17583

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ MATHCAD

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лекция 2 Решение уравнений средствами Mathcad Как известно многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также что нельзя построить формулу по которой можно было б

Русский

2013-07-04

1.83 MB

44 чел.

Лекция 2

Решение уравнений средствами Mathcad

Как известно, многие уравнения и  системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой1. Однако такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью (не более значения заданного системной переменной TOL).

Численное решение нелинейного уравнения

Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции  root (Рисунок 5).

Рисунок .  Решение уравнений средствами Mathcad

 

root( f(х1, x2, …), х1, a, b )

Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Аргументы:

f(х1, x2, …) - функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

х1 - имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

a, b - необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b.

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть:

  1.  Известны из физического смысла задачи.
  2.  Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных.
  3.  Найдены графическим способом.

Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения  f(x) = 0 - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением:

,

где функции f1(x) и f2(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример. Графически отделить корни уравнения:

x lg x = 1.

(1)

Уравнение (1) удобно переписать в виде равенства:

lg x=.

Отсюда ясно, что корни уравнения (1) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень  уравнения (1) или определим его содержащий отрезок  [2, 3].

Отсутствие сходимости функции root

Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение  (отсутствует сходимость). Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

Уравнение не имеет корней.

Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.

Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.

Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.

Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет выяснить наличие корней  уравнения f(x) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.

Рекомендации по использованию функции root

Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение  TOL  увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение  TOL  уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL  в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида . Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите команду Математика Параметры… Переменные Допуск сходимости (TOL).

Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

Если функция f(x) имеет малый наклон около искомого корня, функция root(f(x), x) может сходиться к значению r, отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения f(x) = 0 на g(x) = 0

Для выражения f(x) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f(x) эквивалентно поиску корней уравнения h(x) = f(x)/(x  a). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения h(x), чем пробовать искать другой корень уравнения f(x) = 0, выбирая различные начальные приближения.

Символьное решение уравнений

В Mathcad можно быстро и точно найти численное значение корня с помощью функции root. Но имеются некоторые задачи, для которых возможности Mathcad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде.

Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:

Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении.

Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.

Возможны три способа символьного решения уравнений.

Первый способ заключается в использовании функции

root( f(х1, x2, …), х1)→

Следует отметить, что при таком символьном решении уравнения интервал, которому принадлежат корни, не указывается.

Второй способ заключается в использовании команд меню Символы (Symbolics) Переменные (Variable) Вычислить  (Solve) позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

Чтобы решить уравнение символьно необходимо:

Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш [Ctrl]=).

Выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью.

Выбрать пункт меню Символы (Symbolics) Переменные (Variable) Вычислить (Solve).

Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если MathCAD не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.

Третий способ заключается в последовательном использовании клавиш меню и панелей Вид (View)  Инструменті (Toolbars) Символы (Symbolic) Вычислить  (Solve) (на панели Символы (Symbolic)). 

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид

vnxn  + ... + v2x2  + v1x  + v0,

лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Polyroots(v)

Возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n + 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.

Аргументы:

vвектор, содержащий коэффициенты полинома.

Вектор v удобно создавать использую команду Символы  Коэффициенты полинома. Рисунок 6 иллюстрирует определение корней полинома средствами Mathcad.

Рисунок . Определение корней полинома

Решение систем уравнений

Численные и приближенные решения

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >,  и .

Введите любое выражение, которое включает функцию Find или Minerr   например: а:= Find(х, у) или Minerr(x,y) .

Find(z1, z2, . . .)

Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Minerr(z1, z2, . . .)

Возвращает приближенное решение системы уравнений или системы неравенств.

Рисунок . Решение  систем уравнений в MathCAD

Отличие функции Minerr  от функции Find заключается в том, что она возвращает значение аргументам z1, z2, . . . даже тогда, когда система не имеет решения вообще. В этом случае значения аргументов z1, z2, . . .  соответствуют условию минимального отклонения модуля правых частей уравнений системы от 0.

Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое–либо выражение, содержащее функцию Find или Minerr называют блоком решения уравнений.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

Ограничения со знаком .

Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.

Неравенства вида a < b < c (для функции Find).

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find или Minerr.

Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия:

Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида:

Find(var1, var2,…) =

Minerr (var1, var2,…) =.

Определить переменную с помощью функции Find или Minerr:

a := Find(x) – скаляр,

a := Minerr (x) – скаляр,

var := Find(var1, var2,…) – вектор,

var := Minerr (var1, var2,…) – вектор.

Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы уравнений в другом  месте рабочего документа.

Определить другую функцию с помощью Find или Minerr

f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …)

f(a, b, c, …) := Minerr (x, y, z, …).

Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметров abc,…, непосредственно входящих в систему уравнений.

Для функции Find сообщение об ошибке

 (Решение не найдено)

при решении уравнений появляется, когда:

Поставленная задача может не иметь решения.

Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот.

В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения.

Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.

Функции Find и Minerr допускают символьное решение уравнений при использовании вместо “Find(x,y) =” соответствующего обращения Find(x,y) →”.

Пример 14 и примеры Рисунка 7 иллюстрируют возможности решения систем уравнений в MathCAD как численно, так и символьно.

Таким образом функция Minerr очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм), правила использования функции Minerr такие же, как и функции Find. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение.

Если Minerr используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов.

Символьное решение систем уравнений

Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее:

Напечатать ключевое слово Given.

Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостоверьтесь, что для ввода знака = используется [Ctrl]=.

Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений.

Нажать [Ctrl]. (клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). Mathcad отобразит символьный знак равенства .

Щелкнуть мышью на функции Find.

Решение матричных уравнений

Матричным уравнением называется уравнение, коэффициенты и неизвестные которого – прямоугольные матрицы соответствующей размерности.

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn:

(2)

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде

Ах = b,

(3)

где:

   .

(4)

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части  или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Если матрица А - неособенная, то есть det A 0 то система (2), или эквивалентное ей матричное уравнение (3), имеет единственное решение.

В самом деле, при условии det A 0 существует обратная матрица А-1. Умножая обе части уравнения (3) на матрицу А-1 получим:

(5)

Формула (5) дает решение уравнения (3) и оно единственно.

Системы линейных уравнений  удобно решать с помощью функции lsolve.

lsolve(А, b)

Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.

Аргументы:

А - квадратная, не сингулярная матрица.

b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.

Рисунок . Решение матричных уравнений

На примере 15 и рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.

1 Доказательство этого факта связано с именами замечательных математиков Абеля (1802-1829) и Галуа (1811-1832).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65885. Французский героический эпос. «Песнь о Роланде» 43 KB
  Этот цикл посвящен времени правления Карла Великого образ Карла в этом цикле подвергается идеализации а кроме того в этом цикле речь также идет о его верных вассалах и коварных врагах. События которые рассказывают эти жесты относят ко времени после смерти Карла Великого.
65887. Крещение и его влияние на развитие русской культуры 41.5 KB
  Уже в то время на Руси были христиане при дворе князя была сильная христианская партия. И Фотий и Никон говорят что корабли Русичей потерпели крушение изза внезапно налетевшей бури и произошло это благодаря божественному вмешательству божественному заступничеству. Владимир принимает решение...
65890. Основы физиологии труда 32.49 KB
  Прежде всего это социальная неэффективность физического труда связанная с низкой его производительностью необходимостью высокого напряжения физических сил и потребностью в длительном до 50 рабочего времени отдыхе. Для данного вида труда характерна гипокинезия...
65893. Классификация недвижимости по функциональному признаку 62.5 KB
  Эти объекты недвижимости называют еще и недвижимостью по природе. Искусственные объекты постройки: а жилая недвижимость малоэтажный дом до трех этажей многоэтажный дом от 4 до 9 этажей дом повышенной этажности от 10 до 20 этажей высотный дом свыше 20 этажей.