17796

ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 12. ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ Канонічні і параметричні рівняння прямої у тривимірному просторі Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана різними способами: двома точками точкою і напрямом перетином двох площин та ін. Нехай пряма пр

Украинкский

2013-07-05

244.53 KB

15 чел.

Лекція 12.

ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ

Канонічні і параметричні рівняння прямої у тривимірному просторі

Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана різними способами: двома точками, точкою і напрямом, перетином двох площин та ін.

Нехай пряма проходить через точку M0 (x0, y0, z0) паралельно вектору                 , який називається напрямним вектором прямої (рис. 2.12).

Складемо рівняння цієї прямої. Візьмемо на прямій довільну точку М (x, y, z). Позначимо радіуси-вектори точок М0 і М відповідно через  і  . Точка М (x, y, z) належить даній прямій, якщо вектори  колінеарні, тобто .

Вектор  зобразимо у вигляді .

Оскільки , то умова колінеарності векторів :

Рівняння (3.1) називаються канонічними рівняннями прямої у тривимірному просторі, а числа m, n і  p напрямними коефіцієнтами прямої.

Канонічні рівняння прямої (3.1) можна записати у векторній формі. В силу колінеарності векторів  векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, а рівняння (3.1) набирають вигляду

Розглянемо окремі випадки рівнянь (3.1).

Якщо x0=y0=z0=0, то рівняння

визначають пряму, що проходить через початок координат.

У рівняннях (3.1) одне або два числа із чисел m, n, p можуть дорівнювати нулю. Одночасно всі три числа m, n, p не можуть обертатися на нуль, бо . Якщо один із знаменників рівнянь (3.1) обертається також на нуль, то відповідний чисельник обертається також на нуль. Наприклад, відношення  означає, що x - x0 = 0, або  x = x0, тобто воно визначає площину, перпендикулярну до осі Ox.

Якщо m = 0, то напрямний вектор  перпендикулярний до осі абсцис. Тоді рівняння

визначають пряму, перпендикулярну до осі Ox.

Аналогічно рівняння, в яких n = 0 або p = 0, визначають відповідно прямі, перпендикулярні до осей Oy і Oz. Якщо m = n = 0 або m = p = 0, то рівняння (3.1) визначають прямі, відповідно паралельні координатним осям Ox, Oy, Oz.

Умову колінеарності векторів  і   можна виразити ще й таким чином:

де  t – будь-яке дійсне число, що називається параметром.

Запишемо останню нерівність у вигляді

Це векторне рівняння прямої в параметричній формі. У скалярному вигляді параметричні рівняння прямої (3.3) такі:

Це параметричні рівняння прямої в координатній формі.

Канонічні і загальне рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Дві непаралельні площини перетинаються по прямій лінії. Система рівнянь двох непаралельних площин

визначає пряму лінію — геометричне місце точок перетину цих площин. Система (3.5) називається загальним рівнянням прямої у тривимірному просторі.

Знайдемо залежність між канонічними і загальними рівняннями однієї й тієї самої прямої. Нехай пряму задано канонічними рівняннями (3.1). Запишемо ці рівняння у вигляді системи

або

Це і є загальне рівняння прямої (3.1).

Зауважимо, що перше рівняння системи (3.6) визначає площину, паралельну осі ординат, а друге — площину, паралельну осі абсцис.

Нехай пряму задано загальним рівнянням (3.5), де вектори — нормалі даних площин  і  — не паралельні між собою.

Складемо канонічні рівняння прямої (3.5). Знайдемо точку , що належить цій прямій. Одну з координат, наприклад  x0, візьмемо довільно, а дві інші визначимо із системи (3.5).

Знайдемо компоненти напрямного вектора  прямої (3.5). Вектори  перпендикулярні до даної прямої. Тому за напрямний вектор прямої можна вважати вектор

звідки

Тоді канонічні рівняння прямої (3.5) можна записати у вигляді

Приклад. Знайти канонічні рівняння прямої, заданої загальним рівнянням

Розв’язання. Визначимо точку , яка належить даній прямій. Для цього покладемо z0=1. Тоді

звідки

x0=3, y0=2,

тобто точка  належить даній прямій.

Знайдемо напрямний вектор . Нормальні вектори площин, якими задано пряму,  і . Тоді

Шукані канонічні рівняння прямої можна записати у вигляді

Складемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки  і  (рис. 2.13). Візьмемо на прямій довільну точку , а за напрямний вектор прямої — вектор   

Точка М належить даній прямій тоді і тільки тоді, коли

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, мають вигляд

Кут між двома прямими в тривимірному просторі

Кутом між двома прямими в тривимірному просторі називається будь-який із суміжних кутів θ або θ', утворених прямими, що проходять через деяку точку цього простору паралельно заданим прямим (рис. 2.14).

Нехай дві прямі задано канонічними рівняннями

Тоді один із кутів, утворених прямими, дорівнює куту між напрямними векторами цих прямих  і . Позначивши цей кут через φ, маємо

Якщо φ = θ, то θ' = π – φ.

Прямі (3.9) паралельні, якщо паралельні їхні напрямні вектори , тобто

Прямі (3.9) взаємно перпендикулярні, якщо перпендикулярні їхні напрямні вектори , тобто

Умова належності двох прямих одній площині

Нехай прямі (3.9) належать одній і тій самій площині. Тоді їхні напрямні вектори ,  і вектор  компланарні (рис. 2.15), тобто змішаний добуток

Умова належності прямих одній площині, записана в координатній формі, має вигляд

Відстань від точки до прямої в тривимірному просторі

Нехай задано пряму (3.1) і точку  (рис. 2.16). Відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, опущеного із даної точки на цю пряму.

Розглянемо паралелограм, побудований на векторах

як на сторонах, що виходять із вершини M0. Висотою цього паралелограма            є перпендикуляр, опущений із точки M1 на дану пряму.

Знайдемо площу паралелограма, побудованого на векторах :

Отже, , звідки .

Запишемо вектор  у вигляді . Тоді відстань від точки до прямої

де  — одиничний вектор напрямного вектора прямої, а — відповідно радіуси-вектори точок M1 і M2.

Приклад. Знайти відстань від точки М1 (2, 1, 0) до прямої, заданої параметричними рівняннями.

Розв’язання. Напрямний вектор заданої прямої

а точка, що належить цій прямій, має координати M0 (4, 4, -6). Радіусами-векторами точок М0 і М1 є відповідно Тоді  Шукана відстань

Відповідь. d = 7.

ПРЯМА І ПЛОЩИНА

Кут між прямою і площиною

Кутом між прямою і площиною називається один із суміжних кутів φ або π - φ, утворених даною прямою та її проекцією на цю площину (рис. 2.17).

Проекцією прямої на площину називається пряма, утворена перетином даної площини з площиною, що проходить через дану пряму перпендикулярно до даної площини.

Нехай площину і пряму задано відповідно рівняннями

Позначимо кут між прямою і площиною через φ, а кут між нормальним вектором  і напрямним вектором прямої  — через . Якщо вектори  і  лежать по один бік від площини, то кут  між ними гострий, а по різні боки, — то  — тупий (рис. 2.18.). Виразивши  через φ, матимемо

. Тоді , але

Таким чином, кути, утворені прямою і площиною, визначаються за формулою

При цьому плюс беремо, якщо , а мінус — якщо .

Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини

Пряма паралельна площині (включаючи належність прямої площині), якщо , тобто коли

Пряма перпендикулярна до площини, якщо , тобто коли

Точка перетину прямої з площиною

Нехай площину і пряму задано рівняннями у векторній формі

де  — радіус-вектор поточної точки;  — радіус-вектор заданої точки на прямій;  — нормальний вектор площини;  — напрямний вектор прямої. Знайдемо координати і радіус-вектор точки перетину прямої з площиною. Позначимо цю точку через , а її радіус-вектор — через .

Якщо , тобто  не перпендикулярні, то пряма і площина перетинаються тільки в одній точці. Радіус-вектор  має задовольняти задані рівняння, з яких знаходимо

або

звідки

Тоді радіус-вектор  точки перетину запишемо у вигляді

Якщо пряму і площину задано рівняннями (4.1), то

а координатами точки перетину  є

причому

Пучок площин

Пучком площин називається сукупність площин, що проходять через дану пряму.

Нехай пряму задано загальним рівнянням

Розглянемо рівняння

Покажемо що це є рівняння площини, яка проходить через пряму (4.3). Зобразимо рівняння (4.4) у вигляді

Будь-яка точка M, що задовольняє рівняння (4.3), задовольняє і рівняння (4.4), причому 0+.

Якщо  набуває всіх дійсних значень, то рівняння (4.4) визначає множину всіх площин, що проходять через пряму (4.3), крім площини

Рівняння (4.4) називається рівнянням пучка площин, що проходять через пряму (4.3).

Якщо , то рівняння (4.4) набирає вигляду

Це рівняння визначає множину прямих на площині xOy, що проходить через точку їх перетину, при цьому D1=C1, D2=C2, тобто маємо пучок прямих на площині xOy. Це рівняння пучка є більш загальним, ніж рівняння (2.51).

Рівняння площини, що проходить через пряму паралельно іншій прямій

Нехай потрібно провести площину через пряму

паралельно прямій

Рівняння площину шукатимемо у вигляді

Оскільки площина містить задану пряму, то вона проходить через точку  і, отже, її координати задовольняють рівняння площини

Напрямний вектор прямої  перпендикулярний до нормального вектора площини , тому

Крім того, шукана площина має бути паралельна заданій прямій, тобто вектори  і  взаємно перпендикулярні, внаслідок чого

Із системи рівнянь (4.6) — (4.8) знаходимо А, В, С і D, виразивши три з них через четверту і підставивши у рівняння (4.5). Внаслідок однорідності рівняння (4.5) відносно А, В, С і D можна обидві частини знайденого рівняння поділити на вільну змінну, після чого дістанемо рівняння шуканої площини. Замість рівнянь (4.7), (4.8) можна використати умову

Відстань між двома мимобіжними прямими

Дві прямі тривимірного простору називаються мимобіжними, якщо вони не перетинаються і не паралельні. Через дві мимобіжні прямі можна провести тільки дві паралельні між собою площини. Відстані між цими площинами є найкоротшою відстанню між даними прямими.

Нехай дві мимобіжні прямі задано рівняннями (3.9) і потрібно знайти відстань d між ними.

Найкоротша відстань між заданими прямими дорівнює довжині відрізка спільного перпендикуляра до цих прямих, взятого між точками перетину його з прямими (рис. 2.19).

Векторний добуток напрямних векторів заданих прямих                і  є вектором, перпендикулярним до кожної з цих прямих:

Знайдемо вектор , який сполучає дані точки  і :

Тоді шукана відстань дорівнює модулю проекції вектора  на вектор :

ВПРАВИ. 1. Дано вершини трикутника А (0, -13), В (8, 3) і С (12, 1). Знайти довжину перпендикуляра, опущеного з вершини В на медіану, проведену з вершини С. Відповідь. h = 4.

2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0 (2; 3) і рівновіддалена від точок М1 (9, -1) і M2 (7, 7). Відповідь. .

3. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М (2, 3, 5) паралельно площині . Відповідь, .

4. Скласти рівняння площин, паралельних площині  і віддалених від неї на відстань . Відповідь, ,                 .

5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М (2, 3, 0) паралельно прямій

Відповідь. .

6. Провести площину через пряму

і точку М (4, —3, 2). Відповідь.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21998. Столетняя война (1137-1453) 60.5 KB
  Можно рассматривать и как феодальную войну за наследство земли но и как освободительную борьбу о стороны Франции и как первый общеевропейский международный конфликт. Но во Франции сославшись на LXIX титул Lex Salica лилии не прядут престол отдали представителю боковой линии французского дома Капетингов племяннику Филиппа Красивого Филиппу Валуа Филипп VI 13281350 и кузену Карла IV. Эдуард III начал войну в которую втянулись империя Фландрия Арагон Португалия на стороне Англии Кастилия Шотландия папство на стороне...
21999. Страны Северной Европы в XVI-первой половине XVII вв. 120.5 KB
  В Швеции в 1570е гг. Это было основным занятием населения в прибрежных областях Швеции и Финляндии особенно на севере. среди натуральных податей Северной Швеции до 60 составляла рыба. власти поощряли возделывание заброшенных земель но в Швеции начался конфликт изза королевских лесов которые были захвачены крестьянамилесокрадами.
22000. Тридцатилетняя война 1618-1648 гг. 128.5 KB
  Интересы Габсбургов сталкивались также в Южной Германии. Рейне и угроза усиления католического лагеря в Германии таили предпосылки обострения конфликта Габсбургов с Францией. сохранения политической раздробленности Германии и всемерной поддержки внутренней борьбы происходившей в ней между протестантскими и католическими князьями. Французские политики стремились не допустить усиления Австрийских Габсбургов в Германии.
22001. Франкское государство 82.5 KB
  Военные предводители франков короли герцоги завоевали земли от Рейна до Соммы затем между Сеной и Луарой продвигаясь к югу вытеснили готов за Пиренеи. Так же была размещена и общая для всей деревни площадь пахотной земли которая в свою очередь делилась на различные поля так называемые геванны или коны по качеству почвы. Хлодвиг присвоил себе земли бывшего императорского фиска. Его преемники прихватили все свободные земли бывшие достоянием общины.
22002. Франция в XI-XV вв. 269.5 KB
  Серв получал свободу только через отпуск для чего требовалась еще и санкция вышестоящего сеньора или короля. должность графа равно как и прочие бенефиции полученные от короля становилась наследственным достоянием их обладателей. на дворянский отряд осуществлявший в Бовези реквизицию продуктов у крестьян стали осаждать рыцарские замки сжигать или захватывать поместья было разрушено не менее 100 замков или домов уничтожать списки повинностей и требовать истребления всех дворян кроме короля. Города разными путями добивались...
22003. Франция в XVI-XVIII вв. 183 KB
  Во Франции в XVIXVII вв. Парижский бассейн самая развитая область Франции урожайность 15 цт с 1 га сам5; на юге чуть ниже; трехполье; для сравнения урожайность в Англии составляла 13 цт с 1 га. в некоторых местностях Северной Франции появилась новая форма аграрных отношений краткосрочная аренда более или менее крупных земельных комплексов. климат характеризуется потеплением и преобладанием урожайных лет над неурожайными а война велась вне пределов Франции и сопровождалась умеренным ростом налогов.
22004. Україна у складі Російської та Австро-Угорської імперій (кінець ХVІІІ – початок ХХ ст.) 56 KB
  Український суспільно-політичний рух опирався не тільки на внутрішні джерела, а й на зовнішні чинники. Йдеться, зокрема, про відчутний вплив на цей рух Французької революції, зокрема її концепції вільної нації.
22005. Чехия в XI-XV вв. 127.5 KB
  Леса хвойные Чехии смешанные Словакия. В Чехии со второй четверти XII в. конец династии Пшемысловичей борьба за престол и утверждение в Чехии Люксембургов 1310 г. Во главе деревни стоял наследственный староста в Чехии рижстарж в Польше солтыс войт.
22006. Швейцария в XVI в. 52.5 KB
  Торговля содействовала развитию кредита так как Цвингли и Кальвин отвергли запрет . Ульрих Цвингли 14841531 сын сельского старосты окончил латинскую школу в Берне в Базельском и Венском университетах связан с Эразмом магистр свободных искусств увлекался гуманистическими штудиями. У Цвингли не было ничего из мистического созерцания Лютера. Цвингли свои взгляды изложил в 67 тезисах 1523 г.