18277

ВІДНОШЕННЯ МІЖ ЕЛЕМЕНТАМИ ДВОХ МНОЖИН

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 4 ВІДНОШЕННЯ МІЖ ЕЛЕМЕНТАМИ ДВОХ МНОЖИН Відношення між елементами двох множин та його основні характеристики: області відправлення і прибуття; графи відношення області визначення і значення повні образи і прообрази елементів. Операції над відношення...

Украинкский

2013-07-07

53 KB

26 чел.

Лекція 4

ВІДНОШЕННЯ МІЖ ЕЛЕМЕНТАМИ ДВОХ МНОЖИН

  1.  Відношення між елементами двох множин та його основні характеристики: області відправлення і прибуття; графи відношення, області визначення і значення, повні образи і прообрази елементів.
  2.  Операції над відношеннями. Відношення протилежне і обернене даному.
  3.  Поняття про граф. Граф відношення.
  4.  Точковий графік відношення між елементами двох числових множин.
  5.  Способи задання відношень.

  1.  Відношення між елементами двох множин та його основні характеристики: області відправлення і прибуття; графи відношення, області визначення і значення, повні образи і прообрази елементів.

Усі арифметичні операції, операції над множинами є, по суті, відношеннями між елементами однієї чи кількох множин.

Довільна підмножина декартового добутку множин A і B називається відношенням між елементами множин A і B. При цьому множина A називається областю (множиною) відправлення відношення, множина Bобластю (множиною) прибуття відношення. Множина впорядкованих пар, що складають відношення, називається його графіком.

Відношення між елементами двох множин у більшості випадків позначають малими грецькими або ж латинськими буквами ρ, φ, ψ, ..., f, g, h,... . Самі ці букви несуть подвійне навантаження: вони позначають відношення між елементами двох множин, а також і його графік. Те, що ρ є відношенням між елементами множин A і B, записується

ρ Ì A × B.

Іноді замість терміну "відношення між елементами множин A і B" користуються терміном "відповідність між елементами множин A і B". Якщо пара (xy) належить відношенню ρ між елементами множин A і B, тобто (xyΠρ, то у теорії відношень говорять, що елемент x перебуває у відношенні ρ з елементом y або, що елементу x при відношенні ρ ставиться у відповідність елемент y і, крім запису (xyΠρ, користуються ще й таким записом x ρ y. Якщо задано відношення ρ Ì A × B, то:

1) Повним образом будь-якого елемента з області відправлення відношення називається множина елементів області прибуття відношення, з якими він перебуває у заданому відношенні. Повний образ елемента x Î A позначається ρ(x):

ρ(x):= {y Î B | x ρ y, ρ Ì A × B}.

Кожний елемент з множини ρ(x) називається образом елемента x.

2) Повним прообразом будь-якого елемента з області прибуття відношення називається множина елементів області відправлення, які перебувають з ним у відношенні.

Повний прообраз елемента y Î B позначається ρ-1 (y).

ρ-1(y):= {x Î A | x ρ y, ρ Ì A × B}

Кожний елемент з множини ρ-1(y) називається прообразом елемента y.

3) Множина всіх перших компонент графіка відношення р називається його областю визначення і позначається D(ρ). Означення можна сформулювати і так: множина тих елементів x із області відправлення відношення ρ, для яких їх повні образи є непорожніми множинами, називається областю визначення відношення ρ.

4) Множина всіх других компонент графіка відношення ρ називається його областю значення і позначається Е(ρ). Означення можна сформулювати і так: множина тих y із області прибуття відношення ρ, для яких їх повні прообрази є непорожніми множинами, називається областю значення відношення ρ. Очевидно, що

D(ρÌ A   і   Е(ρÌ B.

5) Відношення називається всюди визначеним, якщо його область визначення збігається з областю відправлення.

6) Відношення називається cюр'єктивним, якщо його область значення збігається з областю прибуття.

Відношення ρ і φ між елементами множини A і B називаються рівними, якщо їх графіки збігаються, що записується ρ = φ.

  1.  Операції над відношеннями.

Відношення протилежне і обернене даному.

Над відношеннями, визначеними між елементами множин A і B, як над множинами, можна виконувати всі теоретико-множинні операції та одержувати нові відношення між елементами цих множин. Зокрема, різниця між декартовим добутком множин A і B та відношенням ρ Ì A × B називається протилежним відношенням до відношення ρ і позначається . Отже,

:= {(xy ΠA × B | (xyÏ ρ Ì A × B}.

Оберненим відношенням до відношення ρ Ì A × B називається відношення, визначене між елементами множин B і A, графік якого складається з усіх пар (yx) таких, що (xyΠρ. Обернене відношення до відношення ρ позначається ρ-1. Очевидно, що

D(ρ-1) = E(ρ),     Е(ρ-1) = D(ρ),    (ρ-1)-1 = ρ.

Граф оберненого відношення одержується із графа даного відношення зміною напряму на всіх його дугах на протилежний. Точкові графіки даного і оберненого йому відношень між елементами двох числових множин симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів.

Композицією відношень ρ Ì A × B і j Ì B × C називається відношення між елементами множин A і C, яке складається з тих і тільки тих пар (xzΠA × C, для яких існує елемент y множини B такий, що (xyΠρ і (yzΠφ. Композиція відношень ρ і j позначається ρ * j.

  1.  Поняття про граф. Граф відношення.

Для наочного зображення відношення часто користуються графами, а у випадку числових множин ще й точковими графіками. Графом називається множина точок і відрізків, які попарно з'єднують деякі з цих точок. Точки називаються вершинами графа, а відрізки – його ребрами.

Граф, на ребрах якого вказано напрям, називається орієнтованим, а ребра – дугами. Ми розглядатимемо лише орієнтовані графи і називатимемо їх просто графами.

  1.  Точковий графік відношення між елементами

двох числових множин.

Якщо задано відношення ρ Ì A × B і множини A та B є числовими, то як і у випадку декартового добутку, розглядають координатну площину і по осі Ox відмічають елементи множини A, а по осі Oy – елементи множини B, через кожну з одержаних точок проводять прямі, перпендикулярні до координатних осей, і серед точок, які одержуються у результаті перетину цих прямих, вибирають ті, координати яких рівні парам відношення. Вибрані точки і складають точковий графік відношення.

  1.  Способи задання відношень.

Існують різні способи задання відношення:

графіком, тобто множиною пар,

різними видами таблиць,

графом,

точковим графіком, якщо множини числові,

характеристичною властивістю пар, що належать графіку відношення.

Взагалі кажучи, способами 1), 2) і 3) зручно користуватися тоді, коли графік відношення є скінченною множиною.

Над відношеннями, визначеними між елементами множин A і B, як над множинами, можна виконувати всі теоретико-множинні операції та одержувати нові відношення між елементами цих множин. Зокрема, різниця між декартовим добутком множин A і B та відношенням ρ Ì A × B називається протилежним відношенням до відношення ρ і позначається . Отже,

:= {(xy ΠA × B | (xyÏ ρ Ì A × B}.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22715. Доктрина Ніксона 24.5 KB
  Согласно этой доктрине США обязывались и в дальнейшем участвовать в обеспечении обороны своих союзников и заявляли о своем праве определять масштабы формы и сферы своего вмешательства в региональные события руководствуясь своими национальными интересами. В послании президента Никсона Конгрессу 18 февраля 1970 эта доктрина прежде всего относившаяся к угрозе коммунистической экспансии в странах Азии получила дальнейшее развитие как руководящий принцип политики США и в других регионах. Но насущной проблемой нового президента была война во...
22716. Політика адміністрації Дж. Картера на Близькому та Середньому Сході 28.5 KB
  Картера на Близькому та Середньому Сході. Картер достаточно рано дал понять что готов искать новые возможности для решения ближневосточного конфликта. Эти сначала неловко начатые усилия развились в диалог между Израилем и Египтом который Картер решительно ускорил пригласив израильского премьерминистра Бегина и египетского президента Садата в свою загородную резиденцию КемпДевид. После тринадцатидневных переговоров в которых Картер как посредник играл решающую роль в сентябре 1978 года было заключено мирное соглашение.
22717. Політика США щодо СРСР у 1972 - 1974 рр 24.5 KB
  І лише 1973 року Сполучені Штати відмовилися від загальної військової повинності і перейшли до створення професійної армії на добровільній основі. В грудні 1969 року США зняли деяке обмеження у торговельній сфері з СРСР через місяць конгрес ратифікував підписаний 1968 року Сполученими Штатами Великобританією та Радянським Союзом Договір про непоширення ядерної зброї згодом розпочалися американорадянські попередні переговори в Гельсінкі а потім у Відні про обмеження систем протиракетної оборони та страіегічних озброєнь. 30 вересня 1971...
22718. Латиноамериканський курс адміністрації Дж. Буша (мол.) 26.5 KB
  Целью его второй поездки за пределы США будет запланированный на конец апреля в Квебеке Саммит Америк где главным вопросом значится экономическая интеграция в рамках Западного полушария. То что в случае прихода к власти Буша одним из основных направлений внешней политики США станет именно латиноамериканское не вызывало у серьезных аналитиков никаких сомнений. Уж слишком тесно переплелись в этом регионе стратегические интересы США и интересы семейства Бушей в том числе лично Джорджа Бушамладшего. С другой стороны фундаментальным...
22719. Нова ядерна стратегія адміністрації Дж. Картера 25.5 KB
  Зовнішньополітична діяльність адміністрації 39го президента США здобула суперечливі та неоднозначні оцінки. 1 нарешті за наполяганням США керівництво НАТО на Брюсельській нараді в грудні 1979 року прийняло рішення про розміщення в країнах Західної Європи починаючи з 1983 року ракет середнього радіусу Дії. 1977 року президент Джиммі Картер запропонував Міністерству оборони зменшити американські і радянські стратегічні носії на 200250 з кожної сторони внаслідок чого в США та Росії залишилося б приблизно по 2000 боєголовок.15 Цифра ця майже...
22720. Латиноамериканська політика США у період адміністрації Р. Рейгана 24 KB
  Латиноамериканська політика США у період адміністрації Р. Рейган был сторонником активизации внешней политики США и такая возможность вскоре представилась благодаря событиям в Центральной Америке. Одновременно США поддерживали демократические силы Сальвадора выступавшие против насилия и других нарушений прав человека эскадронами смерти карательными отрядами правых и способствовали приходу к власти правительства избранного демократическим путем. США помогали стабилизировать обстановку но разгул насилия в стране не прекращался и даже...
22721. Політика США щодо Японії у 90-х роках 43.5 KB
  Політика США щодо Японії у 90х роках. Все эти особенности существенно осложняют политику США в отношении Японии хотя мало влияют на сложившийся консенсус по вопросу о ее фактической безальтернативности. Сторонники сближения с Китаем в свою очередь также не ставят под сомнение необходимость наращивания сотрудничества с Японией отчасти в целях усиления американских позиций в Китае отчасти для сохранения самой Японии в орбите США. Немало американских политиков продолжают относиться к Японии с настороженностью не исключают ее эвентуальный...
22722. Політика США на Близькому та Середньому Сході у період адміністрації Дж. Буша (ст.) 30.5 KB
  Політика США на Близькому та Середньому Сході у період адміністрації Дж. Бюджетные проблемы о которых в основном и говорили средства массовой информации США освещая работу правительства и конгресса 2 августа 1990 г. Президент США отдал приказ о прекращении всех видов торговли с Ираком и о замораживании иракских и кувейтских активов в американских банках. Политика США в данном вопросе базируется на четырех принципах: требование вывода иракских войск из Кувейта; восстановление законного правительства этой страны; приверженность к миру и...
22723. Відносини між США та Російською Федерацією у 1992 р 27.5 KB
  Відносини між США та Російською Федерацією у 1992 р. Отношений США и СНД как таковых не существует так как СНД юридически не существует. В основном это отношения двусторонние США и стран СНД. После распада СССР внимание США было сосредоточено в основном на Росси.