17493

Методи наближеного розв’язання рівнянь в редакторі Excel

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3 Методи наближеного розвязання рівнянь в редакторі Excel Мета роботи: навчитися знаходити корені рівняння за допомогою редактора Excel визначати точність знайденого розвязку. Загальні положення про корені рівняння та точність знайденого розвяз

Украинкский

2013-07-01

364.5 KB

59 чел.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3

Методи наближеного розвязання рівнянь в редакторі Excel

Мета роботи: навчитися знаходити корені рівняння за допомогою редактора Excel, визначати точність знайденого розвязку.

Загальні положення про корені рівняння та точність знайденого розвязку

Редактор Excel дозволяє достатньо просто розвязувати алгебраїчні рівняння. Перш ніж приступати до пояснення методів розв’язування рівнянь в Microsoft Excel згадаємо, що відповідно математиці називається розв’язком рівняння. Корінь рівняння це таке значенне аргументу, яке повертає функцію в нуль. Розвязати рівняння – значить знайти точне значення кореня. В математиці прийнято називати точним розвязком рівняння таке, яке може бути представлено у вигляді формул. Прикладом такої формули є, накприклад, формула для розвязання квадратичного рівняння :

   .

Тільки для дуже обмеженого діапазону функцій існують методики точного розвязання. Однак, чисельне значення кореня не завжди може бути визначено точно. Наприклад, рівняння  не має точного чисельного значення корня. Таким чином, розвязання рівняньце визначення чисельних значень корня із заданою наперед точністю. В математиці для задання точності домовляються, до якого знаку після коми будуть виконувати пошук рішення. Так, наприклад, для  точного розвязку не існує, але можна записати, що наближено . Ми можемо вважати це наближеним точним розвязком, якщо домовимося, що якщо при двох послідовних операціях обчислення  наступне обрахування буде відрізнятися від попереднього на якусь дуже малу величину . Наприклад, нехай попередньо встановимо . Відповідно, за такої постановки:

         – не є корнем рівняння

       – не корень уравнения, т.к

            поки ще більше

………………

Тобто за вибраної нами умови будемо вважати, що знайдений  і є точний розвязок.

Якщо  - рівняння, а  - функція, то із визначення ясно, що корінь рівняння – це таке число, за якого функція стає рівною нулю – тобто перетинає вісь . Нижче на рис. 1. показаний графік функції . З графіка видно, що в діапазоні значень () він перетинає вісь  двічі, тобто рівняння  має, принаймні, два корені.   

Графічний метод пошуку коренів рівняння

Перш за все необхідно побудувати графік функції, і тоді можна легко побачити наявність коренів та їх кількість. З графіка видно, що рівняння  має два корені: графік перетинає вісь  в двох точках.

Графічний метод визначення коренів є оцінкою в першому наближенні розвязання рівняння. 

Рис. 1. Графік функції

 Для більш точного визначення коренів можна збільшити масштаб вісі  та виділити в збільшеному масштабі області вісь , де графік функції перетинає її, як показано на рис. 2.

              а)                                                                     б)

Рис. 2. а) Наближення кореня рівняння; б) зміни масштабу графіка

 З останнього графіка (б) ясно, що один із коренів знаходиться в інтервалі 0;2. Подальша зміна масштабу может дозволити ще більш уточнити значення шуканого кореня.

а)                                                                              б)

Рис. 3. Уточнення наближеного значення кореня

З рис. 3,б видно, що наближене значення кореня знаходиться в інтервалі . Такий розвязок вже є досить хорошим наближенням. Значення функції за вказаних значеннях кореня , відповідно, дорівнюють , . Аналогічно можна отримати і значення другого кореня.

Графічний метод розвязання рівняння дозволяє наочно отримати  уявлення про наявність коренів та визначити наближені значення коренів.

Важливо відзначити, що при надто малому масштабі побудови графіка можно втратити графічне зображення. Наприклад, на стадії дроблення інтервалу значень (як на рис. 3, б) можна не отримати графічного зображення. Така ситуація може виникнути, якщо крок по  вибраний достатньо великим, наприклад, рівним 1. Для того, щоб отримати більш точне графічне зображення слід вибрати більш дрібний крок по .  

Однак, графічний метод, як це видно з прикладу не дає достатньої точності розвязання рівняння. Для більш точного розвязку рівняння, як відомо, потрібно задавати точність, яку необхідно досягти. 

Розвязання рівняння в редакторі Excel за допомогою режиму “Формула” (комбінований метод)

Розвязання рівняння за допомогою режиму “Формула” подібно тому, яке ми розглядали за графічного розвязання рівняння. 

Розвязання починаємо з побудови графіка для того, щоб впевнитися в тому, що дане рівняння має корені. Одночасно при побудові графіка перевіряємо, скільки коренів може мати рівняння. На цьому етапі визначаємо інтервали визначення коренів з точністю до одиниць.

         

Рис. 4. Графік функції 

З графіка беремо в першому наближенні: , . Виділяємо на листі Excel комірки для розвязання рівняння. Нехай це будуть комірки А1 і В1. В комірку А1 записуємо початкове значення інтервалу, в якому знаходиться перший корінь, тобто 0. Вибираємо крок зміни . Нехай крок  буде 0.5. В комірку А2 записуємо наступне значення . Методом протягування заповнюємо комірки в стовпчику А до значення . В комірку В1 записуємо формулу для функції .                                                                                                           

Методом протягування копіюємо формулу з комірки В1 в останні комірки стовпчика В. Отримаємо наступний результат:

З  фрагмента листа Excel видно, що переход через 0 функції  відбувається на інтервалі , тобто шуканий корінь  знаходиться в інтервалі  (рис. 5).

                                                                                                                                

Рис. 5. Наближений розв’язок рівняння

Далі подрібнюємо інтервал  і виконуємо  автоматичні обчислення значень функції.

В другому наближенні отримаємо результат показаний на рис. 6.      

З рис. 6, видно, що друге наближення дало інтервал для кореня (рис. 6).  

Рис. 6. Наближений розвязок рівняння

Отримане наближення вже є досить хорошим розвязком рівняння. Проте з фрагменту обчислень видно, що функція на межах інтервалу змінюється суттєво (від  до ).

Подальші уточнення кореня будемо вести так, щоб значення функції як можна щоб , де . Нехай .

Рис.7. Наближений розвязок рівняння методом послідовних наближень

Розвязок знайдений, оскільки виконується умова: .

Розвязання рівняння в редакторі Excel в автоматичному режимі

Програма Excel дозволяє знаходити корені нелінійних рівнянь в автоматичному режимі.

Для цього в меню команд міститься команда “Подбор параметра”:

Строка команд►Сервис►Подбор параметра. За виклику цієї команди Excel перебирає по спеціальному алгоритму числа і підставляє їх послідовно у формулу, яка написана в деякій комірці таким чином, щоб в цій комірці ьуло отримано задане число.

Розвязання починаємо з побудови графіка для того, щоб впевнитися, що дане рівняння має корені. Одночасно при побудові графіка перевіряємо, скільки коренів може мати рівняння. На чьому етапі визначаємо інтервали знаходження коренів з точністю до одиниць.

В комірці В1 записуємо рівняння .                                                      В комірці А1 записуємо перше наближення кореня корня (наприклад, в нашому випадку 0).

Викликаємо діалогове вікно меню:

Строка команд►Сервис►Подбор параметра. 

Отримаємо вид вікна як показано на рис. 8.

Рис. 8. Контекстне меню “Подбор параметра”

Розвязання рівняння показане на наступному рисунку.

Рис. 9. Розвязання нелінійного рівняння  в автоматичному режимі

Завдання на лабораторну роботу:

  1.  Заповнити таблицю даних, використовуючи автоматичне заповнення; 
  2.  Виділити діапазон даних для наступної побудови графіка;
  3.  Побудувати графік за існуючими даними таблиці;
  4.  Знайти корені рівняння троьома методами при заданому ;
  5.  Знайти похибку результатів різних методів.

Контрольні запитання:

  1.  Що таке точний розвязок рівняння?
    1.  Умова точного розвязку;
    2.  Методи пошуку коренів рівняння;
    3.  В чому полягає графічний метод пошуку коренів?
    4.  В чому полягає комбінований метод пошуку коренів?
    5.  В чому полягає автоматичний метод пошуку коренів?


Вар
іанти завдань для лабораторної роботи 3:

знайти корені рівняння за допомогою графічного, комбінованого та автоматичного методів в редакторі Excel, визначати точність знайденого розвязку.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10.  .

11

PAGE  4

0 < x<2

0 < x<50

1.291 < x< 1.292

1.25 < x< 1.5

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66239. Использование протокола RIP 99.5 KB
  Протокол RIPX используется для определения типа кадра и номера внешней сети для каждого интерфейса, настроенного на автоматическое определение этих значений. При загрузке протокола NWLink отправляется запрос...
66240. Моделирование радиоэлектронных устройств при помощи программного комплекса Electronics Workbench 966.5 KB
  Для начала разработки необходимо загрузить файл-схему в среду Electronics Workbench, если этот файл уже создан и находится на одном из накопителей компьютера. Это делается посредством выполнения команды меню...
66241. Предмет статистики 117.32 KB
  Предмет статистики характеризує кількісні особливості соціальних та повязаних із ними природних процесів у нерозривному звязку з їх якісним складом. Істотним у визначенні предмета статистики є те що вона вивчає...
66242. Історія педагогіки 27.5 KB
  Під історією педагогіки ми розуміємо науку про розвиток виховання школи й педагогічної думки в різні історичні періоди. Предмет історії педагогіки як галузі педагогічного знання складає розвиток теорії і практики виховання освіти і навчання...
66245. Место и роль управления персоналом в системе управления организацией 77 KB
  Структура персонала её основные виды. Персонал как важнейший ресурс организации Менеджмент персонала или управление персоналом как отдельный вид менеджмента начинает выделяться во второй половине ХХ в. что связано со следующими причинами: усложнение процессов управления внутри организации...
66246. Программы и программные продукты 46 KB
  Все программы по характеру использования и категориям пользователей можно разделить на два класса: утилитарные программы программы для себя предназначенные для удовлетворения нужд их разработчиков и программные продукты программы для хозяина предназначенные...
66247. ЗАРОДЖЕННЯ ПЕДАГОГІЧНОЇ ДУМКИ 83.5 KB
  Зараз ми не можемо точно знати, як жили і виховували дітей люди сотні тисяч років тому. Тодішні люди давно померли, не залишивши письмових пам'яток, а машини часу існують лише у науковій фантастиці. Але ми можемо відтворити їх життя і виховання дітей, користуючись рядом інших джерел.