17495

Розв’язання рівнянь методом ітерацій в MathCAD

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 5 Розв’язання рівнянь методом ітерацій в MathCAD Мета роботи: навчитися користуватися базовими командами і функціями розв’язувати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних. Загальні відомості про базові функції MathCAD Рядок меню розміщується у в...

Украинкский

2013-07-01

520.5 KB

4 чел.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 5

Розвязання рівнянь методом ітерацій в MathCAD

Мета роботи: навчитися користуватися базовими командами і функціями, розвязувати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних.

Загальні відомості про базові функції MathCAD

Рядок меню розміщується у верхній частині вікна MathCAD. Він містить  девять заголовків; клацання миші на кожному з них приводить до появи відповідного меню з переліком команд:

  •  File — команди, повязані зі створенням, відкриттям, збереженням, пересиланням по електронній пошті і роздруківкою на принтері файлів з документами;
  •  Edit  — команди, які відносяться до правлення тексту (копіювання, вставки, видалення фрагментів та інше);
  •  View  — команди, які управляють зовнішнім виглядом документа у вікні MathCAD, а також команди, які створюють файли анімації;
  •  Insert — команди вставки різноманітних обєктів у документи;
  •  Format  — команди форматування тексту текста, формул та графіків;
  •  Tools — команди управління обчислювальним процесом і допоміжними можливостями;
  •  Symbolics  — команди символьних обчислень;
  •  Window — команди управління розміщенням вікон, з різноманітними документами на екрані;
  •  Help — команди виклику довідкової інформації, відомостей про версію програми, а також доступу до ресурсів та електронних книг.

Рис. 1, а) Панель інструментів MathCAD

– меню Calculator (Калькулятор)

меню Graph (График)

 меню Matrix (Матрица)

 меню Evaluation (Вычисление)

 меню Calculus (Исчисление)

 меню Boolean (Логический)

 меню Programming (Программирование)

 меню Greek (Греческий)

 меню Symbolic (Символьная)

Рис. 1, б) Піктограми панелі інструментів MathCAD

Початок роботи з MathCAD

Для початку роботи з функціями необхідно задати область визначення функції (область зміни аргумента ), для чого в робочому вікні MathCAD послідовно виконати дії:

 

                                       

В результаті на екрані зявиться зображення  

В плейс-холдері набираються символи та цифри. Необхідно вказати інтервал зміни , на якому буде будуватися графік. Наприклад, інтервал від – 100 до 100. Це виконується наступним чином:

- 100                        100.

В результаті на екран з’явиться зображення .

За такого визначення інтервалу за умовчанням мається на увазі крок зміни рівний 1.

Нижче області задання зміни  записуємо вираз для функції.

Запис виконується наступним чином:

                                                                                         і 

В результаті на екрані з’явиться зображення:

.

Для розвязання рівняння необхідно побудувати графік функції та візуально визначити інтервали відокремлення кореня, тобто інтервали, на яких графік функції перетинає вісь .

Меню побудови графіків викликаємо за допомогою піктограми Graph .  

Рис. 2. Панель інтсрументів MathCAD

Для побудови графіка вибираємо піктограму двомірного графіка.

Задаючи в плейс-холдерах заготовки графіка значення -100 та 100 для отримаємо на екрані наступне зображення:

Рис. 3. Графік функції

З графіка візуально визначаємо точки перетину з віссю . Для більш точного розвязку змінюємо масштаб за осями  та .

Рис. 4. Збільшення масштабу графіка функції

З рис. 4 зі збільшеним масштабом видно, що, наприклад, один з коренів рівняння знаходиться в інтервалі значень .

Метод послідовних наближень (метод хорд)

При використанні методу послідовних наближень (методу хорд) можуть бути такі випадки:

а) хорда перетинає вісь  лівіше шуканого кореня   (рис. 5, а);

б) хорда перетинає вісь  правіше шуканого значення кореня  (рис. 5, б).

                                                                                                                  

         а)                                                                 б)

Рис. 5. Варіанти розміщення хорди відносно шуканого значення кореня: а) лівіше шуканого кореня; б) правіше шуканого кореня

В якості першого наближення кореня у випадку а) вибирається a, у випадку б) вибирається b.

Тоді ітераційні формули для випадків а) та б) будуть виглядати так:

а) перша ітерація: ; друга ітерація: ; і+1-та ітерація:   ;                

б) перша ітерація: ; друга ітерація: ; і+1-та ітерація:   

і далі до значення , яке буде відрізнятися від попереднього  на малу, наперед задану величину (наприклад, ).

 Запишемо незалежну змінну  і функцію  і побудуємо графік згаданої функції  до чітко видимих коренів.

Рис. 6. Збільшення масштабу графіка функції до чітко видимих коренів рівняння за методом хорд

З рис. 6 для позитивного значення кореня можна записати перше наближення кореня:  з інтервалу приблизного знаходження кореня: , де  і .

Перша ітерація: ; ;

Друга ітерація: ; .

Метод Ньютона (метод дотичних)

При використанні методу Ньютона (методу дотичних) можуть бути такі випадки:

Рис. 7. Варіанти розміщення дотичної:  а) функція увігнута, дотична перетинає вісь  правіше шуканого кореня ; б) функція увігнута, дотична перетинає вісь  лівіше шуканого значення кореня ; в) функція випукла, дотична перетинає вісь  правіше шуканого кореня ; г) функція випукла, дотична перетинає вісь  лівіше шуканого значення кореня .

В одному з кінців дуги АВ графіка функції  проводимо дотичну до цієї дуги і в якості наближеного значеня кореня  вибираємо число  або  (перше наближення) – абсцису точки  або дотику дотичної до графіка функції на вісь в залежності від вигляду графіка функції і варіанту розміщення дотичної відносно осі  (рис. 7).

Керуючись умовами вибору першого наближення (рис. 7), записуємо формулу для першої ітерації:

рис. 7, а), в) перша ітерація: ; друга ітерація:  

рис. 7, б), г) перша ітерація: ; друга ітерація:

i+1-та ітерація: , де  – перша похідна від функції .

Можна вважати  наближеним точним розвязком, якщо після двох послідовних операціях обчислення  буде досягнуте співвідношення: , де наперед задане мале число.

Рис. 8. Збільшення масштабу графіка функції до чітко видимих коренів рівняння за методом дотичних

З рис. 8 для позитивного значення кореня можна записати перше

наближення кореня:  з інтервалу приблизного знаходження кореня: , де  і .

Перша ітерація: ; ; друга ітерація: ;  – на цьому ітераційний процес за методом дотичних закінчується.

Завдання на лабораторну роботу:

  1.  Отримати завдання;
  2.  Задати змінну та функцію, користуючись завданням; 
  3.  Знайти корені за методами хорд і дотичних, приймаючи .

Контрольні запитання:

  1.  Як задати змінну та функцію?
    1.  Написати рівняння прямої, яка проходит через точку з координатами ;
    2.  Яке меню використовується для побудови графіків?
    3.  Які методи існують для пошуку наближеного точного розвязку?
    4.  Зобразити варіанти варіанти розміщення хорди у методі хорд;
    5.  Написати ітераційні формули пошуку наближеного точного розвязку в залежності від розміщення хорди у методі хорд;
    6.  Зобразити варіанти варіанти розміщення дотичної у методі дотичних, написати для кожного варіанту , умову випуклості-впуклості, умову розміщення кореня;
    7.  Написати ітераційні формули пошуку наближеного точного розвязку в залежності від розміщення дотичної у методі дотичних.

Варіанти завдань для лабораторної роботи 5

Завдання для лабораторної роботи 5: розвязати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних, визначати точність знайденого розв’язку.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10.  .

11

PAGE  12

y

x

x0

c

b

a

y

x

x0

c

b

a

α

а)

3

^

6

Shift

 *

 8

Shift

 :

 ;

Shift

 :

 ;

Плейс-холдер

Курсор миші

Х

 :

 ;

Shift

c

y'(x)

b

EMBED Equation.3  

y(x)

xo

a

xx

y

EMBED Equation.3  

б)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

EMBED Equation.3  

в)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

EMBED Equation.3  

г)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

B

A

B

A

B

A

A

B

B

A

A

B

A

B

х

0.1

у(х)

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76966. Понятие и виды методов публичного управления 29.12 KB
  Понятие и виды методов публичного управления. Методы государственного управления способы приемы воздействия субъекта управления на объект управления в рамках управленческих отношений которые используются для достижения целей и задач управления реализации функций управления. Основные черты методов государственного управления: 1.выражают управленческое воздействие субъекта государственного управления на объект управления; 4.
76967. Убеждение и поощрение как методы государственного управления: понятие, сущность, виды, значение в выполнении задач и функций государственного управления 30.13 KB
  Убеждение и поощрение как методы государственного управления: понятие сущность виды значение в выполнении задач и функций государственного управления. Убеждение – процесс целенаправленного воздействия субъекта управления на управляемый объект в результате которого идеи ценности установки субъекта становятся внутренними идеями личными установками объекта управления. Существуют следующие средства способы убеждения: обучение процесс целенаправленного формирования знаний умений навыков; агитация распространение идей в целях...
76968. Понятие и сущность административно-правовых режимов, их виды и правовые основания введения и использования 28.07 KB
  Понятие и сущность административно-правовых режимов их виды и правовые основания введения и использования. Административно-правовые режимы ставят перед собой цель создание на пути правонарушителей надежных правовых барьеров которые бы затрудняли или же полностью исключали достижение противоправных целей. Ласточкин рассматривает его как совокупность правовых установок и необходимых организационных управленческих мер которые обеспечивали бы порядок реализации отдельными гражданами своих соответствующих прав и обязанностей а также порядок...
76969. Режим чрезвычайного положения 27.67 KB
  Режим чрезвычайного положения. Режим чрезвычайного положения – это вводимый в соответствии с Конституцией и ФКЗ О чрезвычайном положении на всей территории Российской Федерации или в ее отдельных местностях особый правовой режим деятельности органов государственной власти органов местного самоуправления организаций независимо от организационно правовых форм и форм собственности их должностных лиц общественных объединений допускающий установленные данным ФКЗ отдельные ограничения прав и свобод граждан Российской Федерации иностранных...
76970. Режим военного положения 27.09 KB
  Режим военного положения. Целью введения военного положения является создание условий для отражения или предотвращения агрессии против России. Основания введения военного положения агрессия против РФ или ее непосредственная угроза а цель создание условий для ее отражения или предотвращения. Режим военного положения включает в себя комплекс экономических политических административных военных и иных мер направленных на создание условий для отражения или предотвращения агрессии против РФ.
76971. Режим противодействия терроризму 26.86 KB
  Нормы административного права определяют их правовой статус полномочия механизм взаимодействия с другими субъектами права. В отличие от других отраслей права оно реализует весь арсенал названных способов воздействия на поведение физических и юридических лиц. Для решения задач противодействия терроризму недостаточно мощности дозволительного способа правового регулирования который предполагает определенную автономность поведения субъекта права. На первый план выступают разрешительный и запретительный способы воздействия на поведение...
76972. Режим охраны Государственной границы Российской Федерации 28.46 KB
  Режим охраны Государственной границы Российской Федерации. Понятие государственной границы определяется тремя критериями: фактическим юридическим техническим. Технический критерий это обозначение соответствующей линии на местности обустройство границы организация ее охраны. Охрана государственной границы важное условие защиты политических экономических интересов и безопасности России.
76973. Паспортная система в Российской Федерации и режим её обеспечения: понятие, сущность, правовые основы, система органов, обеспечивающих режим 28.05 KB
  К ним относятся: фамилия имя отчество гражданина; пол число месяц год и место его рождения; отметки о регистрации и расторжении брака о детях; об отношении к военной службе; о регистрации по месту жительства и снятии гражданина с регистрационного учета. Выдача обмен паспортов вклеивание в них фотографий осуществляются подразделениями Федеральной миграционной службы по месту жительства. Значительные изменения паспортная система претерпела с принятием Закона РФ О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения выбор места...
76974. Административное принуждение как метод государственного управления в России: понятие, сущность и правовая природа. Виды мер административного принуждения 27.09 KB
  Следовательно принудительные меры связаны с возможностью заставить физически и или психически управляемый объект совершить определенные действия или позволить совершить такие действия по отношению к нему. Административное принуждение находит свое выражение в наборе мер принуждения которые можно классифицировать на следующие группы в зависимости от характера и степени принудительного воздействия а также цели принуждения: административнопредупредительные; административнопресекательные; административновосстановительные; меры...