17797

Криві другого порядку

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 13. Криві другого порядку Загальне рівняння кривої другого порядку Нагадаємо загальне рівняння поверхні другого порядку 1.5: a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz 2a23yz a10x a20y a00 = 0 5.1 Якщо поверхню другого порядку перетинає яканебудь площина поверхня першо

Украинкский

2013-07-05

662.09 KB

24 чел.

Лекція 13.

Криві другого порядку

Загальне рівняння кривої другого порядку

Нагадаємо загальне рівняння поверхні другого порядку (1.5):

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz +2a23yz + a10x + a20y + a00 = 0              (5.1)

Якщо поверхню другого порядку перетинає яка-небудь площина (поверхня першого порядку), то лінія перетину називається кривою другого порядку. Не порушуючи загальності міркувань, за січну площину можна взяти будь-яку з координатних площин.

Система рівнянь, яка складається з рівнянь (5.1) і одного з рівнянь х = 0,у = 0, 

z = 0, визначає криву другого порядку, розміщену відповідно в координатних площинах уОz, хОz і хОу.

Надалі будемо розглядати криві другого порядку, розміщені у площині хОу .

Рівняння такої кривої визначається системою рівнянь

Для спрощення записів нехтуватимемо другим рівнянням. Тоді рівняння кривої другого порядку, що лежить у площині хОу, матиме вигляд .

а11x2 + а22у2 + 2а12ху + а10х + а20у + аоо = 0. (5.2)

де + +  0, тобто хоча б одне з чисел a11,a12,a22 відмінне від нуля.

Усі наступні міркування стосуються вирішення питання про різноманітність кривих або поверхонь другого порядку. Виявляється, що всі криві другого порядку можна поділити на кола, еліпси, гіперболи, параболи та їхні виродження — точки або прямі.

5.2. Еліпс

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней кожної з яких від двох заданих точок цієї самої площини, що називаються фокусами, є величиною сталою і більшою, ніж відстань між фокусами.Нехай на площині дано дві точки  , що називаються фокусами еліпса. Систему координат xOy розмістимо так, щоб вісь абсцис проходила через ці точки , а вісь ординат ділила відстань між ними навпіл (рис. 2.20)

Позначимо відстань між фокусами еліпса через | F1F2 | = 2c, тоді F1(-c,0), a F2(c,0). Величина 2с називається фокальною відстанню. Знайдемо матричне місце точок,сума відстаней від кожної з яких до даних точок F1 і F2 стала і дорівнює 2а.Візьмемо довільну точку площини М (x,y) . Позначимо відстань її до точок F1 і F2 відповідно через F1 і F2. Точка М буде точкою єліпса, якщо

r1 + r2 = 2a = const ,

де r1 і r2 – фокальні радіуси точки М еліпса. Із означення еліпса і трикутника F1MF22 випливає, що 2а > 2c або a > c.Виразимо фокальні радіуси через координати точок М, F1 і F2. За формулою відстані між двома точками маємо

r1 =   ,  r2 =   .

Тоді дістаємо

                          -  = 2а                                  (5.3)

Рівняння(5.3) є аналітичним рівнянням єліпса. На перший погляд зрозуміло, чи належить рівняння  (5.3) до рівнянь кривих другого порядку типу (5.2), Виконаємо деякі перетворення рівняння (5.3) зокрема, звільнимося від ірріціоняльності. Перенесемо перший радикал у праву частину і обидві частини рівняння знайденого рівняння піднесемо до квадрата :

(x - c)2 + y2 = 4a2 * 4a   + (x + c)2 + y2.

   Звідси після перетворення знаходимо:

a  = а2 + сх.

    Піднесемо обидві сторони рівняння до квадрата :

a2 [(x+c)2 + y2] = (a2 + cx)2,

    або

(a2 + c2) x2 + a2y2 = a2 (a2 – c2).

    Оскільки а > c, то позначимо

a2 – с2 = b2

      тоді                                                     

b2x2 + a2y2 = a2b2.

Поділимо обидві частини цього рівняння на а2Ь2 > 0:

                                          +  = 1.                                     (5.4)

Рівняння (5.4) називається канонічним рівнянням еліпса.

Покажемо, що рівняння (5.3) та (5.4) рівносильні. З рівняння (5.4) знаходимо

                              y2 = b2 ( 1 -  ) =  ( a2x2 ).                         (5.5)

Визначимо фокальні радіуси точки М (х, у)

r1=  = =  =   =  ,

                                       r1 = a +  x.                                              (5.6)

Аналогічно можна дістати і значення r2:

                                       r2 = a -  x.                                              (5.7)

Додаючи почленно рівняння (5.6) і (5.7), дістаємо рівняння (5.3).

Рівняння (5.6) і (5.7) називаються рівняннями фокальних радіусів точки еліпса.

Властивості еліпса.

1°. Із канонічного рівняння еліпса (5.4) випливає, що еліпс належить до кривих другого порядку.

2°. Із рівняння (5.5) випливає, що | x |  a, | y |  b,тобто еліпс є обмеженою кривою.

3°. Із рівняння (5.4), яке має поточні координати у парних степенях, дістаємо, що коли точка М (х, у) належить еліпсу, то і точки М1(-х, у), M2(х, -у) і М3 (-х, -у) також належать еліпсу.

Отже, еліпс має вертикальну та горизонтальну осі симетрії, а також центр симетрії.

Крива, що має центр симетрії, називається центральною.

Наявність осей симетрії (ними, зокрема, є осі координат) дає змогу виконувати побудову еліпса лише в одній координатній чверті, а потім здійснювати дзеркальне відображення відносно осей і початку координат.

      4°. Еліпс перетинає осі координат у точках, координати яких дістаємо з рівняння (5.4) при х = 0 та у = 0, тобто А1(-а, 0), A2 (а, 0), В1(0, b), В2 (0, -b). Ці точки називаються вершинами еліпса (рис. 2.20).

Величини 2а і 2Ь називаються відповідно великою та малою осями еліпса, а а і b — напівосями. Назви «велика» і «мала» напівосі не пов'язані з їхньою довжиною.

    5°. Як випливає з рівняння (5.4), еліпс задано, якщо задані довжини його напівосей а і Ь або а і с. За цими напівосями можна побудувати еліпс.Одним із механічних способів побудови еліпса є такий. Беруть нерозтяжну нитку довжиною 2а; кінці нитки закріплюють у фокусах F1 i F2; олівцем натягують нитку і креслять еліпс.

6°. Якщо у рівнянні (5.4) а = b, то дістанемо рівняння кола

                                          х2 + у2 = b2                        (5.8)

з центром у початку координат і радіусом b.

Оскільки  для    еліпса а2 - с2 = b2  , то  при а = b маємо с = 0.    Таким чином, коло — це еліпс, у якого фокуси збігаються з центром симетрії,       тобто фокальна відстань дорівнює   нулю.

Для характеристики еліпса вводять відношення   ,  яке називається

ексцентриситетом еліпса

Ексцентриситет характеризує відхилення еліпса від кола — степінь «витягнутості» еліпса. Для кола є = 0. Для еліпса

0 <  < 1

. Використовуючи поняття ексцентриситету, рівності (5.6) і (5.7) можна записати у вигляді

r1 = a + x, r2 = ax.

8°.  Прямі  x =   називаються директрисами ( напрямними ) єліпса

Рівняння  директрис :

х =    =  

Оскільки   < 1 , то   > a , тобто директриси еліпса лежать поза ним.

Характерна особливість директрис полягає в тому, що відношення фокального радіуса будь-якої точки еліпса до відповідної відстані до директриси є величиною сталою, що дорівнює ексцентриситету

еліпса. Дійсно (рис. 2.20),

d1 = | MN1 | =  + x;   d2 = | MN2 | =  – x,

тоді

=  = , =  =  = .

Таким чином,

= .

5.3. Полярне рівняння еліпса

Нехай еліпс задано канонімічним рівнянням (5.4). Введемо полярну систему координат так, щоб її полюс збігався з фокусом F1 , а полярна вісь – з променем F1x(рис2.21) .                                                                                                             Полярні координати будь-якої точки позначимо через  і , тобто М(.         Згідно  з означенням еліпса

r1 + r2 = 2a.

За умовою r1 =  , тоді

r2 = 2a

Із трикутника MF1F2  за теоремою косинусів знаходимо

r22 =  + 4c2 – 4 c,

звідси

(2a - )2 =  + 4c2  4 c,

або

a2 – c2 = a – c .

Гіпербола складається з двох гілок. Ліва гілка лежить у півплощині х < -а, а права — у півплощині х > а.

Рівняння фокальних радіусів точки гіперболи знаходять так само, як і для еліпса. Для лівої гілки гіперболи ці рівняння мають вигляд

а для правої гілки

Властивості гіперболи.

. Гіпербола є кривою другого порядку.

. З рівняння (5.14) випливає, що при |х|  а маємо |у|  0, тобто у є R. Отже, гіпербола є необмеженою кривою.

. Канонічне рівняння гіперболи (5.12) має поточні координати у парних степенях, отже, гіпербола, як і еліпс, має дві осі симетрії — осі координат, а центром симетрії є початок координат.

. Гіпербола перетинає вісь абсцис у двох точках А1 (-а, 0) і A2 (а, 0), а вісь ординат гіпербола не перетинає. Точки А1 і А2 називаються дійсними вершинами, або просто вершинами гіперболи.

. Як випливає із рівняння (5.12), гіпербола визначається параметрами а і b, або, якщо врахувати (5.13), то а і с. На відрізках 2а і 2b можна побудувати прямокутник (рис. 2.24), який має з гіперболою дві спільні точки А1 і А2. Прямокутник АВСD, серединами сторін якого є точки А1, В2, А2, В2, називають основним. Величина 2а називається дійсною (фокальною) віссю гіперболи, а величина 2b — уявною віссю гіперболи. Відрізки |A1A2| = 2а і |B1B2| = 2b також називаються дійсною і уявною осями гіперболи, а величини а і b — її півосями. Назва «уявна вісь» пов'язана з тим, що гіпербола не перетинає вісь ординат.

Перед тим як розглянути метод побудови гіперболи, введемо дві прямі:

                                  

                                                    Y =  x.                                                (5.15)

Ці прямі називаються асимптотами гіперболи (рис. 2.24).

У рівняннях (5.12) і (5.15) вважаємо, що абсциса набуває одних і тих самих значень, а ординати різних: у — ордината на гіперболі, а У — ордината на асимптоті.

Розглянемо частину гіперболи (5.14) і частину прямої (5.15), що лежать у першій чверті, та знайдемо різницю між їхніми ординатами, які відповідають одному й тому самому значенню х:

Y - y = x -   =  (x - ),

або, позбувшись ірраціональності у чисельнику, дістанемо

Y - y =  .

Знайдемо границю цієї різниці, коли точка гіперболи віддаляється від початку координат у нескінченність:

=  = 0.                (5.16)

Таким чином, асимптота гіперболи — це пряма, яка має таку властивість: точка на гіперболі, яка віддаляється від початку координат у нескінченність, необмежено наближається до цієї прямої. Рівність (5.16) було доведено для першої координатної чверті, але внаслідок симетрії вона справедлива і для інших координатних чвертей.

Перейдемо тепер до побудови гіперболи. Будуємо основний прямокутник зі сторонами 2а і 2b; проводимо прямі, що збігаються з діагоналями цього прямокутника, тобто проводимо асимптоти; потім креслимо гіперболу (рис. 2.24).

6°. Ексцентриситетом гіперболи називається відношення

                                        =  =  =                                     (5.17)

Оскільки b > 0,  > 1.

   7°. Прямі x =   називаються директрисами гіперболи. Запишемо рівняння директрис у вигляді

x =   =  .

Враховуючи, що  > 1, маємо < a. Директриси гіперболи мають ту саму властивість, що й директриси еліпса, тобто

=  =  .

    8°. Гіпербола називається рівнобічною, якщо півосі гіперболи рівні між собою, тобто a = b.З урахуванням рівняння (5.12) рівнянням рівнобічної гіперболи є

            x2y2 = a2

Враховуючи , що  - c2 = b2, маємо

= ( a – c ).

Звідси

= ,  =  .

Позначимо   = p. Число р називається фокальним параметром eліпса, воно дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного із фокуса до фокальної осі, до перетину з еліпсом, тобто

р = | F1N |.

  Таким чином, рівняння еліпса у полярних координатах має вигляд

                                              =                                     (5.10)

де  і р — відповідно ексцентриситет і фокальний параметр еліпса.

Можна показати, що коли за полюс полярної системи координат взяти фокус F2, а напрям полярної осі залишити той самий, то рівняння еліпса у полярних координатах набере вигляду

                                              =                                     (5.11)

Приклад. Скласти параметричні рівняння еліпса  +  = 1, обравши за па-раметр t величину кута між радіусом-вектором точки еліпса та додатним напрямом осі Ох.

Розв'язання. Розглянемо два концентричні кола з центром у початку координат і радіусами b і а (рис. 2.22). Проведемо із початку координат промінь і точки його перетину з колами позначимо через В і А. Тоді В (b cos t, b sin t) і A (a cos t, a sin t).

Розглянемо точку M, абсциса якої дорівнює абсцисі точки А, а ордината — ординаті точки В, тобто 

M (a cos t, b sin t) .

Покажемо, що точка М незалежно від величини параметра t завжди належить даному еліпсу. Дійсно,

+  =  +  = cos2 t + sin2 t = 1.

Таким чином, точка М при зміні параметра від 0 до 2 описує еліпс. Параметричні рівняння еліпса мають вигляд

, де 0

Зазначимо, що на рис. 2.22 показано еліпс, побудований таким способом: будуємо два концентричні кола з центром у початку координат і радіусами b і а. Далі певним кроком проводимо спільні радіуси цих кіл і будуємо точки М з абсцисою і ординатою відповідних точок кіл з радіусами а і Ь. Знайдені точки сполучаємо плавною кривою, яка і буде шуканим еліпсом.

            5.4. Гіпербола

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней кожної з яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величиною сталою і меншою за відстань між фокусами. Використаємо прямокутну систему координат і позначення з п. 5.2. Тоді рівняння гіперболи можна записати у вигляді

| r1 – r2 | = 2a = const,

причому 2a < 2c, або  a < c (рис. 2.23)

Згідно з формулами

r1 = ,       r2 =

рівняння гіперболи можна подати у вигляді

|  -  | = 2a

Внаслідок перетворень останнього рівняння, аналогічних тим, що було виконано при виведенні рівняння еліпса, знаходимо

                                                     -  = 1                                      (5.12)

де

                                         =                                (5.13)

Рівняння (5.12) називається канонічним рівнянням гіперболи.

Із цього рівняння знаходимо

                                   =  ( - )                             (5.14)

звідси | x |  a .

                     Рис. 2.23                                                                        Рис. 2.24

і його можна записати

(x + y)(x - y) = a2.

Позначивши х + у = x1, х - у = у1, дістанемо рівняння рівнобічної гіперболи у вигляді 

x1y1 = a2.

5.5. Полярне рівняння гіперболи

Нехай гіперболу задано канонічним рівнянням (5.12). Введемо полярну систему координат так, щоб її полюс збігався з фокусом F\, а полярна вісь — з додатним напрямом осі Ох (рис. 2.24). Координати будь-якої точки М гіперболи позначимо через  і , тобто М (, ).

Запишемо рівняння гіперболи у вигляді

| r1r2 | = 2a,

або для правої гілки

r1r2 = 2a,

а для лівої гілки

r2r1  = 2a,

Запишемо рівняння (5.18) у полярних координатах. Для будь- якої точки М правої гілки гіперболи г1 = , тоді

r2 =  – 2a

За теоремою косинусів із трикутника MF1 F2 знаходимо 

=  + 4c2 – 4r1c  cos ,

=  + 4c2 - 4c cos ,

звідки

a2 – c2 =  ( a -  cos  ) .

     Враховуючи , що a2 – c2 = - b2, маємо

- b2 =a ( 1 -  cos  ) .

Отже,

=  .

Позначивши фокальним параметр гіперболи   = , дістаємо

=  .

Маємо полярне рівняння правої гілки гіперболи. Аналогічно виводиться полярне рівняння лівої гілки гіперболи

=  .

а лівої

=  .

                        


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20493. Інтерполяційний многочлен Лагранжа 61.5 KB
  Для n 1 пар чисел де всі різні існує єдиний многочлен степеня не більшого від n для якого . Лагранж запропонував спосіб обчислення таких многочленів: де базисні поліноми визначаються за формулою: Очевидно що ljx мають такі властивості: Це поліноми степеня n при Звідси випливає що Lx як лінійна комбінація ljx може мати степінь не більший від n та Lxj = yj. Нехай для функції fx відомі значення yj = fxj у деяких точках. Тоді ця функція може інтерполюватися як Зокрема Значення інтегралів від lj не залежать від fx...
20494. Клітинні матриці. Дії над клітинними матрицями 49.5 KB
  Дана форма запису матриці має важливе теоретичне значення у лінійній алгебрі і при розв'язуванні систем диференціальних рівнянь. Наприклад матриця: Власними значеннями даної матриці A є λ = 1 2 4 4. Розмірність ядра матриці A − 4In дорівнює 1 отже A не допускає діагоналізації.
20497. Структурна природна мова 31 KB
  В наукових дослідженнях все більш вагоме місце посідають розробки що орієнтовані на опрацювання природномовної ПМ інформації бо остання визначається як узагальнена схема подання довільної інформації. Проте з іншого боку також відомо наскільки складною постає проблема обробки мовної інформації і прогрес у цій сфері однозначно пов'язується з рівнем формалізації опису природної мови. Здобувачем запропоновано формальну модель мови що визначає її системну організацію і яка закладається в основу сучасних технологій орієнтованих на...
20498. Таблиці та дерева рішень 38.5 KB
  Метод дерева рішень це один з методів автоматичного аналізу величезних масивів даних. Область використання методу дерева рішень можна об'єднати в три класи: опис даних: застосування дерева рішень дозволяє зберігати інформацію про вибірку даних в компактній і зручній для обробки формі що містить в собі точні описи об'єктів; класифікація: застосування дерева рішень дозволяє справитися із завданнями класифікації тобто відношення об'єктів до одного з описаних класів; регресія: якщо змінна має недостовірні значення то застосування дерева...
20499. Теорія реляційних баз даних. Основні терміни і означення. Нормалізація відношень 31 KB
  Реляційна база даних база даних основана на реляційній моделі даних. Інакше кажучи реляційна база даних це база даних яка сприймається користувачем як набір нормалізованих відношень різного ступеню. Метою нормалізації є усунення недоліків структури БД які призводять до шкідливої надмірності в даних яка в свою чергу потенційно призводить до різних аномалій і порушень цілісності даних.
20500. Трикутні матриці (верхня та нижня) і їх розклад на добуток двох трикутних 37 KB
  Трику́тна ма́триця матриця в якій всі елементи нижче або вище за головну діагональ рівні нулю. Верхньотрикутна матриця квадратна матриця в якій всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю. Нижньотрикутна матриця квадратна матриця в якій всі елементи вище за головну діагональ дорівнюють нулю. Унітрикутна матриця верхня або нижня трикутна матриця в якій всі елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці.
20501. Форми, типи форм, обчислення в формах 33 KB
  Робота з формами може відбуватися в трьох режимах: у режимі Форми в режимі Таблиці в режимі констриктор. типи форм В Access можна створити форми наступних видів: форма в стовпець або повноекранна форма; стрічкова форма; таблична форма; форма головна підпорядкована; зведена таблиця; формадіаграма. Форма в стовпець є сукупністю певним чином розташованих полів введення з відповідними їм мітками і елементами управління.