17794

Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 9 Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Лінійні форми Розглянемо nвимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до nвимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторн

Украинкский

2013-07-05

38.84 KB

25 чел.

Лекція 9

Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Лінійні форми

Розглянемо n-вимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до n-вимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторного аргументу

                                                         .                                                  (5.1)

Функція (5.1) називається лінійною функцією або лінійною формою, якщо справджуються такі умови:

  1.   = ,                                                                                         (5.2)
  2.   =  + ).                                                                    (5.3)

Із цих умов дістанемо ще одну умову:

                                                     (5.4)

Якщо при цьому  то

                                                                                                       (5.5)

Враховуючи цю умову, часто замість «лінійної функції» говорять про «лінійну однорідну функцію». У одновимірному просторі лінійна однорідна функція має вигляд

Якщо задано базис , n-вимірного простору, в якому координати вектора  то

На основі рівності (5.4)

Позначимо

тоді

                                                                (5.6)

Зазначимо, що при переході від одного базису до другого лінійні форми перетворюються так само, як і вектори базису.

5.2 Квадратичні форми

Квадратичною формою називається многочлен, однорідний відносно змінних другого степеня. Наприклад,

є квадратичні форми, а вираз

вже не є квадратичною формою.

Запишемо квадратичну форму двовимірного вектора , або двох зміних:

                 .                             (5.7)

Якщо =, то

                            ,                                    (5.8) або

                                                               (5.9)

Зазначимо, що умова =  виконується завжди. Справді, нехай , тоді

при цьому

Квадратична форма трьох змінних має вигляд

              (5.10)

або

    (5.11)

Вирази (5.9) і (5.11) можна записати у вигляді

                                                                                 (5.12)

 

Остання форма запису компактніша і дає змогу узагальнення на n-вимірний випадок. Так, для n-вимірного вектора формула (5.12) набирає вигляду

                                                                                 (5.13)

Матриця

                                                                               (5.14)

називається матрицею квадратичної форми (5.13). Для матриці А завжди справджується рівність . Матриця A є симетричною.

Введемо вектор-стовпець і матрицю-стовпець:

       і        

та вектор-рядок (матрицю-рядок)

Легко помітити, що

´.

Теорема. Квадратичну форму   завжди можна подати у вигляді скалярного добутку 

                                                                                             (5.15)

Доведення проведемо на прикладі квадратичної форми двох змінних. Розглянемо квадратичну форму двох змінних. Тоді

 

Теорему доведено.

Із доведення теореми випливає, що квадратичну форму  завжди можна подати у вигляді добутку матриць X´, A, X:

                                                                                               (5.16)

Розглянемо залежність зміни матриці квадратичної форми при зміні базису. Нехай дано ортонормований базис , в якому квадратична форма задана матрицею A. Нехай здійснюється перехід до нового ортонормованого базису , в якому квадратична форма має матрицю B. Знайдемо залежність між A і B. Використавши позначення (4.15), (4.16), де П´ - це матриця-стовпець, складена із векторів , можна записати

Введемо дві системи координат (стару і нову), які відповідають двом базисам: П і П´. Розмістимо початки цих систем у одній точці і позначимо один і той самий вектор у двох базисах відповідно матрицям X і Y. Тоді

                                                         

Підставимо значення X і X у формулу (5.16):

(5.17)

але

                                                                                               (5.18)

Порівнюючи вирази (5.17) і (5.18), знаходимо

                                                                                                       (5.19)

Таким чином, при зміні базису матриця квадратичної форми у новому базисі має вигляд (5.19).

Якщо матриця квадратичної форми має діагональний вид, то квадратичну форму називають канонічною.

Канонічна квадратична форма має вигляд

                                                                              (5.20)

де – координати вектора  у новому базисі. Для форми (5.20) матриця A має діагональний вигляд, тобто

                                                                                         (5.21)

Напрями, в яких квадратична форма має вигляд (5.20), називаються головними напрямами або напрямами власних векторів.

Теорема. Із власних векторів матриці квадратичної форми можна побудувати ортонормований базис. У цьому базисі квадратична форма має канонічний вигляд.

Справді, якщо за базис вважати ортонормовану систему власних векторів, то матриця A матиме діагональний вигляд, а квадратична форма – канонічний.

Таким чином, щоб квадратичну форму привести до канонічного вигляду, потрібно:

  1.  знайти матрицю A квадратичної форми;
  2.  знайти власні числа , ,…, і власні вектори  матриці A;
  3.  записати в канонічному вигляді квадратичну форму.

Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

Р о з в’я з а н н я. 1) Складемо матрицю квадратичної форми

  1.  Записуємо характеристичне рівняння

=0,

звідки

Розв’язуючи останнє рівняння, знаходимо власні числа

Позначимо координати вектора у системі власних векторів матриці через  Тоді квадратична форма має вигляд

  1.  Знаходимо ортонормовані власні вектори матриці

Координати l, m, n задовільняють систему рівнянь

                                                                                       (5.22)

Покладемо  тоді система набере вигляду

Ця система має єдиний розв’язок

Значення компоненти будь-яке. Щоб вектор  був нормованим, покладемо

Маємо  Оскільки то система (5.22) набере вигляду

Звідси

Нормуючи, дістанемо

тобто

Для третього власного числа  маємо із (5.22) систему

звідси

Нормуючи  знаходимо

Тобто вектор 

Відповідь. Канонічна форма квадратичної форми

власні вектори квадратичної форми

ВПРАВА. Привести до канонічного вигляду квадратичної форми і знайти їхні власні вектори, якщо:

а) Ф𝑥, 𝑥=3𝑥2−48𝑥𝑦+27𝑦2;

б)

в)

г)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76501. Восстановление в родительских правах 18.79 KB
  Что касается правовой стороны восстановления в родительских правах то оно допустимо лишь в отношении несовершеннолетних так как напрямую связано с воспитанием ребенка. 72 СК восстановление в родительских правах уже невозможно. Восстановление в родительских правах допускается если родители один из них изменили: свое поведение; образ жизни; отношение к воспитанию ребенка.
76502. Ограничение родительских прав 17.55 KB
  При лишении родительских прав родители ребёнка утрачивают право на личное воспитание в том числе на общение; на получение мер социальной поддержки: пособий компенсаций льгот. При ограничении родительских прав отец и мать утрачивают права на личное воспитание и получение льгот но сохраняют право на общение с ребенком если такое общение не оказывает на ребенка негативного вредного влияния. В каких случаях суд можно ограничить мать и отца в родительских правах Если ребенок находится в опасной обстановке которая возникла не по вине...
76503. Алиментные правоотношения супругов и бывших супругов 18.09 KB
  Супруги вправе заключить соглашение об уплате алиментов. проживающие как супруги без официальной регистрации брака в органах загса могут заключить соглашение о предоставлении содержания на которые нормы СК РФ регулирующие соглашения об уплате алиментов будут распространяться в порядке аналогии закона. В случае отказа от материальной поддержки и отсутствия соглашения между супругами об уплате алиментов право требовать предоставления алиментов в судебном порядке от другого супруга обладающего необходимыми для этого средствами имеют: а...
76504. Алиментные правоотношения родителей и детей 21.08 KB
  80 СК РФ Родители обязаны содержать своих несовершеннолетних детей.27 ГК РФ обязанность родителей содержать своих детей прекращается ст. Гражданский кодекс РФ наделяет детей достигших 14-летнего возраста заключать соглашение об уплате алиментов с согласия своего родителя или иного законного представителя ст.
76505. Алиментные правоотношения родителей и совершеннолетних детей 19.06 KB
  И здесь следует остановиться на соглашении об уплате алиментов. Соглашение об уплате алиментов способ добровольной уплаты алиментов. Родители вправе заключить соглашение о предоставлении алиментов своим совершеннолетним детям независимо от их нетрудоспособности и нуждаемости.
76506. Алиментные правоотношения других членов семьи 17 KB
  Трудоспособные совершеннолетние братья и сестры обладающие необходимыми средствами обязаны содержать своих нуждающихся в помощи несовершеннолетних братьев и сестер в случае невозможности получения ими содержания от своих родителей а также нетрудоспособных нуждающихся в помощи совершеннолетних братьев и сестер если они не могут получить содержание от своих трудоспособных совершеннолетних детей супругов бывших супругов или от родителей ст. 94 СК РФ предусмотрена алиментная обязанность дедушки и бабушки в отношении своих внуков. К...
76507. Соглашение об уплате алиментов (понятие, форма, содержание, правовое значение) 17.43 KB
  Заключить соглашение может также лицо не являющееся алиментообязанным когда нет оснований для назначения алиментов в судебном порядке. Соглашение об уплате алиментов должно быть заключено в письменной форме с последующим нотариальным удостоверением п. В содержании соглашения об уплате алиментов должны быть указаны размер алиментов; порядок и способы их уплаты.
76508. Порядок взыскания и уплаты алиментов 19.8 KB
  2 ст 104 Семейного кодекса РФ установлены следующие способы уплаты алиментов: долевой в процентах к заработку и или доходу плательщика; в твердой сумме уплачиваемой периодически; в твердой сумме уплачиваемой единовременно; путем предоставления имущества это может быть единовременно или периодически в согласованные периоды; смешанные варианты. 81 Семейного кодекса Российской Федерации размер алиментов зависит от материального или семейного положения сторон и иных заслуживающих внимания обстоятельств. Взыскание алиментов...
76509. Взыскание задолженности по алиментам 17.93 KB
  Задолженность по уплате алиментов может образоваться в двух случаях: Судом установлен размер алиментов в твердой денежной сумме однако алиментообязанное лицо по какимто причинам не платит положенные алименты. Судом установлен размер алиментов в процентах от заработка однако алиментообязанное лицо нигде не работает и не получает иного дохода. В первом случае расчет задолженности по алиментам не составляет особого труда: необходимо умножить количество месяцев в течение которых не производилась уплата алиментов на твердую денежную сумму...