17798

Парабола

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 14 Парабола Нехай на площині дано точку F і пряму d яка не проходить через F. Геометричне місце точок площини рівновіддалених від фіксованої точки F та фіксованої прямої d що не проходить через точку F називається параболою. Точка F називається

Украинкский

2013-07-05

1021.92 KB

7 чел.

  Лекція 14

Парабола 

    Нехай на площині дано точку  F  і пряму d ,яка не проходить через F. Геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки  F  та фіксованої прямої  d , що не проходить через  точку  F, називається параболою. Точка  F називається фокусом параболи, а пряма d   – директрисою.

    Знайдемо рівняння параболи. Нехай на площині дано точку та пряму. Візьмемо таку систему координат xOy, щоб вісь абсцис проходила через фокус F перпендикулярно до прямої d, а вісь ординат ділила відстань між фокусом і директрисою навпіл (рис.  2.25, 2.27). Відстань між фокусом і директрисою параболи позначимо через p. Зо означенням p>0, тоді точка F  має координати , а рівнянням директриси є x=  .

                                 

    Нехай  M  ( x ; y ) – довільна точка площини. Точка M за означенням, буде точкою параболи тоді і тільки тоді, коли:

                                             

   Знаходимо : 

                                   =

                                       =    .

Отже,

                                                              (5.19)

або

                                          y2 =2px.                                                 (5.20)

     Оскільки обидві частини рівняння (5.19) невідємні, то рівняння (5.20) рівносильне рівнянню (5.19).

     Рівняння (5.20) називається канонічним рівнянням параболи.

     У курсі математики середньої школи рівняння параболи розглядалось у вигляді  

                                    y=ax2.

    Це не є канонічна форма запису рівняння параболи. Для канонічної форми характерна розвязність рівняння відносно квадрата змінної, тобто

                            

                                          x2 = .

Позначаючи  ,дістаємо рівняння параболи у канонічній формі:

                                             x2 = 2qy                                                 (5.21)

    В л а с т и в о с т і   п а р а б о л и.

  1.  Порівнюючи рівняння (5.20), (5.21), і (5.1), впевнюємось у тому, що парабола є кривою другого порядку.
  2.   Оскільки p>0, то з рівняння (5.20) маємо

                                        .

Отже, парабола є необмеженою кривою, що розміщена у правій півплощині. Із рівняння (5.21) випливає, що при q>0, тобто парабола розміщена у верхній напівплощині.

  1.  Парабола не має центра симетрії, вона не є центральною кривою. Парабола має одну вісь симетрії. Для параболи (5.20)  віссю симетрії є вісь абсцис, а для (5.21) – вісь ординат.
  2.  Парабола має одну вершину, яка лежить в початку координат.
  3.  Для того щоб скласти канонічне рівняння параболи, достатньо задати тільки тільки величину p ( або q), яка називається параметром параболи.

         Рівняння y2= -2px( або x2 = -2qy ) приp>0 (або q>0) приводяться до рівнянь (5.20) і (5.21) внаслідок заміни x на –x, тобто шляхом перетворення координат, яке відповідає зміні напряму осі абсцис на протилежний (рис. 2.26).

               Рис. (2.26)

  1.  Характерною властивістю директриси параболи є те, що відношення відстані будь-якої точки параболи від фокуса до відстані її від директриси є сталим і дорівнює ексцентриситету параболи. Отже, ексцентриситет параболи

                                    

  1.  Знайдемо полярне рівняння параболи. Нехай полюс полярної системи координат збігається з фокусом параболи F , а полярна вісь – з додатним напрямом осі абсцис (рис. 2.27). Полярні координати точки параболи M( x;y) позначимо через  ρ і φ , тобто M(ρ φ). Із трикутника MFN знаходимо:

               

                                                  

                                      ρ cosφ

Підставляючи значення x і y  у рівняння (5.20), дістаємо

                                    2=.

Якщо до обох частин цієї рівності додати 2 =2.

Враховуючи, що p>0 і p+ ρ cosφ >0, маємо . Тоді полярним рівнянням параболи є

                                                                                   (5.22)

    Розглядаючи отримані раніше полярні рівняння еліпса (5.10), гіперболи (5.18) та параболи (5.22), легко побачити, що всі три рівняння можна записати у вигляді одного

                                           ,                                     (5.23)

якщо вважати в рівнянні для еліпса >1, гіперболи >1, параболи =1.Ексцентриситет для кривих другого порядку виражає їх загальну властивість: відношення відстані точки кривої від фокуса до відстані її від директриси є величина стала і дорівнює ексцентриситету (рис. 2.27)

. Використовуючи тільки останню рівність, легко вивести рівняння (5.23). Тому рівняння (5.23) називається рівнянням кривої другого порядку в полярних координатах.

                     5.7 Приведення кривих другого порядку до

                          найпростішого канонічного вигляду

    Загальне рівняння кривої другого порядку (5.2) має такі групи членів:

   а)квадратична форма (див. п. 5.2 з гл.1)

                                      Ф=a11x2 +2a12xy +a22y2 , де =(x,y)

   б) лінійна форма (див. п. 5.1 з гл. 1) 1)Л(x,y)=a10x+a20y;

   в)вільний член a00.

   Приведення рівняння (5.2) до найпростішого вигляду означає таке перетворення його, за яким легко визначити, чи задано цим рівнянням криву і яку саме (коло, еліпс, гіперболу, параболу, криву, точку).

    Приведемо канонічні рівняння кривих другого порядку у прямокутний декартовій системі координат:

   1) x2+y2=R2 - коло;

   2)+   = 1  - еліпс;          

   3) – точка O (0,0);

   4)  - =     -  гіпербола;

   5)порожня множина точок (уявний еліпс);

   6) дві прямі , що перетинаються: та ;

   7)y2 =2px або  x2=2qy при p , або qпарабола;

   8) y2 =a2; або x2 =b2  при аабо b дві паралельні прямі y=a та y=-a або x=b та x=-b;

   9) y2 =0 або x2=0 - дві збіжні прямі, вісь абсцис або ординат:

   10) y2=-a2  або  x2= -b2 при a  0 або b 0 - порожня множина точок.

   Загальне рівняння кривої другого порядку завжди можна привести до одного з рівнянь 1) – 10).

   Якщо у рівнянні (5.2) a12 = 0, то дістанемо

          a11x2 +a22y2+a10x+a20y+a00 = 0.                                                   (5.24)

    Це рівняння можна привести до одного з рівнянь 1)-10) за допомогою паралельного перенесення системи координат, або виділення повних квадратів у лівій частині рівняння.

    Щоб привести рівняння (5.2) до канонічного вигляду, достатньо здійснити перетворення, яке зводить його до рівняння (5.24), такого яке перетворює квадратичну форму до канонічного вигляду.

    Матриця цієї квадратичної форми має вигляд (див. п. 5.2, гл. 1)

      A    =            , де a12 = a21.

Повернемо систему координат  xOy на кут  , який відповідає головним напрямам даної матриці. Позначимо координати векторів головних напрямів через 1 =(l1, m1) i  1=(l2,m2) . Оскільки матриця А симетрична, то  11 .При перетворенні

квадратична форма набирає вигляду

                           a11x2+2a12xy+a22y2 = 1x12+2y12 ,

де  1 і  2 - власні числа матриці А.

    Тоді рівняння (5.2) можна записати у вигляді

1x12 + 2y12+(a10l1 + a20m1)x1 + (a10l2 + a20m2)y1 + a00 = 0.

    Якщо позначити 1=a11 , 2=a22 , a10l1 + a20m1 =a’10 , a10l2 + a20m2 =

= a20 , a00 = a00 , то дістанемо рівняння вигляду (5.24):

                    a11x12 + a22y12+a10x1+a20y1+a00 =0.                  (5.25)

     Рівняння (5.25) приводиться до канонічного вигляду за допомогою паралельного перенесення системи координат за формулами

    Перетворюючи рівняння (5.25) за цими формулами дістаємо у системі x2 x2O2y2 таке рівняння:

                                     a11x22 +a22y22 =b

або

                                        1x22 + 2y22  =b                               (5.26)

Останнє рівняння легко приводиться до канонічно вигляду.

   Дослідимо рівняння (5.26). Обчислимо визначник матриці А

= = a11a22 a122

і запишемо характеристичне рівняння матриці

                                             = 0

або

        2 – (a11 +a22)  + (a11 a22 - a122) = 0.

Звідси за теоремою Вієта знаходимо

                                                1 2 = ,

де - визначник матриці А.

      Нагадаємо, що коли дискримінант характеристичного рівняння

                                        D =(a11 - a22)2  + (2a12)2 0

та його корені   1 і   2 дійсні.

    Таким чином, виходячи з рівнянь (5.25) і (5.26), а також з геометричного змісту канонічних рівнянь 1)-10), можна сказати ,що загальне рівняння кривої другого порядку (5.2) визначає:

    а) еліпс(коло), точку або уявний еліпс (уявне коло), якщо =  1 2 >0. Коло має при D=0, тобто при  1 = 2 , які мають однаковий знак із вільним членом b рівняння (5.26). При  цьому крива називається кривою еліптичного типу;

    б) параболу, пару паралельних або збіжних, або уявних прямих (порожню множину точок), якщо  =1 2 =0, тобто одне з чисел  1  або 2  дорівнює нулю. При цьому крива називається кривою параболічного типу;

    в) гіперболу, пару прямих, що перетинаються, якщо 1 2 =<0. Крива називається кривою гіперболічного типу.

                                                   Приклади

1. Привести рівняння кривої

                                    2x2 + 6xy+ 2y2 + 2x - 2y + 3=0

до канонічного вигляду і побудувати криву, що визначається даним рівнянням.

    Р о з вя з а н н я. Приведемо до канонічного вигляду квадратичну форму

                                          =2x2 + 6xy+ 2y2

в якій a11= 2, a12 =a21 =3, a22=2.

    Складаємо матрицю цієї квадратичної форми і характеристичне рівняння, з якого знаходимо

                                         λ1 = -1, λ2 =5.

Тоді

                                      = 2x2 + 6xy+ 2y2 = -1*x12+5y12

Оскільки =1 2  = -5 < 0, то маємо криву гіперболічного типу.

    Знайдемо одиничні ввектори головних напрямів даної кривої (див. приклад із п. 5.2, гл.1) 

=  (), при  λ1 = -1;

                                              =( )  при λ2 =5.

    Відповідне лінійне перетворення набирає вигляду

Перетворимо лінійну форму

              Л (x,y) = 2x -2y = 2( - 2( = 2.

Рівняння кривої в системі координат x1Oy1

                                        + 5 + 2 + 3 = 0

Виділимо у лівій частині цього рівняння повний квадрат

                                                  (2)2 - 5 = 5

     Здійснимо паралельне перенесення системи x1Oy1 за формулами

                               або

     Тоді дістанемо у системі  x2O2y2

звідки

                                                  

Це рівняння визначає гіперболу з напівосями a =  та b=1 (рис. 2.28).

         

 2. Привести рівняння

                               

до канонічного вигляду. Яка лінія визначається заданим рівнянням?

    Р о з в’я з а н н я.  Виділимо двічі у заданому рівняння повний квадрат:

                                        2 – 4 =0.

Це рівняння еквівалентне сукупності двох рівнянь:

                                           

Таким чином, задане рівняння визначає дві паралельні прямі.

                                              ВПРАВИ

  1.  Скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок прямої  , обмежений осями ординат.           Відповідь. .
  2.  Упевнившись, що точка М (-4; 2; 4) лежить на еліпсі     , визначити її фокальні радіуси. Відповідь.r1 =2,6; r2 =7,4.
  3.  Скласти рівняння геометричного місця точок, відстань кожної з яких від точки А (0,1) вдвічі менша за відстань від прямої  y - 4=0.   Відповідь..
  4.  Знайти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет ε = 2 і фокуси збіігаються з фокусами еліпса                      Відповідь. .
  5.  Знайти канонічне рівняння параболи, коли відомо, що її фокус міститься у точці перетину прямої  з віссю абсцис. Відповідь.      
  6.  Скласти полярне рівняння правої гілки гіперболи     , вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрмом осі абсцис, а полюс міститься у правому фокусі.                              Відповідь.     .
  7.  Привести рівняння до канонічного вигляду і побудувати відповідну йому лінію:

а)

б)     

         Відповідь. а)

       


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54164. Розвязування задач на відсотки 195 KB
  Крім того, велика частина інформації, яку ми отримуємо, подана у вигляді відсотків. Кожному фахівцю у всіх сферах людської діяльності треба мати справу з відсотками. Отже, наша задача - мати міцні знання про відсоток.Доповідь учнів про історію виникнення поняття відсотка.
54165. Додатні та від’ємні числа. Додавання та віднімання раціональних чисел 246 KB
  Додатні та відємні числа. Сьогодні ми продовжимо працювати з додатними і відємними числамивдосконалювати вміння додавати...
54166. Означення квадратного рівняння. Неповні квадратні рівняння та їх розв’язки 747.5 KB
  Мета: домогтися свідомого розуміння учнями означення квадратного рівняння зведеного квадратного рівняння неповного квадратного рівняння назви коефіцієнтів квадратного рівняння; сформувати первинні вміння формулювати означення квадратного рівняння та його видів зведеного та неповного визначати коефіцієнти квадратного рівняння та за ними визначити вид квадратного рівняння підготувати учнів до сприйняття розвязування неповних квадратних рівнянь. Чи рівносильні рівняння: а 3х 2 = х...
54167. Математический футбол. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве 610 KB
  Прямая а не лежит в плоскости квадрата АВСD и параллельна его стороне АВ. Прямая в не лежит в плоскости квадрата КМLN и параллельна его стороне М L.Каково взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Слайд № 18 Прямая а лежит в плоскости. Прямая а параллельна плоскости .
54168. Множення раціональних чисел 603.5 KB
  Для цього обчислимо приклади усно записані на веслах нашого корабля і прочитаємо імя відомого математика який сформував правила множення ділення віднімання і додавання раціональних чисел. Математика кібернетика...
54169. Новорічна математична ялинка 286.5 KB
  Мета: перевірити якість знань і вмінь учнів з теми; зацікавити математикою; розвивати логічне мислення культуру математичних записів, мовлення. Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань.
54170. Урок-казка. Чарівні слова. Розвязування рівнянь 165 KB
  Таблиці плакати до казки про ІванаЦаревича і Чахлика Невмирущого. Клас розбивається на 3 команди і вибирається ІванЦаревич. Там під дубом вчений кіт Русалонька за принцем плаче КоникГорбоконик на підмогу скаче Привид Кентервільський всіх лякає ІванЦаревич Змія перемагає. Учитель: В деякому царстві живбув ІванЦаревич.
54171. Особливості навчання математиці дітей із затримкою психічного розвитку в умовах якісної освіти 450.5 KB
  Поданий матеріал може бути використаний вчителями математики, які працюють як в спеціалізованих класах корекції для дітей із затримкою психічного розвитку, так і звичайних класах загальноосвітньої школи. В посібнику відображені питання класифікації дітей із затримкою психічного розвитку, зазначені причини затримки розвитку, подана характеристика дітей даної категорії та визначені особливості їх навчальної діяльності на уроках математики.
54172. Применение свойств действий при вычислениях и решении уравнений в 5-м и 6-м классах 151.5 KB
  На усвоение этих свойств достаточно на такой ранней стадии устные упражнения с дальнейшим переходом к письменным упражнениям, развивая у учеников умение и навыки работы с числовыми выражениями, решении уравнений без использования правил нахождения неизвестного компонента действия: развивая у учеников творческий подход к решению математических задач.