17495

Розв’язання рівнянь методом ітерацій в MathCAD

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 5 Розв’язання рівнянь методом ітерацій в MathCAD Мета роботи: навчитися користуватися базовими командами і функціями розв’язувати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних. Загальні відомості про базові функції MathCAD Рядок меню розміщується у в...

Украинкский

2013-07-01

520.5 KB

4 чел.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 5

Розвязання рівнянь методом ітерацій в MathCAD

Мета роботи: навчитися користуватися базовими командами і функціями, розвязувати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних.

Загальні відомості про базові функції MathCAD

Рядок меню розміщується у верхній частині вікна MathCAD. Він містить  девять заголовків; клацання миші на кожному з них приводить до появи відповідного меню з переліком команд:

  •  File — команди, повязані зі створенням, відкриттям, збереженням, пересиланням по електронній пошті і роздруківкою на принтері файлів з документами;
  •  Edit  — команди, які відносяться до правлення тексту (копіювання, вставки, видалення фрагментів та інше);
  •  View  — команди, які управляють зовнішнім виглядом документа у вікні MathCAD, а також команди, які створюють файли анімації;
  •  Insert — команди вставки різноманітних обєктів у документи;
  •  Format  — команди форматування тексту текста, формул та графіків;
  •  Tools — команди управління обчислювальним процесом і допоміжними можливостями;
  •  Symbolics  — команди символьних обчислень;
  •  Window — команди управління розміщенням вікон, з різноманітними документами на екрані;
  •  Help — команди виклику довідкової інформації, відомостей про версію програми, а також доступу до ресурсів та електронних книг.

Рис. 1, а) Панель інструментів MathCAD

– меню Calculator (Калькулятор)

меню Graph (График)

 меню Matrix (Матрица)

 меню Evaluation (Вычисление)

 меню Calculus (Исчисление)

 меню Boolean (Логический)

 меню Programming (Программирование)

 меню Greek (Греческий)

 меню Symbolic (Символьная)

Рис. 1, б) Піктограми панелі інструментів MathCAD

Початок роботи з MathCAD

Для початку роботи з функціями необхідно задати область визначення функції (область зміни аргумента ), для чого в робочому вікні MathCAD послідовно виконати дії:

 

                                       

В результаті на екрані зявиться зображення  

В плейс-холдері набираються символи та цифри. Необхідно вказати інтервал зміни , на якому буде будуватися графік. Наприклад, інтервал від – 100 до 100. Це виконується наступним чином:

- 100                        100.

В результаті на екран з’явиться зображення .

За такого визначення інтервалу за умовчанням мається на увазі крок зміни рівний 1.

Нижче області задання зміни  записуємо вираз для функції.

Запис виконується наступним чином:

                                                                                         і 

В результаті на екрані з’явиться зображення:

.

Для розвязання рівняння необхідно побудувати графік функції та візуально визначити інтервали відокремлення кореня, тобто інтервали, на яких графік функції перетинає вісь .

Меню побудови графіків викликаємо за допомогою піктограми Graph .  

Рис. 2. Панель інтсрументів MathCAD

Для побудови графіка вибираємо піктограму двомірного графіка.

Задаючи в плейс-холдерах заготовки графіка значення -100 та 100 для отримаємо на екрані наступне зображення:

Рис. 3. Графік функції

З графіка візуально визначаємо точки перетину з віссю . Для більш точного розвязку змінюємо масштаб за осями  та .

Рис. 4. Збільшення масштабу графіка функції

З рис. 4 зі збільшеним масштабом видно, що, наприклад, один з коренів рівняння знаходиться в інтервалі значень .

Метод послідовних наближень (метод хорд)

При використанні методу послідовних наближень (методу хорд) можуть бути такі випадки:

а) хорда перетинає вісь  лівіше шуканого кореня   (рис. 5, а);

б) хорда перетинає вісь  правіше шуканого значення кореня  (рис. 5, б).

                                                                                                                  

         а)                                                                 б)

Рис. 5. Варіанти розміщення хорди відносно шуканого значення кореня: а) лівіше шуканого кореня; б) правіше шуканого кореня

В якості першого наближення кореня у випадку а) вибирається a, у випадку б) вибирається b.

Тоді ітераційні формули для випадків а) та б) будуть виглядати так:

а) перша ітерація: ; друга ітерація: ; і+1-та ітерація:   ;                

б) перша ітерація: ; друга ітерація: ; і+1-та ітерація:   

і далі до значення , яке буде відрізнятися від попереднього  на малу, наперед задану величину (наприклад, ).

 Запишемо незалежну змінну  і функцію  і побудуємо графік згаданої функції  до чітко видимих коренів.

Рис. 6. Збільшення масштабу графіка функції до чітко видимих коренів рівняння за методом хорд

З рис. 6 для позитивного значення кореня можна записати перше наближення кореня:  з інтервалу приблизного знаходження кореня: , де  і .

Перша ітерація: ; ;

Друга ітерація: ; .

Метод Ньютона (метод дотичних)

При використанні методу Ньютона (методу дотичних) можуть бути такі випадки:

Рис. 7. Варіанти розміщення дотичної:  а) функція увігнута, дотична перетинає вісь  правіше шуканого кореня ; б) функція увігнута, дотична перетинає вісь  лівіше шуканого значення кореня ; в) функція випукла, дотична перетинає вісь  правіше шуканого кореня ; г) функція випукла, дотична перетинає вісь  лівіше шуканого значення кореня .

В одному з кінців дуги АВ графіка функції  проводимо дотичну до цієї дуги і в якості наближеного значеня кореня  вибираємо число  або  (перше наближення) – абсцису точки  або дотику дотичної до графіка функції на вісь в залежності від вигляду графіка функції і варіанту розміщення дотичної відносно осі  (рис. 7).

Керуючись умовами вибору першого наближення (рис. 7), записуємо формулу для першої ітерації:

рис. 7, а), в) перша ітерація: ; друга ітерація:  

рис. 7, б), г) перша ітерація: ; друга ітерація:

i+1-та ітерація: , де  – перша похідна від функції .

Можна вважати  наближеним точним розвязком, якщо після двох послідовних операціях обчислення  буде досягнуте співвідношення: , де наперед задане мале число.

Рис. 8. Збільшення масштабу графіка функції до чітко видимих коренів рівняння за методом дотичних

З рис. 8 для позитивного значення кореня можна записати перше

наближення кореня:  з інтервалу приблизного знаходження кореня: , де  і .

Перша ітерація: ; ; друга ітерація: ;  – на цьому ітераційний процес за методом дотичних закінчується.

Завдання на лабораторну роботу:

  1.  Отримати завдання;
  2.  Задати змінну та функцію, користуючись завданням; 
  3.  Знайти корені за методами хорд і дотичних, приймаючи .

Контрольні запитання:

  1.  Як задати змінну та функцію?
    1.  Написати рівняння прямої, яка проходит через точку з координатами ;
    2.  Яке меню використовується для побудови графіків?
    3.  Які методи існують для пошуку наближеного точного розвязку?
    4.  Зобразити варіанти варіанти розміщення хорди у методі хорд;
    5.  Написати ітераційні формули пошуку наближеного точного розвязку в залежності від розміщення хорди у методі хорд;
    6.  Зобразити варіанти варіанти розміщення дотичної у методі дотичних, написати для кожного варіанту , умову випуклості-впуклості, умову розміщення кореня;
    7.  Написати ітераційні формули пошуку наближеного точного розвязку в залежності від розміщення дотичної у методі дотичних.

Варіанти завдань для лабораторної роботи 5

Завдання для лабораторної роботи 5: розвязати рівняння за допомогою методів хорд і дотичних, визначати точність знайденого розв’язку.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10.  .

11

PAGE  12

y

x

x0

c

b

a

y

x

x0

c

b

a

α

а)

3

^

6

Shift

 *

 8

Shift

 :

 ;

Shift

 :

 ;

Плейс-холдер

Курсор миші

Х

 :

 ;

Shift

c

y'(x)

b

EMBED Equation.3  

y(x)

xo

a

xx

y

EMBED Equation.3  

б)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

EMBED Equation.3  

в)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

EMBED Equation.3  

г)

y

xx

a

xo

y(x)

y'(x)

c

α

b

B

A

B

A

B

A

A

B

B

A

A

B

A

B

х

0.1

у(х)

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43373. Вибір потужності двигуна і дослідження процесу пуску електроприводу двигуна постійного струму 284.5 KB
  Вибір потужності двигуна і дослідження процесу пуску електроприводу двигуна постійного струму. Розрахувати можливе перевантаження обраного двигуна при роботі в короткочасному режимі із часом роботи хв. Додаткові умови: передаточне число редуктора ; ККД редуктора ; коефіцієнт запасу прийняти рівним 12513; момент інерції агрегату в 50...
43374. Проблеми подолання безробіття в Україні 446 KB
  Теоретичні відомості про безробіття Сутність та причини виникнення безробіття Види безробіття та їх характеристика Основні соціальноекономічні наслідки безробіття та методи його подолання РОЗДІЛ 2. Аналіз стану безробіття в Україні 2. Аналіз нормативноправового регулювання зайнятості та безробіття в Україні 2.
43375. Вибір потужності двигуна і дослідження процесу пуску електроприводу двигуна постійного струму 309 KB
  Кафедра автоматизації та енергоменеджменту ЗАВДАННЯ на виконання курсової роботи Маліновської Марії Володимирівни Тема курсової роботи: Вибір потужності двигуна і дослідження процесу пуску електроприводу двигуна постійного струму. Відповідно до заданого варіанту розрахувати потужність двигуна. Розрахувати можливе перевантаження обраного двигуна при роботі в короткочасному режимі із часом роботи хв.
43378. Використання табличного процесора MS Excel для рішення задач механіки та інженерії 1.57 MB
  Її аргумент Диапазон містить значення діапазону комірок з назвами деталей серед яких відшукуються ті що задовольняють умову поставлену в аргументі Критерий. Аргумент Диапазон_суммирования містить діапазон тих клітинок в якому відбувається підсумовування; при цьому обробляються тільки ті записи значення яких задовольняють поставлену умову. Функція ЕСЛИ використовується для перевірки умови стосовно значень та формул і повертає одне розраховане значення якщо задана умова після розрахунку дає значення ІСТИНА й інші розраховані значення...
43379. Криві в параметричному представленні 667.5 KB
  3 Визначити площу фігури обмеженої лініями 1будуємо графічне зображення фігури 2визначаю точки перетину кривих з віссю ОХ 3одна з одною 4обчислюємо площу Завдання 7.Авизначити вузлові точки xi у j та їх кількістьnкількість значень xim кількість значень у j відповідно до заданих для цих змінних проміжків та кроків hx i hy. Така крива епіциклоїда – могла б виникнути як траєкторія точки маленької окружності яка котиться по внутрішній фіксованій окружності. Обчислення каустики як траєкторії точки на окружностіщо котиться було...