17800

Поверхні другого порядку

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 15. Поверхні другого порядку Загальне рівняння поверхні другого порядку Загальним рівнянням поверхні другого порядку називається рівняння виду 15.1 Розглянемо типи поверхонь які визначаються цим рівнянням. Довільна циліндрична поверх

Украинкский

2013-07-05

3.67 MB

91 чел.

Лекція 15. Поверхні другого порядку

  1.  Загальне рівняння поверхні другого порядку

Загальним рівнянням поверхні другого порядку називається рівняння виду

   (15.1)

Розглянемо типи поверхонь, які визначаються цим рівнянням.

  1.  Довільна циліндрична поверхня

На відміну від простої, довільна циліндрична поверхня утворюється переміщенням прямої паралельно сталому вектору вздовж деякої просторової лінії, що називається напрямною.

Нехай напрямна циліндричної поверхні задана як перетин двох поверхонь:

           (15.2), (15.3)

а твірні цієї поверхні паралельні прямій з напрямним вектором  Тоді рівняння твірної, що проходять через точку , яка лежить на напрямній, має вигляд

 ,     (15.4)

де  – поточні координати точки  циліндричної поверхні (рис. 2.29).

Вилучивши з рівнянь (15.2) – (15.4) поточні координати напрямної , дістанемо рівняння циліндричної поверхні (рис. 2.29):

         (15.5)

Якщо в рівнянні (15.1) відсутня змінна координата , то рівняння

визначає просту циліндричну поверхню з напрямною

і твірними, паралельними осі аплікат (будь-яке дійсне число). Циліндричні поверхні, напрямними яких є лінії другого порядку, називаються циліндричними поверхнями другого порядку.

  1.  Круговий циліндр – циліндрична поверхня другого порядку, яка при відповідному виборі системи координат  може бути записана рівнянням

2. Еліптичний циліндр – циліндрична поверхня, рівняння якої має вигляд  (рис. 2.30).

 

  Рис. 2.29     Рис. 2.30

3. Гіперболічний циліндр – поверхня, рівняння якої має вигляд   (рис. 2.31).

4. Параболічний циліндр – поверхня, рівняння якої має вигляд   (рис. 2.32).

 

  Рис. 2.31      Рис. 2.32

  1.  Довільна конічна поверхня

Конічною поверхнею або конусом називається поверхня, утворена переміщенням прямої, що проходить через одну і ту саму точку і задану криву, за умови, що точка не належить цій кривій.

Пряма, що переміщується, називається твірною конуса, дана точка – вершиною, а задана лінія – напрямною (рис. 2.33).

Нехай рівняння напрямної задано перетином поверхонь

  (15.6)

а вершина міститься у точці . Тоді твірна має проходити через дві точки: вершину  і довільну точку напрямної .

Якщо довільна точка твірної і вона ж точка конічної поверхні, то її рівняння можна записати у вигляді        Рис. 2.33

 . (15.7)

Щоб знайти рівняння конічної поверхні, треба з рівнянь (15.6), (15.7) вилучити  і  – поточні координати напрямної. Дістанемо

    .     (15.8)

Рівняння (15.8) за певних умов буде однорідним відносно поточних координат, тобто рівняння конічної поверхні не зміниться при заміні  і  відповідно на  і , де  – довільний параметр.

Дійсно, нехай вершина конуса розміщена у початку координат, а твірна проходить через точку . Тоді вона проходить і через точку з координатами .

  1.  Поверхні обертання

Поверхнею обертання називається поверхня, утворена обертанням кривої, розміщеної в площині, навколо прямої, що лежить в одній площині з кривою.

Нехай в площині задано криву

         (15.9)

яка обертається навколо осі ординат (рис. 2.34). Складемо рівняння поверхні, яку при цьому дістали.

Візьмемо довільну точку  поверхні обертання. При обертанні точка  опише коло з центром на осі ординат, яке лежить в площині, що перпендикулярна до цієї осі. Ордината будь-якої точки цього кола дорівнює відповідній ординаті кривої (15.9):

    .      (15.10)

 

  Рис. 2.34

Сума квадратів двох інших координат точки  дорівнює квадрату аплікати точки кривої (15.9):

 .  (15.11)   Рис. 2.35

Підставляючи значення  і  із (15.10) і (15.11) у рівняння (15.9), знайдемо рівняння поверхні обертання

   .     (15.12)

Таким чином, щоб дістати рівняння поверхні обертання кривої навколо якої-небудь координатної осі, треба в рівнянні кривої залишити незмінною координату, що відповідає за осі обертання, а іншу координату замінити на квадратний корінь із суми квадратів двох інших координат.

Приклад. Знайти рівняння поверхні, яка утворена обертанням прямої  навколо осі аплікат (рис. 2.35).

Розв’язання. Виконаємо у рівнянні прямої заміну  і , тоді

   , або .

Це рівняння визначає круговий конус із вершиною у початку координат. Віссю обертання є вісь аплікат.

Розглянемо поверхні, утворені обертанням кривих другого порядку навколо своїх осей.

Еліпсоїд обертання. Нехай еліпс , розміщений у площині , обертається навколо однієї з осей  або . Складемо рівняння поверхні обертання, яка називається еліпсоїдом обертання (рис. 2.36).

Для цього в заданому рівнянні необхідно здійснити заміну по (15.12). Дістанемо рівняння еліпсоїда обертання навколо осі

  

 Рис. 2.36  або

         (15.13)

Гіперболоїд обертання. Нехай гіпербола

          (15.14)

обертається навколо осі . Складемо рівняння поверхні обертання. Для цього в рівнянні (15.14) виконаємо заміну  і . Дістанемо

  .  (15.15)

Це рівняння визначає поверхню, яка називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання (рис. 2.37). Якщо гіперболу (15.14) обертати навколо осі , то дістанемо рівняння

  ,  (15.16)

яке визначає поверхню, що називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання (рис. 2.38).

Параболоїд обертання. Нехай парабола , де , обертається навколо осі . Тоді рівняння

     (15.17) визначає поверхню, що називається параболоїдом       Рис. 2.37

обертання (рис. 2.39). 

   

 Рис. 2.38         Рис. 2.39

Лекція 16. Метод паралельних перетинів при дослідженні поверхонь другого порядку

У п. 15.2-15.4 розглядалась задача складання рівняння заданої поверхні. Тепер розв’яжемо обернену задачу: за заданим рівнянням поверхні побудувати поверхню.

Для визначення типу поверхні звичайно застосовують метод паралельних перетинів – метод перетинів даної поверхні площинами, які паралельні координатним площинам або координатним осям. Покажемо на прикладі, як це робиться.

Розглянемо конкретний приклад.

Тривісний еліпсоїд. Тривісним еліпсоїдом називається поверхня, задана рівнянням

         (16.18)

Побудуємо поверхню, що визначається даним рівнянням.

Скористаємось методом паралельних перерізів. Перетнемо дану поверхню площиною, що паралельна площині . Побудуємо площину . Дістанемо лінію перетину

    ,     (16.19)

або

         (16.20)

Дослідимо це рівняння.

а) Якщо , то маємо уявний еліпс (права частина рівняння (16.20) від’ємна);

б) Якщо  , то рівняння (16.20) набирає вигляду

і визначає дві точки:  і ;

в) Якщо , то рівняння (16.20), подане у вигляді

    
    ,    (16.21)

визначає еліпс, що лежить у площині , з півосями

   ,  .

Напівосі  і  еліпса (16.21) при  змінюється відповідно від  і  до нуля.

Зокрема, у координатній площині  дістанемо еліпс

     .     (16.22)

Аналогічно в координатній площині  маємо еліпс

     ,     (16.23)

а в координатній площині  – еліпс

     .     (16.24)

Еліпси (16.21)-(16.24), по яких еліпсоїд (16.18) перетинається з координатними площинами (рис. 2.40), дають уяву про поверхню, задану рівнянням (16.18).

Зауважимо, що еліпсоїд обертання є окремим випадком тривісного еліпсоїда, коли дві які-небудь півосі тривісного еліпсоїда дорівнюють одна одній. Якщо всі півосі тривісного еліпсоїда дорівнюють одна одній, то маємо сферичну поверхню.

 

  Рис. 2.40     Рис. 2.41

Однопорожнинний гіперболоїд. Однопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, що визначається рівнянням

     .    (16.25)

Перетинаючи цю поверхню площинами , паралельними площині , дістаємо еліпси.

Перетинаючи тепер поверхню (16.25) площинами , дістаємо гіперболи з дійсною віссю, що паралельна осі ординат (рис. 2.41).

 Двопорожнинний гіперболоїд. Двопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, що визначається рівнянням

 . (16.26)

(рис. 2.42)

 Еліптичний параболоїд. Еліптичним параболоїдом називається поверхня, що визначається рівнянням

  (16.27)

(рис. 2.43).

 Гіперболічний параболоїд. Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, що задана рівнянням

   (16.28)

 Рис. 2.42   (рис. 2.44).

Поверхню (16.28) називають іноді сідлоподібною поверхнею.

Лінійчасті поверхні. Поверхні, твірні яких є прямими лініями, називаються лінійчастими.

До поверхонь, твірні яких є прямими лініями, належать циліндричні та конічні поверхні.

 

    Рис. 2.43       Рис. 2.44

Розглянемо рівняння однопорожнинного гіперболоїда (16.25) і подамо його у вигляді

   .

Це рівняння можна записати у вигляді

   ,     (16.29)

де параметр  вибирають спеціально.

Кожне з рівнянь систем (16.29) визначає площину, а кожна з цих систем визначає пряму.

Таким чином, через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходять дві прямі, які лежать на поверхні гіперболоїда. Однопорожнинний гіперболоїд – лінійчаста поверхня.

Те саме стосується гіперболічного параболоїда (16.28).

  1.  Схема приведення поверхонь другого           порядку до канонічного вигляду

Загальне рівняння поверхні другого порядку (15.1) вміщує квадратичну форму

    (16.30)     і лінійну форму

       (16.31)

Приведемо поверхню (15.1) до канонічного вигляду.

Приведемо до канонічного вигляду квадратичну форму. Маємо

   ,

де  – власні числа матриці квадратичної форми . При цьому

    ,

   .

Потім знайдемо власні вектори – головні напрями квадратичної форми, тобто визначимо перетворення, за допомогою якого квадратична форма набирає канонічного вигляду. Застосовуючи це перетворення до лінійної форми, дістанемо

   ,

де  – нові коефіцієнти форми (16.31).

Таким чином, рівняння (15.1) набирає вигляду

 . (16.32)

Це рівняння може бути приведе до канонічної форми за допомогою паралельного перенесення систем координат за формулами

  .

Канонічне рівняння в системі  у загальному випадку може мати вигляд (за умови )

   .    (16.33)

Тепер аналогічно п. 5.7. можна сформулювати можливі варіанти рівнянь поверхонь другого порядку, що відповідають рівнянням (16.32) та (16.33).

Приклад.

Звести до канонічного вигляду задану поверхню другого порядку, а також знайти базис, в якому написане канонічне рівняння поверхні

      (16.34)

Розв'язання.

Запишемо квадратичну форму

  ,

 .

Тоді матриця квадратичної форми

    .

Дістанемо характеристичне рівняння

    .

Розкриваючи визначник за елементами третього рядка, отримаємо

    .

Звідки

  або .

Квадратична форма тепер набирає вигляду

    .

Знайдемо головні напрямки квадратичної форми або ненормовані власні вектори матриці

    ,

що відповідають власним числам , а нормовані

    

    

    

з системи рівнянь      (16.35)

При  маємо

     

Довжина вектора =. Нормуючи, отримаємо

   , вектор .

При  (з 16.35) маємо

   ,  або   =

Нормуючи, знайдемо

  ,  

При

   ,  або   

    .

Значення  взяли рівним одиниці, виходячи з нормування, оскільки рівняння  задовольняє будь-яке число. Перших два рівняння мають нульовий розв'язок , оскільки основний визначник  не дорівнює нулю.

Таким чином .

Перевіримо ортогональність отриманих векторів

           

Переведемо далі лінійну форму

    

в систему координат з ортами . Для цього скористаємось формулами (4.30) з глави 1

    ,

    ,    (16.36)

    ,

де

Отримаємо

    ,

    ,

    

Тоді  .

Об’єднуючи вирази квадратичних та лінійних форм, рівнянню (16.34) надаємо вигляду

     (16.37)

Здійснимо паралельний перенос системи  в нову точку з координатами , для цього вираз (16.37) перетворимо так:

 

 

 

Рівняння (16.37) тепер має вигляд

      або .

Позначимо  

тоді    або .

Це рівняння поверхні двопорожнинного гіперболоїда. Якщо пере позначити власні числа, то отримаємо

    .

Знайдемо координати початку координат (вони не обов’язково рівні нулю)  системи, в якій задане вихідне рівняння поверхні. Для цього використаємо отримані координати  та вважатимемо, що

  ;

  

  .

Таким чином .

Остаточно   .

Дістали рівняння поверхні двопорожнинного гіперболоїда

    .

ВПРАВИ.

  1.  Знайти координати центра та радіус кола

     

Відповідь. .

  1.  Скласти рівняння циліндра з напрямною

     

і твірними, паралельними вектору 

Відповідь. .

  1.  Знайти рівняння конічної поверхні з вершиною у точці , напрямною якої є крива

     

Відповідь. 

  1.  Скласти рівняння поверхні обертання, що утворена обертанням кривої

     

навколо осі абсцис і визначити вид поверхні.

Відповідь.  двопорожнинний гіперболоїд

  1.  Знайти точки перетину однопорожнинного гіперболоїда

     

з прямою .

Відповідь. Пряма лежить на поверхні

  1.  Яка поверхня визначається рівнянням

    ?

Відповідь. Круговий циліндр 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72268. Государственные служащие 70.5 KB
  Данные функции они осуществляют в рамках определенных должностей в государственных органах учреждениях. В данной теме рассматриваются понятие цели задачи государственной службы категории государственных служащих их права и обязанности.
72269. Конституционные основы положения человека и гражданина в Республике Казахстан 95.5 KB
  В Конституции РК приоритет отдан правам человека и гражданина, в отличие от советского права, где на первом месте стояли права и интересы государства. Эти права соответствуют тем, которые регламентированы во Всеобщей декларации прав человека.
72270. Семейство протоколов TCP/IP 335.17 KB
  Семейство протоколов TCP/IP широко применяется во всем мире для объединения компьютеров в сеть Internet. Единая сеть Internet состоит из множества сетей различной физической природы, от локальных сетей типа Ethernet и Token Ring, до глобальных сетей типа NSFNET.
72271. Розробка принципіальної електричної схеми підсилювача 5.19 MB
  Вибіркові підсилювачі – що підсилюють сигнали в дуже вузькій смузі частот. Для них характерна невелика величина відношення верхньої частоти до нижньої. Ці підсилювачі можуть використовуватися як на низьких, так і на високих частотах і виступають в якості своєрідних частотних фільтрів...
72273. Организация охраны труда и безопасности жизнедеятельности в Кредитной организации 299 KB
  Цель данной работы рассмотреть порядок и особенности организации безопасной организации труда в Кредитной организации (далее КО) – объекте экономики с точки зрения защиты сотрудника КО – объекта безопасности, при выполнении им своих трудовых обязанностей.
72274. Когнитивный диссонанс 33.45 KB
  Когнитивный диссонанс – цветочек из такого букета, и его аромат может изрядно отравлять жизнь. Знакомо ли Вам чувство сожаления после состоявшегося обдуманного выбора. А недовольство собой из-за того, что пора бы перестать делать то, что ты никак не можешь перестать делать...
72275. ПОПЕРЕЧНЫЕ ПРОФИЛИ ЗЕМЛЯНОГО ПОЛОТНА 1.85 MB
  Земляное полотно –- это инженерное сооружение из грунта на котором размещается верхнее строение железнодорожного пути. От надежности земляного полотна зависят техническая скорость движения поездов и разрешаемая статическая нагрузка на рельсы передаваемая от колесных пар вагонов...
72276. Средства обеспечения безопасности информации в сетях 262 KB
  Сервисные службы защиты информации являются ответственными за обеспечение основных требований пользователей, предъявляемых к телекоммуникационным системам (с точки зрения ее надежности). Причем данные службы должны функционировать во всех трех плоскостях: менеджмента, управления и пользовательской.