18249

РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ

Лекция

Физика

РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ВВЕДЕНИЕ Электротехника область науки и техники которая занимается изучением электрических и магнитных явлений и их использованием в практических целях. Научнотехнический прогресс невозможен без электрификации всех отраслей народного хозяйств...

Русский

2013-07-07

1.3 MB

29 чел.

РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ

ВВЕДЕНИЕ

Электротехника — область науки и техники, которая занимается изучением электрических и магнитных явлений и их использованием в практических целях.

Научно-технический прогресс невозможен без электрификации всех отраслей народного хозяйства. Потребности народного хозяйства в электрической энергии непрерывно растут, что приводит к увеличению ее производства.

В условиях научно-технической революции особенно отчетливо проявилась диалектическая связь науки, техники и производства. Наука стала непосредственной производительной силой, а научные достижения оказались в существеннейшей степени зависящими от уровня развития   и   возможностей   современных   технологий.

Широкое использование электронной аппаратуры обусловлено ее быстродействием, точностью, высокой чувствительностью, малым потреблением энергии, постоянно возрастающей экономичностью. Электронные приборы составляют основу важнейших средств современной связи, автоматики, измерительной техники, систем управления автомобилем. На основе электроники реален переход к полностью автоматизированному производству.

Качественным скачком в развитии электроники было создание в последние два десятилетия микросхем.

Предлагаемое учебное пособие имеет целью в доступной форме дать студентам  основные сведения из важнейших разделов электротехники и электроники.

В учебные планы большинства специальностей входит дисциплина «Общая электротехника с основами электроники».

Необходимость этой дисциплины обусловлена тем, что в народном хозяйстве из всех видов энергии наиболее широко применяется электрическая энергия, и специалист-техник любого профиля в своей практической работе встречается с различным технологическим, силовым и осветительным электрооборудованием, электрическими приборами и устройствами для контроля, автоматизации технологических процессов.

В настоящее время особое внимание уделяется развитию и внедрению электронной вычислительной техники, приборов с применением микропроцессоров, автоматизации машин и оборудования и созданию на этой основе автоматизированных технологических комплексов.

Разделы по автоматизированным технологическим процессам и автоматическому электрооборудованию предусмотрены в профилирующих дисциплинах. Изучение этих  дисциплин возможно только при условии предварительной подготовки студентов по теоретическим вопросам электротехники и электроники, знания общих принципов действия и устройства силового электрооборудования, приборов контроля и элементов автоматики.

1. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ транспорте (автомобильный транспорт).

Материал, изучаемый по учебнику, необходимо конспектировать и прорабатывать. Электрические схемы вычерчиваются в условных обозначениях, соответствующих действующим ГОСТам. После проработки какой-либо темы необходимо без помощи учебника выполнить доказательства законов или вывести формулы. Нельзя оставлять ничего непонятным при изучении дисциплины; если самому преодолеть затруднение не удается, необходимо обратиться к преподавателю за консультацией. Особое внимание должно быть уделено задачам и вопросам для самопроверки, а также разбору решений типовых примеров, помещенных в учебнике и настоящем пособии.

Контрольная работа выполняется после усвоения студентами соответствующего материала по программе дисциплины «Общая электротехника и электроника». Варианты для каждого студента – индивидуальные. Задачи, выполненные не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются студенту. Контрольная работа состоит из пяти заданий и выполняется на отдельных листах с пронумерованными страницами, которые потом сшиваются в брошюру. Условия задач переписываются полностью, оставляют поля шириной 25-30 мм для замечаний преподавателя, а в конце  - 2-3 страницы для рецензии. Формулы и расчеты пишут чернилами, а чертежи и схемы выполняются карандашом; на графиках указывают масштаб. Решение задач обязательно ведут в Международной системе единиц. Сразу после условия задания приводится его решение со всеми необходимыми расчетами, схемами и рисунками. При вычислении различных величин по формулам кроме символов и букв обязательно затем поставить выбранные числовые значения параметров, а не приводить сразу конечный результат. Контрольную работу следует писать или печатать на одной стороне листов формата А4 14 шрифтом. Содержание следует разбивать на разделы, наименование которых должно быть кратким и соответствовать содержанию. Содержание следует помещать вначале, а перечень используемой литературы – в конце работы. При составлении содержания в него следует включать названия всех частей, разделов и подразделов и указывать номер страницы, на которой он начинается. В списке используемой литературы название каждого источника должно быть исчерпывающим и подчинятся действующим единым правилам: сначала указывают фамилию и инициалы автора(ов), точное название книги без кавычек, место издания, издательство, год выпуска. После получения работы с оценкой и замечаниями преподавателя надо исправить отмеченные ошибки, выполнить все его указания и повторить недостаточно усвоенный материал. Если контрольная работа получила неудовлетворительную оценку, то студент выполняет ее снова по новому варианту и отправляет на повторную проверку. В случае возникновения затруднений при выполнении контрольной работы студент может обратиться на кафедру для получения устной или письменной консультации. Без наличия зачтенного контрольного задания студент на экзамен не допускается. После экзамена контрольная работа студенту не возвращается.

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ

2.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Электрическим током проводимости называют явление направленного движения свободных носителей электрического заряда в веществе или вакууме.

Для количественной оценки электрического тока служит величина, называемая силой тока.

Сила тока численно равна количеству электричества, проходящего через поперечное сечение проводника в единицу времени:

i = Δq/ Δt. Единицей силы тока является ампер

Ток, неизменный во времени по значению и направлению, называют постоянным:

I=q/t.

За положительное направление тока принимают направление, в котором перемещаются положительные заряды, т. е. направление, противоположное движению электронов.

Плотность тока J равна количеству электричества, проходящего за 1 с через единицу перпендикулярного току сечения проводника.

J= I/S,

Рис. 2.1. Схема    простейшей электрической цепи

Для количественной оценки энергетических преобразований в источнике служит величина, называемая электродвижущей силой (ЭДС).

ЭДС Е численно равна работе, которую совершают сторонние силы при перемещении единичного положительного заряда внутри источника или сам источник, проводя единичный положительный заряд по замкнутой цепи. Единицей ЭДС является вольт (В).

Величину, численно равную работе, которую совершает источник, проводя единичный положительный заряд по данному участку цепи, называют напряжением U. Так как цепь состоит из внешнего и внутреннего участков, разграничивают понятия напряжений на внешнем Uвш и внутреннем Uвт участках.

ЭДС источника равна сумме напряжений на внешнем и внутреннем участках цепи:

E=Uвш + U вт.

Эта формула выражает закон сохранения энергии для электрической цепи.

Измерить напряжения на различных участках цепи можно только при замкнутой цепи. ЭДС измеряют между зажимами источника при разомкнутой цепи.

I = U/R.

Это выражение является законом Ома для участка цепи: сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к этому участку. Закон Ома справедлив для линейных цепей (R = const).

Согласно закону Ома для участка цепи,

 U = IR, а Uвт= IR вт Тогда  E=IR+IRВт Отсюда

I=E/(R+Rвт)  

Данное выражение является законом Ома для всей цепи: сила тока в цепи прямо пропорциональна ЭДС источника.

Из выражения E = U+UBT следует, что U = EIRвт, т. е. при наличии тока в цепи напряжение на ее зажимах меньше ЭДС источника на значение падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника.

При наличии электрического тока в проводниках движущиеся свободные электроны, сталкиваясь с ионами кристаллической решетки, испытывают противодействие своему движению. Это противодействие количественно оценивается сопротивлением цепи. По закону Ома для участка цепи, I=U/R, откуда R = U/I. За единицу сопротивления

[R] = 1 В/1 А=1 Ом.

Формула, выражающая зависимость сопротивления R от геометрии и свойств материала проводника:

R = Lp/S.

При расчете электрических цепей иногда удобнее пользоваться не сопротивлением, а величиной, обратной сопротивлению, т. е. электрической проводимостью:

g=1/R = γS/L = I/U,

где y= 1/р — удельная проводимость.

Единицей электрической проводимости является сименс (См).

При расчете цепей приходится сталкиваться с различными схемами соединений потребителей. В случае цепи с одним источником часто получается смешанное соединение, представляющее собой комбинацию параллельного и последовательного соединений. Задача расчета такой цепи состоит в том, чтобы определить токи и напряжения отдельных ее участков.

Соединение, при котором по всем участкам проходит один и тот же ток, называют последовательным. Любой замкнутый   путь, проходящий   по нескольким участкам, называют   контуром    электрической цепи.

Участок цепи, вдоль которого проходит один и тот же ток, называют ветвью, а место соединения трех и большего числа ветвей — узлом.

Соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, т. е. находятся под действием одного и того же напряжения, называют параллельным.

Параллельное соединение. Выясним свойства такого соединения сопротивлений.

                    r1

Рис.2.2. Параллельное соединение сопротивлений. 

I. Рассмотрим соотношение токов. Очевидно, что ток, приходящий к узлу, равен току, уходящему от узла: II1I2I3 = 0. В общем виде

= 0.

Это уравнение отражает первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей для любого узла электрической цепи равна нулю.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать.

При составлении уравнения для какого-либо узла цепи необходимо иметь в виду, что токи, направленные к узлу, условились брать со знаком плюс, а токи, направленные от узла,— со знаком минус.

II. При параллельном соединении все ветви одним полюсом присоединяют к одному узлу, а другим — к другому. Так как потенциалы этих узлов фиксированы, то и разность их фиксирована и одинакова для всех ветвей, входящих в соединение.

Ul=U2=U3 т. е. при параллельном соединении сопротивлений напряжения на ветвях одинаковы.

III. I2/I3 = R3/R2 и I1/I2 = R2/R1.

Таким образом, при параллельном соединении токи ветвей обратно пропорциональны их сопротивлениям.

IV. Найдем эквивалентное сопротивление при параллельном соединении ветвей.

1/Rэк= l/R1+l/R2+1/R3 

Переходя от сопротивлений участков к их проводимостям, определим

 gэк=  g1 +g2 + g3

В общем виде  gэк=

При параллельном соединении эквивалентная, или общая, проводимость равна сумме проводимостей всех параллельных ветвей.

Последовательное соединение. Схема на рисунке представляет собой последовательное соединение сопротивлений Rab и Rbс.

Рис. 2.3. Последовательное соединение сопротивлений

Рассмотрим   свойства   последовательного   соединения сопротивлений.

bс

I. Ток в любом сечении последовательной цепи одинаков. Это объясняется тем, что ни в одной точке такой цепи не может происходить накопления зарядов.

II. Согласно   закону   сохранения энергии, напряжение на зажимах цепи равно сумме напряжений на всех ее участках: U=Uab+Ubc. В общем виде U= .

III. Согласно закону Ома для участка цепи можно записать Uab = IRab; Ubc = IRbc— Поделив приведенные равенства одно на другое, получим Uab/Ubc = Rab/Rbc, т. е. напряжения на участках цепи при последовательном соединении прямо пропорциональны сопротивлениям этих участков.

IV.Эквивалентное сопротивление цепи Rэк = Rab+Rbc 

Если электрическую цепь замкнуть, то в ней возникнет электрический ток. Работа, совершаемая источником тока для перемещения заряда q по всей замкнутой цепи: Wи= (U+UBT) It, или Wи=UIt + UBnIt,

где UIt = W — работа, совершаемая источником на внешнем участке цепи;

UBтIt =Wвт — потеря энергии внутри источника.

Используя закон Ома для участка цепи, можно записать

W = I2Rt = U2 t/R.

Величину, характеризуемую скоростью, с которой совершается работа, называют мощностью:

P=W/t.

Соответственно мощность, отдаваемая источником,

Pи= ЕI t/ t=EI 

Мощность потребителей

P=UIt/t=I2R=U2/R

Мощность потерь энергии внутри источника

Pвт=UBTI = I 2Rвт=U 2вт/RBт.

Единица мощности — ватт (Вт):

[Р]=1 Дж/1 с=1 Вт,

Когда в цепи с сопротивлением R существует ток, электроны, перемещаясь под действием поля, сталкиваются с ионами кристаллической решетки проводника. При этом кинетическая энергия электронов передается ионам, что приводит к увеличению амплитуды колебательного движения ионов, и, следовательно, к нагреванию проводника. Количество теплоты, выделенной в проводнике Q=I2Rt.

Приведенная зависимость носит название закона Ленца — Джоуля: количество теплоты, выделяемой при прохождении тока в проводнике, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени прохождения тока.

Под номинальным понимают такой режим работы, при котором напряжение, ток и мощность в элементах электрической цепи соответствуют тем значениям, на которые они рассчитаны заводом-изготовителем. При этом гарантируются наилучшие условия работы (экономичность, долговечность и т. д.).

Кроме номинального режима работы источника существуют режимы короткого замыкания и холостого хода. Режимом короткого замыкания называют режим, при котором напряжение на внешних зажимах источника равно нулю. Режимом холостого хода источника называют режим, при котором ток в нем равен нулю.

Сложной называют электрическую цепь, не сводящуюся к последовательному и параллельному соединению потребителей.

В качестве примера рассмотрим сложную цепь. Задача сводится к определению токов во всех ее ветвях, в нашем случае токов I1, I2 и I3. Значения ЭДС и сопротивлений заданы.

Существует несколько методов расчета сложных цепей.

Рис. 2.4. Схема сложной цепи.

Метод узловых и контурных уравнений. Приведем методику решения задачи этим методом.

Направление токов выбирают произвольно. Если в результате решения отдельные токи окажутся

a     f      e       отрицательными, то это будет означать, что в действительности они проходят в направлении, противоположном выбранному. Для определения трех неизвестных токов необходимо составить три независимых уравнения, связывающих эти токи. На основании первого закона Кирхгофа для узла с

I1+ I2I3 = 0.

Уравнение для узла f имеет вид

I3I2I1=0

т. е. оно совпадает с предыдущим уравнением. Если сложная цепь имеет n узлов, то число уравнений, которые можно составить на основании первого закона Кирхгофа, на единицу меньше, т. е. n — 1.

Недостающие уравнения можно получить на основании второго закона Кирхгофа. Возьмем контур abcf и определим потенциал точки а относительно той же точки, совершив обход этого контура по часовой стрелке:

φ A= φA+ E1—I 1Rвт1 –I 1R1+I 2R2—E2+I 2Rвт2    

Записываем  формулу так, чтобы ЭДС оказались в левой части, а падения напряжения — в правой. Получаем уравнение, соответствующее второму закону Кирхгофа:

E1E2 = IlRBTl + IlRlI2Rbt2I2R2. В общем виде

 

Таким образом, алгебраическая сумма ЭДС любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падения напряжений этого контура.

Если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС и токов, то эти ЭДС и соответствующие падения напряжений берут со знаком плюс, в противном случае они будут отрицательными. Данное уравнение позволяет получить новое соотношение между неизвестными токами. Для контура fcde.

E2=I 2Rвт2+I 2R2+I 3R3

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа контуры нужно выбирать так, чтобы каждый из них отличался хотя бы одной ветвью.

Метод контурных токов. Если сложная цепь содержит довольно много узлов и контуров, то ее расчет с помощью первого и второго законов Кирхгофа будет связан с решением большого числа уравнений. Вводя понятие о контурных токах, можно свести уравнения, составленные по законам Кирхгофа, к системе уравнений, составленных только для независимых контуров.

Под контурными токами понимают условные токи, замыкающиеся в соответствующих контурах.

Рассмотрим схему цепи, представленную на рис. 2.5. Эта схема имеет два независимых контура I и II, в каждом из них проходят токи II и III. Направления этих токов выбирается произвольными, например, по часовой стрелке. Из рассмотрения схемы (рис. 2.5) видно, что реальные токи во внешних ветвях равны контурным: I1=II; Iз=III. Ток во внутренней ветви равен разности контурных токов:

I2= IIIII. Для определения контурных токов составим два уравнения:

E1E2=(Rвт1+R1+R2+Rвт2)II– (R2+Rвт2)III

E2=(Rвт2+R2+R3)III (R2+Rвт2)II

Метод узлового напряжения. Часто в сложной цепи имеется всего два узла, как, например, в схеме рис. 2.6. В этом случае расчет цепи значительно упрощается, так как достаточно определить так называемое узловое напряжение Uab.

Рис. 2.5. Метод контурных       Рис. 2.6. Метод     узлового
токов напряжения

После этого токи в ветвях находят следующим образом. Все токи в ветвях направляют к узлу, потенциал которого условно принимают более высоким. Узловое напряжение

Uab=(E 1g1+E 2g2)/(g1+g2+g3),

где g1, g2, g3 — проводимости соответствующих ветвей. Если ЭДС какого-нибудь источника, например Е2, направлена к узлу b, то произведение E2g2 берется со знаком минус. Токи в ветвях определяются так:

I1=(E1–Uab)g1

I2=(E2–Uab)g2

I3=–Uabg3

2.2. ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

 ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ

На зажимах цепи переменного тока действует напряжение u = Um sin ωt. Так как цепь обладает только активным сопротивлением то, согласно закону Ома для участка цепи,

i=u/R=Um sinωt

где Im = Um/R представляет собой выражение закона Ома для амплитудных значений. Разделив левую и правую части этого выражения на √2, получим закон Ома для действующих значений:

I=U/R.

Сопоставляя выражения для мгновенных значений тока и напряжения, приходим к выводу, что токи и напряжения в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе.

Рис. 2.7. Цепь с активным сопротивлением, временные и векторные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности для цепи с активным сопротивлением.

Мгновенная мощность:

р = UIUIcost.

Средняя скорость расхода энергии или средняя (активная) мощность:

P=UI.

Единицами активной мощности являются ватт (Вт), киловатт (кВт) и мегаватт (МВт): 1 кВт=103 Вт; 1 МВт=106 Вт.

ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Под действием синусоидального напряжения в цепи с индуктивной катушкой без ферромагнитного сердечника (рис.2.8) проходит синусоидальный ток i = Im sinωt. В результате этого вокруг катушки возникает переменное магнитное поле и в катушке и наводится ЭДС самоиндукции. При R=0 напряжение источника  целиком  идет  на  уравновешивание  этой ЭДС.

2.8.Схема цепи переменного тока с индуктивностью(а), векторная и временные диаграммы напряжения, тока и ЭДС (б).

следовательно, u=  –eL

u = Um sin (ωt + π/2)

Um=ImωL  

Сопоставляя выражения для мгновенных значений тока и напряжения, приходим к выводу, что ток в цепи с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на угол π/2. Физически это объясняется тем, что индуктивная катушка реализует инерцию электромагнитных процессов. Индуктивность катушки L является количественной мерой этой инерции.

Im=Um/XL, которое является законом Ома для амплитудных значений.

где XL—индуктивное сопротивление цепи.

Разделив левую и правую части этого выражения на √2, получим закон Ома для действующих значений:

I=U/XL.

Рис.2.10. Временные      диаграммы напряжения,   тока   и   мгновенной мощности цепи   с   индуктивностью

XL=2πfL. С увеличением частоты тока f индуктивное сопротивление XL увеличивается (рис.2.9). Физически это объясняется тем, что возрастает скорость изменения тока, а следовательно, и ЭДС самоиндукции.

Рис.2.9.Зависимость индуктивного сопротивления XL от частоты f

Мгновенное значение мощности определяется произведением мгновенных значений напряжения и тока:

p = UIsin 2ωt.

Из графика рис.2.10 видно, что при одинаковых знаках напряжения и тока мгновенная мощность положительна, а при разных знаках — отрицательна. Физически это означает, что в первую четверть периода переменного тока энергия источника преобразуется в энергию магнитного поля катушки. Во вторую четверть периода, когда ток убывает, катушка возвращает накопленную энергию источнику. В следующую четверть периода процесс передачи энергии источником повторяется и т. д.

Таким образом, в среднем катушка не потребляет энергии и, следовательно, активная мощность Р = 0.

Для количественной характеристики интенсивности обмена энергией между источником и катушкой служит реактивная мощность:

Q=UI.

Единицей  реактивной  мощности является  вольт-ампер реактивный (вар).

ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ И ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Цепь (рис.2.11) состоит из участков, свойства которых известны. Проанализируем работу данной цепи. Пусть ток в цепи изменяется по закону

i= Imsin ωt

Тогда напряжение на активном сопротивлении uR = URm sinωt, так как на этом участке напряжение и ток совпадают по фазе. Напряжение на катушке uL=ULm sin (ωt + π/2), поскольку на индуктивности напряжение опережает по фазе ток на угол π/2.

Рис.2.11. Схема цепи переменного тока с R и L

Рис. 2.12. Векторная диаграмма для цепи с R и L

Сначала откладываем вектор тока I,затем вектор напряжения UR, совпадающий по фазе с вектором тока. Начало вектора UL опережающего вектор тока на угол π/2, соединим с концом вектора UR, для удобства их сложения. Суммарное напряжение u=Um sin (ωt + φ) изображается вектором U, сдвинутым по фазе относительно вектора тока на угол φ. Векторы UR, UL и U образуют треугольник напряжений.

 

где  — полное сопротивление цепи. Тогда выражение закона Ома примет вид I=U/Z.

Так как полное сопротивление цепи Z определяется по теореме Пифагора, ему соответствует треугольник сопротивлений. Поскольку при последовательном соединении напряжения на участках прямо пропорциональны сопротивлениям, треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений. Сдвиг фаз φ между током и напряжением определяется из треугольника сопротивлений:

tgφ = XL/R;

cos φ = R/Z.

Рис. 2.13. Временные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности для цепи с R и L

Для последовательной цепи условимся отсчитывать угол φ от вектора тока I. Поскольку вектор U сдвинут по фазе относительно вектора I на угол φ против часовой стрелки, этот угол имеет положительное значение.

Выведем энергетические соотношения для цепи с активным сопротивлением и индуктивностью.

Мгновенная мощность выражается соотношениями

p = ui= UIcos φ-UIcos(2ωt+φ)

Мгновенное значение мощности колеблется около постоянного уровня UI cos φ, который характеризует среднюю мощность. Отрицательная часть графика определяет энергию, которая переходит от источника к индуктивной катушке и обратно.

Средняя, или активная, мощность для данной цепи характеризует расход энергии на активном сопротивлении

P=UI cos φ.

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между индуктивной катушкой и источником:

Q = UL I=UIsin φ.

Полная мощность:

 

Единицей полной мощности является вольт-ампер (В-А).

ЦЕПЬ С ЕМКОСТЬЮ

Зададимся напряжением на зажимах источника u = Um sin ωt ,тогда ток в цепи также будет меняться по синусоидальному закону. Ток определяют по формуле i = dQ/dt. Количество электричества Q на обкладках конденсатора связано с напряжением на емкости и его емкостью: Q = Cu. Следовательно, i=UmωCsin(ωt+π/2)  

Рис. 2.14. Схема   цепи   переменного тока с емкостью

90°

Рис. 2.15.  а) временные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности для цепи с емкостью; б) векторная диаграмма

Таким образом, ток в цепи с емкостью опережает по фазе напряжение на угол π/2.

Физически это объясняется тем, что напряжение на емкости возникает за счет разделения зарядов на его обкладках в результате прохождения тока. Следовательно,   напряжение   появляется   только   после возникновения тока. Выведем закон Ома для цепи с емкостью.

 Im = Umω С, или  Im=Um/1/ωC

Введем обозначение:

1/ωC =1/(2πfC)=Xc,

где Хс — емкостное сопротивление цепи.

закон Ома: для амплитудных значений

Im = Um/Xc;

для действующих значений

 I = U/XC.

Емкостное сопротивление Хс уменьшается с ростом частоты f.

Мгновенная мощность p=ui = — UI sin2ωt.

В цепи с емкостью, так же как и в цепи с индуктивностью, происходит переход энергии от источника к нагрузке, и наоборот. В данном случае энергия источника преобразуется в энергию электрического поля конденсатора.

Реактивная мощность  Q =UI.

ЦЕПЬ    С    АКТИВНЫМ    СОПРОТИВЛЕНИЕМ    И ЕМКОСТЬЮ

Задаемся током i = Im sinωt. Тогда напряжение на активном сопротивлении  uR = URm sin ωt. Напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол π/2:  u = Ucmsin(ωt — π/2). На основании приведенных выражений построим векторную диаграмму для этой цепи

                                                          r

Рис. 2.16. Векторная диаграмма цепи, треугольник сопротивлений, схема цепи переменного тока с R и С

где

закон Ома  I=U/Z.

Расположение сторон треугольника сопротивлений соответствует расположению сторон треугольника напряжений на векторной диаграмме. Сдвиг фаз φ в этом случае отрицателен, так как напряжение отстает по фазе от тока:

tgφ= —Xc/R,

cosφ= R/Z.

Мгновенная мощность  p=UIcosφ— UI cos (2ωt + φ).          

Средняя мощность   P = UI cos φ.

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между источником и емкостью: Q = UI sinφ.

Так как φ<0, то реактивная мощность Q<0.

ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ, ИНДУКТИВНОСТЬЮ И ЕМКОСТЬЮ

            

                              

Рис. 2.17. Схема цепи переменного тока с R, L и С, векторная диаграмма для цепи, треугольник сопротивлений.

 i = Im sin ωt.

Тогда напряжение на активном сопротивлении uR = URm sin ωt, напряжение на индуктивности uL  = ULm sin (ωt +π/2), напряжение на емкости uс  = UCm sint — π/2).

Построим векторную диаграмму при условии XL> Хс, т. е.

UL = IXL> UC = IXC.

Вектор результирующего напряжения U замыкает многоугольник векторов UR, UL и Uc. Вектор UL+UC определяет напряжение на индуктивности и емкости.

Но UR = IR; UL = IXL, UC = IXC;   

        где Z - полное сопротивление цепи

 I=U/Z     -   закон Ома                             

XL — ХС = Х называют реактивным сопротивлением цепи.

При XL> Xc реактивное сопротивление положительно и сопротивление цепи носит активно-индуктивный характер.

При XL<Xc реактивное сопротивление отрицательно и сопротивление цепи носит активно-емкостный характер.

tgφ = X/R.    

Мгновенная мощность

p = UI cos φ— UI cos (2ωt +φ),

Соответственно активная, реактивная и полная мощности характеризуются выражениями P=UIcosφ; Q=UIsinφ;

РЕЗОНАНСНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ЦЕПИ

Под резонансным режимом работы цепи понимают режим,  при  котором сопротивление является чисто активным. По отношению к источнику питания элементы цепи ведут себя в резонансном режиме как активное сопротивление, поэтому ток и напряжение в неразветвленной части совпадают по фазе. Реактивная мощность цепи при этом равна нулю.

РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

Резонансом напряжений называют явление в цепи с последовательным контуром, когда ток в цепи совпадает по фазе с напряжением  источника.

tgφ = X/R.

Условием резонанса напряжений является Х = 0 или XL = XC.

Но  X L = 2πfL, а Xс = 1/(2πfС), где f — частота источника питания.

При резонансе напряжений частота источника равна собственной частоте колебаний контура.

Резонансу напряжений соответствует векторная диаграмма, приведенная на рисунке

      

Рис. 2.18. Схема последовательного колебательного контура, векторная диаграмма, резонансная кривая тока.                            

Признаки резонанса напряжений:

а) сопротивление цепи Z=R минимальное и чисто активное;

б) ток цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает максимального значения;

в) напряжение  на  индуктивной  катушке  равно напряжению на конденсаторе и каждое в отдельности может во много раз превышать напряжение на зажимах цепи.

Физически это объясняется тем, что напряжение источника при резонансе идет только на покрытие потерь в контуре. Напряжение на катушке и конденсаторе обусловлено накопленной в них энергией, значение которой тем больше, чем меньше потери в цепи. Количественно указанное явление характеризуется добротностью контура Q, которая представляет собой отношение напряжения на катушке или конденсаторе к напряжению на зажимах цепи при резонансе:

Q=UL/U=UL/UR=XC/R=XL/R

При резонансе XL =

- волновое  сопротивление контура.

Таким образом, Q = Zв/ R.

Способность колебательного контура выделять токи резонансных частот и ослаблять токи других частот характеризуется резонансной кривой

Резонансная кривая показывает зависимость действующего значения тока в контуре от частоты источника  при неизменной собственной  частоте контура. При этом, чем больше добротность контура Q, тем острее резонансная кривая контура.

Резонанс напряжений широко используется в радиотехнике и электронике для выделения сигналов заданной частоты.

РЕЗОНАНС ТОКОВ

Резонансом токов называют такое явление в цепи с параллельным колебательным контуром, когда ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

Проводимость контура должна быть чисто активной, а  реактивная проводимость равна  нулю:

Рис.2.19. Схема параллельного колебательного контура, векторная диаграмма при резонансе      токов.

b =b1+b2 = 0, где b1=bL = XL/(R2 + X2L);

b2= - bс= - 1/Хс.

Условием резонанса токов является равенство нулю реактивной проводимости контура.

Для того чтобы ток I в неразветвленной части цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивная составляющая тока индуктивной ветви ILp должна быть равна по модулю току емкостной ветви Iс. Активная составляющая тока индуктивной ветви ILa оказывается равной току источника I.

Сопротивление контура

ZK=l/уK,

уk=g1+g2= R/X2L

ZK = Z2B/R.

Признаки резонанса токов:

а) сопротивление контура ZK максимальное и чисто активное;

б) ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает практически минимального значения;

в) реактивная составляющая тока в катушке равна емкостному току, причем эти токи могут во много раз превышать ток источника.

КОЭФФИЦИЕНТ МОЩНОСТИ

Коэффициент мощности cosφ = P/S. Технико-экономическое значение коэффициента мощности cos φ заключается в том, что от его значения зависят эффективность использования электрических установок и, следовательно, капитальные и эксплуатационные расходы. Уменьшение cos φ, значение которого определяется характером нагрузки, приводит к неполному использованию генератора. Если приемник энергии (нагрузка) работает при неизменных напряжении и мощности, то ток нагрузки генератора будет тем больше, чем меньше cos φ. Увеличение тока генератора приводит к возрастанию тепловых потерь в линиях  передачи энергии.

Для полного использования номинальной мощности генераторов и уменьшения тепловых потерь необходимо повышать со приемников энергии до значений, близких к единице (0,95—1,0).

Для повышения cos φ параллельно приемнику энергии включают батареи конденсаторов. Благодаря этому источником реактивной энергии для приемника становится емкость, и линия передачи разгружается от реактивного тока.

2.3. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Три синусоидальные ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутые по фазе на 120°, образуют трехфазную симметричную систему. Аналогично получаются трехфазные системы напряжений и токов.

Рис.2.20. Векторная диаграмма трехфазных напряжений и токов при симметричной нагрузке

При симметричной нагрузке, когда все три нагрузочных сопротивления равны по значению и имеют одинаковый характер, синусоиды напряжений и токов изображаются графиками, аналогичными графику ЭДС. При этом начальные фазы токов определяются характером нагрузки, токи Iд, IВ, IС равны по амплитуде и сдвинуты по фазе на 120° один относительно другого. Векторная диаграмма трехфазных напряжений и токов при симметричной нагрузке изображена на рис.2.20.

Трехфазный генератор, соединенный проводами с трехфазным потребителем, образует трехфазную цепь. В трехфазной цепи протекает трехфазная система токов, т. е. синусоидальные токи с тремя различными фазами. Участок цепи, по которому протекает один из токов, называют фазой трехфазной цепи.

В целях экономии обмотки трехфазного генератора соединяют звездой или треугольником. При этом число соединительных проводов от генератора к нагрузке уменьшается до трех или четырех.

Рис. 2.21. Схема обмоток генератора, соединенных звездой

Рис.2.22. Схема обмоток генератора, соединенных треугольником

При соединении звездой концы обмоток объединяют в одну точку, которую называют нулевой точкой генератора и обозначают О. Начала обмоток обозначают буквами А, В, С.

При соединении треугольником конец первой обмотки генератора соединяют с началом второй, конец второй — с началом третьей, конец третьей — с началом первой. К точкам А, В, С подсоединяют провода соединительной линии.

Отметим, что при отсутствии нагрузки ток в обмотках такого соединения отсутствует, так как геометрическая сумма ЭДС Еа, Ев и  Eс равна нулю. 

СОЕДИНЕНИЕ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ ЗВЕЗДОЙ.

ЧЕТЫРЕХ- И ТРЕХПРОВОДНАЯ ЦЕПИ

Рассмотрим соединение генератора с нагрузкой, включенной звездой (рис.2.23).

Провод 00' называют нулевым (четырехпроводная цепь).

I0= IА + IВ + IС

Рис. 2.23. Схема трехфазной электрической цепи с нулевым проводом

Рис.2.24. Векторная диаграмма токов в трехфазной цепи при симметричной нагрузке

Рис. 2.25. Схема  трехфазной трехпроводной цепи

Из геометрического построения, показанного на рис.2.24, следует, что в этом случае векторная сумма токов равна нулю:

0= IА + IВ + IС

При симметричной нагрузке нулевой провод не нужен. Получается схема трехфазной трехпроводной цепи, изображенная на рис.2.25.

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФАЗНЫМИ И ЛИНЕЙНЫМИ   НАПРЯЖЕНИЯМИ   И   ТОКАМИ   ПРИ СИММЕТРИЧНОЙ   НАГРУЗКЕ  В ТРЕХФАЗНОЙ   ЦЕПИ, СОЕДИНЕННОЙ ЗВЕЗДОЙ

Система ЭДС обмоток трехфазного генератора, работающего в энергосистеме, всегда симметрична: ЭДС поддерживаются строго постоянными по амплитуде и сдвинутыми по фазе на 120°.

Рассмотрим симметричную нагрузку (рис.2.26.), для которой

ZА=ZВ=ZС=Z , φА=φВ=φС=φ

К зажимам А, В, С подходят провода линии электропередачи—линейные провода.

Введем обозначения: Iл — линейный ток в проводах линии электропередачи; Iф — ток в сопротивлениях (фазах) нагрузки; Uл — линейное напряжение между линейными проводами; UФ — фазное напряжение на фазах нагрузки.

Фазные и линейные токи совпадают: Iл = Iф, напряжения UAB, UBC и UCA являются линейными, а напряжения UA, UB, Uс — фазными. Складывая напряжения, находим  (рис.2.27.):

UAB = UA-UB; UВC = UB-Uc; UCA = UC-UA.

Рис. 2.26. Соединение нагрузки звездой

Рис. 2.27. Полярная векторная диаграмма напряжений

Векторную диаграмму, удовлетворяющую этим уравнениям (рис.2.27), начинаем строить с изображения звезды фазных напряжений UА, UB, Uc. Затем строим вектор UAB — как геометрическую сумму векторов UA и —

UB, вектор UВС как геометрическую сумму векторов UВ и – UС вектор UCA — как геометрическую сумму векторов Uc и — UА.

На построенной векторной диаграмме начала всех векторов совмещены в одной точке (полюсе), поэтому ее называют полярной. Основное достоинство полярной векторной диаграммы — ее наглядность.

Уравнениям, связывающим векторы линейных и фазных напряжений, удовлетворяет также векторная диаграмма рис.2.28, которую называют топографической.

Рис.2.28. Топографическая векторная диаграмма напряжений  

В симметричной звезде фазные и линейные токи и напряжения связаны соотношениями Iл = Iф;

Uл =√3 Uф.

Нулевой провод в четырехпроводной цепи предназначен для обеспечения симметрии фазных напряжений при несимметричной нагрузке.

Несимметрия фазных напряжений недопустима, так как приводит к нарушению нормальной работы потребителей, рассчитанных на определенное рабочее напряжение.

СОЕДИНЕНИЕ НАГРУЗКИ ТРЕУГОЛЬНИКОМ. ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ, СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФАЗНЫМИ И ЛИНЕЙНЫМИ ТОКАМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ

Треугольником могут быть соединены как обмотки генератора, так и фазы нагрузки. При соединении треугольником фазные и линейные напряжения равны: UЛ = UФ (рис.2.29). Применив первый закон Кирхгофа

Рис. 2.29. Соединение нагрузки треугольником

 

               IC

Рис. 2.30. Векторные диаграммы напряжений и токов трехфазной цепи при соединении нагрузки треугольником

Рис. 2.31. К определению соотношения между фазными и линейными токами при соединении нагрузки треугольником

к узлам А, В и С, найдем связь между линейными IА IВ IС фазными IАВ, IВС, IСА токами. Для векторов токов справедливы соотношения

IА = IАВ- IСА; IВ=IВСIав; Iс = Iса — Iвс

Этим уравнениям удовлетворяют векторные диаграммы, представленные на рис.2.30. При симметричной нагрузке

IА =IВ = Iс = IЛ;   IАВ =IВС= IСА= IФ.

Из   треугольника   фазных   и   линейных   токов (рис.2.31) находим

Iл = 2Iф cos 30° = 2Iф = √3 IФ.

Таким образом, при соединении треугольником UЛ=UФ; IЛ=√3IФ

АКТИВНАЯ, РЕАКТИВНАЯ И ПОЛНАЯ МОЩНОСТИ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ. КОЭФФИЦИЕНТ МОЩНОСТИ

Активная мощность трехфазной цепи равна сумме активных мощностей ее фаз:

P=PА+ PВ+PС

Реактивная мощность трехфазной цепи равна сумме реактивных мощностей ее фаз:

Q = Qa + Qb + Qc

В симметричной трехфазной  цепи

PФ=PА= PВ=PС ; QФ = Qa = Qb = Qc Тогда Р = ЗРФ, Q =3QФ

Мощность одной фазы

P=3UФ IФ cos φ; Q =3UФ IФ sinφ 

При соединении звездой

Р = 3UФ IФ cos φ  =√3UЛ IЛ cos φ

При соединении треугольником

Р = 3UФ IФ cos φ =√3UЛ IЛ cos φ

Таким образом, в обоих случаях активная мощность симметричной цепи

Р = √3UЛ IЛ cos φ
Реактивная мощность

Q = √3UЛ IЛ sinφ

Полная мощность

S==√3UЛ IЛ

Коэффициент мощности симметричной трехфазной цепи находят как отношение активной и полной мощностей:

cos φ =

3. решениЕ ТИПОВЫХ контрольных заданий

Электрическая цепь постоянного тока. Закон Ома.

Задача 1. При разомкнутом ключе   К   показания вольтметра 2,1 В. Когда ключ замкнут, амперметр фиксирует ток 1 А. Внешнее сопротивление цепи

   К                R=2 Ом.

 R  Рис. 3.1

Определить   ЭДС источника Е,  внутреннее сопротивление источника Rвт и напряжение    на зажимах источника U.

Решение:

1. Любая электрическая цепь содержит следующие элементы: источники энергии — активные элементы, потребители энергии (резисторы, осветительные приборы и т. д.) — пассивные элементы, измерительные приборы и коммутационную аппаратуру.

Электрическая цепь подразделяется также на участки: внутренний — сопротивление источника RBT и внешний— потребители - R.

  1.  Когда цепь тока разорвана, вольтметр, подключенный к зажимам источника, практически фиксирует значение ЭДС. Следовательно,

E=2,1 В.

  1.  Для определения RBT необходимо воспользоваться законом Ома для всей цепи:

I = E/(Rвт + R),

откуда

Rвт + R = E/I = 2,1/1 = 2,1 Ом.

Так как известно, что внешнее сопротивление цепи R = 2 Ом, то внутреннее сопротивление источника RВT = 2,1—2=0,1 Ом.

4. Напряжение на зажимах источника

U = Е — Rвт I или U = RI.

Подставляя значения в приведенные выражения, получим

U = 2,1—0,1*1=2 В;

U=2-1=2 В. Применение формулы U=ERBTI предпочтительней, так как подчеркивается тот факт, что напряжение на зажимах источника меньше ЭДС, причем с увеличением тока это напряжение уменьшается.

Задача 2. Последовательное соединение   резисторов.

В цепи, показанной на рисунке, ЭДС источника Е = 100 В, внутреннее сопротивление Rвт = 2 Ом. Сопротивление потребителей: R1 = 50 Ом; R2= 100 Ом; R3=48 Ом. Определить ток в цепи, напряжение на зажимах источника и на каждом резисторе, мощность источника и мощность потребителей, проверить баланс мощностей.                                      Рис. 3.2

Решение:

1. Определяем значение тока. Для этого сначала находим эквивалентное сопротивление внешнего участка цепи, представленной на рисунке. Так как резисторы R1, R2 и R3 включены последовательно, эквивалентное сопротивление R=R1+R2+Rз=50 +100 +48=198 Ом. Рассматриваемая цепь примет вид, показанный на рисунке. Тогда согласно закону Ома для всей цепи:

I= E/(RBT + R) = 100/(2 + 198) = 0,5 А.           Рис.3.3.

2. Находим напряжение на зажимах источника. Оно
может быть определено на основании закона Ома для участка цепи:

U=RI= 198*0,5=99 В.

Целесообразно воспользоваться и другой формулой для определения этого напряжения:

U =ERвтI= 100—2*0,5=99 В.

Из этого выражения следует, что напряжение на зажимах источника с ростом тока уменьшается.

3. Находим напряжения на отдельных участках цепи. Эти напряжения определяются по закону Ома для участка цепи. Необходимо также иметь в виду, что токи на всех участках одинаковы, так как цепь неразветвленная: U1 = R1I = 50*0,5=25 В;

U2=R2I=100*0,5=50 В;

U3 = R3I= 48*0,5 = 24 В.

Необходимо обратить внимание на следующую закономерность: напряжения на пассивных участках цепи при их последовательном соединении прямо пропорциональны сопротивлениям этих участков, т. е. напряжения на участках цепи относятся как их сопротивления:

U1:U2: U3=R1 : R2: R3

При этом, если изменить сопротивление какого-нибудь участка, произойдет перераспределение напряжений на участках цепи, но приведенное соотношение сохранится.

4. Находим мощности и составляем их баланс. Мощность источника энергии: РИI=100*0,5=50 Вт. Часть этой мощности теряется внутри источника

Рвт=UвтI = (E-U)/ I= 1*0,5 = 0,5 Вт.

Мощности на отдельных участках (полезные мощности):

Р1 = U1I=25*0,5= 12,5 Вт;

P2=U2I=50*0,5=25 Вт;

Р3 = UзI=24*0,5= 12 Вт или те же мощности:

Р1  =I2R1 = 0,25* 50= 12,5 Вт;

Р2=I2R2=0,25*100 = 25 Вт;

Р3=I2R3=0,25*48=12Вт.

Составим уравнение баланса мощностей, которое отражает закон сохранения энергии для электрических цепей:

Pи=Pвт,+P1+P2+P3;

50=0,5+12,5+25+12.

Выполнение баланса мощностей свидетельствует о правильности расчета.

Задача 3. Параллельное соединение резисторов. 

Для цепи, показанной на рисунке, U=const = 50 В;

R1 =20 Ом; R2=50 Ом; R3=100 Ом. Определить все токи, общую мощность и мощность на участках.

Решение:                                                                      Рис. 3.4.   

  1.  Определяем общий ток I. Для этого сначала находим эквивалентное сопротивление внешнего участка цепи R. Воспользуемся известной формулой:

1/R =1/R1 + 1/R2 + l/R3 = 1/20 + 1/50+1/100 = 8/100 См.

Напомним, что величина, обратная по значению сопротивлению 1/R, называется проводимостью, обозначается буквой g и измеряется в сименсах (См):  

1/R = g = 8/100   См.   Следовательно, R = 1/g = 100/8= 12,5 Ом.

С   учетом    эквивалентной    замены трех резисторов одним получим схему на рисунке.

Согласно закону Ома, I = U/R = 50/12,5=4 А.

2. Находим токи на участках цепи после разветвления:  

Рис.3.5.   I1= U/R 1 = 50/20=2,5 А;

I2= U/R2=50/50=1 А;    

I3= U/R3=50/100=0,5 А.     

Общий ток I можно определить на основании первого закона Кирхгофа:

I=I1+I2+I3=2,5+1+0,5=4 А.

3. Находим мощности. Общая мощность:   

P =UI = 50*4=200 Вт.

Мощности   на   участках:    

P1 = UI1 = 50*2,5= 125 Вт;

Р2= UI2=50*1 = 50Вт;

Р3=UI3= 50*0,5=25 Вт.

При параллельном соединении резисторов те же мощности можно определить так:

P1 = U2/R1 = 2500/20 = 125 Вт;

Р2 = U2/R2 =  2500/50 = 50 Вт;  

Р3 = U2/R3=2500/100=25 Вт.

Рассчитаем эту же задачу с новыми данными: R1 = 20 Ом; R2 = 50 Ом; R3=100Ом; I3=1 А. Определить токи I1; I2; Iи напряжение на зажимах цепи.

1. Определяем токи I2 и I3. Известно, что токи в ветвях при параллельном соединении обратно пропорциональны сопротивлениям этих ветвей. На основании этого:    I1/I3=R3/R1.    

Откуда    I1 =I3R3/R1= 1 *100/20 = 5 А.

Аналогично,  I2/I3=R3/R2 ;  I2=I3 R3/R2=l*100/50=2А.

2. Общий ток I определяется на основании первого
закона Кирхгофа:

I=I1 + I2 + I3 = 5 + 2 + 1=8 А.

  1.  Напряжение на зажимах цепи находим на основании закона Ома для участка цепи: U=R3Iз=100*1 = 100 В. Это напряжение одинаково для всех участков, так как они включены параллельно. Предложенную задачу можно решить и другим путем: найдя U, определяем I1 и I2;

I1= U/R1; I2=U/R2. Зная все токи в ветвях, находим общий ток I.

Задача 4. Смешанное соединение сопротивлений. 

         Рис.3.6.                 Для цепи, представленной на рисунке, E=120 В;

 Rвт=2 0м;

 R1= 11,5 Ом; R2=10 Ом; R3  =20 Ом;

R4 = 50 Ом; R5 =  100 Ом; R6=40 Ом; R7 =  60 Ом.            Определить токи и напряжения на всех участках цепи и напряжение на зажимах источника, а также мощность источника и мощности потребителей.

Расчет цепи при смешанном соединении осуществляется методом «свертывания». Путем ряда     эквивалентных упрощений (замен) исходная схема приводится к виду, показанному на рисунке, где R — сопротивление, эквивалентное всем внешним участкам цепи. Затем определяется общий ток I. После этого

Рис.3.7.

возвращаемся к промежуточным схемам и определяем напряжение на ее участках. По известным напряжениям на участках находим токи на всех участках.

Решение:

1. Определяем эквивалентное сопротивление R. Сначала цепь замещается эквивалентной. Для этой цепи определяется Rab и Rсd.

1/Rab = l/R3+ 1/R4+ 1/R5, = 1/20 + 1/50+1/100 = 8/100 См;

Rab = 12,5 Ом;    

Rcd = R6 R7/(R6 + R7) = 40*60/(40 + 60) = 24 Ом.

Так как схема представляет последовательное соединение резисторов, находим значение эквивалентного сопротивления внешней цепи:

R=R1+R2+Rab+Rcd=  11,5+10+12,5+24=58 Ом.

2. Определяем общий ток I. Исходная схема упрощена. Следовательно, на основании закона Ома для всей цепи

I= E/(RBT + R) = 120/(2 + 58) = 120/60 =2А.

  1.  Определяем напряжение на участках промежуточной схемы (см. рис.). Uab=RabI=12,5*2=25 В; Ucd=RcdI =24*2=48 В.
  2.  Находим токи на остальных участках цепи. Теперь известны напряжения на разветвлениях «аб» и «cd». Следовательно;

I3=Uab/R3=25/20 =1,25 А; I4=UаЬ/R4 =25/50=0,5 А; I5=Uа6/R5=25/100=0,25 А; I6= Ucd/R6=48/40=1,2А; I7=Ucd/R7=48/60=0,8 А. Для проверки правильности определения токов и напряжений необходимо воспользоваться первым и вторым законами Кирхгофа.

Применяем первый закон Кирхгофа к узлу «а»:

II3I4I5 = 2— 1,25 — 0,5 — 0,25=0.

Для узла «с»: II6I7 = 2—1,2—0,8=0, т.е. полученные значения токов соответствуют первому закону Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС ΣE для любого контура электрической цепи равна алгебраической сумме напряжений на всех участках того же контура ΣU.

E = Uвт+U1 + U2 + Uab + Uсd=>Rвт I + R1I + + R2I + RabI + RcdI.

Подставляя числовые значения в правую часть равенства, получим

2*2 + 11,5*2+ 10*2+ 12,5*2 + 24*2 = = 4 + 23 + 20 + 25 + 48 = 120В.

Действительно, Е =ΣU. (В данном случае ΣЕ = Е.)

  1.  Определим мощности. Мощность источника:

Ри=EI=120*2=240Вт.

Мощности на участках:

Рвт=I2RBT=4*2=8Вт;

P1=I2R1=4*11,5=46Вт;

Р2=I2R2=4*10=40Вт;

P3=Uab I3=23*1,25=31,25 Вт;

Р4=Uа6I4=25*0,5=12,5    Вт;

Р5 = UаЬI5=25-0,25= 6,25 Вт;

P6 = UcdI6=48*1,2 = 57,6 Вт;

P7 = UcdI7= 48*0,8=38,4 Вт. Баланс мощностей сходится РИ=ΣР. Это является дополнительной проверкой правильности расчета.

Заметим, что постановка задачи по расчету цепи может быть другой. Например, задаются сопротивления всех участков, а вместо ЭДС Е задается ток I3=1A (или любой другой). Тогда необходимо определить токи на всех остальных участках и напряжения, а также значение Е. Последовательность решения задачи такова.

  1.  Определяем Uаь=R3I3=20*1=20 В.
  2.  Зная Uab, находим токи: I4=Uab/R4=20/50=0,4 А; I5=Uа6/R5=20/100=0,2А; I=I3+I4+I5= 1 + 0,4+0,2  = 1,6 А.
  3.  Находим напряжение на остальных участках и ЭДС

U1,2= (R1+R2)I=21,5*1,6=34,4 В; Ucd=RcdI= 24*1,6=38,4 В;

Uвт=RвтI=2*1,6=3,2 В; E=Uвт + U1,2+Ua6+Ucd=3,2+34,4+20+38,4 = 96B.

  1.  Токи I6 и I7 определяем на основании закона Ома для участка цепи: I6=Ucd/R6=38,4/40=0,96 А; I7=  Ucd/R7=38,4/60=0,64 А.

Расчет однофазных цепей переменного тока

Задача 1. Определить напряжение U, приложенное к последовательно соединенным резистору и конденсатору (рис.3.8.), если напряжение на резисторе Ua=30B, а напряжение на конденсаторе Uc=40B. Активным сопротивлением конденсатора и проводов пренебречь.

Решение: Векторы напряжений Ua и Uc сдвинуты один относительно другого на 900 (рис.3.9.), поэтому их геометрическую сумму можно определить по теореме Пифагора:

Рис.3.8.                    Рис.3.9.          Рис.3.10.

Задача 2. Определить ток в цепи (рис.3.10), состоящей из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Найти падение напряжения на элементах цепи и построить векторную диаграмму. Активным сопротивлением конденсатора, катушки и проводов пренебречь. Дано: U=220 В, R = 22 Ом, С=100 мкФ = 100*10-6 Ф, L= 101,32 мГн,

f = 50 Гц:

Решение: Емкостное и индуктивное сопротивления

Емкостное сопротивление  равно индуктивному, следовательно, в цепи — резонанс напряжений. Полное сопротивление цепи и ток в ней

      UL

Падение напряжения на элементах цепи:                                        UR              I

UR = RI= 20*11 =220 В;                                        Рис.3.11.              Uc

UL= Uc = xLI = xcI = 31,83*10 = 318,3 В.

При построении векторной диаграммы (рис. 3.11) учитываем, что в цепи — резонанс напряжений.

Задача 3. Определить токи в цепи, изображенной на рис. 3.12. Дано: U=120 В, активное сопротивление катушки индуктивности R1 = 8 0m, индуктивное сопротивление Xl = 6 Ом, R2=3 Ом, Xс=4 0м. Построить векторную диаграмму токов. Активным сопротивлением   проводов и конденсатора   пренебречь.

                            Рис.3.12.

Решение.    Активные  и   реактивные проводимости ветвей:

Полная проводимость цепи

Ток в неразветвленной части цепи

I= Uy = 120 *0,2236 = 26,83 А.

Токи в параллельных ветвях

Для построения векторной диаграммы находим углы сдвига по фазе токов в ветвях относительно напряжения U: tgφl=xL/R1 = 6/8=0,75;

tg φ2=-хс/R2= —4/3 = — 1,33; φ1=36°50'; φ2= —53° 10'.

Вектор тока I в неразветвленной части цепи находим графически как векторную сумму токов I1 и I2. Графически находим также угол φ = 26°40'.

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.13.

Рис.3.13.                         Рис.3.14.

Задача 4. Определить падения напряжения на активных и реактивных сопротивлениях цепи в условиях предыдущей задачи. Построить векторную диаграмму напряжений.

Решение. Действующие значения искомых напряжений находим по закону Ома:

UR1=I1R1= 12*8 = 96 В;    UL=I1xL= 12*6 = 72 В; UR2 = I2R2 = 24*3 = 72 В;    U с = I2хс = 24*4 = 96 В;

При построении векторной диаграммы учитываем, что UL отстает по фазе на 90° от URl, a Uc опережает по фазе UR2 на 90°. Кроме того, сумма векторов UR1 и UL равна вектору U и сумма векторов UR2 и Uc равна тому же вектору U. Построение осуществляем с помощью линейки и циркуля. Векторная диаграмма изображена на рис. 3.14.

Задача 5. Цепь, изображенная на рис.3.15, потребляет из промышленной сети (частота f=50 Гц) полную мощность 5=1 кВ-А.

                     Рис. 3.15                    Рис. 3.16

Определить реактивную мощность, потребляемую из сети, если I=10 А, R = 8 0м. Найти cos φ (φ — угол сдвига по фазе между током I и напряжением U на входных зажимах цепи).

Что следует сделать, чтобы цепь не потребляла из
сети реактивную мощность?

Решение.     Активная     мощность,     потребляемая цепью,

Р=I2R = 102* 8=800 Вт. Реактивная мощность, потребляемая цепью,

Коэффициент мощности находим из треугольника мощностей:

cos φ=Р/S = 800/1000=0,8.

Найдем также tg φ = Q/P=600/800=0,75.

Чтобы исключить потребление из сети реактивной мощности, подсоединим к входным зажимам цепи ab конденсатор (рис. 3.16). Идея заключается в том, чтобы реактивная мощность индуктивности не возвращалась в сеть, а поступала в конденсатор и затем потреблялась оттуда (конденсатор и катушка обменивались бы энергией). При этом реактивный ток не загружает сеть и не создает дополнительных потерь в проводах линии. Поэтому емкость конденсатора должна быть подобрана соответствующим образом. Проделаем необходимые расчеты при условии, что активное сопротивление конденсатора пренебрежимо мало.

Индуктивное сопротивление находим из треугольника сопротивлений

xL = Rtgφ = 8*0,75 =6 Ом.

Реактивная проводимость ветви с индуктивностью

Такой же должна быть реактивная проводимость цепи с емкостью

bc = bL

bc=1/ xc,  так как по условию Rc « 0. Таким образом,

l/xc =ωC=2πfC= bL.

Отсюда емкость конденсатора

C= bL /2πf=0,06/2π50=1,91*10-4Ф

При найденной емкости конденсатора реактивная проводимость

 b= bLbс=0,

полная проводимость цепи равна активной проводимости y=g, коэффициент мощности cosφ=g/y=l и потребление реактивной мощности из сети отсутствует.

Задача 6. В цепи, изображенной на рис. 3.17, подобрать частоту f питающего напряжения и емкость конденсатора С1 так, чтобы одновременно получить резонанс токов и резонанс напряжений.

Дано: RC=RL=R; L1=0,1 Гн; С=0,02мкФ; L =0,2 мГн.

Решение. Резонанс токов получим на участке цепи ab подбором частоты f, которую найдем из условия bL=bc.

Имеем

ωL R2C

Следовательно,

Рис. 3.17.

Умножим левую и правую части равенства на ωС:

Отсюда     

VLC

где ωр — резонансная угловая частота.

По условию задачи RL=RC, следовательно, ωр =.

Частота, при которой в схеме возникает резонанс токов,

fp=

При найденной частоте участок цепи ab имеет чисто активное сопротивление.

Значение емкости С1 находим из условия резонанса напряжений на элементах L1 C1:

fp=

откуда

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.17. Построение диаграммы начинаем с вектора напряжения Uab между точками ab. Реактивная составляющая Iсp тока в ветви с конденсатором опережает напряжение Uab на 90°, а реактивная составляющая ILp тока в ветви с индуктивностью отстает от Uab на 90°. Эти составляющие взаимно компенсируются и ток в неразветвленной части цепи равен сумме активных составляющих токов параллельных ветвей: I=Ica+ILa. Вектор напряжения UL1 опережает вектор тока на 90°, а вектор Uc1 отстает от I на 90°. При резонансе напряжений они взаимно компенсируются и приложенное к цепи   напряжениеU = Uab+IR1.       

Трехфазные электрические цепи

Задача 1. Напряжения uA, uв, uс образуют трехфазную систему. Мгновенное значение напряжения uA выражается формулой uA=311sin ωt. Написать выражения для мгновенных значений напряжений uв и uс. Построить векторную диаграмму.

Решение. Так как порядок следования фаз не указан, возможны два варианта:

а) uв = 311 sin (ωt + 2π/3);    б) uв = 311 sin (ωt — 2π/3);

uс = 311 sin (ωt — 2π/3);    uс = 311 sint + 2π/3).

Векторные диаграммы изображены на  рис.3.18, а, б.

Задача 2. Обмотки трехфазного генератора соединены треугольником (рис.3.19, а); звездой с нулевым проводом (рис.3.19, б) и вращаются против часовой стрелки. Построить топографические векторные диаграммы для обоих случаев.

Решение. Векторные диаграммы представлены на рис.3.20, а, б. В первом случае напряжения между клеммами генератора А, В, С являются как фазными, так и

Рис.3.18.                                            Рис.3.19.

линейными. Во втором случае напряжения между клеммой 0 и клеммами Л, В, С являются фазными, а напряжения между клеммами А и В, В и С, С и А — линейными.

Рис.3.20.

Задача 3. Четырехпроводная осветительная сеть (рис.3.21) получает питание по кабелю с линейным напряжением Uл=380 В. В каждой из фаз А и В включено по 44 лампы, в фазе С включено 22 лампы, мощность лампы Рл=100 Вт. Определить токи в проводах кабеля.

Решение. Мощность потребителей: в фазах А и В:

Рлв=44Рл=44*100 = =4,4 кВт, в фазе С РС=22РЛ=  22*100=2,2 кВт.

В четырехпроводной сети фазные напряжения равны между собой и в раз меньше линейных напряжений:

UA=UB= Uc = Uф = Uл/√3= 380/√3 = 220 В

Рис.3.21.                                  Рис.3.22.                       Рис.3.23.                     

Токи в фазах

IA=IB= РА/Uф = 4400/220 = 20 А;

IC=PC/Uф= 2200/220 = 10 А.

Для определения тока в нейтральном проводе воспользуемся векторной диаграммой фазных напряжений и токов  (рис.3.22). Для удобства расчетов каждый из векторов IA и IВ представлен в виде суммы:

IA=IA+I’’A,  IB=IB+I’’B

Ток в нейтральном проводе

I0= IA+IB+IC= IA+I’’A +IB+I’’B + IC

Выберем составляющие токов так, чтобы I'А=I'В=IС

Тогда IA+ IB +IC=0; I0= I’’A+I’’B

Суммируя векторы Iа’’ и  Iв ‘’, графически или аналитически находим

I0 = 10 А.

Задача 4. В условиях предыдущей задачи перегорел предохранитель в фазе С. Определить токи в проводах кабеля.

Решение. Ток в фазе С Iс=0, так как цепь разорвана. Токи в фазах А и В не изменились, так как не изменились фазные напряжения UA, UB и сопротивление потребителей.

Ток в нейтральном проводе находим, суммируя векторы токов IА и Iв (см. рис.3.22). Графически или аналитически находим I0 = 20 А.

Примечание. Векторы Iа, Iв, Iо (рис.3.23) образуют треугольник с углом 60° между известными сторонами. Третью сторону находим по формулам тригонометрии для косоугольных треугольников:

Задача 5. Три одинаковые катушки включены в трехфазную сеть с линейным напряжением Uл = 380 В. Активное сопротивление каждой катушки R = 16 Ом, индуктивное Xl= 12 Ом.

Найти активную, реактивную и полную мощности, потребляемые катушками при соединении их: а) треугольником, б) звездой. Определить коэффициент мощности.

Решение. Полное сопротивление катушки:

При соединении треугольником каждая катушка находится под линейным напряжением и ток в ней I = Uл/Z=  380/20=19 А.

Мощности, потребляемые тремя катушками,

Р = ЗI2 R = 3 • 192 • 16 = 17 328 Вт;

Q = ЗI2 xL = 3 • 192 • 12 = 12 996 вар;

S==3I2Z = 3*192*20 = 21660 В-А.

Коэффициент мощности cos φ = Р/S= 17328/21660= 0,8.

При соединении звездой каждая катушка находится под фазным напряжением   Uф =Uл/√3, при этом  I = Uф/z = 380/√3* 20 = 10,97 А.

Мощности, потребляемые катушками,

Р = ЗI2 R = 3 • 10,972 • 16 = 5776,4 Вт;

Q = 3I2 xL = 3*10,972* 12 = 4332,3 вар;

S = 3I2z = 3*10,972*20 = 7220,5 В-А.

Коэффициент мощности: cos φ=P/S = 5776,4/7220,5=  0,8.

Задача 6. На рис.3.24,а, б изображены симметричные трехфазные потребители. В обоих случаях одинаковы линейные напряжения и линейные токи. Дано: Uл = = 220 В, IЛ= 10 А.

В обоих случаях определить полную мощность S и фазные сопротивления Z1, Z2.

а)

Рис.3.24.

Решение. Полная мощность в обоих случаях определяется по формуле

S = √З Uл Iл = √З *220 * 10 = 1270 В -А.

Сопротивления

Z1 = Uф/Iф = Uл/√3Iл= 220/√3*10 = 12,7 Ом;

Z2 = Uф/Iф = √З Uл /Iл = 220*√З/10 = 38,1 Ом.

Задача 7. В трехфазную четырехпроводную сеть (рис.3.25) с линейным напряжением Uл=220В включены конденсатор, катушка и резисторы. Дано: R1 = 10Om; R2 = 60м; R3 = 7 0м; xl = 8 0m; хс = — 24 0м.

Рис.3.25.                                                    Рис.3.26.

Определить линейные токи, ток в нейтральном проводе и все виды мощности, потребляемой нагрузкой.

Решение. Из рис.3.25 видно, что нагрузка включена по схеме «звезда с нулевым проводом», следовательно, фазные напряжения симметричны и определяются по формуле

UФ = Uл/√3 = 220/√3 = 127 В.

Полные сопротивления, включенные в фазы А, В, С,

ZА = R1 = 10 Ом;

Действующие значения токов в фазах

IA=Uф/zA=127/10=12,7A

IB=IA=12,7A

IC=Uф/zc=127/25=5,08A

Ток в нейтральном проводе найдем с помощью векторной диаграммы, представленной на рис.3.26. Для построения диаграммы определим угол φв сдвига по фазе между Uв и IВ, и угол φС сдвига по фазе между Uс и Iс: tgφB=XL/ R2=8/6; φВ=53,1°; tgφc=xc/R3=—24/7; φс=-73,7°.

Суммируя графически (по правилу параллелограмма или методом переноса), находим сумму векторов Ia, Iв, Iс, равную I0.

Активную мощность, потребляемую нагрузкой, определяем, суммируя активные мощности фаз

Р = I2А R1, + I2 BR2 + I2C R3 = 12,72*10+12,72*6+5,082*7= 2761,3 Вт. Реактивная мощность

Q = I2 B-xL+I2 cxc= 12,72*8 —5,082*24 =671 вар;

полная мощность

Задача 8. Как изменится напряжение в симметричной трехфазной системе, изображенной на рис.3.27, при обрыве фазы А, если до обрыва этой фазы напряжения Uab = Ubc = Uca=220B. Сопротивлением проводов пренебречь.                                                            

Решение. После обрыва фазы А напряжения Uab = Ubc=Uca = Uл практически не изменятся, так как падения напряжения в проводах линии по условию пренебрежимо малы.

                                                                         Рис.3.27.

Для определения напряжений Uao (между точками А и 0), Ubo (между точками В и 0), Uсо (между точками С и 0) воспользуемся топографической векторной диаграммой (рис.3.28), которая для наглядности изображена до обрыва (рис. 3.28, а) и после обрыва (рис.3.28,6) фазы А.

До обрыва

UAO=UBO=UCO= Uф = UЛ/ √3 = 220/√3 = 127 В.

После обрыва фазы А (см. рис.3.28) точка 0 делит на топографической диаграмме UВС пополам, так как сопротивления фаз равны. Напряжения между нейтралью 0 и точками А, В, С

UBO=UCO=Uл/2=110В

б)

Рис. 3.28.

Задача 9. В трехфазной цепи, изображенной на рис.3.29, произошло короткое замыкание фазы А. Дано: UAB=230 В; UBC = 210 В; UCA=200 В. Определить: Uao, Ubo, Uco при коротком замыкании фазы А.

Решение. При коротком замыкании фазы А точка 0 (рис.3.30) на топографической диаграмме совместится с точкой А, так как разность потенциалов между этими точками в цепи (см. рис.3.30) равна нулю. Поэтому

UBO =UAB = 230 В;     UCO = UCA = 200 В;     UAO = 0.

Рис.3.29.                              Рис.3.30.                Рис.3.31.

Задача 10. В трехфазной цепи (рис.3.31), произошел обрыв фазы А. Как изменяться напряжения UA0, UBO, UCO, если Z1Z2Z3. Сопротивлением проводов пренебречь.

Решение. В четырехпроводной трехфазной цепи даже при несимметричной нагрузке потенциал точки 0 меняется только при обрыве нулевого провода. При обрыве или коротком замыкании фазы он не меняется.

Поэтому на топографической диаграмме напряжений (рис.3.28, а) точка 0 сохранит свое положение. Следовательно, UАО, UBO, UCO при обрыве фазы А (как и любой другой фазы)  не изменятся.

4. Задания к контрольной работе

Задача 1. Схема цепи указана на соответствующем рисунке. Номер рисунка и данные для расчета приведены в таблице 4.1. Определить: ток в цепи, напряжения на ее участках, напряжение на зажимах цепи, а также неизвестные сопротивления.

Таблица 4.1.

Номера вариантов

Номера рисунков

Задаваемые величины

Определить

  1.  

4.1.

U3=25B;P3=12,5Вт;R1=40Ом  R2=60 Ом; Rх=0

R3; I; U1; U2;U

  1.  

4.1.

U1=20B;R1=40Ом;R2=50Ом; R3=30Ом;   Rх=20Ом

I; U2;U3;Uх;U

  1.  

4.1.

UAB=40B;R1=35Ом;R2=45Ом;R3=20Ом;U=150B

I; U1; U2;U3;Uх;Rx

  1.  

4.1.

U=240B;P2=24Вт;R1:R2:R3=1:4:5;Rх=0

R3; I; U1; U2;U3;R1; R2

  1.  

4.1.

R3=24Ом; P3=96 Вт; R1:R2:R3:Rх=1:2:3:4

Rх;I;U1;U2;U3;R1;R2;

Uх; U

  1.  

4.1.

U2=20B;R1=100Ом;R2=40Ом; R3=20Ом;   Rх=80Ом

I; U1;U3;Uх;U

  1.  

4.1.

R2=42Ом; P2=84 Вт; R1:R2:R3:Rх=1:4:6:8

Rх;I;U1;U2;U3;R1;R3;

Uх; U

  1.  

4.1.

UAB=80B;R1=15Ом;R2=25Ом;R3=40Ом;U=200B

I; U1; U2;U3;Uх;Rx

  1.  

4.1.

U2=85B;P2=120Вт;R1=20Ом  R3=30 Ом; Rх=0

R2; I; U1; U3;U

  1.  

4.1.

U3=40B;R1=20Ом;R2=70Ом; R3=10Ом;   Rх=80Ом

I; U2;U1;Uх;U

  1.  

4.1.

U4=50B;R1=10Ом;R2=20Ом; R3=30Ом;   Rх=40Ом

I; U2;U3;U1;U

  1.  

4.1.

U1=15B;P1=10Вт;R3=20Ом  R2=80 Ом; Rх=0

R1; I; U3; U2;U

  1.  

4.1.

U=140B;P1=24Вт;R1:R2:R3=1:2:3;R4=0

R3; I; U1; U2;U3;R1; R2

  1.  

4.1.

U=100B;P3=14Вт;R1:R2:R3=1:4:5;Rх=0

R3; I; U1; U2;U3;R1; R2

  1.  

4.1.

R1=24Ом; P1=80 Вт; R1:R2:R3:Rх=1:2:5:10

Rх;I;U1;U2;U3;R2;R3;Uх; U

  1.  

4.1.

Rх=24Ом; P4=40 Вт; R1:R2:R3:Rх=1:2:3:4

R2;I;U1;U2;U3;R1;R3;

Uх; U

  1.  

4.1.

UAB=20B;R1=15Ом;R2=20Ом;R3=30Ом;U=100B

I; U1; U2;U3;Uх;Rx

  1.  

4.1.

UAB=80B;R1=50Ом;R2=40Ом;R3=25Ом;U=250B

I; U1; U2;U3;Uх;Rx

  1.  

4.1.

I=10A; Rх=24Ом; R1:R2:R3:Rх=1:2:3:4

R2;U1;U2;U3;R1;R3;Uх; U

  1.  

4.1.

I=1A; R3=2Ом; R1:R2:R3:Rх=1:2:3:4

R2;U1;U2;U3;R1;Rх;Uх; U

  1.  

4.2.

R1=12Ом;I1=2A;R1:R2:R3=1:2:3

U; R2;R3;I2; I3; I

  1.  

4.2.

R3=20Ом;I=10A;R1:R2:R3=2:5:10

U; R2;R1;I2; I3; I1

  1.  

4.2.

R3=20Ом;I1=2A;R2:R3=1:2; I=5A

U; R2;R1;I2; I3

  1.  

4.2.

U=100B;I=20A;R1:R2:R3=2:5:10

R2;R1;I2; I3; I1; R3

  1.  

4.2.

R2=12Ом;I2=2A;R1:R2:R3=1:2:3

U; R1;R3;I1; I3; I

  1.  

4.2.

R3=12Ом;I3=2A;R1:R2:R3=1:2:3

U; R2;R1;I2; I1; I

  1.  

4.2.

R1=10Ом;I=5A;R1:R2:R3=2:5:10

U; R2;R3;I2; I3; I1

  1.  

4.2.

R2=15Ом;I=15A;R1:R2:R3=2:5:10

U; R3;R1;I2; I3; I1

  1.  

4.2.

R2=20Ом;I1=2A;R2:R3=1:2; I=5A

U; R3;R1;I2; I3

  1.  

4.2.

R1=20Ом;I1=2A;R2:R3=1:2; I=5A

U; R2;R3;I2; I3

  1.  

4.2.

U=200B;I=10A;R1:R2:R3=1:2:5

R2;R1;I2; I3; I1; R3

  1.  

4.2.

U=150B;I=5A;R1:R2:R3=2:4:8

R2;R1;I2; I3; I1; R3

  1.  

4.2.

R3=20Ом;I3=10A;R1:R2:R3=2:3:4

U; R2;R1;I2; I1; I

  1.  

4.2.

R3=25Ом;I3=4A;R1:R2:R3=4:6:8

U; R2;R1;I2; I1; I

  1.  

4.2.

R3=10Ом;I1=4A;R2:R3=1:2; I=10A

U; R2;R1;I2; I3

  1.  

4.2.

R3=40Ом;I1=5A;R2:R3=1:2; I=15A

U; R2;R1;I2; I3

  1.  

4.2.

R2=35Ом;I=12A;R1:R2:R3=3:6:10

U; R3;R1;I2; I3; I1

  1.  

4.2.

R2=30Ом;I=6A;R1:R2:R3=1:5:10

U; R3;R1;I2; I3; I1

  1.  

4.2.

I=5A;R1:R2:R3=2:4:10 R3=4Ом;

U; R2;R1;I2; I3; I1

  1.  

4.2.

R3=50Ом;I=20A;R1:R2:R3=1:3:4

U; R2;R1;I2; I3; I1

  1.  

4.5.

U=240B;R1=7Ом;R2=24Ом; R3=40Ом;R4=30Ом

I1; I2; I3; I4

  1.  

4.5.

R3=4Ом;I3=10A;R1=2Ом;R2=5 Ом ;R4=3Ом

I1; I2; U; I4

  1.  

4.3.

U=240B;R1=7Ом;R2=24Ом; R3=40Ом;R4=30Ом

I1; I2; I3; I4

  1.  

4.3.

I2=1A;R2=24Ом;R3=12Ом; R4=6Ом ;R1=2Ом

I1; U; I3; I4

  1.  

4.3.

R3=4Ом;I2=10A;R1=2Ом;R2=5Ом ;R4=3Ом

I1; I3; U; I4

  1.  

4.5.

U=150B;R3=4Ом;I=10A;R1=2Ом;R2=5 Ом ;R4=3Ом

I1; I2; U2; I4 ;I3

  1.  

4.3.

U=40B;R1=12Ом;R2=24Ом; R3=20Ом;R4=10Ом

I1; I2; I3; I4

  1.  

4.5.

U=200B;R1=70Ом;R2=2Ом; R3=4Ом;R4=70Ом

I1; I2; I3; I4

  1.  

4.3.

U=120B;R1=7,5Ом;R2=20Ом; R3=50Ом;R4=100Ом

I1; I2; I3; I4

  1.  

4.3.

I3=1A;R2=24Ом;R3=12Ом; R4=6Ом ;R1=2Ом

I1; U; I2; I4

  1.  

4.3.

I4=1A;R2=24Ом;R3=12Ом; R4=6Ом ;R1=2Ом

I1; U; I3; I2

  1.  

4.3.

U=150B;R3=4Ом;I=10A;R1=2Ом;R2=5 Ом ;R4=3Ом

I1; I2; U2; I4 ;I3

  1.  

4.4.

R1=25Ом;R2=20Ом;R3=60Ом;

R4=15Ом;R5=30Ом;U=90B

I1;I2;I3;I4;I5;U1;U2;U3;

U4; U5

  1.  

4.4.

R1=25Ом;R2=20Ом;R3=60Ом;

R4=15Ом;R5=30Ом; I5=2A

I1;I2;I3;I4;U1;U2;U3;

U4; U5;U

  1.  

4.4.

R1=25Ом;R2=20Ом;R3=60Ом;

R4=15Ом;R5=30Ом; I4=2A

I1;I2;I3;I5;U1;U2;U3;

U4; U5;U

  1.  

4.4.

R1=25Ом;R2=20Ом;R3=60Ом;

R4=15Ом;R5=30Ом; I3=2A

I1;I2;I4;I5;U1;U2;U3;

U4; U5;U

  1.  

4.4.

R1=25Ом;R2=20Ом;R3=60Ом;

R4=15Ом;R5=30Ом; I2=2A

I1;I3;I4;I5;U1;U2;U3;

U4; U5;U

  1.  

4.4.

R1=25Ом;R2=20Ом;R3=60Ом;

R4=15Ом;R5=30Ом; I1=2A

I2;I3;I4;I5;U1;U2;U3;

U4; U5;U

  1.  

4.4.

R1=50Ом;R2=40Ом;R3=30Ом;

R4=10Ом;R5=60Ом;U=150B

I1;I2;I3;I4;I5;U1;U2;U3;

U4; U5

  1.  

4.4.

R1=25Ом;R2=10Ом;R3=40Ом;

R4=50Ом;R5=20Ом;U=200B

I1;I2;I3;I4;I5;U1;U2;U3;

U4; U5

 

Рис. 4.1.                             Рис.4.2.                         Рис.4.3.

Рис.4.4.                                                            Рис.4.5.        

Решение типовых задач 1,2,3,4 по теме «Электрическая цепь постоянного тока. Закон Ома»

Задача 2. Неразветвленная цепь переменного тока, показанная на рисунке 4.6., содержит активные и реактивные сопротивления, величины которых заданы в таблице 4.2. Кроме того, известна одна из дополнительных величин (U,I,P,Q,S). Определить следующие величины, если они не заданы в таблице вариантов: 1) полное сопротивление цепи Z; 2) напряжение U, приложенное к цепи; 3) силу тока в цепи; 4) угол сдвига фаз φ; 5) активную Р, реактивную Q и полную S мощности, потребляемые цепью; 6) падения напряжений на отдельных участках. Построить векторную диаграмму цепи в масштабе и пояснить ее построение. Напряжение, приложенное к цепи, считать неизменным.                                    

                                   Рис.4.6.

Таблица 4.2.

Номера вариантов

R1

Ом

R2

Ом

XL1

Ом

XL2

Ом

XC1

Ом

XC2

Ом

Дополнительные величины

  1.  

8

0

6

0

0

0

i=28,2sin314t

  1.  

0

12

0

3,5

0

0

i=7,07sin314t

  1.  

24

0

0

0

7

0

i=2,82sin314t

  1.  

10

10

0

0

0

0

i=14,1sin314t

  1.  

8

0

4

0

10

0

I=5A

  1.  

0

3

0

1

0

5

Uc=15B

  1.  

4

0

5

0

2

0

UL=10B

  1.  

0

4

0

5

0

2

UR=12B

  1.  

8

4

18

0

2

0

I=10A

  1.  

10

20

50

0

10

0

P=120Bт

  1.  

3

1

5

0

1

0

P2=100 Bт

  1.  

12

20

30

0

6

0

U1=72B

  1.  

4

8

18

0

2

0

U=40B

  1.  

2

1

4

0

8

0

Q1L= -96вар

  1.  

20

10

10

0

50

0

Q= -640вар

  1.  

1

3

2

0

5

0

QC1= -125вар

  1.  

1

2

8

0

4

0

S=80B*A

  1.  

8

4

6

0

22

0

P1=32 Bт

  1.  

6

0

2

10

4

0

U=40B

  1.  

4

0

6

2

5

0

P=16Bт

  1.  

16

0

15

5

8

0

QL1= -135вар

  1.  

32

0

8

4

12

0

QL2= -16вар

  1.  

8

0

2

2

10

0

QC1= -20вар

  1.  

3

0

10

12

26

0

P1=48 Bт

  1.  

0

5

8

0

8

0

U=260B;f=100Гц

  1.  

40

0

8

6

16

0

U2=12B

  1.  

16

0

3

5

20

0

QC1= -720вар

  1.  

6

0

10

2

4

0

I=5A

  1.  

4

0

3

6

12

0

S=500B*A

  1.  

4

0

6

0

4

5

P=100Bт

  1.  

8

0

6

0

8

4

UC2=40B

  1.  

80

0

100

0

25

15

I=1A

  1.  

60

0

20

0

40

60

QC2= -240вар

  1.  

48

0

36

0

60

40

P1=432 Bт

  1.  

4

0

9

0

3

3

U=20B

  1.  

40

0

50

0

12

8

QL1= -200вар

  1.  

12

0

16

0

10

6

UL1=160B

  1.  

24

0

28

0

35

25

S=1000B*A

  1.  

8

0

12

0

4

2

QL1= -48вар

  1.  

10

14

18

0

20

30

UR2=28B

  1.  

6

2

10

0

1

3

P=200Bт

  1.  

40

20

20

0

80

20

QC1= -320вар

  1.  

30

34

32

0

50

30

UC1=500B

  1.  

1

3

10

0

4

3

Q= -48вар

  1.  

3

1

5

0

6

2

S=180B*A

  1.  

24

40

52

0

40

60

QL1= -468вар

  1.  

2

6

4

0

2

8

U=40B

  1.  

14

10

50

0

10

8

I=5A

  1.  

50

30

100

0

20

20

P2=480 Bт

  1.  

3

0

5

5

4

2

UR1=30B

  1.  

4

2

5

6

3

0

I=5A

  1.  

8

4

6

5

3

1

I=10A

  1.  

2

4

6

5

3

0

U=50B

  1.  

4

8

10

15

0

9

Q= -1600вар

  1.  

4

2

5

6

3

0

P=150Bт

  1.  

4

8

15

10

9

3

U=200B

  1.  

2

4

6

5

3

0

Q= -200вар

  1.  

8

4

10

15

9

1

P=1200Bт

  1.  

4

2

6

5

0

3

S=250B*A

  1.  

8

4

15

10

9

0

S=2000B*A

Задача 3. Разветвленная цепь переменного тока состоит из двух параллельных ветвей, содержащих в зависимости от варианта активные сопротивления и реактивные сопротивления. Полные сопротивления ветвей Z1и Z2. К цепи приложено напряжение U.Токи в ветвях соответственно равны I1 и I2; ток в неразветвленной части цепи равен I. Ветви потребляют активные мощности P1 и P2 и реактивные Q1 и  Q2. Общие  активная и реактивная мощности  P и Q, а полная мощность цепи S. В таблице 4.3. указаны номера вариантов. Определить значения, отмеченные прочерками в таблице вариантов, и начертить векторную диаграмму цепи в масштабе. Схема цепи показана на рисунке 4.7.

Решение типовых задач 1,2,3,4,5,6 по теме  «Расчет однофазных цепей переменного тока»

 

Рис 4.7.

Задача 4. Три группы сопротивлений соединили звездой с нулевым проводом и включили в трехфазную сеть переменного тока с линейным напряжением Uном. Активные сопротивления в фазах А, В, С соответственно равны RA, RB и RC; реактивные – хА, хВ и хС. Характер реактивных сопротивлений (индуктивное или емкостное) указан на схеме цепи. Углы сдвига фаз в каждой фазе равны φА, φВ и φС. Линейные токи (они же фазные) в нормальном режиме равны IА, IВ и IС. Фазы нагрузки потребляют активные мощности PA, PB и  PC   и реактивные QA, QB, QC. В таблице вариантов указаны некоторые из этих величин и номер рисунка цепи. Для своего варианта начертить схему цепи; определить величины, отмеченные прочерками в таблице 4.4., и начертить в масштабе векторную диаграмму цепи в нормальном и аварийном режиме при отключении фазы А. Из векторных диаграмм определить графически токи в нулевом проводе в обоих режимах. При вычислениях принять: sin 36050`=cos 53010`;

sin 53010`=cos 36050`=0,8   

Задача 5. Три сопротивления соединили в треугольник и включили в трехфазную сеть с линейным напряжением Uном. В фазах нагрузки в номинальном режиме протекают токи IАВ, IВС и IСА. При этом фазные мощности составили PAВ, PBС, QAВ, QСА. В таблице 4.5. указаны некоторые из этих величин, номер рисунка цепи, а также характер аварийного режима цепи. Для своего варианта начертить схему цепи; определить величины, отмеченные прочерками; начертить в масштабе векторные диаграммы цепи в нормальном и аварийном режимах. Из векторных диаграмм определить линейные токи в нормальном и аварийном режимах.

Решение типовых задач 1 - 10 по теме  «Трехфазные электрические цепи».

Рис.4.8.                                                                            Рис.4.9.

                                                              

                                            Рис.4.10.

 

        Рис.4.11.                                  Рис.4.12.                            Рис.4.13.


Таблица 4.3.

варианта

R1

Ом

R2

Ом

XL

Ом

XC

Ом

Z1

Ом

Z2

Ом

U

В

I1

А

I2

А

I

А

P1

Вт

Q1

вар

P2

Вт

Q2

вар

P

Вт

Q

вар

S

В*А

  1.  

0

3

4

20

-

-

60

-

-

-

0

-

-

-

-

-

-

  1.  

0

4

-

-

-

-

-

3

12

-

0

180

-

-

-

-

-

  1.  

0

-

48

-

-

80

-

-

2

-

0

160

-

-

-

-

-

  1.  

0

-

4

-

-

-

-

-

12

-

0

-

-

-

432

-

585

  1.  

0

-

-

-

-

-

160

-

-

-

0

160

256

192

-

-

-

  1.  

0

-

4

-

-

-

-

3

12

-

0

-

432

-

-

-

-

  1.  

0

-

-

-

-

-

-

-

-

1,6

0

-

-

-

256

32

-

  1.  

0

64

48

-

60

-

160

-

-

-

0

-

-

-

-

-

-

  1.  

0

-

-

20

-

5

-

3

-

-

0

-

-

576

-

-

-

  1.  

0

3

-

-

-

-

60

-

-

-

0

-

-

-

432

396

-

  1.  

3

5

0

4

-

-

25

-

-

-

0

-

-

0

-

-

-

  1.  

-

-

0

4

-

5

-

5

5

-

0

-

-

0

-

-

-

  1.  

-

-

0

-

-

-

25

-

-

-

75

100

125

0

-

-

-

  1.  

-

5

0

4

-

-

-

-

-

8,95

-

-

-

0

200

100

-

  1.  

-

-

0

8

-

4

-

4

10

-

-

-

-

-

-

-

-

  1.  

-

8

0

-

10

-

40

-

-

-

-

-

-

-

328

-

-

  1.  

-

5

0

-

-

-

50

5

-

-

-

-

-

0

-

-

-

  1.  

8

4

0

-

10

-

-

-

10

-

-

-

-

0

-

-

-

  1.  

-

-

0

8

10

4

40

-

-

-

-

-

-

0

-

-

-

  1.  

3

-

0

4

-

-

-

5

-

-

-

-

-

0

-

-

250

  1.  

20

0

0

15

-

-

120

-

-

-

-

0

0

-

-

-

-

  1.  

-

0

0

3

-

-

-

3

4

-

-

0

-

-

-

-

-

  1.  

10

0

0

-

-

-

-

-

-

-

2250

0

-

3000

-

-

-

  1.  

-

0

0

-

15

20

60

-

-

-

-

0

-

-

-

-

-

  1.  

-

0

0

-

-

3

-

12

-

-

-

0

-

-

720

-

-

  1.  

-

0

0

-

-

-

48

-

-

-

-

0

-

-

576

768

-

  1.  

3

0

0

-

-

-

24

-

-

10

-

0

-

-

-

-

-

  1.  

-

0

0

-

4

-

-

-

-

-

576

0

-

-

-

-

960

  1.  

-

0

0

-

-

-

-

15

-

25

-

0

-

2400

-

-

-

  1.  

6

-

-

8

-

-

48

-

-

-

-

0

0

-

-

-

-

  1.  

12

20

15

16

-

-

200

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

  1.  

-

16

-

6

10

20

-

10

-

-

-

-

-

-

-

-

-

  1.  

-

-

-

16

-

-

-

-

-

-

1200

1600

1280

960

-

-

-

  1.  

-

-

4

-

-

5

80

8

-

-

512

-

-

-

-

-

-

  1.  

8

-

4

6

-

5

-

-

-

-

-

384

-

-

-

-

-

  1.  

12

20

15

-

-

-

200

10

-

-

-

-

-

-

-

-

-

  1.  

8

8

-

6

-

-

-

8

-

-

-

-

512

-

-

-

-

  1.  

8

3

-

-

-

-

80

8

16

-

-

-

-

-

-

-

-

  1.  

12

-

15

-

-

-

-

10

8

-

-

1600

-

-

-

-

-

  1.  

-

-

-

6

10

-

-

-

8

16

-

-

768

-

-

-

-

  1.  

0

3

2,5

4

-

-

50

-

-

-

0

-

-

-

-

-

-

  1.  

0

-

10

-

-

5

60

-

-

-

0

-

576

-

-

-

-

  1.  

0

-

6

-

-

-

-

16

8

-

0

-

-

-

-

896

-

  1.  

0

3

-

-

2,5

5

-

20

-

-

0

-

-

-

-

-

-

  1.  

0

6

5

-

-

-

100

-

10

-

0

-

-

-

-

-

-

  1.  

0

-

-

-

-

-

-

-

10

-

0

1000

300

400

-

-

-

  1.  

0

8

-

6

-

-

-

-

-

-

0

8000

2400

-

-

-

  1.  

0

-

2.5

-

-

-

-

80

-

-

0

-

300

400

-

-

-

  1.  

0

-

-

-

-