временных  рядов  с  памятью,  составляющих  предмет  диссертаци-
онного исследования. 
2. Сформулирована и развита авторская концепция агрегирования эко-
номических  временных  рядов  для  получения  предпрогнозной  информации 
методами  нелинейной  динамики  и  теории  хаоса,  в  частности  фрактального 
анализа временных рядов, базирующейся на выявлении таких фундаменталь-
ных характеристик, как глубина памяти, наличие свойства персистентности и 
наличия (или отсутствия) свойства трендоустойчивости. 
3.  Выполнен  предпрогнозный  анализ  временных  рядов  котировки  ак-
ций на базе фазовых портретов и агрегирования этих рядов, в результате чего 
выявлена эффективность использования процедуры агрегирования. 
4.  Осуществлена  адаптация  вычислительной  схемы  этапов  известной 
клеточно-автоматной  прогнозной  модели  для  прогнозирования  временных 
рядов котировки акций. 
5. Для получения дополнительной прогнозной информации реализован 
комбинированный  подход  к  построению,  визуализации  и  совместному  ис-
пользованию  клеточного  автомата,  фазовых  портретов  и  фрактального  ана-
лиза временных рядов.  
 
 
 
141

Список использованных источников 
 
1.  (EHIPS) ИКИ РАН. Генетические алгоритмы. Режим доступа: 
[http://www.iki.rssi.ru/ehips/Genetic.htm  09.08.2004]. 
2.  Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self -organized criticality: An explanation of 1/f – 
noise //Phys. Rev. Lett.1987. – P.128-140. 
3.  Billings S.A. Hong X. Dual - orthogonal radial function networks for nonlinear time 
series prediction // Neural Networks, 1998. 11. P. 479 - 493. 
4.  Cheland P.B., Scholes I. Soft Systems Methodology in Action. – Chichester, Wiley, 
1990. 
5.  Cootner, P. “Comments on the Variation of Certain Speculative Prices,” in P. Coot-
ner, ed., The Random Character of Stock Market Prices. Cambridge: MIT Press, 1964 
a. 
6.  Fama, E.F. “Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market,” Management Science 11, 
1965 a. 
7.  Funobashi M., Moeda A., Morooka Y., Mori K. Fussy and Neural Hybrid Expert Sys-
tems: Sinergetic  AI. – Alin Japan, IEEE,1995,august. – Pp.33-40. 
8.  Holden K., Peel D.A., Thomson J.L. Economic forecasting: an introduction. – Press 
Syndicate of the University of Cambridge, 1990. – 213 p. 
9.  Holland J. The dynamics of searches directed by Genetic Algorithms.In: LeeY.S. 
(ed.) Evolution, Learning and Cognition. - Word Scientific,Singapore,1988. 
10. Honovar V. Symbolic Artificial Intelligence and  Numeric Artificial Neural Net-
works: Toward a Resolution of Dichotomy. Invited chapter. In : Computational Ar-
chitectures Integrating Symbolic  and  Neural Processes. Sun, R. a Bookman, L.(Ed) 
N.Y.: Kruwer, 1994. – Pp. 351-385. 
11. Hurst H.E. The Long-Term Storage Capacity of Reservoirs, Transactions of the 
American Society of Civil Engineers, 116, 1951. 
12. International workshop on combination of genetic algorithmsand neural networks 
(1992; Baltimore, Md), June 6, 1992. / COGANN-92;Ed. L.P. Whitley,J.P. Schof-
fer. - Los Alamatic (Ca) et al.: lEEEcomputer. soc. press, 1992. - VIII, 262p. 
13. Jones A.J. Genetic algorithms and their applications to thedesign of neural net-
works//Neural computing and applications,v. 1, no. 1, 1993. 
14. Karni, E, Decision Making Under Uncertainty: the Case of State – Dependent Prefer-
ences /E.Karni. – Cambridge: Harvard U.P., 1985. – 147 p. 
15. Mandelbrot, B. “The Variation of Certain Speculative Prices” in P. Cootner, ed., The 
Random Character of Stock Prices. – Cambridge: MIT Press, 1964. 
16. Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman, 1982. 
 
142

17. Osborne, M.F.M. “ Brownian Motion in the Stock Market,” in P. Cootner, ed., The 
Random Character of Stock Prices. – Cambridge: MIT Press, 1964. 
18. Poggio  Т., Girosi F.A. Theory of Networks for approximation and learning //A.I. 
Memo N 1140., C.B.I.P. Paper № 31. -1994.- 63 p. 
19. Robert S. Pindyck, Daniel L. Rubinfeld. Econometric models  and economic fore-
casts. – McGRAW-HILL,INC, 1991. – 596p. 
20. Sharpe, W.F. Portfolio Theory and Capital Markets. – New York: MgGraw-Hill, 
1970. 
21. Тakens F. Detecting strange attractors in turbulence //Dynamical systems and  turbu-
lence, eds. D.Rand,  L.Young. Berlin: Springer – Verlag. – Р. 366-382. 
22. Ulam S. Sets, Numbers and Universes. Cambridge, Mass: MIT Press, 1974. – 258 p. 
23. Vaughan, E.J. Fundamentals Risk and Insurance / E.J. Vaughan, C. M. Elliott.  2 nd 
Ed. – S. Barbara: John Wiley, 1978. – 642 p. 
24. Wolfram S. (ed) Theory and Application of Cellular Automata. Singapore /Teaneck, 
N.J.: World Scientific, 1986. – 878 p. 
25. Wolfram S. Cellular automata as models of complexity //Nature. 1984. V.341. – 
P.419-424. 
26. Wolfram Stephen, A New Kind of Science, Wolfram Media, Inc, 2002. – 1280 p. 
27. Абовский Н.П. и др. Разработка практического метода нейросетевого прогнози-
рования. //Труды VIII Всероссийской  конференции  «Нейрокомпьютеры  и  их 
применение » Сб.докл., 2002. - С. 1089 - 1097. 
28. Айвазян С.А. Т.2: Основы эконометрики.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.– 432 с. 
29. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Т.1: Теория вероятностей и прикладная статисти-
ка.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с. 
30. Александров  В.В.,  Алексеев  А.И.,  Горский  Н.Д.  Анализ  данных  на  ЭВМ  (на 
примере СИТО). – М.: Финансы и статистика, 1990. –192с. 
31. Алексеев В.И., Максимов А.В. Использование нейронных сетей с двухмерными 
слоями  для  распознавания  образов//Труды VIII Всероссийской  конференции 
«Нейрокомпьютеры и их применение »: Сб. докл., 2002. - С. 69-72. 
32. Алефельд Г.,Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. – М.: Мир, 
1987. – 360 с. 
33. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечет-
ких условиях: – Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2000. – 352 с. 
34. Сизов Ю.С. Анализ портфелей ценных бумаг и управление ими в современной 
России. Режим доступа: [http://mirkin.eufn.ru/articles_1.htm#sizov4  03.2004]. 
35. Бабков  Г.А.,  Касаева  М.Д.,  Перепелица  В.А.  Фрактальный  анализ  одного  вре-
менного ряда урожайностей /Материалы V Всероссийского симпозиума «Мате-
матическое  моделирование  и  компьютерные  технологии»,  т.2. –  Кисловодск: 
КИЭП, 2002.– С. 16-17. 
 
143

36. Барский  А.Б.  Обучение  нейросети  методом  трассировки //Труды VIII Все-
российской  конференции  «Нейрокомпьютеры  и  их  применение»:  Сб.  докл., 
2002.-С. 862-898. 
37. Батищев  Д.И.  Генетические  алгоритмы  решения  экстремальных  задач. -
Воронеж: ВГУ, 1994. - 135 с. 
38. Белим  С.В.  Математическое  моделирование  квантового  нейрона//Труды VIII 
Всероссийской  конференции  «Нейрокомпьютеры  и  их  применение»:  Сб.докл., 
2002. - С. 899 -903. 
39. Бессонов  В.А.  Введение  в  анализ  российской  макроэкономической  динамики 
переходного периода. – М.: ЦЭМИ РАН, 2003. – 151 с. 
40. Билл Вильямс "Новые измерения в биржевой торговле", ИК Аналитика, 2000. – 
262 с.  
41. Бирман  Э.Г.  Сравнительный  анализ  методов  прогнозирования //НТИ.Сер.2 – 
1986. - №1. – С.11-16. 
42. Бодянский Е.В., Кучеренко Е.И. Диагностика и прогнозирование временных ря-
дов многослойной радиально-базисной нейронной сети //Труды VIII Всероссий-
ской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение»: Сб. докл., 2002. - С. 
69-72. 
43. Булашев С.В. Статистика для трейдеров. – М.: Компания «Спутник +», 2003. – 
245 с. 
44. Бутенко  А.А.  и  др.  Обучение  нейронной  сети  при  помощи  алгоритма  фильтра 
Калмана. //Труды VIII  Всероссийской  конференции  «Нейрокомпьютеры  и  их 
применение »: Сб. докл., 2002. - С. 1120 - 1125. 
45. Вайну  Я. Корреляция рядов динамики. – М.: Статистика, 1977. –119с. 
46. Винтизенко И.Г. Детерминированное прогнозирование в экономических систе-
мах /Труды III Международной конференции «Новые технологии в управлении, 
бизнесе и праве». – Невинномысск: Изд-во ИУБиП. – С.30-37. 
47. Виханский О.С. Стратегическое управление: Учебник. – М.: Гардарика, 1998.– 
296 с. 
48. Волкова  В.Н.,  Денисов  А.А.  Основы  теории  систем  и  системного  анализа: 
Учебник для студентов вузов, обучающихся по направлению «Системный ана-
лиз и управление». – СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. – 520 с. 
49. Вороновский Г.К., и др. Генетические алгоритмы, нейронные сети и проблемы 
виртуальной реальности. - X.: ОСНОВА, 1997. - 112 с. 
50. Гаврилов  А.В.  Гибридные  интеллектуальные  системы. – Новосибирск:  Изд-во 
НГТУ, 2003. – 162 с. 
51. Галушкин  А.И.  Теория  нейронных  сетей.  Кн. 1: Учеб.  Пособие  для  вузов.  М.: 
ИПРЖР, 2001. - 385 с. 
 
144

52. Гаскаров Л.В., Голинкевич Т.А. Мозгалевский А.В. Прогнозирование техниче-
ского  состояния  и  надежности  радиоэлектронной  аппаратуры. –М.:  Сов.Радио, 
1974. – 224 с. 
53. Исаев  С.А.  Генетические  алгоритмы  и  машинное  обучение.  Режим  доступа:  
[http://www.blind.alfint.ru/modules.php?name=News&new_topic=3 29.04.2003]. 
54. Головко  В.А.  Нейронные  сети:  обучение,  организация  и  применение. 
Кн.4:Учеб.пособие для вузов/Общая ред. А.И. Галушкина. - М.: ИПРЖР, 2001.-
256 с. 
55. Горелик  А.Л.,  Скрипкин  В.А.  Методы  распознавания:  Учеб.пособие. – М.: 
Высш.шк., 1984. – 208 с. 
56. Гусак А.Н. и др. Подход к послойному обучению нейронной сети прямого рас-
пространения//Труды VIII Всероссийской  конференции  «Нейрокомпьютеры  и 
их применение » Сб.докл., 2002. - С. 931 - 933. 
57. Данилов Д.А., Жиглявский А.А. (ред.) Главные компоненты временных рядов: 
метод  «Гусеница». – Санкт-Петербург:  Санкт-Петербургский  государственный 
университет, 1997. – 308 с. 
58. Динамические  системы.  Итоги  науки  и  техники.  Сер.  Современные  проблемы 
математики. – М.: Наука, 1985. – Т. 1-4. 
59. Долятовский В.А., Касаков А.И., Коханенко И.К. Методы эволюционной и си-
нергетической  экономики  в  управлении. – Отрадная:  РГЭУ-  ИУБиП-ОГИ, 
2001.– 577 с. 
60. Дудов А.С., Щадуев М.Г. О новых показателях в прогнозировании экономиче-
ских процессов //Приложение к журналу «Известия высших учебных заведений. 
Северо-Кавказский регион. Общественные науки. – 2001.-1.– С.12-17. 
61. Емельянов  С.  В.,  Ларичев  О.И.  Многокритериальные    методы  принятия  реше-
ний. – М: Знание, 1985. – 32 с. 
62. Еремин Д.М. Система управления с применением нейронных сeтей//Приборы и 
системы. Управление, контроль, диагностика. - 2001. -№9 -С. 8-11. 
63. Ефимова  М.Р.,  Петрова  Е.В.,  Румянцев  В.Н.  Общая  теория  статистики:  Учеб-
ник. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 416 с. 
64. Жваколюк  Ю.В.  Внутредневняя  торговля  на  рынке  ФОРЕКС. – С-П.:  Питер, 
2000. – 186 с. 
65. Жирабок А.Н. Нечеткие множества и их использование для принятия решений 
//Соросовский образовательный журнал. – 2001. – Т.7, №2. – С.109–115. 
66. Зайченко  Ю.П.  Исследование  операций:  Нечеткая  оптимизация:  Учеб.пособие. 
– Киев: Выща школа, 1991. – 191 с. 
67. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной эконо-
мической теории. – М.: Мир, 1999. – 335 с. 
 
145

68. Ибираимова  Т.Б.  Прогнозирование  тенденций  финансовых  рынков  с  помощью 
нейронных сетей //Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры 
и их применение » Сб.докл., 2002 г. - С. 745 - 755. 
69. Иванов  М.Н.  Анализ  роста  курса  акций  с  применением  нейронных  сетей. 
//Труды VIII Всероссийской  конференции  «Нейрокомпьютеры  и  их  примене-
ние» Сб.докл., 2002 г. - С. 756 - 772. 
70. Кардаш В.А. Экономика оптимального погодного риска в АПК (теория и мето-
ды). – М.: Агропромиздат,1989.–167 с. 
71. Касаев  О.Б.,  Савченко  В.И.  Модели  и  методы  прогнозирования  технического 
состояния космических  средств:  Метод.  пособие. – СПб.:  ВИКУ  им.  А.Ф.  Мо-
жайского, 1997. – 37 с. 
72. Касти Дж. Связность, сложность и катастрофы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 
216 с. 
73. Кендэлл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ря-
ды. – М.: Наука, 1976. – 736 с. 
74. Кобелев  Н.Б.  Практика  применения  экономико-математических  методов  и  мо-
делей /Учеб.-практ. пособие. – М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. – 246 с.  
75. Колби Роберт. Энциклопедия технических индикаторов. – М.: Альпина Бизнес 
Букс, 2004. – 837с. 
76. Кондратьев Н.Д. Большие циклы конъюнктуры //Вопросы конъюнктуры. – 1925. 
– Т. 1. вып. 1. – С. 28-79. 
77. Короновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии: Как идеи 
нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки. – 
Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. 
78. Кравченко  П.П.  Как  не  проиграть  на  финансовых  рынках. – М.:  ДИС, 1998. – 
416 с.  
79. Кремер  Н.Ш.  Теория  вероятностей  и  математическая  статистика:  Учебник  для 
вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с. 
80. Курдюмов  С.П.,  Малинецкий  Г.Г.,  Потапов  А.Б.  Нестационарные  структуры, 
динамический  хаос,  клеточные  автоматы.  В  сб.  Новое  в  синергетике.  Загадки 
мира неравновесных структур. – М.: Наука, 1996. – С. 95-164. 
81. Кучин Б.Л., Якушева Е.В. Управление развитием экономических систем: техни-
ческий прогресс, устойчивость. – М.: Экономика, 1990. – 156 с. 
82. Лащев  А.Я.,  Глушич  Д.В.  Синтез  алгоритмов  обучения  нейронных  сетей. 
//Труды VIII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение 
» Сб.докл., 2002 г. - С. 997 - 999. 
83. Лекции  по  нейронным  сетям  и  генетическим  алгоритмам.  Режим  доступа: 
[http://infoart.baku.az/inews/30000007.htm 29.08.2002]. 
84. Лизелотт С. Валютные операции - основы теории и практика,  1998. – 175 с. 
 
146

85. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1987. – 510 
с. 
86. Лоскутов А.Ю.,  Михайлов А.С.  Введение  в  синергетику: Учеб.  руководство. – 
М.: Наука, 1990.– 324 с. 
87. Малинецкий  Г.Г.,  Потапов  А.Б.  Нелинейность.  Новые  проблемы,  новые  воз-
можности. В кн. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. – 
М.:  Наука, 1996. (Серия  «Кибернетика:  неограниченные  возможности  и  воз-
можные ограничения»).– С.165-190. 
88. Малхотра Н.К. Маркетинговые исследования. Практическое руководство. – М.: 
Издательский дом «Вильямс», 2002. – 960 с. 
89. Миркин Я.М. Рынок ценных бумаг России: воздействие фундаментальных фак-
торов, прогноз и политика развития. – М.: Альпина Паблишер, 2002. – 624 с. 
90. Математика.  Большой  энциклопедический  словарь  /Гл.ред  Ю.В.  Прохоров. – 
М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. – 848 с. 
91. Мерфи Д. Межрыночный технический анализ. – М.: Диаграмма 2002. – 317 с. 
92. Морозов Т.Г., Пикулькин А.В., Тихонов В.Ф. и др. Прогнозирование и планиро-
вание в условиях рынка. Учебное пособие для вузов. Под ред. Т.Г. Морозовой, 
А.В. Пикулина. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. – 318 с. 
93. Назаров  А.В.,  Лоскутов  А.И.  Нейросетевые  алгоритмы  прогнозирования  и  оп-
тимизации систем. – СПБ.: Наука и Техника, 2003. – 384 с. 
94. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. – М.: Мир, 1971. – 378 
с. 
95. Нейман Э.Л. Трейдер - Инвестор. – Киев: ВИРА-Р, 2003. – 640 с. 
96. Недосекин  А.О.  Нечетко-множественный  анализ  риска  фондовых  инвестиций. 
СПб: Сезам, 2002. - 181 с.  
97. Новоселова  Л.  А.  Правовое  регулирование  безналичных  расчетов  в  Россиской 
Федерации. – М.: Де-Юре, 1995. – 515 с.. 
98. Овчаренко Н.Ф. Роль и развитие статистики и экономико-математических мето-
дов //История  науки и  техники. – Москва:  Научтехлитиздат, 2005. –  №4. – С. 
64-67. 
99. Орловский  С.А.  Проблемы  принятия  решений  при  нечеткой  исходной  инфор-
мации. – М.: Наука, 1981. – 208 с. 
100.  Перепелица  В.А.,  Беляков  С.С.,  Овчаренко  Н.Ф.  Фрактальный  анализ  вре-
менных рядов объемов инвестиций в основной капитал региона //Региональное 
приложение  к  журналу  «Современные  наукоемкие  технологии».– 2004.– №2.– 
С.19-23. 
101.  Перепелица  В.А.,  Зеляковская  В.М.  Завгороднева  О.В.,  Зеляковский  Е.  В., 
Касаева М.Д. Управление рисками и прогнозирование в АПК «Экономика раз-
вития  региона:  проблемы,  поиски,  перспективы».  Ежегодник  Южной  секции 
 
147

содействия  развития  экономической  науки.  ООН  РАН.  Вып. 4. – Волгоград: 
Изд-во ВолГУ, 2004. – С.350-364. 
102.  Перепелица В.А., Касаева М.Д., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Использование 
инструментария клеточных автоматов для формирования прогнозных нечетких 
значений  урожайности  на  базе  временного  ряда //Известия  вузов.  Северо-
Кавказский регион. Естественные науки. – 2003. - № 4. – С. 5-11. 
103.  Перепелица  В.А.,  Попова  Е.В.  Математические  модели  и  методы  оценки 
рисков экономических, социальных и аграрных процессов.- Ростов н/Д.: Изд-во 
Рост. ун-та, 2002. – 208 с. 
104.  Перепелица  В.А.,  Попова  Е.В.  Математическое  моделирование  экономиче-
ских  и  социально-  экологических  рисков. – Ростов  н/Д.:  Изд-во  Рост.  ун-та, 
2001. – 126 с. 
105.  Перепелица В.А., Попова Е.В., Янгишиева А.М., Салпагаров А.Д. Использо-
вание  методов  нелинейной  динамики  для  предпрогнозного  анализа  объемов 
стока  горных  рек //Экономический  вестник  научных  центров  ЧЭС. – 2005.– 
№1.– С.73-84. 
106.  Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г., Касаева М.Д. Прогнозная мо-
дель урожайности на базе клеточных автоматов и нечетких множеств /Труды III 
Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и пра-
ве»,  г.  Невинномысск, 30 мая 2003 г.,  Невинномысск:  ИУБиП, 2003. – С. 163-
167. 
107.  Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Узденов Р.Х. Квазициклы временных рядов 
объемов  жилищного  строительства.  Труды III международной  конференции 
«Новые  технологии  в  управлении,  бизнесе  и  праве».–  Невинномысск:  ИУБП, 
2003. – С.159-163. 
108.  Перепелица  В.А.,  Тебуева  Ф.Б.,  Узденов  Р.Х.,  Такушинов  А.Р.  Различие 
фрактальных свойств временных рядов с наличием и отсутствием долговремен-
ной памяти. Там же, с.184-188. 
109.  Петерс  Э.  Фрактальный  анализ  финансовых  рынков:  Применение  теории 
хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004. – 304 с. 
110.  Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд 
на циклы, цены и изменчивость рынка. – М.: Мир, 2000. – 333 с. 
111.  Полетаев А.В., Савельева И.М. Циклы Кондратьева и развитие капитализма 
(опыт междисциплинарного исследования). – М.: Наука, 1993. – 249 с. 
112.  Пригожин И., Стингерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с при-
родой. – М.: Прогресс, 1986.– 278 с. 
113.  Прикладные нечеткие системы: Пер. с япон. /К.Асаи, Д.Ватада, С.Иваи и др.; 
под редакцией Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. – М.: Мир, 1993. – 368 с. 
 
148

114.  Присняков В.Ф. Нестационарная макроэкономика: – Учебное пособие. – До-
нецк: Дон- НУ. – 2000. – 209 с. 
115.  Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособие для сту-
дентов вузов /Под ред. Т.Г. Морозовой, А.В. Пикулькина. – М.: ЮНИТИ-Дана, 
1999. – 318 с. 
116.  Прогностика. Термины и определения /Комитет научно-технической терми-
нологии. Выпуск 109. – М.: Наука, 1990. – 56 с. 
117.  Пятецкий  В.Е.,  Бурдо  А.И.  Имитационное  моделирование  процесса  создания 
обучающихся систем. - В сб.: Имитационное моделирование производственных 
процессов. Под. ред. Мироносецкого Н.Б., - Новосибирск.1979. 
118.  Рубцов Б.Б. Мировые рынки ценных бумаг. – М.: Экзамен, 2002. – 448 с. 
119.  Растригин Л. А., Пономарев Ю.П. Экстраполяционные методы проектирова-
ния и управления. – М.: Машиностроение, 1986. – 120 с. 
120.  Розенблат  Ф.  Принципы  нейродинамики:  Персептрон  и  теория  механизмов 
мозга. Пер. с англ. -М.: Мир, 1965. 
121.  Сафонова  Т.Ю.  Биржевая  торговля  финансовыми  инструментами, 2000. – 
542 с. 
122.  Сергеева Л.Н. Клеточные сети с опосредованным взаимодействием  в микро-
экономическом  моделировании //Искусственный  интеллект,  №2 (специальный  
выпуск). – 1999. – С. 398-406. 
123.  Сергеева  Л.Н.  Моделирование  поведения  экономических  систем  методами 
нелинейной динамики (теории хаоса). – Запорожье: ЗГУ, 2002. – 227 с. 
124.  Сигел  Э.  Практическая  бизнес-статистика.–  М.:  Издательский  дом  «Виль-
ямс», 2002.– 1056 с.  
125.  Сигеру  О.,  и  др.  Нейроуправление  и  его  приложения.  Пер.  с  англ.  под peд. 
А.И. Галушкина. - М.: ИПРЖР, 2001. – 321 с. 
126.  Сорос Дж.  Алхимия финансов, 2001. – 415 с. 
127.  Сплайн-функции  в  экономико-статистических  исследованиях. – Новоси-
бирск: Наука, 1987. – 206 с. 
128.  Таран В.А. Играть на бирже просто?! СПб.: - Питер, 2005. – 256с. 
129.  Тихонов  Э.Е. Совершенствование методов прогнозирования с использовани-
ем  нейронных  сетей  и  системы  остаточных  классов.  Дисс.  к.т.н.  Ставрополь: 
СГУ, 2004.  
130.  Томпсон  Дж.М.  Неустойчивости  и  катастрофы  в  науке  и  технике:  Пер.  с 
англ. – М.: Мир, 1985. - 254 с. 
131.  Тутубалин В.Н. Статистическая обработка  рядов наблюдений. М.: – Знание, 
1973. – 64 с. 
 
149

132.  Ульяницкая Н.М. Моделирование процессов управления развития производ-
ства. В сб. Управление развитием производственных систем. – Ростов-на-Дону: 
РГУПС, 1999. – С.104-169. 
133.  Управление  риском:  Риск.  Устойчивое  развитие.  Синергетика. – М.:  Наука, 
2001. – 431 с. 
134.  Федер Е. Фракталы.– М.: Мир, 1991.– 260 с. 
135.  Фёрстер  Э.,  Рёнц  Б.  Методы  корреляционного  и  регрессионного  анализа 
/Пер. с нем. – М.: Финансы и статистика , 1983. – 302 с. 
136.  Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решения. – М.: Наука, 1978. 
– 298 с. 
137.  Фролов  Ю.В.  Интеллектуальные  системы  и  управленческие  решения. – М.: 
МГПУ, 2000. – 294 с. 
138.  Хубаев Г.Н. Качество подготовки специалистов: модели и алгоритмы анали-
за  и  прогнозирования  /Материалы IV международной  научно-практической 
конференции. Ростов-на-Дону, 2000.– С. 180-186. 
139.  Широков Р.В. Нейросетевые модели систем автоматического регулирования 
промышленных объектов. Дисс. к.т.н., Ставрополь: СГУ, 2003. 
140.  Швагер  Д.  Технический  анализ.  Полный  курс. – М.:  Альпина  Бизнес  Букс, 
2005. – 806 с. 
141.  Шеннон  Р.Ю.  Имитационное  моделирование  систем – наука  и  искусство 
/Под ред.Е.К. Масловского. – М.: Мир, 1978. – 310 с. 
142.  Шибхузов З.М. Конструктивный TOWER алгоритм для обучения нейронных 
сетей  из  ТП – нейронов //Труды VIII Всероссийской  конференции  «Нейроком-
пьютеры и их применение » Сб.докл., 2002. - С. 1066 - 1072. 
143.  Шарп У. Ф., Александер Г., Бэйли Д. В. Инвестиции. – М.: ИНФРА-М, 2004. 
– 1028 с.  
144.  Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного 
рая. – Ижевск: НИЦ « Регулярная и хаотичная динамика», 2001.– 528 с. 
145.  Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение.– М.: Мир, 1988.– 240 с. 
146.  Экономико-математические  методы  и  прикладные  модели:  Учеб.  пособие 
для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др. – М.: ЮНИТИ, 
2000. – 391 с. 
147.  Яновский  Л.П.  Принципы,  методология  и  научное  обоснование  урожая  по 
технологии «Зонт». – Воронеж: ВГАУ, 2000. – 379 с. 
 
150

Приложение 1 
Множество всех  - конфигураций,  = 10
,
4
, в ЛВР  «Сбербанка» 
 
М
М
М
М
8
7
М
М
М
4
5
8
9
10
Н Н Н С
Н Н Н С Н
Н Н Н С Н С
Н Н Н С Н С С
Н Н Н С Н С С В
Н Н Н С Н С С В С
Н Н Н С Н С С В С В
Н Н С Н
Н Н С Н С
Н Н С Н С Н
Н Н С Н С Н Н
Н Н С Н С Н Н С
Н Н С Н С Н Н С С
Н Н С Н С Н Н С С В
Н Н С С
Н Н С С В
Н Н С Н С С
Н Н С Н С С В
Н Н С Н С С В С
Н Н С Н С С В С В
Н Н С Н С С В С В С
Н Н С В
Н Н С В С
Н Н С С В С
Н Н С С В С С
Н Н С С В С С В
Н Н С С В С С В В
Н Н С С В С С В В С
Н С Н Н
Н С Н Н С
Н Н С С В В
Н Н С С В В С
Н Н С С В В С Н
Н Н С С В В С Н С
Н Н С С В В С Н С С
Н С Н С
Н С Н С Н
Н Н С В С Н
Н Н С В С Н С
Н Н С В С Н С С
Н Н С В С Н С С В
Н Н С В С Н С С В С
Н С С Н
Н С Н С С
Н С Н Н С С
Н С Н Н С С В
Н С Н Н С С В В
Н С Н Н С С В В С
Н С Н Н С С В В С Н
Н С С В
Н С С Н С
Н С Н Н С В
Н С Н Н С В С
Н С Н Н С В С Н
Н С Н Н С В С Н С
Н С Н Н С В С Н С С
Н С В С
Н С С В С
Н С Н С Н Н
Н С Н С Н Н С
Н С Н С Н Н С С
Н С Н С Н Н С С В
Н С Н С Н Н С С В В
Н С В В
Н С С В В
Н С Н С С В
Н С Н С С В С
Н С Н С С В С В
Н С Н С С В С В С
Н С Н С С В С В С Н
Н В С С
Н С В С Н
Н С С Н С В
Н С С Н С В В
Н С С Н С В В С
Н С С Н С В В С Н
Н С С Н С В В С Н Н
С Н Н Н
Н С В В С
Н С С В С С
Н С С В С С В
Н С С В С С В В
Н С С В С С В В С
Н С С В С С В В С Н
С Н Н С
Н В С С Н
Н С С В С В
Н С С В С В Н
Н С С В С В Н В
Н С С В С В Н В С
Н С С В С В Н В С С
С Н С Н
С Н Н Н С
Н С С В В С
Н С С В С В С
Н С С В С В С Н
Н С С В С В С Н Н
Н С С В С В С Н Н С
С Н С С
С Н Н С Н
Н С В С Н С
Н С С В С В В
Н С С В С В В С
Н С С В С В С Н С
Н С С В С В С Н С Н
С Н С В
С Н Н С С
Н С В В С Н
Н С С В В С Н
Н С С В В С Н С
Н С С В С В В С Н
Н С С В С В В С Н С
С С Н Н
С Н Н С В
Н В С С Н Н
Н С В С Н С С
Н С В С Н С С В
Н С С В В С Н С С
Н С С В В С Н С С В
С С Н С
С Н С Н Н
С Н Н Н С Н
Н С В В С Н Н
Н С В В С Н Н С
Н С В С Н С С В С
Н С В С Н С С В С В
С С В С
С Н С С Н
С Н Н С Н С
Н В С С Н Н Н
Н В С С Н Н Н С
Н С В В С Н Н С Н
Н С В В С Н Н С Н С
С С В В
С Н С С В
С Н Н С С В
С Н Н Н С Н С
С Н Н Н С Н С С
Н В С С Н Н Н С Н
Н В С С Н Н Н С Н С
С В Н В
С Н С В В
С Н Н С В С
С Н Н С Н С Н
С Н Н С Н С Н Н
С Н Н Н С Н С С В
С Н Н Н С Н С С В С
С В С Н
С С Н Н Н
С Н С Н Н С
С Н Н С С В С
С Н Н С С В С С
С Н Н С Н С Н Н С
С Н Н С Н С Н Н С С
С В С С
С С Н С В
С Н С С Н С
С Н Н С С В В
С Н Н С С В В С
С Н Н С С В С С В
С Н Н С С В С С В В
С В С В
С С В С С
С Н С С В С
С Н Н С В С Н
С Н Н С В С Н С
С Н Н С С В В С Н
С Н Н С С В В С Н С
С В В С
С С В С В
С Н С В В С
С Н С Н Н С С
С Н С Н Н С С В
С Н Н С В С Н С С
С Н Н С В С Н С С В
В Н В С
С С В В С
С С Н Н Н С
С Н С Н Н С В
С Н С Н Н С В С
С Н С Н Н С С В В
С Н С Н Н С С В В С
В С Н Н
С В Н В С
С С Н С В В
С Н С С Н С В
С Н С С Н С В В
С Н С Н Н С В С Н
С Н С Н Н С В С Н С
В С Н С
С В С Н Н
С С В С С В
С Н С С В С В
С Н С С В С В С
С Н С С Н С В В С
С Н С С Н С В В С Н
В С С Н
С В С Н С
С С В С В Н
С Н С В В С Н
С Н С С В С В В
С Н С С В С В С Н
С Н С С В С В С Н Н
В С С В
С В С С В
С С В С В С
С С Н Н Н С Н
С Н С В В С Н Н
С Н С С В С В В С
С Н С С В С В С Н С
В С В Н
С В С В Н
С С В С В В
С С Н С В В С
С С Н Н Н С Н С
С Н С В В С Н Н С
С Н С С В С В В С Н
В С В С
С В С В С
С С В В С Н
С С В С С В В
С С Н С В В С Н
С С Н Н Н С Н С С
С Н С В В С Н Н С Н
В С В В
С В С В В
С В Н В С С
С С В С В Н В
С С В С С В В С
С С Н С В В С Н Н
С С Н Н Н С Н С С В
В В С Н
С В В С Н
С В С Н Н С
С С В С В С Н
С С В С В Н В С
С С В С С В В С Н
С С Н С В В С Н Н С
Итого   34 В Н В С С
С В С Н С Н
С С В С В В С
С С В С В С Н Н
С С В С В Н В С С
С С В С С В В С Н Н
В С Н Н С
С В С Н С С
С С В В С Н Н
С С В С В С Н С
С С В С В С Н Н С
С С В С В Н В С С Н
В С Н С Н
С В С С В В
С С В В С Н С
С С В С В В С Н
С С В С В С Н С Н
С С В С В С Н Н С С
В С Н С С
С В С В Н В
С В Н В С С Н
С С В В С Н Н С
С С В С В В С Н С
С С В С В С Н С Н Н
В С С Н Н
С В С В С Н
С В С Н Н С С
С С В В С Н С С
С С В В С Н Н С С
С С В С В В С Н С С
В С С В В
С В С В В С
С В С Н С Н Н
С В Н В С С Н Н
С С В В С Н С С В
С С В В С Н С С В С
В С В Н В
С В В С Н Н
С В С Н С С В
С В С Н Н С С В
С В Н В С С Н Н Н
С В Н В С С Н Н Н С
В С В С Н
С В В С Н С
С В С С В В С
С В С Н С Н Н С
С В С Н Н С С В С
С В С Н Н С С В С С
В С В В С
В Н В С С Н
С В С В Н В С
С В С Н С С В С
С В С Н С Н Н С В
С В С Н С Н Н С В С
В В С Н Н
В С Н Н С Н
С В С В С Н Н
С В С С В В С Н
С В С Н С С В С В
С В С Н С С В С В В
В В С Н С
В С Н Н С С
С В С В С Н С
С В С В Н В С С
С В С С В В С Н Н
С В С С В В С Н Н С
Итого     45
В С Н С Н Н
С В С В В С Н
С В С В С Н Н С
С В С В Н В С С Н
С В С В Н В С С Н Н
В С Н С С В
С В В С Н Н С
С В С В С Н С Н
С В С В С Н Н С С
С В С В С Н Н С С В
В С С Н Н Н
С В В С Н С С
С В С В В С Н С
С В С В С Н С Н Н
С В С В С Н С Н Н С
В С С В В С
В Н В С С Н Н
С В В С Н Н С Н
С В С В В С Н С С
С В С В В С Н С С Н
В С В Н В С
В С Н Н С Н С
С В В С Н Н С С
С В В С Н Н С Н С
С В В С Н Н С Н С Н
В С В С Н Н
В С Н Н С С В
С В В С Н С С Н
С В В С Н С С Н С
С В В С Н С С Н С В
В С В С Н С
В С Н С Н Н С
С В В С Н С С В
С В В С Н С С В С
С В В С Н С С В С В
В С В В С Н
В С Н С С Н С
В Н В С С Н Н Н
В Н В С С Н Н Н С
В Н В С С Н Н Н С Н
В В С Н Н С
В С Н С С В С
В С Н Н С Н С Н
В С Н Н С Н С Н Н
В С Н Н С Н С Н Н С
В В С Н С С
В С С Н Н Н С
В С Н Н С С В С
В С Н Н С С В С С
В С Н Н С С В С С В
Итого    56
В С С В В С Н
В С Н С Н Н С В
В С Н С Н Н С В С
В С Н С Н Н С В С Н
В С В Н В С С
В С Н С С Н С В
В С Н С С Н С В В
В С Н С С Н С В В С
В С В С Н Н С
В С Н С С В С В
В С Н С С В С В С
В С Н С С В С В С Н
В С В С Н С Н
В С С Н Н Н С Н
В С Н С С В С В В
В С Н С С В С В В С
В С В В С Н С
В С С В В С Н Н
В С С Н Н Н С Н С
В С С Н Н Н С Н С С
В В С Н Н С Н
В С В Н В С С Н
В С С В В С Н Н С
В С С В В С Н Н С С
В В С Н Н С С
В С В С Н Н С С
В С В Н В С С Н Н
В С В Н В С С Н Н Н
В В С Н С С Н
В С В С Н С Н Н
В С В С Н Н С С В
В С В С Н Н С С В С
В В С Н С С В
В С В В С Н С С
В С В С Н С Н Н С
В С В С Н С Н Н С В
Итого      64
В В С Н Н С Н С
В С В В С Н С С Н
В С В В С Н С С Н С
В В С Н С С Н С
В В С Н Н С Н С Н
В В С Н Н С Н С Н Н
В В С Н С С В С
В В С Н С С Н С В
В В С Н С С Н С В В
Итого          67
В В С Н С С В С В
В В С Н С С В С В С
Итого              68
 Итого              68
 
 
151

Приложение 2 
 
Частотный анализ памяти клеточного автомата, для агрегированного 
ВР двухнедельной котировки акций «Сбербанк», представленный 
комбинаторно 
 
 
 
 
 
 
 
В
 
 
В
 
и
о
в
 
 
и
о
в
 
 
  
Переход  
,
С
е
х
о
дов
Часто
          Переход  
,
С
е
х
о
дов
Часто
из 
 
в
 
Н
сть,    
               из 
сть,  
 
пер
 
в
 
Н
 
переход
 
 
пер
 
переход
 
Глубина
- конфигурации 
 
Глубина
-конфигурации 
 
конфигурации
конфигурации
Переход
Частота
Всего
Переход
Частота
Всего




5 6 7 


10 
11 12 
  
 
Н 7   
 
0,318  
С В С 
С 1 
0,125

 
Н 
С 14  22  0,636  
 
В 4 
0,500
 
 
В 1   
 
0,045  
С В В 
С 4 4 1,000
1  
Н 13   
0,351 3  В Н В 
С 1 1 1,000
 
С 
С 10  37  0,270  
Н 3 
0,429
В С Н 

 
 
В 14   
0,378  
С 4 
0,571
 
 
Н 1   
0,056  
Н 1 
0,500
В С С 

 
В 
С 13  18  0,722  
В 1 
0,500
 
 
В 

 0,222   
Н 1    0,250
 
Н 1 
0,143  
В С В 
С 2 4 0,500
Н Н 

 
С 6 
0,857   
В 1   0,250
 
 
Н 4   
0,286  
В В С 
Н 4 4 1,000
 
Н С 
С 8  14  0,571  
Н Н Н С 
Н 1 1 1,000
 
 
В 2   
0,143  
Н Н С Н 
С 2 2 1,000
 
Н В 
С 1  1  1,000  
Н Н С С 
В 3 3 1,000
 
Н 6 
0,462  
Н Н С В 
С 1 1 1,000
С Н 
13 
 
С 7 
0,538  
Н С Н Н 
С 2 2 1,000
 
Н 2 
0,200  
Н 1 
0,500
С С 
10 
Н С Н С 


В 8 
0,800  
С 1 
0,500
 
 
Н 1   
0,077  
Н С С Н 
С 1 1 1,000
 
С В 
С 8  13  0,615  
С 5 
0,833
Н С С В 

 
 
В 4   
0,308  
В 1 
0,167
 
В Н 
В 1  1  1,000  
Н С В С 
Н 1 1 1,000
 
 
Н 7   
0,538  
Н С В В 
С 1 1 1,000
 
В С 
С 2  13  0,154  
Н В С С 
Н 1 1 1,000
 
 
В 4   
0,308  
С Н Н Н 
С 1 1 1,000
 
В В 
С 4  4  1,000  
Н 1 
0,200
С Н Н С 

 
Н Н Н 
С 1  1  1,000  
С 3 
0,600
 
 
Н 2   
0,333  
С Н Н С 
В 1   0,200
 
Н Н С 
С 3  6  0,500  
С Н С Н 
Н 2 2 1,000
 
 
В 1   
0,167  
Н 1 
0,250
С Н С С 

 
Н 2 
0,500  
В 3 
0,750
Н С Н 

 
С 2 
0,500  
С Н С В 
В 1 1 1,000
 
Н 1 
0,125  
С С Н Н 
Н 1 1 1,000
Н С С 

 
В 7 
0,875  
С С Н С 
В 1 1 1,000

С 1  2  0,500 4 
С 1 
0,200
Н С В 
С С В С 

 
В 1   
0,500  
В 4 
0,800
 
Н В С 
С  1 

1,000  
С С В В 
С 2 2 1,000
 
Н 1   
0,167  
С В Н В 
С 1 1 1,000
С Н Н 
 
С 5  6  0,833  
С В С Н 
Н 1  3 
0,333
 
152

 
 
Н 2   
0,286  
С 2 
0,667
 
С 4  7  0,571  
С В С С 
В 1 1 1,000
С Н С 
 
В 

 0,143   
Н 1    0,250
 
Н 1 
0,500  
С В С В 
С 2 4 0,500
С С Н 

 
С 1 
0,500   
В 1   0,250
 
С 5 
0,714  
С В В С 
Н 4 4 1,000
С С В 

 
В 2 
0,286  
В Н В С 
С 1 1 1,000
 
С В Н 
В 1  1  1,000  
В С Н Н 
С 3 3 1,000
 
С В С 
Н 3   
0,375  
В С Н С 
Н 1 4 0,250
 
В С Н С 
С 3  4  0,750  
В С С Н Н 
Н 1 1 1,000
 
В С С Н 
Н 1  1  1,000  
В С С В В 
С 1 1 1,000
 
В С С В 
В  1 

1,000  
В С В Н В 
С 1 1 1,000

В С В Н 
В 1  1  1,000 5 
Н 1 
0,500
В С В С Н 

 
В С В С 
Н 2  2  1,000  
С 1 
0,500
 
В С В В 
С 1  1  1,000  
В С В В С 
Н 1 1 1,000
 
Н 2 
0,500  
В В С Н Н 
С 2 2 1,000
В В С Н 

 
С 2 
0,500  
В В С Н С 
С 2 2 1,000
 
Н Н Н С Н 
С 1  1  1,000  
Н Н Н С Н С 
С 1 1 1,000
 
Н Н С Н С 
Н 1  2  0,500  
Н Н С Н С Н 
Н 1 1 1,000
 
Н Н С В С 
Н  1 

1,000  
Н Н С Н С С 
В 1 1 1,000
 
С  1 
0,500  
Н Н С С В С 
С 1 1 1,000
Н С Н Н С 

 
В  1 
0,500  
Н Н С С В В 
С 1 1 1,000
 
Н С Н С Н 
Н  1 

1,000  
Н Н С В С Н 
С 1 1 1,000
 
Н С Н С С 
В  1 

1,000  
Н С Н Н С С 
В 1 1 1,000
 
Н С С Н С 
В  1 

1,000  
Н С Н Н С В 
С 1 1 1,000
 
С  1 
0,200  
Н С Н С Н Н 
С 1 1 1,000
Н С С В С 

 
В  4 
0,800  
Н С Н С С В 
С 1 1 1,000
 
Н С С В В 
С  1 

1,000  
Н С С Н С В 
В 1 1 1,000
 
Н С В С Н 
С  1 

1,000  
Н С С В С С 
В 1 1 1,000
 
Н С В В С 
Н  1 

1,000   
Н 1    0,250
 
Н В С С Н 
Н  1 

1,000  
Н С С В С В 
С 2 4 0,500
 
С Н Н Н С 
Н  1 

1,000   
В 1   0,250
 
С Н Н С Н 
С  1 

1,000  
Н С С В В С 
Н 1 1 1,000
 
С Н Н С С 
В  3 

1,000  
Н С В С Н С 
С 1 1 1,000
 
С Н Н С В 
С  1 

1,000  
Н С В В С Н 
Н 1 1 1,000
 
С Н С Н Н 
С  2 

1,000  
Н В С С Н Н 
Н 1 1 1,000

С Н С С Н 
С  1 

1,000  
С Н Н Н С Н 
С 1 1 1,000
 
С Н С С В 
С  3 

1,000  
С Н Н С Н С 
Н 1 1 1,000
 
С Н С В В 
С  1 

1,000  
С 1 
0,500
С Н Н С С В 

 
С С Н Н Н 
С  1 

1,000  
В 1 
0,500
 
С С Н С В 
В  1 

1,000  
С Н Н С В С 
Н 1 1 1,000
 
С С В С С 
В  1 

1,000  
С Н С Н Н С 
С 1 2 0,500
 
 
Н  1 
 
0,250  
С Н С Н Н С 
В 1 2 0,500
 
С С В С В 
С  2 

0,500  
С Н С С Н С 
В 1 1 1,000
 
 
В  1 
 
0,250  
С Н С С В С 
В 3 3 1,000
 
С С В В С 
Н  2 

1,000  
С Н С В В С 
Н 1 1 1,000
 
С В Н В С 
С  1 

1,000 6 
С С Н Н Н С 
Н 1 1 1,000
 
С В С Н Н 
С  1 

1,000  
С С Н С В В 
С 1 1 1,000
 
Н  1 
0,500  
С С В С С В 
В 1 1 1,000
С В С Н С 

 
С  1 
0,500  
С С В С В Н 
В 1 1 1,000
 
С В С С В 
В  1 

1,000  
С С В С В С 
Н 2 2 1,000
 
С В С В Н 
В  1 

1,000  
С С В С В В 
С 1 1 1,000
 
С В С В С 
Н  2 

1,000  
Н 1 
0,500
С С В В С Н 

 
С В С В В 
С  1 

1,000  
С 1 
0,500
 
153

 
Н  2 
0,500  
С В Н В С С 
Н 1 1 1,000
С В В С Н 

 
С  2 
0,500  
С В С Н Н С 
С 1 1 1,000
 
В Н В С С 
Н  1 

1,000  
С В С Н С Н 
Н 1 1 1,000
 
Н  1 
0,333  
С В С Н С С 
В 1 1 1,000
В С Н Н С 

 
С  2 
0,667  
С В С С В В 
С 1 1 1,000
 
В С Н С Н 
Н  1 

1,000  
С В С В Н В 
С 1 1 1,000

Н  1 
0,333  
Н 1 
0,500
В С Н С С 

С В С В С Н 

 
В  2 
0,667  
С 1 
0,500
 
С В С В В С 
Н  1 

1,000  
С С В С В С Н 
С 1 2 0,500
 
С В В С Н Н 
С  2 

1,000  
С С В С В В С 
Н 1 1 1,000
 
С В В С Н С 
С  2 

1,000  
С С В В С Н Н 
С 1 1 1,000
 
В Н В С С Н 
Н  1 

1,000  
С С В В С Н С 
С 1 1 1,000
 
В С Н Н С Н 
С  1 

1,000  
С В Н В С С Н 
Н 1 1 1,000
 
В С Н Н С С 
В  2 

1,000  
С В С Н Н С С 
В 1 1 1,000
 
В С Н С Н Н 
С  1 

1,000  
С В С Н С Н Н 
С 1 1 1,000

В С Н С С Н 
С  1 

1,000  
С В С Н С С В 
С 1 1 1,000
 
В С Н С С В 
С  2 

1,000  
С В С С В В С 
Н 1 1 1,000
 
В С С Н Н Н 
С  1 

1,000  
С В С В Н В С 
С 1 1 1,000
 
В С С В В С 
Н  1 

1,000  
С В С В С Н Н 
С 1 1 1,000
 
В С В Н В С 
С  1 

1,000  
С В С В С Н С 
Н 1 1 1,000
 
В С В С Н Н 
С  1 

1,000  
С В С В В С Н 
С 1 1 1,000
 
В С В С Н С 
Н  1 

1,000 7 
Н 1 
0,500
С В В С Н Н С 

 
В С В В С Н 
С  1 

1,000  
С 1 
0,500
 
Н  1 
0,500  
Н 1 
0,500
В В С Н Н С 

С В В С Н С С 

 
С  1 
0,500  
В 1 
0,500
 
Н  1 
0,500  
В Н В С С Н Н 
Н 1 1 1,000
В В С Н С С 

 
В  1 
0,500  
В С Н Н С Н С 
Н 1 1 1,000
 
Н Н Н С Н С С 
В  1 

1,000  
В С Н Н С С В 
С 1 1 1,000
 
Н Н С Н С Н Н 
С  1 

1,000  
В С Н С Н Н С 
В 1 1 1,000
 
Н Н С Н С С В 
С  1 

1,000  
В С Н С С Н С 
В 1 1 1,000
 
Н Н С С В С С 
В  1 

1,000  
В С Н С С В С 
В 2 2 1,000
 
Н Н С С В В С 
Н  1 

1,000  
В С С Н Н Н С 
Н 1 1 1,000
 
Н Н С В С Н С 
С  1 

1,000  
В С С В В С Н 
Н 1 1 1,000
 
Н С Н Н С С В 
В  1 

1,000  
В С В Н В С С 
Н 1 1 1,000
 
Н С Н Н С В С 
Н  1 

1,000  
В С В С Н Н С 
С 1 1 1,000
 
Н С Н С Н Н С 
С  1 

1,000  
В С В С Н С Н 
Н 1 1 1,000
 
Н С Н С С В С 
В  1 

1,000  
В С В В С Н С 
С 1 1 1,000
 
Н С С Н С В В 
С  1 

1,000  
В В С Н Н С Н 
С 1 1 1,000
 
Н С С В С С В 
В  1 

1,000  
В В С Н Н С С 
В 1 1 1,000
 
Н С С В С В Н 
В  1 

1,000  
В В С Н С С Н 
С 1 1 1,000
 
Н С С В С В С 
Н  2 

1,000  
В В С Н С С В 
С 1 1 1,000
 
Н С С В С В В 
С  1 

1,000  
Н Н Н С Н С С В 
С 1 1 1,000
 
Н С С В В С Н 
С  1 

1,000  
Н Н С Н С Н Н С 
С 1 1 1,000
 
Н С В С Н С С 
В  1 

1,000  
Н Н С Н С С В С 
В 1 1 1,000
 
Н С В В С Н Н 
С  1 

1,000  
Н Н С С В С С В 
В 1 1 1,000
 
Н В С С Н Н Н 
С  1 

1,000  
Н Н С С В В С Н 
С 1 1 1,000
 
С Н Н Н С Н С 
С  1 

1,000  
Н Н С В С Н С С 
В 1 1 1,000
 
С Н Н С Н С Н 
Н  1 

1,000  
Н С Н Н С С В В 
С 1 1 1,000
 
С Н Н С С В С 
С  1 

1,000  
Н С Н Н С В С Н 
С 1 1 1,000

С Н Н С С В В 
С  1 

1,000  
Н С Н С Н Н С С 
В 1 1 1,000
 
С Н Н С В С Н 
С  1 

1,000 8 
Н С Н С С В С В 
С 1 1 1,000
 
С Н С Н Н С С 
В  1 

1,000  
Н С С Н С В В С 
Н 1 1 1,000
 
С Н С Н Н С В 
С  1 

1,000  
Н С С В С С В В 
С 1 1 1,000
 
С Н С С Н С В 
В  1 

1,000  
Н С С В С В Н В 
С 1 1 1,000
 
154

 
С  2 
0,667  
Н 1 
0,500
С Н С С В С В 

Н С С В С В С Н 

 
В  1 
0,333  
С 1 
0,500
 
С Н С В В С Н 
Н  1 

1,000  
Н С С В С В В С 
Н 1 1 1,000
 
С С Н Н Н С Н 
С  1 

1,000  
Н С С В В С Н С 
С 1 1 1,000
 
С С Н С В В С 
Н  1 

1,000  
Н С В С Н С С В 
С 1 1 1,000
 
С С В С С В В 
С  1 

1,000  
Н С В В С Н Н С 
Н 1 1 1,000
 
С С В С В Н В 
С  1 

1,000  
Н В С С Н Н Н С 
Н 1 1 1,000
 
С Н Н Н С Н С С 
В  1 

1,000  
Н Н С С В В С Н С  С 1 1 1,000
 
С Н Н С Н С Н Н 
С  1 

1,000  
Н Н С В С Н С С В  С 1 1 1,000
 
С Н Н С С В С С 
В  1 

1,000  
Н С Н Н С С В В С  Н 1 1 1,000
 
С Н Н С С В В С 
Н  1 

1,000  
Н С Н Н С В С Н С  С 1 1 1,000
 
С Н Н С В С Н С 
С  1 

1,000  
Н С Н С Н Н С С В  В 1 1 1,000
 
С Н С Н Н С С В 
В  1 

1,000  
Н С Н С С В С В С  Н 1 1 1,000
 
С Н С Н Н С В С 
Н  1 

1,000  
Н С С Н С В В С Н  Н 1 1 1,000
 
С Н С С Н С В В 
С  1 

1,000  
Н С С В С С В В С  Н 1 1 1,000
 
С Н С С В С В С 
Н  2 

1,000  
Н С С В С В Н В С  С 1 1 1,000
 
С Н С С В С В В 
С  1 

1,000  
Н С С В С В С Н Н  С 1 1 1,000
 
С Н С В В С Н Н 
С  1 

1,000  
Н С С В С В С Н С  Н 1 1 1,000
 
С С Н Н Н С Н С 
С  1 

1,000  
Н С С В С В В С Н  С 1 1 1,000
 
С С Н С В В С Н 
Н  1 

1,000  
Н С С В В С Н С С  В 1 1 1,000
 
С С В С С В В С 
Н  1 

1,000  
Н С В С Н С С В С  В 1 1 1,000
 
С С В С В Н В С 
С  1 

1,000  
Н С В В С Н Н С Н  С 1 1 1,000
 
С С В С В С Н Н 
С  1 

1,000  
Н В С С Н Н Н С Н  С 1 1 1,000
 
С С В С В С Н С 
Н  1 

1,000 9 
С Н Н Н С Н С С В  С 1 1 1,000
 
С С В С В В С Н 
С  1 

1,000  
С Н Н С Н С Н Н С  С 1 1 1,000
 
С С В В С Н Н С 
С  1 

1,000
С Н Н С С В С С В  В 1 1 1,000
 
С С В В С Н С С 
В  1 

1,000  
С Н Н С С В В С Н  С 1 1 1,000
 
С В Н В С С Н Н 
Н  1 

1,000  
С Н Н С В С Н С С  В 1 1 1,000
 
С В С Н Н С С В 
С  1 

1,000  
С Н С Н Н С С В В  С 1 1 1,000
 
С В С Н С Н Н С 
В  1 

1,000  
С Н С Н Н С В С Н  С 1 1 1,000
 
С В С Н С С В С 
В  1 

1,000  
С Н С С Н С В В С  Н 1 1 1,000
 
С В С С В В С Н 
Н  1 

1,000  
Н 1 
0,500
С Н С С В С В С Н 


С В С В Н В С С 
Н  1 

1,000  
С 1 
0,500
 
С В С В С Н Н С 
С  1 

1,000  
С Н С С В С В В С  Н 1 1 1,000
 
С В С В С Н С Н 
Н  1 

1,000  
С Н С В В С Н Н С  Н 1 1 1,000
 
С В С В В С Н С 
С  1 

1,000  
С С Н Н Н С Н С С  В 1 1 1,000
 
С В В С Н Н С Н 
С  1 

1,000  
С С Н С В В С Н Н  С 1 1 1,000
 
С В В С Н Н С С 
В  1 

1,000  
С С В С С В В С Н  Н 1 1 1,000
 
С В В С Н С С Н 
С  1 

1,000  
С С В С В Н В С С  Н 1 1 1,000
 
С В В С Н С С В 
С  1 

1,000  
С С В С В С Н Н С  С 1 1 1,000
 
В Н В С С Н Н Н 
С  1 

1,000  
С С В С В С Н С Н  Н 1 1 1,000
 
В С Н Н С Н С Н 
Н  1 

1,000  
С С В С В В С Н С  С 1 1 1,000
 
В С Н Н С С В С 
С  1 

1,000  
С С В В С Н Н С С  В 1 1 1,000
 
В С Н С Н Н С В 
С  1 

1,000  
С С В В С Н С С В  С 1 1 1,000
 
В  1 
1,000  
С В Н В С С Н Н Н  С 1 1 1,000
В С Н С С Н С В 

 
С  1 
0,500  
С В С Н Н С С В С  С 1 1 1,000
 
В С Н С С В С В 
В  1 

0,500  
С В С Н С Н Н С В  С 1 1 1,000
 
В С С Н Н Н С Н 
С  1 

1,000  
С В С Н С С В С В  В 1 1 1,000
 
В С С В В С Н Н 
С  1 

1,000  
С В С С В В С Н Н  С 1 1 1,000
 
В С В Н В С С Н 
Н  1 

1,000  
С В С В Н В С С Н  Н 1 1 1,000
 
В С В С Н Н С С 
В  1 

1,000  
С В С В С Н Н С С  В 1 1 1,000
 
В С В С Н С Н Н 
С  1 

1,000  
С В С В С Н С Н Н  С 1 1 1,000
 
В С В В С Н С С 
Н  1 

1,000  
С В С В В С Н С С  Н 1 1 1,000
 
В В С Н Н С Н С 
Н  1 

1,000  
С В В С Н Н С Н С  Н 1 1 1,000
 
155

 
В В С Н С С Н С 
В  1 

1,000  
С В В С Н С С Н С  В 1 1 1,000
 
В В С Н С С В С 
В  1 

1,000  
С В В С Н С С В С  В 1 1 1,000
 
Н Н Н С Н С С В С  В  1 

1,000  
В Н В С С Н Н Н С  Н 1 1 1,000
 
Н Н С Н С Н Н С С  В  1 

1,000  
В С Н Н С Н С Н Н  С 1 1 1,000
 
Н Н С Н С С В С В  С  1 

1,000  
В С Н Н С С В С С  В 1 1 1,000
 
Н Н С С В С С В В  С  1 

1,000  
В С Н С Н Н С В С  Н 1 1 1,000
 
В С Н С С Н С В В  С  1 

1,000  
С Н Н С Н С Н Н СС 
В 1 1 1,000
 
В С Н С С В С В С  Н  1 

1,000  
С Н Н С С В С С ВВ 
С 1 1 1,000
 
В С Н С С В С В В 
С  1 

1,000  
С Н Н С С В В С НС 
С 1 1 1,000
 
В С С Н Н Н С Н С  С  1 

1,000  
С Н Н С В С Н С СВ 
С 1 1 1,000
 
В С С В В С Н Н С  С  1 

1,000  
С Н С Н Н С С В ВС 
Н 1 1 1,000
 
В С В Н В С С Н Н  Н  1 

1,000  
С Н С Н Н С В С НС 
С 1 1 1,000
 
В С В С Н Н С С В  С  1 

1,000  
С Н С С Н С В В СН 
Н 1 1 1,000
 
В С В С Н С Н Н С  В  1 

1,000  
С В С Н Н С С В СС 
В 1 1 1,000
 
В С В В С Н С С Н  С  1 

1,000  
С В С Н С Н Н С ВС 
Н 1 1 1,000
 
В В С Н Н С Н С Н  Н  1 

1,000  
С В С Н С С В С ВВ 
С 1 1 1,000
 
В В С Н С С Н С В  В  1 

1,000  
С В С С В В С Н НС 
С 1 1 1,000
 
В В С Н С С В С В 
С  1 

1,000  
С В С В Н В С С НН 
Н 1 1 1,000
 
Н Н Н С Н С С В СВ 
С  1 

1,000  
С В С В С Н Н С СВ 
С 1 1 1,000
 
Н Н С Н С Н Н С СВ 
В  1 

1,000  
С В С В С Н С Н НС 
В 1 1 1,000
 
Н Н С Н С С В С ВС 
Н  1 

1,000  
С В С В В С Н С СН 
С 1 1 1,000
 
Н Н С С В С С В ВС 
Н  1 

1,000  
С В В С Н Н С Н СН 
Н 1 1 1,000
 
Н Н С С В В С Н СС 
В  1 

1,000  
С В В С Н С С Н СВ 
В 1 1 1,000
 
Н Н С В С Н С С ВС 
В  1 

1,000  
С В В С Н С С В СВ 
С 1 1 1,000
 
Н С Н Н С С В В СН 
С  1 

1,000  
В Н В С С Н Н Н СН 
С 1 1 1,000
 
Н С Н Н С В С Н СС 
В  1 

1,000  
В С Н Н С Н С Н НС 
С 1 1 1,000
 
Н С Н С Н Н С С ВВ 
С  1 

1,000  
В С Н Н С С В С СВ 
В 1 1 1,000
 
Н С Н С С В С В СН 
С  1 

1,000  
В С Н С Н Н С В СН 
С 1 1 1,000
 
Н С С Н С В В С НН 
С  1 

1,000  
В С Н С С Н С В ВС 
Н 1 1 1,000
 
Н С С В С С В В СН 
Н  1 

1,000  
В С Н С С В С В СН 
Н 1 1 1,000
 
Н С С В С В Н В СС 
Н  1 

1,000  
В С Н С С В С В ВС 
Н 1 1 1,000
 
Н С С В С В С Н НС 
С  1 

1,000  
В С С Н Н Н С Н СС 
В 1 1 1,000
 
Н С С В С В С Н СН 
Н  1 

1,000  
В С С В В С Н Н СС 
В 1 1 1,000
 
Н С С В С В В С НС 
С  1 

1,000  
В С В Н В С С Н НН 
С 1 1 1,000
 
Н С С В В С Н С СВ 
С  1 

1,000  
В С В С Н Н С С ВС 
С 1 1 1,000
 
Н С В С Н С С В СВ 
В  1 

1,000  
В С В С Н С Н Н СВ 
С 1 1 1,000
 
Н С В В С Н Н С НС 
Н  1 

1,000  
В С В В С Н С С НС 
В 1 1 1,000
 
Н В С С Н Н Н С НС 
С  1 

1,000  
В В С Н Н С Н С НН 
С 1 1 1,000
 
С Н Н Н С Н С С ВС 
В  1 

1,000  
В В С Н С С Н С ВВ 
С 1 1 1,000
   
 
 
В В С Н С С В С ВС 
Н 1 1 1,000
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
156

Приложение 3 
Результат реализации процесса валидации прогнозной модели для отрезка ВР котировки 
акций «Сбербанк»  =
78
,
67
 
i
 
 
 
 
 
 
 
 
l
ы

и
 
в
  
 
Исходны
Численны
Погрешно
Погрешно
  конфигураци
Прогнозное 
е 
й 
сть 
сть 
 
терм
я 
 
нечеткое терм-множество 
числовые 
прогноз, 
числовая, 
лингвисти
= ({Н;µ , C;µ , В,µ  
данные, 
тыс.руб 

ческая 
Н ) (
) (
В )}
 
,
В
тыс.руб 
 
 
конфигураци
,
С
Прогнозируемый
 
полумесяц
Переходы
l- 
Н
Исходные
1 2  3 


6  7  8  9 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
05 
ВВСННСС 
С U={(Н;0,09), (С;0,04), (В;0,87)} 
В 
16349 14236,46  14,84 
В 
03.
14.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
05 
ССВВСННС 
С U={(Н;0,4), (С;0,5), (В;0,1)} 
С 
14000 13066,92  7,141 
С 
02.
28.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
05 
ССВВСНН 
С U={(Н;0,09), (С;0,9), (В;0,007)} 
С 
13350 13510,75  1,19 
С 
02.
14.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
05 
ВССВВСН 
С U={(Н;0,5), (С;0,4), (В;0,1} 
Н 
11970 12834,44  6,73 
Н 
01.
31.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
05 
ВССВВС 
С U={(Н;0,8), (С;0,08), (В;0,1)} 
Н 
12100 11547,64  4,78 
Н 
01.
17.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
05 
ВССВВ 
С U={(Н;0,48),(С;0,49), (В;0,03)} 
С 
13650 13365,33  2,13 
С 
01.
03.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
04 
ВССВ 
С U={(Н;0,1), (С;0,5), (В;0,4)} 
В 
14355 13860,00  3,57 
С 
12.
20.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
04 
 
С U={(Н;0,3), (С;0,1), (В;0,6)} 
В 
14660 12919,40  13,47 
В 
12.
СВСС 
06.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
04 
ННССВС 
С U={(Н;0,2),(С;0,5),(В;0,3)} 
С 
13500 12928,15  4,42 
С 
11.
22.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
04 
ВСННССВ 
С U={(Н;0,1), (С;0,7), (В;0,2} 
С 
13180 12761,09  3,28 
С 
11.
08.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
04 
СВСННСС 
С U={(Н;0,1), (С;0,04), (В;0,87)} 
В 
13650 12607,72  8,27 
В 
10.
25.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Н 
 
 
 
 
 
 
04 
СВСННС 
С U={(Н;0,3), (С;0,6), (В;0,1)} 
С 
12650 12004,98  5,37 
С 
10.
11.
В 
 
 
 
 
 
 
 
Итого 
 
 
 
Средняя погрешность 6,27%  8,3% 
 
157

 
 
158


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83709. Малое архитектурное сооружение 4.47 MB
  Целью данного курсового проекта являются систематизация, закрепление, углубление, развитие и расширение полученных теоретических и практических знаний по разделу « Теория исследования в проектировании». Основными задачами курсового проекта являются: изучить государственные стандарты изображений...
83711. Влияние распределения внимания на продуктивность деятельности 30.92 KB
  Распределение внимания означает одновременное сосредоточение на двух или более видах деятельности. В исследованиях распределения внимания испытуемым обычно предлагается выполнить две задачи одновременно. Если одна из деятельностей полностью автоматизирована и не требует сознательного контроля...
83712. Исследование электрических цепей синусоидального тока. Резонанс напряжений 325.13 KB
  Исследование явления резонанса напряжений при последовательном соединении катушки индуктивности и конденсатора. Используя полученные значения и вычислим В В мкФ Изменением положения сердечника катушки индуктивности при максимуме тока в цепи добиваемся резонанса напряжений...
83713. Исследование электронного осциллографа 922.34 KB
  Цель работы: Ознакомление с принципом действия и приобретение навыков работы с электронным осциллографом. Выполнение работы: Электронные осциллограф предназначен для исследования форм электрических сигналов путем визуального наблюдения и измерения их амплитудных и временных параметров.
83714. Исследование эффекта Джоуля-Томпсона при адиабатическом истечении газа 438 KB
  Идеальный газ – модель газа, в которой пренебрегаются размеры молекул по сравнению с расстоянием между ними, т.е. молекулы рассматриваются как материальные точки, также пренебрегаются силы взаимодействия между молекулами (за исключением моментов столкновения).
83716. Определение коэффициента термического расширения (линейного) твёрдого тела 117.05 KB
  Определить температуру металлической проволоки при протекании через неё электрического тока. Измерить удлинение проволоки при нагревании. В данной работе экспериментально определяется коэффициент термического расширения твердого тела металлической проволоки.
83717. Моделювання типових радіотехнічних сигналів 1.34 MB
  Вивчити основні можливості програми MathCad, ознайомитися з елементами загальної теорії радіотехнічних сигналів, освоїти порядок моделювання найпростіших радіотехнічних сигналів. При підготовці до виконання лабораторної роботи необхідно вивчити даний опис, що відповідає розділам рекомендованої літератури...