17793

Дробово-лінійна функція і її геометричний зміст

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 8. Дробоволінійна функція і її геометричний зміст. Дробоволінійною називається функція Якщо с = 0 і d 0 то дробоволінійна функція називається цілою лінійною функцією. При adbc= 0 дробоволінійна функція є сталою величиною. Доведемо що при с0 і аd bс0 графіком др...

Украинкский

2013-07-05

59.31 KB

9 чел.

Лекція 8.

Дробово-лінійна функція і її геометричний зміст.

Дробово-лінійною називається функція

Якщо с = 0 і d 0, то дробово-лінійна функція називається цілою лінійною функцією. При ad-bc= 0 дробово-лінійна функція є сталою величиною. Доведемо, що при с0 і аd - bс0 графіком дробово-лінійної функції є графік оберненої пропорційності, який ще називається рівнобічною гіперболою .

  Справді, виконавши паралельне перенесення системи координат таким чином, щоб її початок перейшов у точку  (,), і вибравши координати точки так, щоб

,   ,  ,

дістанемо рівняння гіперболи

Позначимо   = k, тоді

, або  .

Як відомо, це і виражає обернену пропорційну залежність між   та  

4.6. Перетворення координат n-вимірного вектора при переході до нового базису

Розглянемо у n-вимірному, лінійному просторі два базиси: , , …,  i , , …, . Перший називатимемо старим, а другий — новим.

   Матрицею переходу від старого базису до нового називається матриця системи векторів  у базисі , .

Позначимо цю матрицю за аналогією з (4.15) через

        (4.50)

Тоді

                  (4.51)

Матриця Т є аналогом матриці (4.2). Формули, які зв’язують координати n-вимірного вектора у різних базисах, називаються формулами перетворення координат.

Теорема. Якщо    координати вектора  у базисі , i=1, 2, …, n, a  ― координати цього самого вектора у базисі  то справджується співвідношення 

,          

Де

,             ,

a T матриця переходу від базису  до базису  .

Доведення. Виразимо вектор  через базиси  і :

,                     .                    (4.52)

Враховуючи (4.51), дістанемо

.

 Порівнюючи цю рівність з рівністю

,                                 (4.53)

знаходимо

,                      n,

або у матричній формі

.

Матриця Т має обернену  , а тому

.

4.7. Ядро і область значень лінійного перетворення

Нехай задано множину m векторів n-вимірного простору і довільне лінійне перетворення A.  Застосувавши до вектора а є m перетворення A дістанемо вектор A, який називається образом вектора . Вектор  може належати або не належати множині m векторів. Сукупність векторів , які є образами усіх m векторів, називається образом множини m векторів відносно перетворення A.

Областю значень перетворення A називається сукупність усіх векторів n-вимірного простору. Розмірність області значень перетворення A називається рангом перетворення .

Ядром лінійного перетворення називається сукупність усіх тих векторів n-вимірного простору, які перетворення A переводить у нульовий вектор. Розмірність ядра називається дефектом перетворення A.

Приклад. Нехай дано тривимірний простір і у ньому множину векторів, які виходять із деякої точки О. Виберемо систему прямокутних координат з початком у точці О. За перетворення A виберемо перетворення проектування векторів, які виходять із точки О, на площину хОу. Тоді ранг перетворення дорівнює 2. Ядром перетворення є множина векторів, які лежать на осі Оz, оскільки лише ці вектори при проектуванні на площину хОу дають нульовий вектор. Дефект перетворення при цьому дорівнює 1. Сума рангу і дефекту перетворення дорівнює 3 (розмірності простору;. Цей факт є загальним. Справедлива теорема: сума рангу і дефекту лінійного перетворення дорівнює розмірності простору.

4.8. Власні вектори і власні числа матриці лінійного перетворення

Нехай A  перетворення, задане квадратною матрицею А порядку n. Якщо існує ненульовий вектор  і таке число λ, що

A.             (4.54)

то говорять, що λвласне число матриці А, а її власний вектор, який відповідає власному числу.

   Властивості власних векторів лінійного перетворення A.

1. Кожному власному вектору відповідає одне власне число.

  Справді, нехай  — власний вектор. Припустимо, що йому відповідають два різних власних числа: .    Внаслідок рівності (4.54)  AA, або . Оскільки , то .

2. Якщо власний вектор матриці А з власним числом λ, то будь-який вектор  ϒ, колінеарний вектору , також є власним вектором матриці А з тим самим власним числом.

Справді,

А(ϒ.

3. Якщо  i  — власні вектори матриці А з одним і тим самим власним числом λ, то їхня сума  +  також є власним вектором матриці А з тим самим власним числом.

  Із властивостей 2 і 3 випливає, що кожному власному числу відповідає нескінченна множина (колінеарних) власних векторів. Ця множина утворює підпростір.

Розв'яжемо тепер рівняння (4.54). Нехай, наприклад перетворення задано матрицею

,

а вектор  подано у вигляді матриці :

.

Тоді рівняння (4.54) запишемо у вигляді

                                      (4.55)

або

                               (4.56)

звідси

                        (4.57)

для того щоб ця система мала відмінні від нуля розв’язки, необхідно і достатньо, щоб

                           (4.58)

  Дістанемо кубічне рівняння. Корені цього рівняння не обов'язково дійсні і не обов'язково різні. У комплексному просторі всі три корені власні числа. У дійсному просторі власними числами будуть тільки дійсні корені (один або усі три).

Якщо три різних дійсних корені, то, підставивши їх у систему (4.57), знайдемо координати трьох власних векторів:

Зауваження. Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо  — власні вектори матриці А відповідно з різними власними числами  то вектори  лінійно незалежні.

Протилежне твердження у загальному випадку не справджується, оскільки існують лінійно незалежні вектори, які відповідають одному і тому самому власному числу.

Для визначення власних чисел , матриці А треба знайти всі розв'язки рівняння (4.58). Підставляючи кожне із знайдених власних чисел  у систему (4.57), відшукаємо її лінійно незалежні розв'язки, які і визначають координати власних векторів, відповідних .

Ці міркування можна навести і для n-вимірного випадку. Рівняння (4.54) запишемо у вигляді

,                     (4.59)

або

                      (4.60)

 де

 і    

Рівняння (4.60)це матрична форма запису рівняння, аналогічного рівнянню (4.57). Тоді

                           (4.61)

є матричною формою запису рівняння (4.58). Рівняння (4.61) називається характеристичним. У розгорнутій формі рівняння (4.61) записується у вигляді

                        (4.62)

Приклад. Знайти власні числа і власні вектори симетричної матриці А (лінійного перетворення  A), якщо

               (4.63)

Для визначення власних чисел симетричної матриці (4.63) складемо її характеристичне рівняння:

         (4.64)

Розв’язками цього рівняння є

     (4.65)

Оскільки усі корені різні, матриця А має три лінійно незалежні власні вектори. Координати цих векторів визначимо із системи (4.57):

         (4.66)

Підставивши сюди λ=6, дістанемо координати вектора

,   ; ; ,       (4.67)

Тобто одним із власних векторів, який відповідає перетворення A є

Його довжина

.

Далі нормуємо вектор , тобто знаходимо одиничний вектор

.             (4.68)

Аналогічно знаходимо по одному із власних векторів, які відповідають  і :

,               .                     (4.69)

Нормуючи їх, дістанемо

,

і відповідно

,

Таким чином, матриця А має три лінійно незалежні вектори:

,

,

.

Обчислимо скалярні добутки:

,

,

.

Тобто власні вектори симетричної матриці (4.63), які відповідають різним власним числам, утворюють базис.

Ця властивість власних векторів симетричних матриць є загальною.

Доведемо таку теорему.

Теорема. Нехай лінійне перетворення A  симетричною матрицею А, тоді:

1)власні вектори матриці А утворюють базис;

2)у цьому базисі матриця перетворення має діагональний вигляд.

Доведення. Припустимо, що матриця А має n різних власних чисел. Поставимо у відповідність кожному власному числу один із власних векторів, позначивши їх . Ці вектори лінійно незалежні. Справді, припустимо, що система векторів  лінійно залежна, тобто

,                  (4.70)

де, наприклад, ≠0. Застосувавши до виразу (4.70) перетворення A, дістанемо

A,

A+AA

Оскільки A

                   (4.71)

де власні числа матриці А. Помножимо рівність (4.70) на і результат віднімемо від (4.71):

.      (4.72)

Лінійна комбінація у останній рівності вміщує вже (n-1) вектор. Продовжуючи цей процес, дійдемо рівності

.

Оскільки власні числа попарно різні, то дістанемо, що неможливо. Таким чином, вектори  лінійно незалежні і їх можна ортогоналізувати, внаслідок  чого дістанемо ортонормований базис

.

У цьому базисі матриця лінійного перетворення має діагональний вигляд.

Справді, якщо вектор  — власний, то  і, отже, елемент i координатного стовпця дорівнює , а решта елементів стовпця  є нулями:

.

Тим самим доведено теорему для окремого випадку попарно різних власних чисел. Якщо власне число матриці А має кратність k, то йому відповідає не більше k лінійно незалежних власних векторів. Доведення цього припущення не даємо.

Покажемо на конкретному прикладі матриці А третього порядку, як вибирати власні вектори, якщо серед власних чисел є кратні.

. Нехай серед коренів  характеристичного рівняння (4.57) є два кратних: . Тоді кореням відповідає нескінченна множина власних векторів. Система (4.57) при цьому зводиться до одного рівняння, інші рівняння системи  мають коефіцієнти, пропорційні коефіцієнтам даного рівняння. Нехай це буде рівняння

      (4.73)

Тоді будь-який ненульовий розв'язок цього рівняння при .  визначає власний вектор  з координатами (х, у, z). За другий власний вектор можна вважати  з координатами . Із рівняння (4.73) випливає, що ці вектори взаємно-перпендикулярні.

Нормуючи вектори, знайдемо . Помноживши векторно нормовані

вектори , дістанемо третій одиничний вектор базису  який відповідає власному числу .

2. Нехай усі корені характеристичного рівняння (4.58) рівні між собою: = , тоді усі вектори простору є власними. За базис можна вибрати будь-яку трійку попарно перпендикулярних векторів.

Приклад. Скласти ортонормований базис із власних векторів матриці

Розв’язання.  Запишемо характеристичне рівняння даної матриці:

.

Розкривши визначник, дістанемо

.

Із цього рівняння знаходимо корені (власні числа матриці)

.

Система рівнянь для визначення координат власних векторів матриці має вигляд

                       (4.74).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

936. Горелки томильных печей 54.5 KB
  Для осуществления равномерного нагрева свода принимаем шахматное расположение горелок на своде печи с шагом по длине 1463 мм и 1410 мм по ширине. Тогда в методической зоне будет 4, в сварочной 7 и томильной 3 горелки.
937. Газодинамические расчеты газо-воздушных трактов 118.5 KB
  Скорость движения дымовых газов в начале печи. Скорость движения продуктов горения в вертикальном канале. Потери давления на повороте из дымохода в вертикальный канал. Средняя температура дыма по длине трубы.
938. Разработка маршрутно-операционного технологического процесса изготовления детали Крышка 378 KB
  Технический анализ чертежа детали и его корректировка в соответствие со стандартами ЕСКД. Составление технологического маршрута обработки, включая термические и контрольные операции. Расчет суммарной погрешности выполнения одного операционного размера, с учетом действия различных технологических факторов.
939. Управление делами Аппарата Администрации Смоленской области г. Смоленск, площадь им. Ленина, 1 311.5 KB
  Общая характеристика Аппарата Администрации Смоленской области. Основные задачи и функции протокольного отдела. Управление делами Аппарата Администрации Смоленской области. Функциональное содержание управленческой деятельности на примере протокольного отдела Управления делами Аппарата Администрации Смоленской области.
940. Исследование основных параметров и схем включения операцион-ных усилителей 231.5 KB
  В ходе работе были определены параметры операционного усилителя К140УД7 на лабораторном стенде и его зарубежного аналога uA741C в среде моделирования Microcap9: коэффициент усиления ОУ без обратной связи, входные токи, входное напряжение смещения, коэффициент ослабления синфазного сигнала.
941. Транспортування небезпечних вантажів автомобільним видом транспорту 2.2 MB
  Визначення перспективного напрямку удосконалення існуючої схеми перевезень легкозаймистих речовин у Угорщину та Румунію. Аналіз українського законодавства в області автомобільних перевезень небезпечних вантажів. Оцінка техніко-економічної ефективності розроблених технологічних рішень.
942. Отечественная история от начала до конца ХХ века 683 KB
  Происхождение и ранняя история восточных славян (расселение, занятия, общественное устройство, религия). Объединение русских земель и образование Московского государства. Государственное реформирование при первых Романовых. Либеральные реформы 60- 70 гг. XIX века. Столыпинская аграрная реформа и ее итоги. Новая экономическая. политика (1921-28г.:причины, содержание, противоречия) НЭП.
943. Привод ленточного транспортёра 224.5 KB
  Промежуточный вал (расчёт на статическую прочность). Определение требуемой мощности электродвигателя. Определение частоты вращения вала электродвигателя. Определение действительного фактического передаточного числа. Крутящий момент в поперечных сечениях валов.
944. Проектирование автоматизированной информационной системы автомобильной стоянки на Delphi 753 KB
  Обзор существующих систем для автоматизации работы автомобильных стоянок. После анализа особенностей среды программирования Delphi и возможностей написания на ней программы было успешно разработано приложение Автостоянка, которое позволяет сотрудникам автостоянки осуществлять простой и удобный поиск клиентов и их авто по базе данных, добавлять новые записи, вести учет платежей за парковочные места.