17787

Визначник і мінори матриці

Лекция

Математика и математический анализ

Визначник і мінори матриці Розглянемо квадратну матрицю А = Квадратній матриц і можна поставити у відповідність певне число яке називається детермінантом або визначником матриці. Детермінант матриці позначається так: det A= Детермінант так само як і матриці має ...

Украинкский

2013-07-05

78.8 KB

18 чел.

Визначник і мінори матриці

Розглянемо квадратну матрицю 

А =

Квадратній матриц і можна поставити у відповідність певне число, яке називається детермінантом або визначником матриці. Детермінант матриці позначається так:

det A=

Детермінант так само, як і матриці, має порядок. Він дорівнює порядку відповідної матриці. Детермінанти можуть бути першого, другого і n-го , порядків. Поняття детермінанта вводиться лише для квадратних матриць. Якщо розглянути деякий елемент квадратної матриці А, який позначимо , що стоїть на перетині i-го рядка та j-го стовпця, і побудувати матрицю без цього рядка і стовпця, то дістанемо матрицю (п - 1 )-го порядку

Цій матриці відповідає визначник (n-1)-го порядку, який називається мінором матриці А, який відповідає елементу

Мінором (n-1)-го порядку елемента  матриці п-го порядку називається визначник нової матриці, яка утворюється з даної матриці  внаслідок викреслювання  рядка і стовпця,  які  перетинаються на цьому елементі. Мінор матриці позначається так:

=

У матриці першого порядку А =() за означенням мінора немає. Матриця   другого   порядку   A= має   чотири   мінори першого порядку:

;  .

Для матриці A мінори ,  називаються головними.

Тепер означимо детермінант порядку п. де п >  1, як величину, що можна знайти за формулою: det A=.  

Це означення є змістовним у індуктивному плані. Наприклад,

det  ==.

Як бачимо, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів, які стоять на головній і побічній діагоналях.

Якщо маємо визначник третього порядку, то

det   ==

 Таким чином, =.

Перший доданок у цій рівності є добутком елементів, розміщених на головній діагоналі. Два наступних доданки є добутками елементів,

 

два з яких лежать на прямій, паралельній головній діагоналі, а третій — на вершині побічної діагоналі. При цьому всі три добутки беруться із своїми знаками. Наступні три доданки утворюються аналогічно, але замість елементів головної діагоналі треба взяти елементи, які стоять на побічній діагоналі, і всі добутки записати з протилежними знаками. Це правило знаходження визначника третього порядку називається правилом трикутників. 

Правило   трикутників    можна замінити   правилом   «приписування» стовпців, яке передбачає приписування  двох  перших  стовпців  справа від визначника:

Легко помітити, що співмножники кожного з шести доданків травила трикутників тепер розміщуються на прямих, паралельних головній і побічній діагоналям.

Введемо поняття алгебраїчного доповнення елемента позначивши його через .                        

Тоді визначення детермінанта можна записати у вигляді   det A=  і довести, що   det A= ,  або

det A=, j=1, 2, …, n.

Ця формула  називаються розкладом детермінанта за елементами рядка або стовпця.

Визначник дорівнює сумі добутків елементів  деякого  рядка(стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів.

Запишемо розклад визначника третього рядку за елементами, наприклад, першого рядка:  det =,  де

=,  =,  =.

Таким чином, щоб розкрити визначник третього порядку, можна використати три правила: привило трикутників, правило приписування рядків і правило розкладання за елементами якого-небудь стовпця або рядка.

Приклад 3.1. Обчислити визначник

∆=

Розв’язування. Розкладемо визначник за елементами четвертого рядка:

∆=0+0+.

Розкриваючи визначник третього порядку за правилом трикутників або приписування стовпців,  дістанемо

∆=(-2)*12+18*2=12

Властивості визначників

. Значення визначника не змінюється, якщо всі його рядки замінити стовпцями, причому кожний рядок замінити стовпцем з тим самим номером.

Ця властивість означає рівнозначність рядків і стовпців визначника.

. Якщо поміняти місцями два стовпці (рядки) визначника, то визначник поміняє знак на протилежний.

Для доведення властивостей 1° і 2° достатньо розкрити кожний визначник і порівняти знайдені результати.

. Визначник, який має два однакові стовпці (рядки), дорівнює нулю.

Дійсно, нехай визначник ∆  має два однакові стовпці. Тоді, помінявши місцями ці стовпці, дістанемо визначник, що дорівнює -∆, тобто ∆ =-∆, звідси знаходимо 2∆ = 0, або ∆ = 0.

. Якщо всі елементи якого-небудь стовпця (рядка) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника. Наприклад,

=.

Звідси як наслідок маємо, що коли помножити всі елементи якого-небудь стовпця (рядка) на одне і те саме число, то і визначник помножиться на це число.

Якщо елементи стовпця визначника подати як компоненти вектора, то властивість 4° випливає із означення операції множення вектора на число.

. Визначник, елементи двох стовпців (рядків) якого відповідно пропорціональні, дорівнює нулю.

Дійсно, нехай маємо визначник

∆=

в якому 4°, дістанемо

∆=

. Якщо кожний елемент якого-небудь стовпця (рядка) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких стовпцями (рядками) є відповідні доданки, а решта збігається із стовпцями (рядками) заданого визначника:

Якщо позначити

∆==, =,

∆=+

тобто властивість 6° виражає правило додавання визначників.

7°. Визначник не зміниться, якщо до елементів якого-небудь його стовпця (рядка) додати відповідні елементи іншого стовпця (рядка), помножені на одне і те саме число.

Справді, нехай дано два визначники, наприклад, третього порядку:

∆= і =.

Тоді з урахуванням властивостей 3°, 4° і 6°, маємо

.

8°. Сума добутків елементів щ; деякого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю:

  i ≠ j;  i, j=1,2,…,n.

Скалярна форма лінійної залежності і незалежності системи векторів

Для вирішення питання  про лінійну залежність (незалежність) системи векторів  1,2, ..., k  вираз  +

запишемо в скалярній формі:   + +…+=,   

Або         

Ця система називається лінійною однорідною системою рівнянь з невідомими . Вона має завжди так званий тривіальний або нульовий розв'язок (0, 0..... 0). Якщо крім тривіального розв'язку в системі існують й інші розв'язки, то система даних векторів лінійно залежна, а якщо система, крім тривіального, інших розв'язків не має, то система даних векторів буде лінійно незалежною. Систему  завжди можна розв'язати методом виключення відносно невідомих

Приклад 3.2. Показати, що вектори  1 = (1, 3)  і   = (2,6) лінійно залежні.

Розв'язання. Складемо лінійну   комбінацію векторів:

=+=

і з'ясуємо, при яких  виконується рівність        

Це векторне рівняння рівносильне системі рівнянь      

Поділивши обидві частини другого рівняння на 3, помічаємо, що рівняння системи однакові, тобто

.

Це рівняння має не рівні нулю розв'язки для  .Наприклад, при =-1  рівність (2.19) виконується. Тому вектори  (1, 3) і   = (2,6) лінійно залежні.

Теореми про лінійно залежні і лінійно незалежні вектори

Теорема 3.1. Якщо система векторів    лінійно залежна, то після приєднання до неї будь-якої кількості нових векторів знову утворюється лінійно залежна система

Доведення. Це випливає із рівності

в якій серед  є такі,  які відрізняються від нуля, а всі

,…,.

Нехай задано систему векторів а1, а2. ..., ак. Будь-яку частину цієї системи векторів назвемо її підсистемою. Тоді теорему 3.1 можна сформулювати так: Якщо будь-яка підсистема даної системи векторів лінійно залежна, то і сама система, лінійно залежна.

Для системи лінійно незалежних векторів справедливе таке твердження:

якщо система складається із лінійно незалежних векторів, то будь-яка її підсистема також складається із лінійно незалежних  векторів.

Теорема 3.2. Для того щоб система із к векторів була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб хоча б один із п векторів був лінійною комбінацією решти векторів.

Теорема 3.3. Будь-яка система векторів, до якої входить нуль-вектор, є лінійно залежною.

Теорема 3.4. Якщо система векторів 1,2, ..., k  лінійно незалежна, а система векторів 1,2, ..., k ,  - лінійно залежна, то вектор  є лінійною комбінацією решти векторів системи.

Доведення. Рівність      

можлива лише при  0, тому що в протилежному випадку дана система буде лінійно незалежною. З останньої рівності знаходимо

Позначивши      ; ;…; ,

Дістанемо           

Теорема 3.5. Якщо  ....  — лінійно незалежна система векторів, а вектор  не можна подати у вигляді лінійної комбінації цих векторів, то система векторів  .... ,  є лінійно незалежною.

Цю теорему легко довести від супротивного.

Базис. Лінійний підпростір. Ранг матриці

Будь-яку впорядковану сукупність п векторів називають базисом деякого простору, якщо:

  1.  Усі вектори даної сукупності лінійно незалежні;
  2.  Будь-який вектор цього простору є лінійною комбінацією даної сукупності векторів

 Теорема 3.6.У n- вимірному просторі система векторів  =(1,0,0,..., 0),

  = (0,1, 0,...,0),. . .,   (0,0.0,…,1)  є базисом цього простору.

Доведення. Доведемо, що вектори ,…, лінійно незалежні. Для цього треба довести, що векторне рівняння  має лише єдиний розв’язок : .

2)Легко помітити, що будь-який вектор   з відмінними від нуля компонентами    

тобто система    є базисом. Базис    називають

ортонормованим,  а рівність— розкладом  вектора      у лінійному просторі за ортонормованнм базисом.

Для тривимірного простору ортонормовані вектори базису називаються: ортами і позначаються так:

(0,1,0);

Розклад вектора для тривимірного простору має вигляд

=  +  + . Оскільки ,є проекціями вектора  на осі координат, то     =  + + .                                                 

Теорема 3.7. Будь-яка впорядкована система п лінійно незалежних векторів  ....  п-вимірного простору є його базисом.

Для доведення того, що система векторів ....   є базисом,

достатньо довести,  що  система  векторів   ,    ....   до    — будь-який відмінний від нуля вектор n-вимірного лінійного простору, лінійнозалежна.

Доведення.   Запишемо  лінійну  комбінацію векторів ,    .... :                  µ=0. Виражаємо вектори  через вектори базису

:      i,j=1,2,…,n,  тоді    µ, або

µ

Звідси випливає, що   є лінійною комбінацією векторів , тобто µ ≠0. Це означає, що система ,    ....  лінійно залежна Будь-який вектор  є лінійною комбінацією векторів .... :                            

Теорему доведено

Числа  називаються координатами вектора  в базисі                    .... Вираз   називають розкладом вектора  за базисом .... . Можна стверджувати, що один і той самий вектор у різних базисах має різні компоненти. Однак в одному і тому самому базисі компоненти вектора визначаються однозначно.

Теорема 3.8. У заданому базисі компоненти вектора визначаються однозначно.

Доведення.  Припустимо,  то вектор     в базисі    ....  має різні компоненти:

=() і . Тоді можна записати

    та           

Віднімаючи від рівності дістанемо +                              

Оскільки вектори   .... . -лінійно незалежні, то рівність  можлива тільки при

,

звідки  ,.

Отже, розклад  єдиний.

Наслідок. У п-вимірному лінійному просторі максимальне число лінійно незалежних векторів дорівнює числи його вимірів (розмірності).

Доведення. Раніше було доведено, що у n-вимірному просторі лінійно незалежних векторів є п, а додавання одного вектора, відмінного від нуль-вектора, робить систему векторів лінійно залежною.

Відповідно до цього наслідку можна дати таке означення розмірності простору: максимальне число лінійно незалежних векторів простору називається розмірністю простору.

У нульовому просторі немає базису, оскільки система, яка складається з нуль-вектора, лінійно залежна. Тому розмірність нульового простору приймається рівною нулю. Може статись, що набір векторів простору з будь-яким номером є лінійно незалежною системою векторів. Тоді простір вважається нескінченновимірним.

Розглянуті теореми  стосовно до наочних просторів дають змогу сформулювати такі твердження:

1. Будь-які два паралельні вектори  і  на площині є лінійно нєзалежними, а будь-які три вектори  і  лінійно залежними, причому будь який третій вектор можна подати у вигляді лінійної комбінації двох лінійно незалежних векторів;

,                                    

2. Будь-які три вектори  і . які непаралельні і не лежать в одній площині, є лінійно незалежними. Причому будь-який, четвертий вектор  є лінійною комбінацією трьох даних векторів:

.                              

Зазначимо, що вектори, розміщені в одній і тій самій площині або паралельні одній і тій самій площині, називаються компланарними.  Умові компланарності векторів    і       .. Іноді цю умову записують ще й у вигляді

,                           

Множина векторів називається лінійним підпростором (лінійним многовидом), якщо сума будь-яких векторів цієї множини є вектором, який належить до цієї самої множини, і добуток числа на вектор цієї множини є вектором, який належить до цієї самої множини.

Так, двовимірний простір є підпростором тривимірного простору, оскільки сума будь-яких двох векторів, які належать деякій площині, належить цій самій площині; те саме стосується і множення вектора на число.

Будь-який лінійний простір можна розглядати як підпростір. Нульовий простір (простір, який складається тільки з нульового вектора) є нульовим підпростором.

Розмірність підпростору визначається так само, як і для простору,— максимальним числом лінійно незалежних векторів

Два підпростори  збігаються, якщо будь-який вектор  належить і навпаки.

З підпросторами можна виконувати дії додавання і множення (перерізу). Так, перерізом двох підпросторів  і  називається підпростір, який складається з векторів, що належать одночасно двом підпросторам.

Поняття мінора можна ввести і для прямокутної матриці. Для цього треба з прямокутної матриці закреслити стільки рядків і стовпців, щоб після закреслювання утворювалась квадратна матриця.

Наприклад, для матриці

A=

можна побудувати чотири квадратні матриці третього порядку:

=.=.

=.=.

Кожний з визначників цих матриць буде мінором матриці А.

Нехай дано матрицю розміру т х п:

A=.

У цій матриці вибираємо які-небудь 5 рядків та 5 стовпців і побудуємо квадратні матриці для кожної такої комбінації. Визначники цих матриць є мінорами матриці А.

Введемо поняття рангу матриці. Якщо матриця має відмінний від нуля мінор порядку r, а всі мінори вищого порядку (якщо вони є) дорівнюють нулю, то число r називається рангом матриці. Це записують так: r = rang А. Ранг нуль-матриці за означенням вважають рівним нулю. Відмінний від нуля мінор найвищого порядку називається базисним. Зрозуміло, що у матриці може бути декілька базисних мінорів. Стовпці матриці, на яких міститься базисний мінор, називаються базисними стовпцями, а рядки, на яких він лежить,- базисними рядками.

Теорема 3.9 (про базисний мінор). Базисні стовпці (рядки) лінійно незалежні. Будь-який рядок (стовпець) довільної матриці є лінійною комбінацією базисних рядків (стовпців).

Доведення цієї теореми не наводимо. Із теореми  випливає такий наслідок.

Наслідок. Максимальне число лінійно незалежних стовпців матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків  і це число дорівнює рангу матриці.

Якщо рядки (стовпці) матриці являють собою координати векторів, то ранг матриці розміру т х п дорівнює числу r її лінійно незалежних векторів. При цьому   r < т < п. Число лінійно незалежних векторів у системі векторів називають рангом системи векторів. Ранг системи векторів дорівнює рангу матриці, яка складається із координат цих векторів.                                                                 .

Для визначення рангу матриці використовується метод обвідних мінорів, що ґрунтується на такій теоремі.

Теорема 3.10. Якщо матриця А містить мінор r-го порядку, який не дорівнює нулю, а всі мінори (r +1)-го порядку, що обводять цей мінор, дорівнюють нулю, то r є рангом матриці.

Приклад 3.3. Визначити ранг матриці

A=

Розв'язання. Запишемо матриці третього порядку.

=,=,

=,=.

Мінор першого порядку, розмішений у верхньому куті матриці , не дорівнює нулю (1 ≠ 0). Обвідний її мінор другого порядку також не дорівнює нулю.

=5≠0.

Обвідний мінор третього порядку матриці

=0.

Інші матриці ,, дадуть ті самі результати, що і матриця .

Відповідь r (А) = 2

Для  обчислення рангу матриці А  застосовується також метод елементарних перетворень.

Елементарними перетвореннями матриці є:

1)  перестановка рядків (стовпців);

2)  множення стовпця (рядка) на число, відмінне від нуля;

3)  додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), попередньо помножених на деяке число.

Справедлива така теорема.

Теорема 3.11. Елементарні перетворення не змінюють ранга матрииі.

Скориставшись цими перетвореннями, матрицю можна привести до вигляду, коли усі  елементи, крім rmin(m,n), дорівнюють нулю. Тоді ранг матриці дорівнює r.

Приклад 3.4.Знайти ранг матриці            A=.

Розв'язання. Застосовуючи послідовно елементарні перетворення, дістанемо    A=.

Відповідь   r = 2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54542. Экономический либерализм и направления его исследований 17.37 KB
  Формирования в развитых странах мира основ рыночных экономических отношений повлекло за собой государственное вмешательство в экономическую деятельность, которое являлось основной преградой в приумножении национального богатства и в достижении согласованности во взаимоотношениях хозяйствующих субъектов как на внутреннем
54543. Неоклассическое направление развития экономической теории 17.42 KB
  Создание неоклассического направления связано с работами английского экономиста Альфреда Маршалла (1842–1924). Именно он со своими «Принципами Экономикса» считается основателем англо – американской школы экономической науки, получившей значительное влияние и в других странах
54544. Делимость натуральных чисел 1.71 MB
  Как не выполняя деления определить делится ли данное число на 9 на 3 Работа с карточками У каждого учащегося на парте лежат карточки с числами: 2 3 5 910 Учитель показывает число учащиеся поднимают карточку с его делителями. Задание 1 Проверка: Задание 2 Проверка: Какие числа называются простыми какие составными Назовите простые числа пятого десятка 41; 43; 47 второго десятка 11; 13; 17; 19.
54545. NATURE. ENVIRONMENTAL PROTECTION 69 KB
  The biggest polluter today is the car. Exhaust fumes are the main cause of bad air quality, which can make people feel ill and have difficulty breathing. This problem is especially bad in some cities where on days when there is not much wind, a brown layer of smog hangs in the air. The number of cars is increasing every year, and this causes serious congestion. Governments then build new roads to try to improve the situation, but this means that they cut down trees and destroy more of the countryside.
54546. Nature and Weather 57 KB
  Aims of the lesson. To develop academic communication skills, critical thinking, students’ listening comprehension. To encourage responsible leadership, stimulate research activities using new technologies. To help people to understand the global threats facing our planet and take actions to improve the situation.
54547. Натюрморт. Тоновий малюнок 340 KB
  Мета уроку: продовжувати знайомство з жанром натюрморту; формувати вміння передавати форму об’єм; фактуру предмета працювати над композицією розвивати спостережливість гостроту зору. Під кінець роботи обов’язково розглянути малюнок з певної відстані. Малюнок 1 Малюнок 2 Малюнок 3 Малюнок 4 Малюнок 5 Малюнок 6 Малюнок 7.
54548. Бабусина наука 33 KB
  Щоб ми швидше дістались її дому бабуся нам підказала коротку дорогу. Діти рухаються згідно інструкції Бабуся виходить з хати. Бабуся: Добрий день мої дорогенькі Як я рада вас бачити Ви так виросли Ви ж збираєтесь іти до школи Готові 2. Бабуся: Зараз я перевірю на дошці виставлено 10 тварин та 10 птахів.
54549. ЯК ПИСАТИ НАУКОВУ РОБОТУ З ФІЛОЛОГІЇ 82 KB
  Безумовно сьогоднішній учитель має можливість через інет†знайти вимоги до змісту та оформлення роботи наприклад на сайтах МАНУ та МОНУ: mn. Я маю чималий досвід цієї роботи: 15 моїх учнів захищали наукові роботи усі брали участь у конкурсізахисті обласного рівня лише двоє не отримали призових місць четверо захищали роботи на Всеукраїнському рівні усі мали призові місця два І місця та два ІІІ м. Пропоную до Вашої уваги деякі порадиспостереження що народилися в процесі багаторічної роботи з учнями над науковими дослідженнями....
54550. Біологія – наука про живу природу 162 KB
  Передбачувані результати навчального заняття: А Знати:; що вивчає наука біологія; основні ознаки живого; основні галузі біології; принципи класифікації організмів; значення біології у практичній діяльності людини Б Нормувати: теоретичний матеріал у вигляді усної розповіді та діалогу; В Цінувати: старанність ініціативність працьовитість; переконання у справедливості; особисту точку зору. До неї входять: Ботаніка ботане рослина вивчає рослини. Зоологія зоон тварина вивчає тварини.