17795

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 10. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ Аналітична геометрія це розділ математики в якому геометричним обєктам ставлять у відповідність певні рівняння таким чином що властивості обєктів виражаються у властивостях цих рівнянь. Рівняння записуються відносно вибраної сис...

Украинкский

2013-07-05

5.7 MB

3 чел.

Лекція 10.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Аналітична геометрія — це розділ математики, в якому геометричним об'єктам ставлять у відповідність певні рівняння таким чином, що властивості об'єктів виражаються у властивостях цих рівнянь. Рівняння записуються відносно вибраної системи координат.

ПОВЕРХНІ І ЇХНІ РІВНЯННЯ

 Поверхня і її загальне рівняння

Співвідношення F (х, у, z) = 0, що пов'язує три змінні в деякій системі координат, називається рівнянням, якщо одні точки простору задовольняють це співвідношення, а інші ні.

Наприклад, співвідношення х2 + у2 - z = 0 задовольняє точка (2, 1, 5) і не задовольняє точка (2, 1, 3). Отже, дане співвідношення — це рівняння.

Припустимо, що задано деяку поверхню, наприклад поверхню кулі (сферичну поверхню), радіус якої дорівнює R, а центр міститься у точці M0. Тоді точки простору можна поділити на дві категорії: одні з них належать даній поверхні, а інші ні.

Рівняння

F (х, у, z) = 0

називається рівнянням даної поверхні в деякій системі координат, якщо кожна точка цієї поверхні задовольняє дане рівняння, а будь-яка, точка, що не належить цій поверхні, це рівняння не задовольняє. Координати х, у, z будь-якої точки поверхні називаються поточними (змінними) координатами.

Таким чином, поверхню можна задати геометрично і аналітично — за допомогою рівняння.

Якщо поверхня задана геометрично, то ставиться задача про знаходження в деякій системі координат її рівняння, та навпаки, якщо задано рівняння поверхні, то ставиться задача про знаходження геометричного образу поверхні, яка відповідає даному рівнянню.

 Рівняння сферичної поверхні

Сферичною поверхнею називається множина точок тривимірного простору, рівновіддалених від однієї і тієї самої точки даного простору. Ця точка називається центром сферичної поверхні, а відстань від неї до будь-якої точки поверхні — її радіусом.

Нехай центр сферичної поверхні міститься у точці Мо (а, b, с) тривимірного простору хуz, а її радіус дорівнює R (рис. 2.1). Складемо рівняння цієї поверхні.

Візьмемо довільну точку М (х, у,z) простору і знайдемо її відстань від точки Мо:

d = √(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2

Точка М належатиме даній сферичній поверхні тоді і тільки тоді, коли

d = R

або

√(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R

Звідси

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2    (1.1)

Знайдене рівняння називається канонічним рівнянням сферичної поверхні з центром у точці М0 (а, b, с) і радіусом R. Якщо центр сферичної поверхні збігається з початком координат, то її рівняння набирає вигляду

x2 + y2 + z2 = R2 (1.2)

Прості циліндричні поверхні

Циліндричною поверхнею називається поверхня, що утворена переміщенням прямої (твірної) вздовж деякої заданої лінії (напрямної) паралельно заданому напряму.

Прості циліндричні поверхні — це циліндричні поверхні, твірні яких паралельні одній з координатних осей.

Розглянемо у прямокутній системі координат хуz рівняння у2 =2рх + b (рис. 2.2). Візьмемо точку Мо0, у0, z0). Нехай точка

0, у0) задовольняє дане рівняння, а z — довільне. Тоді кожній парі 0, у0) відповідає пряма, паралельна осі Оz, а множина всіх таких прямих, згідно з означенням, утворює просту циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі Оz.

Розглянемо рівняння F (х, у) = 0. Це рівняння не містить змінної z, тобто воно пов'язує тільки змінні х і у. Нехай це рівняння задає в системі хуz деяку поверхню. Тоді будь-яка точка М00, у0, z0), де F (х0, у0) = 0, а z — довільне, належить цій поверхні. Це означає, що рівняння F (х, у) = 0 визначає просту циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі аплікат.

Аналогічно рівняння F (x, z) = 0 визначає циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі ординат, а рівняння F (y, z) = 0 — циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі абсцис.

Якщо рівняння F (х, у) = 0 розглядати у двовимірному просторі, то одні точки цього простору задовольнятимуть це рівняння, а інші — ні. Ті точки площини хОу, які задовольняють рівняння F (х, у)= 0, утворюють лінію (криву або пряму). Отже, рівняння F (х, у) = 0 задає лінію, розміщену на площині хОу. Аналогічно рівняння

F (х, z) = 0 і F (у, z) = 0 задають лінії відповідно у площинах хОz і уОz. Якщо в рівнянні F (х, у, z) = 0 одна з координат дорівнює нулю, то воно є рівнянням лінії, що лежить в координатній площині, перпендикулярній до відповідної, осі.

Тому рівняння будь-якої лінії, яка розміщена в координатній площині (плоскої кривої), можна записати у вигляді

F(x, y) = 0, або F(x, z) = 0, або F(y, z) = 0,

z = 0, y = 0, x = 0.

Рівняння лінії у просторі

Лінію у тривимірному просторі можна розглядати як лінію перетину двох поверхонь:

F1(x, y, z) = 0;

F2(x, y, z) = 0.

Лінія у просторі — це множина точок цього простору, які задовольняють систему рівнянь (1.3). Якщо кожне рівняння системи (1.3) визначає площину, то ця система визначає пряму лінію. Якщо кожне з рівнянь системи (1.3) не визначає площину, то система може визначати як пряму, так і криву в тривимірному просторі. Якщо тільки одне з рівнянь системи (1.3) визначає площину, то ця система визначає плоску Криму.

Нарешті, якщо обидва рівняння системи (1.3) визначають площину, одна з яких є координатною, то система визначає пряму, яка лежить в цій координатній площині.

Алгебраїчні поверхні

Поверхня називається алгебраїчною, якщо у деякій просторовій прямокутній  системі координат рівняння координат рівняння поверхні є алгебраїчним.

Якщо поверхня або лінія визначається в декартовій прямокутній системі координат алгебраїчним рівнянням n-ого степеня, то вона називається алгебраїчною поверхнею (лінією) n-го порядку.

Алгебраїчна поверхня першого порядку визначається рівнянням

Ax + By + Cz + D = 0 (1.4)

Це рівняння називається загальним рівнянням першого степеня, в якому хоча б один із коефіціентів при змінних відмінний від нуля.


Алгебраїчна поверхня (лінія) другого порядку визначається рівнянням

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz +

+ 2a23yz + a10x + a20y + a30z + a00=0 (1.5)

Це рівняння називається загальним рівнянням другого степеня, в якому хоча б один із коефіцієнтів a11, a22, a33, a12, a13, a23 відмінний від нуля.

Рівняння

x4 + yz2 – z + 2 = 0

у прямокутній декартовій системі координат xyz визначає поверхню четвертого порядку.

До неалгебраїчних належать поверхні (лінії), які називаються трансцентними (неалгебраїчними).

ПЛОЩИНА

Векторне і загальне рівняння площини

Покажемо, що алгебраїчною поверхнею першого порядку є площина. Для цього доведемо такі теореми.

Теорема 1. Площина в прямо пропорційній декартовій системі координат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат.

Д о в е д е н е н н я. Геометрично будь-яку площину в просторі xyz можна задати за допомогою вектора n=(A, B, C), перпендикулярного до цієї площини, і точки М0 (x0, y0, z0)через яку проходить дана площина (рис. 2.3).

Візьмемо довільну точку М (x, y, z) і знайдемо вектор М0М = а.

Точка М належить заданій площині тоді і тільки тоді, коли  n  ┴  а. Тоді

n · a = 0

Оскільки  a = (x –x0, y – y0, z – z0), то скалярний добуток можна записати у вигляді

                             A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0,                    (2.1)

або  

        Ax + By + Cz – (Ax0 + By0 + Cz0) = 0.

Позначивши

- (Ax0 + By0 + Cz0) = D,

дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня

 Ax + By + Cz + D = 0      (2.2)

Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних координатах може бути зображена рівнянням першого степеня.

Зауважимо, що рівняння (2.1) є рівнянням площини, яка проходить через точку М0 (x0, y0, z0) перпендикулярно до вектора n = (A, B, C).

Доведемо тепер обернену теорему.

Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня

Ax + By + Cz + D = 0, (2.3)

де A, B, C і D – довільні дійсні числа; x, y, z – поточні координати, визначає в декартовій прямокутній системі координат площину.

Д о в е д е н н я. Доберемо трійку чисел (x0, y0, z0), які задовольняють рівняння (2.3). Це можна зробити таким чином. Два числа x0 і y0 візьмемо довільно, а третє z0 знайдемо з рівняння (2.3). Тоді

 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0  (2.4)

Віднімаючи від рівняння (2.3) рівняння (2.4), дістаємо

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0  (2.5)

Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до вектора n=(A, B, C) і такої, що проходить через точку M0 (x0, y0, z0).

Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рівняння (2.1) або (2.3) називається загальним рівнянням площини.

Рівняння

  n · a = 0  (2.6)

називається векторним рівнянням площини. Враховуючи, що a = r – r0, векторне рівняння площини запишемо у вигляді n · (r – r0) = 0, або n · r + D = 0.

Якщо у загальному рівняння площини покласти z – z0 = 0, то дістанемо рівняння

 A(x – x0) + B(y – y0) = 0

або

 Ax + By + C = 0  (2.7)

де C = - (Ax0 + By0). Рівняння (2.7) називається загальним рівнянням прямої, що лежить у площині xOy.


Дослідження загального рівняння площини

Розглянемо загальне рівняння площини

 Ax + By + Cz + D = 0. (2.8)

де A, B, C і D – довільні числа, причому хоча б одне з перших трьох відмінне від нуля.

Дослідимо окремі випадки цього рівняння.

Якщо D = 0, то рівняння (2.8) набирає вигляду

 Ax + By + Cz = 0. (2.9)

Це рівняння задовольняє точка О (0, 0, 0). Отже, рівняння (2.9) визначає площину, яка проходить через початок координат.

Якщо А = 0, то рівняння (2.8) має вигляд

 By + Cz + D = 0   (2.10)

і визначає площину, нормальний вектор якої n = (O, B, C) перпендикулярний до осі Ох. Отже, рівняння (2.10) визначає площину, паралельну осі абсцис, або перпендикулярну до площини yOz.

Якщо A = B = 0, a C ≠ 0, то маємо рівняння площини, паралельної xOy:

 z = - (D/C).

Рівняння х = 0, y = 0, z = 0 визначають відповідно координатні площини yOz, xOz, xOy.

Рівняння площини у відрізках на координатних осях

Розглянемо загальне рівняння площини

 Ax + By + Cz + D = 0, (2.11)

коли всі його коефіціенти і вільний член відмінні від нуля.

Поділимо обидві частини рівняння (2.11) на D ≠ 0 і запишемо його у виляді

    x/(D/A) + y/(D/B) + z/(D/C) + 1 = 0   (2.12)

Позначимо D/A = -a; D/B = -b; D/C = -c. Тоді

 x/a + y/b + z/c = 1.  (2.13)

Рівняння площини у вигляді (2.13) називається рівнянням у відрізках.

Знайдемо точки перетину площини (2.13) з координатними осями:

на осі абсцис у = z = 0, тоді x = a,

на осі ординат x = z = 0, тоді y = b,

на осі аплікат x = y = 0, тоді z = c.

Таким чином, площина, задана рівнянням у відрізках, відтинає на координатних осях відповідно відрізки a, b i c (рис. 2.4).

Якщо потрібно побудувати площину, задану рівнянням, то зручно це рівняння записати у відзках на осях. Тоді по точках М1 (a, 0, 0), M2 (0, b, 0) i M3 (0, 0, c) легко побудувати площину.

Рівняння площини, що проходить через три дані точки

Нехай дано три точки M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3), що не лежать на одній прямій. Ці точки однозначно визначають площину, яка проходить через них. Знайдемо рівняння цієї площини.

Візьмемо довільну точку простору M (x, y, z) (рис. 2.5) і побудуємо вектори

a = M1M = (x – x1, y – y1, z – z1),

b = M1M2 = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1),

c = M1M3 = (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1).

Точка M (x, y, z) належать шуканій площині тоді і тільки тоді, коли вектори a, b і c лежать у цій площині, тобто коли вони компланарні.

   

Отже, мішаний добуток їх дорівнює нулю:

 (a × b) · c = 0. (2.14)

Запишемо цей добуток через координати векторів, які перемножаються. Маємо:

                                                x – x1    y – y1    z – z1

                                                x2 – x1  y2 – y1   z2 – z1  = 0 (2.15)

                                                x3 – x1  y3 – y1   z3 – z1

Якщо радіуси-вектори точок M, M1, M2, і M3 відповідно позначити через r, r1, r2 і r3, то вектори a, b і c можна зобразити у вигляді

a = r – r1;     b = r2 – r1;     c = r3 – r1.


Тоді рівняння (2.14) можна записати таким чином:

[(r – r1) × (r2 – r1)] · (r3 – r1) = 0 (2.16)

Рівняння (2.15) називається рівнянням площини, що проходить через три дані точки, у координатній формі, а рівняння (2.16) – у векторній формі.

Рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам

Нехай задано точку M0 (x0, y0, z0) і два не колінеарних (не паралельних) вектори a i b. Ці умови геометрично однозначно визначають площину, що проходить через задану точку паралельно заданим векторам. Знайдемо рівняння площини.

Рівняння площини, що проходить через точку M0, ґрунтуючись на (2.1), запишемо у вигляді

 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0, (2.17)

де n = (A, B, C) – вектор, перпендикулярний до даної площини, або нормальний вектор площини (рис. 2.6).

За умовою площина параллельна векторам a і b. Отже, нормальний вектор площини можна виразити через векторний добуток даних векторів n = a × b.

Якщо позначити радіуси-вектори точок M і M0 відповідно через r і r0, то рівняння (2.17) можна записати у вигляді n · (r – r0) = 0, звідки n ┴ (r – r0), але n ┴ a i

n ┴ b. Отже, вектори r – r0, a i b лежать в одній площині, тобто

(a × b) · (r – r0) = 0 (2.18)

Вираз (2.18) є векторною формою рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам.

Рівняння заданої площини у координатній формі має вигляд

(aybz – azby)(x – x0) + (azbx – axbz)(y – y0) +

+ (axby – aybx)(z – z0) = 0 (2.19)

Рівняння площини, що проходить через дві дані точки паралельно даному вектору

Нехай дано дві точки M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2) і вектор a. Знайдемо рівняння площини, що проходить через дані точки паралельно вектору a. Нехай M (x, y, z) – довільна точка простору. Позначимо радіуси-вектори точок M, M1, M2 відповідно через r, r1, i r2. За другий вектор, через який проходить задана площина, візьмемо вектор b = M1M2 = r2 – r1. Тоді рівняння даної площини, згідно з рівнянням (2.18), можна записати у вигляді

(a × b) · (r – r1) = 0, (2.20)

або, враховуючи, що b = r2 – r1, дістаємо

[a × (r2 – r1)] · (r – r1) = 0.  (2.21)


Кут між двома площинами

Нехай дві площини задані своїми рівняннями

  A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.   (2.22)

Знайдемо кут між цими площинами.

Кутом між двома площинами називають один із суміжних двогранних кутів φ  або φ1, утворених цими площинами (рис. 2.7). Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між нимидорівнює 0 або π.

Нехай кут між даними площинами φ. Тоді кут між нормальними векторами цих площин n1 = (A1, B1, C1) і n2 = (A2, B2, C2) також дорівнюватиме φ або π – φ. Кут φ знайдемо за формулою (2.50) з гл. 1:

 

cos φ =     =  (2.23)

Поклавши в цій формулі φ = π/2, дістанемо умову перпендикулярності площин:

 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.  (2.24)

Якщо площини (2.22) паралельні, то і їхні нормальні вектори n1 і n2 також паралельні (колінеарні). Із умови паралельності векторів маємо

n1 = λn2,

або

A1 = λA2,  B1 = λB2,  C1 = λC2

Звідси дістаємо умову паралельності площин

 A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = λ  (2.25)

Таким чином, у паралельних площин коефіціенти при відповідних координатах пропорційні.

Умова перетину трьох площин в одній точці

Нехай дано три площини:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, (2.26)

A2x + B2y + C2z + D2 = 0, (2.27)

A3x + B3y + C3z + D3 = 0. (2.28)

Знайдемо умову, коли всі три площини перетинаються в одній і тільки в одній точці. Це буде тоді, коли система рівнянь (2.26) – (2.28) з невідомими x, y, z матиме єдиний розв'язок, тобто коли її основний визначник не дорівнює нулю.

Таким чином, три дані площини перетинаються в одній і тільки в одній точці, якщо

A1   B1  C1

        A2   B2  C2   ≠ 0. (2.29)

A3   B3  C3

Умову (2.29) можна записати у векторній формі:

 (n1 × n2) · n3 ≠ 0, (2.30)

де n1, n2 n3 – нормальні вектори даних площин.

Таким чином, якщо нормальні вектори трьох площин не компланарні, то ці площини в одній і тільки в одній точці.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81762. Вечные вопросы и их осмысление в лирике А.С.Пушкина (на примере 3 – 4 стихотворений). Разбор одного стихотворения 45.14 KB
  В петербургский период лирика Пушкина особенно вбирает в себя свободолюбивые политические идеи и настроения. Первым значительным произведением после выхода из лицея была написанная Пушкиным в самом конце 1817 г. Лирике лицейских лет Пушкин лротивопоставляет поэзию вольности и обличения порока у свободы он ищет вдохновения. Недаром Пушкин в одном из вариантов своего Памятника в конце жизни прямо указывает что вслед Радищеву восславил он свободу.
81763. Тема отцов и детей в произведениях отечественной классики 19 века 32.44 KB
  Отцов или детей обличает Т. дети не должны убивать отцов а отцы заставлять детей думать так же как они думают. потому что смешно и бессмысленно полагать что можно силой заставить молодое поколение думать так же как и поколение отцов.
81764. М.Е. Салтыков-Щедрин «Господа Головлевы» (1880) 31.48 KB
  Нет любви в доме госпожи Головлевой. В ее доме все подчинено процессу припасания. Все в доме Головлевых дышит ненавистью. Из бесконтрольной обладательницы головлевских имений Арина Петровна сделалась скромной приживалкой в доме младшего сына.
81765. Своеобразие композиции романа А.С.Пушкина «Евгений Онегин» 33.37 KB
  Чтение наизусть отрывка из романа Евгений Онегин . В годы создания романа Пушкину пришлось пережить ссылку потерять многих друзей испытать горечь от гибели лучших людей России того времени. Ее духовный и нравственный облик представлен в героях романа Евгении Онегине и Ленском.
81766. Социальная и философская проблематика пьесы М. Горького «На дне» 32.62 KB
  изображением дна являющегося изнанкой современного буржуазного строя Горький утверждал мысль о необходимости решительного обновления этого строя во имя освобождения человека. Горький поновому показал босяка дав строго реалистический анализ бродяжного люда ни разу не отрываясь от трезвого взгляда на босячество как на явление в основе своей антисоциальное. Горький усилил и художественно обобщил одну черту босяка его презрение к мещанским предрассудкам к мещанской морали к мещанскому фетишизму вещей и понятий. Горький использовал эту...
81767. Роль пейзажа в произведениях отечественной литературы 31.46 KB
  В рассказе Хорь и Калиныч Калиныча более трогали природа горы водопад. чутко воспринял тему человек и природа В рассказе того же цикла Бежин луг описание природы начинает повествование. Это рассказ о том что природа сильнее человека и поэтому надо с уважением к ней относиться. Главный герой романа Евгений Базаров так выражает свои отношения с природой: Природа пустяки Природа не храм а мастерская и человек в ней работник Но далее читаем: Солнце жгло изза тонкой завесы сплошных беловатых облаков.
81768. Татьяны «милый идеал» в романе А.С.Пушкина «Евгений Онегин». Роль сна Татьяны в развитии сюжета 37.82 KB
  Точными деталями Пушкин напоминает о характере жизни крепостной деревни крестьянства. На этом широком фоне воссоздана в Евгении Онегине драматическая судьба лучших людей пушкинского времени передовой дворянской интеллигенции эпохи декабристов. Образ Евгения Онегина обобщает собой все что Пушкин стремился воплотить в образах кавказского пленника и Алеко. Пушкинский герой порождение этого общества но вместе с тем он и чужд ему.
81769. Герои и проблематика одного из произведений А. Платонова 47.7 KB
  Платонова. Платонов Наше узнавание Платонова было длительным: с 20х годов до сегодняшнего дня. Почему многие произведения Андрея Платонова совсем не были опубликованы при его жизни а те что были напечатаны вызывали резко критическое отношение Почему Сталин прочитав бедняцкую хронику Впрок не пожалел самых ругательных выражений а Горький высоко оценив Чевенгур считал что роман этот опубликован не будет Попробуем ответить на эти вопросы. Все это в той или иной степени отразилось в творчестве Платонова от первого сборника стихов ...
81770. Мотивы преступления и возмездия в произведениях отечественной литературы 45.61 KB
  В художественном арсенале Достоевского можно обнаружить множество средств к которым он прибегает при обрисовке Раскольникова. Портрет Раскольникова набросан лаконично: Кстати он был замечательно хорош собою с прекрасными темными глазами темнорус роста выше среднего тонок строен. Особенно обстоятельно Достоевский рассматривает мотивы преступления Раскольникова. В раскрытии безмерности издевательств над людьми и поругания всего живого большое значение приобретает символический сон Раскольникова из V главы где предстаёт зверское...