17801

Обернена матриця

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 7. Обернена матриця Матрицею А оберненою до квадратної матриці розміру n х n називається така для якої справедлива рівність 3.32 Наприклад легко перевірити рівність = Таким чином одна із перемножуваних матриць є оберненою від

Украинкский

2013-07-05

175.61 KB

9 чел.

Лекція 7.

Обернена матриця

Матрицею  А, оберненою до квадратної матриці  розміру n х n , називається така, для якої справедлива рівність

                 (3.32)

Наприклад,  легко перевірити рівність

=

Таким чином, одна із перемножуваних матриць є оберненою відносно іншої.

Матриця, визначник якої не дорівнює нулю, невиродженою.

Для того щоб дана матриця мала обернену, необхідно і достатньо, щоб вона була не виродженою.

Щоб знайти матрицю, обернену до даної,треба:

Знайти визначник даної матриці; якщо він не дорівнює нулю, то дана матриця має обернену;

Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів даної матриці;

Транспонувати матрицю з алгебраїчних доповнень;

Кожний елемент транспонованої матриці поділити на визначник даної матриць.

Властивості не вироджених матриць.

  1.  det  ∙ det A =  1.
  2.   = A.
  3.   =  
  4.  .

Визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається виродженою або особливою.

Приклад.  Знайти матрицю, обернену до заданої

А =                (3.33)

Розв’язання. Знаходимо визначник даної матриці.

Δ = det A =  = 1 ≠ 0,               (3.34)

тобто  дана матриця має обернену.

Обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці:

= -2,       = -4,      = 5,

= 2,       = 3,      = -4,

= -3,       = -5,      = 7.

Складаємо матрицю з алгебраїчних доповнень:

=         (3.35)

Транспонуємо матрицю

= .                  (3.36)

Поділивши кожний елемент транспонованої матриці на визначник даної матриці Δ = 1, дістанемо обернену матрицю

=  = .

Матричний спосіб розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Запишемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими

(3.37)

у матричній формі

АХ = В,                                                           (3.38)

де

А = ,  Х = ,   B = .

Припустимо, що матриця А не вироджена, то система (3.37) називається невиродженою, у протилежному разі виродженою, причому визначник Δ =  ≠ 0  і матриця А має обернену матрицю , яка єдина.

Помножимо обидві частини рівняння (3.38) на  зліва:

Оскільки і ЕХ = Х, то

.                                (3.39)

Рівність (3.39) можна записати у вигляді

= ,

або, перемноживши  і В, дістанемо

= ,

звідки

=  ,

де  k = 1, 2, …, n, a   =Δ.

Тоді

, k = 1, 2, …, n. Тим самим доведено правило Крамера.

Матричний метод розв’язання системи (3.37) не простіший, ніж метод, розглянутий раніше, але дає змогу зручно і компактно записати розв’язок.

Приклад. Розв’язати матричним методом систему рівнянь

Розв’язання. Утворюємо матриці

А = ,  Х = ,   B = ,

Тоді система набере вигляду

АХ = В.

Обчислюємо визначник матриці А:

Δ = det A = 2 ≠ 0,

Тобто існує обернена матриця

=

Запишемо розв’язок системи в матричній формі:

Х =   = .

Перемножимо матриці:

 = .

Відповідь: х = 1, y = 2, z = 3.

ВПРАВИ. 1. Користуючись правилом Крамера, розв’язти систему рівнянь

Відповідь: (1, 1, 1).

2. Розв’язти методом Гаусса систему рівнянь

Відповідь: (2, 1, 1).

3. Розв’язти матричним методом систему рівнянь

a)                      б)

Відповідь: а) (2, 1, 1), б) (1, -1, 2, 1)

4. Чи сумісна система рівнянь? Якщо сумісна, то розв’язти її:

а)                 

Відповідь: а) (, , 4 - 9 - 6, 6 - 4 - 3),     б) несумісна.

 

ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

Перетворення (оператори, відображення)

Нехай дано дві множини Q і  елементів різного походження. Перетворенням (оператором, відображенням) називають закон, що дає змогу за заданим елементом х множини Q, знайти елемент у множини Q1.

Перетворення позначають буквою A  і записують

y = A x є  при хєQ.

Якщо множини Q і  збігаються, то говорять про перетворення множини самої в себе. У цьому разі перетворенням називають закон, що дає змогу за заданим елементом х множини Q знайти елемент уу який належить тій самій множині, і записують

                               y = A x є Q при хєQ.

       Рис. 1.35

  Далі розглядатимемо перетворення множини самої в себе. Крім того, під х і у будемо розуміти вектори з евклідового простору.

Приклади. 1. Нехай у площині хОу лежить вектор (рис. 1.35). Повернемо площину хОу на кут α навколо точки О, зберігаючи положення площини у просторі. Тоді вектор   перейде в новий вектор  , який належить площині:

= A .

Тут перетворення A — це поворот площини на кут α. Перетворення A називається перетворенням обертання.

  1.  Нехай перетворення A кожному вектору  ставить у відповідність той самий вектор  , тобто . Таке перетворення називається тотожним або одиничним і позначається буквoю Е:

= Е .

     3. Нехай А перетворює вектор   у  вектор  = k,  тобто

= A  = k.

Таке перетворення називається перетворенням подібності.

  1.  Нехай перетворення A кожному вектору  ставить у відповідність нуль-

вектор  :

A  = .

Таке перетворення називається нульовим і позначається

 = .

  1.  Нехай задано n-вимірний афінний простір, елементами якого є точки. Нехай перетворення A кожній точці М цього простору ставить у відповідність число U:

U = A M.

Таке перетворення називається функцією і позначається, наприклад, буквою f:

U = f (M).

Множина усіх точок M, які розглядаються при цьому перетворенні, називається областю визначення функції f, а множина усіх чисел U — областю значень даної функції.

  1.  Нехай перетворення A — це проектування векторів, які виходять з однієї точки простору, на площину, яка проходить через ту саму точку. Як відомо, проекцією вектора   на площину є вектор :

= A .

Тут перетворення А називається перетворенням проектування.

Лінійні перетворення і їхній зв'язок з матрицями

Перетворення називається лінійним, якщо для будь-яких векторів  і , що належать лінійному простору, виконуються умови:

  1.  A (+) = A + A.
  2.  A () = λ (A).

Обертання, подібність, тотожне і нульове перетворення, перетворення проектування — це лінійні перетворення.

Лінійне перетворення переводить лінійну комбінацію одних векторів у лінійну комбінацію інших векторів.

Справді, нехай дано векторів: , , …,   і перетворення A. Застосовуючи послідовно умови 1) і 2), дістаємо

A (, , …,  ) =   +  + … + .

Візьмемо у n-вимірному просторі базис , , …,  . Нехай дано перетворення A, яке переводить  в A,  в A, …,  в A.

Кожний вектор A ,де і = 1,2, …, n, можна виразити через базис:

A =   +   + … +  .   (4.1)

Матриця

А = ,               (4.2)

що складається з координат векторів А називається матрицею лінійного перетворення у базисі , , …,   .

Покажемо, що заданням матриці А цілком визначається перетворення A

Візьмемо деякий вектор

                                                                 (4.3)

і знайдемо вектор   = A , припускаючи, що матриця А відома.

Маємо

= .

Враховуючи рівність (4.1),  дістанемо   

 

= ( + ( + … + (

Якщо координати вектора у у базисі , , …,   позначити че-

рез і Ул і записати  =  +  + … +    то, порівнюючи цей вираз з попередньою рівністю, дістанемо

=  =  +  + … +

=  =  +  + … +

                                                                   (4.4)

=  =  +  + … + .

Таким чином, знайдено координати вектора  . Кожному перетворенню у базисі , , …,   відповідає єдина матриця А і, навпаки, кожній матриці А відповідає єдине перетворення A векторів у базисі , , …,  .

Лінійне перетворення A векторів

= A               (4.5)

можна записати у матричній формі. Якщо ввести матриці координат векторів , 

Х = ,               Y =                          (4.6)

то, згідно з системою (4.4),

Y = AX

Нехай тепер перетворення A задане своєю матрицею А, визначник

якої відмінний від нуля. Тоді існує єдина обернена матриця . Припустимо, що перетворення A переводить вектор  у вектор

, тобто  = A,

або у матричній формі

= AX                   (4.8)

Помноживши цю рівність на . зліва, дістанемо

=AX

Враховуючи, що , знаходимо

X =            (4.9)

або у векторній формі

=                              (4.10)

Нехай тепер дано перетворення A і B задані своїми матрицями A і B так, що

= A                      (4.11)

 = B                      (4.11)

Знайдемо перетворення, які виражають  через . Замінивши у перетворенні (4.12)  через A , матимемо

= B (A) = BA                     (4.13)

Таким чином,  переводиться в  перетворенням B, що має матрицю, яка дорівнює добутку матриць перетворень B і A:

C = BA

 Використовуючи (4.13) і (4.10), можна знайти обернене перетворення, яке переводить  у . Якщо визначник  ≠ 0, то існує обернена матриця , тоді

X = , або   =                        (4.14)

ВПРАВА. Дано два лінійних перетворення. Засобами матричного числення знайти перетворення, які виражають  через

= (, ) якщо:

а)        

б)               

в)         

Матриця переходу від одного базису до іншого. Випадок наочних просторів

Нехай у n-вимірному просторі задано два базиси:

, , …,     і  , , …,  

Виразимо вектори , , …,   через вектори , , …,   які утворюють перший базис. Маємо

=  +  +

де i = 1, 2, …, n.

Координати векторів   у базисі , , …,     можна записати у вигляді матриці

L =                                  (4.15)

Ця матриця називається матрицею переходу від одного базису до іншого. Введемо величини

              Рис. 1.36

П =  і П’ =

                     тоді

П’ = LП (4.16)

Матриця переходу (перетворення) L має визначник, відмінний від нуля, ОСКІЛЬКИ у протилежному разі вектори , , …,   будуть лінійно залежними. Помноживши рівність (4.16) на  зліва, дістанемо

П = П’                (4.17)

Запишемо матрицю L для тривимірного простору. Виберемо за перший базис , , , а за другий базис , ,   (рис. 1.36). Тоді

 +   +  

                                        +   +                                    (4.18)

 +   +  

Якщо перший рядок помножимо послідовно на , , , то дістанемо

=  =  cos(x ^ )

=  =  cos(y ^ )

=  =  cos(z ^ )

Після аналогічних дій над другим і третім рядками рівностей (4.18) знаходимо

=  =  cos(x ^ )

=  =  cos(y ^ )

=  =  cos(z ^ )

та

=  =  cos(x ^ )

=  =  cos(y ^ )

                                            =  =  cos(z ^ )

При цьому матриця переходу

L =                       (4.19)

а матриця оберненого переходу

=                 (4.20)

Тоді

                                          П’ = LП   і   П = П’                              (4.21)

Зазначимо, що

+  +  = 1

                                             +  +  = 1                                    (4.22)

+  +  = 1

+  +  = 0

           +  +  = 0                    (4.23)

+  +  = 0

Порівнюючи (4.19) і (4.20), переконуємось, що  = . Квадратна матриця А, для якої  = , називається ортогональною. Матриці  i  ортогональні. Для ортогональних матриць

det (A) = (det A)(det) =  = 1

Зауваження. Величина П' визначається трьома векторами , ,
або L-матрицею тобто дев'ятьма числами. Величина П' відрізняється від звичайного вільного вектора хоча б тим, що останній визначається лише трійкою чисел. Величина П' називається афінним ортогональним тензором другого рангу або афінором.

Повернемось тепер до матриці переходу L. Елементи цієї матриці мають задовольняти умови (4.22) і (4.23), тобто із дев'яти величин, які складають елементи матриці L, тільки три будь-які можна вибирати довільно. Решта шість визначаються з умов (4.22) і (4.23). Три довільно вибрані елементи матриці L називаються незалежними, а решта — залежними.

Якщо за базис вважати три будь-яких некомпланарних вектори , ,   то, позначаючи проекції цих векторів на координатні осі через

 = (; ),  = (; ),  = (; ), i враховуючи рівності (4.18), маємо

                                           +   +  

                                               +   +                      (4.24)

                                          +   +  

Тепер матриця переходу

А =

має елементи, для яких не виконуються умови (4.22) і (4.23).

Перетворення координат. Паралельне перенесення і поворот (у наочних просторах) системи координат

Задача перетворення координат полягає ось у чому. Нехай дано дві системи координат: Охуz і , а також координати точки М або вектора в одній системі через їхні координати в іншій системі (рис. 1.36).

Розглянемо декілька випадків.

Якщо напрями осей обох систем координат збігаються, то говорять про паралельне перенесення системи координат (рис. 1.37).

Початок нової системи координат  перенесено у точку , радіус-вектор якої у старій системі координат Охуz

=

Якщо початки нової системи координат  і старої О збігаються, тобто   = O, а осі нової системи повернуто відносно старої, то говорять про поворот системи координат (рис. 1.38).

Коли напрям осей змінюється і здійснюється перенесення початку координат  = O, то йдеться про загальний випадок або спільний поворот і перенесення системи координат (рис. 1.36).

І. Паралельне перенесення системи координат. Нехай положення точки М у системі Охуz визначається її радіусом-вектором  = (х, у, z), а у системі  — радіусом-вектором = (). Положення нового початку координат (точки 

визначається радіусом-вектором  = ().

Тоді з векторного трикутника ОM (рис. 1.37) маємо

= +         (4.25)

тобто радіус-вектор точки у старій системі координат дорівнює сумі радіуса-вектора цієї точки у новій системі координат і радіуса-вектора початку нової системи координат.

Вираз (4.25) у координатній формі можна записати у вигляді

x =  + ;     y =  + ;    z =  + ;      (4.26)

У формулах (4.25) і (4.26) вважаються відомими

= () i   = (),

тобто відомі координати точки у новій системі координат, а відшукуються координати точки у старій системі.

Природнішою є обернена задача: коли відомі   і , а треба знайти . Тоді із рівності (4.25) знаходимо

=  - 

і відповідно

 = x - ;      = y - ;     = z - ;      (4.27)

При паралельному перенесенні  = , = , = , тоді

= 1,  = 0,  = 0

= 0,  = 1,  = 0

= 0,  = 0,  = 1

L-матриця набирає вигляду


L = E =

тобто є одиничною

II. Поворот системи координат. Нехай положення точки М у обох системах координат визначається одним і тим самим вектором  =  (рис. 1.38), який через базис системи можна записати

                              = x+ y+ z,       =   +   +                      (4.28)

                             x+ y+ z =   +   +                                         (4.29)

Замінюючи тут , ,  за формулами (4.18) і групуючи, дістанемо

                 x+ y+ z = +   +  ) + +   +  ) +

               + +   +  ),

або

                                           x = +   +  ,

                                     y =  +   +  ,                               (4.30)

                                     z =  +   +  .

Формули (4.30) виражають координати точки у старій системі через координати тієї самої точки у новій системі координат.

Щоб записати формули (4.30) у матричній формі, введемо позначення

X = ,    = ,     =                                   (4.31)

Тоді

=                                (4.32)

або

Х =                                                     (4.33)

Матриця  є транспонованою відносно L-матриці. Виразимо координати  через координати х, у, z точки М. Для цього помножимо (4.33) зліва на L-матрицю, обернену до матриці :

LХ = L                                                    (4.34)

Оскільки

L = Е                                (4.35)

то рівність (4.34) запишемо у вигляді

LХ = L                                                    (4.36)

Записавши (4.36) у вигляді (4.32), дістанемо формули, які виражають координати точки у новій системі координат через її координати у старій системі при повороті системи координат:

       = +   +  ,

=  +   +  ,                              (4.37)

=  +   +  .

     Рис. 1.39

Внаслідок незалежності повороту і паралельного перенесення системи координат і ґрунтуючись на (4.26) і (4.30) маємо:

x = +   +   + ,

y =  +   +   + ,                               (4.38)

z =  +   +   + .

а також

       = +   +   - ,

=  +   +   - ,                              (4.37)

=  +   +   - .

Запишемо ці формули у матричній формі

+                       (4.40)

=         (4.41)

Х =   + ,             = LX -               (4.42)

IV. Поворот системи координат, розміщеної у площині

(рис. 1.39). Розглянемо окремий випадок — поворот системи координат Оху. У цьому разі L-матриця (4.19) набирає вигляду

L =       (4.43)

при цьому

+  = 1,    +  = 1,     +  = 0                     (4.44)

Як бачимо, з чотирьох елементів матриці (4.43) лише один елемент є довільним. Вважатимемо таким елементом косинус кута між

(4.45)

та  і позначимо цей кут через α. Тоді

= cos ( ^ ) = cos α

=  cos ( ^ ) = cos () = sin α            (4.45)

=  cos ( ^ ) = cos () =  - sin α

= cos ( ^ ) = cos α

Отже, формули (4.30), (4.37) і (4.38) для системи координат, розміщеної у площині, наберуть вигляду

  ( 4.46 )

   ( 4.47)

Якщо виконати паралельне перенесення системи координат на вектор  = = () і одночасно поворот на кут α, то формули перетворення координат точки М набирають вигляду..

  ( 4.48 )

   ( 4.49)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14009. Методика использования музыкально-ритмических движений и игры на детских музыкальных инструментах в музыкальном воспитании школьников 54 KB
  Лекция 4. Методика использования музыкальноритмических движений и игры на детских музыкальных инструментах в музыкальном воспитании школьников Вопросы Характеристика музыкальноритмической деятельности Методика работы над музыкальноритмическими движе...
14010. Компрессия аудиоданных Сжатие информации без потерь (Lossless) 98 KB
  Компрессия аудиоданных Сжатие информации без потерь Lossless Алгоритмы выискивающие повторяющиеся последовательности в двоичных данных и заменяющих эти последовательности кодами Методы ЛемпелаЗиваУэлча LZW встречавшаяся ранее последовательность заменяется сс...
14011. Плагины для эффектов, для генерации, для анализа, для коррекции параметров оборудования и акустики 14.92 KB
  Плагины для эффектов для генерации для анализа для коррекции параметров оборудования и акустики Частотные – АЧХ с разной величиной выборки и формой фейдирования Стереофазы стереокоррелометры – степень корреляции сходства: 1 – моно 1 – противофаза и Стереогон...
14012. Создание файла партитуры в Finale с использованием мастера 94.5 KB
  Создание файла партитуры в Finale с использованием мастера: Запуск мастера: Setup Wizard. Создание состава инструментов для которого будет печататься партитура: Create New Ensemble> Engraved Style Maestro Font> Далее Составление полного списка используемых инструментов из предлагаемы...
14013. Содержание музыкального образования 151.5 KB
  Тема: Содержание музыкального образования План. 1.Основные элементы содержания музыкального образования. 2.Содержание программ дополнительного образования в области музыкальной деятельности Содержание музыкального образования выступает как педагогическая ин
14014. Значення та завдання музичного виховання 27 KB
  Значення та завдання музичного виховання Музика як вид мистецтва має низку особливостей: Музика здатна відображати переживання людини в різні моменти її життя. Музика виконує комунікативну функцію є засобом спілкування. Музика має власну мову тобто з
14015. Вікові особливості музичного розвитку дітей 22.5 KB
  Вікові особливості музичного розвитку дітей Діти другого року життя емоційно чутливі до музики і художнього слова. У них з’являються найпростіші співочі інтонації вони підспівують дорослому закінчення музичних фраз. Розвивається здатність співвідносити рухи з м...
14016. Методи та прийоми музичного виховання 23 KB
  Методи та прийоми музичного виховання Метод – це спосіб досягнення мети сукупність прийомів та операцій. За визначенням Н.Ветлугіної метод музичного виховання – це дії педагога спрямовані на загальний музичноестетичний розвиток дитини. Вибір методів зале...
14017. МУЗИЧНО-РИТМІЧНІ РУХИ 88 KB
  МУЗИЧНОРИТМІЧНІ РУХИ ЗНАЧЕННЯ ТА ЗАВДАННЯ РИТМІКИ Рухи під музику одна з форм музичного виховання дітей що дозволяє їм активно виявити себе в музичній діяльності. Над створенням радянської методики музичного виховання дітей засобами рухів працювало почина...