17790

Скалярний добуток двох векторів

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 4. Скалярний добуток двох векторів Добуток двох векторів може бути як числом так і вектором. Для наочних просторів скалярним добутком двох векторів і називається число що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними: У nвимірному просторі ск

Украинкский

2013-07-05

332.87 KB

5 чел.

Лекція 4.

Скалярний добуток двох векторів

  Добуток двох векторів може бути як числом, так і вектором.

Для наочних просторів скалярним добутком двох векторів  і називається число, що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними:

У n-вимірному просторі скалярний добуток двох векторів  і  визначається такою рівністю:

В л а с т и в о с т і   с к а л я р н о г о   д о б у т к у.

.  

.

.

. Якщо  то  Якщо  то

  Розглянемо питання про рівність нулю скалярного добутку, якщо кожен із векторів-співмножників не є нуль-вектором.

Розглянемо рівність

або

  Така рівність цілком можлива. Наприклад, для векторів  і                  маємо   

  Вектори, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаються ортогональними. Скалярний добуток векторів  дорівнює  при  і  при  Отже, вектори базису  попарно ортогональні. Для наочного простору поняття ортогональності і перпендикулярності збігаються. Дійсно, якщо скалярний добуток  то випливає, що  а це можливо, коли  оскільки  і

Довжина векторів і кут у n-вимірному просторі.

Нерівність Буняковського – Коші – Шварца

  Згідно з означенням, якщо не є нуль-вектором, то

  Позначимо  і назвемо скалярним квадратом вектора 

  Довжиною вектора  у n-вимірному просторі називається арифметичне значення квадратного кореня із його скалярного квадрата:

  Це означення довжини вектора є узагальненням поняття довжини вектора в наочному просторі. Знайдемо довжину будь-якого вектора системи ортонормованих векторів :

  Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається нормованим (одиничним). Легко помітити, що нормований вектор                                                              

  Якщо у лінійному просторі визначено скалярний добуток двох векторів то лінійний простір називається евклідовим.

  Введемо поняття відстані між двома точками евклідового простору. В лінійному евклідовому просторі вектор – це напрямлений відрізок, початком якого є деяка точка  а кінцем – точка Довжина вектора, що сполучає точки  і  позначається  і приймається за відстань між цими точками:    

  Компонентами вектора  є різниці   

тому                                   Кутом між векторами  і  у n-вимірному просторі назвемо  число φ, яке задовольняє умову               звідки                                        

  Для того щоб це означення мало сенс, необхідно довести, що

або  тобто                                    

  Ця нерівність називається нерівністю Буняковського – Коші – Шварца.

Або  де  - будь-яке число. Після розкриття дужок  покладемо рівним  Нерівність доведена.

  Доведемо так зване правило трикутника. Для наочного простору відомо, що довжина будь-якої сторони трикутника не більша за суму довжин двох інших його сторін:                                                

  Покажемо, що ця нерівність справджується і для n-вимірних векторів. Дійсно, нерівність  можна записати у вигляді

але    

звідки й випливає нерівність

Проекція вектора на вісь

  Надалі напрям осі визначатимемо одиничним вектором  а вісь позначимо буквою   Нехай дано вектор  і вісь  Проекцією  вектора  на вісь  називається довжина відрізка  який відтинається від цієї осі

площинами, що проходять через початок  і кінець  вектора  перпендикулярно до осі. Довжину відрізка  беремо із знаком «плюс» або «мінус» залежно від того, однаково чи протилежно напрямлені вектор  і вісь  (рис 1.23, а, б), тобто

  Проведемо через точку пряму, паралельну осі , до перетину з площиною, яка перпендикулярна до осі  і проходить через точку  Дістанемо відрізок  Позначимо через  кут між віссю  і вектором  Тоді з прямокутного трикутника  знаходимо

причому

якщо

якщо

  Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між віссю і вектором:

  Проекцію вектора на вісь позначають ще й так:

Проекцією вектора  на вісь  одиничний вектор якої  можна подати у вигляді скалярного добутку вектора  на одиничний вектор :

Розглянемо проекцію вектора на вектор. Проекція одного вектора на інший дорівнює скалярному добутку першого вектора на одиничний вектор другого:

                                               

де  і  - відповідно одиничні вектори векторів  і

  Для координатних осей декартової прямокутної системи координат XYZ одиничні вектори, як уже зазначалось, відповідно позначаються  Тоді проекції вектора  на координатні осі

де  і  – напрямні кути вектора  Ці формули вже було знайдено.   Скалярний добуток           можна записати у вигляді

       

  Теорема4.1. Проекція на вісь лінійної комбінації скінченного числа векторів дорівнює відповідній лінійній комбінації їхніх проекцій на ту саму вісь:

  Н а с л і д о к  1. Проекція суми скінченного числа веторів на вісь (вектор) дорівнює сумі відповідних проекцій цих векторів на ту саму вісь (вектор).

  Н а с л і д о к  2. Сталий множник можна виносити за знак проекції:

Основні застосування скалярного   добутку векторів

  Нехай два вектори  і  задано їхніми проекціями:

 і

  Тоді можна знайти:

  а) кут між даними векторами (напрямами)

  б) проекцію одного вектора на інший

  в) роботу сталої сили на прямолінійній ділянці шляху.

  Справді, робота  сталої сили  на прямолінійному шляху  який складає кут  з вектором  дорівнює  або  (рис. 1.24).

  Скалярний добуток використовується для означення лінійної незалежності системи векторів. Нехай дано систему векторів  з компонентами  Треба побудувати визначник із системи скалярних добутків векторів

  Цей визначник називається визначником Грама.

  Теорема. Для того щоб система векторів  була лінійно незалежною, необхідно і достатньо, щоб визначник Грама був додатним.

  Приклад 4.2. Нехай дано трикутник  сторони якого дорівнюють  Довести теорему косинусів:

  Д о в е д е н н я. Розглянемо вектори  і які збігаються з відповідними сторонами трикутника і напрямлені так, як показано на рис. 1.25. Тоді  Скалярний квадрат вектора дорівнює

звідки   або

Отже,      

  Це співвідношення називають теоремою косинусів.

Поділ відрізка у даному відношенні. Координати центра мас (тяжіння)

  Нехай дано відрізок  де  і (рис. 1.26). Знайдемо на відрізку таку точку  яка поділяє цей відрізок у відношенні  тобто

  Радіусами-векторами двох векторів є відповідно

 і

Тоді радіус-вектор шуканої точки

  Розглянемо вектори  і  Маємо  За правилом віднімання векторів знаходимо (рис. 1.26)    і  Отже,   

звідки   

  Проектуючи радіуси-вектори на осі координат, дістаємо

 

  Якщо точка  є серединою відрізка  то  і тоді

  

  Зазначимо, що  може бути і від’ємною. Тоді точка  лежить на прямій, яка проходить через точки  і  поза відрізком

  Виведемо тепер формули для координат центра мас системи матеріальних точок.

  Нехай у точках  сконцентровано маси (рис. 1.27). Виберемо прямокутну систему координат  у тривимірному просторі. Позначимо координати даних точок:  а радіуси-вектори цих точок відповідно  

 Поділимо відрізок  у відношенні  Відповідно дістанемо

  Точка, радіус-вектор якої обчислюється за формулою

                                                 

називається центром мас двох матеріальних точок  і

  Знайдемо радіусом-вектор центра мас точок   з масою  і  з масою  Маємо    .  Підставивши значення , знайдемо

.                                            

  Точка С3 називається центром мас трьох матеріальних точок  і

  Методом математичної індукції можна довести, що центром мас даної системи  матеріальних точок є точка  (позначимо її ). Радіус-вектор цієї точки обчислюється за формулою                                     

  Проектуючи радіуси-вектори з цієї формули на осі координат, дістанемо

  де координати центра мас  сконцентрованих у точках  

  Якщо чисельник і знаменник у формулах помножити на прискорення g вільного падіння і врахувати, що migi=pi, де pi – вага відповідної точки, то дістанемо формули для радіуса-вектора і координат центра ваги системи матеріальних точок:

  ;             


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29389. Принципы построения учебных книг по литературному чтению: традиционное и инновационное. Детские книги как особый учебный материал для формирования читателя 23 KB
  Эту функцию выполняет учебник. Учебник рассматривает текст как информационное поле на котором состоится встреча автора и читателя. Типы книг для начальной школы: Обязательные: учебник хрестоматия учебникхрестоматия Факультативные: справочник энциклопедия словари рабочие тетради Принципы организации учебника: тематический по темам жанровый стихи рассказы сезонный Виды вопросов и заданий в учебниках: до текста и после текста репродуктивные на выявление первичного восприятия на анализ на синтез продуктивные...
29390. Урок литературного чтения и его особенности. Моделирование урока литературного чтения в логике одной из образовательных программ (на примере одного литературного произведения) 57 KB
  Урок литературного чтения и его особенности. Моделирование урока литературного чтения в логике одной из образовательных программ на примере одного литературного произведения Современный урок литературного чтения имеет свои особенности: Каждый урок рассматривается как часть более широкой системы литературное развитие школьника Урок это этап в изучении литературного произведения Урок это художественнопедагогическое целое содержание форма уока будет определяться жанром и особенностями произведения а так же художественным миром...
29391. Конструктивное исполнение электрооборудования в НГП 30 KB
  Конструктивное исполнение электрооборудования в НГП должно соответствовать условиям его эксплуатации. исполнение характеризуется тем что электродвигатели имеют специальные приспособления крышки кожухи сетки. Водозащищенное IP55 IP56 исполнение электродвигатели недоступны проникновению внутрь струй воды любого направления.
29392. Нерегулируемый ЭП буровых насосов 27.5 KB
  Двигатели брызгозащишенные с влагостойкой изоляцией с самовентиляцией; наверху корпуса двигателя смонтирован возбудитель связанный клиноременной передачей с валом двигателя. Номинальное напряжение двигателя 6 кВ частота вращения 750 об мин. Так как условия пуска двигателя бурового насоса сравнительно легкие момент статического сопротивления на валу двигателя составляет примерно 20 от номинального момента двигателя а время разгона составляет 34 сек в схеме предусмотрен прямой пуск двигателя с наглухо подключенным возбудителем. Для...
29393. Особенности конструкции ЭД станка-качалки 21 KB
  имеют повышенный пусковой момент который обеспечивается за счет специальной конструкции обмотки ротора это может быть или глубокопазная обмотка 10:1 или двойная беличья клетка причем внутренняя клетка выполнена из меди а наружная из латуни имеющей большее удельное сопротивление чем медь. После вытеснения тока на поверхность сечение проводника по которому течет ток уменьшается при этом активное сопротивление обмотки ротора увеличивается и момент развиваемый ЭД при пуске возрастает так как он пропорционален приведенному активному...
29394. Регулируемый ЭП буровых насосов 66.5 KB
  В небольших пределах регулирование скорости электродвигателя буровых насосов можно осуществлять при применении асинхронных двигателей АД с фазным ротором при помощи включении в цепь ротора регулировочных реостатов. При снижении скорости на 2030 скольжение становится равным 0203 и потеря мощности в пусковых реостатах достигнет также 2030. Поэтому в настоящее время реостатный способ регулирования скорости АД не применяется. Схема обеспечивает изменение скорости вращения АД на 40 выше от номинальной.
29395. СИНХРОННЫЕ МАШИНЫ 37 KB
  Синхронные машины обладают свойством обратимости то есть могут работать как генератором так и двигателем.1а изображена схема синхронной машины с явно выраженными полюсами.1 Конструкция и электрическая схема синхронной машины с явно выраженными полюсами а б.
29396. Электрооборудование установок для насосной добычи нефти 237.5 KB
  Глубинный насос 1 станкакачалки подвешивается на колонне насосных труб 3рис. Плунжеру 2 насоса сообщается возвратнопоступательное движение с передачей энергии от балансира станкакачалки при помощи колонны штанг 4. Колонна штанг станкакачалки на устье скважины через шток соединена с головкой балансира 6 станкакачалки. Балансирный и кривошипный противовесы служат для уравновешивания нагрузки подвижной системы станкакачалки и двигателя при ходе колонны штанг вниз и вверх рис.
29397. Бесштанговые насосные установки с погружными центробежными насосами 36 KB
  Конструктивные особенности насосной установки с ЭЦН и электропривода. Установка с ЭЦН состоит из следующих основных элементов см. Серийно выпускаются ЭЦН около 30 типоразмеров с подачей от 40 до 500 м3 в сутки и номинальным напором от 400 до 1500 м. Погружной электродвигатель ПЭД ЭЦН представляет собой трехфазный асинхронный двигатель на 3000 об мин в герметичном исполнении с короткозамкнутым ротором помещенный в стальную трубу заполненную трансформаторным маслом и рассчитанный для работы при температуре пластовой жидкости до 90 0С.