17498

Символьні обчислення в MathCAD

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 8 Символьні обчислення в MathCAD Мета роботи: навчитися обчислювати похідні першого та вищих порядків границі розкладати функцію в ряд будувати 3D графіки. Символьне обчислення похідних Для символьних обчислень використовується меню операцій Sy...

Украинкский

2013-07-01

407 KB

6 чел.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 8

Символьні обчислення в MathCAD

Мета роботи: навчитися обчислювати похідні першого та вищих порядків, границі, розкладати функцію в ряд, будувати 3D графіки. 

Символьне обчислення похідних

Для символьних обчислень використовується меню операцій Symbolic (Символьная) , показане на рис. 1, а.

                                 а)                                      б)

Рис. 1. Меню Symbolic (а); Calculus (б) на панелі інструментів

Для обчислення першої похідної та похідних вищих порядків в MathCAD використовується меню операцій Calculus (Исчисление) (рис. 1, б).

Порядок символьних обчислень

Визначення функції

Задамо коефіцієнти нелінійного рівняння: , , , . Запишемо нелінійне рівняння функції: .

Символьне обчислення першої та другої похідної

Користуючись меню Calculus, викликаємо піктограму диференціювання . В плейс-холдери отриманого шаблону диференціювання вписуємо функцію  та ім’я змінної  і виконуємо символьне диференціювання натисканням піктограми символьних обчислень з меню Symbolic.

На екрані отримуємо:

.

Для обчислення похідної другого порядку з меню Calculus викликати піктограму похідної вищих порядків , відповідно заповнюємо плейс-холдери і обчислюємо другу похідну:

.

Для візуалізації результатів обчислень і розуміння суті виконаних операцій побудуємо графіки всіх функцій, отриманих при диференціюванні, при цьому для зручності побудови графіка позначимо першу та другу похідні як функціїї  та :

; .

Побудуємо графік, вписуючи до плейс-холдерів імена змінної , функцій ,, (відокремлюючи іх комою), а також вказуючи масштаб по абсцисі  та ординаті .               

Рис. 2. Вид графіка функції  та математичних виразів першої і другої похідних

Символьне обчислення границь

Для обчислення границь використовуються ті самі меню, що і для похідних: Symbolic і Calculus.

Визначимо коефіцієнти функції та саму функцію:

; .

Користуючись меню Calculus, визначаємо границі при , , :

;;.

Для візуалізації операцій обчислення границь побудуємо графік функції і впевнимося в тому, що знайдені границі відповідають значенням функції у вказаних межах значень змінної.

Рис. 3. Графік функції  та позначення знайдених границь

Розкладення функції в ряд (символьне обчислення коефіцієнтів полінома)

Розкладення функції в ряд виконується за допомогою команди series в меню Symbolic:

Визначимо функцію: .

Розкладемо функцію в ряд з порядком розкладення 4 та 11 відповідно:

;

.

Для зручності побудови графіка позначимо функції розкладення в ряд з порядком розкладення 4 та 11 як функціїї  та  відповідно:

; .

Побудуємо графіки оригінальної функції  та поліномів  і .

Рис. 4. Графіки функції  та поліномів з порядком розкладення 4 та 11 від функції

З рис. 4 бачимо, що поліном 11-го більш високого порядку замінює оригінальну функцію в більшому діапазоні змінної , ніж поліном 4-го порядку.

Побудова 3D графіків

Під побудовою 3D графіків в MathCAD слід розуміти побудову поверхні в cистемі координат  у вигляді рівняння . При побудові графіка згідно рівняння  значення функції обчислюється як ордината для заданої пари чисел .

Рис. 4. Принцип побудови 3D графіка в MathCAD

Визначимо функцію: .

З меню графиків вибираємо “График плоскости” і в плейс-холдер отриманого шаблону графіка вписуємо ім’я функції :

Рис. 5. Вид готового 3D графіка в MathCAD

Завдання на лабораторну роботу:

  1.  Отримати завдання;
  2.  Визначити функції для кожного окремого пункту завдання;
  3.  Обчислити першу та другу похідні, побудувати графіки оригінальної функції та похідних, зробити висновки;
  4.  Обчислити границі функції при , , , побудувати графік оригінальної функції, позначити на графіка границі функції, зробити висновки чи відповідають ліміти значенням функції;
  5.  Розкласти функцію в ряд з порядком розкладення 4 та 11, побудувати та порівняти графіки оригінальної функції і отриманих поліномів;
  6.  Побудувати 3D графік функції.

Контрольні запитання:

  1.  Яке меню використовується для символьних обчислень?
    1.  Порядок символьного обчислення першої та вищої похідних;
    2.  Математичний та геометричний зміст першої похідної;
    3.  Порядок символьних обчислень границь;
    4.  Порядок символьного обчислення коефіцієнтів поліному (розкладення функції в ряд);
    5.  Що розуміють під побудовою 3D графіків в MathCAD?
    6.  Вказати призначення команд символьних обчислень: solve, expand, simplify. Навести приклади.

Завдання для лабораторної роботи 8: обчислити похідні першого та другого порядку, побудувати графіки всіх функцій, отриманих при диференціюванні.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10.  .

Варіанти завдань для лабораторної роботи 8:

Визначити границі при , , :

Варіант 1

.

Варіант 2

.

Варіант 3

.

Варіант 4

.

Варіант 5

.

Варіант 6

.

Варіант 7

.

Варіант 8

.

Варіант 9

.

Варіант 10

.

Розкласти функцію в ряд з порядком розкладення 4 та 11 (за допомогою функції series):

Варіант 1

.

Варіант 2

.

Варіант 3

.

Варіант 4

.

Варіант 5

.

Варіант 6

.

Варіант 7

.

Варіант 8

.

Варіант 9

.

Варіант 10

.

Побудувати 3D графіки функцій:

Варіант 1

.

Варіант 2

.

Варіант 3

.

Варіант 4

.

Варіант 5

.

Варіант 6

.

Варіант 7

.

Варіант 8

.

Варіант 9

.

Варіант 10

.

11

PAGE  9


y

x

z

y

x

z(x,y)

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42417. Бинарные отношения. Симметричные отношения 141.5 KB
  Определение 6: Отношение  на множестве Х называется рефлексивным если для любого элемента хХ выполняется хх. Определение 7: Отношение  на множестве Х называется симметричным если для любых хуХ из ху следует ух. Определение 8: Отношение  на множестве Х называется транзитивным если для любых хуzХ из ху yz следует xz. Определение 9: Отношение  на множестве Х называется антисимметричным если для любых xy X из xy и yx следует x=y.
42418. Функции. Принцип Дирихле 46 KB
  Докажите что либо одно из них делится на 5 либо сумма нескольких рядом стоящих чисел делится на 5. Докажите что какието три из них можно накрыть квадратиком со стороной 02 м. Докажите что найдутся как минимум 2 ученика отмечающих дни рождения в один месяц. Докажите что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 05 см.
42419. Комбинаторика. Основные комбинаторные принципы и соединения 198.5 KB
  Введем некоторые важные обозначения: множества будем обозначать заглавными буквами; множества состоят из элементов которые будем обозначать малыми буквами. Такие множества будем изображать перечислением элементов заключая их в фигурные скобки. 3 Количество элементов в множестве называется мощностью и записывается как . Комбинаторные соединения Некоторая совокупность элементов данного nмножества называется выборкой.
42420. Булева алгебра. Законы логики высказываний. Эквивалентные преобразования 83 KB
  Законы логики высказываний. Теоретическая часть Всё множество формул логики высказываний с точки зрения их значения истинности разбивается на три класса: 1 тождественно истинные тавтология; 2 тождественно ложные противоречие; 3 нейтральные. Особое место в логике высказываний занимают законы логики тождественно истинные формулы тавтологии. Законы логики высказываний Закон тождества: А эквивалентно А.
42421. Равносильность формул. Закон двойственности. Логические функции 120.5 KB
  Каждая формула представляет собой функцию входящих в нее букв А В Определение1: Формулы F1 и F2 называются равносильными если при любых значениях входящих в них переменных x1x2xn эти формулы принимают одинаковые значения. Между понятиями равносильности и эквивалентности существует связь: если формулы F1 и F2 равносильны то формула F1F2 эквивалентность принимает одни и те же значения при всех значениях переменных и обратно: если формула F1F2 принимает одни и те же значения при всех значениях переменных то формулы F1 и F2...
42422. Нормальные формы формул. Проблема разрешения 89 KB
  Теорема 1 о приведении к ДНФ: Для любой формулы А можно найти такую формулу В находящуюся в ДНФ что АВ. Формула В называется ДНФ формулы А. Конечно например все ДНФ данной формулы равносильны. Выделим среди ДНФ так называемую совершенную дизъюнктивную нормальную форму формулы.
42423. Полные системы булевых функций. Многочлен Жегалкина. Теорема Поста 60 KB
  Цель работы: овладение навыками представления булевых функций в виде полинома Жегалкина. Теоретическая часть Таблицы истинности булевых функций сростом числа аргументов становятся громоздкими и неудобными. Более удобный аналитический способ задания булевых функций основан на рассмотрении двузначной алгебры Поста с операцией суперпозиции над множеством булевых функций.
42424. Минимизация булевых функций методом Квайна 686 KB
  Теоретическая часть Рассмотренные выше совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы СДНФ и СКНФ используются для первоначального представления заданной переключательной функции через функции основной системы. Но эти формы не удобны для построения логических схем ЭВМ так как часто содержат элементы которые можно исключить при синтезе схем исходя из других форм представления функции. Существует ряд эффективных способов нахождения минимальной ДНФ булевой функции. Применяемая в методе Квайна операция неполного склеивания...
42425. Функциональные схемы 435 KB
  Такие схемы встречаются в электронных устройствах используемых в компьютерах калькуляторах телефонных системах и ряде других устройств. Постановка задачи синтеза логических схем По аналогии с тем как из трех элементарных частиц  протонов нейтронов и электронов порождаются различные химические элементы которые соединяясь в молекулы образуют вещества всей живой и неживой природы из трех простейших логических схем  дизъюнктора конъюнктора и инвертора можно образовать сколь угодно сложные функциональные схемы соответствующие...