17791

Векторний добуток двох векторів

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 5. Векторний добуток двох векторів Векторним добутком двох векторів і називається вектор такий що: а де; 2.60 б і ; в якщо то вектори утворюють праву трійку. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою якщо з кін

Украинкский

2013-07-05

2.87 MB

22 чел.

Лекція 5.

Векторний добуток двох векторів

Векторним добутком двох векторів  і називається вектор такий, що:

а) , де;                (2.60)

б)  і ;

в) якщо  то вектори     утворюють праву трійку.

Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.

Згідно з умовою а), вектор  тоді і тільки тоді, коли вектори  і  колінеарні. В окремому випадку. Коли який-небудь із векторів ( чи ) є нуль-вектором, то вони колінеарні, і як наслідок, . Якщо  то  чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах  і  проведених до спільного початку (рис. 1.28).

Векторний добуток позначається

Властивості векторного добутку.

1°. Векторний добуток двох векторів не має комутативної (переставної) властивості. Для векторного добутку справджується рівність

  Рис. 1.28      Рис. 1.29

2°. Розглянемо векторний добуток одиничних векторів координатних осей (ортів) (рис. 1.22, 1.29). Згідно з означенням векторного добутку знаходимо

 

 

 

3°. Векторний добуток має розподільну властивість відносно скалярного множника:

4°. Векторний добуток має розподільну властивість відносно векторного множника:

5°. Векторний добуток у координатній форма. Нехай задано вектор 

 

у прямокутній системі координат з ортами     Знайдемо векторний добуток цих векторів:

Враховуючи властивість 2°, дістанемо:

Отже, проекції вектора  на координатні осі дорівнюють

пр

=пр

=пр

Тоді для знаходження векторного добутку двох даних векторів маємо формулу

Приклад. Знайти векторний добуток  і

Розв’язання. Маємо

Відповідь.

Застосування векторного добутку

  1.  Обчислення площі трикутника.

Нехай дано трикутник з вершинами у точках

 і

Знайти площу трикутника АВС (рис. 1.30).

Розв’язання. Розглянемо два вектори  і , що збігається із сторонами трикутника АВС. Модуль векторного добутку  згідно з  означенням векторного добутку, дорівнює площі паралелограма  Тоді площа трикутника

Знаючи координати початку і кінця векторів  і , знайдемо ці вектори:

.

Тоді площа трикутнику

Розглянемо вектор , який дорівнює добутку векторів  і

Проекція вектора  на координатній осі будуть

 

а довжина

Тоді площа трикутника можна записати у вигляді

Розглянемо окремий випадок, коли трикутник лежить в одній з координатних площин, наприклад у площині  При цьому  а проекції вектора  дорівнюють відповідно

 

Площа трикутника, який лежить у площині   з вершинами в точках   і  дорівнює

Визначник другого порядку в останній формулі можна записати у вигляді визначника третього порядку:

Тоді площа трикутника з вершинами  у точках , і  може бути виражена формулою

Аналогічно можна записати формули площ трикутників, які лежать у координатних площинах  і .

Приклад. Знайти площу трикутника, вершини якого розміщено в точках ,  і .

Розвзання. Маємо

тоді

(кв. од.).

2. Умова паралельності (колінеарності, або лінійної залежності) двох векторів.

Два вектори тривимірного простору, що відмінні від нуль-вектора, паралельні тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нуль-вектору.

а) Нехай вектори  і  паралельні, тоді , де  – деяке дійсне число, або

Тоді

б) Нехай векторний добуток , тоді , тобто .

3.Момент сили відносно полюса.

Відомо, що момент сили  відносно полюса (точки) О дорівнює векторному добутку радіус-вектора точки прикладення сили на вектор сили (рис. 1.31, а,б):

Добуток трьох векторів.

Змішаний добуток і його властивості

Послідовність множення трьох векторів   і  можна здійснити різними способами.

1. Можна два перших вектори  і  перемножити скалярно, а потім знайдене число перемножити на третій вектор . При цьому вектор  буде колінеарний вектору , тобто  де .Очевидно,

2. Можна вектори  і  перемножити векторно і знайдений вектор  помножити скалярно на вектор :

У результаті дістанемо число, яке називається змішаним добутком трьох векторів.

3. Можна два вектори  і  перемножити векторно і знайдений вектор   помножити векторно на третій вектор . Дістанемо вектор ,який називається подвійним векторним добутком даних трьох векторів:

Властивості змішаного добутку.

1°. Розглянемо три вектори ,  і , які не лежать на одній площині (рис. 1.32).

Побудуємо на цих векторах, як на ребрах, що виходить із однієї точки, паралелепіпед. Знайдемо об’єм паралелепіпеда

де Q площа основи, а Н – висота.

Згідно з означенням векторного добутку двох векторів,

Висота паралелепіпеда Н дорівнює модулю проекції вектора на вектор  :

де  – одиничний вектор векторного добутку .

Таким чином,

Отже, геометрично змішаний добуток трьох векторів   і  взятий за абсолютною величиною, є обємом паралелепіпеда, побудованого на векторах, які перемножуються, як на ребрах, що виходять з однієї точки.

2°. Змішаний добуток трьох векторів додатний, якщо розміщення векторів відповідає правій системі координат, і від’ємний, якщо розміщення векторів відповідає лівій системі координат.

Справді, якщо вектори   і  розміщенні так, як показано на рис. 1.33, а, то кут  між векторами  і  гострий, тоді  . Якщо вектори   і  розміщенні так, як показано на рис. 1.33, б, то кут  між векторами  і  тупий. Тому в першому випадку скалярний добуток  додатний, а в другому – відємний.

Таким чином

3°. Три вектори   і , відмінні від нуль-вектора, лежать на одній і тій самій площині, тобто є лінійно залежними, тоді і тільки тоді, коли їхній змішаний добуток дорівнює нулю.

Це випливає з формули (2.61).

4°. Нехай задано три вектори в координатній формі:

   

Тоді їхній змішаний добуток

Як відомо,

 

Отже,

Таким чином, змішаний добуток векторів, заданий в координатній формі, дорівнює

                                                         (2.62)

Користуючись формулою (2.62), формулу (2.61) для обчислення обєму паралелепіпеда можна записати у вигляді

де знак «+» треба брати тоді, колі значення визначника додатне, і знак «–» тоді, коли це значення відємне.

Якщо вектори  ,  (рис. 1.32) задано координатами їхніх початку і кінця, тобто точками , ,  , то

Умову компланарності трьох векторів можна записати у вигляді

або

Аналогічно знаходимо умову належності чотирьох точок , ,   тривимірного простору однієї і тієї самої площини (рис. 1.34).

Дані точки лежать в одній площині, якщо вектори   , лежать у тій самій площині, а це буде тоді й тільки тоді, коли

або

5°. Розглянемо застосування змішаного добутку векторів до обчислення обєму трикутної піраміди.

Нехай вершини трикутної піраміди (рис. 1.34) лежить у точках , ,  і . Площа трикутника  (основи піраміди) позначимо через Q, а її висоту |DO| – через Н. Обєм піраміди

Знайдемо вектори:

Тоді

а

Таким чином,

Тобто об’єм трикутної піраміди дорівнює 1/6 модуля змішаного добутку векторів, які збігаються з ребрами піраміди, що виходять з однієї і тієї самої вершини:

Приклад. Визначити, чи будуть лінійно залежними вектори

 

Розвязання. Обчислимо змішаний добуток векторів   і

тобто дані вектори лінійно залежні.

Подвійний векторний добуток

Нехай задано три вектори   і . Розглянемо їхній добуток  

.

Позначимо , тоді . Можна показати, що проекції     вектора  на координатні осі відповідно дорівнюють:

 

а

або

Розглянемо тепер  добуток . Маємо

Зауваження. Розглянуті в п.п. 2.19-2.20 не поширюються на випадок вектора з числом компонент .

ВПРАВИ 1. Вершини чотирикутника лежать  у точках    і

Довести, що чотирикутник  – трапеція.

2. Довести, що чотирикутник з вершинами    і  – квадрат.

3. Дано вектори   

Знайти

4. Дано вектори   

Знайти


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33770. Основные права и обязанности сторон по договору купли-продажи 15.5 KB
  Продавец обязан передать покупателю: товар соответствующего качества в соответствующем количестве ассортименте комплектности и комплекте. Условие о количестве товара является существенным; моментом передачи товара является момент его вручения либо предоставления в распоряжение либо передачи его перевозчику; товар в таре или упаковке; относящиеся к передаваемому товару принадлежности и документы; товар свободный от прав третьих лиц на него. Если третье лицо имеющее право собственности на проданный товар покупателю реализует свое...
33771. Договор розничной купли-продажи и защита прав потребителей 15.73 KB
  Договор розничной куплипродажи и защита прав потребителей. Договор розничной куплипродажи договор по которому продавец осуществляющий предпринимательскую деятельность по продаже товаров в розницу обязуется передать покупателю товар предназначенный для личного семейного домашнего или иного использования не связанного с предпринимательской деятельностью. Разновидности договора розничной куплипродажи: продажа товаров по образцам; продажа товаров с использованием автоматов; продажа с условием принятия товара покупателем в...
33772. Ответственность по договору розничной купли-продажи 14.71 KB
  Ответственность по договору розничной куплипродажи. Особенности ответственности по договору розничной куплипродажи: ответственность за нарушение прав потребителя может быть возложена не только на продавца но и на изготовителя товара; продавец не предоставивший покупателю информацию о товаре отвечает и за недостатки товара возникшие после его передачи; продавец не предоставивший покупателю информацию о товаре обязан возместить убытки возникшие у покупателя; возмещение продавцом убытков покупателю не освобождает его от...
33773. Понятие и сущность административного права. Предмет административно-правового регулирования и его особенности 18.28 KB
  Администрати́вное пра́во отрасль права регулирующая общественные отношения в сфере управленческой деятельности государственных органов и должностных лиц по исполнению публичных функций государства и муниципальных образований. Административное право как наука это составная часть юридической науки определяемая как система государственноуправленческих административных взглядов идей представлений о законах регламентирующих отношения в сфере государственного управления о его социальной обусловленности и эффективности о закономерностях...
33774. Объекты и субъекты административно-правовых отношений 140.01 KB
  Субъект это участник сторона правоотношения в сфере исполнительной власти наделенный соответствующими государственновластными полномочиями по осуществлению управленческих функций. Обычно в качестве субъекта административноправовых отношений управляющей стороны выступает орган исполнительной власти и его должностные лица в официальной форме выражающие волю и интересы государства. физические и юридические лица которые наделены правами и обязанностями в сфере исполнительной власти но в качестве управляемой стороны. Ими могут быть:...
33775. Понятие, виды и применение административных взысканий 17.05 KB
  Цель его защита правопорядка воспитание лиц совершивших административные правонарушения в духе уважения к закону и предупреждение совершения новых правонарушений самими правонарушителями и другими лицами. 24 КоАП за совершение административных правонарушений могут применяться следующие виды административных взысканий: 1 предупреждения; 2 штраф; 3 возмездное изъятие предмета явившегося орудием совершения или непосредственным объектом административного правонарушения; 4 конфискация предмета явившегося орудием совершения или...
33776. Государственные служащие и их категории 20.11 KB
  Государственный служащий гражданин Республики Беларусь занимающий в установленном законом порядке государственную должность наделенный соответствующими полномочиями и выполняющий служебные обязанности за денежное вознаграждение. К госслужащим относятся лица которые в установленном законом порядке занимают государственные должности в: 1 Палате Представителей и Совете Республики Парламента Национальное Собрание 2 в Правительстве и его аппарате 3 Конституционном Верховном Высшем Хозяйственном судах РБ иных общих и хозяйственных...
33777. Понятие и виды мер административной ответственности 21.41 KB
  Органы исполнительной власти и их должностные лица управомочены законом применять меры административной ответственности. По этому признаку административная ответственность отличается от дисциплинарной меры которой к работникам и служащим применяются в основном в порядке подчиненности вышестоящим органом должностным лицом. Меры административной ответственности применяются в соответствии с законодательством регламентирующим производство по делам об административных правонарушениях. В теории административного права меры административного...
33778. Понятие дисциплинарной ответственности. Меры дисциплинарной ответственности 17.28 KB
  Дисциплинарная ответственность вид юридической ответственности основным содержанием которой выступают меры дисциплинарное взыскание применяемые администрацией учреждения предприятия к сотруднику работнику в связи с совершением им дисциплинарного проступка. Функции дисциплинарной ответственности регулятивная направлена на формирование поведения сотрудника работника на определение границы между правомерным и противоправным исполнением своих трудовых обязанностей; превентивная предупреждение нарушения трудовой дисциплины как самим...