18048

Основы теории электрических и магнитных цепей. Конспект лекций по общей электротехнике

Конспект

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Конспект лекций по общей электротехнике Основы теории электрических и магнитных цепей Тема 1. Основные понятия и законы теории цепей. Электрические и магнитные цепи. 1. Основные термины теории электрических цепей Электрическая цепь – это модель электромагнитного...

Русский

2013-07-06

1.74 MB

87 чел.

Конспект лекций по общей электротехнике

Основы теории электрических и магнитных цепей

Тема 1. Основные понятия и законы теории цепей. Электрические и магнитные цепи.

1. Основные термины теории электрических цепей

Электрическая цепь – это модель электромагнитного устройства. Она представляется в виде элементов, соединенных проводами.

Предполагается, что изоляция проводов и поверхностей элементов цепи идеальна, т.е. не пропускает ток и не накапливает эл. заряд. Сопротивлением проводов пренебрегают. Электрическое поле в пространстве, окружающем элементы цепи, считается безвихревым (потенциальным).

Многополюсником называется элемент эл. цепи, имеющий несколько выводов для подключения к другим элементам цепи. Многополюсник называется активным, если он содержит источники эл. энергии, иначе он называется пассивным.

Двухполюсником называется многополюсник с двумя выводами.

Вольт-амперной характеристикой двухполюсника (ВАХ) называется зависимость его напряжения и тока.

Двухполюсник называется линейным, если его ВАХ задается линейным уравнением, например: , , , , , . Коэффициенты уравнения линейного двухполюсника могут зависеть от времени. Двухполюсник называется нелинейным, если его ВАХ нельзя задать линейным уравнением.

Взаимная связь напряжений и токов многополюсника задается системой уравнений; для линейного многополюсника - системой линейных уравнений.

Эл. цепь называется линейной, если она состоит из линейных элементов. Все другие эл цепи называются нелинейными.

Ветвью эл. цепи называется неразветвленное (последовательное) соединение двухполюсников. Во всех элементах ветви течет один и тот же ток. В частном случае ветвь может состоять из одного двухполюсника или из перемычки (из отрезка провода).

Узлом эл. цепи называется место соединения ветвей. На схемах узлы обозначаются точками. Несколько ветвей, подключенных к одной и той же паре узлов, называются параллельными. К параллельным ветвям приложено одно и то же напряжение.

Контуром эл. цепи называется замкнутая линия, проходящая по элементам этой цепи.

Рис. 1.1.

Замечание 1: Узел электрической цепи можно понимать как множество концов ветвей, которые соединены между собой непосредственно или перемычками. Это удобно в том случае, если нас не интересуют токи в самих перемычках. Например, область, обведенную на рис. 1.1 пунктиром, можно считать узлом. В любом случае все концы ветвей, соединяющиеся в одном узле, имеют один и тот же электрический потенциал.

Замечание 2: С помощью теории эл. цепей можно рассчитывать различные физические процессы, например, течение жидкостей по трубам и пористым телам, распространение тепла в твердых телах, колебания в механических системах и т.д.

2. Первый закон Кирхгофа

Ток - это направленное движение эл. зарядов. Ток через какую-либо поверхность (например, через поперечное сечение провода) равен скорости переноса заряда через эту поверхность. На каждой ветви схемы эл. цепи указывается стрелка тока. Она имеет смысл направления вычисления тока. Ее еще называют условно-положительным направлением тока.

Ток в проводе будет положительным, если электроны перемещаются противоположно стрелке тока. Ток в проводе будет отрицательным, если электроны перемещаются в направлении стрелки тока. Направление стрелки тока может быть выбрано произвольно. Если его изменить, ток поменяет знак.

Сформулируем 1-й закон Кирхгофа: сумма токов, сходящихся в узле эл. цепи, равна нулю.

При этом токи, стрелка которых направлена к узлу, входят в сумму с дополнительным знаком минус:

Рис. 2.1.

.

Например, для узла на рис. 2.1 имеем:

.

Смысл 1-го закона Кирхгофа состоит в том, что сколько эл. заряда приходит к узлу эл. цепи, столько же и уходит из него.

Замечание 1: Первый закон Кирхгофа допускает обобщение: сумма токов, пересекающих любую замкнутую поверхность, равна нулю. В случае, когда такая поверхность охватывает узел эл. цепи, получаем приведенную выше формулировку закона.

Замечание 2: В первом законе Кирхгофа можно использовать и обратное правило знаков, суммируя выходящие из узла токи с дополнительным знаком "минус".

Замечание 3: Движение свободных эл. зарядов называется током проводимости. Существует еще ток смещения, обусловленный движением связанных зарядов и изменением электрического поля во времени.

Замечание 4: Строго говоря, 1-й закон Кирхгофа – это приближенное равенство. Он не учитывает перенос эл. заряда через изоляцию (токи утечки), а также токи, связанные с процессом накопления эл. заряда в области узла (токи смещения). Однако, по сравнению с токами в проводах, токи утечки и токи смещения обычно очень малы. Случаи, когда их приходится принимать во внимание, выходят за пределы теории эл. цепей.

Замечание 5: Гидравлическая аналогия позволяет уподобить поток электронов в проводах потоку несжимаемой жидкости, а провода и прочие элементы цепи – трубкам и сосудам, по которым эта жидкость течет. Ток утечки подобен просачиванию жидкости через мелкие трещины и поры трубок и сосудов; ток смещения – движению жидкости перпендикулярно стенкам трубок и сосудов, когда такое движение обусловлено их небольшим растяжением и сжатием. Если же трубки и сосуды без пор и трещин, и к тому же нерастяжимы, то сумма потоков жидкости в трубках, сходящихся в узле, равна нулю. Стрелка тока соответствует направлению вычисления потока жидкости.

3. Второй закон Кирхгофа.

Напряжение между двумя точками равно разности электрических потенциалов этих точек. Порядок вычитания потенциалов определяет стрелка напряжения (рис.3.1). Ее направление выбирается произвольно или из соображений удобства.

Если записываются уравнения, в которые входят какие-либо напряжения, то на схеме эл цепи должны быть указаны стрелки этих напряжений.

Рис. 3.1.

Рис. 3.2.

Рис. 3.3.

Рассмотрим контур abcdea в эл. цепи, изображенной на рис. 3.2. Очевидно, что

Такое суммирование потенциалов и напряжений возможно для любого контура любой эл. цепи. Поэтому справедлив второй закон Кирхгофа:

Сумма напряжений в контуре эл. цепи равна нулю:

Напряжение входит в сумму с дополнительным знаком "минус", если его стрелка ориентирована противоположно направлению обхода контура. Направление обхода контура выбирается произвольно.

Замечание 1: Если замкнутый контур не полностью проходит по ветвям цепи (например, как в случае на рис. 3.3), второй закон Кирхгофа все равно выполняется:

Замечание 2: Стрелки напряжений и стрелки токов пассивных двухполюсников обычно направляют в одну сторону. Поэтому у пассивных элементов на схемах часто указывают только стрелки токов.

Замечание 3: Второй закон Кирхгофа часто формулируется для случая контуров, состоящих только из резисторов и источников напряжения: в контуре эл. цепи сумма произведений токов в резисторах на сопротивления этих резисторов равна сумме электродвижущих сил источников напряжения: . Однако, это лишь частное утверждение, вытекающее из приведенной выше формулировки.

Замечание 4: В общем случае напряжение определяется как работа электрического поля, вычисленная по определенному пути: . В потенциальном поле напряжение не зависит от пути интегрирования и может определяться как разность потенциалов.

Замечание 5: Строго говоря, второй закон Кирхгофа представляет собой приближенное равенство, так как он не учитывает вихревую составляющую электрического поля. Она возникает в переменном магнитном поле вследствие явления электромагнитной индукции. При этом напряжение нельзя считать разностью потенциалов. Однако, по сравнению с потенциальной, вихревая составляющая эл. поля обычно очень мала. Случаи, когда ее нужно учитывать, выходят за пределы теории эл. цепей.

Замечание 6. Напряжение подобно перепаду давления в трубах и сосудах, по которым течет жидкость.

4. Основные элементы линейных электрических цепей.

Резистор – это двухполюсник, напряжение и ток которого связаны уравнением , где Rсопротивление резистора, оно измеряется в омах (Ом). Резистор необратимо преобразует электромагнитную энергию в другие виды, в частности, в тепло. Мощность, потребляемая резистором, может быть вычислена по формулам:

.

Иногда вместо сопротивления резистора в расчетах удобно рассматривать его проводимость – величину, обратную сопротивлению: . Единица измерения проводимости - сименс (См), или 1/Ом; См = 1/Ом.

Катушка индуктивности – это двухполюсник, мгновенные значения напряжения и тока которого связаны уравнением , где Lиндуктивность катушки. Единица измерения индуктивности - генри (Гн), Гн = Омс.

Катушка индуктивности запасает энергию электромагнитного поля в виде энергии магнитного поля и отдает ее обратно в цепь.

Ток в катушке невозможно изменить скачком. Быстрое изменение тока приводит к появлению импульсов высокого напряжения, искр и электрической дуги, которые могут быть опасны. Это нужно учитывать при переключениях в цепях, содержащих большие индуктивности.

Как правило, катушка индуктивности состоит из медного провода, намотанного на каркас, внутри которого для усиления магнитного поля и увеличения индуктивности обычно помещается стальной или ферритовый сердечник.

Конденсатор – это двухполюсник, мгновенные значения напряжения и тока которого связаны уравнением , где Семкость конденсатора. Единица измерения емкости - фарада (Ф), Ф = с/Ом. Конденсатор запасает энергию электромагнитного поля в виде энергии электрического поля и отдает ее обратно в цепь.

Конденсатор не проводит постоянный ток. Напряжение на конденсаторе невозможно изменить скачком. После отключения источников питания на конденсаторах долгое время может сохраняться опасное напряжение.

Конденсатор чаще всего представляет собой две тонкие металлические полоски, разделенные тонким слоем диэлектрика.

Идеальный источник напряжения – это двухполюсник, напряжение которого не зависит от других элементов цепи: , где е - электродвижущая сила (э.д.с.) источника.

Э.д.с. - это работа сил источника по перемещению эл. заряда от одного полюса источника к другому, деленная на величину этого заряда. Э.д.с. измеряется в вольтах. Направление вычисления э.д.с. указывает стрелка внутри кружка. Стрелку напряжения удобно направлять противоположно стрелке э.д.с.

У источников постоянного напряжения стрелка э.д.с. направлена от "минуса" к "плюсу".

Напряжение на зажимах идеального источника равно его э.д.с., т.к. работа, которую совершает заряд, перемещаясь по цепи под действием электрического поля, равна работе, которую затрачивает на перемещение этого же заряда в противоположном направлении источник напряжения.

Источники электрической энергии обычно работают в режимах, близких к идеальному источнику напряжения.

Рис. 4.1.

Рис. 4.2.

Реальный источник напряжения часто представляют в виде соединения идеального источника напряжения и внутреннего сопротивления R 0 (рис. 4.1). Напряжение и ток реального источника напряжения связаны уравнением . ВАХ реального источника напряжения показана на рис. 4.2.

Идеальный источник тока – это двухполюсник, ток которого не зависит от других элементов цепи: .

Рис. 4.3.

Рис. 4.4.

Реальный источник тока часто представляют в виде параллельного соединения идеального источника тока и проводимости G0 (Рис. 4.3). Напряжение и ток реального источника напряжения связаны уравнением . ВАХ реального источника напряжения показана на рис. 4.4.

Гидравлическая аналогия уподобляет резистор пористому телу, через которое просачивается жидкость. Конденсатор подобен широкому отрезку трубы, разделенному поперечной резиновой перегородкой. Катушка индуктивности подобна турбине, вращающейся без трения на холостом ходу. Источник напряжения подобен центробежному насосу, создающему заданное давление независимо от потока. Источник тока подобен поршневому насосу, создающему заданный поток независимо от давления.

5. Эквивалентные преобразования фрагментов электрических цепей.

Фрагменты эл. цепи называются эквивалентными, если при замене одного из них другим состояние остальной части цепи не изменяется. Замена фрагментов цепи эквивалентными применяется в основном для упрощения расчетов и схем эл. цепей.

Рассмотрим часто встречающиеся эквивалентные фрагменты эл цепей. Доказательство эквивалентности основано на законах Кирхгофа и уравнениях элементов эл. цепей.

Фрагмент эл. цепи

Эквивалентный фрагмент эл. цепи

Формулы и примечания

  1.  

 

Последовательное соединение резисторов

  1.  

Параллельное соединение резисторов

Примечание:

  1.  

Соединение резисторов звездой.

Соединение резисторов треугольником

Преобразование звезды в треугольник

  1.  

Соединение резисторов треугольником

Соединение резисторов звездой

Преобразование треугольника в звезду

  1.  

Последовательное соединение катушек индуктивности

  1.  

Параллельное соединение катушек индуктивности

  1.  

Последовательное соединение конденсаторов

  1.  

Параллельное соединение конденсаторов

  1.  

Последовательное соединение источников напряжения

Источник входит в сумму с дополнительным знаком "–", если его стрелка направлена противоположно стрелке эквивалентного источника.

  1.  

Параллельное соединение источников тока

Правило знаков см. выше.

  1.  

Эквивалентность реального источника напряжения и реального источника тока

  1.  

Фрагмент цепи с перемычкой

Стягивание перемычки в узел. В узел могут стягиваться перемычки между любыми точками схемы электрической цепи.

6. Мощность двухполюсника

Рис. 6.1.

Рассмотрим двухполюсник в произвольном режиме. Расставим стрелки тока и напряжения. Если они направлены в одну сторону, как на рис. 6.1, то выражение

имеет смысл мгновенной электромагнитной мощности, потребляемой двухполюсником. Если стрелки направлены встречно, то это же выражение имеет смысл мгновенной электромагнитной мощности, генерируемой двухполюсником. (Это следует из определения напряжения как работы по перемещению заряда вдоль определенного пути, деленной на величину этого заряда, а также из определения тока как заряда, протекающего в единицу времени через заданное сечение в указанном направлении. Произведение напряжения и тока дает работу в единицу времени, то есть мощность.)

Средней, или активной, мощностью двухполюсника в периодическом режиме называется величина

,

где T – период изменения p(t). Как и мгновенная мощность, средняя мощность может быть потребляемой или генерируемой в зависимости от направления стрелок напряжения и тока. Термин “активная мощность”, как правило, применяется в случае синусоидальных режимов.

Согласно закону сохранения энергии, для любой электрической цепи выполняется баланс мощностей:

,

То есть, суммарная электромагнитная мощность, генерируемая элементами эл. цепи, равна суммарной электромагнитной мощности, потребляемой элементами эл. цепи (здесь знаком “+” отмечены мощности элементов, генерирующих электромагнитную энергию, а знаком “–” отмечены мощности элементов, потребляющих электромагнитную энергию). С помощью баланса мощностей можно проверить правильность расчета токов и напряжений в эл. цепи.

Из баланса мгновенных мощностей следует баланс для их средних значений:

.

Замечание: Как потребляемая, так и генерируемая мощность может быть отрицательной. Отрицательная потребляемая мощность физически соответствует генерации электроэнергии, отрицательная генерируемая мощность физически соответствует потреблению электроэнергии.

Активная мощность измеряется ваттметром. Этот прибор имеет две обмотки. Токовая обмотка имеет малое сопротивление, она состоит из небольшого числа витков толстого провода и неподвижно закреплена в корпусе прибора.

Обмотка напряжения имеет большое сопротивление и состоит из большого числа витков тонкого провода. Она помещается внутри токовой обмотки и может поворачиваться на оси. К обмотке напряжения прикреплена стрелка ваттметра.

Согласно закону Ампера, вращающий момент, обусловленный токами обмоток, пропорционален произведению токов обмоток на количество их витков. Отклонение стрелки пропорционально этому моменту.

Слабый ток обмотки напряжения пропорционален напряжению этой обмотки, поэтому показания ваттметра определяются напряжением обмотки напряжения и током токовой обмотки. Интегрирование получается за счет механической инерции подвижной части прибора.

Рис. 6.2. Измерение

мощности, потребляемой

резистором и генерируемой

источником.

Токовая обмотка включается последовательно, а обмотка напряжения - параллельно элементу, в котором измеряется мощность. Каждая из обмоток имеет зажим, помеченный звездочкой (рис. 6.2). Эти зажимы помечаются такими же звездочками и на схемах эл. цепей. Это делается для того, чтобы различать потребляемую и генерируемую мощности, а также определять знак мощности. Второй вывод токовой обмотки на схемах обычно направляют вправо, а второй вывод обмотки напряжения - вниз.

7. Полная система расчетных уравнений эл. цепи.

Для вычисления всех токов и напряжений в эл. цепи в общем случае нужно решить систему уравнений. Она называется полной системой расчетных уравнений эл. цепи. Мы будем представлять ее состоящей из трех групп уравнений: уравнений узлов, уравнений контуров и уравнений элементов. Мы рассмотрим только цепи, образованные соединением двухполюсников.

Прежде чем записывать уравнения, необходимо на всех ветвях схемы поставить стрелки тока и на всех элементах схемы поставить стрелки напряжения.

Рис. 7.1.

1) Уравнения узлов – это уравнения, составленные по 1-му закону Кирхгофа для всех узлов цепи, кроме одного (любого). Если в систему включить уравнения для всех узлов, она будет содержать избыточную информацию.

Пример: На схеме рис. 7.1 исключим из рассмотрения узел № 4. Для остальных узлов получим уравнения:

Узел № 1:     

Узел № 2:  

Узел № 3:  

Рис. 7.2.

2) Уравнения контуров – это уравнения, составленные по 2-му закону Кирхгофа для всех независимых контуров эл. цепи. Для цепи, схема которой нарисована без пересечения проводов, независимые контуры могут быть выбраны с помощью штриховки, линии которой не пересекают провода и элементы эл. цепи (рис.7.2).

Согласно штриховке рис. 7.2 на схеме рис. 7.1 выберем контуры, образованные ветвями, соединяющими узлы: 1-2, 2-3, 31 (контур №1); 1-2, 2-4, 4-1 (контур №2); 3-2, 24, 4-3 (контур №3). Запишем уравнения этих контуров:

Контур № 1:

Контур № 2:

Контур № 3:

3) В полную систему расчетных уравнений цепи включаются уравнения всех ее элементов.

Пример:  Уравнения элементов для цепи, изображенной на рис. 7.1:

Всего для схемы рис. 7.1 получаем 13 уравнений с 13 неизвестными. Количество уравнений и неизвестных можно уменьшить подстановками. Уравнения элементов часто сразу подставляют в уравнения контуров, выражая напряжения через токи. Такие уравнения контуров вместе с уравнениями узлов называют системой уравнений Кирхгофа для эл. цепи. Однако, при этом полная система расчетных уравнений цепи все равно остается довольно громоздкой. Чаще всего она дает теоретическую основу для более удобных практических методов.

Уравнения узлов и уравнения контуров зависят только от конфигурации цепи. Эти уравнения всегда линейные алгебраические. Уравнения элементов могут быть линейными, нелинейными, алгебраическими, дифференциальными, интегральными.

8. Метод узловых потенциалов

Рис. 8.1.

Этот метод используется для расчета напряжений и токов эл. цепей. Идея метода состоит в том, что напряжения и токи ветвей эл. цепи выражаются через потенциалы узлов. При этом уравнения контуров выполняются автоматически (см. пример п. 3), а количество неизвестных и уравнений существенно сокращается.

Метод узловых потенциалов удобен еще и тем, что потенциалы узлов можно измерить вольтметром или наблюдать с помощью осциллографа, сравнивая расчеты с экспериментами.

Рассмотрим эл. цепь (рис. 8.1). Поставим задачу найти напряжения и токи всех ветвей цепи.

Вначале устраним неоднозначность узловых потенциалов. Если ко всем ним прибавить одно и то же число, то разности потенциалов, а значит, напряжения и токи цепи, не изменятся. Поэтому можно заранее считать, что мы прибавили к потенциалам такое число, что потенциал выбранного нами узла оказался равным нулю. Такой узел называется базовым и обозначается знаком . После выбора базового узла потенциалы определяются однозначно.

Запишем уравнения первого закона Кирхгофа для всех узлов, кроме одного (любого). Пусть в нашем случае это будут узлы 1, 2:

                                                     (8.1 )

Рис. 8.2.

Выразим токи ветвей через узловые потенциалы. Для ветви, состоящей из e2 и G2 (рис. 8.2), получим:

– по 2му закону Кирхгофа  ,

– по определению напряжения между двумя точками      ,

– по уравнению источника напряжения ,

– согласно уравнению резистора  .

Окончательно получаем  .

Аналогично для остальных ветвей с учетом того, что потенциал базового узла равен нулю, получим:

Подставим выражения для токов в уравнения (8.1), получим:

Сгруппировав слагаемые, преобразуем полученную систему уравнений к виду

Запишем последнюю систему уравнений в матричной форме:

                      (8.2)

Решив эту систему уравнений, получим значения узловых потенциалов. Затем можно будет найти токи ветвей по записанным выше формулам и напряжения ветвей как разности потенциалов узлов.

Систему уравнений (8.2) можно составить непосредственно по схеме эл. цепи с помощью следующих правил:

  1.  На диагонали матрицы в k-й строке k-м столбце записывается сумма проводимостей ветвей, подключенных к k-му узлу.
  2.  В k-й строке m-м столбце записывается взятая со знаком "минус" сумма проводимостей ветвей, соединяющих узел № k и узел № m.
  3.  В k-й строке правой части системы уравнений записывается сумма токов короткого замыкания ветвей, подключенных к узлу № k. При этом ток входит в сумму с дополнительным знаком "минус", если стрелка соответствующего источника направлена от узла № k.

При составлении системы уравнений учитывается, что проводимость ветви, содержащей источник тока, равна нулю.

Рис. 8.3.

Особый случай представляют цепи, в которых есть ветви, состоящие только из источников напряжения. Проводимость таких ветвей бесконечна, поэтому ее нельзя записать в уравнения.

Сначала рассмотрим цепь, в которой есть только одна ветвь, состоящая из идеального источника напряжения (рис. 8.3). В этом случае удобно взять в качестве базового узла один из тех, к которым подключена такая ветвь.

Тогда из уравнения источника напряжения  следует равенство . Используем его вместо уравнения узла №1. Для узлов №2 и №3 запишем уравнения согласно приведенным выше правилам. В итоге получается система уравнений для узловых потенциалов:

                     ( 8.3)

Рис. 8.4.

Рассмотрим пример цепи, содержащей две ветви из идеальных источников напряжения (рис. 8.4). Введем в ветвь с источником е2 фиктивный резистор с проводимостью G5. Мы получим цепь, изображенную на рис. 8.3, узловые потенциалы которой можно рассчитать, решив систему (8.3). Удалим  из системы 8.3 сложением второго и третьего уравнений. Это будет соответствовать записи уравнения первого закона Кирхгофа для поверхности, охватывающей 2-й и 3-й узлы. Добавим в систему уравнение источника напряжения  :

.

Мы получили систему уравнений для расчета узловых потенциалов цепи рис 8.4. С помощью рассмотренных приемов можно получить систему уравнений для цепи с несколькими ветвями, состоящими только из идеальных источников напряжения.

9. Магнитные цепи.

Магнитные системы различных устройств состоят из сердечников (магнитопроводов), на которых размещаются катушки из проводов с током. Благодаря тому, что магнитная проницаемость ферромагнитных сердечников в сотни и тысячи раз больше проницаемости окружающих тел, часто можно считать, что все магнитное поле сосредоточено в магнитопроводах. Это позволяет рассчитывать магнитные устройства, пользуясь понятиями теории магнитных цепей. Эта теория подобна теории эл. цепей.

Магнитные цепи рассчитываются теми же методами, что и электрические. Линейных магнитных цепей практически не бывает – это отличает их от эл. цепей. Учет нелинейности сильно усложняет расчеты. Однако, для приближенных расчетов возможна замена нелинейных магнитных сопротивлений линейными. Это мало сказывается на точности расчетов, если основные магнитные потоки проходят через воздушные зазоры. В расчетах нелинейных магнитных цепей используют последовательные линейные приближения.

Рассмотрим основные понятия теории магнитных цепей.

Магнитный поток.

Поток вектора магнитной индукции  через поверхность S называется магнитным потоком  (рис. 9.1). Единица измерения магнитного потока вебер (Вб). Ориентация поверхности S может быть выбрана произвольно. На схемах магнитных цепей она указывается в виде стрелки магнитного потока (рис. 9.2).

Рис. 9.1

Рис. 9.2

В теории магнитных цепей магнитное поле в пределах отдельных участков обычно считается однородным, при этом , где S – поперечное сечение участка магнитопровода. Индукция магнитного поля В и магнитный поток Ф положительны, если направление вектора  совпадает с направлением стрелки магнитного потока, иначе они отрицательны.

Магнитное напряжение.

Рис. 9.3.

Рис. 9.4.

Работа напряженности магнитного поля по пути l от точки a до точки b  называется магнитным напряжением между точками a и b, вычисленным по пути l (рис. 9.3). Если в некоторой односвязной области отсутствуют токи, то магнитное напряжение между любыми точками такой области не зависит от пути интегрирования (вследствие закона полного тока, подробнее см. курс физики), и магнитное напряжение в этой области можно представить как разность магнитных потенциалов. Магнитное напряжение измеряется в амперах.

На схемах магнитных цепей ориентация пути интегрирования l указывается в виде стрелки магнитного напряжения (рис. 9.4). Магнитное напряжение обычно отсчитывается в том же направлении, что и магнитный поток, поэтому на схемах часто расставляют только стрелки потоков.

В пределах участка магнитной цепи, в котором магнитное поле считается однородным, . При этом напряженность Н и магнитное напряжение UM положительны, если направление вектора  совпадает с направлением стрелки магнитного напряжения, иначе они отрицательны. Магнитное напряжение обозначают также буквой F.

Магнитное сопротивление.

Отношение  называется магнитным сопротивлением участка цепи. Единица измерения магнитного сопротивления . Вычислим магнитное сопротивление участка магнитной цепи, имеющего длину l, поперечное сечение S и магнитную проницаемость (рис. 9.5):

Рис. 9.5.

,  ,  , откуда

.

Магнитодвижущая сила обмотки.

 

Рис. 9.6.

Магнитодвижущей силой (м.д.с.) обмотки с током называется произведение тока обмотки на число витков: iw. М.д.с. имеет направление, которое определяется правилом правого винта в зависимости от направления стрелки тока и направления намотки провода (рис. 9.6). М.д.с. называют также намагничивающей силой.

Второй закон Кирхгофа.

Рис. 9.7.

Рассмотрим контур магнитной цепи, состоящий из четырех участков (рис. 9.7). Для него можно записать уравнение 2го закона Кирхгофа:

.

Это уравнение следует из закона полного тока

,

т.к. ,

                           .

Здесь S – любая поверхность, ограниченная контуром l, по которому вычисляется сумма напряжений. В последнем равенстве мы пренебрегаем плотностью тока смещения , т.к. для низкочастотных устройств она ничтожно мала по сравнению с плотностью тока проводимости . Интеграл от  по S равен полному току iw, пронизывающему l. т.е. намагничивающей силе обмотки.

В общем случае нескольких обмоток и произвольной ориентации стрелок на схеме 2-й закон Кирхгофа для магнитных цепей выглядит так:

,

где знаки выбираются так же, как и в уравнении 2-го закона Кирхгофа для эл. цепей. Словами второй закон Кирхгофа для магнитных цепей можно сформулировать так: сумма магнитных напряжений в любом контуре магнитной цепи равна сумме м.д.с. этого контура.

Первый закон Кирхгофа.

Рис. 9.8.

Для узлов магнитной цепи выполняется 1-й закон Кирхгофа: сумма магнитных потоков, сходящихся в узле магнитной цепи, равна нулю:

.

Знаки в этой сумме выбираются так же, как в первом законе Кирхгофа для эл. цепей. Например, для узла магнитной цепи, изображенного на рис. 9.8, получим:

.

Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей – следствие "несжимаемости" магнитного поля : . То есть, какой суммарный магнитный поток входит в любую замкнутую область, такой же и выходит из нее.

Схемы магнитных цепей.

Магнитные цепи можно изображать не только в виде рисунков, (например, рис. 9.9), но и виде схем (рис. 9.10). В качестве магнитных сопротивлений здесь мы рассматриваем участки магнитопровода  и воздушный зазор .

Рис. 9.9. Магнитная цепь трансформатора с магнитным шунтом

Рис. 9.10. Схема магнитной цепи трансформатора с магнитным шунтом.

10. Основные характеристики переменных токов и напряжений.

Мгновенными значениями напряжений, токов и других физических величин называются соответствующие функции времени. Мгновенные значения обозначают маленькими буквами, например, , ... , или  , ... .

Действующим значением периодического напряжения  называется число

,  здесь и далее T – период колебаний.

Аналогично определяются действующие значения других периодических величин. Действующие значения обозначаются большими буквами.

Физический смысл действующих значений можно определить так.

Если мы подключаем резистор R к источнику переменного напряжения с действующим значением U, то в нем выделяется такая же средняя мощность, как и при подключении этого резистора к источнику постоянного напряжения U.

Если мы пропускаем через резистор R переменный ток с действующим значением I, то в нем выделяется такая же средняя мощность, как и при пропускании через него постоянного тока I.

Средним значением периодического напряжения  называется число

.

Аналогично определяются средние значения других периодических величин. Среднее значение периодической физической величины называют также ее постоянной составляющей.

ВНИМАНИЕ ! Законы Кирхгофа выполняются для мгновенных и средних значений напряжений и токов, но не для действующих!

Действующие значения токов и напряжений показывают измерительные приборы электромагнитной системы. Стрелка таких приборов прикреплена к стальному сердечнику, который втягивается в неподвижную катушку с током. Как правило, эти приборы применяются для измерения синусоидальных напряжений и токов.

На шкале прибора электромагнитная система указывается значком

.

Средние значения токов и напряжений показывают приборы магнитоэлектрической системы. Стрелка таких приборов прикреплена к катушке с током, помещенной в магнитное поле постоянного магнита. Как правило, эти приборы применяются для измерения постоянных или медленно изменяющихся напряжений и токов.

На шкале прибора магнитоэлектрическая система указывается значком

.

Цифровые приборы обычно имеют два основных режима работы, один из которых предназначен для измерения постоянных величин, второй – для измерения действующих значений синусоидальных величин.

Для измерения средних значений переменных напряжений и токов, а также действующих значений несинусоидальных напряжений и токов нужно изучить паспорт прибора и узнать, допускает ли он такие измерения. Нужно учитывать также частотные ограничения измерительных приборов.


Тема 2. Синусоидальные режимы электрических цепей

11. Комплексный метод расчета синусоидальных режимов эл. цепей.

Синусоидальным режимом эл. цепи называется такой режим, при котором все напряжения и токи цепи изменяются по синусоидальному закону с одной и той же частотой.

Синусоидальные напряжения и токи широко применяются в основном по следующим причинам:

  1.  Они легко получаются с помощью различных генераторов.
  2.  Они легко преобразуются трансформаторами.
  3.  С их помощью легко создаются вращающиеся и бегущие магнитные поля, используемые в электродвигателях.
  4.  Сложением синусоидальных колебаний можно получать различные несинусоидальные напряжения и токи.

Рассмотрим синусоидальное напряжение  . Его характеризуют три параметра: амплитуда , круговая частота  и начальная фаза  (рис. 11.1). Амплитудные значения в электротехнике обозначаются большими буквами с индексом m.

Рис. 1.11.

К характеристикам синусоиды  относятся также действующее значение  , циклическая частота  (т.е. количество колебаний в секунду), и период  .

Синусоидальный ток

характеризуется аналогичными параметрами .

Состояние эл. цепей в синусоидальных режимах можно описывать, пользуясь функциями времени. Однако, это громоздко и трудоемко. Поэтому для расчетов синусоидальных режимов применяется комплексный метод. Он позволяет заменить дифференциальные и интегральные уравнения элементов эл. цепи алгебраическими, а также весьма наглядно представить синусоиды в виде векторов на векторных диаграммах.

Основа метода состоит в том, что каждой синусоиде ставится в соответствие комплексное число, называемое комплексом. Такое соответствие взаимно однозначно. Оно определяется правилом:

,

где – действующее значение синусоиды, – начальная фаза синусоиды,  – мнимая единица (в электротехнике она обозначается этой буквой). Информация о частоте в комплекс не входит и должна учитываться отдельно. Комплексы обозначаются большими буквами с точкой: , или подчеркнутой большой буквой: .

Примеры: ,

                 .

Общая схема метода:

  1.  Переход от синусоид к комплексам.
  2.  Решение задачи в комплексах.
  3.  Переход от комплексов к синусоидам (если это нужно).

Рассмотрим произвольные синусоиды  и , их комплексы  и , а также произвольное действительное число А. Операции на множестве синусоид и операции на множестве комплексов обладают следующим соответствием:

  1.  

Эти два свойства называются

линейностью

  1.  

  1.  
  1.  
  1.  

Такое соответствие операций позволяет рассматривать множество синусоид и множество комплексных чисел как по существу один и тот же математический объект. Доказательство несложно и опирается на свойства синусоид и комплексных чисел.

Комплексы изображаются векторами на плоскости согласно обычным правилам, принятым для комплексных чисел. В электротехнике такие рисунки называются векторными диаграммами.

Стрелки на векторной диаграмме - это изображения синусоид, а стрелки на схемах эл. цепи - это направления вычисления напряжений и токов!

Благодаря линейности соответствия синусоид и комплексов законы Кирхгофа, а также все другие свойства и методы расчета линейных эл. цепей при переходе к комплексам сохраняются.

Замечание 1: В качестве модулей комплексов мы приняли действующие значения синусоид: . Такие комплексы называются комплексами действующих значений. Однако, иногда бывает удобно принять в качестве модулей комплексов амплитудные значения синусоид: . Такие комплексы называются комплексными амплитудами.

Замечание 2: Любую синусоиду можно представить также в виде синус- и косинус-составляющих:

,

где , . При этом , .

Так как для комплексных амплитуд , , то представление синусоиды в виде синус- и косинус-составляющих позволяет поставить ей в соответствие комплексную амплитуду в алгебраической форме:

.

Замечание 3: Комплексный метод применяется не только в электротехнике, но везде, где исследуются синусоидальные колебания.

12. Резистор, катушка индуктивности и конденсатор в синусоидальном режиме.

При использовании комплексного метода рассматривают уравнения элементов, связывающие комплексы напряжений и токов.

Синусоидам  и  поставим в соответствие комплексы: . Учтем, что умножению синусоиды на число соответствует умножение комплекса на то же число, а производной от синусоиды соответствует умножение ее комплекса на . Из уравнений элементов для мгновенных значений напряжения и тока получим уравнения элементов в комплексах.

Уравнение резистора для мгновенных значений напряжения и тока: , откуда получаем уравнение резистора в комплексах:

.

Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим:

(связь действующих значений напряжения и тока резистора),

(связь фаз напряжения и тока).

Последнее означает, что фазы напряжения и тока резистора совпадают (рис. 12.1, рис. 12.2).

Рис. 12.1. Мгновенные значения напряжения

и тока резистора.

Рис. 12.2. Векторная диаграмма напряжения и тока резистора.

Уравнение катушки индуктивности для мгновенных значений напряжения и тока: , откуда получаем уравнение катушки индуктивности в комплексах:

.

Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим (учитывая, что модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей):

(связь действующих значений напряжения и тока катушки),

(связь фаз напряжения и тока)

Последнее означает, что фаза напряжения катушки больше фазы ее тока на  (рис. 12.3, рис. 12.4). Величину  обозначают  и называют индуктивным сопротивлением. Оно измеряется в омах.

Рис. 12.3. Мгновенные значения напряжения

и тока катушки индуктивности.

Рис. 12.4. Векторная диаграмма напряжения и тока катушки индуктивности.

Уравнение конденсатора для мгновенных значений напряжения и тока: , откуда получаем уравнение конденсатора в комплексах:

.

Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим:

(связь действующих значений напряжения и тока конденсатора),

(связь фаз напряжения и тока).

Последнее означает, что фаза тока конденсатора больше фазы его напряжения на  (рис. 12.5, рис. 12.6). Величину  обозначают  и называют емкостным сопротивлением. Оно измеряется в омах.

.

Рис. 12.5. Мгновенные значения напряжения

и тока конденсатора.

Рис. 12.6. Векторная диаграмма напряжения и тока конденсатора.

Сводку уравнений этого параграфа можно представить таблицей:

ур-е для

мгновенных

значений

ур-е для

комплексов

ур-е для

действующих

значений

ур-е для

фаз

Резистор

Катушка

Конденсатор

13. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость. 

Комплексное сопротивление

Рис. 13.1.

Рассмотрим пассивный двухполюсник в синусоидальном режиме (Рис. 13.1). Отношение комплекса напряжения к комплексу тока пассивного двухполюсника называется комплексным сопротивлением и обозначается Z:

.

С комплексным сопротивлением связаны следующие величины:

– полное сопротивление,

– активное сопротивление,

– реактивное сопротивление,

аргумент комплексного сопротивления.

Согласно этим определениям, комплексное сопротивление можно представить в виде

.

Из определения комплексного сопротивления следуют равенства:

.

Рис. 13.2.

Комплексное сопротивление изображают в виде “треугольника сопротивлений” (рис. 13.2).

Комплексному сопротивлению не соответствует никакая синусоида. В электротехнике над обозначениями таких величин точки не ставят, а на диаграммах не рисуют стрелки. Реактивное сопротивление, в отличие от активного, может быть отрицательным.

Пример: последовательное соединение резистора и катушки индуктивности (рис. 13.3 - 13.5).

Рис. 13. 3. Схема последовательного соединения R, L.

Рис. 13. 4. Векторная диаграмма напряжений и

тока последовательного

соединения R, L.

Рис. 13. 5. Треугольник сопротивлений последовательного соединения R, L.

При последовательном соединении двухполюсников их напряжения складываются (вследствие 2-го закона Кирхгофа). Поэтому

,

.

Из последней формулы видно, что комплексное сопротивление последовательного соединения резистора и катушки можно получить сложением комплексных сопротивлений резистора R и катушки jL.

Все правила и формулы для эквивалентных преобразований обычных сопротивлений и проводимостей годятся и для комплексных сопротивлений и проводимостей. Это следствие сохранения законов Кирхгофа при переходе к комплексам.

Напряжение двухполюсника  складывается из двух составляющих. Одна из них совпадает по фазе с током и называется активной составляющей напряжения, а вторая сдвинута относительно тока на  и называется реактивной составляющей напряжения. В нашем примере  - активная, а  - реактивная составляющая напряжения.

Комплексная проводимость

Отношение комплекса тока к комплексу напряжения пассивного двухполюсника называется комплексной проводимостью и обозначается :

.

С комплексной проводимостью связаны следующие величины:

– полная проводимость,

– активная проводимость,

– реактивная проводимость,

аргумент комплексного сопротивления.

Согласно этим определениям, комплексную проводимость можно представить в виде

.

Рис. 13.6.

Из определения комплексной проводимости следуют равенства

.

Комплексную проводимость изображают в виде “треугольника проводимостей” (рис. 13.6).

Реактивная проводимость, в отличие от активной, может быть отрицательной.

Отметим также, что   .

Пример: параллельное соединение резистора и конденсатора (рис. 13.7 - 13.10).

При параллельном соединении двухполюсников их токи складываются (вследствие 1-го закона Кирхгофа). Поэтому

,

.

Рис. 13. 7. Схема параллельного соединения G, С.

Рис. 13. 4. Векторная диаграмма напряжения и

токов параллельного

соединения G, С.

Рис. 13. 5. Треугольник проводимостей параллельного соединения G, С.

Из последней формулы видно, что комплексную проводимость параллельного соединения резистора и конденсатора можно получить сложением комплексных проводимостей резистора G и конденсатора  jС.

Ток двухполюсника  складывается из двух составляющих. Одна из них совпадает по фазе с напряжением и называется активной составляющей тока, а вторая сдвинута относительно напряжения на  и называется реактивной составляющей тока. В нашем примере  - активная, а  - реактивная составляющая тока.

14. Мощность двухполюсника в синусоидальном режиме

Рис. 14.1.

Рассмотрим двухполюсник в синусоидальном режиме. Будем иметь в виду потребляемую мощность, поэтому стрелки напряжения и тока направим в одну сторону (рис. 14.1)

Пусть .

Вычислим активную мощность, потребляемую двухполюсником (здесь  – период  u(t) и i(t)):

так как .

Учитывая, что , где U и I – действующие значения напряжения и тока, – сдвиг фаз между напряжением и током, получим:

.

Число  называется коэффициентом мощности. При использовании мощных электромагнитных устройств стараются увеличить  ,сделать его как можно ближе к единице, потому что при  достигается максимальная активная мощность, возможная при заданных значениях напряжения и тока. Эту мощность называют полной мощностью и обозначают буквой S :

.

Полная мощность измеряется в вольт-амперах: ВА.

С другой стороны, при заданном напряжении и заданной активной мощности условие  соответствует минимальному значению тока в линии электропередач, соединяющей источник электроэнергии с нагрузкой. Это обеспечивает минимум потерь энергии в проводах линии.

Очень важную роль в энергетике играют трансформаторы и асинхронные электродвигатели. Они имеют максимальный  при максимальной нагрузке. Поэтому полная загрузка используемого оборудования представляет один из основных способов повышения коэффициента мощности. Второй способ – применение компенсаторов реактивной мощности (конденсаторов и синхронных электрических машин).

Реактивная мощность обозначается буквой Q и определяется формулой

.

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных: ВАр. Она может быть измерена приборами. По значениям активной и реактивной мощности можно судить о значении коэффициента мощности и об эффективности использования оборудования. Для стимулирования повышения  тарифы на электроэнергию могут зависеть от значения реактивной мощности.

Выражения для полной, активной и реактивной мощности можно получить также из комплексов напряжения и тока двухполюсника. При этом вводится понятие комплексной мощности :

,

где – число, комплексно сопряженное к комплексу тока.

Рис. 14.2.

Получим связь:

,

.

Итак,          .

Полученные зависимости изображают на комплексной плоскости в виде “треугольника мощностей” (рис. 14.2).

Условие передачи максимальной мощности от источника к нагрузке 

Рассмотрим источник синусоидального напряжения с внутренним сопротивлением Z0 и подключенную к нему нагрузку Z (рис. 14.3). Получим условие передачи максимальной активной мощности от источника к нагрузке.

(т.к. , ),

,

, откуда .

Рис. 14.3.

поэтому                                .

Для любого значения r максимум Р достигается при . Примем это условие, тогда . Найдем значение r, соответствующее максимуму Р. Продифференцировав Р как функцию от r и приравняв производную к нулю, получим:

, откуда .

Итак, мы получили условие передачи максимальной мощности от источника синусоидального напряжения к нагрузке:

, .

Иначе его можно выразить так: , т.е. комплексное сопротивление нагрузки должно быть числом, сопряженным по отношению к внутреннему комплексному сопротивлению источника.

Это условие часто используется в электронике, где бывает важно передать максимальную мощность из одной части цепи в другую. Источник и нагрузка в этом случае называются согласованными.

Для резистивных цепей в произвольном режиме условие передачи максимальной мощности сводится к простому равенству сопротивления нагрузки внутреннему сопротивлению источника: .

Обозначим через Р0 активную мощность, которую потребляет внутреннее сопротивление источника. Вычислим к.п.д. цепи . Повторяя приведенные выше рассуждения, получим:

,

откуда .

При передаче максимальной мощности к.п.д. получается равным 0,5. В электронике, где чаще всего имеют дело с сигналами очень малой мощности, это вполне допустимо.

В силовых электрических цепях такой к.п.д. неприемлем. Там стараются лишь обеспечить условие  (при этом ). Активное сопротивление источника по мере возможности уменьшают, т.к. это увеличивает к.п.д. цепи.

15. Последовательное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

Рис. 15.1.

Рассмотрим двухполюсник, состоящий из последовательно включенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 15.1). Он подключен к источнику синусоидального напряжения, амплитуда которого постоянна.

Найдем зависимость тока в цепи и напряжений на элементах R, L, C  от частоты.

По второму закону Кирхгофа .

Согласно уравнениям элементов

,  ,  ,

откуда                             ,

.                                                 (15.1)

Мы нашли комплекс тока. Попутно в знаменателе мы получили комплексное сопротивление двухполюсника , активное сопротивление двухполюсника  и реактивное сопротивления двухполюсника .

Рис. 15.2.

Вычислив модули обеих частей уравнения 15.1, получим связь действующих значений напряжения и тока двухполюсника:

.              (15.2)                                      

В знаменателе формулы 15.2 находится полное сопротивление двухполюсника . График зависимости тока от частоты показан на рис. 15.2.

Фазовым резонансом двухполюсника называется такой режим, при котором ток и напряжение двухполюсника совпадают по фазе: . При этом реактивное сопротивление и реактивная проводимость двухполюсника равны нулю.

Резонансом напряжений двухполюсника называется режим, при котором максимально компенсируются напряжения элементов цепи. Полное сопротивление двухполюсника при этом минимально.

Резонансом токов двухполюсника называется режим, при котором максимально компенсируются токи элементов цепи. Полное сопротивление двухполюсника при этом максимально.

Для последовательного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора фазовый резонанс совпадает с резонансом напряжений. Резонансная частота определяется по формуле

,

которая выводится из равенства нулю реактивного сопротивления: .

Зависимость действующих значений напряжений от частоты для последовательного соединения R, L, C показана на рис. 15.3. Выражения для вычисления этих напряжений получаются умножением действующего значения тока (формула 15.2) на полные сопротивления элементов: , ,  (см. п. 12).

Построим векторную диаграмму тока и напряжений (рис. 15.4, здесь показан случай UL > UC). Проще всего это сделать, если начальная фаза тока равна нулю: . Тогда вектор, изображающий комплекс тока, будет направлен под углом  к действительной оси комплексной плоскости. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на резисторе, будет направлен в ту же сторону, что и вектор, изображающий комплекс тока.

Рис. 15.3.

Рис. 15.4.

Рис. 15.5.

Напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на угол , поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на катушке индуктивности, будет направлен под углом  к вектору, изображающему комплекс тока. Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на угол , поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на конденсаторе, будет направлен под углом – к вектору, изображающему комплекс тока. Вектор, изображающий комплекс приложенного напряжения, будет равен сумме векторов, изображающих комплексы напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке. Длины всех векторов пропорциональны действующим значениям соответствующих величин. То есть, для того чтобы нарисовать векторы, нужно задать масштабы, например: в 1 сантиметре 20 вольт, в 1 сантиметре 5 ампер.

Векторная диаграмма для режима резонанса показана на рис. 15.5.

Вычислим отношение действующих значений напряжений на катушке индуктивности и на конденсаторе к действующему значению напряжения источника в режиме резонанса.

Учтем, что при резонансе напряжения на катушке и на конденсаторе компенсируют друг друга (резонанс напряжений), и поэтому напряжение источника равно напряжению на резисторе:  (рис. 15.5). Используем связь действующих значений тока и напряжения для резистора, катушки и конденсатора, а также формулу для резонансной частоты. Получим:

,

откуда                                                       .

Величину  называют волновым сопротивлением колебательного контура и обозначают буквой . Отношение  обозначают буквой Q и называют добротностью колебательного контура. Она определяет усилительные свойства контура на резонансной частоте. У хороших контуров добротность может быть порядка нескольких сотен, то есть в режиме резонанса напряжение на катушке и конденсаторе может быть в сотни раз больше приложенного к двухполюснику.

Резонанс часто применяется в электротехнике и электронике для усиления синусоидальных напряжений и токов, а также для выделения колебаний определенных частот из сложных колебаний. Однако, нежелательный резонанс в информационных электрических цепях приводит к возникновению и усилению помех, а в силовых цепях может привести к появлению опасно больших напряжений и токов.

16. Смешанное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

Рис. 16.1.

Рассмотрим двухполюсник, состоящий из смешанного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 16.1). Он подключен к источнику синусоидального напряжения, амплитуда которого постоянна.

Будем понимать эту цепь как модель энергетической системы, состоящей из источника напряжения е, соединенного линией электропередач с нагрузкой в виде последовательно соединенных резистора R и катушки индуктивности L. Такая модель выбрана потому что в энергетике большую долю нагрузки составляют электродвигатели и трансформаторы, которые необратимо отбирают электрическую энергию из сети (так, как это делает резистор), а также периодически запасают энергию в магнитном поле своих индуктивностей и отдают ее обратно в цепь (так, как это делает катушка индуктивности).

Емкость С подберем так, чтобы ток I  в линии электропередач был минимальным. Это позволит свести к минимуму потери энергии в проводах линии электропередач, соединяющей источник энергии и нагрузку (см. п.14, а также лабораторную работу №3 по общей электротехнике). Такой режим часто называют компенсацией реактивной мощности нагрузки.

Согласно определению полной проводимости двухполюсника (см. п.13),

,

то есть, при заданном напряжении U  минимум тока I  достигается при минимуме полной проводимости y. Найдем эту проводимость, используя эквивалентные преобразования сопротивлений.

Комплексное сопротивление последовательно включенных резистора и катушки будет равно

(См п. 13).

Комплексная проводимость ветви с резистором и катушкой будет равна

.

При параллельном соединении проводимости складываются, поэтому

.

Чтобы найти  у, удобно выделить действительную и мнимую часть Y. Сделаем это, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, комплексно сопряженное знаменателю:

.

Используем принятые в электротехнике обозначения:  – активная проводимость двухполюсника,  – реактивная проводимость двухполюсника (см. п.13).

Согласно определению полной проводимости  (см. п.13).

Так как g не зависит от емкости конденсатора С, то у как функция от С достигает минимума при . Отсюда получаем формулу для емкости конденсатора:

.

Обратим внимание на то, что  – это условие фазового резонанса (см. п.15). Так как при этом сопротивление двухполюсника максимально, то это в данном случае фазовый резонанс совпадает с резонансом токов.

Чтобы построить векторную диаграмму, представим ток двухполюсника в виде активной и реактивной составляющей (см. п. 13). По определению комплексной проводимости

,

где - активная составляющая тока (ее фаза совпадает с фазой напряжения), - реактивная составляющая тока (ее фаза отличается от фазы напряжения на ).

Рис. 16.2.

Пример расчета токов по приведенным выше формулам в случае, когда реактивная составляющая тока нагрузки не полностью скомпенсирована током конденсатора ():

Пусть  В,  Ом,  Гн,  мкФ,  Гц. Примем начальную фазу напряжения источника равной нулю.

Тогда , , , . Векторная диаграмма напряжения и токов изображена на рис. 16.2.

Векторную диаграмму можно построить и другим способом.

Нарисуем на диаграмме комплекс напряжения  (рис. 16.3). Найдем сдвиг фаз между напряжением и током ветви RL (см. пример п. 13):  - это угол между действительной осью и вектором, изображающим комплекс тока ветви RL.

Найдем действующее значение тока ветви RL:  - это длина вектора, изображающего комплекс тока ветви RL (в некотором графическом масштабе).

Нарисуем на диаграмме комплекс тока ветви RL (рис. 16.3).

Ток всего двухполюсника  равен сумме тока ветви RL  и тока конденсатора : . Ток конденсатора сдвинут по фазе относительно напряжения на . Нарисуем комплекс тока конденсатора и сложим его с комплексом тока ветви RL, получим ток  (рис. 16.4).

Рис. 16.3.

Напряжение и ток ветви RL.

Рис. 16.4. Векторная диаграмма напряжения и тока смешанного соединения RLC.

Рис. 16.5. Полная компенсация реактивного тока (резонанс токов).

На рис. 16.4 видно, что наличие в цепи тока конденсатора  приводит к уменьшению тока в линии электропередач  по сравнению с током нагрузки . На рис. 16.5 показан случай, когда ток  подобран так, что он обеспечивает минимум тока .

17. Трехфазный источник напряжения. Общая характеристика трехфазных цепей.

Рис. 17.1.

Трехфазные цепи – это сложные цепи синусоидального тока. Они рассчитываются комплексным методом. Минимально необходимое и вместе с тем достаточное число фаз для работы синхронных машин и асинхронных двигателей равно трем. Поэтому в промышленности используются в основном трехфазные цепи.

Прочие причины широкого применения трехфазных цепей совпадают с причинами широкого применения синусоидальных напряжений и токов. В специальных случаях применяются также цепи с другим числом фаз.

Трехфазный источник напряжения – это три источника синусоидального напряжения одинаковой амплитуды, начальные фазы которых отличаются на (рис. 17.1, рис. 17.2):

Поставим в соответствие мгновенным значениям напряжений их комплексы и нарисуем их на векторной диаграмме (рис. 17.3):

, здесь – действующее значение напряжений.

Рис. 17.2.

Рис. 17.3.

Рис. 17.4.

На векторных диаграммах, изображающих трехфазные напряжения и токи, действительную ось направляют вверх, а мнимую – влево (рис. 17.3).

Трехфазный генератор - это синхронная электрическая машина (рис. 17.4, см. также п. 23). Ее статор имеет три обмотки, сдвинутые в пространстве на угол . Ротором служит электромагнит, в обмотках которого течет постоянный ток от отдельного источника. Когда этот магнит вращается в пространстве между обмотками, на их выводах по закону электромагнитной индукции наводятся синусоидальные напряжения, сдвинутые относительно друг друга по фазе на тот же угол .

Трехфазный генератор, трансформатор и асинхронный электродвигатель были изобретены русским инженером Михаилом Осиповичем Доливо-Добровольским в последнем десятилетии 19 века. Они составляют основу мировой электроэнергетики.

Каждая из трех составляющих трехфазной цепи называется фазой. Токи и напряжения фазы источника или фазы нагрузки называются фазными токами и фазными напряжениями.

Провода линии электропередач, соединяющие фазы источника и нагрузки, называются линейными. Токи в линейных проводах называются линейными токами, напряжения между линейными проводами называются линейными напряжениями.

Напряжения, токи и мощности фаз источника трехфазного напряжения обозначаются буквами с большими индексами, например: . Напряжения, токи и мощности фаз нагрузки обозначаются буквами с маленькими индексами, например: .

У фаз источника и нагрузки различают начала и концы, которые обозначают соответственно буквами A, B, C, и X, Y, Z, причем для источника напряжения используют большие буквы (рис. 17.1), а для фаз нагрузки - маленькие.

18. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки звездой

Рис. 18.1.

Трехфазный источник напряжения и трехфазная нагрузка соединяются звездой или треугольником. Соединение звездой показано на рис. 18.1.

Точка соединения всех фаз источника напряжения называется нейтральной (или нулевой) точкой источника и обозначается N. Точка соединения всех фаз нагрузки называется нейтральной (или нулевой) точкой нагрузки и обозначается n.

Провод, соединяющий нейтральные точки источника и нагрузки, называется нейтральным (или нулевым). Он обеспечивает независимую работу фаз цепи. То есть, если в какой-то одной фазе произойдут изменения режима работы, две другие фазы этого "не заметят".

Ток в нейтральном проводе обычно бывает меньше, чем в линейных проводах, поэтому нейтральный провод часто делают тоньше линейных проводов. При симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе равен нулю, поэтому в таком случае (например, при подключении трехфазных двигателей или печей) нейтральный провод вообще не используют.

Нейтральный провод часто заземляют и соединяют с ним корпуса электрооборудования (защитное зануление).

Напряжения   называются фазными, т.к. это напряжения фаз источника и нагрузки. Напряжения  называются  линейными, т.к. это напряжения между линейными проводами. Токи  являются одновременно фазными и линейными, т.к. это одновременно токи фаз источника и нагрузки, а также токи в линейных проводах.

Рис. 18.2.

Рассмотрим уравнения, описывающие состояние рассматриваемой цепи. Согласно 2-му закону Кирхгофа:

Эту связь между фазными и линейными напряжениями можно изобразить на векторной диаграмме (рис. 18.2). Из этого рисунка видна связь действующих значений фазных и линейных напряжений:

.

На трехфазных векторных диаграммах часто ставят буквы, соответствующие точкам схемы эл. цепи, например, A, B, C, N  (рис. 18.2). Эти буквы надо понимать как обозначение точек комплексной плоскости, соответствующих изменяющимся по синусоидальному закону электрическим потенциалам точек цепи A, B, C, N.

В нашем случае N = 0, A = uA, B = uB, C = uC, поэтому уравнение  соответствует уравнению uAB = A - B. Стрелка напряжения  на векторной диаграмме направлена от точки В к точке А, потому что она получается как разность векторов  и .

Обратим внимание на то, что в соответствии с тем же уравнением  uAB = A - B  стрелка того же напряжения uAB на схеме цепи по определению направлена от точки А к точке В. Это различие получается оттого, что стрелки на схеме обозначают направление вычисления напряжений и токов, а стрелки на векторных диаграммах - это изображение соответствующих синусоид на комплексной плоскости.

Согласно 1-му закону Кирхгофа , то есть ток в нейтральном проводе равен сумме токов в линейных проводах. Эта связь токов показана на векторных диаграммах рис. 18.3–18.8.

Согласно уравнениям фаз нагрузки (по закону Ома):

Такая связь напряжений и токов для случаев различных нагрузок показана на рис. 18.3 –18.8.

Рис. 18.3.

Рис. 18.4.

Рис. 18.5.

Рис. 18.6.

Векторные диаграммы токов рассмотрим на примерах некоторых конкретных типов нагрузки.

В простейшем случае симметричной резистивной нагрузки (то есть, когда все три фазы нагрузки – это одинаковые резисторы, как в опыте №1 лабораторной работы №4, рис. 18.3) векторная диаграмма токов и фазных напряжений выглядит так, как показано на рис. 18.4. Ток и напряжение каждого элемента нагрузки совпадают по фазе, поэтому соответствующие векторы направлены в одну сторону. Действующие значения всех трех токов одинаковы, поэтому векторы токов имеют одинаковую длину. Сумма фазных токов равна нулю, поэтому ток в нейтральном проводе тоже равен нулю и не показан на диаграмме.

Для несимметричной резистивной нагрузки (когда все три фазы нагрузки – это резисторы, но с разным сопротивлением, рис. 18.5) векторная диаграмма показана на рис. 18.6. Резистивную нагрузку также называют активной. Вектор, изображающий ток в нейтральном проводе, равен сумме векторов, изображающих фазные токи.

Рис. 18.7.

Рис. 18.8.

Для несимметричной нагрузки, состоящей из резистора в фазе a, активно-емкостного элемента в фазе b и активно-индуктивного элемента в фазе c (рис. 18.7), диаграмма показана на рис. 18.8. Основное отличие от рис. 18.6 состоит в сдвигах фаз фазных токов относительно фазных напряжений.

Рис. 18.6.

Типичные виды нагрузки трехфазной цепи – это активная и активно-индуктивная. В опыте №2 лабораторной работы №3 параллельное соединение резистора и конденсатора представляет собой активно-емкостную нагрузку.

Активная мощность трехфазной нагрузки равна сумме мощностей фаз: . Мощности фаз можно измерить, включив ваттметры по схеме рис. 18.6. Каждый ваттметр включен на фазное напряжение и фазный ток соответствующей фазы нагрузки. В случае симметричной нагрузки можно измерить мощность только одной фазы и умножить ее на три.

19. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки треугольником

Рис. 19.1.

Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки треугольником показано на рис. 19.1. Все фазы такой цепи работают независимо друг от друга, так как каждая фаза источника напряжения подключена непосредственно к соответствующей фазе нагрузки.

Токи  называются фазными, потому что это токи фаз нагрузки. Токи  называются линейными, так как это токи в линейных проводах.

Напряжения  являются одновременно фазными и линейными, так как это напряжения фаз источника и нагрузки, а также напряжения между линейными проводами.

Рассмотрим уравнения, описывающие состояние рассматриваемой цепи. Согласно уравнениям фаз нагрузки (по закону Ома):

.

Рис. 19.2.

Рис. 19.3.

Рис. 19.4.

По 1-му закону Кирхгофа для узлов цепи:

Для пояснения уравнений построим векторные диаграммы. Рассмотрим некоторые конкретные типы нагрузок.

Простейший случай симметричной резистивной нагрузки показан на рис. 19.2. Из этой диаграммы видно, что для симметричной нагрузки

.

На рис. 19.3 показана несимметричная резистивная нагрузка - в разных фазах разные резисторы.

На рис. 19.4 изображена диаграмма напряжений и токов несимметричной нагрузки, у которой в фазу ab включен резистор, в фазу bc – активно-индуктивный элемент, в фазу ca – активно-емкостной элемент. Главное отличие последнего случая от предыдущих – сдвиги фаз между напряжениями и токами в фазах bc и ca.

Рис. 19.5.

Активную мощность трехфазной нагрузки при соединении треугольником можно измерить "методом двух ваттметров". Схема измерения показана на рис. 19.5. Общая активная мощность нагрузки равна сумме показаний ваттметров: . Это можно доказать, используя законы Кирхгофа.

По определению

.

С другой стороны,

Здесь использованы выражения линейных токов через фазные, а также равенства , , последнее из которых представляет собой 2-й закон Кирхгофа для напряжений цепи.

В случае симметричной нагрузки можно измерить мощность только одной фазы и умножить ее на три.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63431. БАЗЫ ДАННЫХ И WEB ТЕХНОЛОГИИ 564 KB
  Основы web технологий Архитектура использования БД на Web Серверные технологии Использование языка XML для динамического представления информации Подходы по реализации портала Производительность надежность и безопасность данных...
63433. Роль зеленых насаждений в снижении загрязнения атмосферного воздуха. Правовые основы охраны атмосферного воздуха. Фотохимический смог и причины его образования 98 KB
  Только предприятия России выбрасывают в атмосферу более 70 млн т разнообразных веществ в год. При мощности 1 млн кВт она ежегодно выбрасывает в атмосферу 365 млрд м3 горячих газов содержащих пыль вредные вещества и 1000 млн м3 пара.
63434. УПРАВЛЕНИЕ ДАННЫМИ 328.5 KB
  Управление данными необходимый процесс Основная концепция управления данными Управление данными в экспедициях и экспериментах пунктах измерений Управление данными в центрах обработки данных Управление данными в отдельных проектах Управление данными...
63436. ДОСТОВЕРНОСТЬ И КАЧЕСТВО ДАННЫХ 318.5 KB
  Проблема качества данных Метрики оценки качества БД Источники ошибок Методы контроля данных Оформление результатов контроля данных Организация работ по повышению качества данных. Проблема качества данных Надежная БД должна обеспечивать высокую вероятность...
63437. Почвы и их рациональное использование. Экологическое состояние земельных ресурсов в РК. Источники, причины загрязнения и истощения земельных ресурсов. Проблемы опустынивания. Мероприятия по защите земель 78 KB
  Почвы и их рациональное использование. Структура почвы Почва это особое природное образование обладающей рядом свойств присущих живой и неживой природе. Он назвал почвы четвертым царством природы наряду с минералами животными и растениями.
63438. ОПТИМИЗАЦИЯ РАБОТЫ С БАЗАМИ ДАННЫХ 692.5 KB
  Ниже перечислены вопросы ответы на которые позволяют определить критерии оптимизации работы с БД: Сколько одновременно активных пользователей должна поддерживать система Основные или доминирующие типы запросов к системе Какова стратегия индексации данных Какие запросы будут оптимизированы...
63439. Экономический рост. Сущность, факторы, источники экономического роста. Типы экономического роста. Показатели экономического роста 120 KB
  Глобальной задачей любой экономической системы является полное удовлетворение потребностей всех людей. Цель является идеальной, поскольку не может быть достигнута никогда ввиду одновременного влияния на процесс развития экономики закона возвышения...