17789

Лінійний простір

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 2. Лінійний простір Векторний простір називається лінійним якщо у ньому визначено операції над векторами – додавання і множення на число. Проте лінійний простір може бути утворений об’єктами будьякої природи. Нехай Е дана множина і x y z її елементи; К – мно

Украинкский

2013-07-05

5.92 MB

1 чел.

Лекція 2.

Лінійний простір

Векторний простір називається лінійним, якщо у ньому визначено операції над векторами – додавання і множення на число. Проте лінійний простір може бути утворений обєктами будь-якої природи. Нехай Е - дана множина і x ,y, z … -її елементи; К – множина усіх дійсних (або усіх комплексних) чисел α, β, γ … .Нехай кожній парі x,y елементів множини Е поставлено у відповідність деякий елемент тієї самої множини,який позначається х + у і називається їх сумою. Нехай кожному елементу Х множини Е і кожному числу А із К поставлено у відповідність деякий елемент множини Е, який позначається  α х і називається добутком числа α на елемент х. Множина Е називається дійсним(відповідно комплексним) лінійним векторним простором, а її елементи, незалежно від їхньої природи, називають векторами. Так,множина многочленів не вище даного степеня зі звичайними операціями додавання і множення на числа є лінійними векторним простором .У цьому розумінні кожний такий многочлен можна назвати вектором. Множина функцій,неперервних на даному інтервалі, також називається векторним простором , і у цьому розумінні кожна така функція може бути названа вектором.

Система векторів і спосіб її задання.  Лінійна комбінація векторів

Нехай задано систему векторів a1 , a2 ,…, ak в n-вимірному просторі:

Складемо із компонент векторів прямокутну таблицю, яка називається прямокутною матрицею і позначається буквою А:

Або        

 

        Таким чином, задання системи векторів у n-вимірному просторі означає задання матриці, яку складено з компонент векторів даної системи. Для одновимірного простору, n= 1, матриця перетворюється або на матрицю-рядок, або на матрицю-стовпець. Для двовимірного простору (n=2) матриця набуває вигляду

 

Для тривимірного простору (n=3) маємо

 

 

 

Нехай дано k векторів    Помножимо кожний вектор на число λj , де    j =1,2,…,k,  і знайдені результати додамо. У результаті цього дістанемо вектор, який називається лінійною комбінацією даних векторів:

    

Числа λj називаються коефіцієнтами даної лінійної комбінації.

Якщо вектор  має компоненти (a1j, a2j, … , anj), а вектор  має компоненти          (b1 , b2 ,…, bn), то рівність  запишеться у вигляді

 

 

 

Або

 

 

Ці рівності   рівносильні. У першому випадку залежність записано у векторній формі, а у другому – в скалярній.

Розглянемо питання про те, чи може дорівнювати нулю лінійна комбінація векторів:

   

Якщо рівність можлива за умови, що принаймні одне з чисел λj де j=1, 2,…,k, не дорівнює нулю, то система даних векторів називається лінійно залежною, а рівність називається нетривіальною. Якщо ж рівність можлива лише за умови, що всі λj=0 одночасно дорівнюють нулю, то система даних векторів називається лінійно незалежною, а рівність - тривіальною.

   

Матриці та їх види

Введемо поняття матриці незалежно від системи векторів. Запишемо прямокутну таблицю чисел із k рядків і n стовпців:

                   

Прямокутна таблиця, складена із довільного набору величин, називається прямокутною матрицею . При цьому величини називаються елементами матриці, а сукупність елементів, розкладених на горизонтальній (вертикальній) прямій, складають рядок  (стовпець) матриці. Місце елемента визначається номером рядка і номером стовпця, на перетині яких він розміщений. У прийнятому позначенні перший індекс елемента вказує на номер рядка, а другий – на номер стовпця. Будь-який елемент матриці звичайно позначається через aij, де і – номер рядка, j – номер стовпця, на перетині яких розміщено цей елемент.

Символічний добуток числа рядків  k на число стовпців n матриці називають розміром матриці і позначають k×n.

Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною матрицею:

                                       

Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Так, матриця В має порядок n.

Розмір квадратної матриці дорівнює n2. У квадратних матрицях звичайно виділяють два види елементів. Це елементи, які містяться на діагоналях квадрата, складеного із елементів матриці. Елементи

  

Складають так звану головну діагональ матриці В, а сукупність елементів

      -її побічну діагональ.

Замінимо у матриці А рядки на стовпці так, щоб перший рядок став першим стовпцем, другий рядок – другим стовпцем, третій рядок – третім стовпцем тощо. У результаті цього дістанемо матрицю

        Матриця А називається транспонованою матрицею відносно матриці А. Перехід матриці А до матриці  АТ  називається операцією  транспонування. У матрицях А  і  АТ  елементи aij i aij пов’язані співвідношенням aij= aij для всіх i= 1,2,…,n i j= 1,2,…,k.

Матриця називається нульовою, якщо всі її елементи – нулі:

     

Якщо в квадратній матриці всі елементи, розміщені поза головною діагоналлю, - нулі, то матриця називається діагональною:

                         

Діагональна матриця,всі елементи головної діагоналі якої дорівнюють одиниці, називається одиничною. Одинична матриця позначається так:

        

Якщо для квадратної матриці В справджується рівність bij=bji, то матриця називається симетричною.

     

Симетричні матриці інваріантні відносно транспонування, тобто транспонована і задана матриці збігаються.

Дві матриці однакових розмірів, з однаковими відповідними елементами називаються рівними між собою.

   Дії над матрицями

Сумою двох матриць однакового розміру називається матриця такого самого розміру, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць, які додаються.

Сумою матриць А і В

Є матриця С

Легко помітити, що операція додавання матриць, як і операція додавання чисел у арифметиці, підлягає переставному (комутативному) закону:

   А+В = В+А

Із означення суми матриць випливає,що сума будь-якої матриці і нуль-матриці того самого розміру дорівнює даній матриці:

                 А+0=А,  0+А=А

Тобто нуль-матриця в теорії матриць виконує ту саму роль, що і число нуль у теорії чисел.

Різницею двох матриць однакових розміпів називається матриця того самого розміру, елементи якої дорівнюють різницям відповідних елементів матриць зменшуваного і від’ємника:

Матриці А і В називаються и протилежними, якщо їхня сума А+В=0 є нуль-матриця. Матриця протилежна до матриці А, позначається –А, і її відповідні елементи протилежні до елементів матриці А, тоді

      А-В = А+(-В).

Добутком матриці на число (або числа на матрицю) називається матриця, елементами якої є добутки елементів даної матриці на це число:

Операція множення матриці на число має розподільну властивість.

    λ(А+В) =λА+λВ

Якщо число λ=0, то добуток А∙0 дорівнює нуль-матриці:

     А∙0= 0∙А=0

Якщо порівняти означення операцій додавання, віднімання і множення матриць на число з аналогічними операціями над векторами, то легко помітити повну аналогію їх.

Введемо поняття лінійної залежності і незалежності матриць стосовно до матриці-стовпця або матриці-рядка.

Нехай дано набір матриць-стовпців з однаковою кількістю рядків

Візьмемо набір чисел λ1, λ2 ,…,λк і помножимо λ1  на А1, λ2 на А2 ,…, λк   на Ак. Знайдені результати додамо. Дістанемо нову матрицю-стовпець

Вираз λ1 А1  + λ2 А2  + ∙∙∙ + λк Ак  називається лінійною комбінацією стовпців А1, А2 ,…, Ак .

Нехай задано матрицю-стовпець

Доберемо числа λ1, λ2 ,…,λк такі,що

  

Тобто

   

Тоді говорять, що матриця-стовпець В лінійно виражається через матриці-стовпці А1, А2, … Ак  .

Якщо для даних матриць-стовпців А1, А2, … Ак числа   λ1, λ2 ,…,λк , принаймні одне з яких відмінне від нуля, можна дібрати такими, що лінійна комбінація

Дорівнює нуль-матриці, то дані матриці-стовпці називаються лінійно залежними, а якщо рівність (2.8) справджується тоді і тільки тоді,коли  λ1 = λ2 = … = λк  = 0, то лінійно незалежними. Якщо матриці-стовпці подати у вигляді векторів, то умова (2.8) збігається з умовою (2.4). Викладене має силу і для матриці-рядка.

Добутком двох матриць А і В, число стовпців першої з них дорівнює числу рядків другої, називається третя матриця С,елемент якої сij дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.

Нехай дано матриці

     

Тоді їхній добуток

                   

Де

                      

Наведене правило множення матриць викликане необхідністю записувати в компактній формі системи лінійних рівнянь, наприклад(2.3).

Дві матриці А і В називаються узгодженими, якщо число стовпців першої дорівнює числу рядків другої, тобто вони мають розміри  m×n i n×p. Перемножати можна тільки узгоджені матриці.

Приклад. Знайти добуток матриць

Розвязання. Ці матриці можна перемножати, тому що число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В. За означенням знаходимо

AB=   =  = .

Зауваження. Якщо розміри матриць А і В відповідно m×n i n×p,то розмір матриці-добутку АВ є m×p, тобто Аm×nВn×pm×p .

Властивості операцій множення матриць.

1̊. Добуток будь-якої матриці на узгоджену з нею одиничну матрицю дорівнює нуль-матриці:

    А∙0= 0

2̊. Добуток будь-якої матриці на узгоджену з нею одиничну матрицю дорівнює даній матриці:

    А∙Е=А

3̊. Добуток матриць не має переставної(комутативної) властивості, тобто не завжди А∙В=В∙А. При цьому передбачається, що як А∙В, так і В∙А мають сенс.

4̊ . Нехай А,В і С – матриці, які можна додавати або перемножати, а α- деяке число, тоді справедливі такі рівності:

               

5̊.Якщо дано матриці А і В, то для транспонованих відповідних матриць АТ і ВТ  виконується співвідношення  

     (АВ)ТТАТ

6̊. Якщо для квадратної матриці А виконується рівність АТ=А, то ця матриця симетрична.

   Визначник і мінори матриці

Розглянемо квадратну матрицю

                             

Квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається детермінантом або визначником матриці.

Детермінант матриці позначається так:

                          

Детермінант так само, як і матриці, має порядок. Він дорівнює порядку відповідної матриці. Детермінанти можуть бути першого,другого, і n-ого порядків. Поняття детермінанта вводиться лише для квадратних матриць. Якщо розглянути деякий елемент квадратної матриці А, який позначимо аij, що стоїть на перетині і-го рядка та j-го стовпця, і побудувати матрицю без цього рядка і стовпця, то дістанемо матрицю (n-1)-го порядку

         

Цій матриці відповідає визначник (n-1)- го порядку, який називається мінором матриці А, який відповідає елементу аij 

Мінором (n-1)- го порядку елемента аij матриці n-го порядку називається визначник нової матриці,яка утворюється з даної матриці внаслідок викреслювання рядка і стовпця, які перетинаються на цьому елементі. Мінор матриці позначається так:

 

У матриці першого порядку А =(a11) за означенням мінора немає.

Матриця другого порядку має чотири мінори першого порядку:

      M11=a22 ;    M12= a21 ;    M21= a12  ;    M22=a11  

Для матриці (2.10) мінори M11, M22 ,…, Мnm називаються головними.

Тепер означимо детермінант порядку n, де n › 1, як величину,що можна знайти за формулою

               

Це означення є змістовним у індуктивному плані. Наприклад

Як бачимо, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів,які стоять на головній і побічних діагоналях.

Якщо маємо визначник 3-го порядку,то

Таким чином

Перший доданок у цій рівності є добутком елементів,розміщених на головній діагоналі. Два наступних доданки є добутками елементів,

    Рис.1.21

два з яких лежать на прямій, паралельній головній діагоналі, а третій – на вершині побічної діагоналі. При цьому всі три добутки беруться із своїми знаками. Наступні три доданки утворюються аналогічно, але замість елементів головної діагоналі треба взяти елементи,які стоять на побічній діагоналі, і всі добутки записати з протилежними знаками. Це правило знаходження визначника третього порядку називається правилом трикутника (рис 1.21).

 

Правило трикутників можна замінити правилом приписування стовпців, яке передбачає приписування двох перших стовпців справа від визначника.

Легко помітити, що співмножники кожного з шести доданків правила трикутників тепер розміщуються на прямих, паралельних головній і побічній діагоналям.

Введемо поняття алгебраїчного доповнення елемента aij позначивши його через Aij

    Aij = (-1)I+J Mij

Тоді визначення детермінанта можна записати у вигляді

                      

І довести,що

Або

 

Формули (2.15) називаються розкладом детермінанта за елементами рядка або стовпця.

Визначник дорівнює сумі добутків елементів aij деякого рядка(стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів.

Використовуючи формули (2.15), запишемо розклад визначника третього порядку за елементами,наприклад, першого рядка:

Де

Таким чином, щоб розкрити визначник третього порядку, можна використати три правила: правило трикутників, правило приписування рядків і правило розкладання за елементами якого-небудь стовпця або рядка.

Розкривають визначник вищого порядку лише розкладанням за елементами якого-небудь стовпця чи рядка.

Приклад. Обчислити визначник

Розвязання. Розкладемо визначник за елементами четвертого рядка:

          

Розкриваючи визначник третього порядку за правилом трикутників або приписування стовпців, дістанемо

             Δ= –2∙12+18∙2=12.

   Властивості визначників

1̊.Значення визначника не змінюється, якщо всі його рядки замінити стовпцями, причому кожний рядок замінити стовпцем з тим самим номером

Ця властивість означає рівнозначність рядків і стовпців визначника

2̊.Якщо поміняти місцями два стовпці(рядки) визначника, то визначник поміняє знак на протилежний.

Для доведення властивостей 1̊ і 2̊  достатньо розкрити кожний визначник і порівняти знайдені результати.

3̊.Визначник,який має два однакові стовпці(рядки), дорівнює нулю.

Дійсно,нехай визначник Δ має два однакові стовпці. Тоді, помінявши місцями ці стовпці, дістанемо визначник, що дорівнює –Δ,тобто Δ= –Δ звідси знаходимо 2Δ=0, або Δ=0.

4̊. Якщо всі елементи якого-небудь стовпця (рядка) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.Наприклад

    

Звідси як наслідок маємо, що коли помножити всі елементи якого-небудь стовпця(рядка) на одне і те саме, то і визначник помножиться на це  число.

Якщо елементи стовпця визначника подати як компоненти вектора, то властивість 4̊ випливає із означення операції множення вектора на число.

5̊.Визначник, елементи двох стовпців (рядків) якого відповідно пропорціональні, дорівнює нулю.

Дійсно, нехай маємо визначник

     

В якому a12 = mа11 і a22 = mа21. Тоді враховуючи властивості,4̊, дістанемо

 

6̊. Якщо кожний елемент якого-небудь стовпця (рядка) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких стовпцями(рядками) є відповідні доданки, а решта збігається із стовпцями(рядками) заданого визначника:

        

Якщо позначити

  

То

    Δ=Δ12,

Тобто властивість 6̊ виражає правило додавання визначників.

7̊.Визначник не зміниться, якщо до елементів якого-небудь його стовпця (рядка) додати відповідні елементи іншого стовпця (рядка), помножені на одне й те саме число.

Справді,нехай дано два визначники, наприклад, третього порядку:

Тоді з урахуванням властивостей 3̊ , 4̊  і 6̊, маємо

8̊.Сума добутків елементів aij деякого рядка(стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця)дорівнює нулю:

Скалярна форма лінійної залежності і незалежності системи векторів

Для вирішення питань про лінійну залежність (незалежність) системи векторів α1, α2 ,...к вираз (2.4)

         

Запишемо в скалярній формі

Або

Ця система називається лінійною однорідною системою рівнянь з невідомими λ1, λ2 ,…,λк..Вона має завжди так званий тривіальний або нульовий розв’язок (0,0,…,0). Якщо крім тривіального розв’язку в системі існують й інші розв’язки, то система даних векторів лінійно залежна, а якщо система (2.18), крім тривіального, інших розвязків не має, то система даних векторів буде лінійно незалежною.

Систему(2.18) завжди можна розвязати методом виключення невідомих λ1, λ2 ,…,λк..

Приклад. Показати, що вектори α1=(1,3) і  α2=(2,6) лінійно залежні.

Розвязання. Складемо лінійну комбінацію векторів:

І з’ясуємо, при яких λ1 і λ2 виконується рівність      

   λ1α1 + λ2α2 =0

Це векторне рівняння рівносильне системі рівнянь

Поділивши обидві частини другого рівняння на 3, помічаємо, що рівняння системи однакові, тобто

  λ1 +2 λ2 =0

Це рівняння має не рівні нулю розв’язки для λ1 і λ2.Наприклад при λ1=2 і λ2=–1 рівність (2.19) виконується. Тому вектори α1 =(1,3) і α2=(2,6) лінійно залежні.

ВПРАВИ 1. Довести лінійну залежність векторів:

а) α1 =(2,-1,2) і α2=(6,-3,6);

б)α1 =(5,2) і α2=(10,4), α3=(-15,-6);

2.Довести лінійну незалежність векторів:

а)α1 =(1,3) і α2=(2,5);

б)α1 =(2,-1,-2) і α2=(6,-3,1);

в)α1 =(5,2) і α2=(10,0);

 Теореми про лінійно залежні і лінійно незалежні вектори

Теорема 1. Якщо система векторів лінійно залежна, то після приєднання до неї будь-якої кількості нових векторів знову утворюється лінійно залежна система .

Доведення. Це випливає із рівності

       

В якій серед λ1, λ2 ,…,λк є такі,які відрізняються від нуля,а всі λk+1, λk+2 ,…,λк+m  дорівнюють нулю.

Нехай задано систему векторів α1, α2 ,... ,αк. Будь-яку частину цієї системи векторів назвемо її підсистемою. Тоді теорему 1 можна сформулювати так: Якщо будь-яка підсистема даної системи векторів лінійно залежна, то і сама система лінійно залежна.

Для системи лінійно незалежних векторів справедливе таке твердження:

Якщо система складається із лінійно незалежних векторів то, будь-яка її  підсистема також складається із лінійно незалежних векторів.

Теорема 2. Для того щоб система із k векторів була лінійно залежною,необхідно і достатньо, щоб хоча б один із її векторів був лінійною комбінацією решти векторів.

Теорема 3. Будь-яка система векторів, до якої входить нуль-вектор, є лінійно залежною 

Теорема 4. Якщо система векторів лінійно незалежна, а система векторів ,b – лінійно залежна, то вектор b є лінійною комбінацією решти векторів системи.

Доведення: Рівність

    

Можлива лише при λ≠0, тому що в протилежному випадку дана система буде лінійно незалежною. З останньої рівності знаходимо

       

Позначивши

        

Дістанемо

 

Теорема 5. Якщо – лінійно незалежна система векторів, а вектор b  не можна подати у вигляді лінійної комбінації цих векторів, то система векторів , b  є лінійно незалежною.

Цю теорему легко довести від супротивного.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73610. Технічне обслуговування елементів системи живлення карбюраторного двигуна 49.5 KB
  Мета роботи: Придбати практичні навички в визначенні технічного стану елементів системи живлення карбюраторного двигуна. Перевірити технічний стан фільтра грубої очистки палива. Перевірити технічний стан фільтра тонкої очистки палива. Перевірити технічний стан повітряного фільтра.
73611. Контрольний огляд двигуна. Діагностування двигуна вцілому 47 KB
  Діагностування двигуна вцілому. Зміст роботи: Візуальний огляд і перевірка комплектності двигуна. Перевірка двигуна запуском.
73612. Діагностування двигуна по герметичності надпоршневого простору 86.5 KB
  Діагностування двигуна по втечі стисненого повітря. Випустити повітря з компресометра через зворотній клапан. Діагностування двигуна по втечі стисненого повітря Підготовити до роботи компресор. Накачати в ресивер повітря до тиску...
73613. Перевірка та регулювання теплових зазорів в газорозподільчому механізмі 74 KB
  При виконані лабораторної роботи було виявлено збільшення теплових зазорів в ГРМ двигуна. Несправність усувається регулюванням зазору. Після усунення несправності двигун допускається до експлуатації.
73614. Загальне діагностування систем охолодження і мащення на двигуні 58.5 KB
  Перевірити рівень охолоджуючої рідини в радіаторі. Перевірити технічний стан пароповітряного клапана пробки радіатора. Перевірити легкість переміщення клапана. Перевірити візуально герметичність системи охолодження.
73615. Технічне обслуговування елементів системи охолодження 70 KB
  Огляд радіатора і перевірка його герметичності. Матеріальнотехнічне оснащення робочого місця: пристрій для перевірки герметичності радіатора; компресор з ресивером або насос; пристрій для перевірки справності термостата; градусник; нагрівальний елемент; штангенциркуль; набір інструментів.
73616. Технічне обслуговування елементів системи мащення 65.5 KB
  Технічне обслуговування масляних фільтрів Очищення центрифуги відцентрового фільтра двигун ЗИЛ130 Відкрутити гайку кріплення кожуха фільтра і зняти кожух. Вигвинтити пробку з корпуса фільтра і вставити в отвір стержень який утримує корпус від провертання. Заміна фільтруючих елементів масляного фільтра двигун КАМАЗ740 Викрутити зливні пробки з ковпаків і злити масло в підготовлену місткість.