18273

ВЕЛИЧИНИ, ЩО ВИВЧАЮТЬСЯ В ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ

Лекция

Математика и математический анализ

ВЕЛИЧИНИ ЩО ВИВЧАЮТЬСЯ В ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ Площа фігури її основні властивості. Одиниці площі та відношення між ними. Способи вимірювання площ. Рівновеликі і рівноскладені фігури. Поняття про об’єм тіла. Одиниці об’єму та відношення між ними. П

Украинкский

2013-07-07

249 KB

14 чел.

ВЕЛИЧИНИ, ЩО ВИВЧАЮТЬСЯ В ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ

  1.  Площа фігури, її основні властивості. Одиниці площі та відношення між ними.
  2.  Способи вимірювання площ. Рівновеликі і рівноскладені фігури.
  3.  Поняття про об’єм тіла. Одиниці об’єму та відношення між ними.
  4.  Поняття про масу. Одиниці маси та відношення між ними.
  5.  Поняття про час і проміжки часу. Одиниці часу і відношення між ними.
  6.  Шлях і швидкість, одиниці їх вимірювання і відношення між ними. Залежність між швидкістю, часом і шляхом при рівномірному прямолінійному русі.
  7.  Товар, його кількість, вартість і ціна, залежність між ними та одиниці їх вимірювання.

  1.  Площа фігури, її основні властивості.

Одиниці площі та відношення між ними

Уявлення про площу фігури має кожна людина, бо задача вимірювання площ відноситься до одних з найдавніших задач, що породжені практичними потребами людини. Здавна людині потрібно було знати площі земельних ділянок, що відводились для обробітку, площі різноманітних будівель, що споруджувалися, тощо. Такі практичні знання про площі використовуються при їх означенні в геометрії, де говорять про площі фігур. Геометричні фігури є різні, тому розглядають особливий клас фігур. При виділенні фігур такого класу для точок площини вводять поняття, аналогічні поняттям, що відносяться до точок простору.

Околом точки площини називається множина всіх точок площини, відстань до яких від даної точки менша від заданого додатного числа. Точка називається внутрішньою точкою фігури, якщо вона належить фігурі разом з деяким околом. Фігура називається відкритою (областю), якщо всі її точки є внутрішніми точками. Точка називається межовою для даної фігури, якщо в довільному її околі є точки, що належать і не належать фігурі. Сама межова точка може як належати, так і не належати фігурі. Множину всіх межових точок фігури називають межею. Фігура називається обмеженою, якщо існує додатне число таке, що відстань між двома її довільними точками менша заданого числа.

Фігура на площині називається замкненою областю якщо:

вона має внутрішні точки;

межа фігури належить їй;

дві довільні точки можна з’єднати ламаною, всі точки якої, за винятком можливо кінців, є внутрішніми точками фігури.

На мал. 1 фігури а) – г) є замкненими областями, з яких а) – в) – обмежені, а г) – необмежена фігура; фігури д) – ж) замкненими областями не будуть

а)   б)   в)    г)

д)   е)          є)   ж)

Мал. 1

Надалі розглядатимемо лише замкнені обмежені області, які називатимемо просто фігурами і позначатимемо їх великими латинськими буквами. Покажемо, що клас таких фігур має властивість, яку називають площею фігури, і площа фігури є величиною.

Якщо Ф – множина фігур, то в ній можна ввести відношення рівності. Фігури F1 і F2 називають рівними, якщо їх можна накласти одну на другу так, що всі їх точки збіжаться (записується F1 = F2). Неважко встановити, що так означене відношення рівності фігур на множині Ф є відношенням еквівалентності.

Терарне  відношення “складається з”,  за  допомогою  якого  означається бінарна  операція  додавання фігур, можна  означити так: фігура F складається з фігур F1 і F2 (записується F = F1 + F2), якщо F= F1  F2 і перерізом фігур F1 та F2 є лінія, що проходить через внутрішні точки фігури F, мал. 2.

Мал. 2

Для побудови відображення

f: Ф → R+,

яке задовольняло б умови 1) – 4) означення величини, фіксуємо довільний одиничний відрізок ε і за еталон вимірювання площі приймається квадрат Е зі стороною ε, мал. 3.

                   О                                             

Мал. 3      Мал. 4

Обчислення площі кожної фігури F із множини Ф виконують за допомогою так званої вимірювальної сітки, в основу якої покладено квадрат Е. Для побудови сітки на площині вибирається  довільна точка О і будується прямий кут з вершиною в ній . На сторонах кута від точки О відкладаються відрізки, що дорівнюють ε. Через їх кінці проводять півпрямі, які паралельні сторонам кута, мал. 4. На площині утворюється сітка квадратів рівних Е. Її називають сіткою квадратів нульового рангу. Кожну сторону квадрата нульового рангу, що належить сторонам побудованого прямого кута, ділять на k рівних між собою частин (найчастіше k = 10) і через точки поділу проводять півпрямі, які паралельні сторонам кута. На площині одержується сітка квадратів, що називається сіткою квадратів першого рангу, кожен з яких є 1/k2 (1/102) частиною квадрата нульового рангу. Аналогічно, кожну сторону квадрата першого рангу, що належить стороні прямого кута, ділять на k (10) рівних між собою частин і через точки поділу проводять півпрямі, паралельні сторонам кута. Отриману сітку називають сіткою квадратів другого рангу, кожний її квадрат є 1/k2 (1102) частиною квадрата першого рангу або 1/ k2´2 (1/102´2) частиною квадрата нульового рангу. Теоретично процес знаходження квадратів третього, четвертого і т. д. рангів можна продовжувати необмежено. Об’єднання всіх сіток квадратів називається вимірювальною сіткою на площині.

Зауваження. На мал. 4, починаючи з сітки першого рангу, для чіткішого зображення поділ виконується на дві однакові частини.

Тепер поступають так: на довільну фігуру F з множини Ф накладають вимірювальну сітку, щоб вона накривала фігуру, мал. 5. Далі будують дві послідовності дійсних чисел (), ():  = , де  – число квадратів нульового рангу, які цілком належать фігурі F, якщо таких квадратів немає, то  = 0 і  = 0; =,  де  – число квадратів нульового рангу, яким належать принаймні одна, точка фігури F;

, де  – число квадратів першого рангу, що цілком належать фігурі F;

, де  – число квадратів першого рангу, яким належить принаймні одна точка фігури F;

, де  – число квадратів другого рангу, що цілком належать фігурі F;

, де  – число квадратів другого рангу, які мають принаймні одну  точку фігури F і т. д.

На основі геометричних міркувань маємо

.

Теоретично процес можна продовжувати необмежено. В результаті одержиться дві послідовності дійсних чисел () і () , причому послідовність ()  є послідовністю додатних дійсних чисел, а члени послідовності () стають додатними дійсними числами починаючи з деякого n. Побудовані послідовності мають такі властивості:

послідовність () неспадна, тобто " n Î N0: ≤ ;

послідовність () незростаюча, тобто " n Î N0: ;

будь-який член послідовності () не перевищує довільного члена послідовності (), тобто " n, k Î N0:  ≤,

зокрема, " n Î N0:  ≤.

Говорять, що фігура F має площу, якщо існує єдине додатне дійсне число S таке, що

" n Î N0:  ≤ S ≤

Якщо фігура F має площу, то число S називається значенням площі фігури F при одиничному квадраті Е.

Накладання вимірювальної сітки на фігуру можна здійснити різними способами. Доведено, що значення площі не залежить від способу накладання сітки на фігуру з фіксованим одиничним квадратом.

Цим самим при вибраному еталоні Е встановлено відображення

S: Ф ® R+.

Можна довести, що воно має такі властивості:

S (E) = 1 – нормованість площі;

" F1, F2 Î Ф : F1 = F2 ® S (F1) = S (F2) – інваріантність площі;

" F1, F2 Î Ф : $ F1 + F2 Î Ф ® S (F1+ F2) = S (F1) + S (F2) – адитивність площі;

якщо Е1 – інший одиничний квадрат і відображення

S1: Ф ® R+.

Задовольняє умовам 1) – 3), то

" F Î Ф : S1 (F) = S1 (E) S (F) – мультиплікативність площі.

Таким чином, виконуються всі умови означення величини і площа фігури, введена за допомогою вимірювальної сітки, є додатною адитивно-скалярною величиною.

  1.  Способи вимірювання площ. Рівновеликі і рівноскладені фігури

Знаходити площу фігури за її означенням досить складний процес. Для полегшення використовуються деякі непрямі способи вимірювання, в основу яких покладено вираження площ певних класів фігур через міри їх лінійних елементів. Зокрема, для прямокутника має місце теорема.

Теорема 1. Площа прямокутника дорівнює добутку довжин його сторін, що виходять з однієї вершини.


► Нехай АВСD – прямокутник, АВ =
а, АD = b, мал. 6

C

A                                                                             B

Мал. 6

Накладемо на прямокутник вимірювальну сітку так, щоб її вершина О збігалася з вершиною А, а сторони сітки були паралельні відповідним його сторонам. Якщо АВ = а = а0, а1 а2… аn… АD = b = b0, b1 b2… bn…, то на основі означення площі

0 = a0 b0;  S0΄΄ = (a0 + 1) (b0 +1);

1 = (a0 a1)/10 ´ (b0 b1)/10 = (a0,a1) (b0,b1);

S΄΄1 = (a0 a1 + 1)/10 ´ (b0 b1 + 1)/10 = (a0, a1+1/10) (b0, b1+1/10);

…………………………………………………………………………..

n=(а0 а1 а2… аn)/10n´(b0 b1 b2bn)/10n = а0, а1 а2… аn ´ b0, b1 b2bn;

S΄΄n=(а0 а1 а2… аn+ 1)/10n´(b0 b1 b2bn+1)/10n =

=(а0, а1 а2… аn+1/10n) ´ (b0, b1 b2bn+1/10n);

……………………………………………………………………………

За означенням добутку додатних дійсних чисел існує єдине додатне дійсне число S = ab таке, що Sn΄ ≤ ab ≤ Sn΄΄ для довільного цілого невід’ємного числа n. За означенням площі

S = ab.  ◄

Користуючись формулою для визначення площі прямокутника, можна встановити формули для обчислення площ і для інших фігур, ввівши деякі поняття.

Фігури називаються рівновеликими, якщо їх площі рівні.

Очевидно, що рівні фігури є рівновеликими, але обернене твердження хибне. Дійсно, прямокутники зі сторонами 8 см і 3 см та 6 см і 4 см рівновеликі, але не рівні. Розглянутий приклад дозволяє стверджувати, що площа фігури, на відміну від довжини відрізка, не є простою величиною.

Фігури називаються рівноскладеними, якщо їх можна розбити лініями на скінченне число попарно рівних між собою фігур. Часто, особливо для многокутників, лініями розбиття є тільки прямі.

Теорема 2. Якщо фігури рівноскладені, то вони рівновеликі.

Теорема випливає з виконання умов 1 – 3 означення площі.

Для многокутників має місце теорема, що є оберненою до теореми 2.

Теорема 3. Якщо многокутники рівновеликі, то вони рівноскладені.

Теореми 2 і 3 показують, що для многокутників поняття рівноскладеності та рівновеликості є тотожними поняттями.

Мал. 7

Мал. 8

Встановлені твердження покладаються в основу методу розбиття, відомого ще Евкліду: для обчислення площі многокутника намагаються розбити його на скінченне число частин, з яких можна скласти фігуру, площа якої відома. Наприклад, паралелограм рівноскладений з прямокутником, що має таку саму основу і висоту, мал. 7, а трикутник рівноскладений з паралелограмом, який має ту ж саму основу, але вдвічі меншу висоту, мал. 8.

Таким чином, вся теорія площ многокутників може бути побудована на основі теореми про площу прямокутника.

Задача 2. Чи може прямокутник, довжини сторін якого є ірраціональними числами, бути рівновеликими прямокутнику, довжини сторін якого є раціональними числами?

► Добуток ірраціональних чисел може бути раціональним числом. Наприклад, ´ = 6. Тому прямокутник, довжини сторін якого рівні числам   і , буде рівновеликим цілому класу прямокутників, довжини сторін  яких рівні раціональним числам а і 6 : а, де а – довільне раціональне число. ◄

Часто потрібно вміти будувати фігуру рівновелику даній.

Задача 3. Побудувати квадрат, який рівновеликий довільному даному трикутнику.

► Нехай основа і висота даного трикутника рівні відповідно a і h, мал. 9. Позначимо сторону шуканого квадрата х. З умови рівності площ трикутника і квадрата маємо:  = x2   або   ∙h = x2.

Отже, сторона квадрата є середнім пропорційним відрізком між відрізками   і h. Як відомо, в прямокутному трикутнику висота, опущена на гіпотенузу, є середнім пропорційним між відрізками, на які вона ділить гіпотенузу. Звідси, для знаходження сторони квадрата потрібно побудувати:

суму відрізків h і ;

півколо, діаметр якого рівний h + ;

через спільну точку відрізків h i провести перпендикуляр до перетину з півколом; перпендикуляр і буде стороною шуканого квадрата,     мал. 10.◄

У Міжнародній системі одиниць основною одиницею площі є квадратний метр (м2) – площа квадрата, довжина сторони якого дорівнює 1 м. Користуються й іншими одиницями, зокрема: квадратний дециметр (дм2); квадратний сантиметр (см2); квадратний міліметр (мм2). Співвідношення між ними таке:

2 = 100 дм2 = 10000 см2 = 1000000 мм2.

Для вимірювання площ земельних ділянок часто користуються такими одиницями як гектар (га) (1 га = 10000 м2) і сотка (або ар) (1 сотка = 100 м2).

В початковій школі формуються знання дітей про площу фігури спочатку на основі порівняння фігур: якщо одна з фігур знаходиться всередині другої, то друга фігура має  площу більшу, ніж перша. Пізніше учні ознайомлюються з способами вимірювання площ фігур за допомогою підрахунку числа клітинок, а потім палетки – сітки квадратів зі стороною 1 см; одиницями вимірювання площі та знаходження площі прямокутника за його лінійними розмірами.

  1.  Поняття про об’єм тіла. Одиниці об’єму та відношення між ними

Про об’єми тіл, як і про площі фігур, люди мають уявлення з давніх часів у зв’язку з господарською діяльністю.

Просторові фігури є різними, тому виділяють множину W обмежених тіл, які надалі називатимемо тілами. Покажемо, що клас таких тіл має властивість, яку називають об’ємом, і об’єм є величиною.

Дійсно, на множині тіл можна ввести відношення рівності: два тіла називаються рівними, якщо їх можна вкласти одне в одне так, що всі їхні точки збіжаться.

Неважко переконатися, що так означене відношення рівності тіл є відношенням еквівалентності.

Терарне відношення “складається з”, за допомогою якого означається операція додавання тіл, можнa означити так: тіло F складається з тіл F1 і F2  (записується F = F1 + F2) якщо F = F1 U F 2 і перерізом тіл F1 і F2 є поверхня, що проходить через внутрішні точки фігури F, мал. 11.

Для побудови відображення

F: W ® R+,

яке задовольняло б умови 1 – 4 означення величини, фіксуємо довільний одиничний відрізок e і за еталон вимірювання об’єму приймаємо куб Е з ребром рівним e, мал. 12.

Введення поняття об’єму довільного тіла та його обчислення здійснюється за допомогою просторової сітки. Для її побудови фіксується довільна точка О простору і будується тригранний кут, всі грані якого попарно перпендикулярні. Далі проводять дії аналогічні діям при побудові плоскої вимірювальної сітки, дістають сітки кубів різних рангів, які й складають просторову вимірювальну сітку.

Тоді для довільного тіла, вважаючи повністю вміщеним його в просторову сітку, будують дві послідовності дійсних чисел () і (), в яких               

= , де  – число кубів рангу n, що цілком належать тілу;

=, де  – число кубів рангу n, які містять принаймні одну внутрішню точку тіла.

Як і у випадку вимірювання площ, можна довести, що послідовність () є неспадною, а послідовність () – незростаючою, і будь-який член послідовності () не перевищує довільного члена послідовності ().

Говорять , що тіло F має об’єм, якщо існує єдине додатне дійсне число V, таке, що " n Î N0:Vn΄ ≤ V ≤ Vn΄΄.

Якщо тіло F має об’єм, то число V називається значенням об’єму тіла при одиничному кубі Е.

Вміщувати тіло в просторову вимірювальну сітку можна різними способами. Доведено, що значення об’єму не залежить від способу вміщення тіла в сітку з фіксованим одиничним кубом.

Цим самим при вибраному еталоні Е встановлено відображення

V: W ® R+

Можна довести такі властивості:

V(E) = 1 – нормованість об’єму;

" F1, F2 Î W: F1 = F2 ® V (F1) = V (F2) – інваріантність об’єму

" F1, F2 Î W:  $ (F1 + F2) Î W ® V (F1 +F2) = V (F2) + V (F1) адитивність об’єму;

якщо Е1 – інший одиничний куб і відображення

V1: W ® R+

задовольняє умовам 1) – 3), то

" F ÎW: V1 (F) = V1 (E) V (F) – мультиплікативність об’єму.

Отже, виконуються всі умови означення величини і об’єм тіла, введений за допомогою просторової вимірювальної сітки, є додатною адитивно-скалярною величиною.

Як і у випадку вимірювання площі, знаходити об’єм тіла за його означенням досить складно. Тому об’єми певних класів тіл виражають через міри їх лінійних елементів. Зокрема, для прямокутного паралелепіпеда має місце теорема.

Теорема 4. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів.

Доведення теореми 4 аналогічне доведенню теореми про площу прямокутника.

Для тіл також можна ввести поняття рівновеликості і рівноскладеності. Як відомо, для многокутників поняття рівновеликості і рівноскладеності є рівносильними поняттями, а для многогранників ці поняття не є рівносильними. Питання про рівноскладеність і рівновеликість многогранників було включено до числа 23 проблем, про які йшла мова в доповіді знаменитого математика Д. Гільберта (1862 – 1943) на ІІ Міжнародному конгресі математиків у Парижі в 1900 р.

Вже в 1901 році учень Гільберта Макс Ден (1878 – 1952) довів, що правильний тетраедр не рівноскладений з рівновеликим йому кубом. Виявилося, що питання про рівноскладеність рівновеликих многогранників розв’язується не так, як для многокутників.

Основною одиницею об’єму є кубічний метр (м3) – об’єм куба, ребро якого дорівнює 1 м. Похідні одиниці: кубічний дециметр (дм3), кубічний сантиметр (см3), кубічний міліметр (мм3). Співвідношення між ними таке:

1 м3 = 1000 дм3 = 1000000 см3 = 1000000000 мм3.

Для обчислення об’єму рідин користуються літрами: 1 л = 1 дм3, та його похідними.

Задача 4. Переріз залізничного насипу має вигляд трапеції з нижньою основою 14 м, верхньою – 8 м і висотою 3.2 м. Скільки кубічних метрів землі припадає на 1 км залізничного насипу?

► Залізничний насип можна розглядати як пряму призму, основами якої є трапеції з вказаними в умові задачі розмірами і висотою 1 км, мал. 13.

Мал. 13.

Розв’язування задачі зводиться до знаходження об’єму такої призми

Sосн = ((8 + 14) ´ 3,2)/2 = 11 ´ 3,2 = 35,2 (м2).

V = Sосн ´ H = 35,2 ´ 1000 = 35200 (м3).

Відповідь: 35200 м3.◄

Учні початкової школи вчаться обчислювати об’єми прямокутного паралелепіпеда, зокрема куба, та розв’язують задачі на обчислення об’ємів рідин.

  1.  Поняття про масу. Одиниці маси та відношення між ними

Практичний досвід переконує людину в тому, що кожне фізичне тіло має властивість зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, коли сили, що на нього діють, відсутні або взаємно врівноважені. Властивість називається інертністю тіла і є однією із найважливіших, бо від неї залежить, як буде рухатись тіло в результаті взаємодії. Як і кожна властивість тіла, інертність пов’язана з величиною, яку називають масою тіла. Саме масою виражається інертність тіла так, що більш інертне тіло – це тіло з більшою масою.

З математичної точки зору маса – додатна адитивно-скалярна величина. Дійсно, при розгляді фізичних тіл на землі їх порівнюють між собою за допомогою важільних рівноплечних терезів. Говорять, що два тіла мають рівні (однакові) маси, якщо при покладенні їх на шальки терези врівноважуються. Цим самим на множині фізичних тіл вводиться відношення еквівалентності.

Вважається, що кожне фізичне тіло можна деяким способом розділити на два або більше фізичних тіл. Таким чином, у множині фізичних тіл W можна ввести терарне відношення “складається з”, за допомогою якого означається операція додавання.

Взявши фізичне тіло за еталон, можна побудувати відображення:

f: W ® R+,

що задовольнятиме умови 1 – 4 означення величини. Значить, маса тіла є додатною адитивно-скалярною величиною

У Міжнародній системі одиниць за основну одиницю маси прийнято кілограм (кг) – маса, яка дорівнює міжнародному прототипу кілограма (маса гирі у вигляді циліндра з платиново-іридієвого сплаву діаметром і висотою 39 мм), що зберігається у Міжнародному бюро мір і ваги у Севрі (Франція).

Одиниця маси кілограм вперше була запроваджена в кінці 18 ст. у Франції і означалася, як маса 1 дм3 чистої води при температурі танення льоду і нормальному атмосферному тиску.

Крім кілограма користуються й іншими одиницями маси, які є частинами кілограма або кратними йому:

1 кг = 1000 г = 1000000 мг, 1 т = 1000 кг, 1 ц = 100 кг.

Задача 5. Для врівноважених терезів, на шальки яких поклали по рибині, використали важок масою 1 кг. Знайти масу кожної рибини, якщо маса однієї з них становить ¾ маси другої.

► Щоб знайти масу кожної з рибин потрібно масу однієї з них, зручніше тієї, що має більшу масу, прийняти за 1. Тоді маса другої рибини становитиме ¾ від 1. Різниця мас буде рівна 1 – ¾ = ¼ частині вибраної одиниці, а за умовою задачі це становить 1 кг. Тепер, на основі знаходження цілого за величиною його  частини,  маса  важчої риби рівна 1 : ¼ = 4 (кг), а маса легшої риби 4 – 1 = = 3 (кг).

Відповідь: 4 кг, 3 кг. ◄

Ще в ранньому віці діти, граючись різними іграшками, учаться розрізняти предмети за їх розмірами і масою. На власному досвіді вони переконуються, що розміри тіл не завжди залежать від маси і навпаки, маса не завжди залежить від розмірів тіл. В початковій школі учні ознайомлюються не тільки з поняттям маси, а й з різними одиницями її вимірювання та співвідношеннями між ними. Глибшому розумінню маси сприяє розв’язування різноманітних практичних задач.

Задача 6. У першій корзині на 2 кг яблук більше ніж в другій, причому у другій корзині не менше одного кілограма яблук.

1) Скільки кілограмів яблук потрібно перекласти із першої корзини в другу, щоб яблук в обох корзинах стало порівну?

2) Скільки кілограмів яблук потрібно перекласти з другої корзини в першу, щоб у першій корзині яблук стало на 4 кг більше, ніж у другій?

3) Скільки кілограмів яблук потрібно перекласти з першої корзини в другу, щоб у першій корзині яблук стало на 4 кг менше, ніж у другій?

► Для знаходження розв’язку задачі маси яблук у корзинах зручно зобразити відрізками, мал. 14.

Мал. 14

З малюнка видно, що коли довжину одного з двох рівних відрізків збільшити на число а, а другого зменшити на те ж число а, то різниця одержаних відрізків буде рівна числу 2а. Значить:

1) З першої корзини в другу потрібно перекласти 2 : 2 = 1 (кг).

2) З другої корзини потрібно перекласти в першу 1 кг яблук.

3) З першої корзини потрібно перекласти в другу 3 кг яблук. ◄

  1.  
    Поняття про час і проміжки часу.

Одиниці часу і відношення між ними

Час – одна з основних, нарівні з простором, форм існування матерії, що виражає тривалість і послідовність матеріальних процесів. Простір і час невіддільні від матерії, нерозривно пов’язані з її рухом. Кількісно і якісно вони нескінченні. Універсальними властивостями часу є тривалість, неповторність і необоротність.

У повсякденному житті під часом найчастіше розуміють проміжки часу, тобто те, що відділяє одну подію від іншої. В такому розумінні час є величиною, бо задовольняє всім вимогам її означення. Дійсно, на множині проміжків часу можна ввести відношення рівності, яке буде відношенням еквівалентності. Можливість порівнювання проміжків часу випливає з того, що тривалість періодично повторюваних дій однакова.

Тривалість подій, що не перетинаються в часі, рівна сумі тривалостей кожної з них, що дозволяє ввести терарне відношення “складається з” на множині проміжків часу, за допомогою якого можна означити бінарну операцію додавання проміжків часу.

Труднощі виникають при побудові відображення множини проміжків часу в множину додатних дійсних чисел, бо кожний проміжок часу може бути використаний лише один раз внаслідок необоротності часу. Як було зазначено вище, тривалість подій, що повторюються періодично, однакова. Тому за еталони вимірювання часу і вибирають саме такі проміжки часу, найчастіше серед природних явищ. Насамперед людина спостерігала схід і захід Сонця. Проміжок часу між сходом і заходом Сонця назвали днем, а між заходом і сходом – ніччю. Спочатку день і ніч здавалися людям чимось протилежним, тому і лічили окремо дні і ночі, і лише пізніше день і ніч об’єднали в одне ціле – добу. Доба – проміжок часу, протягом якого земна куля обертається навколо своєї осі. На початку доба і була основним еталоном вимірювання часу. Астрономічні спостереження привели ще до одного еталону – року. Рік – проміжок часу, протягом якого Земля робить один оберт навколо Сонця.

Іншим джерелом при пошуках еталонів часу стали спостереження за фазами Місяця, яких є чотири. Кожна фаза Місяця триває приблизно 7 діб. Проміжок часу між двома однойменними фазами Місяця дістав назву місяця.

Отже, вибравши еталон, можна побудувати відображення множини проміжків часу в множину додатних дійсних чисел, що задовольняють умовам 1 – 4  означення величини, тобто час є додатною адитивно-скалярною величиною.

За одиниці часу вибирали спочатку такі як доба. Тиждень, місяць, рік, година розглядалися спочатку як її кратні або частини. Для наукових потреб було введено, як основну одиницю часу, секунду (с), що дорівнювала  частині доби. Через те, що доба не залишається незмінною, потреби науки вимагали більш точного означення секунди.

У Міжнародній системі одиниць за основну одиницю часу прийнято секунду – 9192631770 періодів випромінювання, що відповідають переходу між двома надтонкими рівнями основного стану атома цезію-133. Всі інші одиниці часу є похідними:

1 хвилина = 60 секунд, 1 година = 60 хвилин, 1 доба = 24 години,             1 місяць = 30 діб, 1 рік = 365 діб.

Створено спеціальні прилади для точного вимірювання часу, серед них так звані квантові годинники, точність добового ходу яких становить від кількох сотих до тисячних часток мікросекунди.

Задачу 7. Потрібно розпиляти колоду на 6 частин. Скільки потрібно часу на роботу, якщо кожний розпил триває 1 хв 30 с?

► Кожний розпил ділить колоду на дві частини. Значить, щоб одержати 6, частин потрібно зробити 5 розпилів, а тому на виконання роботи затратиться:

1хв 30 с ´ 5 = 1,5 ´ 5 = 7,5 хв.

Відповідь: 7,5 хв. ◄

З розвитком суспільства виникла необхідність обліковувати великі проміжки часу, що привело до створення спеціальної науки, яка називається хронологією або літочисленням. Перш за все постало питання про те, який факт, або подію взяти за початок відліку часу. Більшість народів брали за основу релігійні або певні події власної історії такі, як: народження Ісуса Христа (у християн); рік хіджри (переселення) Магомета і його пророків із Мекки в Медіну (в мусульман); біблейське створення світу.

Літочислення тісно пов’язане з календарем. Календарем називається лічба великих проміжків часу, яка базується на періодичності руху небесних світил.

У зв’язку з тим, що багато країн не погоджувалися на зміни, пов’язані з узгодженням календарного числення з відлічуванням часу в інших країнах, то вдосконалення календаря виявилося складною не тільки математичною, а й політичною проблемою. Над її розв’язанням працювали вчені стародавніх часів і середньовіччя. Вона й досі до кінця не розв’язана.

В Європі відомо два календарі (календарні стилі), основи яких були закладені в Римській імперії: юліанський (старий стиль) і григоріанський (новий стиль).

Наведемо деякі факти з історії календаря. Рік триває 365 діб 5 годин 48 хвилин 46 секунд ≈ 365 ¼ доби. В житті людини рік не може складатися з дробового числа діб. Тому кожного четвертого року, який називається високосним, додають одну добу, і тривалість року стає 366 діб. Такий календар було введено за наказом римського імператора Юлія Цезаря 45 року до н. е. та названо пізніше юліанським.

З часом люди стали помічати розбіжності між вимірюванням часу за юліанським календарем і за Сонцем. Наприклад, 21 березня – день весняного рівнодення – в ХVІ ст. припадав на 11 березня. Різниця нагромадилася, оскільки рік за юліанським календарем на 11 хвилин і 14 секунд більший за сонячний. Внаслідок цього за кожних 128 років набігала одна зайва доба.

Для усунення розходжень у 1582 році за ініціативою папи римського Григорія ХІІІ було запроваджено новий календар, який дістав назву григоріанського. За юліанським календарем високосними були роки, число яких ділилося на 4. За григоріанським календарем не всі такі роки є високосними. За григоріанським календарем роки 1600, 2000, 2400, … – високосні, 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, … – прості. Між юліанським і григоріанським календарями в час реформи різниця становила 10 діб, а з 29 лютого 1900 року досягла вже 13 діб. Поступово григоріанський календар був прийнятий у більшості країн світу. На території колишнього СРСР його запровадили лише після 1917 року.

Учні початкової школи в достатній мірі ознайомлюються з поняттям часу та одиницями його вимірювання. Програмою також передбачено розв’язування задач на обчислення часу.

Задача 8. Сонце зійшло о 6 год 20 хв ранку, а зайшло о  7 год 15 хв вечора. Знайти тривалість дня.

► Від початку доби до заходу Сонця минуло 12 год + 7 год. 15 хв =         19 год  15 хв. Отже, тривалість дня за умовою задачі дорівнює:

19 год 15 хв – 6 год 20 хв = 12 год 55 хв.

Відповідь: 12 год 55 хв. ◄

Задача 9. Учень вперше переступив поріг школи 1 вересня 1986 року, а атестат зрілості отримав 16 червня 1996 року. Скільки часу тривало навчання учня?

► Для розв’язування такого типу задач підраховують скільки повних років, місяців і днів минуло від початку нової ери до початку та кінця події і від другого числа віднімають перше:

1995 р. 5 м. 15 діб – 1985 р. 8 м. 0 діб = 9 р. 9 м. 15 діб.

Відповідь: 9 р. 9 м. 15 діб. ◄

  1.  Шлях і швидкість, одиниці їх вимірювання і відношення між ними. Залежність між швидкістю, часом і шляхом при рівномірному прямолінійному русі

Кожне фізичне тіло під дією сил може змінювати своє місце у просторі, тобто воно може перебувати у русі. В багатьох задачах розмірами тіла можна знехтувати і замість нього розглядати точку. Тіло при русі описує деяку лінію, яка називається траєкторією руху тіла. Довжина траєкторії між двома точками на ній називається шляхом, що пройшло тіло. Якщо в деякий момент часу тіло знаходиться в точці А, мал. 15, а через час t – в точці В, і шлях від А до В дорівнює s, то величину s/t = vср називають середньою швидкістю руху тіла.

Мал. 15.

Шлях можна виміряти в метрах чи кілометрах, а час в секундах чи годинах, тому швидкість можна виміряти в метрах за секунду (м/с) чи кілометрах за годину (км/год).

1м/с – швидкість, при якій тіло за 1 с приходить шлях в 1 м.

1 км/год – швидкість, при якій тіло за 1 год проходить шлях в 1 км.

1 км/год = 1000 м/3600 с = 5/18 м/с.

Серед різних видів руху виділяється прямолінійний рівномірний рух. Рух тіла називається прямолінійним рівномірним, якщо траєкторією руху є пряма і за будь-які рівні проміжки часу воно проходить однакові шляхи.

З означення прямолінійного рівномірного руху випливає, що швидкість тіла при ньому є сталою. Навпаки, якщо траєкторія руху тіла є пряма і швидкість його руху є сталою, то рух буде прямолінійним рівномірним.

При прямолінійному рівномірному русі       

v = s/t,                                                       (1)

звідки    

s = vt                                                          (2)

Отже, при прямолінійному рівномірному русі шлях прямо пропорційний часу (2), а з (1) випливає, що коли шлях не змінюється, то залежність між швидкістю і часом обернено пропорційна.

Зазначимо, що при розв’язуванні задач на рух у більшості випадків рух розглядається як прямолінійний і рівномірний, хоча в дійсності він не є таким, а швидкість, взагалі кажучи, не є скалярною, а векторною величиною.

Задача 10. З міста А до міста В виїхав вантажний автомобіль. Одночасно з ним із міста В до міста А виїхав легковий автомобіль. Через годину автомобілі зустрілися, а ще через 1.5 год вантажний автомобіль прибув до міста В. Скільки годин витратив легковий автомобіль на шлях від А до В?

► Позначимо через С пункт зустрічі автомобілів, мал. 16. Тоді відстань СВ вантажний автомобіль пройшов за 1.5 год, а легковий – 1 год, бо до зустрічі обидва автомобілі були в дорозі однакове число годин, а саме одну годину.

Мал.  16

Звідси,  відношення  між часами руху на відрізку СВ буде рівне 1 : 1,5 = = 2/3. Таке ж відношення між часами руху тіла буде і на відрізку АС. Час руху вантажного автомобіля на відрізку АС, за умовою задачі дорівнює 1 год, тоді час руху легкового автомобіля на відрізку АС – 1 ´ 2/3 = 2/3 (год). Значить, на весь шлях АВ легковий автомобіль затратить 1 + 2/3 =     1 2/3 (год) = 1 год 40 хв.

Відповідь: 1 год 40 хв.        ◄

Учні початкової школи знайомляться з поняттями шляху і швидкості при рівномірному русі та залежностями між шляхом і часом при такому русі. Вони розв’язують достатнє число задач на рух, щоб мати уявлення про величини, що зустрічаються не тільки в математиці, а й бути підготовленими до вивчення в середній школі таких навчальних дисциплін як фізика, хімія тощо.

  1.  Товар, його кількість, вартість і ціна, залежність між ними та одиниці їх вимірювання

Серед інших величин, що зустрічаються в шкільному курсі математики, є величини, які пов’язані з поняттям товару, а саме: кількість товару, його вартість і ціна. Перелічені величини досить складні для розуміння і належать до основних понять науки, яка називається політичною економією.

Щоб жити, людині потрібно задовольняти свої фізичні і духовні потреби. Вона не завжди може, та в цьому і немає необхідності, все виготовляти сама. Тому протягом всього життя людина спілкується з іншими людьми через обмін і купівлю різних товарів.

Товаром називається продукт праці людини, який задовольняє певні її потреби і виготовлений не лише для власного споживання, а й для обміну через купівлю – продаж.

При виробництві товару його мірою є кількість товару, яка вимірюється вибраними для даного товару одиницями. Наприклад, кількість виробленої тканини вимірюється метрами, зібраного урожаю – тоннами і т. ін.

Кожний товар має дві властивості: споживну та мінову вартості.

Споживна вартість товару – його здатність задовольняти певні потреби людини. Вона цікавить виробника лише постільки, оскільки пов’язана із здатністю товару обмінюватися на інші товари. Остання властивість товару одержала назву його мінової вартості.

Мінова вартість товару, або просто вартість, – це втілена й уречевлена праця, яка виражає суспільно-виробничі відносини товаровиробників.

Вартість товару, на відміну від його споживної вартості, робить всі товари порівнюваними, тому що всі вони – продукт праці людини взагалі, тобто витрат енергії людини, її мозку, м’язів, нервів і т. ін. Величина вартості товару виражається кількістю суспільно необхідної праці, потрібної для його виготовлення за середніх суспільно-нормальних умов і середнього в даному суспільстві рівня вміння та інтенсивності праці виробників. Чим більше витрачається суспільно-необхідної праці, тим вища вартість і навпаки, чим менше витрачається суспільно-необхідної праці, тим нижча вартість. Вона залежить також від продуктивності праці: чим вища продуктивність, тим менше робочого часу витрачається на виготовлення товару, тим нижча його вартість.

Вартість одного товару проявляє себе при обміні на інший товар. На перший погляд товари при обміну відіграють однакову роль. Насправді ж їх ролі різні. Один товар виявляє свою вартість відносно іншого товару. Другий же товар, за допомогою якого перший виявляє свою вартість, виступає в ролі еквівалента, являє собою еквівалентну форму вартості.

Якщо товаровиробник за свій товар отримав еквівалент, то це означає, що даний товар необхідний суспільству, є втіленням суспільної праці. В той же час еквівалент підтверджує сам факт створення вартості, є її проявом. Історично в ролі еквівалента виступали різні продукти, причому з розвитком суспільного розподілу праці їх кількість в обміні збільшувалася. З часом із усього товарного світу почав виділятися товар, на який все частіше стали обмінювати інші товари. Він означав появу загальної форми вартості. Товар, якому притаманна здатність безпосередньо обмінюватися на будь-який інший товар, дістав назву загального еквівалента. В різних народів і на різних етапах історії одного і того ж народу в ролі загального еквівалента виступали різні продукти (худоба, хутро і шкури, слонові кістки і т. ін.). з часом ця роль майже повсюди закріпилася за сріблом і золотом, що й привело до утвердження грошової форма вартості.

Отже, гроші – це особливий товар, що виконує роль загального еквівалента,  в якому виражається вартість усіх інших товарів. У зв’язку з поняттям грошей, як особливого виду товару, виникає поняття ціни.

Ціною товару називається грошовий вираз вартості товару. Щоб вимірювати вартість товарів, необхідно деяку кількість грошового матеріалу прийняти за одиницю. Така одиниця називається масштабом цін. Гроші також виконують і функцію засобу обігу, тобто служать посередником при обміні товарами.

Так розглядають поняття товару, його вартості й ціни в політичній економії.

У повсякденному житті поняття товару залишається таким самим, як і в політичній економії, але поняття вартості і ціни зазнають деяких змін.

Вартість одиниці товару, виражена в грошах, називається ціною товару, а вартість у грошах певної кількості товару, називається вартістю товару. Такими поняттями ціни та вартості товару користуються при розв’язуванні задач.

Потрібно відмітити, що ціна товару в суспільстві істотно залежить не тільки від собівартості, але і від попиту на нього і пропозиції.

Між вартістю товару, його кількістю і ціною існує така ж залежність, як і між пройденим шляхом, часом і швидкістю при прямолінійному рівномірному русі, що дає можливість розв’язувати текстові задачі різними способами.

Задача 11. Ціна 1 кг яблук 0,6 грн., а моркви у 2 рази менша. Купили 8 кг моркви. Скільки яблук можна купити на ті самі гроші, які заплатили за моркву?

► В задачі мова йде про три величини: вартість товару, його кількість і ціну. Дві з них, ціна і кількість, набувають різних значень, третя ж величина – вартість товару – стала. Залежність між ціною, кількістю і вартістю може бути виражена формулою:

В = Ц ´ К,

де В – вартість товару, Ц – ціна товару, К – кількість товару.

1 спосіб розв’язування задач зводиться до знаходження В, тобто вартості товару. Знаючи її та ціну одного кілограма яблук, можна знайти і кількість яблук.

Знайдемо спочатку ціну одного кілограма моркви:

0,6 : 2 = 0,3 (грн.),

а потім вартість моркви:

0,3 ´ 8 = 2,4 (грн.),

і, нарешті, кількість яблук, які можна купити на 2,4 грн.:

2,4 : 0,6 = 4 (кг).

2 спосіб розв’язування задачі базується на властивості оберненої пропорційності: тому що ціна яблук у два рази більша від ціни моркви, то на гроші, заплачені за 8 кг моркви можна купити у 2 рази менше яблук, тобто

8 : 2 = 4 (кг).

Відповідь: 4 кг. ◄


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6511. Статистические таблицы и графики 142.79 KB
  Статистические таблицы и графики Статистические таблицы. Статистические таблицы - это наиболее рациональная форма представления результатов статистической сводки и группировки. Значение статистических таблиц состоит в том, что они позволяю...
6512. Принятие решений: наука и искусство 86 KB
  Принятие решений: наука и искусство Состояние проблемы. Принятие решения рассматривается большинством исследователей как волевой акт формирования последовательности действий, ведущих к достижению цели на основе преобразования исходной информации в с...
6513. Предмет и метод социально-экономической статистики 42 KB
  Предмет и метод социально-экономической статистики Социально-экономическая статистика - это общественная наука. Предмет ее составляет количественная (цифровая) характеристика массовых явлений и процессов общественной жизни, неразрывно связанная...
6514. Принятие решений с позиций личностно-детерминированного подхода 34.5 KB
  Принятие решений с позиций личностно-детерминированного подхода Сообщение посвящено изложению взглядов на психологическую систему принятия решений, включая анализ и оценку современных исследований принятия решений личностью профессионала. Принятие р...
6515. Тактика принятия решений в конфликте 69.5 KB
  Тактика принятия решений в конфликте Практика управления персоналом показывает, что лучшим способом разрешения конфликта любого типа является его профилактика, умение избегать или ослаблять действие факторов, способствующих возникновению и эскалации...
6516. Элементы карнавализации в комедиях Гоголя 52.5 KB
  Элементы карнавализации в комедиях Гоголя Элементы карнавализации в комедиях Гоголя Народно-праздничный, амбивалентный характер гоголевского смеха в Вечерах на хуторе близ Диканьки был отмечен М.М. Бахтиным, теоретиком и исследователем карнавала. В...
6517. Статистические распределения и их основные характеристики 389 KB
  Статистические распределения и их основные характеристики Цель работы Вычисление сводных статистических характеристик данных в системе Statistica. Изучение формы распределения данных. Оценка статистической значимости различий средних значений раз...
6518. Основные принципы работы в пакете STATISTICA 471.5 KB
  Основные принципы работы в пакете STATISTICA Рабочее окно пакета STATISTICA имеет вид, сходный с окнами других программ, работающих в среде WINDOWS. Вверху содержится заголовок, указывающий, какой модуль сейчас...