17792

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 6. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ Лінійні алгебраїчні рівняння. Теорема Кронекера Капеллі Нехай задано систему лінійних рівнянь в якій коефіцієнти і вільні члени відомі а – невідомі. Розв’язати систему– це означає знайти впорядкован

Украинкский

2013-07-05

71.09 KB

17 чел.

Лекція 6.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Лінійні алгебраїчні рівняння.

Теорема Кронекера-Капеллі

Нехай задано систему лінійних рівнянь

в якій коефіцієнти  і вільні члени  відомі, а  – невідомі. Розв’язати систему– це означає знайти впорядковану сукупність чисел  таку, що при заміні  відповідно на  кожне рівняння перетворюється на тотожність.

Систему рівнянь можна записати у векторній формі. Для цього введемо у просторі, розмірність якого дорівнює числу рівнянь, вектори

, , …, , .

Тоді система набере вигляду

 

 Згідно з цим  рівнянням  розв’язання системи  можна звести до встановлення лінійної залежності системи векторів , , …,  і . Так, система не має розв’язку, коли вектори , , …, лінійно незалежні.

Введемо матрицю коефіцієнтів системи векторів, матрицю-стовпець правої частини, матрицю-стовпець невідомих

,  ,   

Використовуючи означення добутку матриць, систему  можна записати у вигляді  .  Ця форма запису системи  називається матричною.

Поставивши задачу про відшукання розв’язку системи, ми не задавали ніяких обмежень ні на число рівнянь, ні на число невідомих.

Тому система  може не мати розв’язку.

Наприклад,

               

Система може мати нескінченну множину розв’язків.

Наприклад,

                 

Для цієї системи впорядкована трійка чисел   

де a (будь-яке дійсне число) є розв’язком.

Система може мати також єдиний розв’язок.

Наприклад,

                

Розв’язком цієї системи є тільки одна впорядкована пара чисел (2; 1).

Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок, і несумісною, якщо не має розв’язків.

Перед тим як встановити умову сумісності системи лінійних рівнянь, введемо деякі поняття. Матриця А коефіцієнтів при невідомих системи називається основною.

Приєднаємо до матриці А стовпець вільних членів. Дістанемо так звану розширену матрицю А* даної системи:

.

 Теорема Кронекера – Капеллі (умова сумісності системи лінійних рівнянь). Система сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці:

Д о в е д е н н я. Якщо система  має розв’язок , то вектор  є лінійною комбінацією векторів , , …,  , тобто стовпчик із вільних членів матриці є лінійною комбінацією стовпців матриці А системи. Базисні мінори матриць А і А* не змінювались:  . Якщо  , то базисні мінори обох матриць збігаються, і згідно з теоремою про базисний мінор справедливе рівняння , тобто система має розв’язок.

Метод Гаусса

Нехай дано систему m  лінійних рівнянь з n невідомими

Серед цих рівнянь можуть бути такі, що     

Далі вважатимемо, що система має розв’язок, тобто сумісна.

Якщо , то рівняння не задовольняє ніякі значення . У цьому разі система не має розв’язку, вона несумісна.

Якщо , то це рівняння задовольняють будь-які значення .

При цьому вираз називають не рівнянням,  а тотожністю і записують . Тотожність можна вилучити із системи. При цьому решта рівнянь матиме ті самі розв’язки, що і раніше. Говорять, що системи з тотожністю і без тотожності рівносильні. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають однакові розв’язки.

Над системами лінійних рівнянь виконують операції, які називаються елементарними:

  1.  додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на деяке число λ;
  2.  перестановку рівнянь у системі;
  3.  вилучення із системи тотожності ;
  4.  множення якого-небудь рівняння системи на дійсне число, відмінне від нуля;
  5.  перенумерування як рівнянь, так і невідомих.

Ці операції не порушують рівносильності системи рівнянь.

За допомогою операції (а) можна вилучити будь-яке невідоме з усіх рівнянь системи, окрім одного. При цьому невідоме, яке вилучають, називається провідним невідомим; коефіцієнти при провідному невідомому називаються провідними елементами, а рівняння, у якому зберігається провідне невідоме, називається провідним рівнянням.

Як приклад вилучимо з (m-1)-го рівняння системи (6.1) невідоме x1 і приймемо за головне перше рівняння. Для цього помножимо рівняння, з якого вилучимо x1, на λk, де k=2, 3, …, m, і додамо знайдене рівняння до головного. У результаті цього маємо

Поклавши  , або , дістанемо рівняння, в якому відсутнє невідоме x1. Аналогічно вилучимо з усіх рівнянь x1, крім головного (першого) рівняння. Потім, взявши за головне рівняння знайденої системи, вилучимо x2 з усіх наступних рівнянь і т. д. У результаті цього дістанемо так звану ступінчату систему

або систему у трикутній формі

 Друга система має єдиний розв’язок, а перша система  при r<n має n-r так званих вільних змінних, тобто невідомих, які набувають довільних значень.

Розглянута методика перетворення систем,  називається методом послідовних вилучень невідомих Жордана – Гаусса, або, коротко, методом Гаусса.

Цей метод можна використовувати і для визначення сумісності системи. У цьому разі в результаті послідовного вилучення невідомих дійдемо системи, в якій деякі рівняння матимуть вигляд

Якщо в останніх рівностях хоча б одне з чисел dk, k=r+1, r+2, …, m не дорівнює нулю, то початкова система несумісна.

Таким чином, методом Гаусса можна відшукати розв’язок будь-якої системи без попереднього визначення її сумісності.

Приклади 6.1. Розв’язати методом Гаусса систему

Р о з в  я з а н н я. Випишемо розширену матрицю   системи:

. Застосуємо до неї метод Гаусса елементарних перетворень:

 

Таким чином:

Приклад 6.2. Показати, що система несумісна.

Р о з в я з а н н я. Випишемо розширену матрицю   системи:

. Застосуємо до неї метод Гаусса елементарних перетворень:

 

-отримали, що 0=-44, це означає, що система розв’язків не має.

Відповідь. Система не сумісна.

Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь.

Загальний і частинний розв’язки

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо праві частини цих рівнянь дорівнюють нулю:

Така система завжди сумісна, тому що розширена матриця відрізняється від основної на стовпець, який являє собою нуль-вектор. Оскільки система, яка має нуль-вектор завжди лінійно залежна, то ранг розширеної матриці збігається з рангом основної. Це очевидно, тому що система  завжди має тривіальний розв’язок:

x1= x2= x3= … = xn=0.

 Запишемо систему у векторній формі:

і доведемо, що сукупність розв’язків системи утворює підпростір. Для цього треба довести, що коли вектори

є розвязком системи, то  i  також будуть розв’язками цієї системи.

Дійсно, за умовою

Додавши ці рівності, дістанемо

Помноживши рівняння (6.15) на λ знайдемо

Це означає, що  та  також є розв’язками системи .

Нехай матриця

має ранг r, тобто серед векторів  є r лінійно незалежних, причому . Тоді система векторів

де j=r+1, r+2, …, n лінійно залежна:

Покладемо = –, тоді

Розв’язками цього рівняння є вектори

при цьому число координат у векторів   дорівнює n.

Доведемо, що вектори  лінійно незалежні. Дійсно, якщо рівність

записати в скалярній формі, то вона виконується лише за умови

Доведемо, що будь-який розв’язок однорідної системи , є лінійною комбінацією векторів , тобто

Припустимо, що рівність не виконується, тобто

Знайдемо координати вектора :

Оскільки вектори  і  є розв’язками системи, то і вектор  є розв’язком цієї системи:

Через те що , останні  доданків дорівнюють нулю. Тоді

Оскільки вектори   лінійно незалежні, остання рівність можлива лише при

тобто , доведено.

Таким чином, вектори  утворюють базис підпростору розмірності .

Сукупність розв’язків однорідної системи утворює підпростір розмірності . Число рівнянь m збігається з розмірністю підпростору, в якому задано вектори. У цьому просторі максимальне число лінійно незалежних векторів може бути не більше m, ранг rm, а число невідомих n. Тобто система має нетривіальний розв’язок, якщо число невідомих більше числа рівнянь:  n-m>0 . Якщо ж число рівнянь m збігається з рангом матриці і дорівнює числу невідомих, то однорідна система має єдиний тривіальний (нульовий) розв’язок. Те саме спостерігаємо, коли в однорідній системі число рівнянь буде більше числа невідомих. Такі розв’язки називаються загальними розв’язками однорідної системи. Сукупність лінійно незалежних розв’язків системи  називається фундаментальною системою розв’язків. Змінні  називаються вільними,  – базисними.

Приклад 6.3. Нехай дано однорідну систему рівнянь

в якій чотири невідомих і три рівняння. Якщо ввести вектори

то систему можна записати у вигляді

Виключимо з другого і третього рівняння . Для цього помножимо перше рівняння на λ і додамо до другого:

Поклавши , дістанемо

Аналогічно помножимо перше рівняння на λ і додамо його до третього:

Поклавши , дістанемо

Таким чином, маємо систему

Відкинувши третє рівняння, яке збігається з другим, дістанемо систему двох рівнянь. З другого рівняння знаходимо , а з першого

Вільними змінними тут є  і , а базисними –  і .

Поклавши , дістанемо вектор

а при  дістанемо вектор

Вектори  і  лінійно незалежні. Тоді загальний розв’язок даної системи рівнянь можна записати у вигляді

 Ці розв’язки складають лінійний підпростір розмірності n-r. У даному прикладі розмірність підпростору, який описано однорідною системою, дорівнює 2. Вектори  і  являють собою базис цього підпростору. Справедливо і обернене: кожний лінійний підпростір можна подати як сукупність розв’язків відповідно підібраної системи лінійних рівнянь.

У зв’язку з цим виникає ряд задач, пов’язаних з можливістю описання лінійною системою підпросторів. Одним із способів визначення розмірності підпросторів, що описані системою лінійних рівнянь, є метод Гаусса, який було використано у попередньому прикладі. Цей метод дає змогу визначити зразу число вільних змінних. Число вільних змінних дорівнює розмірності підпростору, який задано системою лінійних рівнянь. Ранг матриці, що задає однорідну систему, дорівнює різниці між числом невідомих і числом вільних змінних.

 Теорема. Однорідна система, у якої однакове число невідомих і рівнянь, тільки тоді має ненульовий розв’язок, коли визначник системи дорівнює нулю. Якщо визначник цієї системи відмінний від нуля, то система має тільки нульовий (тривіальний) розв’язок.

Д о в е де н н я. Нехай дано систему

Однорідна система має ненульовий розв’язок, якщо число рівнянь (невідомих) більше за ранг матриці, тобто більше за порядок r базисного мінору (n>r), а це означає, що всі мінори r+1, r+2, …, n дорівнюють нулю. Це і є доведенням теореми.

Зазначимо, що у цьому разі серед рівнянь є такі, які являються наслідком інших (як у наведеному вище прикладі). У зв’язку з цим вводять поняття про незалежні рівняння.

Два рівняння називаються незалежними, якщо внаслідок лінійних операцій над рівняннями (додавання і множення на число) жодне з них не можна привести до іншого. Якщо в системі немає рівнянь, які являють собою лінійну комбінацію інших рівнянь цієї системи, то кажуть, що система складається з незалежних рівнянь. Число рівнянь при цьому збігається з рангом матриці. Метод Гаусса зручний тому, що при поданні системи у певній формі число рівнянь після відкидання тих, які повторюються, дорівнює рангу матриці.

Якщо внаслідок додавання якого-небудь рівняння до інших, помножених на деякі числа, дістають рівняння виду

то це означає, що система несумісна.

 Прикла 6.4. Знайти базис і розмірність простору, який утворюється сукупністю розв’язків однорідної системи

Р о з в я ’ з а н н я: Друге і третє рівняння заданої системи є наслідком першого, тобто фактично задане одне незалежне рівняння

Ранг заданої системи r=1. Дійсно,

а всі мінори вищих порядків дорівнюють нулю.

Маємо три невідомих, n=3. Сукупність розв’язків системи утворює підпростір розмірності n-r=3-1=2. Вільних змінних у системі дві, а базисних – одна. Для визначення базису розв’яжемо рівняння  відносно x:

Приймемо як вільні змінні y і z. Нехай вони набувають почергово значень 1, 0 і 0, 1. Дістанемо вектори

Ці вектори лінійно незалежні. Дійсно, доведемо що векторне рівняння

має єдиний розв’язок .

Запишемо рівняння у вигляді

Система має єдиний розв’язок

Відповідь. Сукупність розв’язків утворює підпростір розмірності 2, а базис утворюють вектори

Неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь.

Загальний і частинний розв’язки

 Нехай задано неоднорідну систему рівнянь, яку у векторній формі можна подати у вигляді

 (*)

Розглянемо відповідну однорідну систему

 (**)

Нехай вектор  є розв’язком неоднорідної системи , а вектор  є розв’язком однорідної системи . Тоді, додавши, дістанемо систему

таку, що  також є розв’язком неоднорідної системи. Неважко помітити, що коли вектор  є розв’язком системи

тоді вектор  є розв’язком системи

.

 Таким чином, вектор  має такий зміст: якщо   – частинний розв’язок системи (*), а  – будь-який розв’язок системи (**), то  є розв’язком системи (*). Тоді матимемо

а тому

тобто якщо  є системою лінійно незалежних векторів-розв’язків однорідної системи, то розв’язком неоднорідної системи  є сукупність її частинного і загального розв’язків однорідної системи.

Такий розв’язок  називається загальним розв’язком неоднорідної системи рівнянь.

 Неоднорідна система рівнянь має єдиний розв’язок, якщо система сумісна і ранг основної матриці збігається з кількістю рівнянь і кількістю невідомих системи: m=n=r. При цьому маємо на увазі, що усі рівняння системи незалежні. З умови сумісності випливає, що ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної, але ранг дорівнює найвищому порядку мінора, відмінного від нуля, у даному разі n. Таким чином, визначник основної матриці має бути відмінним від нуля. Якщо ж визначник основної матриці дорівнює нулю, то система має або нескінченну множину розв’язків, або несумісна (не має розв’язків).

Якщо система сумісна, то вона або розв’язувана при будь-якому векторі , або відповідне однорідне рівняння має нескінченну множину розв’язків. Це припущення називається альтернативою Фредгольма.

 Правило Крамера. Розглянемо окремий випадок системи, коли кількість рівнянь збігається з кількістю невідомих, при цьому всі рівняння незалежні. Система n рівнянь з n невідомими, якщо детермінант основної матриці не дорівнює нулю, має один і тільки один розв’язок

де ∆ – визначник основної матриці; ∆xi – визначник, утворений із визначника ∆ заміною коефіцієнтів невідомого xi вільними членами системи bi.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77491. СУБЪЕКТЫ АДМИНИСТРАТИВНОГО ПРАВА 154 KB
  К числу индивидуальных субъектов относятся: граждане Российской Федерации; иностранные граждане и лица без гражданства. Конкретными разновидностями субъектов административного права являются: граждане Российской Федерации; иностранные граждане; лица без гражданства; Президент Российской Федерации...
77492. АДМИНИСТРАТИВНО-ПРАВОВЫЕ ФОРМЫ 122.5 KB
  Ведомственные нормативные акты 5. Основные признаки правового акта управления Правовые акты важное средство практической реализации целей и функций административной власти основная форма ее исполнительно-распорядительной деятельности. Правовые акты основная продукция государственной администрации. Эти документы различного рода справки отчетные материалы докладные записки удостоверения протоколы акты ревизий и проверок и т.
77493. АДМИНИСТРАТИВНО-ПРАВОВЫЕ МЕТОДЫ 95.5 KB
  Понятие и виды методов управления 2. Понятие и виды методов управления Подчинение воли подвластных воле субъекта власти достигается различными методами под которыми понимаются способы воздействия на людей средства приемы достижения какойлибо цели выполнения задачи. Исходя из приведенной трактовки понятия метод а также рассмотренного в предыдущих темах понятия управления под методами управления можно понимать совокупность способов правил приемов и направлений: 1 теоретического и или практического исследования реальных объектов...
77494. ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГРАЖДАНСКАЯ СЛУЖБА КАК ПУБЛИЧН-ПРАВОВОЙ, ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ И СОЦИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ 193.5 KB
  Организационные принципы государственной службы. Взаимосвязь гражданской службы со службой иных видов и муниципальной службой. Государственная гражданская служба как публично-правовой институт Коренные изменения в социально-политическом устройстве России в 1991-1993 годах принятие новой Конституции страны 1993 и другие факторы вызвали необходимость утверждения государственной службы на новых организационно-правовых принципах и социальных нормах. В процессе становления государственной службы первостепенное значение приобретает ее...
77495. СТАТУС ГОСУДАРСТВЕННОГО СЛУЖАЩЕГО 185.5 KB
  Должности гражданской службы. Реестры должностей государственной гражданской службы РФ. Квалификационные требования к должностям гражданской службы. Должности гражданской службы.
77496. Культура речи и деловое общение 48.5 KB
  Культура речи и деловое общение. Деловое общение. Деловое общение это процесс взаимосвязи и взаимодействия в котором происходит обмен деятельностью информацией и опытом. Деловое общение отличается от общения в широком смысле тем что в его процессе ставятся цель и конкретные задачи которые требуют своего решения.
77498. ПРАВИЛА ДЕЛОВОЙ ПЕРЕПИСКИ 52 KB
  При всевозрастающей роли телефонов телефаксов и других средств доставки деловой информации обыкновенное деловое письмо было и остается исключительно важным а порой и незаменимым средством делового взаимодействия между фирмами и организациями. Деловое письмо должно быть составлено так чтобы были соблюдены следующие правила: Оно должно быть написано грамотно лаконично и аргументированно. Содержание письма должно быть адекватно его виду письмозаказ ответное письмо...
77499. Конфликты в деловом общении 60 KB
  Конфликты в деловом общении Инцидент это действие или совокупность действий участников конфликтной ситуации провоцирующее резкое обострение противоречия и начало борьбы между ними. Участник спора переговоров конфликта конфликтной ситуации это субъект лицо группа организация государство непосредственно вовлеченный во все фазы спора переговоров конфликта конфликтной ситуации. Конфликтный человек это человек который чаще других создает и вовлекает других в конфликты и конфликтные ситуации. Чтобы отличить конфликт от...