17594

Ряды динамики. Определение тенденции развития. Интерполяция и экстраполяция

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

11 Лекция 6. Ряды динамики ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. Понятие и виды рядов динамики. 2. Характеристики рядов динамики. 2.1. Показатели интенсивности изменения уровней ряда динамики 2.2. Средние показатели ряда динамики 3. Определение тенденции развития. Интерпол

Русский

2013-07-05

350 KB

31 чел.

11

Лекция 6. Ряды динамики

ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. Понятие и виды рядов динамики.

2. Характеристики рядов динамики.

2.1. Показатели интенсивности изменения уровней ряда динамики

2.2. Средние показатели ряда динамики

3. Определение тенденции развития. Интерполяция и экстраполяция.

4. Статистическое изучение сезонности.

1. Понятие и виды рядов динамики.

Ряд динамики - это последовательность чисел, которая характеризует изменение явления (объекта) во времени. Он состоит из двух граф: в первой графе записаны периоды времени (или даты), во второй - значения показателей, характеризующие изучаемое явление (объект) за указанные периоды (или на даты). Показатели второй графы носят название уровней ряда. Первый показатель называют начальным уровнем, последний – конечным. Уровень ряда будем обозначать буквой y, а время - буквой t (момент или интервал, к которому относится уровень ряда).

В зависимости от показателя различают ряды абсолютных, относительных и средних величин.

По признаку времени ряды делят на интервальные и моментные. В интервальном ряду приводятся данные, характеризующие величину показателя за конкретные периоды времени (сутки, неделю, месяц, год и т.п.). Следует отметить, что уровни интервального ряда можно суммировать. При этом получаются новые показатели, характеризующие значения объема явления за более длительные периоды времени. Пример интервального ряда динамики приведен в таблице 6.1.

Таблица 6.1

Средняя стоимость набора из 22 важнейших продуктов питания* по Луганской области в ценах торговой сети (на душу населения, гривен в месяц)

Годы

1996

1997

2000

Стоимость набора

59,78

62,89

115,44

* В стоимость 22 жизненно-необходимых продуктов питания входят: мука пшеничная в/с (1,53 кг), хлеб пшеничный (8,1 кг), вермишель (0,5 кг), крупа манная (0,55 кг), говядина (0,56 кг), свинина (1,1 кг), куры (0,95 кг), колбаса вареная 1 с. (1,18 кг), молоко (10,14 л), творог (0,45 кг), сыр твердый (0,14 кг), сметана (1,1 кг), масло животное (0,34 кг), яйца (2,5 дес.), сахар (1,64 кг), масло растительное (0,49 кг), картофель (10,17 кг), капуста (1,94 кг), морковь (0,63 кг), свекла (0,63 кг), лук (1,27 кг), яблоки (1,24 кг).

В моментном ряду проводятся данные, характеризующие величину показателя на определенный момент (дату) времени. Уровни моментных рядов динамики суммировать нельзя, так как каждый последующий уровень включает в себя предыдущий, следовательно, сумма не имеет смысла. Однако разность уровней имеет смысл, так как она характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда между рассматриваемыми датами. Пример моментного ряда динамики приведен в таблице 6.2.

Таблица 6.2

Распределение населения Луганской области по возрастным группам (на 01.01 соответствующего года, тыс. человек)

Годы

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1999

Все население

2866,4

2871,7

2880,3

2861,4

2821,4

2782,8

2668,1

В том числе в возрасте лет:

0-4

191,2

181,1

170,0

156,9

143,6

131,2

99,4

65-69

117,5

134,1

149,6

163,3

168,5

169,7

133,2

Трудоспособного возраста

1616,3

1611,6

1609,8

1595,0

1572,1

1551,4

1514,7

Если ряд динамики характеризует изменение одного показателя, то его называют одномерным, двух и больше - многомерным. Последние бывают двух видов: параллельные ряды и ряды взаимосвязанных показателей.

Параллельные характеризуют динамику или одного показателя относительно различных объектов, или различных показателей относительно одного объекта. Связь между показателями многомерного динамического ряда может быть функциональной или корреляционной.

При формировании рядов динамики следует обеспечить сопоставимость уровней, образующих ряд, т. е. произвести так называемое смыкание рядов динамики. Основным условием сопоставимости уровней является одинаковая методология их исчисления для всех моментов времени. При этом все уровни должны быть даны не только в одинаковых, но и в равноценных единицах измерения. Условием сопоставимости данных является также одинаковая полнота охвата различных частей явления, представленного рядом динамики. Уровни показателей в интервальных рядах динамики должны относится к периодам с одинаковой продолжительностью времени. В случае моментных рядов динамики должна соблюдаться неизменность даты учета (например, численность населения города на первое число первого месяца каждого года).

При изучении рядов динамики перед статистикой стоят следующие задачи:

  1.  охарактеризовать интенсивность развития явления от периода к периоду, а также среднюю интенсивность развития за исследуемый период;
  2.  выявить основную тенденцию в развитии явления;
  3.  осуществить прогноз развития на будущее;
  4.  изучить сезонные колебания.

2. Характеристики рядов динамики.

2.1. Показатели интенсивности изменения уровней ряда динамики

Вычисление характеристик рядов динамики основывается на сопоставлении уровней ряда. Различные показатели интенсивности можно сравнивать с переменной и постоянной базой (уровнем ряда). Если базой является предшествующий уровень, то она называется сменной, а сами характеристики - цепными. Если за базу выбран некоторый уровень ряда (часто начальный), то базу называют постоянной, а характеристики - базисными.

В дальнейшем, при расчете показателей будем использовать следующие обозначения:

– уровень любого периода (кроме первого), называемый уровнем текущего периода. При этом будем считать, что индекс i изменяется в пределах от 1 до n, где nчисло уровней ряда;

– продолжительность текущего периода;

уровень периода, предшествующего текущему;

уровень, принятый за постоянную базу сравнения (может быть начальным уровнем).

Для изучения интенсивности изменения уровней ряда динамики во времени вычисляются следующие показатели динамики (методы их расчета приведены в таблицах 6.3-6.7 и формулах 6.1-6.2, в этих формулах індекс i > 1):

абсолютный прирост () – характеризует размер увеличения (уменьшения) уровня ряда за определенный период;

Таблица 6.3.

Метод расчета абсолютного прироста

С переменной базой (цепные)

С постоянной базой (базисные)

коэффициент роста () – показывает во сколько один уровень ряда больше (меньше) другого;

Таблица 6.4.

Метод расчета коэффициента роста 

С переменной базой (цепные)

С постоянной базой (базисные)

темп роста (), % – показывает в процентах на сколько один уровень ряда больше (меньше) другого;

Таблица 6.5.

Метод расчета темпа роста 

С переменной базой (цепные)

С постоянной базой (базисные)

темп прироста (), % – это отношение абсолютного прироста к предыдущему или начальному уровню;

Таблица 6.6.

Метод расчета темпа прироста 

С переменной базой (цепные)

С постоянной базой (базисные)

абсолютное значение одного процента прироста () – это отношение абсолютного прироста к темпу роста;

Таблица 6.7.

Метод расчета абсолютного значения одного процента прироста 

С переменной базой (цепные)

С постоянной базой (базисные)

абсолютное ускорение роста (, i>2) – характеризует изменение абсолютного прироста,

;                                                    (6.1)

коэффициент ускорения (замедления) относительной скорости динамики (, i>2) – характеризует изменение темпа роста,

.                                                     (6.2)

Как следует из приведенных методов расчета характеристики рядов динамики связаны между собою таким образом;

1) Сумма абсолютных цепных приростов равняется общему абсолютному приросту за весь период:

,                                                  (6.3)

где - цепные абсолютные приросты, - конечный базисный абсолютный прирост.

2) Произведение цепных коэффициентов роста равняется конечному базисному коэффициенту роста:

;                                        (6.4)

3) С темпами прироста арифметические действия не производятся.

2.2. Средние показатели ряда динамики

Для характеристики интенсивности развития за длительный период определяются средние показатели ряда динамики. Методы их расчета приведены в таблице 6.8.

Таблица 6.8

Средние показатели ряда динамики

Наименование показателя

Метод расчета

1. Средний уровень ряда ();

   а) для интервального ряда

   б) для моментного ряда с равными интервалами

   в) для моментного ряда с неравными интервалами

2. Средний абсолютный прирост ()

3. Средний коэффициент роста ()

4. Средний темп роста (), %

5. Средний темп прироста (), %

6. Средняя величина абсолютного значения 1% прироста ()

При сравнении интенсивности развития явлений, которые отображаются двумя стохастически взаимосвязанными динамическими рядами, вычисляют коэффициент опережения. Он показывает, во сколько раз один ряд динамики растет быстрее другого и представляет собой отношение базисных коэффициентов роста двух динамических рядов за одинаковые промежутки времени т.е.

,                                                (6.5.)

где  - конечный базисный коэффициент роста одного ряда (обычно больший),  - конечный базисный коэффициент роста второго ряда динамики.

Коэффициент опережения можно также определять путем сопоставления темпов прироста двух рядов динамики т.е.

,                                                (6.6.)

где  - конечный базисный темп прироста одного ряда (обычно больший),  - конечный базисный темп прироста второго ряда динамики. Если интервалы времени одинаковы, можно сопоставлять базисные характеристики, если интервалы времени неодинаковые - средние.

Рассмотрим на примере применение этих показателей.

Пример 6.1

Имеем данные о производстве грузовых вагонов по Луганской области за 1991-1997 годы (табл.6.9):

Таблица 6.9

Производстве грузовых вагонов по Луганской области за 1991-1997 годы

Год

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

Вагоны грузовые, штук ()

2876

1710

1165

151

170

114

190

Определить вид ряда динамики. На основе вычисленных характеристик ряда динамики сделайте выводы о тенденции. Рассчитайте за период 1991-1997 гг. среднее количество вагонов за год, среднегодовые темпы роста (падения) производства вагонов.

Имеем интервальный ряд динамики с равными интервалами. Число уровней n=7. За базу примем 1991-й год.

Средний уровень (количество за год) рассчитывается по формуле простой средней арифметической

Показатели динамики приведены в табл. 6.10.

Таблица 6.10

Расчет показателей динамики

Год

Вагонов, штук

Абсолютный прирост , шт.

Коэффициент роста

Темп роста , %

Темп прироста , %

Абсолютное значение 1% прироста, %

цепной

базисный

цепной

базисный

цепной

базисный

цепной

базисный

1991

2876

-

-

1,00

1,00

-

-

-

-

-

1992

1710

1993

1165

1994

151

1995

170

1996

114

1997

190

Итого

X

X

X

X

X

X

X

X

Абсолютные приросты за 1991-1997 года (цепные):

штук;

штук;

штук;

штук;

штук;

штук.

Абсолютные приросты за 1991-1997 года (базисные):

штук;

штук;

штук;

штук;

штук;

штук.

Коэффициенты роста за 1991-1997 годы (цепные):

;

;

;

;

;

.

Коэффициенты роста за 1991-1997 годы (базисные):

;

;

;

;

;

.

Темпы роста за 1991-1997 годы (цепные):

;

;

;

;

;

.

Темпы роста за 1991-1997 годы (базисные):

;

;

;

;

;

.

Темпы прироста за 1991-1997 годы (цепные):

;

;

;

;

;

.

Темпы прироста за 1991-1997 годы (базисные):

;

;

;

;

;

.

Абсолютное значение одного процента прироста:

;

;

;

;

;

.

Найдем среднегодовой абсолютный прирост:

штук.

Средний коэффициент роста определим по формуле:

.

Средний темп роста определим по формуле:

.

Средний темп прироста определим по формуле:

.

Среднюю величину абсолютного значения одного процента прироста найдем по формуле:

штук.

Проделанные расчеты показывают, что за период с 1991 по 1991 год производство грузовых вагонов в Луганской области снижалось каждый года в среднем на 447,67 штуки или на 36,4%. Сравнительный анализ цепных темпов роста и прироста дает возможность сказать, что наиболее резкое падение было в 1994 году (87%). В 1997 году наметился подьем производства на 67% по сравнению с предыдущим годом. Однако, следует заметить, что в 1997 году производилось только 7% от числа вагонов произведенных в 1991 году.

Эмпирически равные рядов динамики изменяются вследствие действия различных факторов. Хотя характер их колебания неодинаков, тем не менее, можно выделить наиболее характерные особенности, например тенденции развития или сезонные колебания, и с помощью статистических методов количественно их измерить.

4. Определение тенденции развития. Интерполяция и экстраполяция.

Тенденция (тренд) - направление развития определенного явления. В некоторых случаях тенденцию можно установить зная значения уровней ряда . По этим значениям строим эмпирический график зависимости y от t. В экономических процессах можно выделить следующие графические представления основных тенденций.

Равномерный рост (снижение) представлено на рис. 6.1, замедленный рост (снижение) - на рис. 6.2, ускоренный рост (снижение) на рис. 6.3.

Если же под влиянием случайных факторов уровни ряда не проявляют четкой тенденции развития, то для ее выявления (описания) применяют специальные статистические методы. С этой целью производят сглаживание (укрупнение) ряда.

К наиболее простым методам сглаживания ряда относятся методы ступенчатых (переменных) средних и скользящих средних.

Ступенчатые средние это средние вычисленные  по укрупненным интервалам времени. При этом первичные (эмпирические) уровни заменяются средними уровнями. Укрупнение интервала обычно начинают с наименьшего, то есть объединяют два периода. При этом первичные уровни заменяются средними арифметическими для двух периодов, т.е. значениями

;

Число ступенчатых средних при этом равно целой части от n/m, где n – число первичных уровней ряда, m-число укрупняемых интервалов (в данном случае m=2).

Если, при этом, тенденция еще не проявляется достаточно четко, то переходят к следующему интервалу, объединяющему три периода. При этом первичные уровни заменяются средними арифметическими для трех периодов, т.е. значениями

;

Число ступенчатых средних при этом равно целой части от n/3, где n – число первичных уровней ряда.

При необходимости вычисляют средние для 4-х периодов и так далее.

Скользящие средние - это средние вычисленные по увеличенным интервалам при последовательном передвижении на один интервал. Период скользящей средней может быть четным и нечетным. Рекомендуется использовать нечетный период, так как в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине укрупняемого интервала.

Скользящие средние с продолжительностью периода, равной двум, следующие:

Скользящие средние с продолжительностью периода, равной трем, следующие:

Число скользящих средних равно  где n – число уровней исходного ряда, m – величина периода.

Для четного периода иногда выполняют центрирование данных, т. е. находят средние из средних и определяют серединный период.

При вычислении указанных средних колебания динамического ряда сглаживаются, но недостатком метода есть то, что сглаженный ряд короче эмпирического. Кроме того, новый ряд из средних лишь иллюстрирует тенденцию, но не дает возможности количественно ее измерять.

Если в динамическом ряду наблюдаются периодические колебания, то укрупненный интервал следует брать равным периоду колебания. Укрупненные интервалы «сглаживают» случайные колебания, но не отображает изменение уровней внутри увеличенного интервала.

Проявить тенденцию и количественно ее измерять дает возможность метод аналитического выравнивания. Суть этого метода состоит в том, что находятся уравнения, выражающие закономерность изменения процесса (явления) как функцию времени  При этом применяются трендовые модели - математические функции, с помощью которых описывается основная тенденция. Вид трендовой модели зависит от специфики процесса, характера его динамики: равномерное, ускоренное или замедленное возрастание или уменьшение уровней ряда. Выбор вида уравнения может быть основан на анализе рассчитанных показателях динамики или на эмпирическом графике ряда динамики, а именно:

· если относительно постоянны абсолютные приросты (график 6.1) используется линейная функция

· если абсолютные приросты равномерно увеличиваются (уменьшаются) можно использовать параболу второго порядка (квадратичную функцию)

· если абсолютные приросты ускоренно возрастают (уменьшаются) (графики 6.2-6.3) можно использовать гиперболическую функцию

· если относительно стабильны темпы роста можно использовать показательную функцию .

Неизвестные коэффициенты a, b или c проще всего определять с помощью метода наименьших квадратов (НМК). В этом случае приходим к необходимости решения систем уравнений для нахождения этих коэффициентов, аналогично тому как при корреляционно регрессионном анализе.

Данная система будет более простой, если за начало отсчета выбрать середину ряда. При этом периоды времени обозначаются натуральными числами (положительными и отрицательными).

Иногда возникает необходимость в нахождении отсутствующих промежуточных уровней ряда. Эта процедура имеет название интерполяции и проводится из обзора общей тенденции развития за период, который исследуется.

При прогнозировании экономических показателей используют другое статистическое средство - экстраполяцию. При этом вычисляют значения уровней за пределами имеющихся фактических данных. При экстраполяции выходят из предположения, что выявленная тенденция будет сохраняться и в дальнейшем. Для проведения этой операции необходимо в уравнение тренда подставить значение t в соответствии с продолжением исходного ряда и рассчитать значение уровня ряда. Кроме того, интерполяцию и экстраполяцию можно осуществлять с помощью многочленов Лагранжа или Ньютона. В последние годы для интерполирования используются кубические сплайны.

5. Статистическое изучение сезонности.

Многие процессы в обществе и экономике проходят под влиянием сезонных колебаний, так как их уровень из года в год в некоторые месяцы увеличивается или уменьшается. Такие внутренние колебания имеют более менее регулярный характер и носят название сезонных. Они обусловливаются различными факторами, в том числе и природно-климатическими.

Перед статистикой стоит задача выявить колебания и их измерить. Обнаружить и измерять сезонные колебания можно с помощью графического метода. В этом случае применяют линейные диаграммы, на которые наносят данные об объеме явления по месяцам не менее чем за три года.

Целесообразно для выявления сезонных колебаний использовать среднемесячные уровни за каждый месяц. Эти уровни исчисляются путем деления общего объема явления за месяц на число календарных дней в месяце, что позволяет исключить влияние различной продолжительности месяцев.

Измеряются сезонные колебания (сезонная волна) при помощи особых показателей, которые называются индексами сезонности -Iсез. Их расчет выполняют двумя методами в зависимости от характера динамики.

Если годовой уровень явления из года в год остается неизменным (тренд отсутствует), то индексы сезонности исчисляются по формуле

где - средняя из фактических уровней одноименных месяцев (для одного года – средняя за месяц);

- общая средняя за исследуемый период.

Если уровни сезонного ряда имеют тенденции к развитию (понижение или повышение) т.е. имеется тренд, то индексы сезонности определяются по формуле

где - средняя из фактических уровней одноименных месяцев (для одного года – средняя за месяц);

- средняя из сглаженных средних (скользящих или ступенчатых) или аналитически выровненных средних одноименных месяцев.

На основе вычисленных индексов сезонности строится линия сезонности в виде линейного графика.

Вопрос для самоконтроля.

1. Чем отличается моментный ряд от интервального? Приведите примеры.

2. Что характеризует собою ряд динамики? Назовите его элементы.

3. Как вычислить средний уровень моментного ряда при неравных, интервалах между датами?

4. Как определить абсолютный прирост выпуска продукции за 1990— 1996 гг.? Какой темп роста за этот же период?

5. Как изменяются темпы роста при стабильных абсолютных приростах?

6. Как изменятся абсолютные приросты при стабильных темпах роста?

7. С какой целью вычисляется коэффициент опережения?

8. Сколько пятилетних скользящих средних можно определить для ряда из 15 уровней?

9. Объясните экономический смысл параметров функции тренда, который описывает динамику урожайности сахарной свеклы за 1975-1987 гг.: Y== 245 + 12,3t.

10. Объясните экономический смысл параметров уравнения тренда, который описывает динамику товарообороту на душу населения за 1971-1987 гг.: Y= 147•1,07t.


t

y(t)

Рис. 6.1. График равномерного роста  (

) снижения  (            ).

) снижения  (            ).

ис. 6.2. График замедленного роста  (

y(t)

t

) снижения  (            ).

Рис. 6.3. График ускоренного роста   (

y(t)

t


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68215. СУЛЬФАТРЕДУКУЮЧІ, ТІОНОВІ, ДЕНІТРИФІКУЮЧІ БАКТЕРІЇ В ПРИБЕРЕЖНІЙ ЗОНІ ЧОРНОГО МОРЯ І ЇХНЯ РОЛЬ У ТРАНСФОРМАЦІЇ НАФТОВИХ ВУГЛЕВОДНІВ 532.5 KB
  В 80х роках минулого сторіччя у відділі морської санітарної гідробіології Інституту біології південних морів НАН України вивчали деякі групи анаеробних бактерій біля узбережжя Криму та в західній частині Чорного моря Миронов 1988.
68216. КРІОКОНСЕРВУВАННЯ ТРОМБОЦИТІВ ДОНОРСЬКОЇ КРОВІ ЛЮДИНИ У БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ КРІОЗАХИСНИХ СЕРЕДОВИЩАХ 362.5 KB
  При розробці методів кріоконсервування та довгострокового зберігання тромбоцитів при низьких температурах головна увага дослідників була сконцентрована на виборі кріопротектора і створенні на його основі ефективного кріоконсерванта.
68217. Цукровий діабет 1 типу у дітей і підлітків: особливості перебігу та можливості оптимізації терапії 1.39 MB
  Особливою групою серед хворих на цукровий діабет ЦД 1 типу є діти і підлітки а також пацієнти що хворіють з дитинства через тяжкість гострих ускладнень ранній розвиток судинних і органних уражень які обумовлюють високий ступінь інвалідізації хворих та часті випадки смерті у молодому віці...
68218. ПРАВОВІ ЗАСАДИ ФІНАНСУВАННЯ МІЛІЦІЇ З ДЕРЖАВНОГО ТА МІСЦЕВИХ БЮДЖЕТІВ 178 KB
  Чинна правова основа фінансування міліції за рахунок коштів Державного бюджету України передбачена в ст. Необхідність реформування міліції приведення її у відповідність до суспільних потреб і можливостей держави визначалася з перших років незалежності України і досить широко декларувалася.
68219. ПІДГОТОВКА АСПІРАНТІВ ДО ІННОВАЦІЙНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ У ВИЩОМУ НАВЧАЛЬНОМУ ЗАКЛАДІ 170.5 KB
  Нові пріоритети та соціокультурні цінності, що зумовлюють необхідність інноватизації змісту, засобів, форм і методів підготовки аспірантів як майбутніх наукових і науково-педагогічних кадрів сучасної вітчизняної вищої школи, спрямованої на успішну інтеграцію в єдиний європейський науково-освітній простір...
68220. Конституційні гарантії особистої безпеки в Україні 153.5 KB
  На її основі ООН було підготовлено і 1966 року відкрито для підписання та ратифікації Міжнародний пакт про економічні соціальні та культурні права а також Міжнародний пакт про громадянські та політичні права які Україна ратифікувала 1973 року.
68221. ВИРОБНИЦТВА ПРОДУКЦІЇ ПТАХІВНИЦТВА В СІЛЬСЬКОГОСПОДАРСЬКИХ ПІДПРИЄМСТВАХ 278 KB
  Насамперед це підвищення ефективності функціонування на основі зниження собівартості продукції. Важливого значення набуває проведення функціонального аналізу тенденцій розвитку птахівництва за допомогою якого можна було б виявити резерви збільшення обсягів виробництва продукції й отримання...
68222. СОЦІАЛЬНА ПОЛІТИКА ТА МЕХАНІЗМИ ЇЇ РЕАЛІЗАЦІЇ В УКРАЇНІ (ПОЛІТОЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ) 179.5 KB
  Актуальність дисертаційного дослідження зумовлена значимістю соціальної політики для повноцінного функціонування суспільства загалом його політичної економічної гуманітарної складових для розвитку громадянського суспільства й політичної системи.
68223. ОСОБЛИВОСТІ Я-КОНЦЕПЦІЇ ОСІБ ЮНАЦЬКОГО ВІКУ З ВИСОКИМ РІВНЕМ НЕВРОТИЧНОСТІ 430 KB
  Соціально-психологічні умови в Україні та й в багатьох інших державах світу в останні роки стають все більш нестабільними, кризовими, породжують довготривалі внутрішні конфлікти, емоційну напругу, тривогу, що сприяє наростанню невротизації населення.