17796

ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 12. ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ Канонічні і параметричні рівняння прямої у тривимірному просторі Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана різними способами: двома точками точкою і напрямом перетином двох площин та ін. Нехай пряма пр

Украинкский

2013-07-05

244.53 KB

14 чел.

Лекція 12.

ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ

Канонічні і параметричні рівняння прямої у тривимірному просторі

Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана різними способами: двома точками, точкою і напрямом, перетином двох площин та ін.

Нехай пряма проходить через точку M0 (x0, y0, z0) паралельно вектору                 , який називається напрямним вектором прямої (рис. 2.12).

Складемо рівняння цієї прямої. Візьмемо на прямій довільну точку М (x, y, z). Позначимо радіуси-вектори точок М0 і М відповідно через  і  . Точка М (x, y, z) належить даній прямій, якщо вектори  колінеарні, тобто .

Вектор  зобразимо у вигляді .

Оскільки , то умова колінеарності векторів :

Рівняння (3.1) називаються канонічними рівняннями прямої у тривимірному просторі, а числа m, n і  p напрямними коефіцієнтами прямої.

Канонічні рівняння прямої (3.1) можна записати у векторній формі. В силу колінеарності векторів  векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, а рівняння (3.1) набирають вигляду

Розглянемо окремі випадки рівнянь (3.1).

Якщо x0=y0=z0=0, то рівняння

визначають пряму, що проходить через початок координат.

У рівняннях (3.1) одне або два числа із чисел m, n, p можуть дорівнювати нулю. Одночасно всі три числа m, n, p не можуть обертатися на нуль, бо . Якщо один із знаменників рівнянь (3.1) обертається також на нуль, то відповідний чисельник обертається також на нуль. Наприклад, відношення  означає, що x - x0 = 0, або  x = x0, тобто воно визначає площину, перпендикулярну до осі Ox.

Якщо m = 0, то напрямний вектор  перпендикулярний до осі абсцис. Тоді рівняння

визначають пряму, перпендикулярну до осі Ox.

Аналогічно рівняння, в яких n = 0 або p = 0, визначають відповідно прямі, перпендикулярні до осей Oy і Oz. Якщо m = n = 0 або m = p = 0, то рівняння (3.1) визначають прямі, відповідно паралельні координатним осям Ox, Oy, Oz.

Умову колінеарності векторів  і   можна виразити ще й таким чином:

де  t – будь-яке дійсне число, що називається параметром.

Запишемо останню нерівність у вигляді

Це векторне рівняння прямої в параметричній формі. У скалярному вигляді параметричні рівняння прямої (3.3) такі:

Це параметричні рівняння прямої в координатній формі.

Канонічні і загальне рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Дві непаралельні площини перетинаються по прямій лінії. Система рівнянь двох непаралельних площин

визначає пряму лінію — геометричне місце точок перетину цих площин. Система (3.5) називається загальним рівнянням прямої у тривимірному просторі.

Знайдемо залежність між канонічними і загальними рівняннями однієї й тієї самої прямої. Нехай пряму задано канонічними рівняннями (3.1). Запишемо ці рівняння у вигляді системи

або

Це і є загальне рівняння прямої (3.1).

Зауважимо, що перше рівняння системи (3.6) визначає площину, паралельну осі ординат, а друге — площину, паралельну осі абсцис.

Нехай пряму задано загальним рівнянням (3.5), де вектори — нормалі даних площин  і  — не паралельні між собою.

Складемо канонічні рівняння прямої (3.5). Знайдемо точку , що належить цій прямій. Одну з координат, наприклад  x0, візьмемо довільно, а дві інші визначимо із системи (3.5).

Знайдемо компоненти напрямного вектора  прямої (3.5). Вектори  перпендикулярні до даної прямої. Тому за напрямний вектор прямої можна вважати вектор

звідки

Тоді канонічні рівняння прямої (3.5) можна записати у вигляді

Приклад. Знайти канонічні рівняння прямої, заданої загальним рівнянням

Розв’язання. Визначимо точку , яка належить даній прямій. Для цього покладемо z0=1. Тоді

звідки

x0=3, y0=2,

тобто точка  належить даній прямій.

Знайдемо напрямний вектор . Нормальні вектори площин, якими задано пряму,  і . Тоді

Шукані канонічні рівняння прямої можна записати у вигляді

Складемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки  і  (рис. 2.13). Візьмемо на прямій довільну точку , а за напрямний вектор прямої — вектор   

Точка М належить даній прямій тоді і тільки тоді, коли

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, мають вигляд

Кут між двома прямими в тривимірному просторі

Кутом між двома прямими в тривимірному просторі називається будь-який із суміжних кутів θ або θ', утворених прямими, що проходять через деяку точку цього простору паралельно заданим прямим (рис. 2.14).

Нехай дві прямі задано канонічними рівняннями

Тоді один із кутів, утворених прямими, дорівнює куту між напрямними векторами цих прямих  і . Позначивши цей кут через φ, маємо

Якщо φ = θ, то θ' = π – φ.

Прямі (3.9) паралельні, якщо паралельні їхні напрямні вектори , тобто

Прямі (3.9) взаємно перпендикулярні, якщо перпендикулярні їхні напрямні вектори , тобто

Умова належності двох прямих одній площині

Нехай прямі (3.9) належать одній і тій самій площині. Тоді їхні напрямні вектори ,  і вектор  компланарні (рис. 2.15), тобто змішаний добуток

Умова належності прямих одній площині, записана в координатній формі, має вигляд

Відстань від точки до прямої в тривимірному просторі

Нехай задано пряму (3.1) і точку  (рис. 2.16). Відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, опущеного із даної точки на цю пряму.

Розглянемо паралелограм, побудований на векторах

як на сторонах, що виходять із вершини M0. Висотою цього паралелограма            є перпендикуляр, опущений із точки M1 на дану пряму.

Знайдемо площу паралелограма, побудованого на векторах :

Отже, , звідки .

Запишемо вектор  у вигляді . Тоді відстань від точки до прямої

де  — одиничний вектор напрямного вектора прямої, а — відповідно радіуси-вектори точок M1 і M2.

Приклад. Знайти відстань від точки М1 (2, 1, 0) до прямої, заданої параметричними рівняннями.

Розв’язання. Напрямний вектор заданої прямої

а точка, що належить цій прямій, має координати M0 (4, 4, -6). Радіусами-векторами точок М0 і М1 є відповідно Тоді  Шукана відстань

Відповідь. d = 7.

ПРЯМА І ПЛОЩИНА

Кут між прямою і площиною

Кутом між прямою і площиною називається один із суміжних кутів φ або π - φ, утворених даною прямою та її проекцією на цю площину (рис. 2.17).

Проекцією прямої на площину називається пряма, утворена перетином даної площини з площиною, що проходить через дану пряму перпендикулярно до даної площини.

Нехай площину і пряму задано відповідно рівняннями

Позначимо кут між прямою і площиною через φ, а кут між нормальним вектором  і напрямним вектором прямої  — через . Якщо вектори  і  лежать по один бік від площини, то кут  між ними гострий, а по різні боки, — то  — тупий (рис. 2.18.). Виразивши  через φ, матимемо

. Тоді , але

Таким чином, кути, утворені прямою і площиною, визначаються за формулою

При цьому плюс беремо, якщо , а мінус — якщо .

Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини

Пряма паралельна площині (включаючи належність прямої площині), якщо , тобто коли

Пряма перпендикулярна до площини, якщо , тобто коли

Точка перетину прямої з площиною

Нехай площину і пряму задано рівняннями у векторній формі

де  — радіус-вектор поточної точки;  — радіус-вектор заданої точки на прямій;  — нормальний вектор площини;  — напрямний вектор прямої. Знайдемо координати і радіус-вектор точки перетину прямої з площиною. Позначимо цю точку через , а її радіус-вектор — через .

Якщо , тобто  не перпендикулярні, то пряма і площина перетинаються тільки в одній точці. Радіус-вектор  має задовольняти задані рівняння, з яких знаходимо

або

звідки

Тоді радіус-вектор  точки перетину запишемо у вигляді

Якщо пряму і площину задано рівняннями (4.1), то

а координатами точки перетину  є

причому

Пучок площин

Пучком площин називається сукупність площин, що проходять через дану пряму.

Нехай пряму задано загальним рівнянням

Розглянемо рівняння

Покажемо що це є рівняння площини, яка проходить через пряму (4.3). Зобразимо рівняння (4.4) у вигляді

Будь-яка точка M, що задовольняє рівняння (4.3), задовольняє і рівняння (4.4), причому 0+.

Якщо  набуває всіх дійсних значень, то рівняння (4.4) визначає множину всіх площин, що проходять через пряму (4.3), крім площини

Рівняння (4.4) називається рівнянням пучка площин, що проходять через пряму (4.3).

Якщо , то рівняння (4.4) набирає вигляду

Це рівняння визначає множину прямих на площині xOy, що проходить через точку їх перетину, при цьому D1=C1, D2=C2, тобто маємо пучок прямих на площині xOy. Це рівняння пучка є більш загальним, ніж рівняння (2.51).

Рівняння площини, що проходить через пряму паралельно іншій прямій

Нехай потрібно провести площину через пряму

паралельно прямій

Рівняння площину шукатимемо у вигляді

Оскільки площина містить задану пряму, то вона проходить через точку  і, отже, її координати задовольняють рівняння площини

Напрямний вектор прямої  перпендикулярний до нормального вектора площини , тому

Крім того, шукана площина має бути паралельна заданій прямій, тобто вектори  і  взаємно перпендикулярні, внаслідок чого

Із системи рівнянь (4.6) — (4.8) знаходимо А, В, С і D, виразивши три з них через четверту і підставивши у рівняння (4.5). Внаслідок однорідності рівняння (4.5) відносно А, В, С і D можна обидві частини знайденого рівняння поділити на вільну змінну, після чого дістанемо рівняння шуканої площини. Замість рівнянь (4.7), (4.8) можна використати умову

Відстань між двома мимобіжними прямими

Дві прямі тривимірного простору називаються мимобіжними, якщо вони не перетинаються і не паралельні. Через дві мимобіжні прямі можна провести тільки дві паралельні між собою площини. Відстані між цими площинами є найкоротшою відстанню між даними прямими.

Нехай дві мимобіжні прямі задано рівняннями (3.9) і потрібно знайти відстань d між ними.

Найкоротша відстань між заданими прямими дорівнює довжині відрізка спільного перпендикуляра до цих прямих, взятого між точками перетину його з прямими (рис. 2.19).

Векторний добуток напрямних векторів заданих прямих                і  є вектором, перпендикулярним до кожної з цих прямих:

Знайдемо вектор , який сполучає дані точки  і :

Тоді шукана відстань дорівнює модулю проекції вектора  на вектор :

ВПРАВИ. 1. Дано вершини трикутника А (0, -13), В (8, 3) і С (12, 1). Знайти довжину перпендикуляра, опущеного з вершини В на медіану, проведену з вершини С. Відповідь. h = 4.

2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0 (2; 3) і рівновіддалена від точок М1 (9, -1) і M2 (7, 7). Відповідь. .

3. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М (2, 3, 5) паралельно площині . Відповідь, .

4. Скласти рівняння площин, паралельних площині  і віддалених від неї на відстань . Відповідь, ,                 .

5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М (2, 3, 0) паралельно прямій

Відповідь. .

6. Провести площину через пряму

і точку М (4, —3, 2). Відповідь.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79973. Основы технологий машиностроительного производства 112 KB
  С технологической точки зрения сборочная единица собирается отдельно независимо от других элементов и в дальнейшем в процессе сборки выступает как одно целое. Производственный и технологический процессы Производственный процесс – это совокупность взаимосвязанных действий человека и оборудования направленных на превращение исходных сырья материалов полуфабрикатов в готовое изделие соответствующее определенному служебному назначению. В производственный процесс входят основной и вспомогательный процессы. Основные процессы – это те...
79974. Качество продукции машиностроения 464 KB
  При изготовлении заготовок при механической обработке контроле сборке возникают различного рода погрешности как отклонения параметров от требуемых. В зависимости от причин их вызывающих погрешности можно разделить на следующие виды: систематические постоянные и изменяемые закономерно и случайные. Систематические постоянные погрешности не изменяются при обработке заготовок в одной партии. Они возникают под воздействием постоянно действующих факторов погрешности оборудования оснастки управляющих программ станков с ЧПУ.
79975. Технологические средства повышения конкурентоспособности машиностроительной продукции 499.5 KB
  Базы поверхности заготовки ориентирующие ее при установке на станке. Технологические базы – поверхности определяющие положение заготовки в процессе обработки. Черновые технологические базы – это поверхности заготовки которые применяются на первых операциях при первом установе когда нет обработанных поверхностей. При установке заготовки в приспособлении для выполнения технологической операции должно обеспечиваться ориентирование осуществляемое базированием и неподвижность достигаемая закреплением заготовки.
79976. Основы проектирования технологических процессов материального производства 63.5 KB
  Разрабатываемый технологический процесс должен оптимально сочетать наиболее полные возможности оборудования режущего инструмента приспособления и другой технологической оснастки при оптимальных режимах обработки минимальных затратах то есть при наименьшей технологической себестоимости. Технологический процесс должен использовать прогрессивные методы обработки удовлетворять требованиям чертежей и техническим условиям должен быть гибким обеспечивать повышение производительности культуры производства экологической безопасности....
79977. Технико-экономическая оценка и выбор технологических решений на предприятии 50.5 KB
  Технически обоснованной нормой называется время необходимое на выполнение данной операции в мин. Кроме того нормы времени не учитывают непредвиденные условия: не вовремя поставлены материалы инструмент перебои с электроэнергией с транспортом и т. Время затраченное на изготовление одной детали на данной операции называется штучным. Тп 42 где То основное время; Тв – вспомогательное время; Тт.
79978. Системы технологий формообразующих операций в машиностроительном производстве 1.74 MB
  Заготовки полученные литейным способом Суть литейного производства состоит в том что фасонную деталь или заготовку изготавливают заливанием жидкого металла в литейную форму пустота которой по размерам и конфигурации соответствует детали. 1; выплавление металла; заливание металла в форму; затвердение металла и охлаждение отливки; выбивание отливки из формы; обрубка и очищение отливки; термическая обработка отливки; контроль за качеством отливки и сдача его на механическую обработку. В процессе выполнения операций необходимо обеспечивать...
79979. Обработка материалов резанием в технологических системах машиностроительного производства 795 KB
  Цель конструктивно-технологической классификации деталей − снижение трудоемкости и сокращение сроков технологической и конструкторской подготовки производства, а так же повышение эффективности системы управления производством.
79980. Основы технологии сборочного производства 48 KB
  По стадиям различают следующие виды сборки: предварительная сборка – разборка с целью определения размера компенсатора; промежуточная – для общей дальнейшей обработки сборочной единицы например корпус и собранная с ним крышка растачиваются совместно под размер диаметра подшипника; под сварку может вводиться как сборочная операция в поточной линии; окончательная сборка после которой разборки не предусмотрено. В зависимости от метода образования соединений существуют следующие виды сборки: слесарная – слесарносборочные операции; монтаж –...
79981. Основы высоких технологий и инновационные технологии 35 KB
  Основы высоких технологий и инновационные технологии Сущность систем высоких технологий ВТ Каждое изделие поставляемое в условиях жесткой конкуренции на внутренний и в особенности на внешний рынок должно обладать новым уровнем свойств и отвечать все возрастающим требованиям предъявляемым потенциальным потребителем к функциональным экологическим и эстетическим свойствам. Эти названия новых технологий связаны с тем или иным признаком технологического процесса или свойствами изделия который принят авторами в качестве определяющего при...