17798

Парабола

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 14 Парабола Нехай на площині дано точку F і пряму d яка не проходить через F. Геометричне місце точок площини рівновіддалених від фіксованої точки F та фіксованої прямої d що не проходить через точку F називається параболою. Точка F називається

Украинкский

2013-07-05

1021.92 KB

7 чел.

  Лекція 14

Парабола 

    Нехай на площині дано точку  F  і пряму d ,яка не проходить через F. Геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки  F  та фіксованої прямої  d , що не проходить через  точку  F, називається параболою. Точка  F називається фокусом параболи, а пряма d   – директрисою.

    Знайдемо рівняння параболи. Нехай на площині дано точку та пряму. Візьмемо таку систему координат xOy, щоб вісь абсцис проходила через фокус F перпендикулярно до прямої d, а вісь ординат ділила відстань між фокусом і директрисою навпіл (рис.  2.25, 2.27). Відстань між фокусом і директрисою параболи позначимо через p. Зо означенням p>0, тоді точка F  має координати , а рівнянням директриси є x=  .

                                 

    Нехай  M  ( x ; y ) – довільна точка площини. Точка M за означенням, буде точкою параболи тоді і тільки тоді, коли:

                                             

   Знаходимо : 

                                   =

                                       =    .

Отже,

                                                              (5.19)

або

                                          y2 =2px.                                                 (5.20)

     Оскільки обидві частини рівняння (5.19) невідємні, то рівняння (5.20) рівносильне рівнянню (5.19).

     Рівняння (5.20) називається канонічним рівнянням параболи.

     У курсі математики середньої школи рівняння параболи розглядалось у вигляді  

                                    y=ax2.

    Це не є канонічна форма запису рівняння параболи. Для канонічної форми характерна розвязність рівняння відносно квадрата змінної, тобто

                            

                                          x2 = .

Позначаючи  ,дістаємо рівняння параболи у канонічній формі:

                                             x2 = 2qy                                                 (5.21)

    В л а с т и в о с т і   п а р а б о л и.

  1.  Порівнюючи рівняння (5.20), (5.21), і (5.1), впевнюємось у тому, що парабола є кривою другого порядку.
  2.   Оскільки p>0, то з рівняння (5.20) маємо

                                        .

Отже, парабола є необмеженою кривою, що розміщена у правій півплощині. Із рівняння (5.21) випливає, що при q>0, тобто парабола розміщена у верхній напівплощині.

  1.  Парабола не має центра симетрії, вона не є центральною кривою. Парабола має одну вісь симетрії. Для параболи (5.20)  віссю симетрії є вісь абсцис, а для (5.21) – вісь ординат.
  2.  Парабола має одну вершину, яка лежить в початку координат.
  3.  Для того щоб скласти канонічне рівняння параболи, достатньо задати тільки тільки величину p ( або q), яка називається параметром параболи.

         Рівняння y2= -2px( або x2 = -2qy ) приp>0 (або q>0) приводяться до рівнянь (5.20) і (5.21) внаслідок заміни x на –x, тобто шляхом перетворення координат, яке відповідає зміні напряму осі абсцис на протилежний (рис. 2.26).

               Рис. (2.26)

  1.  Характерною властивістю директриси параболи є те, що відношення відстані будь-якої точки параболи від фокуса до відстані її від директриси є сталим і дорівнює ексцентриситету параболи. Отже, ексцентриситет параболи

                                    

  1.  Знайдемо полярне рівняння параболи. Нехай полюс полярної системи координат збігається з фокусом параболи F , а полярна вісь – з додатним напрямом осі абсцис (рис. 2.27). Полярні координати точки параболи M( x;y) позначимо через  ρ і φ , тобто M(ρ φ). Із трикутника MFN знаходимо:

               

                                                  

                                      ρ cosφ

Підставляючи значення x і y  у рівняння (5.20), дістаємо

                                    2=.

Якщо до обох частин цієї рівності додати 2 =2.

Враховуючи, що p>0 і p+ ρ cosφ >0, маємо . Тоді полярним рівнянням параболи є

                                                                                   (5.22)

    Розглядаючи отримані раніше полярні рівняння еліпса (5.10), гіперболи (5.18) та параболи (5.22), легко побачити, що всі три рівняння можна записати у вигляді одного

                                           ,                                     (5.23)

якщо вважати в рівнянні для еліпса >1, гіперболи >1, параболи =1.Ексцентриситет для кривих другого порядку виражає їх загальну властивість: відношення відстані точки кривої від фокуса до відстані її від директриси є величина стала і дорівнює ексцентриситету (рис. 2.27)

. Використовуючи тільки останню рівність, легко вивести рівняння (5.23). Тому рівняння (5.23) називається рівнянням кривої другого порядку в полярних координатах.

                     5.7 Приведення кривих другого порядку до

                          найпростішого канонічного вигляду

    Загальне рівняння кривої другого порядку (5.2) має такі групи членів:

   а)квадратична форма (див. п. 5.2 з гл.1)

                                      Ф=a11x2 +2a12xy +a22y2 , де =(x,y)

   б) лінійна форма (див. п. 5.1 з гл. 1) 1)Л(x,y)=a10x+a20y;

   в)вільний член a00.

   Приведення рівняння (5.2) до найпростішого вигляду означає таке перетворення його, за яким легко визначити, чи задано цим рівнянням криву і яку саме (коло, еліпс, гіперболу, параболу, криву, точку).

    Приведемо канонічні рівняння кривих другого порядку у прямокутний декартовій системі координат:

   1) x2+y2=R2 - коло;

   2)+   = 1  - еліпс;          

   3) – точка O (0,0);

   4)  - =     -  гіпербола;

   5)порожня множина точок (уявний еліпс);

   6) дві прямі , що перетинаються: та ;

   7)y2 =2px або  x2=2qy при p , або qпарабола;

   8) y2 =a2; або x2 =b2  при аабо b дві паралельні прямі y=a та y=-a або x=b та x=-b;

   9) y2 =0 або x2=0 - дві збіжні прямі, вісь абсцис або ординат:

   10) y2=-a2  або  x2= -b2 при a  0 або b 0 - порожня множина точок.

   Загальне рівняння кривої другого порядку завжди можна привести до одного з рівнянь 1) – 10).

   Якщо у рівнянні (5.2) a12 = 0, то дістанемо

          a11x2 +a22y2+a10x+a20y+a00 = 0.                                                   (5.24)

    Це рівняння можна привести до одного з рівнянь 1)-10) за допомогою паралельного перенесення системи координат, або виділення повних квадратів у лівій частині рівняння.

    Щоб привести рівняння (5.2) до канонічного вигляду, достатньо здійснити перетворення, яке зводить його до рівняння (5.24), такого яке перетворює квадратичну форму до канонічного вигляду.

    Матриця цієї квадратичної форми має вигляд (див. п. 5.2, гл. 1)

      A    =            , де a12 = a21.

Повернемо систему координат  xOy на кут  , який відповідає головним напрямам даної матриці. Позначимо координати векторів головних напрямів через 1 =(l1, m1) i  1=(l2,m2) . Оскільки матриця А симетрична, то  11 .При перетворенні

квадратична форма набирає вигляду

                           a11x2+2a12xy+a22y2 = 1x12+2y12 ,

де  1 і  2 - власні числа матриці А.

    Тоді рівняння (5.2) можна записати у вигляді

1x12 + 2y12+(a10l1 + a20m1)x1 + (a10l2 + a20m2)y1 + a00 = 0.

    Якщо позначити 1=a11 , 2=a22 , a10l1 + a20m1 =a’10 , a10l2 + a20m2 =

= a20 , a00 = a00 , то дістанемо рівняння вигляду (5.24):

                    a11x12 + a22y12+a10x1+a20y1+a00 =0.                  (5.25)

     Рівняння (5.25) приводиться до канонічного вигляду за допомогою паралельного перенесення системи координат за формулами

    Перетворюючи рівняння (5.25) за цими формулами дістаємо у системі x2 x2O2y2 таке рівняння:

                                     a11x22 +a22y22 =b

або

                                        1x22 + 2y22  =b                               (5.26)

Останнє рівняння легко приводиться до канонічно вигляду.

   Дослідимо рівняння (5.26). Обчислимо визначник матриці А

= = a11a22 a122

і запишемо характеристичне рівняння матриці

                                             = 0

або

        2 – (a11 +a22)  + (a11 a22 - a122) = 0.

Звідси за теоремою Вієта знаходимо

                                                1 2 = ,

де - визначник матриці А.

      Нагадаємо, що коли дискримінант характеристичного рівняння

                                        D =(a11 - a22)2  + (2a12)2 0

та його корені   1 і   2 дійсні.

    Таким чином, виходячи з рівнянь (5.25) і (5.26), а також з геометричного змісту канонічних рівнянь 1)-10), можна сказати ,що загальне рівняння кривої другого порядку (5.2) визначає:

    а) еліпс(коло), точку або уявний еліпс (уявне коло), якщо =  1 2 >0. Коло має при D=0, тобто при  1 = 2 , які мають однаковий знак із вільним членом b рівняння (5.26). При  цьому крива називається кривою еліптичного типу;

    б) параболу, пару паралельних або збіжних, або уявних прямих (порожню множину точок), якщо  =1 2 =0, тобто одне з чисел  1  або 2  дорівнює нулю. При цьому крива називається кривою параболічного типу;

    в) гіперболу, пару прямих, що перетинаються, якщо 1 2 =<0. Крива називається кривою гіперболічного типу.

                                                   Приклади

1. Привести рівняння кривої

                                    2x2 + 6xy+ 2y2 + 2x - 2y + 3=0

до канонічного вигляду і побудувати криву, що визначається даним рівнянням.

    Р о з вя з а н н я. Приведемо до канонічного вигляду квадратичну форму

                                          =2x2 + 6xy+ 2y2

в якій a11= 2, a12 =a21 =3, a22=2.

    Складаємо матрицю цієї квадратичної форми і характеристичне рівняння, з якого знаходимо

                                         λ1 = -1, λ2 =5.

Тоді

                                      = 2x2 + 6xy+ 2y2 = -1*x12+5y12

Оскільки =1 2  = -5 < 0, то маємо криву гіперболічного типу.

    Знайдемо одиничні ввектори головних напрямів даної кривої (див. приклад із п. 5.2, гл.1) 

=  (), при  λ1 = -1;

                                              =( )  при λ2 =5.

    Відповідне лінійне перетворення набирає вигляду

Перетворимо лінійну форму

              Л (x,y) = 2x -2y = 2( - 2( = 2.

Рівняння кривої в системі координат x1Oy1

                                        + 5 + 2 + 3 = 0

Виділимо у лівій частині цього рівняння повний квадрат

                                                  (2)2 - 5 = 5

     Здійснимо паралельне перенесення системи x1Oy1 за формулами

                               або

     Тоді дістанемо у системі  x2O2y2

звідки

                                                  

Це рівняння визначає гіперболу з напівосями a =  та b=1 (рис. 2.28).

         

 2. Привести рівняння

                               

до канонічного вигляду. Яка лінія визначається заданим рівнянням?

    Р о з в’я з а н н я.  Виділимо двічі у заданому рівняння повний квадрат:

                                        2 – 4 =0.

Це рівняння еквівалентне сукупності двох рівнянь:

                                           

Таким чином, задане рівняння визначає дві паралельні прямі.

                                              ВПРАВИ

  1.  Скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок прямої  , обмежений осями ординат.           Відповідь. .
  2.  Упевнившись, що точка М (-4; 2; 4) лежить на еліпсі     , визначити її фокальні радіуси. Відповідь.r1 =2,6; r2 =7,4.
  3.  Скласти рівняння геометричного місця точок, відстань кожної з яких від точки А (0,1) вдвічі менша за відстань від прямої  y - 4=0.   Відповідь..
  4.  Знайти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет ε = 2 і фокуси збіігаються з фокусами еліпса                      Відповідь. .
  5.  Знайти канонічне рівняння параболи, коли відомо, що її фокус міститься у точці перетину прямої  з віссю абсцис. Відповідь.      
  6.  Скласти полярне рівняння правої гілки гіперболи     , вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрмом осі абсцис, а полюс міститься у правому фокусі.                              Відповідь.     .
  7.  Привести рівняння до канонічного вигляду і побудувати відповідну йому лінію:

а)

б)     

         Відповідь. а)

       


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3268. Жизнь и смерть как философская проблема 45.58 KB
  Издревле человек ставил перед собой вопрос, в чем сущность человеческого бытия. Многие философы и мыслители пытались ответить, для чего живет человек, для чего пришел он в этот мир, почему он умирает и что происходит с ним после смерти. Ори...
3269. Теория человеческих потребностей и ее применение в менеджменте 85.35 KB
  Менеджер достигает целей организации через своих подчиненных. В этом смысле функция мотивации является самой существенной. Именно поэтому я решила более глубоко исследовать теории человеческих потребностей. В частности мотивацию...
3270. ФИЗИОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СЕРДЕЧНОЙ МЫШЦЫ 183.93 KB
  Элементы эволюции сердечно-сосудистой системы. Структурно-функциональная характеристика сердечно-сосудистой системы. Физиологические свойства сердечной мышцы: возбудимость, проводимость, сократимость, автоматия.
3271. Вискозиметрия и кинетика начальных стадий отверждения полиуретанов 110.21 KB
  Химизм реакций образования полиуретанов исследовали во многих работах, что позволило составить общее представление об этом процессе Значительно меньше изучено изменение реологических свойств в процессе образования полиуретанов, хотя этот...
3272. Аграрное право 655.01 KB
  Издание дает представление обо всех основных институтах аграрного законодательства России: государственном управлении сельским хозяйством, правовом положении аграрных организаций и статусе их имущества, финансовых, договорных, трудовых и экологическ...
3273. Исследование адаптивных систем с эталонной моделью. 64.33 KB
  Исследование адаптивных систем с эталонной моделью. Цель работы: закрепить теоретические знания по синтезу адаптивных систем с эталонной моделью (ЭМ) и проверить их работоспособность с помощью моделирования на ПК. 1. Теоретическая часть. Необходимос...
3274. Внешние эффекты и права собственности 105.24 KB
  В отличие от других социальных идей и политических ориентаций демократическое правовое государство при верховенстве правового закона и приоритете прав человека и гражданина практически воспринято обществом как будущее государственного строя...
3275. Язык и мышление, влияние языка на образ мышления 34.79 KB
  По сей день наиболее непостижимой и столь же притягательной для изучения со стороны языкознания, психологии, лингвистики, психолингвистики, логики и прочих наук является тема соотношения языка и человеческого сознания. Даже не зная законов...
3276. Философия средневековья 29.65 KB
  С конца IV в. началось «великое переселение народов». Вандалы, готы, гунны и другие народности вторгались в пределы Западной Римской империи, получая поддержку угнетенного местного населения. Когда в 476 г. Западная римская империя распалас...