17493

Методи наближеного розв’язання рівнянь в редакторі Excel

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3 Методи наближеного розв’язання рівнянь в редакторі Excel Мета роботи: навчитися знаходити корені рівняння за допомогою редактора Excel визначати точність знайденого розв’язку. Загальні положення про корені рівняння та точність знайденого розв’яз

Украинкский

2013-07-01

364.5 KB

53 чел.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3

Методи наближеного розвязання рівнянь в редакторі Excel

Мета роботи: навчитися знаходити корені рівняння за допомогою редактора Excel, визначати точність знайденого розвязку.

Загальні положення про корені рівняння та точність знайденого розвязку

Редактор Excel дозволяє достатньо просто розвязувати алгебраїчні рівняння. Перш ніж приступати до пояснення методів розв’язування рівнянь в Microsoft Excel згадаємо, що відповідно математиці називається розв’язком рівняння. Корінь рівняння це таке значенне аргументу, яке повертає функцію в нуль. Розвязати рівняння – значить знайти точне значення кореня. В математиці прийнято називати точним розвязком рівняння таке, яке може бути представлено у вигляді формул. Прикладом такої формули є, накприклад, формула для розвязання квадратичного рівняння :

   .

Тільки для дуже обмеженого діапазону функцій існують методики точного розвязання. Однак, чисельне значення кореня не завжди може бути визначено точно. Наприклад, рівняння  не має точного чисельного значення корня. Таким чином, розвязання рівняньце визначення чисельних значень корня із заданою наперед точністю. В математиці для задання точності домовляються, до якого знаку після коми будуть виконувати пошук рішення. Так, наприклад, для  точного розвязку не існує, але можна записати, що наближено . Ми можемо вважати це наближеним точним розвязком, якщо домовимося, що якщо при двох послідовних операціях обчислення  наступне обрахування буде відрізнятися від попереднього на якусь дуже малу величину . Наприклад, нехай попередньо встановимо . Відповідно, за такої постановки:

         – не є корнем рівняння

       – не корень уравнения, т.к

            поки ще більше

………………

Тобто за вибраної нами умови будемо вважати, що знайдений  і є точний розвязок.

Якщо  - рівняння, а  - функція, то із визначення ясно, що корінь рівняння – це таке число, за якого функція стає рівною нулю – тобто перетинає вісь . Нижче на рис. 1. показаний графік функції . З графіка видно, що в діапазоні значень () він перетинає вісь  двічі, тобто рівняння  має, принаймні, два корені.   

Графічний метод пошуку коренів рівняння

Перш за все необхідно побудувати графік функції, і тоді можна легко побачити наявність коренів та їх кількість. З графіка видно, що рівняння  має два корені: графік перетинає вісь  в двох точках.

Графічний метод визначення коренів є оцінкою в першому наближенні розвязання рівняння. 

Рис. 1. Графік функції

 Для більш точного визначення коренів можна збільшити масштаб вісі  та виділити в збільшеному масштабі області вісь , де графік функції перетинає її, як показано на рис. 2.

              а)                                                                     б)

Рис. 2. а) Наближення кореня рівняння; б) зміни масштабу графіка

 З останнього графіка (б) ясно, що один із коренів знаходиться в інтервалі 0;2. Подальша зміна масштабу может дозволити ще більш уточнити значення шуканого кореня.

а)                                                                              б)

Рис. 3. Уточнення наближеного значення кореня

З рис. 3,б видно, що наближене значення кореня знаходиться в інтервалі . Такий розвязок вже є досить хорошим наближенням. Значення функції за вказаних значеннях кореня , відповідно, дорівнюють , . Аналогічно можна отримати і значення другого кореня.

Графічний метод розвязання рівняння дозволяє наочно отримати  уявлення про наявність коренів та визначити наближені значення коренів.

Важливо відзначити, що при надто малому масштабі побудови графіка можно втратити графічне зображення. Наприклад, на стадії дроблення інтервалу значень (як на рис. 3, б) можна не отримати графічного зображення. Така ситуація може виникнути, якщо крок по  вибраний достатньо великим, наприклад, рівним 1. Для того, щоб отримати більш точне графічне зображення слід вибрати більш дрібний крок по .  

Однак, графічний метод, як це видно з прикладу не дає достатньої точності розвязання рівняння. Для більш точного розвязку рівняння, як відомо, потрібно задавати точність, яку необхідно досягти. 

Розвязання рівняння в редакторі Excel за допомогою режиму “Формула” (комбінований метод)

Розвязання рівняння за допомогою режиму “Формула” подібно тому, яке ми розглядали за графічного розвязання рівняння. 

Розвязання починаємо з побудови графіка для того, щоб впевнитися в тому, що дане рівняння має корені. Одночасно при побудові графіка перевіряємо, скільки коренів може мати рівняння. На цьому етапі визначаємо інтервали визначення коренів з точністю до одиниць.

         

Рис. 4. Графік функції 

З графіка беремо в першому наближенні: , . Виділяємо на листі Excel комірки для розвязання рівняння. Нехай це будуть комірки А1 і В1. В комірку А1 записуємо початкове значення інтервалу, в якому знаходиться перший корінь, тобто 0. Вибираємо крок зміни . Нехай крок  буде 0.5. В комірку А2 записуємо наступне значення . Методом протягування заповнюємо комірки в стовпчику А до значення . В комірку В1 записуємо формулу для функції .                                                                                                           

Методом протягування копіюємо формулу з комірки В1 в останні комірки стовпчика В. Отримаємо наступний результат:

З  фрагмента листа Excel видно, що переход через 0 функції  відбувається на інтервалі , тобто шуканий корінь  знаходиться в інтервалі  (рис. 5).

                                                                                                                                

Рис. 5. Наближений розв’язок рівняння

Далі подрібнюємо інтервал  і виконуємо  автоматичні обчислення значень функції.

В другому наближенні отримаємо результат показаний на рис. 6.      

З рис. 6, видно, що друге наближення дало інтервал для кореня (рис. 6).  

Рис. 6. Наближений розвязок рівняння

Отримане наближення вже є досить хорошим розвязком рівняння. Проте з фрагменту обчислень видно, що функція на межах інтервалу змінюється суттєво (від  до ).

Подальші уточнення кореня будемо вести так, щоб значення функції як можна щоб , де . Нехай .

Рис.7. Наближений розвязок рівняння методом послідовних наближень

Розвязок знайдений, оскільки виконується умова: .

Розвязання рівняння в редакторі Excel в автоматичному режимі

Програма Excel дозволяє знаходити корені нелінійних рівнянь в автоматичному режимі.

Для цього в меню команд міститься команда “Подбор параметра”:

Строка команд►Сервис►Подбор параметра. За виклику цієї команди Excel перебирає по спеціальному алгоритму числа і підставляє їх послідовно у формулу, яка написана в деякій комірці таким чином, щоб в цій комірці ьуло отримано задане число.

Розвязання починаємо з побудови графіка для того, щоб впевнитися, що дане рівняння має корені. Одночасно при побудові графіка перевіряємо, скільки коренів може мати рівняння. На чьому етапі визначаємо інтервали знаходження коренів з точністю до одиниць.

В комірці В1 записуємо рівняння .                                                      В комірці А1 записуємо перше наближення кореня корня (наприклад, в нашому випадку 0).

Викликаємо діалогове вікно меню:

Строка команд►Сервис►Подбор параметра. 

Отримаємо вид вікна як показано на рис. 8.

Рис. 8. Контекстне меню “Подбор параметра”

Розвязання рівняння показане на наступному рисунку.

Рис. 9. Розвязання нелінійного рівняння  в автоматичному режимі

Завдання на лабораторну роботу:

  1.  Заповнити таблицю даних, використовуючи автоматичне заповнення; 
  2.  Виділити діапазон даних для наступної побудови графіка;
  3.  Побудувати графік за існуючими даними таблиці;
  4.  Знайти корені рівняння троьома методами при заданому ;
  5.  Знайти похибку результатів різних методів.

Контрольні запитання:

  1.  Що таке точний розвязок рівняння?
    1.  Умова точного розвязку;
    2.  Методи пошуку коренів рівняння;
    3.  В чому полягає графічний метод пошуку коренів?
    4.  В чому полягає комбінований метод пошуку коренів?
    5.  В чому полягає автоматичний метод пошуку коренів?


Вар
іанти завдань для лабораторної роботи 3:

знайти корені рівняння за допомогою графічного, комбінованого та автоматичного методів в редакторі Excel, визначати точність знайденого розвязку.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10.  .

11

PAGE  4

0 < x<2

0 < x<50

1.291 < x< 1.292

1.25 < x< 1.5

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39084. Настройка сети Debian Linux. Серверная структура СДО Moodle 44.99 KB
  Интерфейс СДО Moodle. Серверная структура СДО Moodle. Формы контроля знаний в системе дистанционного обучения Moodle. Система дистанционного обучения Moodle обладает интуитивно понятным интерфейсом.
39085. Понятие инструментальной системы для создания курсов ДОТ, преимущества и классификация. Описание структуры файловой системы Linux 21.75 KB
  Понятие инструментальной системы для создания курсов ДОТ преимущества и классификация. Инструментальные системы для создания курсов ДО ориентированы на пользователей тьюторов разработчиков курсов ДО. Преимущества инструментальных систем: существенно снижается время на разработку курсов; снижаются общие затраты организации на разработку и использование курсов ДО; обеспечивается современный уровень функциональных и коммуникационных возможностей и пользовательского графического интерфейса курсов; исключаются многие ошибки начинающих...
39086. Распределение прав доступа в Linux. Системные требования для развертывания СДО Moodle 27.66 KB
  Системные требования для развертывания СДО Moodle. Количество пользователей которые смогут пользоваться Moodle может быть ограничено производительностью сервера. Большинство предпочитают вебсервер pche но Moodle будет хорошо работать и с любым другим вебсервером который поддерживает PHP например IIS под Windows. Язык сценариев PHP обратите внимание что есть особенности установки Moodle с PHPccelertor.
39087. Дистанционные образовательные технологии: история и развитие в России. Учётные записи в Linux 45.52 KB
  А также необходимостью современной педагогики дать ответ на запрос общества по выработке новых педагогических средств обучения и воспитания в новой культурноинформационной среде. Глобальные изменения в информационнокультурной среде мы относим к макрофакторам способствующим появлению электронного обучения. Мезофакторами определяющими развитие электронного обучения являются современные философские культурологические психологические и педагогические теории отражающие современные реалии культуры.
39088. Алгоритм и программа генерации ключевой информации 1.65 MB
  Настоящая работа посвящена в первую очередь ГПСП, ориентированным на использование в системах защиты информации от случайных и умышленных деструктивных воздействий. Вначале рассматриваются общие принципы проектирования непредсказуемых ГПСП, требования к таким устройствам, описываются основные строительные блоки, используемые при их создании.
39089. Отраслевой резервноинвестиционный фонд развития энергетики ГКД 34. 273.78 KB
  Пересчет характеристик газообразного топлива Приложение В. Пересчет характеристик топлива Приложение Г. Состав и характеристики разных видов органического топлива Приложение Д.
39090. Чернобыль 49.44 KB
  Могло быть такое стечение обстоятельств случайным Исследования показали: не исключенная вероятность того что вибрационнонезащищенная система реактора 4го блока ЧАЭС в период работы в внештатной ситуации за 16 сек. Причина аварии по этой версии связывается не с конструктивными недостатками а с сбоем в работе электротехнического оснащения которое привело к отключению электродвигателей которые обеспечивают подачу воды для охлаждения реактора. Взрывы в 4м реакторе ЧАЭС сдвинули со своего места металлоконструкции верха реактора...
39092. Челябинская ТЭЦ-1 2.88 MB
  Технические характеристики ежегодно корректируют с учетом проведенных модернизаций оборудования а также изменившихся условий работы. На основе технических характеристик составляются режимные карты графики или таблицы экономических режимов работы оборудования цеха устанавливается распределение нагрузок между параллельно работающими турбогенераторами и очередности пуска и остановки агрегатов.Режимные карты и другие материалы по поддержанию экономических режимов работы оборудования доводятся до всего эксплуатационного персонала цеха.Перед...