18277
ВІДНОШЕННЯ МІЖ ЕЛЕМЕНТАМИ ДВОХ МНОЖИН
Лекция
Математика и математический анализ
Лекція 4 ВІДНОШЕННЯ МІЖ ЕЛЕМЕНТАМИ ДВОХ МНОЖИН Відношення між елементами двох множин та його основні характеристики: області відправлення і прибуття; графи відношення області визначення і значення повні образи і прообрази елементів. Операції над відношення...
Украинкский
2013-07-07
53 KB
28 чел.
Лекція 4
ВІДНОШЕННЯ МІЖ ЕЛЕМЕНТАМИ ДВОХ МНОЖИН
Усі арифметичні операції, операції над множинами є, по суті, відношеннями між елементами однієї чи кількох множин.
Довільна підмножина декартового добутку множин A і B називається відношенням між елементами множин A і B. При цьому множина A називається областю (множиною) відправлення відношення, множина B областю (множиною) прибуття відношення. Множина впорядкованих пар, що складають відношення, називається його графіком.
Відношення між елементами двох множин у більшості випадків позначають малими грецькими або ж латинськими буквами ρ, φ, ψ, ..., f, g, h,... . Самі ці букви несуть подвійне навантаження: вони позначають відношення між елементами двох множин, а також і його графік. Те, що ρ є відношенням між елементами множин A і B, записується
ρ Ì A × B.
Іноді замість терміну "відношення між елементами множин A і B" користуються терміном "відповідність між елементами множин A і B". Якщо пара (x, y) належить відношенню ρ між елементами множин A і B, тобто (x, y) Î ρ, то у теорії відношень говорять, що елемент x перебуває у відношенні ρ з елементом y або, що елементу x при відношенні ρ ставиться у відповідність елемент y і, крім запису (x, y) Î ρ, користуються ще й таким записом x ρ y. Якщо задано відношення ρ Ì A × B, то:
1) Повним образом будь-якого елемента з області відправлення відношення називається множина елементів області прибуття відношення, з якими він перебуває у заданому відношенні. Повний образ елемента x Î A позначається ρ(x):
ρ(x):= {y Î B | x ρ y, ρ Ì A × B}.
Кожний елемент з множини ρ(x) називається образом елемента x.
2) Повним прообразом будь-якого елемента з області прибуття відношення називається множина елементів області відправлення, які перебувають з ним у відношенні.
Повний прообраз елемента y Î B позначається ρ-1 (y).
ρ-1(y):= {x Î A | x ρ y, ρ Ì A × B}
Кожний елемент з множини ρ-1(y) називається прообразом елемента y.
3) Множина всіх перших компонент графіка відношення р називається його областю визначення і позначається D(ρ). Означення можна сформулювати і так: множина тих елементів x із області відправлення відношення ρ, для яких їх повні образи є непорожніми множинами, називається областю визначення відношення ρ.
4) Множина всіх других компонент графіка відношення ρ називається його областю значення і позначається Е(ρ). Означення можна сформулювати і так: множина тих y із області прибуття відношення ρ, для яких їх повні прообрази є непорожніми множинами, називається областю значення відношення ρ. Очевидно, що
D(ρ) Ì A і Е(ρ) Ì B.
5) Відношення називається всюди визначеним, якщо його область визначення збігається з областю відправлення.
6) Відношення називається cюр'єктивним, якщо його область значення збігається з областю прибуття.
Відношення ρ і φ між елементами множини A і B називаються рівними, якщо їх графіки збігаються, що записується ρ = φ.
Відношення протилежне і обернене даному.
Над відношеннями, визначеними між елементами множин A і B, як над множинами, можна виконувати всі теоретико-множинні операції та одержувати нові відношення між елементами цих множин. Зокрема, різниця між декартовим добутком множин A і B та відношенням ρ Ì A × B називається протилежним відношенням до відношення ρ і позначається . Отже,
:= {(x, y) Î A × B | (x, y) Ï ρ Ì A × B}.
Оберненим відношенням до відношення ρ Ì A × B називається відношення, визначене між елементами множин B і A, графік якого складається з усіх пар (y, x) таких, що (x, y) Î ρ. Обернене відношення до відношення ρ позначається ρ-1. Очевидно, що
D(ρ-1) = E(ρ), Е(ρ-1) = D(ρ), (ρ-1)-1 = ρ.
Граф оберненого відношення одержується із графа даного відношення зміною напряму на всіх його дугах на протилежний. Точкові графіки даного і оберненого йому відношень між елементами двох числових множин симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів.
Композицією відношень ρ Ì A × B і j Ì B × C називається відношення між елементами множин A і C, яке складається з тих і тільки тих пар (x, z) Î A × C, для яких існує елемент y множини B такий, що (x, y) Î ρ і (y, z) Î φ. Композиція відношень ρ і j позначається ρ * j.
Для наочного зображення відношення часто користуються графами, а у випадку числових множин ще й точковими графіками. Графом називається множина точок і відрізків, які попарно з'єднують деякі з цих точок. Точки називаються вершинами графа, а відрізки його ребрами.
Граф, на ребрах якого вказано напрям, називається орієнтованим, а ребра дугами. Ми розглядатимемо лише орієнтовані графи і називатимемо їх просто графами.
двох числових множин.
Якщо задано відношення ρ Ì A × B і множини A та B є числовими, то як і у випадку декартового добутку, розглядають координатну площину і по осі Ox відмічають елементи множини A, а по осі Oy елементи множини B, через кожну з одержаних точок проводять прямі, перпендикулярні до координатних осей, і серед точок, які одержуються у результаті перетину цих прямих, вибирають ті, координати яких рівні парам відношення. Вибрані точки і складають точковий графік відношення.
Існують різні способи задання відношення:
графіком, тобто множиною пар,
різними видами таблиць,
графом,
точковим графіком, якщо множини числові,
характеристичною властивістю пар, що належать графіку відношення.
Взагалі кажучи, способами 1), 2) і 3) зручно користуватися тоді, коли графік відношення є скінченною множиною.
Над відношеннями, визначеними між елементами множин A і B, як над множинами, можна виконувати всі теоретико-множинні операції та одержувати нові відношення між елементами цих множин. Зокрема, різниця між декартовим добутком множин A і B та відношенням ρ Ì A × B називається протилежним відношенням до відношення ρ і позначається . Отже,
:= {(x, y) Î A × B | (x, y) Ï ρ Ì A × B}.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
5893. | Военно-промышленный комплекс России | 172.5 KB | |
В начале 20 века в Европе начинается век техники и изобретений. Но мир уже разделен на военно-политические блоки. С одной стороны это Германия и Австро-Венгрия, с другой-Франция и Россия. В 20 веке хорошим тоном стало в мирное время демонстрировать... | |||
5894. | Сбережения и инвестирование и их значение в экономике | 116.5 KB | |
Данная работа посвящена функциям сбережений и инвестиций в рыночной экономике. Самое общее определение указанных понятий можно выполнить следующим образом: Сбережения - денежные средства, оставшиеся после уплаты всех налогов и расходов... | |||
5895. | Дуговая сварка | 52 KB | |
Открытие дуговой сварки. Замечательный русский изобретатель Н.Г. Славянов был по образованию инженером, металлургом. Последняя четверть прошлого века явилась периодом становления электротехники-науки о процессах, связанных с практическим ... | |||
5896. | Вопрос морали в современной философии | 116.5 KB | |
Введение. Термин мораль - и по содержанию и по истории возникновения - латинский аналог термина этика. В латинском языке есть слово mos (множественное число - mores), соответствующее древнегреческому этосу и обозначающее нрав... | |||
5897. | Нивелирование трассы | 85 KB | |
Цель работы Задача нивелирования состоит в том, чтобы получить отметки пикетов и плюсовых точек для построения профиля земли. Исходные данные В исходные данные входит индивидуальное задание с приложением выписки из журнала нивелирования ... | |||
5898. | Английский писатель Алан Александр Милн | 56.5 KB | |
Вступление. Английский писатель А. А. Милн вошел в историю дошкольной детской литературы как автор сказки о плюшевом медведе Винни Пухе и ряда стихотворений. Милном были написаны и другие произведения для детей, но наибольший успех выпал на названну... | |||
5899. | Военная доктрина | 79 KB | |
Военная доктрина Российской Федерации, основные положения которой опубликованы в печати, является важным этапом в развитии концепции нашей национальной безопасности. Впервые в российской истории военная доктрина исходит из идеи обеспечения безопасно... | |||
5900. | Теория равноценной цены | 84 KB | |
Введение Альфред Маршалл (1842-1924) - одна из наиболее выдающихся фигур в истории экономической мысли. Маршалл получил математическое образование в Кембридже. Его математическая подготовка превосходила уровень всех его современников-маржиналис... | |||
5901. | Искусство воспитания. Внеклассное мероприятие | 30.94 KB | |
Искусство воспитания Цель занятия: выявить знания студентов по педагогике увидеть тезаурус (общее развитие) студентов, готовых к практике воспитать гуманистические, коллективистские качества студентов. Форма проведения: соревнова... | |||