17796

ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 12. ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ Канонічні і параметричні рівняння прямої у тривимірному просторі Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана різними способами: двома точками точкою і напрямом перетином двох площин та ін. Нехай пряма пр

Украинкский

2013-07-05

244.53 KB

14 чел.

Лекція 12.

ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ

Канонічні і параметричні рівняння прямої у тривимірному просторі

Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана різними способами: двома точками, точкою і напрямом, перетином двох площин та ін.

Нехай пряма проходить через точку M0 (x0, y0, z0) паралельно вектору                 , який називається напрямним вектором прямої (рис. 2.12).

Складемо рівняння цієї прямої. Візьмемо на прямій довільну точку М (x, y, z). Позначимо радіуси-вектори точок М0 і М відповідно через  і  . Точка М (x, y, z) належить даній прямій, якщо вектори  колінеарні, тобто .

Вектор  зобразимо у вигляді .

Оскільки , то умова колінеарності векторів :

Рівняння (3.1) називаються канонічними рівняннями прямої у тривимірному просторі, а числа m, n і  p напрямними коефіцієнтами прямої.

Канонічні рівняння прямої (3.1) можна записати у векторній формі. В силу колінеарності векторів  векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, а рівняння (3.1) набирають вигляду

Розглянемо окремі випадки рівнянь (3.1).

Якщо x0=y0=z0=0, то рівняння

визначають пряму, що проходить через початок координат.

У рівняннях (3.1) одне або два числа із чисел m, n, p можуть дорівнювати нулю. Одночасно всі три числа m, n, p не можуть обертатися на нуль, бо . Якщо один із знаменників рівнянь (3.1) обертається також на нуль, то відповідний чисельник обертається також на нуль. Наприклад, відношення  означає, що x - x0 = 0, або  x = x0, тобто воно визначає площину, перпендикулярну до осі Ox.

Якщо m = 0, то напрямний вектор  перпендикулярний до осі абсцис. Тоді рівняння

визначають пряму, перпендикулярну до осі Ox.

Аналогічно рівняння, в яких n = 0 або p = 0, визначають відповідно прямі, перпендикулярні до осей Oy і Oz. Якщо m = n = 0 або m = p = 0, то рівняння (3.1) визначають прямі, відповідно паралельні координатним осям Ox, Oy, Oz.

Умову колінеарності векторів  і   можна виразити ще й таким чином:

де  t – будь-яке дійсне число, що називається параметром.

Запишемо останню нерівність у вигляді

Це векторне рівняння прямої в параметричній формі. У скалярному вигляді параметричні рівняння прямої (3.3) такі:

Це параметричні рівняння прямої в координатній формі.

Канонічні і загальне рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Дві непаралельні площини перетинаються по прямій лінії. Система рівнянь двох непаралельних площин

визначає пряму лінію — геометричне місце точок перетину цих площин. Система (3.5) називається загальним рівнянням прямої у тривимірному просторі.

Знайдемо залежність між канонічними і загальними рівняннями однієї й тієї самої прямої. Нехай пряму задано канонічними рівняннями (3.1). Запишемо ці рівняння у вигляді системи

або

Це і є загальне рівняння прямої (3.1).

Зауважимо, що перше рівняння системи (3.6) визначає площину, паралельну осі ординат, а друге — площину, паралельну осі абсцис.

Нехай пряму задано загальним рівнянням (3.5), де вектори — нормалі даних площин  і  — не паралельні між собою.

Складемо канонічні рівняння прямої (3.5). Знайдемо точку , що належить цій прямій. Одну з координат, наприклад  x0, візьмемо довільно, а дві інші визначимо із системи (3.5).

Знайдемо компоненти напрямного вектора  прямої (3.5). Вектори  перпендикулярні до даної прямої. Тому за напрямний вектор прямої можна вважати вектор

звідки

Тоді канонічні рівняння прямої (3.5) можна записати у вигляді

Приклад. Знайти канонічні рівняння прямої, заданої загальним рівнянням

Розв’язання. Визначимо точку , яка належить даній прямій. Для цього покладемо z0=1. Тоді

звідки

x0=3, y0=2,

тобто точка  належить даній прямій.

Знайдемо напрямний вектор . Нормальні вектори площин, якими задано пряму,  і . Тоді

Шукані канонічні рівняння прямої можна записати у вигляді

Складемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки  і  (рис. 2.13). Візьмемо на прямій довільну точку , а за напрямний вектор прямої — вектор   

Точка М належить даній прямій тоді і тільки тоді, коли

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, мають вигляд

Кут між двома прямими в тривимірному просторі

Кутом між двома прямими в тривимірному просторі називається будь-який із суміжних кутів θ або θ', утворених прямими, що проходять через деяку точку цього простору паралельно заданим прямим (рис. 2.14).

Нехай дві прямі задано канонічними рівняннями

Тоді один із кутів, утворених прямими, дорівнює куту між напрямними векторами цих прямих  і . Позначивши цей кут через φ, маємо

Якщо φ = θ, то θ' = π – φ.

Прямі (3.9) паралельні, якщо паралельні їхні напрямні вектори , тобто

Прямі (3.9) взаємно перпендикулярні, якщо перпендикулярні їхні напрямні вектори , тобто

Умова належності двох прямих одній площині

Нехай прямі (3.9) належать одній і тій самій площині. Тоді їхні напрямні вектори ,  і вектор  компланарні (рис. 2.15), тобто змішаний добуток

Умова належності прямих одній площині, записана в координатній формі, має вигляд

Відстань від точки до прямої в тривимірному просторі

Нехай задано пряму (3.1) і точку  (рис. 2.16). Відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, опущеного із даної точки на цю пряму.

Розглянемо паралелограм, побудований на векторах

як на сторонах, що виходять із вершини M0. Висотою цього паралелограма            є перпендикуляр, опущений із точки M1 на дану пряму.

Знайдемо площу паралелограма, побудованого на векторах :

Отже, , звідки .

Запишемо вектор  у вигляді . Тоді відстань від точки до прямої

де  — одиничний вектор напрямного вектора прямої, а — відповідно радіуси-вектори точок M1 і M2.

Приклад. Знайти відстань від точки М1 (2, 1, 0) до прямої, заданої параметричними рівняннями.

Розв’язання. Напрямний вектор заданої прямої

а точка, що належить цій прямій, має координати M0 (4, 4, -6). Радіусами-векторами точок М0 і М1 є відповідно Тоді  Шукана відстань

Відповідь. d = 7.

ПРЯМА І ПЛОЩИНА

Кут між прямою і площиною

Кутом між прямою і площиною називається один із суміжних кутів φ або π - φ, утворених даною прямою та її проекцією на цю площину (рис. 2.17).

Проекцією прямої на площину називається пряма, утворена перетином даної площини з площиною, що проходить через дану пряму перпендикулярно до даної площини.

Нехай площину і пряму задано відповідно рівняннями

Позначимо кут між прямою і площиною через φ, а кут між нормальним вектором  і напрямним вектором прямої  — через . Якщо вектори  і  лежать по один бік від площини, то кут  між ними гострий, а по різні боки, — то  — тупий (рис. 2.18.). Виразивши  через φ, матимемо

. Тоді , але

Таким чином, кути, утворені прямою і площиною, визначаються за формулою

При цьому плюс беремо, якщо , а мінус — якщо .

Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини

Пряма паралельна площині (включаючи належність прямої площині), якщо , тобто коли

Пряма перпендикулярна до площини, якщо , тобто коли

Точка перетину прямої з площиною

Нехай площину і пряму задано рівняннями у векторній формі

де  — радіус-вектор поточної точки;  — радіус-вектор заданої точки на прямій;  — нормальний вектор площини;  — напрямний вектор прямої. Знайдемо координати і радіус-вектор точки перетину прямої з площиною. Позначимо цю точку через , а її радіус-вектор — через .

Якщо , тобто  не перпендикулярні, то пряма і площина перетинаються тільки в одній точці. Радіус-вектор  має задовольняти задані рівняння, з яких знаходимо

або

звідки

Тоді радіус-вектор  точки перетину запишемо у вигляді

Якщо пряму і площину задано рівняннями (4.1), то

а координатами точки перетину  є

причому

Пучок площин

Пучком площин називається сукупність площин, що проходять через дану пряму.

Нехай пряму задано загальним рівнянням

Розглянемо рівняння

Покажемо що це є рівняння площини, яка проходить через пряму (4.3). Зобразимо рівняння (4.4) у вигляді

Будь-яка точка M, що задовольняє рівняння (4.3), задовольняє і рівняння (4.4), причому 0+.

Якщо  набуває всіх дійсних значень, то рівняння (4.4) визначає множину всіх площин, що проходять через пряму (4.3), крім площини

Рівняння (4.4) називається рівнянням пучка площин, що проходять через пряму (4.3).

Якщо , то рівняння (4.4) набирає вигляду

Це рівняння визначає множину прямих на площині xOy, що проходить через точку їх перетину, при цьому D1=C1, D2=C2, тобто маємо пучок прямих на площині xOy. Це рівняння пучка є більш загальним, ніж рівняння (2.51).

Рівняння площини, що проходить через пряму паралельно іншій прямій

Нехай потрібно провести площину через пряму

паралельно прямій

Рівняння площину шукатимемо у вигляді

Оскільки площина містить задану пряму, то вона проходить через точку  і, отже, її координати задовольняють рівняння площини

Напрямний вектор прямої  перпендикулярний до нормального вектора площини , тому

Крім того, шукана площина має бути паралельна заданій прямій, тобто вектори  і  взаємно перпендикулярні, внаслідок чого

Із системи рівнянь (4.6) — (4.8) знаходимо А, В, С і D, виразивши три з них через четверту і підставивши у рівняння (4.5). Внаслідок однорідності рівняння (4.5) відносно А, В, С і D можна обидві частини знайденого рівняння поділити на вільну змінну, після чого дістанемо рівняння шуканої площини. Замість рівнянь (4.7), (4.8) можна використати умову

Відстань між двома мимобіжними прямими

Дві прямі тривимірного простору називаються мимобіжними, якщо вони не перетинаються і не паралельні. Через дві мимобіжні прямі можна провести тільки дві паралельні між собою площини. Відстані між цими площинами є найкоротшою відстанню між даними прямими.

Нехай дві мимобіжні прямі задано рівняннями (3.9) і потрібно знайти відстань d між ними.

Найкоротша відстань між заданими прямими дорівнює довжині відрізка спільного перпендикуляра до цих прямих, взятого між точками перетину його з прямими (рис. 2.19).

Векторний добуток напрямних векторів заданих прямих                і  є вектором, перпендикулярним до кожної з цих прямих:

Знайдемо вектор , який сполучає дані точки  і :

Тоді шукана відстань дорівнює модулю проекції вектора  на вектор :

ВПРАВИ. 1. Дано вершини трикутника А (0, -13), В (8, 3) і С (12, 1). Знайти довжину перпендикуляра, опущеного з вершини В на медіану, проведену з вершини С. Відповідь. h = 4.

2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0 (2; 3) і рівновіддалена від точок М1 (9, -1) і M2 (7, 7). Відповідь. .

3. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М (2, 3, 5) паралельно площині . Відповідь, .

4. Скласти рівняння площин, паралельних площині  і віддалених від неї на відстань . Відповідь, ,                 .

5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М (2, 3, 0) паралельно прямій

Відповідь. .

6. Провести площину через пряму

і точку М (4, —3, 2). Відповідь.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43839. Программный комплекс классифицирования выпускников вуза (учебный аспект) 3.2 MB
  Разработка структуры данных Разработка инфологической модели данных Разработка даталогической модели данных Проектирование схемы базы данных
43840. Гражданско-правовое положение акционерного общества 649 KB
  Российское законодательство со всей очевидностью отдает предпочтение форме акционерного общества предоставляя ему право осуществлять практически любые виды предпринимательской деятельности. Одновременно существует убеждение что коммерческая организация в процессе своего функционирования не только вправе осуществлять любые виды деятельности и совершать любые сделки но и что это допустимо независимо от ее финансового состояния. ГК РФ устанавливает что...
43841. Сущность права на иск в гражданском и арбитражном процессе 384.5 KB
  Понятие иска. Элементы иска. Предпосылки права на предъявление иска. Порядок предъявления иска и последствия его не соблюдения в гражданском процессе.
43842. Разработка системы спутникового приема, с учетом обеспечения требуемого количества телевизионных сигналов, информационных потоков и сигналов IP- телефонии 1.18 MB
  Первые искусственные спутники земли ИСЗ выводились носителями мощности которых не хватало для вывода груза на геостационарную орбиту. Прием телевизионных и других информационных сигналов мы будем осуществлять с...
43843. Моделирование на ARIS бизнес-процессов с учётом требований безопасности 1.08 MB
  Темой дипломной работы является: “Моделирование на RIS бизнеспроцессов с учётом требований безопасности. Объектом исследования являются∙ инструментальная среда RIS регламент Центра сертификации ключей ЗАО Инфраструктура открытых ключей. Цели и задачи исследования ознакомление с принципами работы инструментальной среды RIS способами моделирования бизнеспроцессов. моделирование регламента Центра сертификации ключей ЗАО Инфраструктура открытых ключей с учётом требований безопасности...
43844. Правове регулювання укладання та виконання господарських договорів 649.5 KB
  Загальна характеристика зобов’язальних правовідносин Поняття та склад зобовязання Норми які регулюють зобовязання становлять один із найважливіших інститутів цивільного права зобовязальне право. Норми зобовязального права є найбільш значною частиною цивільного законодавства. Система зобовязального права складається із інститутів Загальної частини та інститутів Особливої частини. Загальна частина включає: поняття зобовязання сторони в зобовязанні; виконання зобовязання; забезпечення виконання зобовязання; припинення...
43845. Пластиковые карты, как один из видов банковского продукта на примере АКБ «Московский залоговый банк» 4.93 MB
  Мировая практика проведения расчетов по кредитным картам свидетельствует о том, что использование карты значительно упрощает процесс покупки товара или услуги, равно как и хранения и защиты своих сбережений. Пластиковая карта позволяет ее владельцу оперативно и без проблем получать наличные в любое время суток, пользоваться разнообразными скидками при покупке товаров и услуг, контролировать свои расходы за определенные периоды времени.
43846. Реконструкция схемы электроснабжения “Черемшанка” Курагинского района 1.38 MB
  Коммунально – бытовой сектор поселка “Черемшанка” обслуживают две трансформаторных подстанций 10/0,38 кВ. Потребительские воздушные линии выполнены проводом АС – 35. Общее количество домов составляет 160 штук и в них проживает 944 человека. Кроме этого, в селе имеются социально – культурные учреждения: клуб, магазины, школа, больница, сельский совет и т. д.
43847. Оптимізація транспортних мереж NGN на основі технології IP/MPLS для боротьби з пульсаціями мультисервісного трафіку та досягнення заданих показників якості обслуговування 1.67 MB
  1 АНАЛІЗ ПОБУДОВИ ТРАНСПОРТНОЇ МЕРЕЖІ НА ОСНОВІ ТЕХНОЛОГІЇ MPLS.2 Особливості побудови транспортної мережі NGN.3 Маршрутизація в мережі з комутацією по міткам. 2 ОБҐРУНТУВАННЯ ВИБОРУ МЕТОДА ОПТИМІЗАЦІЇ ТРАНСПОРТНОЇ МЕРЕЖІ ІР MPLS.