17587

ПРИЛОЖЕНИЯ ПАКЕТА MATHCAD В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛЕКЦИЯ 5. Приложения пакета Mathcad в задачах линейной алгебры и математического анализа 4.1 Задачи линейной алгебры в среде пакета Mathcad. 4.1.1 Определение и ввод матрицы в рабочий документ Mathcad Чтобы определить матрицу нужно: ввести с клавиатуры имя матрицы и знак п...

Русский

2013-07-04

268 KB

3 чел.

ЛЕКЦИЯ 5.

Приложения пакета Mathcad в задачах линейной алгебры и математического анализа

4.1 Задачи линейной алгебры в среде пакета Mathcad.

4.1.1 Определение и ввод матрицы в рабочий документ Mathcad

Чтобы определить матрицу нужно:

  1.  ввести с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания (для ввода знака присваивания нужно нажать на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<:> или щелкнуть по кнопке<:=> панели Evaluation);
  2.  щелкнуть по кнопке Vector or Matrix Toolbar  в панели математических инструментов, чтобы открыть панель матричных операций Matrix);
  3.  открыть щелчком по кнопке Matrix or Vector окно диалога определения размерности матрицы и ввести размерность матрицы: число строк (Rows), число столбцов (Columns);
  4.  закрыть окно диалога, щелкнув по кнопке Ok.

В рабочем документе, справа от знака присваивания, открывается поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов.

Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в помеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение.

4.1.2 Нумерация элементов матриц и векторов

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора, хранится в Mathcad в переменной ORIGIN.
По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с
0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, удобно перед началом работы с матрицами  определять значение переменной ORIGIN равным 1, выполнять команду ORIGIN:=1.

4.1.3 Панель операций с матрицами и векторами

Панель векторных и матричных операций открывается щелчком по

кнопке Vector and Matrix Toolbar в панели математических инструментов.

За кнопками панели закреплены следующие функции:

— определение размеров матрицы;

— ввод нижнего индекса;

 — вычисление обратной матрицы;

— вычисление определителя матрицы: |A|=det A; вычисление длины вектора |x|;

 — поэлементные операции с матрицами:
если
A={aij }, B={bij }, то ;

— определение столбца матрицы: — j -й столбец матрицы M;

— транспонирование матрицы: M={mij }, M T ={mji };

— вычисление скалярного произведения векторов: ;

 — вычисление векторного произведения векторов:
a x b = (a2 b3 -a3 b2 , a3 b1 -a1 b3 , a1 b2 -a2 b1 );

 — вычисление суммы компонент вектора: ;

— определение диапазона изменения переменной;

— визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Для того чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции, либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

4.1.4 Меню символьных операций с матрицами

Меню символьных операций с матрицами (пункт Matrix меню Symbolics) содержит три функции:

  •  транспонирование (Transpose),
  •  обращение матрицы (Invert),
  •  вычисление определителя матрицы (Determinant).

Если требуется произвести какую-либо операцию через пункт Matrix меню Symbolics, нужно выделить матрицу и щелкнуть в меню по строке нужной операции.

4.1.5 Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, можно разделить на три группы.

  •  Функции определения матриц и операций с блоками матриц.
  •  Функции отыскания различных числовых характеристик матриц.
  •  Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

  •  matrix(m, n, f) — создает и заполняет матрицу размерности m x n, элемент которой, расположенный в i -й строке, j -м столбце, равен значению f(i, j) функции f(x, y);
  •  diag(v) — создает диагональную матрица, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;
  •  identity(n) — создает единичную матрицу порядка n;
  •  augment(A, B) — формирует матрицу, в первых с т о л б ц а х которой содержится матрица A, а в последних — матрица B (матрицы A и B имеют одинаковое число строк);
  •  stack(A, B) — формирует матрицу, в первых с т р о к а х которой содержится матрица A, а в последних — матрица B (матрицы A и B имеют одинаковое число столбцов);
  •  submatrix(A, ir, jr, ic, jc) — формирует матрицу, которая является блоком матрицы A, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, ir <= jr, ic <= jc.

Функции отыскания различных числовых характеристик матриц:

  •  last(v) — вычисление номера последнего элемента вектора v;
  •  lenght(v) — вычисление количества элементов v вектора;
  •  rows(A) — вычисление числа строк в матрице A;
  •  cols(A) — вычисление числа столбцов в матрице A;
  •  max(A) — вычисление наибольшего элемента в матрицы A;
  •  tr(A) — вычисление следа квадратной матрицы A (след матрицы равен сумме ее диагональных элементов);
  •  rank(A) — вычисление ранга матрицы A;
  •  norm1(A), norm2(A), norme(A), normi(A) — вычисление норм квадратной матрицы A.

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

  •  rref(A) — приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строками матрицы);
  •  eigenvals(A) — вычисление собственных значений квадратной матрицы А ;
  •  eigenvecs(A) — вычисление собственных векторов квадратной матрицы А; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А; порядок следования векторов отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);
  •  eigenvec(A, l) — вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению l;
  •  lsolve(A, b) — решение системы линейных алгебраических уравнений Ax=b.

4.2 Задачи математического анализа в среде пакета Mathcad

4.2.1 Вычисление пределов

Для вычисления пределов предназначены три кнопки в панели Calculus панели математических инструментов:

 -   оператор вычисления предела функции в точке или на бесконечности;

и  -   операторы вычисления односторонних пределов соответсвенно справа и слева.

Для вычисления предела нужно:

  •  щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, затем щелкнуть по нужной кнопке, ввести с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение допредельной функции и предельной точки;
  •  выделить все выражение и щелкнуть по строке Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics (или щелкнуть по кнопке в панели символьных операций Symbolic).

4.2.2 Дифференцирование

Чтобы найти производную нужно:

  •  щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, щелкнуть в панели Calculus по кнопке , ввести с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение функции и аргумента;
  •  заключить все выражение в выделяющую рамку и щелкнуть по строке Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics  (или щелкнуть по кнопке в панели символьных операций Symbolic).

Чтобы найти производные высших порядков нужно:

  •  щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, щелкнуть в панели Calculus по кнопке , ввести с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение функции и аргумента;
  •  заключить все выражение в выделяющую рамку и щелкнуть по строке Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics  (или щелкнуть по кнопке в панели символьных операций Symbolic).

Чтобы найти производную с помощью меню нужно:

  •  ввести в рабочий документ выражение для функции;
  •  выделить аргумент и щелкнуть по строке Differentiate в пункте Variable меню Symbolics.

4.2.3 Интегрирование

Чтобы найти неопределенный интеграл нужно:

  •  щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, щелкнуть в панели Calculus по кнопке ,   ввести с клавиатуры в помеченных позициях выражение функции и имя переменной интегрирования;
  •  заключить все выражение в выделяющую рамку и щелкнуть по строке Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics  (или щелкнуть по кнопке в панели символьных операций Symbolic).

Чтобы вычислить определенный интеграл нужно:

  •  щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, щелкнуть в панели Calculus по кнопке ,   ввести с клавиатуры в помеченных позициях выражение функции, имя переменной интегрирования и пределов интегрирования;
  •  заключить все выражение в выделяющую рамку и щелкнуть по строке Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics  (или щелкнуть по кнопке в панели символьных операций Symbolic).

Чтобы найти неопределенный интеграл с помощью меню нужно:

  •  ввести в рабочий документ выражение для интегрируемой функции;
  •  выделить аргумент и щелкнуть по строке Integrate в пункте Variable меню Symbolics.

4.2.4 Суммирование рядов

Чтобы вычислить конечную сумму и сумму сходящегося ряда нужно:

  •  щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, щелкнуть в панели Calculus по кнопке ,   ввести с клавиатуры в помеченных позициях выражение функции, имя индекса суммирования, его первое и последнее значения (для рядов нужно ввести в качестве последнего значения символ бесконечности, щелкнув по кнопке в той же панели);
  •  заключить все выражение в выделяющую рамку и щелкнуть по строке Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics  (или щелкнуть по кнопке в панели символьных операций Symbolic).
    Чтобы получить вычисленное значение в десятичном формате, нужно выделить его, щелкнуть   по строке
    Floating Point в пункте Evaluate меню Symbolics и ввести в окне диалога требуемое число десятичных знаков.

Можно сразу получить значение суммы в десятичном формате, щелкнув вместо Symbolically по строке Floating Point.

4.2.5 Разложение функций по формуле Тейлора

Чтобы найти разложение функции по формуле Тейлора в окрестности любой точки из области определения функции нужно:

  •  щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, щелкнуть в панели Symbolic по кнопке ;
  •  ввести с клавиатуры перед ключевым словом  series выражение для функции, после ключевого слова - выражение <имя переменной = точка, в окрестности которой строится разложение> и степень старшего члена в разложении (знак равенства можно ввести, щелкнув по соответсвующей кнопке панели Boolean);
  •  щелкнуть в рабочем документе вне выделяющей рамки;
    в рабочем документе отображается только сам многочлен Тейлора (частичная сумма ряда Тейлора).

Чтобы найти разложение функции по формуле Тейлора с помощью меню нужно:

  •  ввести функцию, выделить переменную, щелкнуть по строке Expand to Series в пункте Variable меню Symbolics;
  •  ввести в окне диалога степень старшего члена в разложении и щелкнуть по кнопке Ok; в рабочем документе отображается соответствующее разложение с остаточным членом в форме Пеано.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30477. Особенности французского конституционного права 17.34 KB
  В конституции отсутствует обычная для современных актов глава о правах и свободах. и к преамбуле конституции 1946 г. Конституционный совет в своих решениях указывал на Декларацию и преамбулу конституции 1946 г. как на составные части действующей конституции и включил их в тот блок законов соответствие которому он проверяет.
30478. Форма правления и государственный режим во Франции 15.08 KB
  Принцип республики: Правление народа по воле народа и для народа ст. Указанный характер республики определяется: глава государства президент избирается помимо парламента а премьерминистр назначается президентом без согласия высшего представительного органа признаки президентской республики; в то же время правительство несет ответственность перед нижней палатой парламента парламентская форма правления. Элементами президентской республики во Франции являются непарламентский способ избрания президента наличие у него...
30479. Трехмерные и динамические метафоры в визуализации программного обеспечения параллельных и распределенных вычислений 42 KB
  Существенным недостатком современных систем отладки параллельных и распределенных вычислений является отсутствие отображения динамики программных процессов. Причем каких-либо вариантов представления последовательности кода
30480. GESTURE-BASED INTERFACE: TECHNOLOGY AND APPLICATION 35.5 KB
  Recently gesture-based interfaces are becoming more widely used. There are many advantages of gesture-based interfaces such as small learning time, wide availability (if they done properly), and, in some cases, the lack of manipulators, which is important for mobile devices
30481. ФИЗИОЛОГИЯ СПИННОГО МОЗГА И ГОЛОВНОГО МОЗГА. НЕРВНАЯ РЕГУЛЯЦИЯ ВЕГЕТАТИВНЫХ ФУНКЦИЙ 53.89 KB
  Объем функций, осуществляемых спинным мозгом, чрезвычайно велик. В нем находят центры всех двигательных рефлексов (за исключением мускулатуры головы), всех рефлексов мочеполовой системы и прямой кишки, рефлексов, обеспечивающих терморегуляцию, регулирующих метаболизм тканей
30482. Страхова послуга та особливості її реалізації 277 KB
  В умовах розвитку ринкових відносин, зростання конкуренції великого значення набувають питання забезпечення функціонування субєктів господарювання від наявних і потенційних загроз, створення дієвої системи захисту їх від впливу можливих негативних факторів.
30483. МОДЕЛИ ПЛАСТОВ И ПРОЦЕССОВ РАЗРАБОТКИ 1.99 MB
  Под моделью в широком научном смысле этого слова понимают реально или мысленно созданную структуру, воспроизводящую или отражающую изучаемый объект. Название модель происходит от латинского слова modulus, что означает «мера, образец»
30484. Физиология сенсорных систем. Физиология зрительной, слуховой и вестибулярной сенсорных систем 31.17 KB
  Живой организм постоянно подвержен воздействиям внешней среды. В самом живом организме тоже постоянно происходят изменения. И его существование невозможно, если он не будет получать постоянно информацию о всех изменениях во внешней и внутренней среде и во всех частях тела.
30485. Интерфейс на основе жестов для манипулирования трёхмерными виртуальными объектами и его применение в системах научной визуализации 43.5 KB
  Развитие вычислительных систем позволяют проводить моделирование сложных физических процессов со всё большей точностью. Однако увеличение объема вычисляемых данных приводит к усложнению обработки полученных сведений...