17495

Розв’язання рівнянь методом ітерацій в MathCAD

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 5 Розвязання рівнянь методом ітерацій в MathCAD Мета роботи: навчитися користуватися базовими командами і функціями розвязувати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних. Загальні відомості про базові функції MathCAD Рядок меню розміщується у в...

Украинкский

2013-07-01

520.5 KB

4 чел.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 5

Розвязання рівнянь методом ітерацій в MathCAD

Мета роботи: навчитися користуватися базовими командами і функціями, розвязувати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних.

Загальні відомості про базові функції MathCAD

Рядок меню розміщується у верхній частині вікна MathCAD. Він містить  девять заголовків; клацання миші на кожному з них приводить до появи відповідного меню з переліком команд:

  •  File — команди, повязані зі створенням, відкриттям, збереженням, пересиланням по електронній пошті і роздруківкою на принтері файлів з документами;
  •  Edit  — команди, які відносяться до правлення тексту (копіювання, вставки, видалення фрагментів та інше);
  •  View  — команди, які управляють зовнішнім виглядом документа у вікні MathCAD, а також команди, які створюють файли анімації;
  •  Insert — команди вставки різноманітних обєктів у документи;
  •  Format  — команди форматування тексту текста, формул та графіків;
  •  Tools — команди управління обчислювальним процесом і допоміжними можливостями;
  •  Symbolics  — команди символьних обчислень;
  •  Window — команди управління розміщенням вікон, з різноманітними документами на екрані;
  •  Help — команди виклику довідкової інформації, відомостей про версію програми, а також доступу до ресурсів та електронних книг.

Рис. 1, а) Панель інструментів MathCAD

– меню Calculator (Калькулятор)

меню Graph (График)

 меню Matrix (Матрица)

 меню Evaluation (Вычисление)

 меню Calculus (Исчисление)

 меню Boolean (Логический)

 меню Programming (Программирование)

 меню Greek (Греческий)

 меню Symbolic (Символьная)

Рис. 1, б) Піктограми панелі інструментів MathCAD

Початок роботи з MathCAD

Для початку роботи з функціями необхідно задати область визначення функції (область зміни аргумента ), для чого в робочому вікні MathCAD послідовно виконати дії:

 

                                       

В результаті на екрані зявиться зображення  

В плейс-холдері набираються символи та цифри. Необхідно вказати інтервал зміни , на якому буде будуватися графік. Наприклад, інтервал від – 100 до 100. Це виконується наступним чином:

- 100                        100.

В результаті на екран з’явиться зображення .

За такого визначення інтервалу за умовчанням мається на увазі крок зміни рівний 1.

Нижче області задання зміни  записуємо вираз для функції.

Запис виконується наступним чином:

                                                                                         і 

В результаті на екрані з’явиться зображення:

.

Для розвязання рівняння необхідно побудувати графік функції та візуально визначити інтервали відокремлення кореня, тобто інтервали, на яких графік функції перетинає вісь .

Меню побудови графіків викликаємо за допомогою піктограми Graph .  

Рис. 2. Панель інтсрументів MathCAD

Для побудови графіка вибираємо піктограму двомірного графіка.

Задаючи в плейс-холдерах заготовки графіка значення -100 та 100 для отримаємо на екрані наступне зображення:

Рис. 3. Графік функції

З графіка візуально визначаємо точки перетину з віссю . Для більш точного розвязку змінюємо масштаб за осями  та .

Рис. 4. Збільшення масштабу графіка функції

З рис. 4 зі збільшеним масштабом видно, що, наприклад, один з коренів рівняння знаходиться в інтервалі значень .

Метод послідовних наближень (метод хорд)

При використанні методу послідовних наближень (методу хорд) можуть бути такі випадки:

а) хорда перетинає вісь  лівіше шуканого кореня   (рис. 5, а);

б) хорда перетинає вісь  правіше шуканого значення кореня  (рис. 5, б).

                                                                                                                  

         а)                                                                 б)

Рис. 5. Варіанти розміщення хорди відносно шуканого значення кореня: а) лівіше шуканого кореня; б) правіше шуканого кореня

В якості першого наближення кореня у випадку а) вибирається a, у випадку б) вибирається b.

Тоді ітераційні формули для випадків а) та б) будуть виглядати так:

а) перша ітерація: ; друга ітерація: ; і+1-та ітерація:   ;                

б) перша ітерація: ; друга ітерація: ; і+1-та ітерація:   

і далі до значення , яке буде відрізнятися від попереднього  на малу, наперед задану величину (наприклад, ).

 Запишемо незалежну змінну  і функцію  і побудуємо графік згаданої функції  до чітко видимих коренів.

Рис. 6. Збільшення масштабу графіка функції до чітко видимих коренів рівняння за методом хорд

З рис. 6 для позитивного значення кореня можна записати перше наближення кореня:  з інтервалу приблизного знаходження кореня: , де  і .

Перша ітерація: ; ;

Друга ітерація: ; .

Метод Ньютона (метод дотичних)

При використанні методу Ньютона (методу дотичних) можуть бути такі випадки:

Рис. 7. Варіанти розміщення дотичної:  а) функція увігнута, дотична перетинає вісь  правіше шуканого кореня ; б) функція увігнута, дотична перетинає вісь  лівіше шуканого значення кореня ; в) функція випукла, дотична перетинає вісь  правіше шуканого кореня ; г) функція випукла, дотична перетинає вісь  лівіше шуканого значення кореня .

В одному з кінців дуги АВ графіка функції  проводимо дотичну до цієї дуги і в якості наближеного значеня кореня  вибираємо число  або  (перше наближення) – абсцису точки  або дотику дотичної до графіка функції на вісь в залежності від вигляду графіка функції і варіанту розміщення дотичної відносно осі  (рис. 7).

Керуючись умовами вибору першого наближення (рис. 7), записуємо формулу для першої ітерації:

рис. 7, а), в) перша ітерація: ; друга ітерація:  

рис. 7, б), г) перша ітерація: ; друга ітерація:

i+1-та ітерація: , де  – перша похідна від функції .

Можна вважати  наближеним точним розвязком, якщо після двох послідовних операціях обчислення  буде досягнуте співвідношення: , де наперед задане мале число.

Рис. 8. Збільшення масштабу графіка функції до чітко видимих коренів рівняння за методом дотичних

З рис. 8 для позитивного значення кореня можна записати перше

наближення кореня:  з інтервалу приблизного знаходження кореня: , де  і .

Перша ітерація: ; ; друга ітерація: ;  – на цьому ітераційний процес за методом дотичних закінчується.

Завдання на лабораторну роботу:

  1.  Отримати завдання;
  2.  Задати змінну та функцію, користуючись завданням; 
  3.  Знайти корені за методами хорд і дотичних, приймаючи .

Контрольні запитання:

  1.  Як задати змінну та функцію?
    1.  Написати рівняння прямої, яка проходит через точку з координатами ;
    2.  Яке меню використовується для побудови графіків?
    3.  Які методи існують для пошуку наближеного точного розвязку?
    4.  Зобразити варіанти варіанти розміщення хорди у методі хорд;
    5.  Написати ітераційні формули пошуку наближеного точного розвязку в залежності від розміщення хорди у методі хорд;
    6.  Зобразити варіанти варіанти розміщення дотичної у методі дотичних, написати для кожного варіанту , умову випуклості-впуклості, умову розміщення кореня;
    7.  Написати ітераційні формули пошуку наближеного точного розвязку в залежності від розміщення дотичної у методі дотичних.

Варіанти завдань для лабораторної роботи 5

Завдання для лабораторної роботи 5: розвязати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних, визначати точність знайденого розв’язку.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10.  .

11

PAGE  12

y

x

x0

c

b

a

y

x

x0

c

b

a

α

а)

3

^

6

Shift

 *

 8

Shift

 :

 ;

Shift

 :

 ;

Плейс-холдер

Курсор миші

Х

 :

 ;

Shift

c

y'(x)

b

EMBED Equation.3  

y(x)

xo

a

xx

y

EMBED Equation.3  

б)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

EMBED Equation.3  

в)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

EMBED Equation.3  

г)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

B

A

B

A

B

A

A

B

B

A

A

B

A

B

х

0.1

у(х)

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35165. Архитектура Microsost SQL Server. Управление к доступам данным в MSSQL Server 37 KB
  Управление к доступам данным в MSSQL Server. Симметричная мультипроцессорная архитектура MS SQL Server предусматривает использование родных сервисов операционной системы Windows для управления потоками памятью операциями дискового чтения записи сетевыми службами функциями безопасности а также для поддержки параллельного выполнения потоков на нескольких CPU. Использование потоков Windows позволяет MS SQL Server автоматически масштабироваться при работе на многопроцессорных платформах что исключает необходимость дополнительной...
35166. Транзакции. Организация транзакций в SQL 36.5 KB
  Организация транзакций в SQL. SQL Server предлагает множество средств управления поведением транзакций. SQL Server поддерживает три вида определения транзакций: явное; автоматическое; подразумеваемое. По умолчанию SQL Server работает в режиме автоматического начала транзакций когда каждая команда рассматривается как отдельная транзакция.
35167. Транзакции. Основные проблемы обработки транзакций 34 KB
  Основные проблемы обработки транзакций. Основные проблемы которые возникают при параллельном выполнении транзакций делятся условно на 4 типа: Пропавшие изменения. Проблемы промежуточных данных. Проблемы несогласованных данных.
35168. Создание WWW ресурсов в MS IIS. Типовая модель назначения прав доступа к ресурсу 42 KB
  Основным компонентом IIS является вебсервер который позволяет размещать в Интернете сайты так же предоставляет клиентам доступ к сайтам по протоколам HTTP. Различные организации используют IIS для поддержки и управления вебстраниц в Интернете или во внутренней сети для поддержки и управления FTPузлами для маршрутизации новостей и почты. На вебсервере можно настроить протокол FTP если надо позволить пользователям загружать файлы с вебсайта и на вебсайт. Файлы размещаются в каталогах на FTPсервере так что пользователи могут...
35169. Средства удалённого доступа к файлам в Windows 44 KB
  На компьютере под управлением Windows XP можно предоставлять общий доступ к файлам как локальным так и удаленным пользователям. Удаленные пользователи подключаются к компьютеру по сети и получают доступ к общим файлам на компьютере. Для доступа к интерфейсу простого общего доступа к файлам необходимо открыть окно свойств папки.
35171. Линейное программирование, задачи линейного программирования 23.52 KB
  Программное обеспечение Microsoft Excel Методические указания Рассмотрим решение задач линейного программирования средствами Excel на примере следующей задачи. Нормы затрат каждого сырья на единицу продукции заданы таблицей...
35172. Разработка АИС продовольственного склада ООО «Астра-Р» 331 KB
  Сердцевиной современных информационных технологий являются автоматизированные информационные системы. Все известные информационные системы могут быть разделены на две категории: автоматические и автоматизированные. Автоматические информационные системы системы функционирование которых осуществляется без непосредственного участия человека. Автоматизированные информационные системы системы в функционировании которых непосредственное участие принимает человек транспортные процессы энергосистемы промышленные предприятия предприятия...
35173. Разработка ПП АИС «Компьютерные игры» 934.5 KB
  Программный продукт АИС БД «Компьютерные игры» разрабатывается с целью систематизации и обобщения сведений о играх, компаний разработчиков, локализаторов. Программа предназначена для просмотров последних вышедших новых игр.