17794

Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 9 Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Лінійні форми Розглянемо nвимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до nвимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторн

Украинкский

2013-07-05

38.84 KB

25 чел.

Лекція 9

Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Лінійні форми

Розглянемо n-вимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до n-вимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторного аргументу

                                                         .                                                  (5.1)

Функція (5.1) називається лінійною функцією або лінійною формою, якщо справджуються такі умови:

  1.   = ,                                                                                         (5.2)
  2.   =  + ).                                                                    (5.3)

Із цих умов дістанемо ще одну умову:

                                                     (5.4)

Якщо при цьому  то

                                                                                                       (5.5)

Враховуючи цю умову, часто замість «лінійної функції» говорять про «лінійну однорідну функцію». У одновимірному просторі лінійна однорідна функція має вигляд

Якщо задано базис , n-вимірного простору, в якому координати вектора  то

На основі рівності (5.4)

Позначимо

тоді

                                                                (5.6)

Зазначимо, що при переході від одного базису до другого лінійні форми перетворюються так само, як і вектори базису.

5.2 Квадратичні форми

Квадратичною формою називається многочлен, однорідний відносно змінних другого степеня. Наприклад,

є квадратичні форми, а вираз

вже не є квадратичною формою.

Запишемо квадратичну форму двовимірного вектора , або двох зміних:

                 .                             (5.7)

Якщо =, то

                            ,                                    (5.8) або

                                                               (5.9)

Зазначимо, що умова =  виконується завжди. Справді, нехай , тоді

при цьому

Квадратична форма трьох змінних має вигляд

              (5.10)

або

    (5.11)

Вирази (5.9) і (5.11) можна записати у вигляді

                                                                                 (5.12)

 

Остання форма запису компактніша і дає змогу узагальнення на n-вимірний випадок. Так, для n-вимірного вектора формула (5.12) набирає вигляду

                                                                                 (5.13)

Матриця

                                                                               (5.14)

називається матрицею квадратичної форми (5.13). Для матриці А завжди справджується рівність . Матриця A є симетричною.

Введемо вектор-стовпець і матрицю-стовпець:

       і        

та вектор-рядок (матрицю-рядок)

Легко помітити, що

´.

Теорема. Квадратичну форму   завжди можна подати у вигляді скалярного добутку 

                                                                                             (5.15)

Доведення проведемо на прикладі квадратичної форми двох змінних. Розглянемо квадратичну форму двох змінних. Тоді

 

Теорему доведено.

Із доведення теореми випливає, що квадратичну форму  завжди можна подати у вигляді добутку матриць X´, A, X:

                                                                                               (5.16)

Розглянемо залежність зміни матриці квадратичної форми при зміні базису. Нехай дано ортонормований базис , в якому квадратична форма задана матрицею A. Нехай здійснюється перехід до нового ортонормованого базису , в якому квадратична форма має матрицю B. Знайдемо залежність між A і B. Використавши позначення (4.15), (4.16), де П´ - це матриця-стовпець, складена із векторів , можна записати

Введемо дві системи координат (стару і нову), які відповідають двом базисам: П і П´. Розмістимо початки цих систем у одній точці і позначимо один і той самий вектор у двох базисах відповідно матрицям X і Y. Тоді

                                                         

Підставимо значення X і X у формулу (5.16):

(5.17)

але

                                                                                               (5.18)

Порівнюючи вирази (5.17) і (5.18), знаходимо

                                                                                                       (5.19)

Таким чином, при зміні базису матриця квадратичної форми у новому базисі має вигляд (5.19).

Якщо матриця квадратичної форми має діагональний вид, то квадратичну форму називають канонічною.

Канонічна квадратична форма має вигляд

                                                                              (5.20)

де – координати вектора  у новому базисі. Для форми (5.20) матриця A має діагональний вигляд, тобто

                                                                                         (5.21)

Напрями, в яких квадратична форма має вигляд (5.20), називаються головними напрямами або напрямами власних векторів.

Теорема. Із власних векторів матриці квадратичної форми можна побудувати ортонормований базис. У цьому базисі квадратична форма має канонічний вигляд.

Справді, якщо за базис вважати ортонормовану систему власних векторів, то матриця A матиме діагональний вигляд, а квадратична форма – канонічний.

Таким чином, щоб квадратичну форму привести до канонічного вигляду, потрібно:

  1.  знайти матрицю A квадратичної форми;
  2.  знайти власні числа , ,…, і власні вектори  матриці A;
  3.  записати в канонічному вигляді квадратичну форму.

Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

Р о з в’я з а н н я. 1) Складемо матрицю квадратичної форми

  1.  Записуємо характеристичне рівняння

=0,

звідки

Розв’язуючи останнє рівняння, знаходимо власні числа

Позначимо координати вектора у системі власних векторів матриці через  Тоді квадратична форма має вигляд

  1.  Знаходимо ортонормовані власні вектори матриці

Координати l, m, n задовільняють систему рівнянь

                                                                                       (5.22)

Покладемо  тоді система набере вигляду

Ця система має єдиний розв’язок

Значення компоненти будь-яке. Щоб вектор  був нормованим, покладемо

Маємо  Оскільки то система (5.22) набере вигляду

Звідси

Нормуючи, дістанемо

тобто

Для третього власного числа  маємо із (5.22) систему

звідси

Нормуючи  знаходимо

Тобто вектор 

Відповідь. Канонічна форма квадратичної форми

власні вектори квадратичної форми

ВПРАВА. Привести до канонічного вигляду квадратичної форми і знайти їхні власні вектори, якщо:

а) Ф𝑥, 𝑥=3𝑥2−48𝑥𝑦+27𝑦2;

б)

в)

г)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29566. Конкурентные и неконкурентные рынки 69.5 KB
  Принимая решение он рассматривает два его следствия: Эффект объема производства. Эффект цены. Если эффект объема производства больше чем эффект цены владелец колодца увеличит предложение воды. Если эффект цены превышает эффект объема производитель откажется от планов увеличения предложения.
29567. Понятия «неопределенность» и «риск». Предпосылки поведения потребителя в условиях неопределенности 365.5 KB
  Понятия неопределенность и риск. Неопределенность как условие риска Неопределенность одно из центральных понятий в современной теории и практике управления. Неопределенность выступает необходимым и достаточным условием риска в принятии решений. Как отмечается в этимологическом словаре Фасмера термины риск рисковать происходят от греческого rysicon утес скала; отсюда рисковать значит взбираться на скалу или лавировать между скалами.
29568. Теория игр в выборе потребителя. Динамические игры. Координационные игры 487.5 KB
  Динамические игры. Координационные игры. думаю главное самое основное рассказать у теории игр большой математический аппарат который нет смысла сейчас изучать главное передать суть теории применительно к выбору потребителя и к решениям принимаемым на предприятиях в условиях олигополии стратегии равновесия выигрыши. Из лекции Бодрова у него только про статические игры: Теория игр анализирует принятие решений экономическими субъектами называемыми в соответствии с установившейся традицией игроками в ситуациях когда на результат...
29569. Эластичность спроса. Эластичность спроса относительно дохода 73 KB
  Эластичность спроса. Эластичность спроса относительно цены показывает относительное изменение объема спроса под влиянием изменения цены на один процент. Оно вызывает значительное изменение величины спроса. Рост цен автомобиля Вольво на 10 рублей практически не ощутим для покупателей этой автомашины поэтому изменение цены и величины спроса дается в формуле эластичности не абсолютно а относительно: EPD =  Q Q : P P  = Q в P в  3.
29570. Потребительское поведение и выбор потребителя 117.5 KB
  Полезность блага utility of good это способность экономического блага удовлетворять одну или несколько человеческих потребностей. была выявлена закономерность: потребляемые последовательно части какоголибо блага обладают убывающей полезностью для потребителя. Это означает что любому бесконечно малому увеличению количества блага Q соответствует прирост общей полезности totl utility TU см. Хотя общая полезность с увеличением количества благ постепенно возрастает предельная полезность mrginl utility MU каждой дополнительной...
29571. Кривая цена-потребеление 55 KB
  Однако при этом не учитываются два важных обстоятельства: цены товаров и доход потребителей. Если I доход потребителя Px цена блага X Py цена блага Y а X и Y составляют соответственно купленные количества благ то уравнение бюджетного ограничения можно записать следующим образом: I = Px X PY Y или в более привычном виде: Y = I Py Px Py  X где Px Py угловой коэффициент бюджетной линии который измеряет наклон этой линии к оси абсцисс. При X = 0 Y = I Py то есть весь доход потребителя расходуется на благо Y....
29574. СМИ как социальный институт и как вид бизнеса. Проблема финансовой свободы и зависимости СМИ 18.47 KB
  СМИ как социальный институт и как вид бизнеса. Проблема финансовой свободы и зависимости СМИ. СМИ является соц. Функции СМИ в обществе: У средств массовой информации в эпоху Просвящения была высокая миссия они были инструментом воздействия на власть имущих из публикаций они должны были узнавать о проблемах и нуждах простых людей о том что думают представители наиболее прогрессивные представители общества.