17794

Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 9 Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Лінійні форми Розглянемо nвимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до nвимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторн

Украинкский

2013-07-05

38.84 KB

23 чел.

Лекція 9

Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Лінійні форми

Розглянемо n-вимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до n-вимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторного аргументу

                                                         .                                                  (5.1)

Функція (5.1) називається лінійною функцією або лінійною формою, якщо справджуються такі умови:

  1.   = ,                                                                                         (5.2)
  2.   =  + ).                                                                    (5.3)

Із цих умов дістанемо ще одну умову:

                                                     (5.4)

Якщо при цьому  то

                                                                                                       (5.5)

Враховуючи цю умову, часто замість «лінійної функції» говорять про «лінійну однорідну функцію». У одновимірному просторі лінійна однорідна функція має вигляд

Якщо задано базис , n-вимірного простору, в якому координати вектора  то

На основі рівності (5.4)

Позначимо

тоді

                                                                (5.6)

Зазначимо, що при переході від одного базису до другого лінійні форми перетворюються так само, як і вектори базису.

5.2 Квадратичні форми

Квадратичною формою називається многочлен, однорідний відносно змінних другого степеня. Наприклад,

є квадратичні форми, а вираз

вже не є квадратичною формою.

Запишемо квадратичну форму двовимірного вектора , або двох зміних:

                 .                             (5.7)

Якщо =, то

                            ,                                    (5.8) або

                                                               (5.9)

Зазначимо, що умова =  виконується завжди. Справді, нехай , тоді

при цьому

Квадратична форма трьох змінних має вигляд

              (5.10)

або

    (5.11)

Вирази (5.9) і (5.11) можна записати у вигляді

                                                                                 (5.12)

 

Остання форма запису компактніша і дає змогу узагальнення на n-вимірний випадок. Так, для n-вимірного вектора формула (5.12) набирає вигляду

                                                                                 (5.13)

Матриця

                                                                               (5.14)

називається матрицею квадратичної форми (5.13). Для матриці А завжди справджується рівність . Матриця A є симетричною.

Введемо вектор-стовпець і матрицю-стовпець:

       і        

та вектор-рядок (матрицю-рядок)

Легко помітити, що

´.

Теорема. Квадратичну форму   завжди можна подати у вигляді скалярного добутку 

                                                                                             (5.15)

Доведення проведемо на прикладі квадратичної форми двох змінних. Розглянемо квадратичну форму двох змінних. Тоді

 

Теорему доведено.

Із доведення теореми випливає, що квадратичну форму  завжди можна подати у вигляді добутку матриць X´, A, X:

                                                                                               (5.16)

Розглянемо залежність зміни матриці квадратичної форми при зміні базису. Нехай дано ортонормований базис , в якому квадратична форма задана матрицею A. Нехай здійснюється перехід до нового ортонормованого базису , в якому квадратична форма має матрицю B. Знайдемо залежність між A і B. Використавши позначення (4.15), (4.16), де П´ - це матриця-стовпець, складена із векторів , можна записати

Введемо дві системи координат (стару і нову), які відповідають двом базисам: П і П´. Розмістимо початки цих систем у одній точці і позначимо один і той самий вектор у двох базисах відповідно матрицям X і Y. Тоді

                                                         

Підставимо значення X і X у формулу (5.16):

(5.17)

але

                                                                                               (5.18)

Порівнюючи вирази (5.17) і (5.18), знаходимо

                                                                                                       (5.19)

Таким чином, при зміні базису матриця квадратичної форми у новому базисі має вигляд (5.19).

Якщо матриця квадратичної форми має діагональний вид, то квадратичну форму називають канонічною.

Канонічна квадратична форма має вигляд

                                                                              (5.20)

де – координати вектора  у новому базисі. Для форми (5.20) матриця A має діагональний вигляд, тобто

                                                                                         (5.21)

Напрями, в яких квадратична форма має вигляд (5.20), називаються головними напрямами або напрямами власних векторів.

Теорема. Із власних векторів матриці квадратичної форми можна побудувати ортонормований базис. У цьому базисі квадратична форма має канонічний вигляд.

Справді, якщо за базис вважати ортонормовану систему власних векторів, то матриця A матиме діагональний вигляд, а квадратична форма – канонічний.

Таким чином, щоб квадратичну форму привести до канонічного вигляду, потрібно:

  1.  знайти матрицю A квадратичної форми;
  2.  знайти власні числа , ,…, і власні вектори  матриці A;
  3.  записати в канонічному вигляді квадратичну форму.

Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

Р о з в’я з а н н я. 1) Складемо матрицю квадратичної форми

  1.  Записуємо характеристичне рівняння

=0,

звідки

Розв’язуючи останнє рівняння, знаходимо власні числа

Позначимо координати вектора у системі власних векторів матриці через  Тоді квадратична форма має вигляд

  1.  Знаходимо ортонормовані власні вектори матриці

Координати l, m, n задовільняють систему рівнянь

                                                                                       (5.22)

Покладемо  тоді система набере вигляду

Ця система має єдиний розв’язок

Значення компоненти будь-яке. Щоб вектор  був нормованим, покладемо

Маємо  Оскільки то система (5.22) набере вигляду

Звідси

Нормуючи, дістанемо

тобто

Для третього власного числа  маємо із (5.22) систему

звідси

Нормуючи  знаходимо

Тобто вектор 

Відповідь. Канонічна форма квадратичної форми

власні вектори квадратичної форми

ВПРАВА. Привести до канонічного вигляду квадратичної форми і знайти їхні власні вектори, якщо:

а) Ф𝑥, 𝑥=3𝑥2−48𝑥𝑦+27𝑦2;

б)

в)

г)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81178. Внутренняя творческая среда 41.13 KB
  Для того чтобы ее создать необходимо поддерживать инициативные и творческие устремления сотрудников. Эффективное взаимодействие творцов особого внимания заслуживают особенности межличностного взаимодействия внутри творческой группы так как процессы общения и взаимодействия могут оказывать на сотрудников как мотивирующий результат так и демотивирующий. Эффективной чертой управления творческими потенциалами сотрудников является тесная увязка инновационных стратегий и политики управления человеческими ресурсами. Он может как стимулировать...
81179. Методы активизации творческого мышления 42.1 KB
  Разработка и генерация новых идей для решения стратегических целей и задач предприятия – это не просто. Часто, творческий специалист не знает с чего начать, как собраться и сфокусировать свое внимание на нужном объекте, активизировать свои творческие способности.
81180. Исследование творческого потенциала сотрудников 35.83 KB
  Направления исследований: наличие творческого потенциала; степень уровень его актуализации; факторы стимулирующие препятствующие развитию и актуализации; проявление творческого потенциала в условиях стабильности и в условиях инноваций. При проведении исследований изучается не столько наличие или отсутствие творческого потенциала и инициативы сколько желание и возможность реализовывать их в профессиональной деятельности а также факторы которые могут оказывать влияние на проявление креативности10. Таким образом при исследовании творческого...
81181. Оценка эффективности управления творческим потенциалом компании 39.05 KB
  Исходя из этого показатели эффективности системы управления развитием творческого потенциала постоянного состава компании рассматриваются через результат развития творческого потенциала сотрудников; реализацию всех возможных мотивов побуждающих персонал к творческой деятельности; показатели качества организационной структуры...
81183. Психолого-педагогические принципы организации деловой игры 35.65 KB
  Моделирование реальных условий профессиональной деятельности специалиста во всем многообразии служебных социальных и личностных связей является основой методов интерактивного обучения; принцип игрового моделирования содержания и форм профессиональной деятельности. Реализация этого принципа является необходимым условием учебной игры поскольку несет в себе обучающие функции; принцип совместной деятельности. В деловой игре этот принцип требует реализации посредством вовлечения в познавательную деятельность нескольких участников.
81184. Признаки деловой игры 33.44 KB
  Решение принимаемое участниками игры на первом этапе воздействует на модель и изменяет её исходное состояние. Изменение состояния поступает в игровой комплекс и на основе полученной информации участники игры вырабатывают решение на втором этапе игры и т. Распределение ролей между участниками игры.
81185. Структура деловой игры 34.17 KB
  В сочетании со средой внешним окружением имитационной модели имитационная модель формирует проблемное содержание игры. При этом и модель и действующие лица находятся в игровой среде представляющей профессиональный социальный или общественный контекст имитируемой в игре деятельности специалистов. Сама игровая деятельность предстает в виде вариативного воздействия на имитационную модель зависящего от её состояния и осуществляемого в процессе взаимодействия участников регламентируемого правилами.
81186. Естественный и искусственный государственный интерес 35.62 KB
  По субъекту формирования государственный интерес можно подразделить на естественный и искусственный. Субъектом формирующим естественный интерес является общество. Естественный государственный интерес это частные интересы социальных групп и институтов а также иных субъектов политики и общественной жизни которые государство обобщает в свой интерес с их подачи.