17794

Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 9 Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Лінійні форми Розглянемо nвимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до nвимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторн

Украинкский

2013-07-05

38.84 KB

25 чел.

Лекція 9

Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Лінійні форми

Розглянемо n-вимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до n-вимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторного аргументу

                                                         .                                                  (5.1)

Функція (5.1) називається лінійною функцією або лінійною формою, якщо справджуються такі умови:

  1.   = ,                                                                                         (5.2)
  2.   =  + ).                                                                    (5.3)

Із цих умов дістанемо ще одну умову:

                                                     (5.4)

Якщо при цьому  то

                                                                                                       (5.5)

Враховуючи цю умову, часто замість «лінійної функції» говорять про «лінійну однорідну функцію». У одновимірному просторі лінійна однорідна функція має вигляд

Якщо задано базис , n-вимірного простору, в якому координати вектора  то

На основі рівності (5.4)

Позначимо

тоді

                                                                (5.6)

Зазначимо, що при переході від одного базису до другого лінійні форми перетворюються так само, як і вектори базису.

5.2 Квадратичні форми

Квадратичною формою називається многочлен, однорідний відносно змінних другого степеня. Наприклад,

є квадратичні форми, а вираз

вже не є квадратичною формою.

Запишемо квадратичну форму двовимірного вектора , або двох зміних:

                 .                             (5.7)

Якщо =, то

                            ,                                    (5.8) або

                                                               (5.9)

Зазначимо, що умова =  виконується завжди. Справді, нехай , тоді

при цьому

Квадратична форма трьох змінних має вигляд

              (5.10)

або

    (5.11)

Вирази (5.9) і (5.11) можна записати у вигляді

                                                                                 (5.12)

 

Остання форма запису компактніша і дає змогу узагальнення на n-вимірний випадок. Так, для n-вимірного вектора формула (5.12) набирає вигляду

                                                                                 (5.13)

Матриця

                                                                               (5.14)

називається матрицею квадратичної форми (5.13). Для матриці А завжди справджується рівність . Матриця A є симетричною.

Введемо вектор-стовпець і матрицю-стовпець:

       і        

та вектор-рядок (матрицю-рядок)

Легко помітити, що

´.

Теорема. Квадратичну форму   завжди можна подати у вигляді скалярного добутку 

                                                                                             (5.15)

Доведення проведемо на прикладі квадратичної форми двох змінних. Розглянемо квадратичну форму двох змінних. Тоді

 

Теорему доведено.

Із доведення теореми випливає, що квадратичну форму  завжди можна подати у вигляді добутку матриць X´, A, X:

                                                                                               (5.16)

Розглянемо залежність зміни матриці квадратичної форми при зміні базису. Нехай дано ортонормований базис , в якому квадратична форма задана матрицею A. Нехай здійснюється перехід до нового ортонормованого базису , в якому квадратична форма має матрицю B. Знайдемо залежність між A і B. Використавши позначення (4.15), (4.16), де П´ - це матриця-стовпець, складена із векторів , можна записати

Введемо дві системи координат (стару і нову), які відповідають двом базисам: П і П´. Розмістимо початки цих систем у одній точці і позначимо один і той самий вектор у двох базисах відповідно матрицям X і Y. Тоді

                                                         

Підставимо значення X і X у формулу (5.16):

(5.17)

але

                                                                                               (5.18)

Порівнюючи вирази (5.17) і (5.18), знаходимо

                                                                                                       (5.19)

Таким чином, при зміні базису матриця квадратичної форми у новому базисі має вигляд (5.19).

Якщо матриця квадратичної форми має діагональний вид, то квадратичну форму називають канонічною.

Канонічна квадратична форма має вигляд

                                                                              (5.20)

де – координати вектора  у новому базисі. Для форми (5.20) матриця A має діагональний вигляд, тобто

                                                                                         (5.21)

Напрями, в яких квадратична форма має вигляд (5.20), називаються головними напрямами або напрямами власних векторів.

Теорема. Із власних векторів матриці квадратичної форми можна побудувати ортонормований базис. У цьому базисі квадратична форма має канонічний вигляд.

Справді, якщо за базис вважати ортонормовану систему власних векторів, то матриця A матиме діагональний вигляд, а квадратична форма – канонічний.

Таким чином, щоб квадратичну форму привести до канонічного вигляду, потрібно:

  1.  знайти матрицю A квадратичної форми;
  2.  знайти власні числа , ,…, і власні вектори  матриці A;
  3.  записати в канонічному вигляді квадратичну форму.

Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

Р о з в’я з а н н я. 1) Складемо матрицю квадратичної форми

  1.  Записуємо характеристичне рівняння

=0,

звідки

Розв’язуючи останнє рівняння, знаходимо власні числа

Позначимо координати вектора у системі власних векторів матриці через  Тоді квадратична форма має вигляд

  1.  Знаходимо ортонормовані власні вектори матриці

Координати l, m, n задовільняють систему рівнянь

                                                                                       (5.22)

Покладемо  тоді система набере вигляду

Ця система має єдиний розв’язок

Значення компоненти будь-яке. Щоб вектор  був нормованим, покладемо

Маємо  Оскільки то система (5.22) набере вигляду

Звідси

Нормуючи, дістанемо

тобто

Для третього власного числа  маємо із (5.22) систему

звідси

Нормуючи  знаходимо

Тобто вектор 

Відповідь. Канонічна форма квадратичної форми

власні вектори квадратичної форми

ВПРАВА. Привести до канонічного вигляду квадратичної форми і знайти їхні власні вектори, якщо:

а) Ф𝑥, 𝑥=3𝑥2−48𝑥𝑦+27𝑦2;

б)

в)

г)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30120. Генетика популяций. Генетическая структура популяций и идеальная популяция 37.55 KB
  При описании систем скрещивания в идеальной популяции широко используется понятие панмиксии случайного свободного скрещивания при котором вероятность встречи гамет не зависит ни от генотипа ни от возраста скрещивающихся особей. Если исключить половой отбор то к панмиктической популяции применима концепция гаметного резервуара согласно которой в популяции в период размножения формируется гаметный резервуар генный пул включающий банк женских гамети банк...
30121. Наследственные и врожденные болезни 15.44 KB
  Наследственные и врожденные болезни: НАСЛЕ́ДСТВЕННЫЕ БОЛЕ́ЗНИ патологические состояния организма обусловленные изменениями генетического материала мутациями. В широком смысле термин наследственные болезни включает не только хромосомные и генные болезни вызываемые соответствующими мутациями но и мультифакториальные болезни развитие которых связано с взаимодействием нормальных полиморфных генов формирующих предрасположенность к заболеванию с факторами внешней среды. Условно к наследственным болезням можно также отнести болезни...
30122. Методы диагностики наследственных болезней 29.39 KB
  Методы диагностики наследственных болезней: 1.Генеалогический метод диагностики наследственных болезней один из важнейших методов в генетике он представляет собой систему изучения заболеваемости в роду с составлением соответствующей родословной. В настоящее время известно более 50 наследственных заболеваний связанных с полом.Биохимикогенетические методы диагностики наследственных болезней исследования широко применяются в диагностике наследственных заболеваний обмена веществ и других форм.
30123. Хромосомные синдромы 19.27 KB
  Хромосомные синдромы: Хромосомные синдромы с числовыми нарушениями аутосом: Синдром Дауна трисомия по хромосоме 21 одна из форм геномной патологии при которой чаще всего кариотип представлен 47хромосомами вместо нормальных 46 поскольку хромосомы 21й пары вместо нормальных двух представлены тремя копиями трисомия см. Существует ещё две формы данного синдрома: транслокация хромосомы 21 на другие хромосомы чаще на 15 реже на 14 ещё реже на 21 22 и Yхромосому 4 случаев и мозаичный вариант синдрома 5 . Синдром получил...
30124. Кариотип 17.21 KB
  Кариотип это совокупность признаков полного набора хромосом соматических клеток организма на стадии метафазы III фаза деления клетки их количество размер форма особенности строения. Исследование кариотипа проводят методом световой микроскопии с целью выявления патологии хромосом. Чаще всего это исследование проводят у детей для выявления заболеваний обусловленных нарушениями в хромосомах и у супругов при бесплодии или привычном невынашивании беременности. Выявление хромосомных перестроек в этом случае позволяет установить причину...
30125. Генетический контроль синтеза ферментов 16.67 KB
  Генетический контроль синтеза ферментов. Однако под действием некоторых сигналов синтез индуцибельных ферментов повышается. coliв присутствии лактозы образуется ряд ферментов участвующих в катаболизме этого дисахарида. Репрессор связывается со специфическим участком ДНК и блокирует транскрипцию генов ответственных за синтез определенных ферментов.
30126. Создание устройства для дистанционного мониторинга основных физиологических показателей человека, программного обеспечения для регистрации частоты сердечных сокращений и температуры тела 3.2 MB
  Устройство для дистанционного мониторинга физиологических показателей человека позволяет удалённо следить за температурой и частотой пульса пациента. Устройство закрепляется на внутренней стороне плеча, что позволяет точнее измерять температуру.
30127. Разработка аппарата коррекции речи, который использует такие методы лечения заикания как «метроном» и «задержанная акустическая связь» 2.4 MB
  Благодаря речи индивидуальное сознание каждого человека, не ограничиваясь личным опытом, собственными наблюдениями, питается и обогащается результатами общественного опыта: наблюдения и знания всех людей становятся или могут благодаря речи стать достоянием каждого. Огромное многообразие стимулов, которое получает благодаря этому человек, дало мощный толчок для дальнейшего развития его мозга
30128. Микро- и наноэлектроника. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ДИПЛОМНОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ 835 KB
  ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИПЛОМНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ Дипломное проектирование по специальности Микро и наноэлектроника является заключительным этапом обучения студента в университете и имеет следующие цели: систематизацию закрепление и расширение теоретических и практических знаний по специальности применение этих знаний при решении конкретных научных технических экономических и производственных задач; развитие навыков ведения самостоятельной работы и овладение методикой исследования и экспериментирования при решении разрабатываемых в...