17792

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 6. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ Лінійні алгебраїчні рівняння. Теорема Кронекера Капеллі Нехай задано систему лінійних рівнянь в якій коефіцієнти і вільні члени відомі а – невідомі. Розв’язати систему– це означає знайти впорядкован

Украинкский

2013-07-05

71.09 KB

16 чел.

Лекція 6.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Лінійні алгебраїчні рівняння.

Теорема Кронекера-Капеллі

Нехай задано систему лінійних рівнянь

в якій коефіцієнти  і вільні члени  відомі, а  – невідомі. Розв’язати систему– це означає знайти впорядковану сукупність чисел  таку, що при заміні  відповідно на  кожне рівняння перетворюється на тотожність.

Систему рівнянь можна записати у векторній формі. Для цього введемо у просторі, розмірність якого дорівнює числу рівнянь, вектори

, , …, , .

Тоді система набере вигляду

 

 Згідно з цим  рівнянням  розв’язання системи  можна звести до встановлення лінійної залежності системи векторів , , …,  і . Так, система не має розв’язку, коли вектори , , …, лінійно незалежні.

Введемо матрицю коефіцієнтів системи векторів, матрицю-стовпець правої частини, матрицю-стовпець невідомих

,  ,   

Використовуючи означення добутку матриць, систему  можна записати у вигляді  .  Ця форма запису системи  називається матричною.

Поставивши задачу про відшукання розв’язку системи, ми не задавали ніяких обмежень ні на число рівнянь, ні на число невідомих.

Тому система  може не мати розв’язку.

Наприклад,

               

Система може мати нескінченну множину розв’язків.

Наприклад,

                 

Для цієї системи впорядкована трійка чисел   

де a (будь-яке дійсне число) є розв’язком.

Система може мати також єдиний розв’язок.

Наприклад,

                

Розв’язком цієї системи є тільки одна впорядкована пара чисел (2; 1).

Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок, і несумісною, якщо не має розв’язків.

Перед тим як встановити умову сумісності системи лінійних рівнянь, введемо деякі поняття. Матриця А коефіцієнтів при невідомих системи називається основною.

Приєднаємо до матриці А стовпець вільних членів. Дістанемо так звану розширену матрицю А* даної системи:

.

 Теорема Кронекера – Капеллі (умова сумісності системи лінійних рівнянь). Система сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці:

Д о в е д е н н я. Якщо система  має розв’язок , то вектор  є лінійною комбінацією векторів , , …,  , тобто стовпчик із вільних членів матриці є лінійною комбінацією стовпців матриці А системи. Базисні мінори матриць А і А* не змінювались:  . Якщо  , то базисні мінори обох матриць збігаються, і згідно з теоремою про базисний мінор справедливе рівняння , тобто система має розв’язок.

Метод Гаусса

Нехай дано систему m  лінійних рівнянь з n невідомими

Серед цих рівнянь можуть бути такі, що     

Далі вважатимемо, що система має розв’язок, тобто сумісна.

Якщо , то рівняння не задовольняє ніякі значення . У цьому разі система не має розв’язку, вона несумісна.

Якщо , то це рівняння задовольняють будь-які значення .

При цьому вираз називають не рівнянням,  а тотожністю і записують . Тотожність можна вилучити із системи. При цьому решта рівнянь матиме ті самі розв’язки, що і раніше. Говорять, що системи з тотожністю і без тотожності рівносильні. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають однакові розв’язки.

Над системами лінійних рівнянь виконують операції, які називаються елементарними:

  1.  додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на деяке число λ;
  2.  перестановку рівнянь у системі;
  3.  вилучення із системи тотожності ;
  4.  множення якого-небудь рівняння системи на дійсне число, відмінне від нуля;
  5.  перенумерування як рівнянь, так і невідомих.

Ці операції не порушують рівносильності системи рівнянь.

За допомогою операції (а) можна вилучити будь-яке невідоме з усіх рівнянь системи, окрім одного. При цьому невідоме, яке вилучають, називається провідним невідомим; коефіцієнти при провідному невідомому називаються провідними елементами, а рівняння, у якому зберігається провідне невідоме, називається провідним рівнянням.

Як приклад вилучимо з (m-1)-го рівняння системи (6.1) невідоме x1 і приймемо за головне перше рівняння. Для цього помножимо рівняння, з якого вилучимо x1, на λk, де k=2, 3, …, m, і додамо знайдене рівняння до головного. У результаті цього маємо

Поклавши  , або , дістанемо рівняння, в якому відсутнє невідоме x1. Аналогічно вилучимо з усіх рівнянь x1, крім головного (першого) рівняння. Потім, взявши за головне рівняння знайденої системи, вилучимо x2 з усіх наступних рівнянь і т. д. У результаті цього дістанемо так звану ступінчату систему

або систему у трикутній формі

 Друга система має єдиний розв’язок, а перша система  при r<n має n-r так званих вільних змінних, тобто невідомих, які набувають довільних значень.

Розглянута методика перетворення систем,  називається методом послідовних вилучень невідомих Жордана – Гаусса, або, коротко, методом Гаусса.

Цей метод можна використовувати і для визначення сумісності системи. У цьому разі в результаті послідовного вилучення невідомих дійдемо системи, в якій деякі рівняння матимуть вигляд

Якщо в останніх рівностях хоча б одне з чисел dk, k=r+1, r+2, …, m не дорівнює нулю, то початкова система несумісна.

Таким чином, методом Гаусса можна відшукати розв’язок будь-якої системи без попереднього визначення її сумісності.

Приклади 6.1. Розв’язати методом Гаусса систему

Р о з в  я з а н н я. Випишемо розширену матрицю   системи:

. Застосуємо до неї метод Гаусса елементарних перетворень:

 

Таким чином:

Приклад 6.2. Показати, що система несумісна.

Р о з в я з а н н я. Випишемо розширену матрицю   системи:

. Застосуємо до неї метод Гаусса елементарних перетворень:

 

-отримали, що 0=-44, це означає, що система розв’язків не має.

Відповідь. Система не сумісна.

Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь.

Загальний і частинний розв’язки

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо праві частини цих рівнянь дорівнюють нулю:

Така система завжди сумісна, тому що розширена матриця відрізняється від основної на стовпець, який являє собою нуль-вектор. Оскільки система, яка має нуль-вектор завжди лінійно залежна, то ранг розширеної матриці збігається з рангом основної. Це очевидно, тому що система  завжди має тривіальний розв’язок:

x1= x2= x3= … = xn=0.

 Запишемо систему у векторній формі:

і доведемо, що сукупність розв’язків системи утворює підпростір. Для цього треба довести, що коли вектори

є розвязком системи, то  i  також будуть розв’язками цієї системи.

Дійсно, за умовою

Додавши ці рівності, дістанемо

Помноживши рівняння (6.15) на λ знайдемо

Це означає, що  та  також є розв’язками системи .

Нехай матриця

має ранг r, тобто серед векторів  є r лінійно незалежних, причому . Тоді система векторів

де j=r+1, r+2, …, n лінійно залежна:

Покладемо = –, тоді

Розв’язками цього рівняння є вектори

при цьому число координат у векторів   дорівнює n.

Доведемо, що вектори  лінійно незалежні. Дійсно, якщо рівність

записати в скалярній формі, то вона виконується лише за умови

Доведемо, що будь-який розв’язок однорідної системи , є лінійною комбінацією векторів , тобто

Припустимо, що рівність не виконується, тобто

Знайдемо координати вектора :

Оскільки вектори  і  є розв’язками системи, то і вектор  є розв’язком цієї системи:

Через те що , останні  доданків дорівнюють нулю. Тоді

Оскільки вектори   лінійно незалежні, остання рівність можлива лише при

тобто , доведено.

Таким чином, вектори  утворюють базис підпростору розмірності .

Сукупність розв’язків однорідної системи утворює підпростір розмірності . Число рівнянь m збігається з розмірністю підпростору, в якому задано вектори. У цьому просторі максимальне число лінійно незалежних векторів може бути не більше m, ранг rm, а число невідомих n. Тобто система має нетривіальний розв’язок, якщо число невідомих більше числа рівнянь:  n-m>0 . Якщо ж число рівнянь m збігається з рангом матриці і дорівнює числу невідомих, то однорідна система має єдиний тривіальний (нульовий) розв’язок. Те саме спостерігаємо, коли в однорідній системі число рівнянь буде більше числа невідомих. Такі розв’язки називаються загальними розв’язками однорідної системи. Сукупність лінійно незалежних розв’язків системи  називається фундаментальною системою розв’язків. Змінні  називаються вільними,  – базисними.

Приклад 6.3. Нехай дано однорідну систему рівнянь

в якій чотири невідомих і три рівняння. Якщо ввести вектори

то систему можна записати у вигляді

Виключимо з другого і третього рівняння . Для цього помножимо перше рівняння на λ і додамо до другого:

Поклавши , дістанемо

Аналогічно помножимо перше рівняння на λ і додамо його до третього:

Поклавши , дістанемо

Таким чином, маємо систему

Відкинувши третє рівняння, яке збігається з другим, дістанемо систему двох рівнянь. З другого рівняння знаходимо , а з першого

Вільними змінними тут є  і , а базисними –  і .

Поклавши , дістанемо вектор

а при  дістанемо вектор

Вектори  і  лінійно незалежні. Тоді загальний розв’язок даної системи рівнянь можна записати у вигляді

 Ці розв’язки складають лінійний підпростір розмірності n-r. У даному прикладі розмірність підпростору, який описано однорідною системою, дорівнює 2. Вектори  і  являють собою базис цього підпростору. Справедливо і обернене: кожний лінійний підпростір можна подати як сукупність розв’язків відповідно підібраної системи лінійних рівнянь.

У зв’язку з цим виникає ряд задач, пов’язаних з можливістю описання лінійною системою підпросторів. Одним із способів визначення розмірності підпросторів, що описані системою лінійних рівнянь, є метод Гаусса, який було використано у попередньому прикладі. Цей метод дає змогу визначити зразу число вільних змінних. Число вільних змінних дорівнює розмірності підпростору, який задано системою лінійних рівнянь. Ранг матриці, що задає однорідну систему, дорівнює різниці між числом невідомих і числом вільних змінних.

 Теорема. Однорідна система, у якої однакове число невідомих і рівнянь, тільки тоді має ненульовий розв’язок, коли визначник системи дорівнює нулю. Якщо визначник цієї системи відмінний від нуля, то система має тільки нульовий (тривіальний) розв’язок.

Д о в е де н н я. Нехай дано систему

Однорідна система має ненульовий розв’язок, якщо число рівнянь (невідомих) більше за ранг матриці, тобто більше за порядок r базисного мінору (n>r), а це означає, що всі мінори r+1, r+2, …, n дорівнюють нулю. Це і є доведенням теореми.

Зазначимо, що у цьому разі серед рівнянь є такі, які являються наслідком інших (як у наведеному вище прикладі). У зв’язку з цим вводять поняття про незалежні рівняння.

Два рівняння називаються незалежними, якщо внаслідок лінійних операцій над рівняннями (додавання і множення на число) жодне з них не можна привести до іншого. Якщо в системі немає рівнянь, які являють собою лінійну комбінацію інших рівнянь цієї системи, то кажуть, що система складається з незалежних рівнянь. Число рівнянь при цьому збігається з рангом матриці. Метод Гаусса зручний тому, що при поданні системи у певній формі число рівнянь після відкидання тих, які повторюються, дорівнює рангу матриці.

Якщо внаслідок додавання якого-небудь рівняння до інших, помножених на деякі числа, дістають рівняння виду

то це означає, що система несумісна.

 Прикла 6.4. Знайти базис і розмірність простору, який утворюється сукупністю розв’язків однорідної системи

Р о з в я ’ з а н н я: Друге і третє рівняння заданої системи є наслідком першого, тобто фактично задане одне незалежне рівняння

Ранг заданої системи r=1. Дійсно,

а всі мінори вищих порядків дорівнюють нулю.

Маємо три невідомих, n=3. Сукупність розв’язків системи утворює підпростір розмірності n-r=3-1=2. Вільних змінних у системі дві, а базисних – одна. Для визначення базису розв’яжемо рівняння  відносно x:

Приймемо як вільні змінні y і z. Нехай вони набувають почергово значень 1, 0 і 0, 1. Дістанемо вектори

Ці вектори лінійно незалежні. Дійсно, доведемо що векторне рівняння

має єдиний розв’язок .

Запишемо рівняння у вигляді

Система має єдиний розв’язок

Відповідь. Сукупність розв’язків утворює підпростір розмірності 2, а базис утворюють вектори

Неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь.

Загальний і частинний розв’язки

 Нехай задано неоднорідну систему рівнянь, яку у векторній формі можна подати у вигляді

 (*)

Розглянемо відповідну однорідну систему

 (**)

Нехай вектор  є розв’язком неоднорідної системи , а вектор  є розв’язком однорідної системи . Тоді, додавши, дістанемо систему

таку, що  також є розв’язком неоднорідної системи. Неважко помітити, що коли вектор  є розв’язком системи

тоді вектор  є розв’язком системи

.

 Таким чином, вектор  має такий зміст: якщо   – частинний розв’язок системи (*), а  – будь-який розв’язок системи (**), то  є розв’язком системи (*). Тоді матимемо

а тому

тобто якщо  є системою лінійно незалежних векторів-розв’язків однорідної системи, то розв’язком неоднорідної системи  є сукупність її частинного і загального розв’язків однорідної системи.

Такий розв’язок  називається загальним розв’язком неоднорідної системи рівнянь.

 Неоднорідна система рівнянь має єдиний розв’язок, якщо система сумісна і ранг основної матриці збігається з кількістю рівнянь і кількістю невідомих системи: m=n=r. При цьому маємо на увазі, що усі рівняння системи незалежні. З умови сумісності випливає, що ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної, але ранг дорівнює найвищому порядку мінора, відмінного від нуля, у даному разі n. Таким чином, визначник основної матриці має бути відмінним від нуля. Якщо ж визначник основної матриці дорівнює нулю, то система має або нескінченну множину розв’язків, або несумісна (не має розв’язків).

Якщо система сумісна, то вона або розв’язувана при будь-якому векторі , або відповідне однорідне рівняння має нескінченну множину розв’язків. Це припущення називається альтернативою Фредгольма.

 Правило Крамера. Розглянемо окремий випадок системи, коли кількість рівнянь збігається з кількістю невідомих, при цьому всі рівняння незалежні. Система n рівнянь з n невідомими, якщо детермінант основної матриці не дорівнює нулю, має один і тільки один розв’язок

де ∆ – визначник основної матриці; ∆xi – визначник, утворений із визначника ∆ заміною коефіцієнтів невідомого xi вільними членами системи bi.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68101. ІСТОРИЧНИЙ КВК СТАРОДАВНІ ЄГИПЕТ ТА МЕЖИРІЧЧЯ 74.5 KB
  Її називали Першою серед найвродливіших і правила вона Єгиптом 22 роки. Його називали великим завойовником який здійснив 17 військових походів і розширив територію Єгипту у 3 рази завоювавши Сирію Палестину і Нубію. Рамзес ІІ Ця жінка з ніжними рисами обличчя з лебединою шиєю великими видовженими очима...
68102. КВК – асорті 46.5 KB
  Команда вибирає капітана і назву виготовляє емблему готує вітання і домашнє завдання. Домашнє завдання командам: а випустите Математичну газету б придумати емблему кабінету математики в підготувати запитання супернику з курсу геометрії алгебри 67 класів. Два художники від кожної команди виконують такі завдання...
68104. Українське читання (Урок – КВК позакласного читання) 34.5 KB
  Поглибити знання учнів про казки. Виховувати любов до казки як твору де перемагає добро і добра сила. Виставка книг казки; збірка Позакласне читання на кожній парті; матеріал для гри хто прислав телеграму; букви для складання назв казок; книжка Українські народні казки...
68105. Урок-подорож Україною. Узагальнення знань учнів про природні зони України 58.5 KB
  Узагальнити систематизувати знання учнів з вивченого розділу створити цілісну картину природи України. Виховувати любов до рідного краю почуття дружби взаємовиручки а також формувати почуття відповідальності за збереження довкілля природних багатств України.
68106. Мово українська, гордосте моя! 576.5 KB
  Розширювати знання про красу і багатство української мови. Виховувати любов до рідної мови рідного краю його традицій почуття поваги до всього свого українського бажання розмовляти рідною мовою. Шевченка плакати Без мови рідної юначе й народу нашого нема Пісня душа народу...
68107. Визитка «Путешествие в страну дорожных знаков» 71 KB
  Звучит мелодия из передачи Сердце Африки на фоне мелодии звучат слова и проходят участники команды ЮИД Команда Горячая десятка из Краснодона завершая свой кругосветный информационно-просветительский тур добралась до сердца Африки. ЮИД не подведёт Звучит песня Остров невезения...
68108. Літературна вікторина “Дивовижний світ книг” 30 KB
  Що Вам відомо про найменшу у світі книгу де і коли вона була надрукована Найменша у світі книга 1х1 мм. Яка вага найтяжчої книги у світі та про що розповідається у ній Найтяжча книга у світі вагою 50 кг видана у Великобританії. Яка назва даного найбільшого видання у світі Це багатотомна збірка...
68109. Збірка прозових мініатюр «Лабіринтами життя…» 260.5 KB
  Ольга Захарівна Северин Своєрідні ліки від байдужості Збірочка оповідань Лабіринтами життя Ольги Северин це картини її власної душі. Картини душі Ольги Северин чисті наївні спонукають прислухатись до шелесту ранкових зірок ще раз переконатись що життя прекрасне тому що ми живемо й можемо творити його самі.