17790

Скалярний добуток двох векторів

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 4. Скалярний добуток двох векторів Добуток двох векторів може бути як числом так і вектором. Для наочних просторів скалярним добутком двох векторів і називається число що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними: У nвимірному просторі ск

Украинкский

2013-07-05

332.87 KB

4 чел.

Лекція 4.

Скалярний добуток двох векторів

  Добуток двох векторів може бути як числом, так і вектором.

Для наочних просторів скалярним добутком двох векторів  і називається число, що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними:

У n-вимірному просторі скалярний добуток двох векторів  і  визначається такою рівністю:

В л а с т и в о с т і   с к а л я р н о г о   д о б у т к у.

.  

.

.

. Якщо  то  Якщо  то

  Розглянемо питання про рівність нулю скалярного добутку, якщо кожен із векторів-співмножників не є нуль-вектором.

Розглянемо рівність

або

  Така рівність цілком можлива. Наприклад, для векторів  і                  маємо   

  Вектори, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаються ортогональними. Скалярний добуток векторів  дорівнює  при  і  при  Отже, вектори базису  попарно ортогональні. Для наочного простору поняття ортогональності і перпендикулярності збігаються. Дійсно, якщо скалярний добуток  то випливає, що  а це можливо, коли  оскільки  і

Довжина векторів і кут у n-вимірному просторі.

Нерівність Буняковського – Коші – Шварца

  Згідно з означенням, якщо не є нуль-вектором, то

  Позначимо  і назвемо скалярним квадратом вектора 

  Довжиною вектора  у n-вимірному просторі називається арифметичне значення квадратного кореня із його скалярного квадрата:

  Це означення довжини вектора є узагальненням поняття довжини вектора в наочному просторі. Знайдемо довжину будь-якого вектора системи ортонормованих векторів :

  Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається нормованим (одиничним). Легко помітити, що нормований вектор                                                              

  Якщо у лінійному просторі визначено скалярний добуток двох векторів то лінійний простір називається евклідовим.

  Введемо поняття відстані між двома точками евклідового простору. В лінійному евклідовому просторі вектор – це напрямлений відрізок, початком якого є деяка точка  а кінцем – точка Довжина вектора, що сполучає точки  і  позначається  і приймається за відстань між цими точками:    

  Компонентами вектора  є різниці   

тому                                   Кутом між векторами  і  у n-вимірному просторі назвемо  число φ, яке задовольняє умову               звідки                                        

  Для того щоб це означення мало сенс, необхідно довести, що

або  тобто                                    

  Ця нерівність називається нерівністю Буняковського – Коші – Шварца.

Або  де  - будь-яке число. Після розкриття дужок  покладемо рівним  Нерівність доведена.

  Доведемо так зване правило трикутника. Для наочного простору відомо, що довжина будь-якої сторони трикутника не більша за суму довжин двох інших його сторін:                                                

  Покажемо, що ця нерівність справджується і для n-вимірних векторів. Дійсно, нерівність  можна записати у вигляді

але    

звідки й випливає нерівність

Проекція вектора на вісь

  Надалі напрям осі визначатимемо одиничним вектором  а вісь позначимо буквою   Нехай дано вектор  і вісь  Проекцією  вектора  на вісь  називається довжина відрізка  який відтинається від цієї осі

площинами, що проходять через початок  і кінець  вектора  перпендикулярно до осі. Довжину відрізка  беремо із знаком «плюс» або «мінус» залежно від того, однаково чи протилежно напрямлені вектор  і вісь  (рис 1.23, а, б), тобто

  Проведемо через точку пряму, паралельну осі , до перетину з площиною, яка перпендикулярна до осі  і проходить через точку  Дістанемо відрізок  Позначимо через  кут між віссю  і вектором  Тоді з прямокутного трикутника  знаходимо

причому

якщо

якщо

  Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між віссю і вектором:

  Проекцію вектора на вісь позначають ще й так:

Проекцією вектора  на вісь  одиничний вектор якої  можна подати у вигляді скалярного добутку вектора  на одиничний вектор :

Розглянемо проекцію вектора на вектор. Проекція одного вектора на інший дорівнює скалярному добутку першого вектора на одиничний вектор другого:

                                               

де  і  - відповідно одиничні вектори векторів  і

  Для координатних осей декартової прямокутної системи координат XYZ одиничні вектори, як уже зазначалось, відповідно позначаються  Тоді проекції вектора  на координатні осі

де  і  – напрямні кути вектора  Ці формули вже було знайдено.   Скалярний добуток           можна записати у вигляді

       

  Теорема4.1. Проекція на вісь лінійної комбінації скінченного числа векторів дорівнює відповідній лінійній комбінації їхніх проекцій на ту саму вісь:

  Н а с л і д о к  1. Проекція суми скінченного числа веторів на вісь (вектор) дорівнює сумі відповідних проекцій цих векторів на ту саму вісь (вектор).

  Н а с л і д о к  2. Сталий множник можна виносити за знак проекції:

Основні застосування скалярного   добутку векторів

  Нехай два вектори  і  задано їхніми проекціями:

 і

  Тоді можна знайти:

  а) кут між даними векторами (напрямами)

  б) проекцію одного вектора на інший

  в) роботу сталої сили на прямолінійній ділянці шляху.

  Справді, робота  сталої сили  на прямолінійному шляху  який складає кут  з вектором  дорівнює  або  (рис. 1.24).

  Скалярний добуток використовується для означення лінійної незалежності системи векторів. Нехай дано систему векторів  з компонентами  Треба побудувати визначник із системи скалярних добутків векторів

  Цей визначник називається визначником Грама.

  Теорема. Для того щоб система векторів  була лінійно незалежною, необхідно і достатньо, щоб визначник Грама був додатним.

  Приклад 4.2. Нехай дано трикутник  сторони якого дорівнюють  Довести теорему косинусів:

  Д о в е д е н н я. Розглянемо вектори  і які збігаються з відповідними сторонами трикутника і напрямлені так, як показано на рис. 1.25. Тоді  Скалярний квадрат вектора дорівнює

звідки   або

Отже,      

  Це співвідношення називають теоремою косинусів.

Поділ відрізка у даному відношенні. Координати центра мас (тяжіння)

  Нехай дано відрізок  де  і (рис. 1.26). Знайдемо на відрізку таку точку  яка поділяє цей відрізок у відношенні  тобто

  Радіусами-векторами двох векторів є відповідно

 і

Тоді радіус-вектор шуканої точки

  Розглянемо вектори  і  Маємо  За правилом віднімання векторів знаходимо (рис. 1.26)    і  Отже,   

звідки   

  Проектуючи радіуси-вектори на осі координат, дістаємо

 

  Якщо точка  є серединою відрізка  то  і тоді

  

  Зазначимо, що  може бути і від’ємною. Тоді точка  лежить на прямій, яка проходить через точки  і  поза відрізком

  Виведемо тепер формули для координат центра мас системи матеріальних точок.

  Нехай у точках  сконцентровано маси (рис. 1.27). Виберемо прямокутну систему координат  у тривимірному просторі. Позначимо координати даних точок:  а радіуси-вектори цих точок відповідно  

 Поділимо відрізок  у відношенні  Відповідно дістанемо

  Точка, радіус-вектор якої обчислюється за формулою

                                                 

називається центром мас двох матеріальних точок  і

  Знайдемо радіусом-вектор центра мас точок   з масою  і  з масою  Маємо    .  Підставивши значення , знайдемо

.                                            

  Точка С3 називається центром мас трьох матеріальних точок  і

  Методом математичної індукції можна довести, що центром мас даної системи  матеріальних точок є точка  (позначимо її ). Радіус-вектор цієї точки обчислюється за формулою                                     

  Проектуючи радіуси-вектори з цієї формули на осі координат, дістанемо

  де координати центра мас  сконцентрованих у точках  

  Якщо чисельник і знаменник у формулах помножити на прискорення g вільного падіння і врахувати, що migi=pi, де pi – вага відповідної точки, то дістанемо формули для радіуса-вектора і координат центра ваги системи матеріальних точок:

  ;             


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22282. БОЛЕЗНИ ПЕЧЕНИ 40.5 KB
  ГЕПАТОЗЫ – это болезни печени характеризующиеся дистрофией и некрозом гепатоцитов. ГЕПАТИТЫ – заболевания печени в основе которого лежит воспаление проявляющееся как в дистрофии и некрозе гепатоцитов так и в клеточной инфильтрации стромы. ОПУХОЛИ – болезни печени с развитием в ткани печени опухолевого процесса первичного или вторичного происхождения метастазы в печени.
22283. БОЛЕЗНИ ПОЧЕК (НЕФРОПАТИИ) 35.5 KB
  Гломерулопатии – это заболевания которые характеризуются первичными воспалительными или дистрофическими поражениями клубочков гломерул почек что ведет к нарушению функции фильтрации. Классификация гломерулопатий: гломерулонефриты нефротический синдром амилоидоз почек диабетический гломерулосклероз печеночный гломерулосклероз. Гломерулонефриты – это группа заболеваний почек для которых характерно: двухсторонний процесс воспалительные негнойные поражения клубочков гломерул почечные симптомы – гематурия эритроциты в моче...
22284. ВОЗДУШНО-КАПЕЛЬНЫЕ ИНФЕКЦИИ 35.5 KB
  Все изменения при этой болезни связаны с попаданием токсина в кровь – токсинемией. Экзотоксин всасывается в кровь что ведет к тяжелым общим изменениям со стороны миокарда нервной системы выделительной системы. Местные изменения в миндалинах при фиксации на них стрептококка характеризуются воспалением первичный скарлатинозный аффект с присоединением регионарного лимфаденита первичный скарлатинозный комплекс. Местные изменения в 1й период локализуются в зеве и миндалинах.
22285. ВОСПАЛЕНИЕ. Морфогенез 40.5 KB
  Этилогия Агенты воспаления факторы вызывающие воспаление: биологические агенты – бактерии вирусы иммунные комплексы физические агенты – травмы высокие и низкие температуры химические агенты – токсины и яды бактериальные и не бактериальные яды. Морфогенез Воспаление состоит из трех стадий: альтерация экссудация пролиферация. Гепатит – воспаления печени плеврит – воспаление плевры гастрит – воспаление желудка.
22286. ПРОДУКТИВНОЕ ВОСПАЛЕНИЕ 36 KB
  Виды продуктивного воспаления: межуточное интерстициальное воспаление гранулематозное воспаление воспаление вокруг животных паразитов воспаление с образованием папиллом и кондилом. МЕЖУТОЧНОЕ ВОСПАЛЕНИЕ Определение. ГРАНУЛЕМАТОЗНОЕ ВОСПАЛЕНИЕ Определение.
22287. ГАСТРИТ 44 KB
  По патогенезу: Гастрит типа А аутоиммунный характеризуется поражением фундального отдела желудка Гастрит типа В неиммунный локализуется в антральном отделе желудка. При этой форме происходит атрофия желез желудка. Макро – слизистая желудка бледная тонкая складки сглажены.
22288. Гипертоническая болезнь 46 KB
  Гипертоническая болезнь ГБ – хроническое заболевание характеризующееся длительным и постоянным повышением артериального давления АД что связано со спазмом артериол а затем и со склерозом артериол артериолосклероз. Это связано с кратковременным спазмом артериол. В эту стадию происходит гипертрофия мышечной оболочки артериол и незначительная рабочая гипертрофия миокарда левого желудочка. В основе этого состояния – склероз и гиалиноз стенки артериол.
22289. ДИСГОРМОНАЛЬНЫЕ БОЛЕЗНИ И ОПУХОЛИ ПОЛОВЫХ ОРГАНОВ 34.5 KB
  ГИПЕРТРОФИЯ ПРОСТАТЫ Определение: дисгормональная болезнь простаты которая возникает у мужчин в пожилом и старческом возрасте и характеризуется разрастанием железистого эпителия мышечной и соединительной ткани в виде узлов. Осложнения: на фоне гиперплазий молочной железы может развиться рак. Особенно часто рак развивается на фоне цистоаденопапилломы. Первые две формы не являются предраковыми состояниями.
22290. ДИАГНОСТИКА УМСТВЕННОГО РАЗВИТИЯ И ОБЩИХ СПОСОБНОСТЕЙ 268.5 KB
  Другая причина умения и навыки полученные индивидами на ранних этапах своей жизни и обеспечившие их быстрое развитие сохраняются и служат предпосылками развития и в дальнейшем. Все это важные характеристики когнитивного развития человека однако они не являются показателями интеллектуальных способностей. На современном этапе несмотря на то что по проблеме интеллекта было опубликовано более 900 000 работ психология интеллекта стоит лишь в самом начале своего развития.