18274

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН. ПОНЯТТЯ ТА ЇХ ОЗНАЧЕННЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 1 ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН. ПОНЯТТЯ ТА ЇХ ОЗНАЧЕННЯ Поняття про твердження. Математичні твердження та їх види. Поняття його обсяг і зміст. Відношення між поняттями. Означення понять. Способи означення. Означувані і неозначувані поняття. Вимоги д

Украинкский

2013-07-07

72.5 KB

25 чел.

Лекція 1

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН. ПОНЯТТЯ ТА ЇХ ОЗНАЧЕННЯ

  1.  Поняття про твердження. Математичні твердження та їх види.
  2.  Поняття, його обсяг і зміст.
  3.  Відношення між поняттями.
  4.  Означення понять. Способи означення. Означувані і неозначувані поняття.
  5.  Вимоги до означення понять. Помилки до означення понять. Помилки в означеннях. Контрприклади.
  6.  Поняття та їх означення в початковому курсі математики.

1. Поняття про твердження. Математичні твердження та їх види.

Свої знання про навколишній світ людство отримало за допомогою спостережень, дослідів і міркувань або мислення. Мислення – надзвичайно складний процес, який вивчається різними науками, однією з них є логіка, що вивчає форми і закони мислення.

У результаті процесу мислення створюється думка, в якій фіксується істотне, закономірне у різноманітності об'єктів навколишнього світу.

Твердженням (судженням) називається думка, в якій виділяється певний об'єкт, встановлюються його властивості або зв'язки з іншими об'єктами.

Різні міркування, розповіді чи бесіди складаються із тверджень. Для оперування твердженнями потрібно знати їх структуру та вміти правильно будувати. У математиці виділяють три основні види тверджень: означення, аксіоми і теореми.


2. Поняття, його обсяг і зміст.

Поняття, як і об'єкти, можуть знаходитися у різних відношеннях, які можна характеризувати за змістом і обсягом.

За змістом поняття бувають порівнюваними і непорівнюваними. Порівнюваними називаються поняття, які мають принаймні одну спільну ознаку. Якщо ж поняття не мають спільних ознак, то вони називаються непорівнюваними.

Наприклад, поняття "трикутник" і "квадрат" є порівнюваними, а – "трикутник" і "людина" – непорівнюваними.

За обсягом поняття бувають сумісними і несумісними. Сумісними називаються поняття, обсяги яких мають спільні об'єкти і несумісними, якщо їх обсяги не мають спільних об'єктів.

Прикладами сумісних понять є такі поняття як "чотирикутник" і "паралелограм", а несумісних – "чотирикутник" і "трикутник". Сумісні поняття можуть перебувати лише в одному і тільки одному з трьох відношень: 1) рівносильності або тотожності, 2) підпорядкування або родово-видовому, 3) часткового збігу або перехресному. Два поняття називаються рівносильними, якщо обсяги їх збігаються. Прикладами рівносильних понять є "правильний чотирикутник" і "квадрат".

У процесі розумової діяльності людина здебільшого оперує не реальними об'єктами, а поняттями, формування яких досить складне.

Кожний об'єкт має ряд властивостей, як спільних у нього з іншими об'єктами, так і тих, що відрізняють його від інших об'єктів.

Думка про властивість об'єктів називається ознакою.

Серед ознак об'єкта виділяють істотні і неістотні.

Істотна ознака – це така, без якої об'єкт існувати не може. Та ж ознака, яку може мати даний об'єкт, а може і не мати, називається неістотною. Істотність ознаки об'єкта залежить від потреб практики людини.

Схожість або відмінність об'єктів між собою встановлюється за допомогою порівняння. Воно дає можливість об'єднати об'єкти у певні групи. Щоб встановити істотні ознаки об'єктів певної групи, шляхом аналізу розчленовують цілісне уявлення про об'єкт на складові частини з метою виявлення його структури і внутрішніх зв'язків. Потім за допомогою абстрагування виділяють істотні ознаки, не звертаючи уваги на неістотні. Далі, на основі синтезу, поєднують істотні ознаки в єдиній думці про даний об'єкт. І, зрештою, використовуючи прийом узагальнення, одержані знання поширюють на всю групу об'єктів, що розглядаються. Такий у загальному вигляді шлях утворення поняття.

Поняттям називається форма мислення, в якій відображаються загальні істотні властивості предметів і явищ об'єктивної дійсності, загальні взаємозв'язки між ними у вигляді цілісної системи істотних ознак.

Кожне поняття характеризується своїм терміном, обсягом і змістом.

Термін (назва) позначається словом або кількома словами, а іноді ще й спеціальним символом (знаком). Наприклад, замість терміну "процент" ("відсоток") вживають символ %.

Обсягом поняття називається сукупність тих об'єктів, які охоплюються цим поняттям.

Змістом поняття називається сукупність істотних ознак, які мають всі об'єкти, що належать обсягу цього поняття.

Наприклад, для поняття "трикутник" обсяг складають всі можливі трикутники, а зміст включає властивості, притаманні кожному з них.

Зміст та обсяг поняття пов'язані такою залежністю: із розширенням змісту поняття звужується його обсяг, навпаки, із звуженням змісту поняття його обсяг розширюється. Наприклад, обсяг поняття "рівносторонній трикутник" вужчий обсягу поняття "трикутник", бо першому з них належать не всі можливі трикутники, а лише ті, в яких всі сторони рівні. Зміст же поняття "рівносторонній трикутник" розширився по відношенню до змісту поняття "трикутник", бо до властивостей поняття "трикутник" додаються нові, зокрема, властивість мати рівними всі сторони.

Поняття часто позначаються великими писаними латинськими буквами A, B, C, , а їх обсяги – відповідними великими друкованими буквами A, B, C, …; об'єкти, які належать обсягам понять, – малими латинськими буквами. Для наочного зображення понять іноді користуються геометричними ілюстраціями. Обсяги понять зображають плоскими геометричним фігурами (часто кругами), а об'єкти, що належать обсягам, – точками цих фігур. Таке зображення обсягів понять називають кругами Ейлера.

3. Відношення між поняттями.

Говорять, що поняття A і B перебувають у відношенні підпорядкування, якщо кожний об'єкт з обсягу поняття A належить обсягу поняття B, але не кожний об'єкт з обсягу поняття B належить обсягу поняття A. При цьому поняття A називається підпорядкованим (видовим) або видом, а поняття Bпідпорядковуючим (родовим) або родом. Говорять також, що у цьому випадку поняття A і B перебувають у родово-видовому відношенні. Прикладами таких понять є "трапеція" і "чотирикутник". Видом є поняття "трапеція", родом – "чотирикутник".

Два поняття називаються перехресними, якщо їх обсяги мають спільні об'єкти, але жодне з них не є родом для іншого. Про перехресні поняття говорять також, що вони перебувають у відношенні часткового збігу. Прикладами перехресних понять є "прямокутник" і "ромб". Зображення відношень між обсягами понять A і B, які знаходяться у відношенні тотожності, підпорядкування і часткового збігу дано на мал. 1 а), б) і в) відповідно.

а)

Б)

в)

Мал. 1.

Не завжди можна чітко охарактеризувати відношення між несумісними поняттями, тому виділимо лише деякі з них. Два або більше несумісних понять називаються співпідпорядкованими, якщо будь-які два з них несумісні, а всі вони є видами деякого спільного роду. У цьому випадку говорять також, що поняття перебувають у відношенні співпідпорядкування. Наприклад "трикутник", "чотирикутник" і "п'ятикутник" співпідпорядковані поняття, бо вони попарно несумісні і є видами спільного родового поняття "многокутник". Два співпідпорядковані поняття називаються протилежними, якщо обсяг їх спільного родового поняття містить принаймні один об'єкт, який не міститься в обсягах кожного з цих понять. Говорять також, що у цьому випадку два поняття знаходяться у відношенні протилежності. Наприклад, "натуральне число" і "від'ємне ціле число" протилежні поняття, бо вони несумісні, і кожне з них є видом родового поняття "ціле число", обсяг якого містить число нуль, що не є ні натуральним числом, ні від'ємним цілим числом. Два співпідпорядковані поняття називаються суперечливими, якщо обсяг їх спільного родового поняття містить об'єкти лише з обсягів кожного з цих понять. Про суперечливі поняття говорять також, що вони перебувають у відношенні суперечності або протиріччя. Наприклад, "ціле невід'ємне число" і "від'ємне ціле число" суперечливі поняття, бо вони несумісні, кожне з них є видом родового поняття "ціле число", обсяг якого не містить жодного числа, яке не було б або цілим невід'ємним числом або від'ємним цілим числом. За допомогою кругів Ейлера відношення між обсягами несумісних понять, які знаходяться у відношеннях співпідпорядкування, протилежності і суперечності зображено на мал. 2 відповідно а), б) і в).

4. Означення понять. Способи означення.

Означувані і неозначувані поняття.

Для того, щоб правильно користуватися поняттям, потрібно знати його зміст, який не визначається його терміном. Зміст поняття розкривається за допомогою спеціальної логічної операції, яка називається означенням поняття.

а)

Б)

в)

Мал. 2.

У кожному означенні виділяють означуване і визначаюче поняття. Поняття, якому дається означення, називається означуваним. Поняття ж, через яке дається означення, називається визначаючим. Наприклад, в означенні "Квадратом називається ромб, у якого один з кутів прямий" означуваним є поняття "квадрат", а визначаючим – "ромб, у якого один з кутів прямий". Означення є певним завершальним етапом у виробленні поняття і розв'язує дві пізнавальні задачі:

1) розкриває зміст означуваного поняття, дає відповідь на питання про те, чим є даний об'єкт;

2) відмежовує означуване поняття від інших споріднених понять.

Існують різні способи означення понять. Найбільш поширений спосіб – означення через найближчий рід і видову ознаку (відміну). Суть його полягає у тому, що спочатку визначається найближчий рід, до якого належить означуване поняття як вид, а потім вказується ознака (ознаки), яка відрізняє означуване поняття від інших видів цього роду. Наприклад, в означенні "Ромбом називається паралелограм, у якого дві суміжні сторони рівні", означуваним є поняття "ромб", родовим – "паралелограм", а видовою ознакою є "рівність двох суміжних сторін паралелограма".

Поряд із означенням через найближчий рід і видову ознаку користуються генетичним означенням, суть якого полягає у тому, що зміст означуваного поняття розкривається за допомогою опису утворення тих об'єктів, що належать його обсягу. Наприклад, означення "Сферою називається поверхня, яка утворюється внаслідок обертання півкола навколо його діаметра" є генетичним.

У математиці часто зустрічаються означення, які називаються умовними погодженнями. Наприклад, "Якщо x – довільне дійсне число, відмінне від нуля, то за означенням x0:= 1".

Зауваження. Домовимося надалі вираз "дорівнює за означенням" символічно записувати ":=".

Розглядають також означення через перелік, рекурсивні або індуктивні означення, означення через абстракцію, аксіоматичне означення та інші. Означення "Дійсними числами називаються раціональні та ірраціональні числа" є прикладом означення через перелік.


5. Вимоги до означення понять. Помилки до означення понять.

Помилки в означеннях. Контрприклади.

При означенні понять потрібно дотримуватися певних вимог (правил). У випадку їх порушення говорять, що означення неправильне (некоректне) або що у ньому допущена логічна помилка.

Основні вимоги такі:

1) Означення повинно бути співрозмірним, тобто обсяг визначаючого поняття повинен збігатися з обсягом означуваного поняття. У всіх випадках, коли вказується недостатня кількість ознак або надмірна кількість ознак, порушується вимога співрозмірності. Наприклад, в означенні "Правильним многокутником називається многокутник, у якого всі сторони рівні" вказано не всі ознаки правильного многокутника. Тому за цим означенням ромб повинен бути правильним многокутником, насправді це не так.

В означенні "Рівнобедреним трикутником називається трикутник, у якого є два рівні кути, що менші 60º" вказано багато ознак рівнобедреного трикутника. За цим означенням правильний трикутник не буде рівнобедреним.

2) Означення не повинно містити у собі так званого хибного кола, тобто, коли визначаюче поняття є означуваним поняттям або коли одне поняття означається через друге, а друге – через перше. Наприклад, в означеннях "Кругом називається частина площини обмежена колом" і "Колом називається межа круга" круг означається через коло, а коло через круг.

3) Означення не повинно бути тільки заперечуючим, тобто у ньому не повинні вказуватися лише ті ознаки, які не входять у зміст даного поняття, хоч іноді цього уникнути не можна.

4) Потрібно, щоб існували об'єкти, які містяться в обсязі даного поняття.

5) Означення повинно бути чітким, не мати нічого зайвого, всі терміни у ньому мають бути однозначними, тобто кожен є назвою лише одного поняття.

Кожне поняття, взагалі кажучи, має нескінченну сукупність ознак, всі їх вказати неможливо. Тому в означенні вказуються лише ті, які повністю задають дане поняття. Одне і те ж поняття може бути по-різному означене. Два означення називаються рівносильними, якщо обсяги понять, які вони визначають, збігаються. Рівносильність означень у математиці завжди доводиться.

Правильність означення не завжди легко встановити. Для того, щоб виявити помилку в означенні, користуються іноді способом наведення контрприкладу. Суть його полягає у тому, що вказується приклад об'єкта, який має всі властивості, які входять в означення, але не міститься в обсязі означуваного поняття. Наприклад, означення "Опуклий многокутник називається правильним, якщо у нього всі кути рівні" некоректне. Щоб переконатися у цьому, візьмемо прямокутник, у якого суміжні сторони не рівні. Такий прямокутник має всі властивості, вказані в означенні, але не є правильним многокутником.

6. Поняття та їх означення в початковому курсі математики.

Якщо проаналізувати означення понять, то виявиться, що завжди означуване поняття означується через інше, яке у свою чергу означується ще через інше і т. д. Але через те, що кількість понять, якими володіє людство, скінченна, то всім поняттям дати означення неможливо. А тому серед понять виділяють неозначувані поняття, які у математиці називають також первісними. Для з'ясування їх змісту користуються описом, в якому вказуються лише деякі ознаки або наводяться приклади об'єктів, що належать обсягам первісних понять. У курсі математики загальноосвітньої школи первісними поняттями є, наприклад, точка, пряма, площина і т. д.

У математиці для виділення означення серед інших математичних тверджень прийнято у них вживати такі слова як "називається", "говорять" або їх синоніми. В описі первісних математичних понять найчастіше вживається слово "розуміють" або його синоніми.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50083. Стройові вправи. Правила піднімання вантажу 61 KB
  Основи термiнологiï: положення лежачи рiвновага. Положення лежачи. Лежачи на спинi Положення при якому торкаються пiдлоги всi частини задньоï поверхнi тiла положення рук визначається вiдносно тулуба Лежачи на животi Положення при якому торкаються пiдлоги всi частини передньоï поверхнi тiла пiдборiддя теж торкається пiдлоги Лежачи на животi прогнувшись Положенняпри якому торкаються пiдлоги нижня частина грудноï клiтини живiт i таз; верхня частина тулуба i ноги знаходяться над...
50084. Ролевая теория личности. Ролевые конфликты 16.93 KB
  Ролевая концепция личности возникла в американской социальной психологии в 30-х гг. XX в. (Дж. Мид) и получила широкое распространение в различных социологических течениях, прежде всего, в структурно-функциональном анализе
50086. Создание комплексных текстово-графических материалов 78 KB
  Запустите Corel Drаw создайте новый файл. Сохраните файл под именем Верстка сверните файл но не программу. В программе Corel Drw создайте еще один файл постройте на листе по 15 горизонтальных и вертикальных направляющих Horizontl nd Verticl Guidelines: Horizontl Горизонтальные от 70 до 140 мм с шагом в 5 мм; Verticl Вертикальные от 30 до 100 мм также с шагом в 5 мм. Откройте файл Верстка импортируйте в него сохраненный кроссворд придайте ему такие же размеры и положение как на ксерокопии.
50087. Определение показателя адиабаты при адиабатическом расширении газа 309.5 KB
  Плеханова технический университет Кафедра Общей и технической физики лаборатория виртуальных экспериментов Определение показателя адиабаты при адиабатическом расширении газа Методические указания к лабораторной работе № 8 для студентов всех специальностей САНКТПЕТЕРБУРГ 2010 УДК 531 534 075. Цель работы: – изучить законы идеального газа и основные положения классической теории теплоёмкости; определить коэффициент Пуассона отношение теплоёмкости при постоянном давлении Ср к теплоемкости при постоянном объеме CV методом...
50089. ИЗУЧЕНИЕ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА ПРИЗМОЙ. ИЗУЧЕНИЕ ДИСПЕРСИИ СВЕТА 151 KB
  ИЗУЧЕНИЕ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА ПРИЗМОЙ Изучение дисперсии света. Абсолютным показателем преломления некоторого вещества в электромагнитной теории называется число показывающее во сколько раз скорость волны в вакууме больше скорости волны в веществе: n = c v. Абсолютный показатель преломления связан с диэлектрической и магнитной проницаемостями среды следующим образом: n =. Дисперсией электромагнитного излучения называют явление обусловленное зависимостью показателя преломления вещества от длины волны частоты n = fλ0 где λ0 – длина...
50090. Интегральные устройства радиоэлектроники 15.38 MB
  Курсовое проектирование по дисциплине Интегральные устройства радиоэлектроники обобщает знания, полученные студентами в процессе изучения дисциплины, а также умения и навыки, приобретенные при прохождении практики на производстве, и ставит своей целью подготовить студентов к самостоятельному решению сложных проектно-конструкторских задач.
50091. ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРА АТОМА ВОДОРОДА 211.5 KB
  Совокупность электронов составляет электронную оболочку атома. Ядро в котором сосредоточена почти вся масса атома занимает ничтожно малую часть всего его объема. При этом размер самого атома который определяется размерами его электронной оболочки около 108 см.