17801

Обернена матриця

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 7. Обернена матриця Матрицею А оберненою до квадратної матриці розміру n х n називається така для якої справедлива рівність 3.32 Наприклад легко перевірити рівність = Таким чином одна із перемножуваних матриць є оберненою від

Украинкский

2013-07-05

175.61 KB

9 чел.

Лекція 7.

Обернена матриця

Матрицею  А, оберненою до квадратної матриці  розміру n х n , називається така, для якої справедлива рівність

                 (3.32)

Наприклад,  легко перевірити рівність

=

Таким чином, одна із перемножуваних матриць є оберненою відносно іншої.

Матриця, визначник якої не дорівнює нулю, невиродженою.

Для того щоб дана матриця мала обернену, необхідно і достатньо, щоб вона була не виродженою.

Щоб знайти матрицю, обернену до даної,треба:

Знайти визначник даної матриці; якщо він не дорівнює нулю, то дана матриця має обернену;

Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів даної матриці;

Транспонувати матрицю з алгебраїчних доповнень;

Кожний елемент транспонованої матриці поділити на визначник даної матриць.

Властивості не вироджених матриць.

  1.  det  ∙ det A =  1.
  2.   = A.
  3.   =  
  4.  .

Визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається виродженою або особливою.

Приклад.  Знайти матрицю, обернену до заданої

А =                (3.33)

Розв’язання. Знаходимо визначник даної матриці.

Δ = det A =  = 1 ≠ 0,               (3.34)

тобто  дана матриця має обернену.

Обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці:

= -2,       = -4,      = 5,

= 2,       = 3,      = -4,

= -3,       = -5,      = 7.

Складаємо матрицю з алгебраїчних доповнень:

=         (3.35)

Транспонуємо матрицю

= .                  (3.36)

Поділивши кожний елемент транспонованої матриці на визначник даної матриці Δ = 1, дістанемо обернену матрицю

=  = .

Матричний спосіб розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Запишемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими

(3.37)

у матричній формі

АХ = В,                                                           (3.38)

де

А = ,  Х = ,   B = .

Припустимо, що матриця А не вироджена, то система (3.37) називається невиродженою, у протилежному разі виродженою, причому визначник Δ =  ≠ 0  і матриця А має обернену матрицю , яка єдина.

Помножимо обидві частини рівняння (3.38) на  зліва:

Оскільки і ЕХ = Х, то

.                                (3.39)

Рівність (3.39) можна записати у вигляді

= ,

або, перемноживши  і В, дістанемо

= ,

звідки

=  ,

де  k = 1, 2, …, n, a   =Δ.

Тоді

, k = 1, 2, …, n. Тим самим доведено правило Крамера.

Матричний метод розв’язання системи (3.37) не простіший, ніж метод, розглянутий раніше, але дає змогу зручно і компактно записати розв’язок.

Приклад. Розв’язати матричним методом систему рівнянь

Розв’язання. Утворюємо матриці

А = ,  Х = ,   B = ,

Тоді система набере вигляду

АХ = В.

Обчислюємо визначник матриці А:

Δ = det A = 2 ≠ 0,

Тобто існує обернена матриця

=

Запишемо розв’язок системи в матричній формі:

Х =   = .

Перемножимо матриці:

 = .

Відповідь: х = 1, y = 2, z = 3.

ВПРАВИ. 1. Користуючись правилом Крамера, розв’язти систему рівнянь

Відповідь: (1, 1, 1).

2. Розв’язти методом Гаусса систему рівнянь

Відповідь: (2, 1, 1).

3. Розв’язти матричним методом систему рівнянь

a)                      б)

Відповідь: а) (2, 1, 1), б) (1, -1, 2, 1)

4. Чи сумісна система рівнянь? Якщо сумісна, то розв’язти її:

а)                 

Відповідь: а) (, , 4 - 9 - 6, 6 - 4 - 3),     б) несумісна.

 

ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

Перетворення (оператори, відображення)

Нехай дано дві множини Q і  елементів різного походження. Перетворенням (оператором, відображенням) називають закон, що дає змогу за заданим елементом х множини Q, знайти елемент у множини Q1.

Перетворення позначають буквою A  і записують

y = A x є  при хєQ.

Якщо множини Q і  збігаються, то говорять про перетворення множини самої в себе. У цьому разі перетворенням називають закон, що дає змогу за заданим елементом х множини Q знайти елемент уу який належить тій самій множині, і записують

                               y = A x є Q при хєQ.

       Рис. 1.35

  Далі розглядатимемо перетворення множини самої в себе. Крім того, під х і у будемо розуміти вектори з евклідового простору.

Приклади. 1. Нехай у площині хОу лежить вектор (рис. 1.35). Повернемо площину хОу на кут α навколо точки О, зберігаючи положення площини у просторі. Тоді вектор   перейде в новий вектор  , який належить площині:

= A .

Тут перетворення A — це поворот площини на кут α. Перетворення A називається перетворенням обертання.

  1.  Нехай перетворення A кожному вектору  ставить у відповідність той самий вектор  , тобто . Таке перетворення називається тотожним або одиничним і позначається буквoю Е:

= Е .

     3. Нехай А перетворює вектор   у  вектор  = k,  тобто

= A  = k.

Таке перетворення називається перетворенням подібності.

  1.  Нехай перетворення A кожному вектору  ставить у відповідність нуль-

вектор  :

A  = .

Таке перетворення називається нульовим і позначається

 = .

  1.  Нехай задано n-вимірний афінний простір, елементами якого є точки. Нехай перетворення A кожній точці М цього простору ставить у відповідність число U:

U = A M.

Таке перетворення називається функцією і позначається, наприклад, буквою f:

U = f (M).

Множина усіх точок M, які розглядаються при цьому перетворенні, називається областю визначення функції f, а множина усіх чисел U — областю значень даної функції.

  1.  Нехай перетворення A — це проектування векторів, які виходять з однієї точки простору, на площину, яка проходить через ту саму точку. Як відомо, проекцією вектора   на площину є вектор :

= A .

Тут перетворення А називається перетворенням проектування.

Лінійні перетворення і їхній зв'язок з матрицями

Перетворення називається лінійним, якщо для будь-яких векторів  і , що належать лінійному простору, виконуються умови:

  1.  A (+) = A + A.
  2.  A () = λ (A).

Обертання, подібність, тотожне і нульове перетворення, перетворення проектування — це лінійні перетворення.

Лінійне перетворення переводить лінійну комбінацію одних векторів у лінійну комбінацію інших векторів.

Справді, нехай дано векторів: , , …,   і перетворення A. Застосовуючи послідовно умови 1) і 2), дістаємо

A (, , …,  ) =   +  + … + .

Візьмемо у n-вимірному просторі базис , , …,  . Нехай дано перетворення A, яке переводить  в A,  в A, …,  в A.

Кожний вектор A ,де і = 1,2, …, n, можна виразити через базис:

A =   +   + … +  .   (4.1)

Матриця

А = ,               (4.2)

що складається з координат векторів А називається матрицею лінійного перетворення у базисі , , …,   .

Покажемо, що заданням матриці А цілком визначається перетворення A

Візьмемо деякий вектор

                                                                 (4.3)

і знайдемо вектор   = A , припускаючи, що матриця А відома.

Маємо

= .

Враховуючи рівність (4.1),  дістанемо   

 

= ( + ( + … + (

Якщо координати вектора у у базисі , , …,   позначити че-

рез і Ул і записати  =  +  + … +    то, порівнюючи цей вираз з попередньою рівністю, дістанемо

=  =  +  + … +

=  =  +  + … +

                                                                   (4.4)

=  =  +  + … + .

Таким чином, знайдено координати вектора  . Кожному перетворенню у базисі , , …,   відповідає єдина матриця А і, навпаки, кожній матриці А відповідає єдине перетворення A векторів у базисі , , …,  .

Лінійне перетворення A векторів

= A               (4.5)

можна записати у матричній формі. Якщо ввести матриці координат векторів , 

Х = ,               Y =                          (4.6)

то, згідно з системою (4.4),

Y = AX

Нехай тепер перетворення A задане своєю матрицею А, визначник

якої відмінний від нуля. Тоді існує єдина обернена матриця . Припустимо, що перетворення A переводить вектор  у вектор

, тобто  = A,

або у матричній формі

= AX                   (4.8)

Помноживши цю рівність на . зліва, дістанемо

=AX

Враховуючи, що , знаходимо

X =            (4.9)

або у векторній формі

=                              (4.10)

Нехай тепер дано перетворення A і B задані своїми матрицями A і B так, що

= A                      (4.11)

 = B                      (4.11)

Знайдемо перетворення, які виражають  через . Замінивши у перетворенні (4.12)  через A , матимемо

= B (A) = BA                     (4.13)

Таким чином,  переводиться в  перетворенням B, що має матрицю, яка дорівнює добутку матриць перетворень B і A:

C = BA

 Використовуючи (4.13) і (4.10), можна знайти обернене перетворення, яке переводить  у . Якщо визначник  ≠ 0, то існує обернена матриця , тоді

X = , або   =                        (4.14)

ВПРАВА. Дано два лінійних перетворення. Засобами матричного числення знайти перетворення, які виражають  через

= (, ) якщо:

а)        

б)               

в)         

Матриця переходу від одного базису до іншого. Випадок наочних просторів

Нехай у n-вимірному просторі задано два базиси:

, , …,     і  , , …,  

Виразимо вектори , , …,   через вектори , , …,   які утворюють перший базис. Маємо

=  +  +

де i = 1, 2, …, n.

Координати векторів   у базисі , , …,     можна записати у вигляді матриці

L =                                  (4.15)

Ця матриця називається матрицею переходу від одного базису до іншого. Введемо величини

              Рис. 1.36

П =  і П’ =

                     тоді

П’ = LП (4.16)

Матриця переходу (перетворення) L має визначник, відмінний від нуля, ОСКІЛЬКИ у протилежному разі вектори , , …,   будуть лінійно залежними. Помноживши рівність (4.16) на  зліва, дістанемо

П = П’                (4.17)

Запишемо матрицю L для тривимірного простору. Виберемо за перший базис , , , а за другий базис , ,   (рис. 1.36). Тоді

 +   +  

                                        +   +                                    (4.18)

 +   +  

Якщо перший рядок помножимо послідовно на , , , то дістанемо

=  =  cos(x ^ )

=  =  cos(y ^ )

=  =  cos(z ^ )

Після аналогічних дій над другим і третім рядками рівностей (4.18) знаходимо

=  =  cos(x ^ )

=  =  cos(y ^ )

=  =  cos(z ^ )

та

=  =  cos(x ^ )

=  =  cos(y ^ )

                                            =  =  cos(z ^ )

При цьому матриця переходу

L =                       (4.19)

а матриця оберненого переходу

=                 (4.20)

Тоді

                                          П’ = LП   і   П = П’                              (4.21)

Зазначимо, що

+  +  = 1

                                             +  +  = 1                                    (4.22)

+  +  = 1

+  +  = 0

           +  +  = 0                    (4.23)

+  +  = 0

Порівнюючи (4.19) і (4.20), переконуємось, що  = . Квадратна матриця А, для якої  = , називається ортогональною. Матриці  i  ортогональні. Для ортогональних матриць

det (A) = (det A)(det) =  = 1

Зауваження. Величина П' визначається трьома векторами , ,
або L-матрицею тобто дев'ятьма числами. Величина П' відрізняється від звичайного вільного вектора хоча б тим, що останній визначається лише трійкою чисел. Величина П' називається афінним ортогональним тензором другого рангу або афінором.

Повернемось тепер до матриці переходу L. Елементи цієї матриці мають задовольняти умови (4.22) і (4.23), тобто із дев'яти величин, які складають елементи матриці L, тільки три будь-які можна вибирати довільно. Решта шість визначаються з умов (4.22) і (4.23). Три довільно вибрані елементи матриці L називаються незалежними, а решта — залежними.

Якщо за базис вважати три будь-яких некомпланарних вектори , ,   то, позначаючи проекції цих векторів на координатні осі через

 = (; ),  = (; ),  = (; ), i враховуючи рівності (4.18), маємо

                                           +   +  

                                               +   +                      (4.24)

                                          +   +  

Тепер матриця переходу

А =

має елементи, для яких не виконуються умови (4.22) і (4.23).

Перетворення координат. Паралельне перенесення і поворот (у наочних просторах) системи координат

Задача перетворення координат полягає ось у чому. Нехай дано дві системи координат: Охуz і , а також координати точки М або вектора в одній системі через їхні координати в іншій системі (рис. 1.36).

Розглянемо декілька випадків.

Якщо напрями осей обох систем координат збігаються, то говорять про паралельне перенесення системи координат (рис. 1.37).

Початок нової системи координат  перенесено у точку , радіус-вектор якої у старій системі координат Охуz

=

Якщо початки нової системи координат  і старої О збігаються, тобто   = O, а осі нової системи повернуто відносно старої, то говорять про поворот системи координат (рис. 1.38).

Коли напрям осей змінюється і здійснюється перенесення початку координат  = O, то йдеться про загальний випадок або спільний поворот і перенесення системи координат (рис. 1.36).

І. Паралельне перенесення системи координат. Нехай положення точки М у системі Охуz визначається її радіусом-вектором  = (х, у, z), а у системі  — радіусом-вектором = (). Положення нового початку координат (точки 

визначається радіусом-вектором  = ().

Тоді з векторного трикутника ОM (рис. 1.37) маємо

= +         (4.25)

тобто радіус-вектор точки у старій системі координат дорівнює сумі радіуса-вектора цієї точки у новій системі координат і радіуса-вектора початку нової системи координат.

Вираз (4.25) у координатній формі можна записати у вигляді

x =  + ;     y =  + ;    z =  + ;      (4.26)

У формулах (4.25) і (4.26) вважаються відомими

= () i   = (),

тобто відомі координати точки у новій системі координат, а відшукуються координати точки у старій системі.

Природнішою є обернена задача: коли відомі   і , а треба знайти . Тоді із рівності (4.25) знаходимо

=  - 

і відповідно

 = x - ;      = y - ;     = z - ;      (4.27)

При паралельному перенесенні  = , = , = , тоді

= 1,  = 0,  = 0

= 0,  = 1,  = 0

= 0,  = 0,  = 1

L-матриця набирає вигляду


L = E =

тобто є одиничною

II. Поворот системи координат. Нехай положення точки М у обох системах координат визначається одним і тим самим вектором  =  (рис. 1.38), який через базис системи можна записати

                              = x+ y+ z,       =   +   +                      (4.28)

                             x+ y+ z =   +   +                                         (4.29)

Замінюючи тут , ,  за формулами (4.18) і групуючи, дістанемо

                 x+ y+ z = +   +  ) + +   +  ) +

               + +   +  ),

або

                                           x = +   +  ,

                                     y =  +   +  ,                               (4.30)

                                     z =  +   +  .

Формули (4.30) виражають координати точки у старій системі через координати тієї самої точки у новій системі координат.

Щоб записати формули (4.30) у матричній формі, введемо позначення

X = ,    = ,     =                                   (4.31)

Тоді

=                                (4.32)

або

Х =                                                     (4.33)

Матриця  є транспонованою відносно L-матриці. Виразимо координати  через координати х, у, z точки М. Для цього помножимо (4.33) зліва на L-матрицю, обернену до матриці :

LХ = L                                                    (4.34)

Оскільки

L = Е                                (4.35)

то рівність (4.34) запишемо у вигляді

LХ = L                                                    (4.36)

Записавши (4.36) у вигляді (4.32), дістанемо формули, які виражають координати точки у новій системі координат через її координати у старій системі при повороті системи координат:

       = +   +  ,

=  +   +  ,                              (4.37)

=  +   +  .

     Рис. 1.39

Внаслідок незалежності повороту і паралельного перенесення системи координат і ґрунтуючись на (4.26) і (4.30) маємо:

x = +   +   + ,

y =  +   +   + ,                               (4.38)

z =  +   +   + .

а також

       = +   +   - ,

=  +   +   - ,                              (4.37)

=  +   +   - .

Запишемо ці формули у матричній формі

+                       (4.40)

=         (4.41)

Х =   + ,             = LX -               (4.42)

IV. Поворот системи координат, розміщеної у площині

(рис. 1.39). Розглянемо окремий випадок — поворот системи координат Оху. У цьому разі L-матриця (4.19) набирає вигляду

L =       (4.43)

при цьому

+  = 1,    +  = 1,     +  = 0                     (4.44)

Як бачимо, з чотирьох елементів матриці (4.43) лише один елемент є довільним. Вважатимемо таким елементом косинус кута між

(4.45)

та  і позначимо цей кут через α. Тоді

= cos ( ^ ) = cos α

=  cos ( ^ ) = cos () = sin α            (4.45)

=  cos ( ^ ) = cos () =  - sin α

= cos ( ^ ) = cos α

Отже, формули (4.30), (4.37) і (4.38) для системи координат, розміщеної у площині, наберуть вигляду

  ( 4.46 )

   ( 4.47)

Якщо виконати паралельне перенесення системи координат на вектор  = = () і одночасно поворот на кут α, то формули перетворення координат точки М набирають вигляду..

  ( 4.48 )

   ( 4.49)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47401. Интернет-трейдинг в России и за рубежом: состояние и перспективы развития 335 KB
  Интернеттрейдинг в России и за рубежом: состояние и перспективы развития. Развитие Интернеттрейдинга в России. Функционирование систем Интернеттрейдинга: российский и зарубежный опыт. Интернеттрейдинг в России и за рубежом: состояние и перспективы развития.
47402. Банковские операции: состояние и перспективы развития 318.5 KB
  Роль коммерческого банка в развитии экономики. в Генуе “Банка ди Сан Джорджоâ€. Через коммерческие банки осуществляются безналичные расчеты через корреспондентские счета в центральных банках. До 80 капитала акционерных коммерческих банков которых насчитывалось около 50 было сосредоточено в 18 банках.
47403. Оценка конкурентоспособности предприятий торговли и основные направления её повышения 441 KB
  Конкурентоспособность предприятия торговли. Сущность конкурентоспособности предприятия торговли и факторы ее определяющие. Методы оценки конкурентоспособности торгового предприятия. Управление конкурентоспособностью предприятия.
47404. Проектирование заготовочно-сборочного цеха 365 KB
  После вырубания стельку надсекают в носочнопучковой части для увеличения гибкости на ширину 2560 мм. Обычно удаляемые газы выводят по высоким трубам рассеивания и большой скоростью. Среднемесячная заработная плата одного работающего руб. Среднемесячная заработная плата одного рабочегосдельщика руб.
47405. Анализ работы технологии Тандем на Покамасовском месторождении НГДУ Лангепаснефть 1.27 MB
  Подсчет запасов нефти и растворенного газа по состоянию на 1. Начальные балансовые извлекаемые запасы нефти составляли по категории С1 – 163356 75920 тыс. Повышенный газовый фактор низкая продуктивность пластов существенная не стационарность процессов фильтрации тяжелый вывод скважин на режим после глушения и другие осложнения значительно затрудняют работу серийного насосного погружного оборудования для добычи нефти.
47406. Использование трудовых ресурсов и фонда оплаты труда на примере МУП «ПУ водопроводно-канализационного хозяйства» 149.67 KB
  Актуальность темы Анализ трудовых ресурсов и фонда оплаты труда так как считаю что она очень актуальна и к тому же трудовые ресурсы являются неотъемлемой частью каждого российского предприятия. И для того чтобы выявить и более эффективно использовать трудовые ресурсы на каждом предприятии необходимо проводить экономический анализ. Целью выпускнойквалификационной работы является проведение анализа использования трудовых ресурсов и фонда оплаты труда на примере МУП ПУ водопроводноканализационного хозяйства. Исходя из...
47408. Исследование формирования лидерских качеств у старших дошкольников 155.77 KB
  Теоретические основы проблем формирования лидерских качеств у старших дошкольников предпосылок лидерских качеств у старших дошкольников Роль воспитателя в формировании лидерских качеств старших дошкольников в условиях ФГТ Выводы по первой главе 41 Экспериментальное исследование формирования лидерских качеств у старших дошкольников 2.2 Разработка комплекса мероприятий по формированию лидерских качеств 52 2.
47409. Создание и функционирование лизинговой компании 467 KB
  Добролюбова Переводческий факультет Кафедра Экономический анализ финансы и аудит Дипломная работа Создание и функционирование лизинговой компании Исполнитель Ф. Об арендной и лизинговой деятельности Создание и функционирование международной лизинговой компании Лицензирование международной лизинговой деятельности