18275

МНОЖИНИ ТА ВІДНОШЕННЯ МІЖ НИМИ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 2 МНОЖИНИ ТА ВІДНОШЕННЯ МІЖ НИМИ Поняття множини. Скінченні і нескінченні множини. Способи задання множин. Порожня і одинична множини. Точкові множини. Геометрична фігура як множина точок. Плоскі і просторові геометричні фігури. Круги Ейлера. Рівн...

Украинкский

2013-07-07

101 KB

46 чел.

Лекція 2

МНОЖИНИ ТА ВІДНОШЕННЯ МІЖ НИМИ

  1.  Поняття множини. Скінченні і нескінченні множини.
  2.  Способи задання множин. Порожня і одинична множини.
  3.  Точкові множини. Геометрична фігура як множина точок. Плоскі і просторові геометричні фігури. Круги Ейлера.
  4.  Рівність множин. Підмножина множини. Універсальна множина.
  5.  Відношення між двома непорожніми множинами.

Питання на самостійне опрацювання

  1.  Числові множини. Координатна пряма і зображення числових множин на ній.
  2.  Множини, що зустрічаються в початковому курсі математики.

  1.  Поняття множини. Скінченні і нескінченні множини.

Поняття множини взято за одне з основних первісних понять сучасної математики. Воно було введене німецьким математиком Георгом Кантором (1845 – 1918) у кінці XIX ст. З тих пір майже вся математика будується на теоретико-множинній основі, а тому знання елементів теорії множин необхідне для математичної підготовки майбутніх фахівців, зокрема і вчителів, які навчають математиці.

Під множиною у математиці розуміють сукупність певних об'єктів, об'єднаних за деякою ознакою чи правилом. Об'єкти, що складають множину і можуть бути самої різноманітної природи, називають її елементами. Множини у більшості випадків позначаються великими, а їх елементи – малими латинськими буквами. Те, що елемент a належить множині A, символічно записується так: a Î A. Коли елемент b не належить множині A, то це записується b Ï A ( або ). Знак (символ) Î називається знаком належності. Множина може бути елементом іншої множини. Наприклад: вуз можна розглядати як множину, елементами якої є факультети, які у свою чергу є множинами студентів.

Множина, елементами якої є числа, називається числовою множиною. Для деяких множин, зокрема числових, прийнято свої назви і позначення. Найчастіше вживаними з них є:

множина всіх натуральних чисел N;

множина всіх цілих невід'ємних чисел N0;

множина всіх цілих чисел Z;

множина всіх раціональних чисел Q;

множина всіх дійсних чисел R;

множина всіх комплексних чисел C.

За числом елементів множини поділяють на скінченні і нескінченні. Множина називається скінченною, якщо її елементи можна перелічити, і – нескінченною, якщо цього зробити не можна. Число елементів у скінченній множині A позначається |A| або n(A) Порожня множина є скінченною і число її елементів дорівнює нулю.

  1.  Способи задання множин. Порожня і одинична множини.

Множина цілком визначається своїми елементами, тобто вона є заданою, якщо про довільний елемент можна сказати: належить він даній множині чи не належить. Тому, наприклад, не можна говорити про множину студентів вузу, а потрібно говорити про множину студентів на певний час. Найчастіше множини задають:

1) переліком елементів множини. У цьому випадку записують всі елементи множини і з обох сторін ставлять фігурні дужки. Наприклад, запис {1, 2, 3} означає, що задано множину, елементами якої є лише числа 1, 2 і 3;

2) заданням характеристичної властивості елементів множини, тобто властивості, яку мають ті і тільки ті елементи, що належать даній множині. Символічно задання множини характеристичною властивістю записується { x | P(x) }, де x  довільний елемент множини, Р – характеристична властивість, що задає множину, а Р(x) означає, що елемент x має властивість Р. Наприклад, множину додатних дійсних чисел можна задати так: { x | x Î R i x > 0}, а можна і так { x Î R | x > 0 }.

Одну і ту ж множину можна задати по-різному, у тому числі і за допомогою різних характеристичних властивостей. Наприклад, множина, елементами якої є тільки числа 1 і 2, може бути задана так:

{1, 2}, {2, 1}, { x Î N | x ≤ 2 }, { x Î N | x < 3 },

x Î Z | 1 ≤ x ≤ 2 }, { x Î Z | 0 < x < 3 },

x Î Q | (x – 1)(x – 2) = 0}, { x Î R | (x – 1)( x – 2) = 0 }.

У теорії множин прийнято, що кожна правильно сформульована властивість елементів задає множину. Але може виявитися так, що не завжди існують елементи, які мають сформульовану властивість. Щоб уникнути розбіжності з вище прийнятим, доводиться розглядати і множини, які не містять елементів. Наприклад, розглянемо множину задану такою характеристичною властивістю Р(x) – "x є таким дійсним числом, що x2 + 1 = 0", тобто {x є R | x2 + 1 = 0}. Для довільного дійсного числах x2  0, тоді x2 + 1 > 0. Отже, дійсних чисел, які задовольняють умові x2 + 1 = 0, немає. Множина, яка не містить елементів, називається порожньою множиною і позначається символом Æ. Порожня множина єдина.

Непорожня множина, яка не містить різних елементів, називається одиничною множиною.

  1.  
    Точкові множини. Геометрична фігура як множина точок.

Плоскі і просторові геометричні фігури. Круги Ейлера.

У математиці, крім числових множин, користуються ще й точковими множинами, тобто множинами, елементами яких є точки. Непорожня точкова множина називається геометричною фігурою або просто фігурою. Фігура називається плоскою, якщо всі її точки належать одній площині. Фігура називається просторовою, якщо не всі її точки належать одній площині.

Для наочності множини часто зображають плоскими геометричними фігурами, здебільшого кругами, а їх елементи позначаються точками цих фігур. Таке зображення множин називається кругами Ейлера.

  1.  Рівність множин. Підмножина множини.

Універсальна множина.

У попередньому пункті введено нове первісне поняття математики. Коли вводиться нове поняття, потрібно кожного разу спеціально розглядати питання про те, які два об'єкти, що містяться в обсязі цього поняття, ототожнюються між собою, тобто вважаються як один і той же об'єкт, а які є різними об'єктами. Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів, тобто кожний елемент першої множини є елементом другої множини і кожний елемент другої множини є елементом першої множини. Рівність множин X i Y записується X = Y. Геометрично рівні множини зображаються однією і тією ж фігурою на площині (мал. 1).

X = Y

Мал. 1.

З означення рівності множин випливає:

1) порядок входження елементів у множину неістотний;

2) елементи у множині не повторюються.

5. Відношення між двома непорожніми множинами.

Користуючись означенням відношення рівності множин, легко встановити:

1) кожна множина рівна сама собі, тобто X = X  рефлексивність відношення рівності множин;

2) для довільних множин X і Y, якщо X = Y, то Y = X – симетричність відношення рівності множин;

3) для довільних множин X, Y і Z, якщо X = Y і Y = Z, то X = Z – транзитивність відношення рівності множин.

Отже, має місце теорема.

Теорема 1. Відношення рівності множин рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Якщо кожний елемент множини X є елементом множини Y, то множина X називається підмножиною множини Y і записується X Ì Y або Y É X. Знак É називається знаком включення, а про самі множини говорять, що вони перебувають у відношенні включення. Відношення включення для двох множин, які не порожні, зображено на мал. 2.

а)

б)

X Ì Y

Мал. 2.

Прийнято, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини.

На основі означення відношення включення між двома множинами одержуються такі його властивості:

1) кожна множина є своєю підмножиною, тобто X Ì X – рефлексивність відношення включення;

2) для довільних множин X і Y, якщо X Ì Y і Y Ì X, то X = Y – антисиметричність відношення включення;

3) для довільних множин X, Y i Z, якщо X Ì Y і Y Ì Z, то X Ì Z – транзитивність відношення включення.

Отже, має місце теорема.

Теорема 2. Відношення включення між множинами рефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

Кожна множина має своїми підмножинами порожню множину і саму себе, які називаються її невласними підмножинами. Всі інші підмножини множини, якщо вони існують, називаються її власними підмножинами. Мал. 2 (а) є зображенням невласної підмножини X множини Y, а мал. 2 (б) – власної підмножини X множини Y.

Дві непорожні множини X і Y або мають спільні елементи, або ж їх не мають. У першому випадку говорять, що множини перетинаються (записують X Ç Y ≠ Æ).  У другому випадку – не перетинаються (записують X Ç Y = Æ).

Для двох непорожніх множин, які не перетинаються, зображення їх за допомогою кругів Ейлера дано на мал. 3.

Х Ç Y =  Æ

Мал. 3.

Для двох непорожніх множин, які перетинаються, на основі взаємного розміщення двох плоских фігур має місце один і тільки один із випадків зображений кругами Ейлера на мал. 4.

На основі мал. 4 маємо:

1) у випадку а) множини рівні;

2) у випадках б) і в) одна із множин є власною підмножиною іншої;

3) у випадку г) жодна із множин не є підмножиною другої, у цьому випадку говорять, що множини знаходяться у відношенні часткового збігу.

Отже, має місце теорема.

Теорема 3. Для довільних двох непорожніх множин має місце одне і тільки одне із відношень: або вони перетинаються, або вони не перетинаються. Якщо дві множини перетинаються, то між ними має місце одне і тільки одне із відношень: або вони рівні, або одна з них є власною підмножиною другої, або вони знаходяться у відношенні часткового збігу.

а)

б)

в)

г)

X Ç Y ≠ Æ

Мал. 4.

Користуючись означеннями відношень рівності і включення для множин та їх властивостями, одержуємо теорему.

Теорема 4. Дві множини рівні тоді і тільки тоді, коли перша множина є підмножиною другої, а друга – підмножиною першої.

У теорії або при розв'язуванні задач, як правило, розглядаються множини, які є підмножинами однієї і тієї ж множини. Множина, підмножини якої розглядаються у задачі чи теорії, називається універсальною множиною, її позначають у більшості випадків U. Вибір універсальної множини довільний, він визначається задачами практики. На кругах Ейлера універсальна множина найчастіше зображається квадратом або прямокутником, а її підмножини – фігурами, що розміщуються усередині них (мал. 5).

Мал. 5.


НА САМОСТІЙНЕ ОПРАЦЮВАННЯ

Числові множини. Координатна пряма і

зображення числових множин на ній.

Зупинимося більш детально на числових множинах. Графічно їх зображають на координатній прямій. Для окремих підмножин множини дійсних чисел вживають свої назви і позначення. Далі дається символічний запис означення множини, його формулювання словами і назва, а також позначення множини та її зображення на координатній прямій.

Множина:

{x Î R | a ≤ x ≤ b} –

усі дійсні числа, що знаходяться між числами a і b, включаючи ці числа (замкнений числовий проміжок (відрізок)).

{x Î R | a < x < b} –

усі дійсні числа, що знаходяться між числами a і b, не включаючи їх (відкритий числовий проміжок (відрізок)).

{x Î R | a < x ≤ b} –

усі дійсні числа, що знаходяться між числами a і b, не включаючи a і включаючи b (числовий проміжок, який відкритий знизу і замкнений зверху).

{x Î R | a ≤ x < b} –

усі дійсні числа, що знаходяться між числами a і b, включаючи число a і не включаючи число b (числовий проміжок, який замкнений знизу і відкритий зверху).

{x Î R | x > a} –

усі дійсні числа, що більші від числа a (числовий проміжок, який відкритий знизу і необмежений зверху).

{x Î R | x  a} –

усі дійсні числа, що не менші від числа a (числовий проміжок, який замкнений знизу і необмежений зверху).

{x Î R | x < b} –

усі дійсні числа, що менші від числа b (числовий проміжок, який необмежений знизу і відкритий зверху).

{x Î R | x ≤ b} –

усі дійсні числа, що не перевищують числа b (числовий проміжок, який необмежений знизу і замкнений зверху).

Множини 1) – 4) називаються обмеженими числовими проміжками. 5) – 8) – необмеженими числовими проміжками, а всі вони – числовими проміжками.

Множину дійсних чисел R позначають іноді символічно так:

] –¥ ; +¥ [.


Множини, що зустрічаються в початковому курсі математики.

По суті, кожна наука має справу з поняттями та твердженнями про них, тому без розуміння самих понять не можливе вивчення жодної наукової дисципліни. Хоч були висвітлені питання про поняття, використання ж теорії множин дає можливість глибше зрозуміти їх зміст.

Як відомо, кожне поняття має обсяг. З точки зору теорії множин обсяг поняття є не що інше як множина, елементи якої мають властивості, що збігаються із властивостями змісту цього поняття. Підхід до обсягу поняття, як до множини, дає можливість більш чітко характеризувати відношення між поняттями, наприклад, між двома. Два поняття називаються сумісними, якщо обсяги їх перетинаються і – несумісними, якщо обсяги їх не перетинаються. Два сумісні поняття називаються:

1) тотожними, якщо обсяги їх рівні;

2) підпорядкованими, якщо обсяг одного з них є власною підмножиною обсягу другого;

3) перехресними, якщо обсяги їх знаходяться у відношенні часткового збігу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10363. Методическая работа в школе. Методический совет школы, его роль, содержание работы. Основы научной организации педагогического труда 39 KB
  Методическая работа в школе. Методический совет школы его роль содержание работы. Основы научной организации педагогического труда. Методическая работа в школе – одно из главных направлений ее деятельности. Состав МО – 45 учителей по предметам или кл. рукли параллел...
10364. Особенности профессионально-педагогической деятельности современного учителя. Требования к учителю в теории и истории отечественной и зарубежной педагогики 75 KB
  Особенности профессионально-педагогической деятельности современного учителя. Требования к учителю в теории и истории отечественной и зарубежной педагогики Я.А. Коменский И.Г. Песталоцци А. Дистервег К.Д. Ушинский Л.Н. Толстой А.С. Макаренко. Требования к учителю совре...
10365. Учитель в современной школе, его должностные обязанности. Квалификационные категории и разряды профессионального статуса учителя 59.5 KB
  Учитель в современной школе его должностные обязанности. Квалификационные категории и разряды профессионального статуса учителя. Процесс профессионального самосовершенствования учителя. Повышение квалификации и аттестации учителя. Индивидуальные стили педагогическ...
10366. Классный руководитель в современной школе. Основные направления его деятельности с коллективом учащихся. Психология малых групп 45 KB
  Классный руководитель в современной школе. Основные направления его деятельности с коллективом учащихся. Психология малых групп. Планирование и организация работы классного руководителя. Особенности организации взаимодействия учителя с семьей школьника. Формы виды ра...
10367. Инновационные процессы в образовании. Типы инновационных учебных заведений и особен-ности организации в них учебно-воспитательного процесса 43 KB
  Инновационные процессы в образовании. Типы инновационных учебных заведений и особенности организации в них учебновоспитательного процесса. Негосударственные учебные заведения. Процедура создания и регламентация деятельности образовательных учреждений. Лицензионная...
10368. Регионализация образования. Состояние и развитие Тульской областной системы образования. Региональная программа развития образования 38 KB
  Регионализация образования. Состояние и развитие Тульской областной системы образования. Региональная программа развития образования. Основные направления экспериментальной инновационной работы в учреждениях образования Тульской области. Регионализация системы ...
10369. Шпаргалка по педагогике (для педагогов) 1.87 MB
  Шпаргалка по педагогике для педагогов 1. Понятие педагогики и этапы ее развития Слово педагогика греческого происхождения. В дословном переводе означает детовождение. В современном понимании педагогика представляет собой совокупность знаний и умений по...
10370. АВГУСТИН Блаженный (Augustinus Sanctus) Аврелий 45.72 KB
  АВГУСТИН Блаженный Augustinus Sanctus Аврелий 13.11.354 Тагаст Сев. Африка Нумидия 28.8.430 Гишюн Сев. Африка христ. теолог представитель зап. патристики. Прошёл через увлечение манихейством и скептицизмом в 387 принял крещение. С 395 епископ Гиппона. Онтология А. и его уч...
10371. АДЛЕР (Adler) Альфред 33.73 KB
  АДЛЕР Adler Альфред 7.2.1870 Вела 28.5.1937 Абердин Шотландия австр. врач и психолог создатель индивидуальной психологии. Примыкал сначала к сторонникам 3. Фрейда затем основал собств. школу получившую наибольшее влияние в 20х гг. с созданием Междунар. ассоциации инд