17791

Векторний добуток двох векторів

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 5. Векторний добуток двох векторів Векторним добутком двох векторів і називається вектор такий що: а де; 2.60 б і ; в якщо то вектори утворюють праву трійку. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою якщо з кін

Украинкский

2013-07-05

2.87 MB

22 чел.

Лекція 5.

Векторний добуток двох векторів

Векторним добутком двох векторів  і називається вектор такий, що:

а) , де;                (2.60)

б)  і ;

в) якщо  то вектори     утворюють праву трійку.

Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.

Згідно з умовою а), вектор  тоді і тільки тоді, коли вектори  і  колінеарні. В окремому випадку. Коли який-небудь із векторів ( чи ) є нуль-вектором, то вони колінеарні, і як наслідок, . Якщо  то  чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах  і  проведених до спільного початку (рис. 1.28).

Векторний добуток позначається

Властивості векторного добутку.

1°. Векторний добуток двох векторів не має комутативної (переставної) властивості. Для векторного добутку справджується рівність

  Рис. 1.28      Рис. 1.29

2°. Розглянемо векторний добуток одиничних векторів координатних осей (ортів) (рис. 1.22, 1.29). Згідно з означенням векторного добутку знаходимо

 

 

 

3°. Векторний добуток має розподільну властивість відносно скалярного множника:

4°. Векторний добуток має розподільну властивість відносно векторного множника:

5°. Векторний добуток у координатній форма. Нехай задано вектор 

 

у прямокутній системі координат з ортами     Знайдемо векторний добуток цих векторів:

Враховуючи властивість 2°, дістанемо:

Отже, проекції вектора  на координатні осі дорівнюють

пр

=пр

=пр

Тоді для знаходження векторного добутку двох даних векторів маємо формулу

Приклад. Знайти векторний добуток  і

Розв’язання. Маємо

Відповідь.

Застосування векторного добутку

  1.  Обчислення площі трикутника.

Нехай дано трикутник з вершинами у точках

 і

Знайти площу трикутника АВС (рис. 1.30).

Розв’язання. Розглянемо два вектори  і , що збігається із сторонами трикутника АВС. Модуль векторного добутку  згідно з  означенням векторного добутку, дорівнює площі паралелограма  Тоді площа трикутника

Знаючи координати початку і кінця векторів  і , знайдемо ці вектори:

.

Тоді площа трикутнику

Розглянемо вектор , який дорівнює добутку векторів  і

Проекція вектора  на координатній осі будуть

 

а довжина

Тоді площа трикутника можна записати у вигляді

Розглянемо окремий випадок, коли трикутник лежить в одній з координатних площин, наприклад у площині  При цьому  а проекції вектора  дорівнюють відповідно

 

Площа трикутника, який лежить у площині   з вершинами в точках   і  дорівнює

Визначник другого порядку в останній формулі можна записати у вигляді визначника третього порядку:

Тоді площа трикутника з вершинами  у точках , і  може бути виражена формулою

Аналогічно можна записати формули площ трикутників, які лежать у координатних площинах  і .

Приклад. Знайти площу трикутника, вершини якого розміщено в точках ,  і .

Розвзання. Маємо

тоді

(кв. од.).

2. Умова паралельності (колінеарності, або лінійної залежності) двох векторів.

Два вектори тривимірного простору, що відмінні від нуль-вектора, паралельні тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нуль-вектору.

а) Нехай вектори  і  паралельні, тоді , де  – деяке дійсне число, або

Тоді

б) Нехай векторний добуток , тоді , тобто .

3.Момент сили відносно полюса.

Відомо, що момент сили  відносно полюса (точки) О дорівнює векторному добутку радіус-вектора точки прикладення сили на вектор сили (рис. 1.31, а,б):

Добуток трьох векторів.

Змішаний добуток і його властивості

Послідовність множення трьох векторів   і  можна здійснити різними способами.

1. Можна два перших вектори  і  перемножити скалярно, а потім знайдене число перемножити на третій вектор . При цьому вектор  буде колінеарний вектору , тобто  де .Очевидно,

2. Можна вектори  і  перемножити векторно і знайдений вектор  помножити скалярно на вектор :

У результаті дістанемо число, яке називається змішаним добутком трьох векторів.

3. Можна два вектори  і  перемножити векторно і знайдений вектор   помножити векторно на третій вектор . Дістанемо вектор ,який називається подвійним векторним добутком даних трьох векторів:

Властивості змішаного добутку.

1°. Розглянемо три вектори ,  і , які не лежать на одній площині (рис. 1.32).

Побудуємо на цих векторах, як на ребрах, що виходить із однієї точки, паралелепіпед. Знайдемо об’єм паралелепіпеда

де Q площа основи, а Н – висота.

Згідно з означенням векторного добутку двох векторів,

Висота паралелепіпеда Н дорівнює модулю проекції вектора на вектор  :

де  – одиничний вектор векторного добутку .

Таким чином,

Отже, геометрично змішаний добуток трьох векторів   і  взятий за абсолютною величиною, є обємом паралелепіпеда, побудованого на векторах, які перемножуються, як на ребрах, що виходять з однієї точки.

2°. Змішаний добуток трьох векторів додатний, якщо розміщення векторів відповідає правій системі координат, і від’ємний, якщо розміщення векторів відповідає лівій системі координат.

Справді, якщо вектори   і  розміщенні так, як показано на рис. 1.33, а, то кут  між векторами  і  гострий, тоді  . Якщо вектори   і  розміщенні так, як показано на рис. 1.33, б, то кут  між векторами  і  тупий. Тому в першому випадку скалярний добуток  додатний, а в другому – відємний.

Таким чином

3°. Три вектори   і , відмінні від нуль-вектора, лежать на одній і тій самій площині, тобто є лінійно залежними, тоді і тільки тоді, коли їхній змішаний добуток дорівнює нулю.

Це випливає з формули (2.61).

4°. Нехай задано три вектори в координатній формі:

   

Тоді їхній змішаний добуток

Як відомо,

 

Отже,

Таким чином, змішаний добуток векторів, заданий в координатній формі, дорівнює

                                                         (2.62)

Користуючись формулою (2.62), формулу (2.61) для обчислення обєму паралелепіпеда можна записати у вигляді

де знак «+» треба брати тоді, колі значення визначника додатне, і знак «–» тоді, коли це значення відємне.

Якщо вектори  ,  (рис. 1.32) задано координатами їхніх початку і кінця, тобто точками , ,  , то

Умову компланарності трьох векторів можна записати у вигляді

або

Аналогічно знаходимо умову належності чотирьох точок , ,   тривимірного простору однієї і тієї самої площини (рис. 1.34).

Дані точки лежать в одній площині, якщо вектори   , лежать у тій самій площині, а це буде тоді й тільки тоді, коли

або

5°. Розглянемо застосування змішаного добутку векторів до обчислення обєму трикутної піраміди.

Нехай вершини трикутної піраміди (рис. 1.34) лежить у точках , ,  і . Площа трикутника  (основи піраміди) позначимо через Q, а її висоту |DO| – через Н. Обєм піраміди

Знайдемо вектори:

Тоді

а

Таким чином,

Тобто об’єм трикутної піраміди дорівнює 1/6 модуля змішаного добутку векторів, які збігаються з ребрами піраміди, що виходять з однієї і тієї самої вершини:

Приклад. Визначити, чи будуть лінійно залежними вектори

 

Розвязання. Обчислимо змішаний добуток векторів   і

тобто дані вектори лінійно залежні.

Подвійний векторний добуток

Нехай задано три вектори   і . Розглянемо їхній добуток  

.

Позначимо , тоді . Можна показати, що проекції     вектора  на координатні осі відповідно дорівнюють:

 

а

або

Розглянемо тепер  добуток . Маємо

Зауваження. Розглянуті в п.п. 2.19-2.20 не поширюються на випадок вектора з числом компонент .

ВПРАВИ 1. Вершини чотирикутника лежать  у точках    і

Довести, що чотирикутник  – трапеція.

2. Довести, що чотирикутник з вершинами    і  – квадрат.

3. Дано вектори   

Знайти

4. Дано вектори   

Знайти


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36136. БЮДЖЕТИ МІСЦЕВОГО САМОВРЯДУВАННЯ 220.5 KB
  БЮДЖЕТИ МІСЦЕВОГО САМОВРЯДУВАННЯ Бюджети місцевого самоврядування у складі бюджетної системи. Правове регулювання місцевого бюджетного процесу. Принципи і система місцевого самоврядування. Бюджетний федералізм як принцип побудови фінансів місцевого самоврядування.
36137. ДОХОДИ І ВИДАТКИ МІСЦЕВИХ БЮДЖЕТІВ УКРАЇНИ 329 KB
  ДОХОДИ І ВИДАТКИ МІСЦЕВИХ БЮДЖЕТІВ УКРАЇНИ Роль місцевих бюджетів у соціальному та економічному розвиткові регіонів Порядок складання проектів місцевих бюджетів. Порядок розгляду затвердження та виконання місцевих бюджетів. Особливості затвердження та виконання місцевих бюджетів у разі несвоєчасного їх прийняття. Періодичність структура та терміни подання звітності про виконання місцевих бюджетів.
36138. МІЖБЮДЖЕТНІ ВЗАЄМОВІДНОСИНИ 140 KB
  Друга група видатки пов’язані з функціонуванням бюджетних установ які забезпечують мінімальні соціальні послуги гарантовані державою для всіх громадян України відповідно до норм та стандартів визначених державою середні школи лікарні широкого профілю клуби палаци культури бібліотеки стадіони тощо. Третя група видатки пов’язані з функціонуванням бюджетних установ які забезпечують гарантовані державою мінімальні соціальні послуги для окремих категорій громадян або видатки на виконання спеціальних програм потреба в яких...
36139. БЮДЖЕТНЕ ПЛАНУВАННЯ І КОНТРОЛЬ 283 KB
  Роль Міністерства фінансів України та його органів на місцях у бюджетному плануванні та прогнозуванні. Органи бюджетного контролю: Рахункова палата Державна податкова служба України Державна контрольноревізійна служба. Органи бюджетного контролю: Рахункова палата Державна податкова служба України Державна контрольноревізійна служба. Нормативноправова база завдання принципи методи бюджетного планування Основними юридичними документами які регулюють процес бюджетного планування є: Конституція України де визначено концептуальні...
36140. Подрезание и заострение зуба 491 KB
  Согласно свойствам эвольвентного зацепления прямолинейная, т. е. эвольвентная, часть ИПК и эвольвентная часть профиля зуба колеса располагаются касательно друг к другу только на линии станочного зацепления, начинающейся в точке N.
36141. Анатомия. Ответы к экзамену 1.83 MB
  Мышцы производящие эти движения их кровоснабжение и иннервация. Движения мышцы действующие на суставы их кровоснабжение и иннервация. Движения ребер мышцы производящие эти движения их кровоснабжение и иннервация. Ребра ограничивающие нижнюю апертуру образуют реберную дугу Мышцы груди Мышцы груди разделяются на мышцы начинающиеся на поверхности грудной клетки и на собственные аутохтонные мышцы груди входящие в состав стенок грудной полости.
36142. Нервная система. Классификация нервной системы 586 KB
  мозг делится на ствол мозга полушария большого мозга и мозжечок. В коре полушарий головного мозга осуществляется анализ и синтез различных раздражений внешнего мира. К таким эфферентным нейронам можно отнести нейроны различных отделов мозга посылающие аксоны идущие в составе длинных нисходящих трактов к спинному мозгу. На головном конце животного который при движении вперед соприкасается с различными предметами окружающего мира развиваются органы чувств в связи с чем головные узлы развиваются сильнее остальных являясь прообразом...
36143. Опорно-двигательный аппарат 432.5 KB
  Макроскопически кость состоит из расположенного по периферии компактного вещества substanfia compacta и губчатого вещества siibsianlia spongiosa массы костных перекладин в середине кости. Зтк перекладины расположены не беспорядочно а соответствен ко линиям сжатия и растяжения которые действуют на определенные участки кости. Костномозговая полость находящаяся в толще трубчатой кости выстлана соединительнотканной оболочкой эндостомом endostemn Ячейки губчатого вещества и костномозговая полость в трубчатых костях...