17798

Парабола

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 14 Парабола Нехай на площині дано точку F і пряму d яка не проходить через F. Геометричне місце точок площини рівновіддалених від фіксованої точки F та фіксованої прямої d що не проходить через точку F називається параболою. Точка F називається

Украинкский

2013-07-05

1021.92 KB

7 чел.

  Лекція 14

Парабола 

    Нехай на площині дано точку  F  і пряму d ,яка не проходить через F. Геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки  F  та фіксованої прямої  d , що не проходить через  точку  F, називається параболою. Точка  F називається фокусом параболи, а пряма d   – директрисою.

    Знайдемо рівняння параболи. Нехай на площині дано точку та пряму. Візьмемо таку систему координат xOy, щоб вісь абсцис проходила через фокус F перпендикулярно до прямої d, а вісь ординат ділила відстань між фокусом і директрисою навпіл (рис.  2.25, 2.27). Відстань між фокусом і директрисою параболи позначимо через p. Зо означенням p>0, тоді точка F  має координати , а рівнянням директриси є x=  .

                                 

    Нехай  M  ( x ; y ) – довільна точка площини. Точка M за означенням, буде точкою параболи тоді і тільки тоді, коли:

                                             

   Знаходимо : 

                                   =

                                       =    .

Отже,

                                                              (5.19)

або

                                          y2 =2px.                                                 (5.20)

     Оскільки обидві частини рівняння (5.19) невідємні, то рівняння (5.20) рівносильне рівнянню (5.19).

     Рівняння (5.20) називається канонічним рівнянням параболи.

     У курсі математики середньої школи рівняння параболи розглядалось у вигляді  

                                    y=ax2.

    Це не є канонічна форма запису рівняння параболи. Для канонічної форми характерна розвязність рівняння відносно квадрата змінної, тобто

                            

                                          x2 = .

Позначаючи  ,дістаємо рівняння параболи у канонічній формі:

                                             x2 = 2qy                                                 (5.21)

    В л а с т и в о с т і   п а р а б о л и.

  1.  Порівнюючи рівняння (5.20), (5.21), і (5.1), впевнюємось у тому, що парабола є кривою другого порядку.
  2.   Оскільки p>0, то з рівняння (5.20) маємо

                                        .

Отже, парабола є необмеженою кривою, що розміщена у правій півплощині. Із рівняння (5.21) випливає, що при q>0, тобто парабола розміщена у верхній напівплощині.

  1.  Парабола не має центра симетрії, вона не є центральною кривою. Парабола має одну вісь симетрії. Для параболи (5.20)  віссю симетрії є вісь абсцис, а для (5.21) – вісь ординат.
  2.  Парабола має одну вершину, яка лежить в початку координат.
  3.  Для того щоб скласти канонічне рівняння параболи, достатньо задати тільки тільки величину p ( або q), яка називається параметром параболи.

         Рівняння y2= -2px( або x2 = -2qy ) приp>0 (або q>0) приводяться до рівнянь (5.20) і (5.21) внаслідок заміни x на –x, тобто шляхом перетворення координат, яке відповідає зміні напряму осі абсцис на протилежний (рис. 2.26).

               Рис. (2.26)

  1.  Характерною властивістю директриси параболи є те, що відношення відстані будь-якої точки параболи від фокуса до відстані її від директриси є сталим і дорівнює ексцентриситету параболи. Отже, ексцентриситет параболи

                                    

  1.  Знайдемо полярне рівняння параболи. Нехай полюс полярної системи координат збігається з фокусом параболи F , а полярна вісь – з додатним напрямом осі абсцис (рис. 2.27). Полярні координати точки параболи M( x;y) позначимо через  ρ і φ , тобто M(ρ φ). Із трикутника MFN знаходимо:

               

                                                  

                                      ρ cosφ

Підставляючи значення x і y  у рівняння (5.20), дістаємо

                                    2=.

Якщо до обох частин цієї рівності додати 2 =2.

Враховуючи, що p>0 і p+ ρ cosφ >0, маємо . Тоді полярним рівнянням параболи є

                                                                                   (5.22)

    Розглядаючи отримані раніше полярні рівняння еліпса (5.10), гіперболи (5.18) та параболи (5.22), легко побачити, що всі три рівняння можна записати у вигляді одного

                                           ,                                     (5.23)

якщо вважати в рівнянні для еліпса >1, гіперболи >1, параболи =1.Ексцентриситет для кривих другого порядку виражає їх загальну властивість: відношення відстані точки кривої від фокуса до відстані її від директриси є величина стала і дорівнює ексцентриситету (рис. 2.27)

. Використовуючи тільки останню рівність, легко вивести рівняння (5.23). Тому рівняння (5.23) називається рівнянням кривої другого порядку в полярних координатах.

                     5.7 Приведення кривих другого порядку до

                          найпростішого канонічного вигляду

    Загальне рівняння кривої другого порядку (5.2) має такі групи членів:

   а)квадратична форма (див. п. 5.2 з гл.1)

                                      Ф=a11x2 +2a12xy +a22y2 , де =(x,y)

   б) лінійна форма (див. п. 5.1 з гл. 1) 1)Л(x,y)=a10x+a20y;

   в)вільний член a00.

   Приведення рівняння (5.2) до найпростішого вигляду означає таке перетворення його, за яким легко визначити, чи задано цим рівнянням криву і яку саме (коло, еліпс, гіперболу, параболу, криву, точку).

    Приведемо канонічні рівняння кривих другого порядку у прямокутний декартовій системі координат:

   1) x2+y2=R2 - коло;

   2)+   = 1  - еліпс;          

   3) – точка O (0,0);

   4)  - =     -  гіпербола;

   5)порожня множина точок (уявний еліпс);

   6) дві прямі , що перетинаються: та ;

   7)y2 =2px або  x2=2qy при p , або qпарабола;

   8) y2 =a2; або x2 =b2  при аабо b дві паралельні прямі y=a та y=-a або x=b та x=-b;

   9) y2 =0 або x2=0 - дві збіжні прямі, вісь абсцис або ординат:

   10) y2=-a2  або  x2= -b2 при a  0 або b 0 - порожня множина точок.

   Загальне рівняння кривої другого порядку завжди можна привести до одного з рівнянь 1) – 10).

   Якщо у рівнянні (5.2) a12 = 0, то дістанемо

          a11x2 +a22y2+a10x+a20y+a00 = 0.                                                   (5.24)

    Це рівняння можна привести до одного з рівнянь 1)-10) за допомогою паралельного перенесення системи координат, або виділення повних квадратів у лівій частині рівняння.

    Щоб привести рівняння (5.2) до канонічного вигляду, достатньо здійснити перетворення, яке зводить його до рівняння (5.24), такого яке перетворює квадратичну форму до канонічного вигляду.

    Матриця цієї квадратичної форми має вигляд (див. п. 5.2, гл. 1)

      A    =            , де a12 = a21.

Повернемо систему координат  xOy на кут  , який відповідає головним напрямам даної матриці. Позначимо координати векторів головних напрямів через 1 =(l1, m1) i  1=(l2,m2) . Оскільки матриця А симетрична, то  11 .При перетворенні

квадратична форма набирає вигляду

                           a11x2+2a12xy+a22y2 = 1x12+2y12 ,

де  1 і  2 - власні числа матриці А.

    Тоді рівняння (5.2) можна записати у вигляді

1x12 + 2y12+(a10l1 + a20m1)x1 + (a10l2 + a20m2)y1 + a00 = 0.

    Якщо позначити 1=a11 , 2=a22 , a10l1 + a20m1 =a’10 , a10l2 + a20m2 =

= a20 , a00 = a00 , то дістанемо рівняння вигляду (5.24):

                    a11x12 + a22y12+a10x1+a20y1+a00 =0.                  (5.25)

     Рівняння (5.25) приводиться до канонічного вигляду за допомогою паралельного перенесення системи координат за формулами

    Перетворюючи рівняння (5.25) за цими формулами дістаємо у системі x2 x2O2y2 таке рівняння:

                                     a11x22 +a22y22 =b

або

                                        1x22 + 2y22  =b                               (5.26)

Останнє рівняння легко приводиться до канонічно вигляду.

   Дослідимо рівняння (5.26). Обчислимо визначник матриці А

= = a11a22 a122

і запишемо характеристичне рівняння матриці

                                             = 0

або

        2 – (a11 +a22)  + (a11 a22 - a122) = 0.

Звідси за теоремою Вієта знаходимо

                                                1 2 = ,

де - визначник матриці А.

      Нагадаємо, що коли дискримінант характеристичного рівняння

                                        D =(a11 - a22)2  + (2a12)2 0

та його корені   1 і   2 дійсні.

    Таким чином, виходячи з рівнянь (5.25) і (5.26), а також з геометричного змісту канонічних рівнянь 1)-10), можна сказати ,що загальне рівняння кривої другого порядку (5.2) визначає:

    а) еліпс(коло), точку або уявний еліпс (уявне коло), якщо =  1 2 >0. Коло має при D=0, тобто при  1 = 2 , які мають однаковий знак із вільним членом b рівняння (5.26). При  цьому крива називається кривою еліптичного типу;

    б) параболу, пару паралельних або збіжних, або уявних прямих (порожню множину точок), якщо  =1 2 =0, тобто одне з чисел  1  або 2  дорівнює нулю. При цьому крива називається кривою параболічного типу;

    в) гіперболу, пару прямих, що перетинаються, якщо 1 2 =<0. Крива називається кривою гіперболічного типу.

                                                   Приклади

1. Привести рівняння кривої

                                    2x2 + 6xy+ 2y2 + 2x - 2y + 3=0

до канонічного вигляду і побудувати криву, що визначається даним рівнянням.

    Р о з вя з а н н я. Приведемо до канонічного вигляду квадратичну форму

                                          =2x2 + 6xy+ 2y2

в якій a11= 2, a12 =a21 =3, a22=2.

    Складаємо матрицю цієї квадратичної форми і характеристичне рівняння, з якого знаходимо

                                         λ1 = -1, λ2 =5.

Тоді

                                      = 2x2 + 6xy+ 2y2 = -1*x12+5y12

Оскільки =1 2  = -5 < 0, то маємо криву гіперболічного типу.

    Знайдемо одиничні ввектори головних напрямів даної кривої (див. приклад із п. 5.2, гл.1) 

=  (), при  λ1 = -1;

                                              =( )  при λ2 =5.

    Відповідне лінійне перетворення набирає вигляду

Перетворимо лінійну форму

              Л (x,y) = 2x -2y = 2( - 2( = 2.

Рівняння кривої в системі координат x1Oy1

                                        + 5 + 2 + 3 = 0

Виділимо у лівій частині цього рівняння повний квадрат

                                                  (2)2 - 5 = 5

     Здійснимо паралельне перенесення системи x1Oy1 за формулами

                               або

     Тоді дістанемо у системі  x2O2y2

звідки

                                                  

Це рівняння визначає гіперболу з напівосями a =  та b=1 (рис. 2.28).

         

 2. Привести рівняння

                               

до канонічного вигляду. Яка лінія визначається заданим рівнянням?

    Р о з в’я з а н н я.  Виділимо двічі у заданому рівняння повний квадрат:

                                        2 – 4 =0.

Це рівняння еквівалентне сукупності двох рівнянь:

                                           

Таким чином, задане рівняння визначає дві паралельні прямі.

                                              ВПРАВИ

  1.  Скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок прямої  , обмежений осями ординат.           Відповідь. .
  2.  Упевнившись, що точка М (-4; 2; 4) лежить на еліпсі     , визначити її фокальні радіуси. Відповідь.r1 =2,6; r2 =7,4.
  3.  Скласти рівняння геометричного місця точок, відстань кожної з яких від точки А (0,1) вдвічі менша за відстань від прямої  y - 4=0.   Відповідь..
  4.  Знайти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет ε = 2 і фокуси збіігаються з фокусами еліпса                      Відповідь. .
  5.  Знайти канонічне рівняння параболи, коли відомо, що її фокус міститься у точці перетину прямої  з віссю абсцис. Відповідь.      
  6.  Скласти полярне рівняння правої гілки гіперболи     , вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрмом осі абсцис, а полюс міститься у правому фокусі.                              Відповідь.     .
  7.  Привести рівняння до канонічного вигляду і побудувати відповідну йому лінію:

а)

б)     

         Відповідь. а)

       


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12889. Психологическое здоровье. Мое настроение 42 KB
  Психологическое здоровье. Мое настроение. Классный час для 7го класса Цель: формирование убеждения о значении настроения в психическом здоровье человека необходимости уметь произвольно контролировать и регулировать свое настроение. Задачи: пробудить стремле
12890. Классный час Мой жизненный путь 32 KB
  Классный час Мой жизненный путь Цель: отработка практически полезного навыка в построении перспективного плана. Образовательный аспект: расширить понятийный аппарат учащихся что позволит им более четко определить ценности на которых строиться жизнь. Воспитатель...
12891. Урок. Кто есть кто в Камелоте 36 KB
  Кто есть кто в Камелоте Рыцарь не прилагает стараний к тому чтобы казаться. Он – есть П. Коэльо Ведущий кратко рассказывает легенду о короле Артуре и рыцарях круглого стола затем предлагает отправиться в путешествие в то время. Разогрев Рыцарские скачки...
12892. Методические основы лагеря Лидерство 81 KB
  Методические основы лагеря Лидерство Лагерь €œЛидерство€ – это тренинг коммуникативной компетенции. Тренинг который проводят любители по всем классификациям психологов тренинги бывают профессиональные и любительские. В качестве тренеров выступает команда стар
12893. Классный час «Откуда берутся бездомные животные» 46 KB
  Классный час Откуда берутся бездомные животные Ход занятия – Ребята послушайте какое письмо мы получили от ученицы одной из школ €œЖалобными глазами глядя на прохожих смотрит маленький щенок надеясь что он найдет своих хозяев. Ведь не так недавно он жил с люд
12894. КОНЦЕПЦИЯ ЗАЩИТЫ НАСЕЛЕНИЯ ОТ ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЙ ПРИРОДНОГО, ТЕХНОГЕННОГО И ТЕРРОРИСТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА 261 KB
  КОНЦЕПЦИЯ ЗАЩИТЫ НАСЕЛЕНИЯ ОТ ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЙ ПРИРОДНОГО ТЕХНОГЕННОГО И ТЕРРОРИСТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА И ОТ ОПАСНОСТЕЙ ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ВЕДЕНИИ ВОЕННЫХ ДЕЙСТВИЙ ИЛИ ВСЛЕДСТВИЕ ЭТИХ ДЕЙСТВИЙ Концепция представляет собой систему взглядов на организац
12895. ИНЖЕНЕРНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МЕРОПРИЯТИЙ ПО ЗАЩИТЕ НАСЕЛЕНИЯ И ТЕРРИТОРИЙ В ЧС 3.36 MB
  Инженерное обеспечение мероприятий по защите населения и территорий в чс Учебное пособие Оглавление [1] Предисловие [2] Глава 1. Инженерные мероприятия РСЧС и ГО [2.1] 1.1. Инженерные мероприятия Р
12896. Вибір є завжди у кожного з нас. Життя без алкоголю, наркотиків та тютюну 399.01 KB
  Виховна година на тему: Вибір є завжди у кожного з нас. Життя без алкоголю наркотиків та тютюну Мета. Розглянути і обговорити на засіданні круглого столу історію виникнення і поширення шкідливих звичок у суспільстві проаналізувати ситуацію з даної проблеми в н...
12897. Невід’ємне право на життя. Алгоритм поведінки в суспільстві законослухняної особистості 22.85 KB
  Тема : Проведення профілактично виховної бесіди Невід’ємне право на життя. Алгоритм поведінки в суспільстві законослухняної особистості Місце проведення: Спортивна секція з рукопашного бою ОФРБ приміщення спортивного залу Миколаївського НВК Світанок. ...