17493

Методи наближеного розв’язання рівнянь в редакторі Excel

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3 Методи наближеного розв’язання рівнянь в редакторі Excel Мета роботи: навчитися знаходити корені рівняння за допомогою редактора Excel визначати точність знайденого розв’язку. Загальні положення про корені рівняння та точність знайденого розв’яз

Украинкский

2013-07-01

364.5 KB

56 чел.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3

Методи наближеного розвязання рівнянь в редакторі Excel

Мета роботи: навчитися знаходити корені рівняння за допомогою редактора Excel, визначати точність знайденого розвязку.

Загальні положення про корені рівняння та точність знайденого розвязку

Редактор Excel дозволяє достатньо просто розвязувати алгебраїчні рівняння. Перш ніж приступати до пояснення методів розв’язування рівнянь в Microsoft Excel згадаємо, що відповідно математиці називається розв’язком рівняння. Корінь рівняння це таке значенне аргументу, яке повертає функцію в нуль. Розвязати рівняння – значить знайти точне значення кореня. В математиці прийнято називати точним розвязком рівняння таке, яке може бути представлено у вигляді формул. Прикладом такої формули є, накприклад, формула для розвязання квадратичного рівняння :

   .

Тільки для дуже обмеженого діапазону функцій існують методики точного розвязання. Однак, чисельне значення кореня не завжди може бути визначено точно. Наприклад, рівняння  не має точного чисельного значення корня. Таким чином, розвязання рівняньце визначення чисельних значень корня із заданою наперед точністю. В математиці для задання точності домовляються, до якого знаку після коми будуть виконувати пошук рішення. Так, наприклад, для  точного розвязку не існує, але можна записати, що наближено . Ми можемо вважати це наближеним точним розвязком, якщо домовимося, що якщо при двох послідовних операціях обчислення  наступне обрахування буде відрізнятися від попереднього на якусь дуже малу величину . Наприклад, нехай попередньо встановимо . Відповідно, за такої постановки:

         – не є корнем рівняння

       – не корень уравнения, т.к

            поки ще більше

………………

Тобто за вибраної нами умови будемо вважати, що знайдений  і є точний розвязок.

Якщо  - рівняння, а  - функція, то із визначення ясно, що корінь рівняння – це таке число, за якого функція стає рівною нулю – тобто перетинає вісь . Нижче на рис. 1. показаний графік функції . З графіка видно, що в діапазоні значень () він перетинає вісь  двічі, тобто рівняння  має, принаймні, два корені.   

Графічний метод пошуку коренів рівняння

Перш за все необхідно побудувати графік функції, і тоді можна легко побачити наявність коренів та їх кількість. З графіка видно, що рівняння  має два корені: графік перетинає вісь  в двох точках.

Графічний метод визначення коренів є оцінкою в першому наближенні розвязання рівняння. 

Рис. 1. Графік функції

 Для більш точного визначення коренів можна збільшити масштаб вісі  та виділити в збільшеному масштабі області вісь , де графік функції перетинає її, як показано на рис. 2.

              а)                                                                     б)

Рис. 2. а) Наближення кореня рівняння; б) зміни масштабу графіка

 З останнього графіка (б) ясно, що один із коренів знаходиться в інтервалі 0;2. Подальша зміна масштабу может дозволити ще більш уточнити значення шуканого кореня.

а)                                                                              б)

Рис. 3. Уточнення наближеного значення кореня

З рис. 3,б видно, що наближене значення кореня знаходиться в інтервалі . Такий розвязок вже є досить хорошим наближенням. Значення функції за вказаних значеннях кореня , відповідно, дорівнюють , . Аналогічно можна отримати і значення другого кореня.

Графічний метод розвязання рівняння дозволяє наочно отримати  уявлення про наявність коренів та визначити наближені значення коренів.

Важливо відзначити, що при надто малому масштабі побудови графіка можно втратити графічне зображення. Наприклад, на стадії дроблення інтервалу значень (як на рис. 3, б) можна не отримати графічного зображення. Така ситуація може виникнути, якщо крок по  вибраний достатньо великим, наприклад, рівним 1. Для того, щоб отримати більш точне графічне зображення слід вибрати більш дрібний крок по .  

Однак, графічний метод, як це видно з прикладу не дає достатньої точності розвязання рівняння. Для більш точного розвязку рівняння, як відомо, потрібно задавати точність, яку необхідно досягти. 

Розвязання рівняння в редакторі Excel за допомогою режиму “Формула” (комбінований метод)

Розвязання рівняння за допомогою режиму “Формула” подібно тому, яке ми розглядали за графічного розвязання рівняння. 

Розвязання починаємо з побудови графіка для того, щоб впевнитися в тому, що дане рівняння має корені. Одночасно при побудові графіка перевіряємо, скільки коренів може мати рівняння. На цьому етапі визначаємо інтервали визначення коренів з точністю до одиниць.

         

Рис. 4. Графік функції 

З графіка беремо в першому наближенні: , . Виділяємо на листі Excel комірки для розвязання рівняння. Нехай це будуть комірки А1 і В1. В комірку А1 записуємо початкове значення інтервалу, в якому знаходиться перший корінь, тобто 0. Вибираємо крок зміни . Нехай крок  буде 0.5. В комірку А2 записуємо наступне значення . Методом протягування заповнюємо комірки в стовпчику А до значення . В комірку В1 записуємо формулу для функції .                                                                                                           

Методом протягування копіюємо формулу з комірки В1 в останні комірки стовпчика В. Отримаємо наступний результат:

З  фрагмента листа Excel видно, що переход через 0 функції  відбувається на інтервалі , тобто шуканий корінь  знаходиться в інтервалі  (рис. 5).

                                                                                                                                

Рис. 5. Наближений розв’язок рівняння

Далі подрібнюємо інтервал  і виконуємо  автоматичні обчислення значень функції.

В другому наближенні отримаємо результат показаний на рис. 6.      

З рис. 6, видно, що друге наближення дало інтервал для кореня (рис. 6).  

Рис. 6. Наближений розвязок рівняння

Отримане наближення вже є досить хорошим розвязком рівняння. Проте з фрагменту обчислень видно, що функція на межах інтервалу змінюється суттєво (від  до ).

Подальші уточнення кореня будемо вести так, щоб значення функції як можна щоб , де . Нехай .

Рис.7. Наближений розвязок рівняння методом послідовних наближень

Розвязок знайдений, оскільки виконується умова: .

Розвязання рівняння в редакторі Excel в автоматичному режимі

Програма Excel дозволяє знаходити корені нелінійних рівнянь в автоматичному режимі.

Для цього в меню команд міститься команда “Подбор параметра”:

Строка команд►Сервис►Подбор параметра. За виклику цієї команди Excel перебирає по спеціальному алгоритму числа і підставляє їх послідовно у формулу, яка написана в деякій комірці таким чином, щоб в цій комірці ьуло отримано задане число.

Розвязання починаємо з побудови графіка для того, щоб впевнитися, що дане рівняння має корені. Одночасно при побудові графіка перевіряємо, скільки коренів може мати рівняння. На чьому етапі визначаємо інтервали знаходження коренів з точністю до одиниць.

В комірці В1 записуємо рівняння .                                                      В комірці А1 записуємо перше наближення кореня корня (наприклад, в нашому випадку 0).

Викликаємо діалогове вікно меню:

Строка команд►Сервис►Подбор параметра. 

Отримаємо вид вікна як показано на рис. 8.

Рис. 8. Контекстне меню “Подбор параметра”

Розвязання рівняння показане на наступному рисунку.

Рис. 9. Розвязання нелінійного рівняння  в автоматичному режимі

Завдання на лабораторну роботу:

  1.  Заповнити таблицю даних, використовуючи автоматичне заповнення; 
  2.  Виділити діапазон даних для наступної побудови графіка;
  3.  Побудувати графік за існуючими даними таблиці;
  4.  Знайти корені рівняння троьома методами при заданому ;
  5.  Знайти похибку результатів різних методів.

Контрольні запитання:

  1.  Що таке точний розвязок рівняння?
    1.  Умова точного розвязку;
    2.  Методи пошуку коренів рівняння;
    3.  В чому полягає графічний метод пошуку коренів?
    4.  В чому полягає комбінований метод пошуку коренів?
    5.  В чому полягає автоматичний метод пошуку коренів?


Вар
іанти завдань для лабораторної роботи 3:

знайти корені рівняння за допомогою графічного, комбінованого та автоматичного методів в редакторі Excel, визначати точність знайденого розвязку.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10.  .

11

PAGE  4

0 < x<2

0 < x<50

1.291 < x< 1.292

1.25 < x< 1.5

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36842. ИЗУЧЕНИЕ И ПОВЕРКА МАНОМЕТРОВ 298 KB
  Давлением называется физическая величина характеризующая интенсивность нормальных распределенных сил с которыми одно тело действует на поверхность другого. Если силы распределены вдоль поверхности равномерно то давление на любую часть поверхности определяется следующим образом: P=G F 1 где F площадь поверхности G сумма приложенных сил. Давление в один ньютон на квадратный метр в системе СИ получила название Паскаль [Па]. = 1013 бар = 0101 МПа Классификация манометров По принципу действия манометры делятся на : Жидкостные...
36843. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ В MS EXCEL 318.5 KB
  Освоить технологии построения диаграммы различных типов. Научиться работать с компонентами диаграммы и настраивать параметры диаграммы. Задания для выполнения и методические рекомендации: С помощью Microsoft Excel можно создавать сложные диаграммы для данных рабочего листа. Прежде чем начать построение диаграммы рассмотрим два важных определения.
36844. Основные определения и критерии классификации угроз 223.2 KB
  Потенциальные злоумышленники называются источниками угрозы. Нарушение безопасности это реализация угрозы. Естественные угрозы это угрозы вызванные воздействием на АС объективных физических процессов стихийных природных явлений не зависящих от человека. Искусственные делят на: непреднамеренные совершенные по незнанию и без злого умысла из любопытности или халатности преднамеренные Каналы проникновения в систему и их классификация: По способу: прямые косвенные По типу основного средства для реализации угрозы: человек...
36845. Подготовка грунтовой площадки к строительству 570.5 KB
  Свойства и технологические характеристики грунтов Любое здание или инженерное сооружение возводится на подстилающем слое грунта. От физикомеханических свойств подстилающего слоя грунта зависит величина осадочных деформаций и долговечность сооружения в целом. К скальным однородным грунтам относят массивы изверженных пород с кристаллической структурой которые характеризуются значительной плотностью и малой влагоемкостью. К скальным слоистым грунтам относят породы сложенные из песчаников доломитов и глинистых сланцев.
36846. КОМПЬЮТЕРНАЯ СИСТЕМА PROJECT EXPERT. АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРОЕКТА 64 KB
  Нижняя граница обусловлена тем что оборотных средств должно быть достаточно для погашения краткосрочных обязательств иначе компания окажется под угрозой банкротства. Превышение оборотных средств над краткосрочными обязательствами более чем в три раза также является нежелательным поскольку свидетельствует о нерациональной структуре активов. Показывает отношение наиболее ликвидной части оборотных средств денежных средств дебиторской задолженности краткосрочных финансовых вложений к краткосрочным обязательствам. Чистый оборотный капитал...
36847. Массивы и матрицы. Решение задач линейной алгебры 121.5 KB
  9000 Ввод элементов матрицы также осуществляется в квадратных скобках при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой а строки разделяются между собой точкой с запятой: nme=[x11 x12 . xmn;] Обратиться к элементу матрицы можно указав после имени матрицы в круглых скобках через запятую номер строки и номер столбца на пересечении которых элемент расположен: nmeиндекс1 индекс2 Листинг 3. Пример обращения к элементам матрицы =[1 2 3;4 5 6;7 8 9] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12^22 33 ns = 3.
36848. Система автоматического регулирования температуры 488 KB
  Лабораторная работа Система автоматического регулирования температуры. Система автоматического регулирования температуры. Цель работы: Ознакомление с принципами построения системы автоматического регулирования и принципами работы такой системы. Экспериментальное получение переходных процессов системы автоматического регулирования.
36849. Логическая организация оперативной памяти 236.2 KB
  Определить объем основной памяти 2.Определить объем дополнительной памяти 3.Определить объем отображаемой памяти 4.
36850. КОНСОЛИДАЦИЯ ДАННЫХ В MS EXCEL 421 KB
  Создайте три однотипные таблицы по образцу на одном листе или на разных листах MS Excel рис. Проведите консолидацию 3х таблиц аттестации в одну с вычислением среднего балла по каждому предмету и разместите консолидированную таблицу на листе Консолидация для чего: перейдите на чистый лист в книге и установите маркер мыши в левый верхний угол будущей таблицы; на панели Данные выберите Консолидация; в окне Консолидация рис. 2 Диалоговое окно Консолидация перейдите в строку Ссылка затем выделите на листе Данные для консолидации...