18127

Розподіл електронів в твердому тілі за енергіями

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Розподіл електронів в твердому тілі за енергіями Спочатку цей розподіл було знайдено чисто експериментально Фермі та Діраком. Задача полягає в тому щоб знайти число електронів що мають енергії в інтервалі Е Е dE тобто знайти функціюзакон розподілу електронів за е

Украинкский

2013-07-06

879.5 KB

5 чел.

Розподіл електронів в твердому тілі за енергіями

Спочатку цей розподіл було знайдено чисто експериментально Фермі та Діраком. Задача полягає в тому, щоб знайти число електронів, що мають енергії в інтервалі Е, Е+ dE, тобто знайти функцію(закон) розподілу електронів за енергіями .

Ми вже знаємо, що електрони в твердому тілі не можуть мати довільні значення енергії, а повинні займати лише певні дозволені квантові стани. Густина цих станів згідно теоретичним висновкам Фермі та Дірака пропорційна електронів:

                                                                          (1)

Тобто ця залежність має вигляд параболи:

    - функція розподілу густини

              станів                                      

 

 а)

 б)

                 

   в)

Маємо метал, при Т=0 К, тобто при температурі абсолютного нуля. На межі із зовнішнім середовищем у нього, як ми вже знаємо, є потенціальний бар’єр (домовимось, що нуль потенціальної енергії електронів співпадає з дном потенційної ями). Згідно принципу заборони – на дно потенційної ями можна розмістити лише два електрони з кінетичною енергією, що дорівнює нулю. Будь-які наступні пари електронів можна розмістити в потенціальній ямі лише тоді, коли їх кінетична енергія буде мати зростаючі значення.

Таким чином, при температурі абсолютного нуля ймовірність ω заповнення електронами кожного енергетичного рівня (стану) однакова й дорівнює 1. Коли всі електрони розподілені, ймовірність знайти їх на ще більш високих рівнях енергіях при Т=0 дорівнює 1. Отже, залежність ω від Е має вигляд прямокутника (див. рис.).

 Фермі – Дірак дають таку формулу для ω(Е):

                                                        (2),                                                                  

                                    

де С – деяка стала.

 Через те, що , а dN= ω(E)*dZ (випливає з (2)); то .

Тобто для знаходження функції розподілу електронів за енергіями треба густину станів помножити на ймовірність заповнення. Це можна зробити, наприклад, геометрично, множачи ординати 2-х перших графіків. Одержана крива копіює криву (див. рис.2а) по формі. Математично функція розподілу f(E) має вигляд

                                                         (3)

Вид функції розподілу за Максвеллом - Больцманом такий

                                                                           (4),

де kстала.

 

Тобто крива розподілу частинок за енергіями в статистиці Максвелла – Больцмана й Фермі – Дірака зовсім не схожі (див. рис.). Кількість вільних електронів в металі дуже велика (якщо атом має лише один валентний електрон).

 Але ці електрони заповнюють в металі вдвічі меншу кількість енергетичних рівнів (тому що на одному рівні можна мати 2 електрони). Причому остання пара електронів (вона має саму високу енергію) утворює енергетичну межу на рівні  (див. рис.). Вище цього рівня при Т=0 (а ми розглядаємо саме цей випадок) немає жодного електрону. Ось ця максимальна енергія електронів в металі при температурі абсолютного нуля є енергією Фермі, або рівнем Фермі. Згідно з Фермі – Діраком, маємо також формулу:

                                                            (5)  

це формула для Т=0. В цій формулі ступінь виродження g атомного рівня дорівнює 2.

                                                   (6)

Це і є остаточний вигляд функції розподілу електронів за енергіями в металі, що одержана Фермі – Діраком.

Якщо Т>0, то, як видно з формули (6), крива f(E) повинна спадати по експоненційному закону. Але через те, що f(E) одержано за участю ω(Е), то при Т>0 і ω(Е) повинна вести себе так само. При дуже великих температурах ці криві будуть схожі на аналогічні криві для газових частинок. Але при температурах, що у фізиці твердого тіла вважаються за високі (2000÷3000 К), різниця між суцільними й розривними кривими не така вже й велика. Наприклад, при Т=2500 К приріст до складе всього лише десяті долі еВ (кТ=8.625*10-5 *2500=0.21 еВ).

Залежність енергії Фермі від температури дається такою формулою:

                                                   ,                   (7)

де

                                                                      (8)  

 Температура є критичною температурою виродження газу. Це температура при якій стан електронного газу починає підпорядковуватись статистиці Максвелла – Больцмана. Це Т>50000 К. Якщо Т<, то газ є сильно виродженим. Це означає, що для даного газу хоча б в певному інтервалі енергій число частинок dN приблизно дорівнює числу можливих станів dZ. А бо по іншому: газ називається невиродженим, якщо кількість електронів dN для будь-якого енергетичного інтервалу dE набагато менша числа можливих станів dZ, тобто dN<<dZ, або ω(Е)<<1.

     Електронний газ в звичайних умовах є сильно виродженим, бо для нього =70 000 К. А ось протонний газ не  є виродженим, бо для нього ~1 К (підставити в формулу (8) дані для mp та np з довідки).

 Аналіз рис. 1 дозволяє зробити такі висновки:

  1.  в твердому тілі високоенергетичних електронів більше, ніж низькоенергетичних;
  2.  при підвищенні температури концентрація електронів, що мають малу енергію, не змінюється, так само, як не змінюється їх енергія, а ось високоенергетичні електрони набувають ще більш високої енергії;

Висновок (2) на перший погляд викликає подив: збільшення температури (нагрівання металу) не впливає на електрони з низькою енергією, але збуджує електрони з енергією, що близька до максимальної, тобто до . Відповідь на це питання повязана з принципом заборони: підвищувати енергію електронів на невелику величину неможна, бо всі більш високоенергетичні рівні зайняті. Отже, електрони з низькою енергією можна перевести на рівень, що більш високий ніж . Але тоді місце, яке звільнилось на низькому рівні, миттєво буде зайнято електроном з високою (саме з високою) енергією. Ймовірність цього найбільша, бо кількість електронів з енергією, що близька до , є максимальною. Тобто, при надавані металу енергії в будь-якій формі, її завжди асимілюють лише електрони з енергією, що дорівнює .

Як бачимо, поняття енергії Фермі (рівня Фермі, рівня електрохімічного потенціалу) дуже важливе й використовується при всіх фізико – хімічних процесах. Наприклад, визначення роботи виходу електрона з металу: це енергія, яку необхідно надати електрону для того, щоб він з рівня Фермі вийшов у вакуум (був емітований у вакуум). На рис. 2 роботу виходу позначено еφ.

Таким чином, щоб електрон подолав потенціальний барєр, йому не треба виконувати роботу   (див. попередню лекцію).

     Логічно поставити питання: якщо електрон має енергію, яка більша ніж висота потенціального  бар’єру, то ймовірність його виходу у вакуум є 1? І навпаки, якщо енергія електрону менша за висоту потенціального барєру, то ймовірність його виходу у вакуум є 0? Тобто, якою є прозорість барєру D в обох випадках? На рис.1 ширина потенціального барєру не обмежена у просторі. E>U, тобто енергія електронів більша за висоту потенціального барєру.     

Згідно із законами класичної фізики, електрони, звичайно ж, подолають цей барєр і вийдуть у вакуум, маючи енергію E-U. Інший результат дає квантова механіка, яка враховує хвильові властивості електронів. Через те, що електрон – електромагнітна хвиля, а хвиля, яка зустрічає перешкоду, повинна відбитися, то, звичайно, ж не всі електрони вийдуть у вакуум. Розв’язок рівняння Шредінгера для цього випадку показує, що співвідношення між кількістю електронів, що пройшли бар’єр, і кількістю відбитих залежить від співвідношення між Е і U. Наприклад, якщо E=2U, то коефіцієнт прозорості бар’єру D=0.97.

Якщо Е не дуже перевищує U, наприклад Е=1.1 U, то коефіцієнт прозорості буде D=0.73, тобто відбиваються 27 відсотків електронів. Для класичної фізики D=1 в обох випадках.                                                          

  

На рис. 2 Е<U і ширина потенціального барєру також необмежена у просторі. Класична фізика однозначно дає негативну відповідь на питання про подолання барєру в цьому випадку. Згідно квантової механіки, електрон, як хвиля, може потрапити з області І в область ІІ на певну величину , а потім відбитися назад в область І, тобто спрямованого потоку частинок бути не може.

 Глибина проникнення частинок  в область ІІ спадає за  екпотенційним законом і визначається за формулою ВКБ (Венцеля – Крамера - Брілюєна):

                                                    (9)

Наприклад, якщо ΔЕ=(U-E)=1eB, то dx=Δх = 1 і ймовірність такого процесу ~ 30%. Але вже на глибині 10 ймовірність знайти електрон дуже мала: - 4.5*. Якщо потенціальний бар’єр має обмежену ширину (тверде тіло знаходиться в електричному полі), наприклад, в декілька ангстрем, то, звичайно ж, частина електронів потрапить у вакуум, не втративши своєї енергії. Тобто ніби в потенціальному бар’єрі з’явився отвір, або тунель.

                                                                 

Якщо в рівнянні (9) при Δх = 1 і ΔЕ=1еВ підставити “m” протону, то ймовірність тунелювання буде дорівнювати . Таким чином квантова механіка дозволяє порушити закони класичної фізики лише таким легким частинкам, як електрони.

 Якщо на тунельний ефект подивитися з точки зору класичної механіки, то його можливість вказує на можливість порушення закону збереження енергії: частинка пройшла крізь барєр (подолала барєр) і не витратила своєї енергії. Як же таке може бути? Наприклад так: якщо барєри, які виникають перед налітаючими частинками, зумовлені електричним полем інших частинок, положення яких неперервно змінюється, то для налітаючих частинок барєри можуть на певний час зникати. Завдяки цьому певна кількість частинок встигає проскочити через заборонену межу. Квантова ж механіка не шукає яких-небудь доступних моделей для пояснення суті тунельного ефекту. Вона і тут застосовує свій універсальний засіб співвідношення невизначеностей: через те, що положення частинки та її енергія не можуть бути визначені абсолютно точно, для мікрочастинки немає різкої межі між допустимою та забороненою областями простору. А є ймовірність того, що мікрочастинку можна знайти в забороненій області.

Але, не дивлячись на це, тунельний ефект не є вигаданим процесом. Він має дуже добре підтвердження в явищі холодної емісії. (Про неї ми поговоримо пізніше).

У зв’язку з тим, що ефективні термоемітери – це напівпровідникові джерела електронів, я зовсім коротко нагадаю вам елементи фізики напівпровідників. Причому лише в тій частині, що відноситься до зонної структури напівпровідника.      

I.

                                                        

- енергетичний рівень дна зони провідності

- рівень Фермі

- енергетичний рівень стелі валентної зони

                                            

                                                      

. 

Отже, ймовірність заповнення рівня Фермі електронами дорівнює 0.5. Повна кількість електронів, що може бути в усіх станах зони провідності пропорційна , тобто , де С – деяка функція, що залежить від Т, g і ne (g – статистична вага зони). Кількість електронів, що залишили валентну зону поблизу її стелі:

                     

Донорний напівпровідник утворюється, наприклад, якщо частина іонів гратки кристалу замінити на інші з , де - власні іони з зарядом (наприклад, фосфор, миш”як). У цих напівпровідниках рівень Фермі знаходиться приблизно посередині між і , де - глибина залягання донорів. . Кількість електронів, що знаходяться на донорних рівнях

                          ,  

                                                                                     де - концентрація донорів.  

                                                                                                

Акцепторний напівпровідник: утворюється, коли частина іонів гратки замінити на інші  з  (бор, алюміній). У цих напівпровідників:

                                                        

                                                     ,

де - число акцепторів. У всіх трьох випадках розміщення рівня Фермі має деяку залежність від температури. На наступному рисунку наведемо таку залежність:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25033. Управление кризисными ситуациями как функция связей с общественностью 30.35 KB
  Управление кризисными ситуациями как функция связей с общественностью Управление кризисными ситуациями представляет собой многогранный процесс который охватывает и объединяет различные сферы деятельности человека. Но если разразился кризис то становится очевидным что всё протекает не так как виделось ранее и каждый раз совершенно поиному. Кризис как явление настолько многогранен что его изучением занимаются представители различных научных направлений: историки политологи психологи философы экономисты юристы. Более того специально...
25034. Медиа-аспекты стратегии PR-кампании 28.31 KB
  Медиаплан должен быть: достоверным составленным на основе проверенных и тщательно отобранных экономических и статистических данных; самодостаточным подготовленным и использованным по назначению и в нужное время; достаточным содержащим в себе определенное количество информации объясняющей выбор тех или иных СМИ и их приоритетное использование; понятным и доступным для восприятия. Качественно разработанный медиаплан позволяет: разработать последовательный план работы со средствами массовой информации внести необходимые коррективы на...
25035. PR в комплексе интегрированных маркетинговых коммуникаций 21.24 KB
  PR в комплексе интегрированных маркетинговых коммуникаций В последнее десятилетие в мире более активно стали разрабатываться и использоваться интегрированные маркетинговые коммуникации ИМК. Таким образом интегрированные маркетинговые коммуникации ИМК объединяют в себе все типы рыночных маркетинговых коммуникаций: рекламу связи с общественностью прямой маркетинг стимуляцию сбыта брендкоммуникации и др. Маркетинговые коммуникации marketing communications совокупность технологий продвижения товаров или услуг к которым принято...