17791

Векторний добуток двох векторів

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 5. Векторний добуток двох векторів Векторним добутком двох векторів і називається вектор такий що: а де; 2.60 б і ; в якщо то вектори утворюють праву трійку. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою якщо з кін

Украинкский

2013-07-05

2.87 MB

22 чел.

Лекція 5.

Векторний добуток двох векторів

Векторним добутком двох векторів  і називається вектор такий, що:

а) , де;                (2.60)

б)  і ;

в) якщо  то вектори     утворюють праву трійку.

Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.

Згідно з умовою а), вектор  тоді і тільки тоді, коли вектори  і  колінеарні. В окремому випадку. Коли який-небудь із векторів ( чи ) є нуль-вектором, то вони колінеарні, і як наслідок, . Якщо  то  чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах  і  проведених до спільного початку (рис. 1.28).

Векторний добуток позначається

Властивості векторного добутку.

1°. Векторний добуток двох векторів не має комутативної (переставної) властивості. Для векторного добутку справджується рівність

  Рис. 1.28      Рис. 1.29

2°. Розглянемо векторний добуток одиничних векторів координатних осей (ортів) (рис. 1.22, 1.29). Згідно з означенням векторного добутку знаходимо

 

 

 

3°. Векторний добуток має розподільну властивість відносно скалярного множника:

4°. Векторний добуток має розподільну властивість відносно векторного множника:

5°. Векторний добуток у координатній форма. Нехай задано вектор 

 

у прямокутній системі координат з ортами     Знайдемо векторний добуток цих векторів:

Враховуючи властивість 2°, дістанемо:

Отже, проекції вектора  на координатні осі дорівнюють

пр

=пр

=пр

Тоді для знаходження векторного добутку двох даних векторів маємо формулу

Приклад. Знайти векторний добуток  і

Розв’язання. Маємо

Відповідь.

Застосування векторного добутку

  1.  Обчислення площі трикутника.

Нехай дано трикутник з вершинами у точках

 і

Знайти площу трикутника АВС (рис. 1.30).

Розв’язання. Розглянемо два вектори  і , що збігається із сторонами трикутника АВС. Модуль векторного добутку  згідно з  означенням векторного добутку, дорівнює площі паралелограма  Тоді площа трикутника

Знаючи координати початку і кінця векторів  і , знайдемо ці вектори:

.

Тоді площа трикутнику

Розглянемо вектор , який дорівнює добутку векторів  і

Проекція вектора  на координатній осі будуть

 

а довжина

Тоді площа трикутника можна записати у вигляді

Розглянемо окремий випадок, коли трикутник лежить в одній з координатних площин, наприклад у площині  При цьому  а проекції вектора  дорівнюють відповідно

 

Площа трикутника, який лежить у площині   з вершинами в точках   і  дорівнює

Визначник другого порядку в останній формулі можна записати у вигляді визначника третього порядку:

Тоді площа трикутника з вершинами  у точках , і  може бути виражена формулою

Аналогічно можна записати формули площ трикутників, які лежать у координатних площинах  і .

Приклад. Знайти площу трикутника, вершини якого розміщено в точках ,  і .

Розвзання. Маємо

тоді

(кв. од.).

2. Умова паралельності (колінеарності, або лінійної залежності) двох векторів.

Два вектори тривимірного простору, що відмінні від нуль-вектора, паралельні тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нуль-вектору.

а) Нехай вектори  і  паралельні, тоді , де  – деяке дійсне число, або

Тоді

б) Нехай векторний добуток , тоді , тобто .

3.Момент сили відносно полюса.

Відомо, що момент сили  відносно полюса (точки) О дорівнює векторному добутку радіус-вектора точки прикладення сили на вектор сили (рис. 1.31, а,б):

Добуток трьох векторів.

Змішаний добуток і його властивості

Послідовність множення трьох векторів   і  можна здійснити різними способами.

1. Можна два перших вектори  і  перемножити скалярно, а потім знайдене число перемножити на третій вектор . При цьому вектор  буде колінеарний вектору , тобто  де .Очевидно,

2. Можна вектори  і  перемножити векторно і знайдений вектор  помножити скалярно на вектор :

У результаті дістанемо число, яке називається змішаним добутком трьох векторів.

3. Можна два вектори  і  перемножити векторно і знайдений вектор   помножити векторно на третій вектор . Дістанемо вектор ,який називається подвійним векторним добутком даних трьох векторів:

Властивості змішаного добутку.

1°. Розглянемо три вектори ,  і , які не лежать на одній площині (рис. 1.32).

Побудуємо на цих векторах, як на ребрах, що виходить із однієї точки, паралелепіпед. Знайдемо об’єм паралелепіпеда

де Q площа основи, а Н – висота.

Згідно з означенням векторного добутку двох векторів,

Висота паралелепіпеда Н дорівнює модулю проекції вектора на вектор  :

де  – одиничний вектор векторного добутку .

Таким чином,

Отже, геометрично змішаний добуток трьох векторів   і  взятий за абсолютною величиною, є обємом паралелепіпеда, побудованого на векторах, які перемножуються, як на ребрах, що виходять з однієї точки.

2°. Змішаний добуток трьох векторів додатний, якщо розміщення векторів відповідає правій системі координат, і від’ємний, якщо розміщення векторів відповідає лівій системі координат.

Справді, якщо вектори   і  розміщенні так, як показано на рис. 1.33, а, то кут  між векторами  і  гострий, тоді  . Якщо вектори   і  розміщенні так, як показано на рис. 1.33, б, то кут  між векторами  і  тупий. Тому в першому випадку скалярний добуток  додатний, а в другому – відємний.

Таким чином

3°. Три вектори   і , відмінні від нуль-вектора, лежать на одній і тій самій площині, тобто є лінійно залежними, тоді і тільки тоді, коли їхній змішаний добуток дорівнює нулю.

Це випливає з формули (2.61).

4°. Нехай задано три вектори в координатній формі:

   

Тоді їхній змішаний добуток

Як відомо,

 

Отже,

Таким чином, змішаний добуток векторів, заданий в координатній формі, дорівнює

                                                         (2.62)

Користуючись формулою (2.62), формулу (2.61) для обчислення обєму паралелепіпеда можна записати у вигляді

де знак «+» треба брати тоді, колі значення визначника додатне, і знак «–» тоді, коли це значення відємне.

Якщо вектори  ,  (рис. 1.32) задано координатами їхніх початку і кінця, тобто точками , ,  , то

Умову компланарності трьох векторів можна записати у вигляді

або

Аналогічно знаходимо умову належності чотирьох точок , ,   тривимірного простору однієї і тієї самої площини (рис. 1.34).

Дані точки лежать в одній площині, якщо вектори   , лежать у тій самій площині, а це буде тоді й тільки тоді, коли

або

5°. Розглянемо застосування змішаного добутку векторів до обчислення обєму трикутної піраміди.

Нехай вершини трикутної піраміди (рис. 1.34) лежить у точках , ,  і . Площа трикутника  (основи піраміди) позначимо через Q, а її висоту |DO| – через Н. Обєм піраміди

Знайдемо вектори:

Тоді

а

Таким чином,

Тобто об’єм трикутної піраміди дорівнює 1/6 модуля змішаного добутку векторів, які збігаються з ребрами піраміди, що виходять з однієї і тієї самої вершини:

Приклад. Визначити, чи будуть лінійно залежними вектори

 

Розвязання. Обчислимо змішаний добуток векторів   і

тобто дані вектори лінійно залежні.

Подвійний векторний добуток

Нехай задано три вектори   і . Розглянемо їхній добуток  

.

Позначимо , тоді . Можна показати, що проекції     вектора  на координатні осі відповідно дорівнюють:

 

а

або

Розглянемо тепер  добуток . Маємо

Зауваження. Розглянуті в п.п. 2.19-2.20 не поширюються на випадок вектора з числом компонент .

ВПРАВИ 1. Вершини чотирикутника лежать  у точках    і

Довести, що чотирикутник  – трапеція.

2. Довести, що чотирикутник з вершинами    і  – квадрат.

3. Дано вектори   

Знайти

4. Дано вектори   

Знайти


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20674. Философские идеи Карла Маркса и Фридриха Энгельса 63 KB
  Карл Маркс 1818 –1883 и Фридрих Энгельс 1820–1895 немецкие философы родоначальники диалектического и исторического материализма. Например Марксу принадлежат: Критика гегелевской философии права 1843. Капитал 1867 1885 1894 Энгельс редактировал второй и третий тома Капитала после смерти Маркса.
20675. Философия Фридриха Ницше 41.5 KB
  Фридрих Ницше 18441900г. Принято творчество Ницше подразделять на ряд этапов. На втором этапе Ницше старался разрабатывать уже собственные оригинальные идеи.
20676. Философские аспекты психоанализа Зигмунда Фрейда 51.5 KB
  Зигмунд Фрейд 18561939 учёный врач психиатр проживавший в Австрии. Фрейд признан отцомоснователем психоанализа течения в медицине признающего узость физиологического неврологического и просто инструментального подхода гипноз электрошок и пр. Неправомерно отождествлять фрейдизм и психоанализ как таковой который в современной науке представляет сложную дисциплину далеко выходящую за границы учения Фрейда и его последователей.
20677. Классический позитивизм и эмпириокритицизм в истории философии 100.5 KB
  Таким образом по мнению позитивистов право на истинность получает знание сообщаемое исключительно наукой а единственными методами познания выступают естественнонаучный инструментарий. Историю обществоведение по его мнению следует обогатить точными методами и экспериментами. По мере смены этих форм господства по мнению СенСимона происходит смена форм мировоззрения: для феодализма характерно религиозное для индустриализма – научное воззрение на мир. По его мнению научная социология или социальная физика должна стать единственным...
20678. Структурализм в философии 35.5 KB
  Так же известными представителями данного течения были ЛевиСтросс Альтюссер Фуко и Лакан выступившие против экзистенциализма идеалистического субъективизма персонализма историцизма и плоского эмпиризма. Клод ЛевиСтросс 1908 – французский философ социолог этнолог считается основателем структурной школы в этнологии и современного философского структурализма. Структуралистская концепция ЛевиСтросса отразила широкий диапазон накопленных знаний в естественных и гуманитарных науках. Так например ЛевиСтросс особое значение придал...
20679. Философская герменевтика 43.5 KB
  Гадамер. Ганс Георг Гадамер немецкий философ родился в 1900 умер в 2002 году. Главным герменевтическим сочинением Гадамера признана работа Истина и метод I960. Хайдеггер Диалектика Гегеля 1971 Путь Хайдеггера 1983 четырехтомник Малых работ 19671977 Гадамер в своих ранних произведениях анализирующих античную философскую культуру стремится использовать герменевтический метод преподнося концепцию понимания как интерпретацию а концепцию познания как поиска согласия в диалоге.
20680. Экзистенциальное учение в творчестве Мартина Хайдеггера 48.5 KB
  Основным его трудом признана работа Бытие и время 1927 в которой ставится акцент на необходимость в изучении онтологической проблематики первоначально понять кто вопрошает о смысле бытия и предлагается экзистенциальное раскрытие сути вопрошающего. Рассматривая творчество Хайдеггера через призму экзистенциального учения необходимо прежде всего обратиться к работе Бытие и время. По Хайдеггеру человек имеет определённую бытийную способность которая вынуждает нас искать нечто обозначаемое как здесь – бытие Dasein или наличное...
20681. «Философия существования» в произведениях Ж.-П. Сартра 46.5 KB
  Сартра. ЖанПоль Сартр 19051980 французский писатель и философ центральной проблемой творчества которого было отношение сущности и существования. Сартр считал основываясь на феноменологии что не возможно воспринять подлинную сущность объекта можно лишь фиксировать существование экзистенцию в том числе и существование человека. Сартр проявлял интерес к марксистскому учению.
20682. Философия науки в 20 веке (постпозитивистские течения) 72 KB
  Философия науки направление в философии которое предметом своих исследований избирает научное знание то есть стремится понять основные принципы лежащие в основе естественных наук как таковых. В этом разделе обсуждаются вопросы о сущности науки её отличия от мифов религии связи с социокультурным историческим уровнем развития общества. Затрагиваются проблемы ценности и этичности научного познания методологии и целей развития науки и т.