17498

Символьні обчислення в MathCAD

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 8 Символьні обчислення в MathCAD Мета роботи: навчитися обчислювати похідні першого та вищих порядків границі розкладати функцію в ряд будувати 3D графіки. Символьне обчислення похідних Для символьних обчислень використовується меню операцій Sy...

Украинкский

2013-07-01

407 KB

6 чел.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 8

Символьні обчислення в MathCAD

Мета роботи: навчитися обчислювати похідні першого та вищих порядків, границі, розкладати функцію в ряд, будувати 3D графіки. 

Символьне обчислення похідних

Для символьних обчислень використовується меню операцій Symbolic (Символьная) , показане на рис. 1, а.

                                 а)                                      б)

Рис. 1. Меню Symbolic (а); Calculus (б) на панелі інструментів

Для обчислення першої похідної та похідних вищих порядків в MathCAD використовується меню операцій Calculus (Исчисление) (рис. 1, б).

Порядок символьних обчислень

Визначення функції

Задамо коефіцієнти нелінійного рівняння: , , , . Запишемо нелінійне рівняння функції: .

Символьне обчислення першої та другої похідної

Користуючись меню Calculus, викликаємо піктограму диференціювання . В плейс-холдери отриманого шаблону диференціювання вписуємо функцію  та ім’я змінної  і виконуємо символьне диференціювання натисканням піктограми символьних обчислень з меню Symbolic.

На екрані отримуємо:

.

Для обчислення похідної другого порядку з меню Calculus викликати піктограму похідної вищих порядків , відповідно заповнюємо плейс-холдери і обчислюємо другу похідну:

.

Для візуалізації результатів обчислень і розуміння суті виконаних операцій побудуємо графіки всіх функцій, отриманих при диференціюванні, при цьому для зручності побудови графіка позначимо першу та другу похідні як функціїї  та :

; .

Побудуємо графік, вписуючи до плейс-холдерів імена змінної , функцій ,, (відокремлюючи іх комою), а також вказуючи масштаб по абсцисі  та ординаті .               

Рис. 2. Вид графіка функції  та математичних виразів першої і другої похідних

Символьне обчислення границь

Для обчислення границь використовуються ті самі меню, що і для похідних: Symbolic і Calculus.

Визначимо коефіцієнти функції та саму функцію:

; .

Користуючись меню Calculus, визначаємо границі при , , :

;;.

Для візуалізації операцій обчислення границь побудуємо графік функції і впевнимося в тому, що знайдені границі відповідають значенням функції у вказаних межах значень змінної.

Рис. 3. Графік функції  та позначення знайдених границь

Розкладення функції в ряд (символьне обчислення коефіцієнтів полінома)

Розкладення функції в ряд виконується за допомогою команди series в меню Symbolic:

Визначимо функцію: .

Розкладемо функцію в ряд з порядком розкладення 4 та 11 відповідно:

;

.

Для зручності побудови графіка позначимо функції розкладення в ряд з порядком розкладення 4 та 11 як функціїї  та  відповідно:

; .

Побудуємо графіки оригінальної функції  та поліномів  і .

Рис. 4. Графіки функції  та поліномів з порядком розкладення 4 та 11 від функції

З рис. 4 бачимо, що поліном 11-го більш високого порядку замінює оригінальну функцію в більшому діапазоні змінної , ніж поліном 4-го порядку.

Побудова 3D графіків

Під побудовою 3D графіків в MathCAD слід розуміти побудову поверхні в cистемі координат  у вигляді рівняння . При побудові графіка згідно рівняння  значення функції обчислюється як ордината для заданої пари чисел .

Рис. 4. Принцип побудови 3D графіка в MathCAD

Визначимо функцію: .

З меню графиків вибираємо “График плоскости” і в плейс-холдер отриманого шаблону графіка вписуємо ім’я функції :

Рис. 5. Вид готового 3D графіка в MathCAD

Завдання на лабораторну роботу:

  1.  Отримати завдання;
  2.  Визначити функції для кожного окремого пункту завдання;
  3.  Обчислити першу та другу похідні, побудувати графіки оригінальної функції та похідних, зробити висновки;
  4.  Обчислити границі функції при , , , побудувати графік оригінальної функції, позначити на графіка границі функції, зробити висновки чи відповідають ліміти значенням функції;
  5.  Розкласти функцію в ряд з порядком розкладення 4 та 11, побудувати та порівняти графіки оригінальної функції і отриманих поліномів;
  6.  Побудувати 3D графік функції.

Контрольні запитання:

  1.  Яке меню використовується для символьних обчислень?
    1.  Порядок символьного обчислення першої та вищої похідних;
    2.  Математичний та геометричний зміст першої похідної;
    3.  Порядок символьних обчислень границь;
    4.  Порядок символьного обчислення коефіцієнтів поліному (розкладення функції в ряд);
    5.  Що розуміють під побудовою 3D графіків в MathCAD?
    6.  Вказати призначення команд символьних обчислень: solve, expand, simplify. Навести приклади.

Завдання для лабораторної роботи 8: обчислити похідні першого та другого порядку, побудувати графіки всіх функцій, отриманих при диференціюванні.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10.  .

Варіанти завдань для лабораторної роботи 8:

Визначити границі при , , :

Варіант 1

.

Варіант 2

.

Варіант 3

.

Варіант 4

.

Варіант 5

.

Варіант 6

.

Варіант 7

.

Варіант 8

.

Варіант 9

.

Варіант 10

.

Розкласти функцію в ряд з порядком розкладення 4 та 11 (за допомогою функції series):

Варіант 1

.

Варіант 2

.

Варіант 3

.

Варіант 4

.

Варіант 5

.

Варіант 6

.

Варіант 7

.

Варіант 8

.

Варіант 9

.

Варіант 10

.

Побудувати 3D графіки функцій:

Варіант 1

.

Варіант 2

.

Варіант 3

.

Варіант 4

.

Варіант 5

.

Варіант 6

.

Варіант 7

.

Варіант 8

.

Варіант 9

.

Варіант 10

.

11

PAGE  9


y

x

z

y

x

z(x,y)

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3