17790

Скалярний добуток двох векторів

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 4. Скалярний добуток двох векторів Добуток двох векторів може бути як числом так і вектором. Для наочних просторів скалярним добутком двох векторів і називається число що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними: У nвимірному просторі ск

Украинкский

2013-07-05

332.87 KB

5 чел.

Лекція 4.

Скалярний добуток двох векторів

  Добуток двох векторів може бути як числом, так і вектором.

Для наочних просторів скалярним добутком двох векторів  і називається число, що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними:

У n-вимірному просторі скалярний добуток двох векторів  і  визначається такою рівністю:

В л а с т и в о с т і   с к а л я р н о г о   д о б у т к у.

.  

.

.

. Якщо  то  Якщо  то

  Розглянемо питання про рівність нулю скалярного добутку, якщо кожен із векторів-співмножників не є нуль-вектором.

Розглянемо рівність

або

  Така рівність цілком можлива. Наприклад, для векторів  і                  маємо   

  Вектори, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаються ортогональними. Скалярний добуток векторів  дорівнює  при  і  при  Отже, вектори базису  попарно ортогональні. Для наочного простору поняття ортогональності і перпендикулярності збігаються. Дійсно, якщо скалярний добуток  то випливає, що  а це можливо, коли  оскільки  і

Довжина векторів і кут у n-вимірному просторі.

Нерівність Буняковського – Коші – Шварца

  Згідно з означенням, якщо не є нуль-вектором, то

  Позначимо  і назвемо скалярним квадратом вектора 

  Довжиною вектора  у n-вимірному просторі називається арифметичне значення квадратного кореня із його скалярного квадрата:

  Це означення довжини вектора є узагальненням поняття довжини вектора в наочному просторі. Знайдемо довжину будь-якого вектора системи ортонормованих векторів :

  Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається нормованим (одиничним). Легко помітити, що нормований вектор                                                              

  Якщо у лінійному просторі визначено скалярний добуток двох векторів то лінійний простір називається евклідовим.

  Введемо поняття відстані між двома точками евклідового простору. В лінійному евклідовому просторі вектор – це напрямлений відрізок, початком якого є деяка точка  а кінцем – точка Довжина вектора, що сполучає точки  і  позначається  і приймається за відстань між цими точками:    

  Компонентами вектора  є різниці   

тому                                   Кутом між векторами  і  у n-вимірному просторі назвемо  число φ, яке задовольняє умову               звідки                                        

  Для того щоб це означення мало сенс, необхідно довести, що

або  тобто                                    

  Ця нерівність називається нерівністю Буняковського – Коші – Шварца.

Або  де  - будь-яке число. Після розкриття дужок  покладемо рівним  Нерівність доведена.

  Доведемо так зване правило трикутника. Для наочного простору відомо, що довжина будь-якої сторони трикутника не більша за суму довжин двох інших його сторін:                                                

  Покажемо, що ця нерівність справджується і для n-вимірних векторів. Дійсно, нерівність  можна записати у вигляді

але    

звідки й випливає нерівність

Проекція вектора на вісь

  Надалі напрям осі визначатимемо одиничним вектором  а вісь позначимо буквою   Нехай дано вектор  і вісь  Проекцією  вектора  на вісь  називається довжина відрізка  який відтинається від цієї осі

площинами, що проходять через початок  і кінець  вектора  перпендикулярно до осі. Довжину відрізка  беремо із знаком «плюс» або «мінус» залежно від того, однаково чи протилежно напрямлені вектор  і вісь  (рис 1.23, а, б), тобто

  Проведемо через точку пряму, паралельну осі , до перетину з площиною, яка перпендикулярна до осі  і проходить через точку  Дістанемо відрізок  Позначимо через  кут між віссю  і вектором  Тоді з прямокутного трикутника  знаходимо

причому

якщо

якщо

  Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між віссю і вектором:

  Проекцію вектора на вісь позначають ще й так:

Проекцією вектора  на вісь  одиничний вектор якої  можна подати у вигляді скалярного добутку вектора  на одиничний вектор :

Розглянемо проекцію вектора на вектор. Проекція одного вектора на інший дорівнює скалярному добутку першого вектора на одиничний вектор другого:

                                               

де  і  - відповідно одиничні вектори векторів  і

  Для координатних осей декартової прямокутної системи координат XYZ одиничні вектори, як уже зазначалось, відповідно позначаються  Тоді проекції вектора  на координатні осі

де  і  – напрямні кути вектора  Ці формули вже було знайдено.   Скалярний добуток           можна записати у вигляді

       

  Теорема4.1. Проекція на вісь лінійної комбінації скінченного числа векторів дорівнює відповідній лінійній комбінації їхніх проекцій на ту саму вісь:

  Н а с л і д о к  1. Проекція суми скінченного числа веторів на вісь (вектор) дорівнює сумі відповідних проекцій цих векторів на ту саму вісь (вектор).

  Н а с л і д о к  2. Сталий множник можна виносити за знак проекції:

Основні застосування скалярного   добутку векторів

  Нехай два вектори  і  задано їхніми проекціями:

 і

  Тоді можна знайти:

  а) кут між даними векторами (напрямами)

  б) проекцію одного вектора на інший

  в) роботу сталої сили на прямолінійній ділянці шляху.

  Справді, робота  сталої сили  на прямолінійному шляху  який складає кут  з вектором  дорівнює  або  (рис. 1.24).

  Скалярний добуток використовується для означення лінійної незалежності системи векторів. Нехай дано систему векторів  з компонентами  Треба побудувати визначник із системи скалярних добутків векторів

  Цей визначник називається визначником Грама.

  Теорема. Для того щоб система векторів  була лінійно незалежною, необхідно і достатньо, щоб визначник Грама був додатним.

  Приклад 4.2. Нехай дано трикутник  сторони якого дорівнюють  Довести теорему косинусів:

  Д о в е д е н н я. Розглянемо вектори  і які збігаються з відповідними сторонами трикутника і напрямлені так, як показано на рис. 1.25. Тоді  Скалярний квадрат вектора дорівнює

звідки   або

Отже,      

  Це співвідношення називають теоремою косинусів.

Поділ відрізка у даному відношенні. Координати центра мас (тяжіння)

  Нехай дано відрізок  де  і (рис. 1.26). Знайдемо на відрізку таку точку  яка поділяє цей відрізок у відношенні  тобто

  Радіусами-векторами двох векторів є відповідно

 і

Тоді радіус-вектор шуканої точки

  Розглянемо вектори  і  Маємо  За правилом віднімання векторів знаходимо (рис. 1.26)    і  Отже,   

звідки   

  Проектуючи радіуси-вектори на осі координат, дістаємо

 

  Якщо точка  є серединою відрізка  то  і тоді

  

  Зазначимо, що  може бути і від’ємною. Тоді точка  лежить на прямій, яка проходить через точки  і  поза відрізком

  Виведемо тепер формули для координат центра мас системи матеріальних точок.

  Нехай у точках  сконцентровано маси (рис. 1.27). Виберемо прямокутну систему координат  у тривимірному просторі. Позначимо координати даних точок:  а радіуси-вектори цих точок відповідно  

 Поділимо відрізок  у відношенні  Відповідно дістанемо

  Точка, радіус-вектор якої обчислюється за формулою

                                                 

називається центром мас двох матеріальних точок  і

  Знайдемо радіусом-вектор центра мас точок   з масою  і  з масою  Маємо    .  Підставивши значення , знайдемо

.                                            

  Точка С3 називається центром мас трьох матеріальних точок  і

  Методом математичної індукції можна довести, що центром мас даної системи  матеріальних точок є точка  (позначимо її ). Радіус-вектор цієї точки обчислюється за формулою                                     

  Проектуючи радіуси-вектори з цієї формули на осі координат, дістанемо

  де координати центра мас  сконцентрованих у точках  

  Якщо чисельник і знаменник у формулах помножити на прискорення g вільного падіння і врахувати, що migi=pi, де pi – вага відповідної точки, то дістанемо формули для радіуса-вектора і координат центра ваги системи матеріальних точок:

  ;             


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45975. Конструкция и назначение червячных передач. Кинематический и прочностной расчеты 29.5 KB
  Червячные передачи это передачи за счет зацепления витков червяка и зубьев червячного колеса. При вращении червяка его витки входят в зацепление с зубьями червячного колеса. Расстояние между одноименными точками боковых сторон смежных витков червяка измеренное параллельно оси называют шагом червяка р. Делительный диаметр червяка dx = qm.
45976. Механические характеристики электродвигателей 86.95 KB
  Скорость почти всех электродвигателей является убывающей функцией момента двигателя, то есть с увеличением момента скорость уменьшается [чил 33]. Но степень изменения скорости у разных электродвигателей различна и характерезуется параметром жесткость механические характеристик.
45977. Правовой режим предвыборной агитации и ответственность за нарушение законодательства 39 KB
  Агитация предвыборная предвыборная агитация деятельность осуществляемая в период избирательной кампании и имеющая целью побудить или побуждающая избирателей к голосованию за кандидата кандидатов список кандидатов или против него них. Предвыборная агитация может принимать следующие формы: а призывы голосовать за или против кандидата списка кандидатов; б выражение предпочтения какомулибо кандидату избирательному объединению в частности указание на то за какого кандидата за какой список кандидатов за какое избирательное...
45978. Составление пресс-релиза 16.96 KB
  Грамотно написанный прессрелиз создаст положительное впечатление о вашей компании что внушит и журналистам и людям для которых они пишут уважение к вашему бренду. Подготовка прессрелиза – дело непростое. Но это главный инструмент для связи с прессой.
45979. PR-служба в российской консалтинговой компании 37 KB
  Вследствие этого создание PRотдела в компании не вызывает сомнений почти ни у одного российского собственника. PRотдел российской консалтинговой компании подчиняется в основном ее руководителю или его заместителю реже директору по маркетингу если такая должность существует в компании. В действительности бренд и имидж абсолютно любой компании занимающейся консалтингом зависит напрямую от каждого ее консультанта.
45981. Саморегулирование электродвигателей 137.57 KB
  Под искусственным понимают изменение скорости электродвигателя, возникшее в результате изменения параметров питающей сети или самого электродвигателя при помощи схемы управления электродвигателя.
45982. СИСТЕМА СРЕДСТВ МАССОВОЙ КОММУНИКАЦИИ (СМК): СТРУКТУРА, СПЕЦИФИКА ИНФОРМАЦИОННЫХ КАНАЛОВ 13.04 KB
  К средствам массовой коммуникации СМК относятся особые каналы и передатчики при помощи которых распространяются информационные сообщения на большие территории. Массовая коммуникация имеет следующие особенности как то: 1 использование технических средств которые устанавливают постоянность и тиражированность; 2 общественная значимость информации содействующая повышению мотивации массовой коммуникации; 3 массовость аудитории которая вследствие распространения на большие расстояния и анонимности требует скрупулезно обдуманной ценностной...
45983. Расчет мощности и выбор электродвигателя для различных режимов работы 67.6 KB
  Определение номинальной мощности электродвигателя (ЭД) для работы в длительном режиме с постоянной нагрузкой сводится к расчету мощности – исполнительного механизма, приведенной к валу двигателя (с учетом К.П.Д. передач, редукторов и т.д.).