17998

НАДЕЖНОСТЬ И ДИАГНОСТИКА

Конспект

Производство и промышленные технологии

Конспект лекций по дисциплине НАДЕЖНОСТЬ И ДИАГНОСТИКА Лекция № 1. Основные понятия К любому техническому объекту в течение всего срока службы предъявляются определенные технические требования зафиксированные в соответствующих документах. Желательно...

Русский

2013-07-06

1.25 MB

15 чел.

Конспект лекций по дисциплине

  «НАДЕЖНОСТЬ И ДИАГНОСТИКА»

Лекция № 1. Основные понятия

К любому техническому объекту в течение всего срока службы предъявляются определенные технические требования, зафиксированные в соответствующих документах. Желательно, чтобы объект всегда соответствовал этим требованиям. Однако в нем могут возникнуть неисправности, которые имеют случайный характер. Задача состоит в том, чтобы обнаружить и устранить неисправность (которая может появиться на этапах эксплуатации или хранения). Решение этой задачи невозможно без эпизодического или непрерывного диагноза состояния объекта. Состояние объекта определяется его надежностью.

Надёжность – это свойство изделий выполнять свои функции, сохраняя эксплуатационные качества в заданных пределах за требуемый промежуток времени.

Диагностика – отрасль знаний, включающая в себя теорию и методы организации процессов диагноза, а также принципы построения средств диагноза. Когда объектом диагноза является объекты технической природы, говорят о технической диагностике.

Техническая диагностика решает три типа задач по определению состояния технических объектов:

  1.  Задачи по определению состояния объекта в настоящий момент времени. Это диагностика в прямом смысле этого слова.
  2.  Задачи по предсказанию состояния, в котором окажется объект в будущем. Это задачи прогнозирования. Техническое прогнозирование необходимо для определения периодичности профилактики и ремонта технических объектов.
  3.  Задачи определения состояния, в котором находился объект в некоторый момент времени в прошлом. Это тип задач называется технической генетикой. С помощью технической генетики определяют, например, причины различных аварий.

 Отказом называется событие, заключающееся в нарушении работоспособности объекта.

Под невосстанавливаемым объектом понимается такой объект, работа которого после отказа считается полностью невозможной или нецелесообразной. Типичными примерами объектов, которые вообще не могут быть отремонтированы, служат электровакуумные и полупроводниковые приборы, аппаратура различных устройств однократного действия (метеорологические ракеты или управляемые снаряды военного назначения).

Под восстанавливаемым объектом понимается такой объект, работа которого после отказа может быть возобновлена в результате проведения ремонта.

Лекция № 2. Математическое определение основных показателей надежности невосстанавливаемых объектов

Каждый показатель представляют в двух формах: вероятностной и статистической. При рассмотрении статистических показателей надежности невосстанавливаемых объектов будем рассматривать такую схему испытаний или эксплуатации этих объектов, когда несколько образцов таких объектов работают до полного отказа. В этом случае статистические показатели в пределе с ростом числа испытываемых объектов будут сходиться к аналогичным вероятностным показателям, которые являются в определенном смысле математической абстракцией. Однако многие показатели надежности понятнее определяются в вероятностных терминах, а не в статических, что делает их очень полезными в инженерной практике. Кроме того, все априорные расчеты надежности на стадии проектирования радиоэлектронной и другой аппаратуры приходится делать в виде вероятностных расчетов.

Основные показатели надежности невосстанавливаемых объектов. 1. Вероятность безотказной работы объекта в интервале времени от 0 до .

а) Вероятностное определение

,   (2.1)

где  – случайное время работы (наработка на отказ);  – функция распределения случайной величины .

– вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени работы , начав работать в момент времени , или вероятность того, что время работы объекта до отказа окажется больше заданного времени работы .

б) Статистическое  определение

,    (2.2)

где  – число исправных объектов в момент времени ;  – число исправных объектов в начальный момент времени ;  – число отказавших объектов за время .

 – отношение числа объектов, безотказно проработавших до момента времени , к числу объектов, исправных в начальный момент времени , или частота события, состоящего в том, что реализация времени работы объекта до отказа окажется больше заданного времени работы .

2. Вероятность безотказной работы объекта в интервале времени от t  до .

а) Вероятностное определение

.   (2.3)

– вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени работы , начав работать в момент времени , или условная вероятность того, что случайное время работы объекта до отказа окажется больше величины  при условии, что объект уже проработал безотказно до момента времени .

б) Статистическое  определение

,    (2.4)

где  – число объектов, исправных к моменту времени .  

 – отношение числа объектов, безотказно проработавших до момента времени , к числу объектов, исправных к моменту времени , или частота события, состоящего в том, что реализация времени работы объекта до отказа окажется больше  величины  при условии, что эта реализация больше величины  .

3. Вероятность отказа объекта в интервале времени от 0 до .

а) Вероятностное определение

.   (2.5)

– вероятность того, что объект откажет в течение заданного времени работы , начав работать в момент времени , или вероятность того, что случайное время работы объекта до отказа окажется меньше заданного времени работы . Очевидно, что .

б) Статистическое  определение

,    (2.6)

где  – число исправных объектов в начальный момент времени ;  – число отказавших объектов к моменту времени .

 – отношение числа объектов, отказавших к моменту времени , к числу объектов, исправных в начальный момент времени , или частота события, состоящего в том, что реализация времени работы объекта до отказа окажется меньше заданного времени . Очевидно, что .

4. Вероятность отказа объекта в интервале времени от t  до .

а) Вероятностное определение

.  (2.7)

– вероятность того, что объект откажет в течение заданного времени работы , начинающегося с момента времени , или условная вероятность того, что случайное время работы объекта до отказа окажется меньше величины  при условии, что объект уже проработал безотказно до момента времени .

б) Статистическое  определение

,  (2.8)

где  – число объектов, исправных к моменту времени ;   – число объектов, отказавших к моменту времени ;  – число объектов, отказавших именно в интервале  (при проведении практических расчетов  должно быть достаточно велико).

 – отношение числа объектов, отказавших именно в интервале , к числу объектов, исправных к моменту времени , или частота события, состоящего в том, что реализация времени работы объекта до отказа окажется меньше  величины  при условии, что эта реализация больше величины  .

5. Плотность распределения отказов объекта.

а) Вероятностное определение

,    (2.9)

где  – плотность вероятности того, что время работы объекта до отказа окажется меньше .

б) Статистическое  определение

,  (2.10)

где  – число объектов, отказавших к моменту времени ;  – число исправных объектов в начальный момент времени ;  – число  объектов, отказавших именно на интервале времени  (на практике, с одной стороны,  должно быть достаточно мало, а  достаточно велико).

 – частота отказов в интервале времени , или отношение числа отказов в интервале времени  к произведению числа исправных объектов в начальный момент времени  на длительность интервала времени .

6. Интенсивность отказов объекта в момент времени .

а) Вероятностное определение

.    (2.11)

где  – плотность вероятности отказа объекта к моменту времени  при условии, что до этого момента отказ изделия не произошел.

б) Статистическое  определение

,  (2.12)

где  – число объектов, отказавших к моменту времени ;  – число объектов, исправных к моменту времени ;  – число  объектов, отказавших именно на интервале времени  (на практике, с одной стороны,  должно быть достаточно мало, а  достаточно велико).

 – отношение числа отказов в интервале времени  к произведению числа исправных объектов в момент времени  на длительность интервала .

7. Среднее время работы объекта до отказа.

а) Вероятностное определение

.   (2.13)

где  – математическое ожидание (среднее значение) времени работы объекта до отказа.

б) Статистическое  определение

,  (2.14)

где  – начальное число объектов;  – реализация времени работы до отказа для -го объекта (в порядке поступления отказов). Принято, что  , причем .

 – среднее арифметическое реализаций времени работы объекта до отказа.

Знание одной любой из функций , ,  и  дает возможность определить три остальные (см. табл. 2.1).

         Таблица 2.1.

Известная функция

Формулы для определения трех остальных функций

P(t)

Q(t)

f(t)

(t)

P(t)

---

1-P(t)

Q(t)

1-Q(t)

---

f(t)

---

(t)

---

Лекция № 3. Математическое определение основных показателей надежности восстанавливаемых объектов

 Процесс эксплуатации объекта с восстановлением можно представить как последовательность интервалов работоспособности , чередующихся с интервалами простоя :. Математической моделью процесса эксплуатации объекта может являться случайный процесс.

Рис. 3.1. Случайный процесс, соответствующий последовательности чередующихся интервалов работоспособности и ремонта устройства

На рис. 3.1 показан график такого процесса. Работоспособное состояние объекта обозначено буквой , а неработоспособное (состояние ремонта) – буквой . Основная особенность этого случайного процесса заключается в том, что в общем случае распределения , , , … соответствующих случайных величин отличны друг от друга.

Однако ниже будут рассматриваться в основном такие объекты, у которых начальные состояния перед вторым, третьим и т.д. участками безотказной работы одинаковы, и все случайные величины имеют одинаковое распределение. Такие случаи представляют наибольший практический интерес.

Кроме того, для рассматриваемых объектов также будем предполагать, что все длительности восстановления имеют одинаковые распределения. Такой случайный процесс носит название альтернирующего процесса восстановления.

Основные показатели надежности восстанавливаемых объектов.

1. Вероятность безотказной работы объекта в интервале времени от 0 до (Смотри п. 1 лекции № 2).

2. Вероятность безотказной работы объекта в течение  заданного времени работы , начиная с момента окончания ()-го восстановления.

а) Вероятностное определение

.     (3.1)

– вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени работы  при условии, что начало этого интервала совпадает с моментом окончания ()-го восстановления.

б) Статистическое  определение

,   (3.2)

где  – число исправных объектов в момент времени ;  – число объектов, не отказавших ни разу к моменту ,  – число объектов, отказавших хотя бы раз к моменту .

 – отношение числа объектов, у которых время работы от момента окончания ()-го восстановления до момента наступления -го отказа больше заданного времени работы , к общему числу объектов.

3. Нестационарный коэффициент оперативной готовности, или вероятность безотказной работы объекта в интервале времени от  до  .

а) Вероятностное определение

.   (3.3)

– вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени работы , начиная с момента времени , или вероятность того, что интервал времени  целиком попадает внутрь одного из интервалов .

б) Статистическое  определение

,   (3.4)

где  – число объектов, неисправных в момент времени  или отказавших хотя бы один раз в интервале ;  – число объектов, исправных в момент времени  и не отказавших ни разу в интервале ;  – общее число объектов.

 – отношение числа объектов, исправных в момент времени  и проработавших безотказно до момент времени , к общему числу объектов в момент времени .

4. Коэффициент оперативной готовности, или стационарная вероятность безотказной работы объекта в течение заданного времени работы .

а) Вероятностное определение 

.    (3.5)

– вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени работы , начиная с произвольного «достаточно удаленного» момента времени .

б) Статистическое  определение

,     (3.6)

где  – число объектов, исправных в произвольный «достаточно удаленный» момент времени , и проработавших затем безотказно в течение заданного времени ;  – общее число объектов.

 – отношение числа объектов, исправных в произвольный «достаточно удаленный» момент времени , и проработавших затем безотказно в течение заданного времени работы , к общему числу объектов.

Лекция № 4. Простейшие задачи теории надежности

В общем случае надежность Н определяется как вероятность безотказной работы:

,    (4.1)

где  – функция, определяющая предельные возможности системы (прибора, машины, конструкции);  – функция, определяющая текущее состояние системы.

Рассмотрим пример определения надежности системы Н, состоящей из отдельных элементов, надежность которых равна  (рис. 4.1).

   

Рис. 4.1. Последовательное и параллельное соединение элементов

На рисунке показаны две системы: одна с последовательным, а вторая – с параллельным соединением элементов.

Рассмотрим случай последовательного соединения элементов, которые взаимодействуют так, что их отказы  () независимы. Требуется определить надежность всей системы в целом. Эта система сохраняет работоспособность только тогда, когда все ее последовательно соединенные элементы работают безотказно. Как известно, вероятность наступления совместного события, состоящего из n независимых событий, равна произведению вероятностей наступления каждого события. Поэтому вероятность безотказной работы системы в целом равна

.     (4.2)

Например, если n=4, ; ; ; ; то , то есть надежность системы, состоящей из последовательно соединенных элементов, меньше надежности ее элементов.

Рассмотрим систему, состоящую из параллельно соединенных элементов, которые дублируют друг друга. В этом случае отказ системы произойдет только при отказе всех элементов. Вероятность отказа каждого элемента

.      (4.3)

Вероятность отказа всей системы (теорема о произведении вероятностей для независимых событий)

.     (4.4)

Вероятность безотказной работы системы (надежность системы):

.    (4.5)

Например, если , то общая надежность системы . Вероятность безотказной работы системы с параллельно соединенными элементами выше, чем надежность ее элементов. Таким образом, можно существенно повысить надежность системы, если вместо одного малонадежного элемента включить в общую систему блок из несколько параллельно соединенных элементов. Например, в системе последовательно соединенных трех элементов имеется один элемент с малой надежностью  (рис. 4.2).

      

Рис. 4.2. Система с последовательным и параллельным соединением элементов

Если ; ; , то общая надежность системы . Если включить в систему вместо  блок из таких же параллельно соединенных элементов (показанных на рис. 4.2. пунктирными линиями), то надежность этого звена достигнет величины , и общая вероятность безотказной работы . Таким образом, надежность системы увеличилась более чем в два раза!

 Пример 4.1. В качестве примера системы параллельно соединенных звеньев можно привести авиалайнер с четырьмя реактивными двигателями, который может летать при отказе трех двигателей. Примем, что надежность всех двигателей одинакова и равна . При независимой работе двигателей вероятность отказа , поэтому . Если авиалайнер может лететь только при двух работающих двигателях, то надежность .

Элементы устройства могут быть соединены в мостовую схему (рис. 4.3). Рассмотрим несколько способов  определения вероятности безотказной работы системы при мостовой схеме, если известна надежность каждого из элементов.

 

Рис. 4.3. Мостовая схема соединения элементов

Существуют следующие способы определения надежности мостовой схемы:

  1.  Метод перебора состояний;
  2.  Метод разложения относительно особого элемента;
  3.  Метод минимальных путей и сечений;
  4.  Логико-вероятностный метод.

Расчету надежности любой системы независимо от используемого метода предшествует определение 2-х непересекающихся множеств состояний элементов, определяющих работоспособное и неработоспособное состояние системы.

Метод перебора состояний.

Если при независимых отказах вероятность каждого из работоспособных состояний системы определяется произведением вероятностей нахождения элементов в соответствующих состояниях, то при числе работоспособных состояний, равном , вероятность безотказной работы системы будет равна

,

где:  – вероятность безотказной работы элемента,  – вероятность отказа элемента.

         Таблица 4.1

Перечень состояний мостовой схемы

Номер состояния

1

2

3

4

5

Вероятность

состояния

1

+

+

+

+

+

p1p2p3p4p5

=0,59049

2

+

+

+

+

p2p3p4p5q1

3

+

+

+

+

p1p3p4p5q2

4

+

+

+

+

p1p2p4p5q3

=0,32805

5

+

+

+

+

p1p2p3p5q4

6

+

+

+

+

p1p2p3p4q5

7

+

+

+

p2p4p5q1q3

8

+

+

+

p2p3p5q1q4

9

+

+

+

p2p3p4q1q5

10

+

+

+

p1p4p5q2q3

11

+

+

+

p1p3p5q2q4

=0,05832

12

+

+

+

p1p3p4q2q5

13

+

+

+

p1p2p4q3q5

14

+

+

+

p1p2p3q4q5

15

+

+

p2p4q1q3q5

16

+

+

p1p3q2q4q5

=0,00162

Вероятность отказа соответственно равна

      ,

где:  – общее число работоспособных состояний, в каждом j-том из которых число исправных элементов равно , а неисправных .

Расчет с использованием метода перебора состояний удобно представить в виде таблицы, где знаком “+” отмечены работоспособные состояния, а знаком “–” неработоспособные. Примем ,  (за определенное время). Тогда в соответствии с формулой получим

.

Даже для простой структуры этот метод является  достаточно громоздким. Поэтому рассмотрим другие способы определения надежности при мостовой схеме соединения элементов.

Метод разложения относительно особого элемента.

Этот метод основан на использовании формулы полной вероятности. При этом в сложной системе выделяется особый элемент, все возможные состояния которого образуют полную группу:

.

Тогда, если работоспособное состояние системы соответствует событию , то вероятность нахождения в этом состоянии

,

где  – условная вероятность осуществления события  при условии, что особый элемент находится в состоянии . В нашем случае  (особый элемент может находиться в двух состояниях: исправном или неисправном).

Примем в качестве особого элемента элемент 5 мостовой схемы (рис. 4.3) в двух его состояниях: исправен (событие ) или неисправен (событие ). Введем обозначения

.

Тогда в состоянии  имеем следующую схему.

   

Рис. 4.4. Мостовая схема с исправным элементом 5

А в состоянии  – следующую схему.

   

Рис. 4.5. Мостовая схема с поврежденным элементом 5

Вероятность работоспособности системы при условии, что элемент 5 работает, равна:

.

А вероятность работоспособности системы при условии, что элемент 5 неисправен, равна

.

По формуле полной вероятности получим

.

Из этого примера видно, что анализ существенно упрощается по сравнению с предыдущим методом.

Метод минимальных путей и сечений.

В ряде случаев при анализе надежности сложной системы бывает достаточным определить граничные оценки надежности системы сверху и снизу. При оценке вероятности безотказной работы сверху определяют минимальные наборы работоспособных элементов («путей»), обеспечивающих работоспособное состояние системы. При формировании «пути» вначале считают, что все элементы находятся в неработоспособном состоянии, затем последовательным переводом элементов в работоспособное состояние производят подбор вариантов соединения элементов, обеспечивающих работоспособность системы в целом.

Набор минимальных вариантов и будет составлять все возможные «пути». Набор элементов образует минимальный «путь», если исключение любого элемента из набора приводит к отказу «пути». Из этого следует, что в пределах одного «пути» элементы соединяются последовательно по основной схеме, а разные «пути» соединены друг с другом параллельно. Для ранее рассмотренной мостовой схемы имеем:

    

Рис. 4.6. Варианты «путей», обеспечивающих работоспособность мостовой схемы

После такого преобразования определяем вероятность безотказной работы системы по правилам последовательного и параллельного соединения элементов.

Логико-вероятностный метод.

Состоит в представлении состояния каждого элемента системы в виде булевой переменной. При этом рабочее состояние представляется в виде логической 1, а неработоспособное состояние элемента в виде логического нуля (можно – наоборот). Выходной логической функцией является работоспособность системы (1 – система работает, 0 – система не работает).

Лекция № 5. Определение надежности при одноразовом нагружении

Данная лекция посвящена задачам определения надежности при одноразовом нагружении или при малом числе последовательных нагружений, когда накоплением повреждений в конструкции можно пренебречь. Чтобы найти вероятность безотказной работы , надо знать совместную плотность распределения  случайной величины  при известных законах распределений  и .

.    (5.1)

Вначале найдем функцию распределения   случайной величины .

.    (5.2)

На рис. 5.1 показана заштрихованная область, в которой  (это область интегрирования ).

Рис. 5.1. Область интегрирования

Интегрирование по области  можно заменить интегрированием по  при фиксированном , а затем по :

.   (5.3)

Дифференцируя (5.3) по , получим

.  (5.4)

Если случайные величины  и независимы, то имеем

.    (5.5)

Изменив порядок интегрирования, получим

Рассмотрим случай, когда  и имеют нормальные распределения

.    (5.6)

.    (5.7)

Закон распределения случайной величины в соответствии с (5.5) равен:

. (5.8)

Выражение (5.8) можно преобразовать следующим образом

,   (5.9)

где  .

Интегрируя выражение (5.9), получим

.

После преобразований получим формулу

,    (5.10)

где .

Определив , находим надежность (вероятность безотказной работы)

.    (5.11)

Введя новые обозначения: ,  , получим

.

График подынтегральной функции показан на рис. 5.2. Как можно видеть, функция  симметрична относительно вертикальной оси.

Рис. 5.2. График нормального распределения

Поэтому:

.  (5.12)

В уравнении (5.12)  – функция ошибок (error function). В русскоязычной литературе эта функция также называется «интегралом вероятности». Существуют таблицы этой функции. Однако гораздо проще вычислять ее значения на компьютере, например, в среде математического программирования “MathCAD”.

Пример 5.1. Рассмотрим задачу оценки «прочности» стержня, растянутого силой  (рис. 5.3), используя детерминированный и вероятностный критерий.

Рис. 5.3. Растягиваемый стержень

При использовании детерминированного критерия «прочность» оценивается коэффициентом безопасности n:

,     (5.13)

где  – предел текучести материала стержня;  – напряжения в стержне;  – сила, растягивающая стержень,  – площадь поперечного сечения стержня.

Если коэффициент безопасности больше определенной величины (например, единицы), то стержень выдержит нагрузку. В противном случае произойдет разрыв стержня. При наличии случайных разбросов  и  аналогом коэффициента  является коэффициент , равный отношению математических ожиданий  и :

.     (5.14)

Но коэффициент  не учитывает среднеквадратичные разбросы  и . Чтобы учесть все вероятностные характеристики  и  при оценке «прочности», надо использовать вероятностный критерий «прочности» – вероятность безотказной работы.

Считаем, что случайные величины  и  имеют нормальные распределения (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Нормальные распределения двух случайных величин

Для нормально распределенных случайных величин надежность равна

,

где .

Результаты расчетов при различных значениях вероятностных характеристик  и  представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

2,5

0,9999

2

0,9999

1,5

0,9974

1,3

0,9719

1,2

0,8997

1,15

0,8365

1,1

0,7486

 При определении надежности было принято, что среднеквадратические значения разбросов  и  равны 10 % от математических ожиданий. Из табл. 5.1 следует, что для всех значений коэффициента безопасности вероятность отказа () не равна нулю. Как и следовало ожидать, вероятность безотказной работы выше при больших коэффициентах безопасности и меньше при малых. Определим, как изменятся вероятности безотказной работы, соответствующие коэффициентам безопасности  и , если взять более качественный материал и уменьшить возможный разброс нагрузки.

Например, рассмотрим случай, когда среднеквадратические разбросы  и  ( зависит от внешней нагрузки) равны 5 %. В этом случае вероятности безотказной работы равны: при  , а при  , что соответственно на 14 и 17 % больше их значений, чем при 10%-ном разбросе среднеквадратических значений случайных величин  и  (см. табл. 5.1). Числовые значения вероятности безотказной работы дают возможность исследовать чувствительность конструкции к возможным разбросам  и случайной силы .

Необходимо отметить, что абсолютные значения вероятностей безотказной работы мало полезны, но возможность установить, как влияет на работоспособность конструкции изменение вероятностных характеристик допустимых напряжений, является объективной оценкой качества конструкции. Сравнивая вероятности безотказной работы, например при  видим,  что уменьшение среднеквадратичных значений  и  на 5% привело к повышению надежности почти на 20%.

Пример 5.2. Найдем вероятность безотказной работы диска с лопатками одной из ступеней компрессора турбореактивного двигателя (рис.5.5). При работе двигателя лопатки удлиняются из-за возникающих при вращении диска осевых распределенных центробежных сил и температуры . Угловая скорость вращения диска  и температура  имеют разброс, поэтому для оценки надежности диска с лопатками надо определить вероятность выполнения этого неравенства :

.

Примем, что закон распределения зазора является равномерным (рис.5.6а):

а закон распределения  подчиняется нормальному распределению (рис.5.6б):

.

Рис. 5.5. Диск с лопатками компрессора турбореактивного двигателя (показана только одна лопатка)

Рис. 5.6. Плотности равномерного (а) и нормального (б) распределений

Введя случайную функцию , находим функцию распределения

.

Дифференцируя по , получим

.

Введя новую переменную

,

получим

,

где

;  .

 Функцию ошибок (или интеграл вероятностей)  можно вычислить на компьютере с помощью программы «MathCAD».

Вероятность безотказной работы (надежность) определяем по формуле

,

где  – некоторое конечное значение, которое выбирается на основании требований к точности.

Например, при следующих числовых значениях:

см;     см;     см;     см;     см,

после вычислений получаем: .

 Пример 5.3. Оценим надежность работы прямолинейного стержня, нагруженного сжимающей силой Р (рис. 5.7). Предельное состояние стержня в данном случае связано с потерей устойчивости.

Рис. 5.7. Стержень, нагруженный сжимающей силой

Поэтому для нормальной работы стержня должно выполняться условие:

,

где  – критическая сжимающая сила, E – модуль упругости первого рода,  J – момент инерции сечения,  l – длина стержня.

Так как  и  имеют случайные разбросы, то требуется определить вероятность безотказной работы

    .

Примем следующие законы распределения для  и :

      ,

     ,

где  – дельта-функция. Таким образом,  есть детерминированная величина, равная .

Для определения закона распределения  найдем функцию распределения , зависящую от совместного закона распределения  и . Совместный закон распределения при независимых  и  можно представить в виде:

.

Закон распределения

.

Фиксируя , получаем . Поэтому

.

Дифференцируя  по , получим

.

Поэтому

.

Полагая , получаем вероятность безотказной работы

.

Лекция № 6. Определение надежности при линейной зависимости напряженного состояния от случайных нагрузок

Рассмотрим более общий случай, когда величина, характеризующая нагруженное состояние конструкции, линейно зависит от сосредоточенных и распределенных сил (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Действие сосредоточенных и распределенных сил

Нагрузка описывается зависимостью

,     (6.1)

где  – сосредоточенная сила;  – распределенная сила;  – коэффициенты.

Например, максимальное напряжение в заделке для стержня, показанного на рис. 6.1, линейно зависит от  и :

.     (6.2)

 Вероятность безотказной работы в этом случае равна

.  (6.3)

Нагрузки  и  могут быть как зависимыми, так и независимыми – это определяется конкретными условиями.

Рассмотрим случай, когда  и  независимы и имеют нормальные законы распределения. Предположим, что случайная величина   равна

,    (6.4)

и требуется найти ее закон распределения  при известных (нормальных) законах распределения . Операция определения закона распределения суммы случайных величин , имеющих нормальное распределение, называется композицией нормальных законов. При композиции нормальных законов снова получается нормальный закон. Поэтому закон распределения  имеет вид

,   (6.5)

где ; .

Для рассматриваемой задачи , поэтому можем записать

; .

Считая, что случайные величины  и  независимы и  имеет нормальное распределение, получаем закон распределения   случайной величины :

,

где ; .

Вероятность безотказной работы системы равна

.

Переходя к новому переменному , получим

.

Лекция № 7. Определение вероятности безотказной работы при нелинейной зависимости случайной величины от внешних нагрузок

Рассмотренные в предыдущих лекциях задачи на определение вероятности безотказной работы относились к случаю, когда функция  линейно зависела от нагрузок, а напряженное состояние элементов конструкций было одноосным. Рассмотрим более сложные случаи, когда функция , характеризующая реальное состояние системы, нелинейно зависит от внешних нагрузок (например, когда напряженное состояние элемента конструкции является двухосным). На рис. 7.1а показан прямолинейный стержень прямоугольного сечения, который нагружен силами ,  и крутящим моментом .

  

Рис. 7.1. Действие на балку сил и крутящего момента

Считается, что законы распределения ,  иизвестны. В точках   и  сечения стержня (рис. 7.1, б, в) имеет место двухосное напряженное состояние. Опасным сечением является сечение при .

В точке  имеем

,

где  – коэффициент Сен-Венана (см. табл. 7.1).

         Таблица 7.1

Значения коэффициента Сен-Венана

1

1,5

1,75

2

2,5

3

4

6

8

10

0,208

0,231

0,239

0,246

0,258

0,267

0,282

0,299

0,307

0,313

0,333

1

0,859

0,820

0,795

0,766

0,753

0,745

0,743

0,742

0,742

0,742

В точке

.

Определим вероятность того, что эквивалентное напряжение в точках   и  меньше предела текучести, то есть

.

Вероятность  есть вероятность безотказной работы элемента. Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения равно

.

В точках  и  эквивалентное напряжение соответственно равно

;    (7.1)

   ,   (7.2)

где .

Если , то в точке  касательное напряжение  больше, чем в точке , и в зависимости от параметров стержня () и числовых значений ,  и  максимальное эквивалентное напряжение в сечении может быть как в точке , так и в точке . Поэтому вероятность безотказной работы стержня будет равна наименьшей из вероятностей:

;

.

Основная трудность при определении вероятностей безотказной работы заключается в определении законов распределения  и  при нелинейной зависимости эквивалентных напряжений от внешней нагрузки.

Рассмотрим алгоритм приближенного решения этой задачи. Полагаем

,

где  – математические ожидания случайных величин;  – случайные разбросы, которые подчиняются определенным законам распределения, например, нормальным законам распределения или законам распределения Релея.

Считаем, что  являются малыми по сравнению с математическими ожиданиями случайными величинами. Например, если случайные разбросы подчиняются нормальным законам распределения, то, воспользовавшись правилом «трех сигм», находим их максимальные значения

.

Поэтому, если ,  и , то случайные величины  можно считать малыми. Если случайные величины подчиняются законам распределения Релея, то максимальные значения находятся из условий

.    (7.3)

Аналогично можно определить максимальные значения случайных разбросов и для других законов распределения, что необходимо для обоснования предположения о малости  и для линеаризации нелинейных функций (7.1) и (7.2).

Рассмотрим общий случай, когда функция  зависит от конечного числа случайных величин :

    ,

где  ( – малые величины).

Для приближенного решения надо функцию  разложить в ряд. Ряд Тейлора для функции  в окрестности точки  имеет вид

Ограничившись линейной частью разложения, получим

,    (7.4)

где

.

Определим вероятностные характеристики случайной функции:

  1.  математическое ожидание  равно

 .     (7.5)

  1.  дисперсия случайной величины  (7.4) равна

.  (7.6)

Для независимых случайных величин  имеем

;

.    (7.7)

В результате получаем

.  (7.8)

Для дальнейшего решения необходимо получить закон распределения случайной величины

,     (7.9)

где  – независимые случайные величины, законы распределения которых считаются известными.

Ограничимся случаем, когда законы распределения  являются нормальными. Получим закон распределения , воспользовавшись характеристическими функциями. Характеристическая функция  случайной величины  равна ( – параметр)

.   (7.10)

Характеристическая функция случайной величины , имеющей нормальное распределение, равна

.

Поэтому для характеристической функции  получаем

,

или

    .     (7.11)

Можно показать, что характеристическая функция , соответствующая нормальному закону распределения

,

равна

    .

Функции  и  связаны преобразованием Фурье, поэтому характеристической функции (7.11) соответствует нормальный закон распределения, где

 ; .

Для рассматриваемой задачи, например для точки , после линеаризации эквивалентного напряжения, получаем

,

где

;

;

;

.

При нормально распределенных величин ,  и  закон распределения  является нормальным:

.

Здесь

;

   .

Поэтому закон распределения  случайной величины , равной , при нормальном законе распределения

,

где

    ;

  .

Вероятность безотказной работы

.   (7.12)

Рассмотрим случай, когда  имеют нормальные распределения, а  имеет распределение Релея. Требуется определить надежность (7.8) для случая, когда случайные величины, входящие в функцию

,    (7.13)

имеют разные законы распределения. Например,  имеют нормальные законы распределения, а  имеет распределение Релея (Rayleigh):

 Представим (7.13) в виде

,

где .

Воспользовавшись характеристическими функциями, получаем закон распределения , который является нормальным законом распределения. Затем находим композицию законов распределения  и . Введем случайную величину , равную

.

В соответствии с общим алгоритмом определения закона распределения суммы независимых случайных величин имеем

,   (7.14)

или

  .    (7.15)

Пределы изменения  от  до .

В результате получим

.

Полагая , находим закон распределения :

.   (7.16)

Определив , находим надежность безотказной работы системы при действии независимых случайных возмущений, имеющих разные законы распределения:

.    (7.17)

Если интеграл в правой части (7.17) не табличный, то его можно приближенно определить численно. Для этого предварительно найти значения  в ряде дискретных точек, а затем, воспользовавшись сплайн-функциями, получить непрерывную функцию  на ограниченном интервале изменения  и численно определить .

Литература

  1.  Капур К., Ланберсон Л. Надежность в проектировании систем. – М.: Мир, 1980. – 347 с.
  2.  Светлицкий В.А. Статистическая механика и теория надежности. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 504 с.
  3.  Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. – М.: Советское радио, 1975. – 472 с.


H1

H0

t

)

X

Y

б)

X

Y

X

Y

q

s

0

s – q < z

s – q > z

s – q = z

P

F

   

l

 

а)

б)

z

P

l

a

   a

y

P          q

     EJ

                  l

h

b

l

  B

A    h

  b

                

                      

                          

  

        A

        б

                

                         

                                

               B                          

               в


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23757. Открытие нового знания 49.5 KB
  – Можно ли утверждать что числа a b и c кратны числу 14 a = b = c = Числа a и b кратны числу 14 т. в разложении этих чисел есть множители числа 14 а число с – нет т. в нём не содержится разложения числа 14. – Найдите частное от деления числа a на число 14 числа b на число 14.
23758. Открытие нового знания 38 KB
  – Здравствуйте ребята – Какая основная задача стояла перед нами на прошлых уроках Мы вывели новый способ нахождения НОК используя разложение чисел на простые множители. – Сегодня на уроке мы продолжим работать над нахождением НОК чисел и рассмотрим нахождение НОК разных чисел. – Найдите НОК 15 24: а составляя множества К 15 и К 24; б перебирая кратные 24; в с помощью разложения чисел 15 и 24 на простые множители.
23759. Наименьшее общее кратное 73 KB
  Основная цель: тренировать способность к нахождению НОК на основе разложения чисел на простые множители способность к рефлексии собственной деятельности; повторить и закрепить распределительное свойство умножения правило деления произведения на число действия с многозначными числами формулы объема и площади поверхности куба. – Чему мы научились на предыдущих уроках Мы учились находить НОД и НОК чисел разными способами. – Сегодня вы будете проверять на сколько хорошо вы усвоили метод нахождения НОД и НОК используя разложения чисел на...
23760. Признак делимости на 3 и на 9 48 KB
  Основные цели:– тренировать способность к доказательству общих утверждений на примере признаков делимости на 3 и на 9; повторить и закрепить изученные свойства и признаки делимости решение текстовых задач решение примеров на порядок действий построение формул зависимости между величинами. – Какие признаки делимости мы изучили Признаки делимости на 2 на 5 на 10 на 4 на 8 на 25. – А зачем нам нужны признаки делимости Что бы быстрее определять делится ли число на данное или нет.
23761. Признак делимости на 3 и на 9 57.5 KB
  – А зачем нам нужны признаки делимости Что бы быстрее определять делится ли число на данное или нет. Затруднения могут быть при выполнении задания тех случаях где множитель не делится ни на 3 ни на 9 или делится только на 3. 54 делится на 3 и третье т. 15 делится на 3.
23762. Признак делимости на 9 43 KB
  – А зачем нам нужны признаки делимости – Что бы быстрее определять делится ли число на данное или нет. Будет ли число представленное выражением d 235 делиться на5 – Всё зависит от того какое значение принимает d потому что если каждое слагаемое делится на 5 то и вся сумма разделится на 5 ели одно слагаемое делится на 5 а другое не делится на 5 то вся сумма не разделится на 5. 2 Будет ли число представленное выражением 271k делится на 2 –Всё зависит какое значение принимает k т. по свойству делимости произведения...
23763. Признаки делимости на 10, на 2, на 5 87.5 KB
  1 Выберите из множества A = числа кратные: а 2 б 5 в 10 г и 2 и 5 и 10. Кратные 2: 110; 300; 404; 706 т. П1 Кратные 5: 110; 215; 300 т. На доске: П2 Кратные 10: 110; 300 т.
23764. Признаки делимости на 10, на 5, на 2 42 KB
  – Выясните делится ли: 1 на 10; – Делится на 10 т. 10 делится на 10 а произведение делится на число если один из множителей делится на число. 2 100a 10b на 5; – Делится на 5 т. 100 делится на 5 а значит 100a делится на 5 10 делится на 5 а значит 10b делится на 5 следовательно вся сумма делится на 5 по свойству делимости суммы на число.
23765. Отрицание общих высказываний 39 KB
  – Что вы ещё знаете о высказываниях Высказывания бывают разного вида. – Какие бывают высказывания Высказывания бывают общие высказывания о существовании и высказывания не относящиеся ни к одному ни к другому виду. Индивидуальное задание: – Постройте отрицание следующего высказывания: Сумма простого числа и составного является составным числом. то его можно отнести к высказываниям о существовании.