17794

Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 9 Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Лінійні форми Розглянемо nвимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до nвимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторн

Украинкский

2013-07-05

38.84 KB

26 чел.

Лекція 9

Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Лінійні форми

Розглянемо n-вимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до n-вимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторного аргументу

                                                         .                                                  (5.1)

Функція (5.1) називається лінійною функцією або лінійною формою, якщо справджуються такі умови:

  1.   = ,                                                                                         (5.2)
  2.   =  + ).                                                                    (5.3)

Із цих умов дістанемо ще одну умову:

                                                     (5.4)

Якщо при цьому  то

                                                                                                       (5.5)

Враховуючи цю умову, часто замість «лінійної функції» говорять про «лінійну однорідну функцію». У одновимірному просторі лінійна однорідна функція має вигляд

Якщо задано базис , n-вимірного простору, в якому координати вектора  то

На основі рівності (5.4)

Позначимо

тоді

                                                                (5.6)

Зазначимо, що при переході від одного базису до другого лінійні форми перетворюються так само, як і вектори базису.

5.2 Квадратичні форми

Квадратичною формою називається многочлен, однорідний відносно змінних другого степеня. Наприклад,

є квадратичні форми, а вираз

вже не є квадратичною формою.

Запишемо квадратичну форму двовимірного вектора , або двох зміних:

                 .                             (5.7)

Якщо =, то

                            ,                                    (5.8) або

                                                               (5.9)

Зазначимо, що умова =  виконується завжди. Справді, нехай , тоді

при цьому

Квадратична форма трьох змінних має вигляд

              (5.10)

або

    (5.11)

Вирази (5.9) і (5.11) можна записати у вигляді

                                                                                 (5.12)

 

Остання форма запису компактніша і дає змогу узагальнення на n-вимірний випадок. Так, для n-вимірного вектора формула (5.12) набирає вигляду

                                                                                 (5.13)

Матриця

                                                                               (5.14)

називається матрицею квадратичної форми (5.13). Для матриці А завжди справджується рівність . Матриця A є симетричною.

Введемо вектор-стовпець і матрицю-стовпець:

       і        

та вектор-рядок (матрицю-рядок)

Легко помітити, що

´.

Теорема. Квадратичну форму   завжди можна подати у вигляді скалярного добутку 

                                                                                             (5.15)

Доведення проведемо на прикладі квадратичної форми двох змінних. Розглянемо квадратичну форму двох змінних. Тоді

 

Теорему доведено.

Із доведення теореми випливає, що квадратичну форму  завжди можна подати у вигляді добутку матриць X´, A, X:

                                                                                               (5.16)

Розглянемо залежність зміни матриці квадратичної форми при зміні базису. Нехай дано ортонормований базис , в якому квадратична форма задана матрицею A. Нехай здійснюється перехід до нового ортонормованого базису , в якому квадратична форма має матрицю B. Знайдемо залежність між A і B. Використавши позначення (4.15), (4.16), де П´ - це матриця-стовпець, складена із векторів , можна записати

Введемо дві системи координат (стару і нову), які відповідають двом базисам: П і П´. Розмістимо початки цих систем у одній точці і позначимо один і той самий вектор у двох базисах відповідно матрицям X і Y. Тоді

                                                         

Підставимо значення X і X у формулу (5.16):

(5.17)

але

                                                                                               (5.18)

Порівнюючи вирази (5.17) і (5.18), знаходимо

                                                                                                       (5.19)

Таким чином, при зміні базису матриця квадратичної форми у новому базисі має вигляд (5.19).

Якщо матриця квадратичної форми має діагональний вид, то квадратичну форму називають канонічною.

Канонічна квадратична форма має вигляд

                                                                              (5.20)

де – координати вектора  у новому базисі. Для форми (5.20) матриця A має діагональний вигляд, тобто

                                                                                         (5.21)

Напрями, в яких квадратична форма має вигляд (5.20), називаються головними напрямами або напрямами власних векторів.

Теорема. Із власних векторів матриці квадратичної форми можна побудувати ортонормований базис. У цьому базисі квадратична форма має канонічний вигляд.

Справді, якщо за базис вважати ортонормовану систему власних векторів, то матриця A матиме діагональний вигляд, а квадратична форма – канонічний.

Таким чином, щоб квадратичну форму привести до канонічного вигляду, потрібно:

  1.  знайти матрицю A квадратичної форми;
  2.  знайти власні числа , ,…, і власні вектори  матриці A;
  3.  записати в канонічному вигляді квадратичну форму.

Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

Р о з в’я з а н н я. 1) Складемо матрицю квадратичної форми

  1.  Записуємо характеристичне рівняння

=0,

звідки

Розв’язуючи останнє рівняння, знаходимо власні числа

Позначимо координати вектора у системі власних векторів матриці через  Тоді квадратична форма має вигляд

  1.  Знаходимо ортонормовані власні вектори матриці

Координати l, m, n задовільняють систему рівнянь

                                                                                       (5.22)

Покладемо  тоді система набере вигляду

Ця система має єдиний розв’язок

Значення компоненти будь-яке. Щоб вектор  був нормованим, покладемо

Маємо  Оскільки то система (5.22) набере вигляду

Звідси

Нормуючи, дістанемо

тобто

Для третього власного числа  маємо із (5.22) систему

звідси

Нормуючи  знаходимо

Тобто вектор 

Відповідь. Канонічна форма квадратичної форми

власні вектори квадратичної форми

ВПРАВА. Привести до канонічного вигляду квадратичної форми і знайти їхні власні вектори, якщо:

а) Ф𝑥, 𝑥=3𝑥2−48𝑥𝑦+27𝑦2;

б)

в)

г)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30165. Совершенствование технологии возделывания ячменя и кормовой свеклы 152.12 KB
  Наиболее плодородными являются суглинистые почвы занимающие 257 площади пашни. Также неплохими агрономическими свойствами обладают супесчаные почвы подстилаемые суглинками. В процессе жизненного цикла растения ярового ячменя проходят следующие фазы роста и развития: Прорастание семян Всходы Кущение Выход в трубку Колошение Цветение Формирование и созревание зерна Химический состав зерна ярового ячменя зависит от вида и сорта от плодородия почвы погодноклиматических условий и агротехники. при влажности почвы менее 30 полной...
30166. Реконструкция системы водоснабжения с.Исмаилово Дюртюлинского района Республики Башкортостан 249.46 KB
  Кроме того потребители воды люди животные машины при выполнении многих производственных операций пахота уборка пастьба животных и др. Все это усложняет водоснабжение увеличивает дальность транспортирования воды затрудняет эксплуатацию систем. Это обусловливает цикличное чередование сельскохозяйственных работ а следовательно неравномерность потребления воды.
30167. Описание технологии изготовления сварной конструкции: «Бак для разогрева битума» 404.97 KB
  Выбор параметров режима сварки. Последовательность сварки. Сварочный пост для ручной дуговой сварки. Сварочный пост для газовой сварки.
30168. Проблемы и противоречия законодательства о поставках и предлагаемые пути их решения 131.55 KB
  Объектом исследования в настоящей работе являются правоотношения между продавцом и покупателем по договору поставки. Соответственно, в предмет исследования входят, с одной стороны, правовые нормы, регулирующие данные отношения, и с другой стороны, арбитражная практика, разрешающая споры в данной сфере.
30169. Электрификация и автоматизация коровника на 400 голов боксового содержания СПК «Русь» Макарьевского района Костромской области с разработкой приточной системы вентиляции 315.92 KB
  5 Аэродинамический расчёт воздуха и выбор вентилятора 42 2.3 Система аэрогидродинамического 14 кондиционирования воздуха промышленного типа 14 5. Высокая концентрация поголовья в крупных животноводческих помещениях приводит к резкому увеличению накопления в воздушной среде продуктов обмена веществ в организме животных вредных газов водяных паров а также к увеличению пылевой и бактериальной загрязненности воздуха что отрицательно влияет на физиологическое состояние организма и продуктивность животных. Относительная влажность воздуха 80 .
30171. Управления социальной защиты населения МО Оренбургский район 1.58 MB
  Целью дипломной работы является анализ особенностей реализации социальной политике на региональном уровне на примере субъекта Российской Федерации Оренбургская область. Социально-экономическое развитие страны не может успешно осуществляться без интеграции регионов в единое макроэкономическое и социальное пространство
30172. Гражданско-правовая характеристика хозяйственных товариществ как контрагентов воинских частей внутренних войск МВД России 108.3 KB
  Гражданскоправовая характеристика полного товарищества . Понятие и гражданскоправовая характеристика товарищества на вере коммандитного товарищества21 2. Порядок заключения и исполнения договоров заключенных с хозяйственными товариществами во внутренних войсках МВД России46 Заключение. С появлением нового законодательства о хозяйственных товариществах возникла потребность в его осмыслении.