17793

Дробово-лінійна функція і її геометричний зміст

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 8. Дробоволінійна функція і її геометричний зміст. Дробоволінійною називається функція Якщо с = 0 і d 0 то дробоволінійна функція називається цілою лінійною функцією. При adbc= 0 дробоволінійна функція є сталою величиною. Доведемо що при с0 і аd bс0 графіком др...

Украинкский

2013-07-05

59.31 KB

9 чел.

Лекція 8.

Дробово-лінійна функція і її геометричний зміст.

Дробово-лінійною називається функція

Якщо с = 0 і d 0, то дробово-лінійна функція називається цілою лінійною функцією. При ad-bc= 0 дробово-лінійна функція є сталою величиною. Доведемо, що при с0 і аd - bс0 графіком дробово-лінійної функції є графік оберненої пропорційності, який ще називається рівнобічною гіперболою .

  Справді, виконавши паралельне перенесення системи координат таким чином, щоб її початок перейшов у точку  (,), і вибравши координати точки так, щоб

,   ,  ,

дістанемо рівняння гіперболи

Позначимо   = k, тоді

, або  .

Як відомо, це і виражає обернену пропорційну залежність між   та  

4.6. Перетворення координат n-вимірного вектора при переході до нового базису

Розглянемо у n-вимірному, лінійному просторі два базиси: , , …,  i , , …, . Перший називатимемо старим, а другий — новим.

   Матрицею переходу від старого базису до нового називається матриця системи векторів  у базисі , .

Позначимо цю матрицю за аналогією з (4.15) через

        (4.50)

Тоді

                  (4.51)

Матриця Т є аналогом матриці (4.2). Формули, які зв’язують координати n-вимірного вектора у різних базисах, називаються формулами перетворення координат.

Теорема. Якщо    координати вектора  у базисі , i=1, 2, …, n, a  ― координати цього самого вектора у базисі  то справджується співвідношення 

,          

Де

,             ,

a T матриця переходу від базису  до базису  .

Доведення. Виразимо вектор  через базиси  і :

,                     .                    (4.52)

Враховуючи (4.51), дістанемо

.

 Порівнюючи цю рівність з рівністю

,                                 (4.53)

знаходимо

,                      n,

або у матричній формі

.

Матриця Т має обернену  , а тому

.

4.7. Ядро і область значень лінійного перетворення

Нехай задано множину m векторів n-вимірного простору і довільне лінійне перетворення A.  Застосувавши до вектора а є m перетворення A дістанемо вектор A, який називається образом вектора . Вектор  може належати або не належати множині m векторів. Сукупність векторів , які є образами усіх m векторів, називається образом множини m векторів відносно перетворення A.

Областю значень перетворення A називається сукупність усіх векторів n-вимірного простору. Розмірність області значень перетворення A називається рангом перетворення .

Ядром лінійного перетворення називається сукупність усіх тих векторів n-вимірного простору, які перетворення A переводить у нульовий вектор. Розмірність ядра називається дефектом перетворення A.

Приклад. Нехай дано тривимірний простір і у ньому множину векторів, які виходять із деякої точки О. Виберемо систему прямокутних координат з початком у точці О. За перетворення A виберемо перетворення проектування векторів, які виходять із точки О, на площину хОу. Тоді ранг перетворення дорівнює 2. Ядром перетворення є множина векторів, які лежать на осі Оz, оскільки лише ці вектори при проектуванні на площину хОу дають нульовий вектор. Дефект перетворення при цьому дорівнює 1. Сума рангу і дефекту перетворення дорівнює 3 (розмірності простору;. Цей факт є загальним. Справедлива теорема: сума рангу і дефекту лінійного перетворення дорівнює розмірності простору.

4.8. Власні вектори і власні числа матриці лінійного перетворення

Нехай A  перетворення, задане квадратною матрицею А порядку n. Якщо існує ненульовий вектор  і таке число λ, що

A.             (4.54)

то говорять, що λвласне число матриці А, а її власний вектор, який відповідає власному числу.

   Властивості власних векторів лінійного перетворення A.

1. Кожному власному вектору відповідає одне власне число.

  Справді, нехай  — власний вектор. Припустимо, що йому відповідають два різних власних числа: .    Внаслідок рівності (4.54)  AA, або . Оскільки , то .

2. Якщо власний вектор матриці А з власним числом λ, то будь-який вектор  ϒ, колінеарний вектору , також є власним вектором матриці А з тим самим власним числом.

Справді,

А(ϒ.

3. Якщо  i  — власні вектори матриці А з одним і тим самим власним числом λ, то їхня сума  +  також є власним вектором матриці А з тим самим власним числом.

  Із властивостей 2 і 3 випливає, що кожному власному числу відповідає нескінченна множина (колінеарних) власних векторів. Ця множина утворює підпростір.

Розв'яжемо тепер рівняння (4.54). Нехай, наприклад перетворення задано матрицею

,

а вектор  подано у вигляді матриці :

.

Тоді рівняння (4.54) запишемо у вигляді

                                      (4.55)

або

                               (4.56)

звідси

                        (4.57)

для того щоб ця система мала відмінні від нуля розв’язки, необхідно і достатньо, щоб

                           (4.58)

  Дістанемо кубічне рівняння. Корені цього рівняння не обов'язково дійсні і не обов'язково різні. У комплексному просторі всі три корені власні числа. У дійсному просторі власними числами будуть тільки дійсні корені (один або усі три).

Якщо три різних дійсних корені, то, підставивши їх у систему (4.57), знайдемо координати трьох власних векторів:

Зауваження. Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо  — власні вектори матриці А відповідно з різними власними числами  то вектори  лінійно незалежні.

Протилежне твердження у загальному випадку не справджується, оскільки існують лінійно незалежні вектори, які відповідають одному і тому самому власному числу.

Для визначення власних чисел , матриці А треба знайти всі розв'язки рівняння (4.58). Підставляючи кожне із знайдених власних чисел  у систему (4.57), відшукаємо її лінійно незалежні розв'язки, які і визначають координати власних векторів, відповідних .

Ці міркування можна навести і для n-вимірного випадку. Рівняння (4.54) запишемо у вигляді

,                     (4.59)

або

                      (4.60)

 де

 і    

Рівняння (4.60)це матрична форма запису рівняння, аналогічного рівнянню (4.57). Тоді

                           (4.61)

є матричною формою запису рівняння (4.58). Рівняння (4.61) називається характеристичним. У розгорнутій формі рівняння (4.61) записується у вигляді

                        (4.62)

Приклад. Знайти власні числа і власні вектори симетричної матриці А (лінійного перетворення  A), якщо

               (4.63)

Для визначення власних чисел симетричної матриці (4.63) складемо її характеристичне рівняння:

         (4.64)

Розв’язками цього рівняння є

     (4.65)

Оскільки усі корені різні, матриця А має три лінійно незалежні власні вектори. Координати цих векторів визначимо із системи (4.57):

         (4.66)

Підставивши сюди λ=6, дістанемо координати вектора

,   ; ; ,       (4.67)

Тобто одним із власних векторів, який відповідає перетворення A є

Його довжина

.

Далі нормуємо вектор , тобто знаходимо одиничний вектор

.             (4.68)

Аналогічно знаходимо по одному із власних векторів, які відповідають  і :

,               .                     (4.69)

Нормуючи їх, дістанемо

,

і відповідно

,

Таким чином, матриця А має три лінійно незалежні вектори:

,

,

.

Обчислимо скалярні добутки:

,

,

.

Тобто власні вектори симетричної матриці (4.63), які відповідають різним власним числам, утворюють базис.

Ця властивість власних векторів симетричних матриць є загальною.

Доведемо таку теорему.

Теорема. Нехай лінійне перетворення A  симетричною матрицею А, тоді:

1)власні вектори матриці А утворюють базис;

2)у цьому базисі матриця перетворення має діагональний вигляд.

Доведення. Припустимо, що матриця А має n різних власних чисел. Поставимо у відповідність кожному власному числу один із власних векторів, позначивши їх . Ці вектори лінійно незалежні. Справді, припустимо, що система векторів  лінійно залежна, тобто

,                  (4.70)

де, наприклад, ≠0. Застосувавши до виразу (4.70) перетворення A, дістанемо

A,

A+AA

Оскільки A

                   (4.71)

де власні числа матриці А. Помножимо рівність (4.70) на і результат віднімемо від (4.71):

.      (4.72)

Лінійна комбінація у останній рівності вміщує вже (n-1) вектор. Продовжуючи цей процес, дійдемо рівності

.

Оскільки власні числа попарно різні, то дістанемо, що неможливо. Таким чином, вектори  лінійно незалежні і їх можна ортогоналізувати, внаслідок  чого дістанемо ортонормований базис

.

У цьому базисі матриця лінійного перетворення має діагональний вигляд.

Справді, якщо вектор  — власний, то  і, отже, елемент i координатного стовпця дорівнює , а решта елементів стовпця  є нулями:

.

Тим самим доведено теорему для окремого випадку попарно різних власних чисел. Якщо власне число матриці А має кратність k, то йому відповідає не більше k лінійно незалежних власних векторів. Доведення цього припущення не даємо.

Покажемо на конкретному прикладі матриці А третього порядку, як вибирати власні вектори, якщо серед власних чисел є кратні.

. Нехай серед коренів  характеристичного рівняння (4.57) є два кратних: . Тоді кореням відповідає нескінченна множина власних векторів. Система (4.57) при цьому зводиться до одного рівняння, інші рівняння системи  мають коефіцієнти, пропорційні коефіцієнтам даного рівняння. Нехай це буде рівняння

      (4.73)

Тоді будь-який ненульовий розв'язок цього рівняння при .  визначає власний вектор  з координатами (х, у, z). За другий власний вектор можна вважати  з координатами . Із рівняння (4.73) випливає, що ці вектори взаємно-перпендикулярні.

Нормуючи вектори, знайдемо . Помноживши векторно нормовані

вектори , дістанемо третій одиничний вектор базису  який відповідає власному числу .

2. Нехай усі корені характеристичного рівняння (4.58) рівні між собою: = , тоді усі вектори простору є власними. За базис можна вибрати будь-яку трійку попарно перпендикулярних векторів.

Приклад. Скласти ортонормований базис із власних векторів матриці

Розв’язання.  Запишемо характеристичне рівняння даної матриці:

.

Розкривши визначник, дістанемо

.

Із цього рівняння знаходимо корені (власні числа матриці)

.

Система рівнянь для визначення координат власних векторів матриці має вигляд

                       (4.74).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68328. Формы, уровни, содержание и участники процесса правового обучения 236 KB
  Формы и уровни содержание гражданско-правового юридического образования право как обучение. Формы и уровни содержание гражданско-правового образования право как предмет обучения. Уровни образования. Законодатель допускает возможность получения образования в следующих формах каждая из которых есть особый способ...
68329. Управление и нормативно-правовое регулирование в области правого обучения 166 KB
  Нормативно-правовые акты регламентирующие процесс обучения. Муниципальная система образования это территориально обособленная и относительно самостоятельная часть системы образования республики взаимосвязанная с другими аналогичными частями.
68330. Методика преподавания учебной дисциплины «Уголовное право» 39 KB
  Задачи изучения дисциплины В результате изучения уголовного права студенты должны знать: − понятие предмет задачи и принципы уголовного права как отрасли национального права; − понятие значение структуру уголовного закона отдельных его статей; − понятие уголовной ответственности и ее основание...
68331. Евреи в Сибири 40 KB
  Первые упоминания о евреях в Сибири отнесятся к началу 2й четверти XVII века. В деле Сибирского приказа за 1635 год о возвращении из Сибири военнопленных сосланных в службу и на пашню упоминаются литовские немецкие люди и жиды. Относительно последних приказ дает воеводам подробные инструкции...
68333. Тесты. Классификация тестов 111.5 KB
  Тесты позволяют в кратчайший срок проверить знания больших групп учащихся выявить пробелы при изложении учебного материала применить методы математической статистики для оценки степени его усвоения всеми испытуемыми и т.
68334. Язык разметки HTML. Списки 29 KB
  Примечание: при создании компактного списка, в некоторых случаях, уже нельзя определить тип используемого маркера для всего списка, но возможно для каждого элемента списка (для браузеров Internet Explorer). А браузер Netscape 6, почему то вообще не поддерживает компактных списков.
68335. Творческий вклад Гумилёва в историческую науку. Фазы этногенеза 26 KB
  Научная концепция Гумилёва построена на интеграции наук истории географии и этнологии. Евразийство как концепция развития России стало своеобразным завещанием для исторической науки: Если Россия и будет спасена то только через Евразийство.
68336. Татары 87.5 KB
  Не вызывает сомнения что волго-уральские и крымские татары являются самостоятельными этносами. Продолжительные контакты сибирских и астраханских татар с волгоуральскими особенно усилившиеся во второй половине XIX в. шел активный процесс консолидации средневолжско-приуральских...