17495

Розв’язання рівнянь методом ітерацій в MathCAD

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 5 Розвязання рівнянь методом ітерацій в MathCAD Мета роботи: навчитися користуватися базовими командами і функціями розвязувати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних. Загальні відомості про базові функції MathCAD Рядок меню розміщується у в...

Украинкский

2013-07-01

520.5 KB

4 чел.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 5

Розвязання рівнянь методом ітерацій в MathCAD

Мета роботи: навчитися користуватися базовими командами і функціями, розвязувати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних.

Загальні відомості про базові функції MathCAD

Рядок меню розміщується у верхній частині вікна MathCAD. Він містить  девять заголовків; клацання миші на кожному з них приводить до появи відповідного меню з переліком команд:

  •  File — команди, повязані зі створенням, відкриттям, збереженням, пересиланням по електронній пошті і роздруківкою на принтері файлів з документами;
  •  Edit  — команди, які відносяться до правлення тексту (копіювання, вставки, видалення фрагментів та інше);
  •  View  — команди, які управляють зовнішнім виглядом документа у вікні MathCAD, а також команди, які створюють файли анімації;
  •  Insert — команди вставки різноманітних обєктів у документи;
  •  Format  — команди форматування тексту текста, формул та графіків;
  •  Tools — команди управління обчислювальним процесом і допоміжними можливостями;
  •  Symbolics  — команди символьних обчислень;
  •  Window — команди управління розміщенням вікон, з різноманітними документами на екрані;
  •  Help — команди виклику довідкової інформації, відомостей про версію програми, а також доступу до ресурсів та електронних книг.

Рис. 1, а) Панель інструментів MathCAD

– меню Calculator (Калькулятор)

меню Graph (График)

 меню Matrix (Матрица)

 меню Evaluation (Вычисление)

 меню Calculus (Исчисление)

 меню Boolean (Логический)

 меню Programming (Программирование)

 меню Greek (Греческий)

 меню Symbolic (Символьная)

Рис. 1, б) Піктограми панелі інструментів MathCAD

Початок роботи з MathCAD

Для початку роботи з функціями необхідно задати область визначення функції (область зміни аргумента ), для чого в робочому вікні MathCAD послідовно виконати дії:

 

                                       

В результаті на екрані зявиться зображення  

В плейс-холдері набираються символи та цифри. Необхідно вказати інтервал зміни , на якому буде будуватися графік. Наприклад, інтервал від – 100 до 100. Це виконується наступним чином:

- 100                        100.

В результаті на екран з’явиться зображення .

За такого визначення інтервалу за умовчанням мається на увазі крок зміни рівний 1.

Нижче області задання зміни  записуємо вираз для функції.

Запис виконується наступним чином:

                                                                                         і 

В результаті на екрані з’явиться зображення:

.

Для розвязання рівняння необхідно побудувати графік функції та візуально визначити інтервали відокремлення кореня, тобто інтервали, на яких графік функції перетинає вісь .

Меню побудови графіків викликаємо за допомогою піктограми Graph .  

Рис. 2. Панель інтсрументів MathCAD

Для побудови графіка вибираємо піктограму двомірного графіка.

Задаючи в плейс-холдерах заготовки графіка значення -100 та 100 для отримаємо на екрані наступне зображення:

Рис. 3. Графік функції

З графіка візуально визначаємо точки перетину з віссю . Для більш точного розвязку змінюємо масштаб за осями  та .

Рис. 4. Збільшення масштабу графіка функції

З рис. 4 зі збільшеним масштабом видно, що, наприклад, один з коренів рівняння знаходиться в інтервалі значень .

Метод послідовних наближень (метод хорд)

При використанні методу послідовних наближень (методу хорд) можуть бути такі випадки:

а) хорда перетинає вісь  лівіше шуканого кореня   (рис. 5, а);

б) хорда перетинає вісь  правіше шуканого значення кореня  (рис. 5, б).

                                                                                                                  

         а)                                                                 б)

Рис. 5. Варіанти розміщення хорди відносно шуканого значення кореня: а) лівіше шуканого кореня; б) правіше шуканого кореня

В якості першого наближення кореня у випадку а) вибирається a, у випадку б) вибирається b.

Тоді ітераційні формули для випадків а) та б) будуть виглядати так:

а) перша ітерація: ; друга ітерація: ; і+1-та ітерація:   ;                

б) перша ітерація: ; друга ітерація: ; і+1-та ітерація:   

і далі до значення , яке буде відрізнятися від попереднього  на малу, наперед задану величину (наприклад, ).

 Запишемо незалежну змінну  і функцію  і побудуємо графік згаданої функції  до чітко видимих коренів.

Рис. 6. Збільшення масштабу графіка функції до чітко видимих коренів рівняння за методом хорд

З рис. 6 для позитивного значення кореня можна записати перше наближення кореня:  з інтервалу приблизного знаходження кореня: , де  і .

Перша ітерація: ; ;

Друга ітерація: ; .

Метод Ньютона (метод дотичних)

При використанні методу Ньютона (методу дотичних) можуть бути такі випадки:

Рис. 7. Варіанти розміщення дотичної:  а) функція увігнута, дотична перетинає вісь  правіше шуканого кореня ; б) функція увігнута, дотична перетинає вісь  лівіше шуканого значення кореня ; в) функція випукла, дотична перетинає вісь  правіше шуканого кореня ; г) функція випукла, дотична перетинає вісь  лівіше шуканого значення кореня .

В одному з кінців дуги АВ графіка функції  проводимо дотичну до цієї дуги і в якості наближеного значеня кореня  вибираємо число  або  (перше наближення) – абсцису точки  або дотику дотичної до графіка функції на вісь в залежності від вигляду графіка функції і варіанту розміщення дотичної відносно осі  (рис. 7).

Керуючись умовами вибору першого наближення (рис. 7), записуємо формулу для першої ітерації:

рис. 7, а), в) перша ітерація: ; друга ітерація:  

рис. 7, б), г) перша ітерація: ; друга ітерація:

i+1-та ітерація: , де  – перша похідна від функції .

Можна вважати  наближеним точним розвязком, якщо після двох послідовних операціях обчислення  буде досягнуте співвідношення: , де наперед задане мале число.

Рис. 8. Збільшення масштабу графіка функції до чітко видимих коренів рівняння за методом дотичних

З рис. 8 для позитивного значення кореня можна записати перше

наближення кореня:  з інтервалу приблизного знаходження кореня: , де  і .

Перша ітерація: ; ; друга ітерація: ;  – на цьому ітераційний процес за методом дотичних закінчується.

Завдання на лабораторну роботу:

  1.  Отримати завдання;
  2.  Задати змінну та функцію, користуючись завданням; 
  3.  Знайти корені за методами хорд і дотичних, приймаючи .

Контрольні запитання:

  1.  Як задати змінну та функцію?
    1.  Написати рівняння прямої, яка проходит через точку з координатами ;
    2.  Яке меню використовується для побудови графіків?
    3.  Які методи існують для пошуку наближеного точного розвязку?
    4.  Зобразити варіанти варіанти розміщення хорди у методі хорд;
    5.  Написати ітераційні формули пошуку наближеного точного розвязку в залежності від розміщення хорди у методі хорд;
    6.  Зобразити варіанти варіанти розміщення дотичної у методі дотичних, написати для кожного варіанту , умову випуклості-впуклості, умову розміщення кореня;
    7.  Написати ітераційні формули пошуку наближеного точного розвязку в залежності від розміщення дотичної у методі дотичних.

Варіанти завдань для лабораторної роботи 5

Завдання для лабораторної роботи 5: розвязати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних, визначати точність знайденого розв’язку.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10.  .

11

PAGE  12

y

x

x0

c

b

a

y

x

x0

c

b

a

α

а)

3

^

6

Shift

 *

 8

Shift

 :

 ;

Shift

 :

 ;

Плейс-холдер

Курсор миші

Х

 :

 ;

Shift

c

y'(x)

b

EMBED Equation.3  

y(x)

xo

a

xx

y

EMBED Equation.3  

б)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

EMBED Equation.3  

в)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

EMBED Equation.3  

г)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

B

A

B

A

B

A

A

B

B

A

A

B

A

B

х

0.1

у(х)

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7369. Исследование цепи второго порядка. Поиск входной и предаточной характеристики 619.5 KB
  Задание к курсовой работе В курсовой работе необходимо исследовать цепь второго порядка. Для цепи необходимо найти ее входную и передаточную характеристику, определить переходную и импульсную характеристику, написать уравнения цепи через переменные ...
7370. Разработать и отладить программу расчета выражения 121.5 KB
  Разработать и отладить программу расчета выражения Содержание Введение Задание с выбором варианта коэффициентов Описание алгоритма задачи Описание отдельных процедур Листинг программы с комментариями Листинг результатов...
7371. Проектирование и прогнозирование механических свойств однонаправленного слоя из композиционного материала 1.07 MB
  Проектирование и прогнозирование механических свойств однонаправленного слоя из композиционного материала Данное пособие призвано помочь студентам при изучении основ механики, конструирования и изготовления изделий из композиционных материалов. Пред...
7372. Радіозв’язок. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт 142.5 KB
  Лабораторна робота №1 Визначення типу прольоту РРЛ прямої видимості Навчальна мета. Отримати практичні навички побудови профілю прольоту каналу радіозв’язку прямої видимості. Опанувати методику визначення коефіцієнту посла...
7373. Финансовое обеспечение муниципальных услуг дошкольного образования и его совершенствование (по материалам ДОУ 18 города Липецка) 576 KB
  Теоретические основы деятельности и источники финансирования бюджетных учреждений сферы дошкольного образования; проанализировать существующий механизм финансирования дошкольных образовательных учреждений; рассмотреть совершенствование формирования механизма финансирования дошкольных учреждений.
7374. Про що говорить музика 54 KB
  Тема:Про щоговорить музика Мета: формувати уміння сприймати музику як виражальне мистецтво ознайомити з поняттям нотний стан, скрипковий ключ, нота вдосконалювати вокальні, танцювальні навички розвивати ритмічний слух...
7375. Объектно-ориентированное программирование 1.32 MB
  Объектно-ориентированное программирование Введение в объектно-ориентированное программирование Объектно-ориентированное программирование (ООП) - основная парадигма программирования 80-90-х годов, которая по всей видимости сохранится и в т...
7376. Методика организации воспитательного процесса 204.5 KB
  Методика организации воспитательного процесса 1. Организационное строение коллектива Организация коллектива в детских учреждениях происходит по различным принципам. Дети могут разделяться на группы по признаку школы при этой системе в интернатных у...
7377. Разработка бизнес-плана СТО 269 KB
  Разработка бизнес-плана СТО Резюме. Основным назначением первого и второго технических обслуживании является снижение интенсивности изнашивания деталей, выявление и предупреждение отказов и неисправностей путем своевременного выполнения контрольно-...