18279

ФУНКЦІЇ ВІДОБРАЖЕННЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 6 ФУНКЦІЇ ВІДОБРАЖЕННЯ Поняття функції та її основні характеристики. Способи задання функцій. Відображення і їх види. Рівнопотужні множини. Потужність множини. Теорема про об’єднання рівно потужних множин. Питання на самостійне опрацю

Украинкский

2013-07-07

260.5 KB

6 чел.

Лекція 6

ФУНКЦІЇ ВІДОБРАЖЕННЯ

  1.  Поняття функції та її основні характеристики.
  2.  Способи задання функцій.
  3.  Відображення і їх види.
  4.  Рівнопотужні множини. Потужність множини. Теорема про об’єднання рівно потужних множин.

Питання на самостійне опрацювання

Тема 1. Функції і відображення

  1.  Комбінаторні задачі. Правила суми і добутку.
  2.  Буліан множини. Число всіх підмножин скінченої множини.

Тема 2. Числові функції і їх властивості.

  1.  Числові функції і їх основні характеристики.
  2.  Графіки числових функцій та їх перетворення.
  3.  Функції прямопропорційної і оберненопропорційної залежності, їх властивості і графіки.
  4.  Квадратична функція, її властивості і графік.

  1.  
    Поняття функції та її основні характеристики

Одним із основних понять математики, яке відоме ще з шкільного курсу, є поняття функції. З точки зору теорії відношень функція є окремим видом відношення.

Відношення j між елементами множин A і B називається функціональним відношенням між елементами множин A і B (або функцією з множини A у множину B), якщо кожному елементу множини A ставиться у відповідність не більш як один елемент множини B, тобто повний образ кожного елемента із області відправлення відношення j містить не більше одного елемента. Оскільки функція є окремим видом відношення між елементами двох множин, то для неї зберігаються ті ж характеристики, що й для відношень. Одна із особливостей термінології, пов'язаної із поняттям функції, полягає у тому, що довільний елемент x Î D(j) називають аргументом функції або незалежною змінною, а y Î E(j) – залежною змінною. Для y прийнято ще й позначення j (x), внаслідок того, що повний образ елемента x Î D(j) складається із одного елемента y, записується y = j (x) або j (x) = y.

Якщо j – функція із множини A у множину B і множини A та B рівні, то говорять про функцію у множині A. Функція у множині дійсних чисел називається числовою функцією.

Числові функції, області визначення яких є множина натуральних чисел N (або множина цілих невід'ємних чисел N0), називаються числовими послідовностями. Для числових послідовностей замість запису y = j (x) часто користуються записом yn і числова послідовність записується (yn), де n = 1, 2, 3, ... або (yn), де n = 0, 1, 2, 3, ... .

  1.  
    Способи задання функцій

Функція, як окремий вид відношення, може бути задана тими ж способами, що й будь-яке відношення, а саме:

1) множиною пар, тобто графіком;

2) таблицею;

3) графом;

4) характеристичною властивістю пар її графіка.

Числові функції можна задати ще й так:

1) за допомогою точкового графіка на координатній площині;

2) виразом, в якому вказується, в якій послідовності і які операції треба виконати над аргументом, щоб одержати значення функції. Такий спосіб задання функції називається аналітичним.

  1.  Відображення і їх види

Функція називається всюди визначеною, якщо її область визначення збігається з областю відправлення. Всюди визначена функція з множини A у множину B називається відображенням множини A у множину B, записується j: A ® B або A  B. Означення відображення можна дати і незалежно від поняття функції, а саме: відношення j між елементами множин A і B називається відображенням множини A у множину B, якщо кожному елементу із множини A ставиться у відповідність один елемент із множини B.

Якщо j – відображення множини A у множину B і C – довільна підмножина множини A, то образом множини C при відображенні j називається множина образів всіх елементів множини C, позначається j (C), тобто

j (C):= {y Î B | y = j (x) і x Î C}.

Зокрема, j (A) = E(j).

Відображення, у якого область відправлення дорівнює області прибуття, називається відображенням множини у себе.

Відображення j множини A у множину B називається:

1) сюр'єктивним (сюр'єкцією), якщо його область значення дорівнює області прибуття;

2) ін'єктивним (ін'єкцією), якщо різні елементи області визначення мають різні образи;

3) бієктивним (бієкцією), якщо воно сюр'єктивне та ін'єктивне.

Сюр'єктивне відображення називають ще й відображенням множини на множину, а бієктивне – взаємно однозначним відображенням множини на множину або взаємно однозначною відповідністю між елементами множин.

Для кожного відображення j : A ® B, як для відношення j  Ì A × B, існує обернене відношення j–1 Ì B × A, яке здебільшого не є відображенням множини B у множину A.

Теорема 1. Обернене відношення j–1 Ì B × A до відображення j: A ® B є відображенням множини B у множину A тоді і тільки тоді, коли j – бієкція.

При застосуванні відображень корисними є їх властивості, пов'язані з операціями над множинами і відношеннями між ними.

Теорема 2. Якщо f відображення множини X у множину Y і A та B – довільні підмножини множини X, то

f(A È B) = f(AÈ f(B).

(1)

► Доведемо рівність (1).

1. Нехай y – довільний елемент такий, що y Î f(A È B). За означенням образу множини A È B звідси одержується, що існує елемент x Î A È B такий, що y = f(x). З того, що x Î A È B за означенням об'єднання множин можливі три випадки

1) x Î A,            2) x Î B,             3) x Î A  і  x Î B.

Третій випадок є підвипадком 1) і 2), а тому достатньо розглянути лише їх.

Нехай x Î A. Тоді за означенням образу множини A при відображенні f f(x) = y Î f(A). А тому за означенням об'єднання множин y Î f(AÈ f(B). Аналогічно розглядається випадок, коли x Î B.

Отже, завжди, коли y Î f(A È B), то й y Î f(AÈ f(B). Звідси за означенням підмножини множини має місце включення

f(A È BÌ f(AÈ f(B).

(2)

2. Нехай тепер y – довільний елемент такий, що y Î f(AÈ f(B).

За означенням об'єднання множин можливі лише такі три випадки

1) y Î f(A),        2) y Î f(B),        3) y Î f(A)  i  y Î f(B).

Оскільки третій випадок є підвипадком перших двох, то достатньо розглянути лише їх.

Якщо y Î f(A), то за означенням образу множини A при відображенні f існує елемент x Î A такий, що f(x) = y. З того що x Î A за означенням об'єднання множин випливає, що x Î A È B. А тому за означенням образу множини при відображенні f маємо f(x) = y Î f(A È B).

Аналогічно розглядається випадок, коли y Î f(B).

Отже, завжди, коли y Î f(AÈ f(B), то y Î f(A È B), тобто за означенням підмножини множини має місце включення

f(A È BÉ  f(AÈ f(B).

(3)

З (2) і (3) випливає рівність (1).  ◄

Теорема 3. Якщо f – ін'єктивне відображення множини X y множину Y, то для довільних підмножин A і B множини X таких, що B Ì A має місце рівність

f(A \ B) = f(A) \ f(B).

(4)

► Нехай виконуються умови теореми. Доведемо, що має місце рівність (4).

1. Дійсно, якщо y – довільний елемент такий, що y Î f(A \ B), то за означенням образу множини при відображенні f випливає, що існує елемент x0 Î A \ B такий, що f(x0) = y. 3 того, що x0 Î A \ B за означенням різниці множин маємо x0 Î A і x0 Ï B. Тоді за означенням образу множини A при відображенні f:

f(x0) = y Î f(A).

(5)

З того що x Ï B і відображення f ін'єктивне випливає, що у множині B не існує елемента x такого, щоб f(x) = y, а тому

f(x0) = y Ï f(B).

(6)

З відношень (5) і (6) за означенням різниці маємо, що

y Î f(A) \ f(B).

Отже, кожний елемент множини f(A \ B) є елементом множини f(A) \ f(B). Значить, за означенням підмножини множини має місце включення

f(A \ BÌ f(A) \ f(B).

(7)

2. Нехай y – будь-який елемент такий, що y Î f(A) \ f(B). Звідси за означенням різниці множин одержуємо

y Î f(A)  і  y Ï f(B).

А тому за означенням образу множини при ін'єктивному відображенні f існує елемент x0 Î A такий, що f(x0) = y, але у множині B немає такого елемента x, що f(x= y, тобто x0 Ï B. Отже, за означенням різниці множин маємо, що x0 Î A \ B, а тому за означенням образу множини при відображенні f одержуємо

y Î f(A \ B).

Значить, кожний елемент множини f(A) \ f(B) є елементом множини f(A \ B), тому за означенням підмножини множини має місце включення

f(A) \ f(BÌ f(A \ B).

(8)

Із включень (7) і (8) випливає рівність (4).  ◄

  1.  Рівнопотужні множини. Потужність множини.

Теорема про об’єднання рівно потужних множин

Довільні множини A і B називаються рівнопотужними, якщо вони або порожні, або існує бієктивне відображення множини A на множину B, позначається A ~ B і читається "множина A рівнопотужна множині B" або "множини A і B рівнопотужні".

Теорема 4. Відношення рівнопотужності множин є відношенням еквівалентності.

► Оскільки порожня множина рівнопотужна тільки сама собі, то доведення достатньо провести тільки для непорожніх множин.

1. Нехай A – довільна множина. Розглянемо відношення j на множині A, визначене так: для довільного x Î A  j (x) = x. Це відношення є бієкцією. Отже, відношення рівнопотужності множин рефлексивне.

2. Нехай тепер A і B – довільні рівнопотужні множини. За означенням рівнопотужності множин існує бієктивне відображення y: A ® B. За властивістю бієктивного відображення (теорема 1) обернене відношення y -1 буде також бієктивним відображенням множини B на множину A. А тому множина B буде рівнопотужна множині A. Значить, відношення рівнопотужності множин буде симетричним.

3. Нарешті, нехай A, B і C – довільні множини такі, що

A ~ B  і  B ~ C.

Звідси за означенням рівнопотужності множин одержуємо, що існують бієктивні відображення f: A ® B  і  g: B ® C.

Розглянемо відношення h між елементами множин A і C, яке є композицією відношень f і g, тобто h = f ○ g.

Оскільки кожному елементу x множини A при бієкції f ставиться у відповідність єдиний елемент y множини B, а кожному елементу y множини B при бієкції g ставиться у відповідність єдиний елемент z множини C, то за означенням композиції відношень кожному елементу x множини A ставиться у відповідність єдиний елемент z множини C. Отже, h є відображенням множини A у множину C.

Як відомо, при бієкції:

1) різні елементи області відправлення мають різні образи;

2) кожний елемент області прибуття має прообраз. Отже, відображення h є ін'єктивним і сюр'єктивним, а тому воно є бієкцією множини A на множину C, значить, A ~ C, і саме відношення рівнопотужності множин транзитивне.

Таким чином, відношення рівнопотужності множин рефлексивне, симетричне і транзитивне, тобто є відношенням еквівалентності.  ◄

З доведення транзитивності відношення рівнопотужності множин одержується наслідок.

Наслідок 1. Композиція бієктивних відображень є бієктивним відображенням.

Клас рівнопотужних множин, якому належить множина A, називається потужністю множини A і позначається |A|.

Для скінченної множини потужність ототожнюється з числом елементів у ній. Отже, довільні скінченні множини рівнопотужні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакове число елементів. Поняття рівнопотужності множин дає можливість виясняти, чи однаково "багато" елементів мають нескінченні множини. При порівнянні нескінченних множин за їх потужностями, на відміну від скінченних множин, виникають певні труднощі. Доведено, що:

1) кожна нескінченна множина має власну підмножину, яка їй рівнопотужна;

2) існують нескінченні нерівнопотужні множини.

Наприклад, множина натуральних чисел N рівнопотужна множині всіх парних натуральних чисел і нерівнопотужна множині дійсних чисел R.

При доведенні тверджень про множини часто користуються теоремою.

Теорема 5. Для довільних множин A1, A2, B1, B2 якщо

A1 ~ A2,  B1 ~ B2,

A1 Ç B1 = Æ,   A2 Ç B2 = Æ, то

A1 È B1 ~ A2 È B2.

► Нехай A1, A2, B1 і B2 – довільні множини, для яких виконуються умови теореми. З того що A1 ~ A2 і B1 ~ B2 за означенням рівнопотужності множин випливає, що існують бієктивні відображення f: A1 ® A2 і g: B1 ® B2.

Розглянемо відношення j між елементами множин A1 È B1 і A2 È B2 визначене так:

                            j (x) := 

Оскільки за умовою теореми множини A1 і B1 не перетинаються, а f і g бієкції, то j  буде відображенням множини A1 È B1 у множину A2 È B2.

Якщо x1 і x2 – довільні два різні елементи множини A1 È B1, то на основі того, що множини A1 і B1 не перетинаються, для елементів x1 і x2 можливі тільки такі два випадки: або елементи належать одній з множин A1 чи B1, або вони належать різним з цих множин.

Нехай має місце перший випадок, наприклад, x1, x2 Î A1, тоді за означенням відображення j  матимемо j (x1) = f(x1) і j (x2) = f(x2).

Оскільки f – бієкція, то f(x1) ≠ f(x2), тобто j (x1) ≠  j (x2). Аналогічно розглядається підвипадок, коли x1, x2 Î B1. Нехай тепер має місце другий випадок, наприклад, x1 Î A1 і x2 Î B1. Тоді за означенням відображення j будемо мати

j (x1) = f(x1ΠA2 і j(x2) = g(x2ΠB2.

Оскільки за умовою теореми множини A2 і B2 не перетинаються, то f(x1) ≠ g(x2), тобто j (x1) ≠ j (x2).

Аналогічно розглядається підвипадок x2 Î A1 і x1 Î B1. Отже, відображення j  ін'єктивне. Для області визначення відображення j маємо

E(j) = j (A1 È B1) = за теоремою 2

= j (A1È j (B1) = за означенням відображення j

= f(A1È g(B1= тому що f i g бієкції

= A2 È B2.

Тобто E(j) = A2 È B2, а тому відображення  j сюр'єктивне.

Отже, j – бієкція, тоді за означенням рівнопотужних множин A1 È B1 ~ A2 È B2.  


Тема 1.
Функції і відображення

  1.  Комбінаторні задачі. Правила суми і добутку

Комбінаторними задачами називаються задачі про обчислення числа  можливих підмножин або кортежів, які складаються з елементів деякої  скінченної множини  або множин,  у відповідності із заданими умовами. Розділ математики, в якому вивчаються комбінаторні задачі, називається комбінаторикою або  комбінаторним аналізом.

У § 3 були сформульовані теорема 5 про підрахунок  числа  елементів у об’єднанні кількох скінченних множин, які попарно не перетинаються (правило суми), і теорема 8 про число елементів у декартовому добутку кількох скінченних множин (правило добутку). Ними користуються при розв’язуванні багатьох  комбінаторних задач. Для  потреб  комбінаторики їх формулюють по-іншому.

Правило суми. Число можливих виборів одного елемента із кількох скінченних множин, які попарно не перетинаються, дорівнює сумі числа елементів цих множин.

Правило добутку. Число можливих виборів одного кортежу довжиною n, компоненти якого вибираються з однієї або  кількох скінченних множин, дорівнює добутку числа  можливих виборів кожної компоненти кортежу при умові, що підрахунок  числа  можливих виборів  кожної наступної компоненти здійснюється після того, як зроблено підрахунок виборів всіх попередніх компонент.

  1.  Буліан множини. Число всіх підмножин скінченої множини

Якщо М – довільна множина, то множина всіх її підмножин називається буліаном множини М (множиною-степенем множини М), і позначається В(М) або 2М.

Правила комбінаторики дають можливість обчислити число елементів у буліані скінченної множини. Розглянемо спочатку приклади.

Множина всіх підмножин порожньої множини має своїм елементом порожню множину, тобто B(Æ) = {Æ}, а тому число елементів  у ній дорівнює 1.

Множина  всіх підмножин одиничної множини, тобто множини виду М = {а}, є  множина {Æ, {а}} ,а  тому  має дві підмножини.

Множина всіх підмножин  множини, що має два елементи, тобто множини виду М = {а,b},буде такою: ,{а},{b},{а,b}}, а тому матиме всього 4 підмножини.

Неважко бачити, що у всіх  цих випадках число всіх підмножин скінченної множини, яка має n елементів, дорівнює 2n.

Має місце  теорема.

Теорема 1. Число  всіх підмножин скінченної n-елементної множини дорівнює 2n.

► Теорема має місце при n рівному 0 і 1, як  показують розглянуті попереду приклади, а  тому  будемо вважати, що число елементів у множині  більше 1.

Нехай М – довільна скінченна  множина така , що |М| = n > 1, тобто М = {х1, х2, …, хn}.

Розглянемо множину всіх її підмножин В(М) і  множину всіх  кортежів K довжиною n,  компоненти яких є 0  чи 1, тобто  кортежі виду (а1, а2, …, аn), де аi дорівнює 0 чи 1, і =1, 2, …, n. За правилом  добутку число таких кортежів буде дорівнювати  

=2п.

Отже, |K| = 2n.

Встановимо відношення   між елементами В(М) і K за таким правилом: кожній підмножині С множини М поставимо  у відповідність кортеж  (а1, а2, …, аn)ÎK такий, що

  

При цьому відношенні  кожній підмножині С множини М  ставиться  у відповідність єдиний кортеж множини K, а тому j буде відображенням множини В(М) у множину K. Різним підмножинам  множини М  ставляться  у відповідність різні кортежі множини K, тому що різні підмножини відрізняються принаймні  одним елементом, а значить, і відповідні їм кортежі відрізнятимуться хоча б однією компонентою. Отже, відображення j ін¢єктивне. Розглянемо  будь-який кортеж (а1, а2, …, аn) ΠK і підмножину С множини М, яка утворена так: їй належать ті і тільки ті елементи хi множини М, для яких у кортежі аi = 1. Тоді, очевидно, що j(С) = (а12,…,аn).

Отже, відображення j сюр’єктивне.

А тому, з доведеного випливає, що j є бієкцією, значить, В(М) ~ K. За властивістю скінчених рівнопотужних множин  одержуємо |В(М)| = 2n .◄

При  розв’язуванні багатьох комбінаторних задач часто доводиться користуватися числовою функцією, що визначена на множині цілих невід’ємних чисел. Вона називається факторіалом (позначається n! і читається “ен-факторіал”):

n!:=  

Отже, за означенням факторіала маємо:

0!=1!, 2!=1×2=2, 3!=1×2×3=6, 4!=1×2×3×4=24, 5!=1×2×3×4×5=120 і т.д.

За  означенням факторіала маємо таку його властивість: для довільного  натурального числа

n! = n × (n – 1)!.

При розв’язуванні комбінаторних задач не завжди зручно безпосередньо користуватися правилами суми і добутку, а тому для окремих  видів комбінаторних задач знайдено свої способи їх розв¢язування.


Тема 2.
Числові функції і їх властивості.

  1.  Числові функції і їх основні характеристики

Числові функції або функції є функціональними відношеннями у множині дійсних чисел (§5 п.1) і є предметом вивчення не тільки шкільного курсу математики, а й інших її розділів, бо більшість з них описує певні реальні процеси і за характером поведінки функції можна судити, який вони мають вигляд.

Областями відправлення і прибуття функції є множина дійсних чисел або її підмножини.

Областю визначення функції f (позначається D(f), Df або D ) називається множина дійсних чисел із її області відправлення, що мають образи в області прибуття.

Областю значення функції (позначається Е(f), Ef або E) називається множина дійсних чисел із області прибуття, що є образами для елементів із області відправлення.

Функції позначаються  x  f(x), xD або у = f(x), xD, при цьому x називається незалежною змінною або аргументом функції, а у – залежною змінною. Символ f(x) вживається для позначення функції і для її значень.

Функція вважається заданою, якщо відомі її область визначення і правило, за яким знаходяться образи  елементів.

Всі способи задання відношень застосовні й до функцій. Найбільш вживаними з них є задання функції за допомогою характеристичної властивості та точкового графіка на координатній площині (за допомогою графіка). Часто характеристична властивість формулюється у вигляді виразу із змінною, яка є аргументом функції, а значення виразу є значенням функції, причому таких виразів може бути кілька для різних підмножин області визначення. Наприклад

f (x) =

Область визначення виразу є областю визначення функції, якщо немає яких-небудь обмежень чи вказівок щодо неї. По-іншому спосіб задання функції у вигляді виразу із  змінною називається аналітичним. Він дає змогу знаходити точні значення функції при відповідних значеннях аргументу. Але про поведінку функції за її виразом судити важко. Точковий графік дає уявлення про поведінку функції, але вже точне значення функції знайти важко. Тому при вивченні функцій користуються як аналітичним, так і графічним способами.

  1.  Графіки числових функцій та їх перетворення

Графіком функції є лінія на координатній площині, кілька кусків ліній або ізольовані точки. Але не кожний точковий графік на площині задає деяку функцію, а тільки той, який довільна пряма, перпендикулярна до вісі абсцис, перетинає не більше, як в одній точці,

Над функціями з спільними областями визначення можна виконувати всі арифметичні операції. Аргументом функції може бути в свою чергу функція. Функції з такими аргументами називаються складними або композиціями функцій. Наприклад, функція у = sin2t є композицією двох функцій: у = sinx i   x = 2t.

Вивчення функцій зводиться в основному до вияснення їх поведінки, тобто встановлення того, як залежить зміна функції від зміни аргументу. Для полегшення вивчення цього процесу серед функцій виділяють окремі види.

Функція f визначена на множині D, називається обмеженою на цій множині, якщо існує додатне дійсне число а таке, що значення функції по модулю не перевищує а:

х D: f(x)∣≤ а.

Графік обмеженої функції розміщений між двома прямими у = – а і у = а.

Функція f, визначена на множині D називається парною якщо

х D: – х D  f(x ) = f( x )

і непарною, якщо

х D: – х D  f(x ) = – f( x ).

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а непарної – відносно початку координат, що дає змогу будувати тільки частину графіка, наприклад, тільки для області визначення з множини [0; + ∞[, а потім продовжити його або симетрично відносно осі 0у, або відносно початку координат, залежно від того, парна чи непарна функція.

Функція f, визначена на множині D, називається:

1) зростаючою, 2) спадною, 3) незростаючою, 4) неспадною на цій множині, якщо для будь-яких чисел х1, х2  D таких, що х1 < х2 істинною є відповідна нерівність:

1) f( x1)< f( x2 );  2) f( x1 ) > f( x2);

                                    3) f( x ) f( x );   4) f( x ) f( x ).

Зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні функції на множині називаються  монотонними на ній.

Функція f, визначена на множині D , називається періодичною, якщо існує число w   0 таке, що

х D: (х + w)  Df ( x + w ) = f( x ).

Число w називається періодом функції. Якщо w– період функції, то числа kw, k Z, також є періодами функції. Для побудови графіка періодичної функції потрібно побудувати його на проміжку, рівному періоду функції, а потім повторити його на всій області визначення.

Функція, визначена на множині натуральних чисел N називається послідовністю. 

  1.  Функції прямопропорційної і оберненопропорційної залежності, їх властивості і графіки

Пряма і обернена пропорційності належать до найпростіших функцій. До розгляду прямої пропорційності приводять задачі про залежність між двома додатними величинами, при якій із збільшенням (зменшенням) однієї із них у кілька разів друга також збільшується (зменшується) у стільки ж разів. А до розгляду оберненої пропорційності приводять задачі про залежність між двома додатними величинами, при якій із збільшенням (зменшенням) однієї з них у кілька разів друга зменшується (збільшується) у стільки ж разів. Залежність між периметром квадрата і довжиною його сторони є прикладом прямої пропорційної залежності, бо із збільшенням (зменшенням) одного з них у кілька разів у стільки ж разів збільшується (зменшується) друге з них. Залежність же між додатним числом і оберненим до нього числом є прикладом обернено пропорційної залежності, бо із збільшенням (зменшенням) одного з них у кілька разів, у стільки ж разів зменшується (збільшується) друге з них. Площа квадрата і довжина його сторони не знаходяться в жодній з вище названих залежностей, бо із збільшенням (зменшенням), наприклад, довжини сторони квадрата в k разів, його площа збільшується (зменшується) не в k разів, а в k2 разів.

Такі залежності на множині дійсних чисел дають можливість сформулювати поняття прямої і оберненої пропорційності.

Відношення в множині дійсних чисел, при якому кожному дійсному числу х ставиться у відповідність дійсне число у таке, що

у = kх,

де k ≠ 0 – задане дійсне число, називається прямо пропорційною залежністю між змінними х і у (функцією прямої пропорційності). Областями визначення і значення функції прямої пропорційності є множина дійсних чисел; при k > 0 вона зростаюча, при k < 0спадна. Функція прямої пропорційності непарна, бо


                                                         у

                                                        0                                             х

Мал. 1

 k( – х) = – k х. Її графіком є пряма, що проходить через початок координат і яка розміщена в першій та третій чвертях, якщо k > 0, і в другій та четвертій чвертях, якщо k < 0, мал. 1.

Функція, що задається формулою

у = kх + b, k,  b, х R,

називається лінійною функцією. Області визначення і значення її є множина дійсних чисел, якщо k ≠ 0, якщо ж k = 0, то D = R і Е = { b }. Функцію прямої пропорційності можна розглядати як окремий випадок лінійної функції при       k ≠ 0  і b = 0. Оскільки значення функцій у = kх і у = kх + b відрізняються на число b, то графік лінійної функції можна одержати із графіка функції у = kх зсувом  його вздовж осі Оу на b одиниць вгору, якщо b > 0 і вниз, якщо b < 0, мал. 2.

                     у                                                                    у

                     0                             х                                    0                            х

Мал. 2

Відношення у множині дійсних чисел, при якому кожному дійсному числу х ставиться у відповідність дійсне число у, таке що

у = ,

де k ≠ 0 – задане дійсне число, називається оберненою пропорційною залежністю між змінними х і у (функцією оберненої пропорційності ).

                      у                                                                      у

                     0                             х                                      0                         х

Мал. З

Областями визначення і значення функції оберненої пропорційності є множина ] – ; 0[ ] 0; + [ . Функція непарна, бо  зростаюча при k < 0 і спадна при k > 0. Графіком функції оберненої пропорційності є крива, яка складається з двох віток і називається гіперболою, мал. 3.

  1.  Квадратична функція, її властивості і графік

Графіки функцій дають наочне уявлення про поведінку функції. Але спосіб побудови графіків по точках досить громіздкий. Здійснення деяких перетворень над уже відомими графіками функцій дозволяють одержати графіки нових функцій. До таких перетворень відносять зсув і стиск вздовж координатних осей.

Значення функції у = f(х) + a одержують із значень функції y = f(x) при одних і тих же значеннях аргумента додаванням числа а. Графік функції   у = f(х) + a  отримується із графіка функції y = f(x) зсувом всіх точок вздовж осі Оу на а одиниць: вгору, якщо а > 0; вниз, якщо a <  0.

Значення функції y = f(x) при значенні аргументу х дорівнюють значенням функції  y = f(x + a) при значенні аргументу х а. Графік функції y = f(x + a) одержується з графіка функції y = f(x) зсувом всіх його точок вздовж осі Ох   на а одиниць: вліво, якщо а > 0; вправо, якщо а < 0.

Відношення між точками координатної площини називається:

1) стиском площини до вісі Ох з коефіцієнтом а ≠ 0, якщо кожній її точці М(х; у) ставиться у відповідність точка М'(х;ау).

2) стистком площини до осі Оу з коефіцієнтом b  0,  якщо кожній її точці М(х; у) ставиться у відповідність точка М '(bх; у).

Значення функції y = аf(x), а ≠ 0 отримують із значень функції y = f(x) при одних і тих же значеннях аргументу множенням на число а. Графік функції y = аf(x) одержується з графіка функції y = f(x)  стиском його з коефіцієнтом а до осі Ох.

Значення функції y = f(x) при значенні аргументу х дорівнюють значенням функціі y = f(аx)  при значенні аргументу  . Графік функції y = f(аx) одержується з графіка функції y = f(x) стиском його з коефіцієнтом  до осі Оу.

Для прикладу розглянемо квадратичну функцію, яка задається  формулою

у = ах2 + bх + с,   а, b, с, х  R, а  0

Найпростішим випадком такої функції є функція у = х2. Область її визначення є множина дійсних чисел R, область значення – числовий проміжок  [0, + ∞[, тобто функція обмежена знизу числом 0. Функція парна, бо (  х )2 = x2. Отже, графік функцїї симетричний відносно осі Оу. Лінія, яка є графіком квадратичної функції, називається квадратною параболою, мал.4. Точка (0; 0), в якій парабола перетинається з віссю симетрії, називається вершиною параболи.

Мал.4

Для побудови графіка функції у = ах2 + bх + с  перетворимо вираз          ах2 + bх + с :

ах2 + bх + с = а ( х2 + ) = а ( х2+ 2) =

а(( х + )2 + ) = а( х + )2 +

Таким чином

у = а( х + )2 +

Отже, графік функції у = ах2 + bх + с можна отримати з графіка функції у = х2 за допомогою таких перетворень:

1) стиснути графік функції у = х2 до осі Ох з коефіцієнтом а, при цьому дістанемо графік функції у = ах2;

2) зсунути графік функції у = ах2 спочатку вздовж осі Ох на –, а потім отриманий графік – вздовж осі Оу на

Одержана крива і буде графіком функції

у = а( х + )2 + ,

а значить, і у = ах2 + bх + с.

Вона також називається параболою, причому симетрична відносно пря-

мої х =, що паралельна осі  Оу, а вершина параболи знаходиться в точці   (– , ).

Якщо а > 0, то вітки параболи спрямовані вгору, якщо a < 0 – вниз. З графіка видно, що функція у = ах2 + bх + с обмежена знизу, якщо а > 0, і зверху, якщо а > 0 числом  .

Задача 1. Побудувати графік функції  у = .

► Перетворимо спочатку вираз .

= ( х26х +3) = ( х22  3х + 99 + 3) = (( х3)26) =  = ( х – 3)22.

А тому, у = = ( х – 3)22

Отже, графік даної функції одержується з графіка функції у = х2 так:

1) стискуємо параболу у = х2 до  осі Ох з коефіцієнтом , отримаємо графік функції у =х2;

2) зсуваємо параболу у =х2  вздовж осі Ох на три одиниці вправо, одержуємо параболу     у = ( х – 3)2, яку зсуваємо вздовж осі Оу на дві одиниці вниз. Парабола, яка отримується, і буде графіком у = ( х – 3)22, а значить, і функції у = , мал. 5.

                       

Графіки функцій використовуються для розвязування рівнянь. Один із графічних способів розв’язування рівнянь із однією змінною полягає в тому, що будують графіки функцій, які задаються виразами, котрі є лівою і правою частинами рівнянь. Абсциси точок перетину одержаних графіків будуть розвязками даного рівняння.

Задача 2. Розвязати графічно рівняння х2 – х – 2 = 0.

► Перепишемо дане рівняння так: х2 = х + 2. Задамо на площині довільну прямокутну систему координат  Оху  і побудуємо на координатній площині лінії, що визначаються функціями лівої і правої частин рівняння. Графіком першої функції  у = х2 є квадратична парабола з вершиною в початку каординат і вітками, направленими вгору, графіком функції у = х + 2 є пряма. Побудовані графіки мають абсцисами точок перетину числа1 і 2, мал. 6.

Мал. 6

 Відповідь: х { – 1; 2}.◄

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59347. Кругові води в природі. Складання казки. Інтегрований урок (природознавство та розвиток зв’язного мовлення) 42 KB
  Вода з гір потекла весну принесла. Земля найбагатша вода найсильніша. Тиха вода береги рве. Де вода там і верба.
59348. Закріплення одиниць вимірювання маси. Розв’язування задач 38 KB
  Скільки зерен проросло Зерноочисна машина за 6 хвилин очищає 90 кг зерна. Скільки зерна очищає машина за 1 хв. Скільки зерна вона просушить за 3 хв. Скільки це кілограмів Скільки центнерів 1 5 мішка з зерном становить 12 кг.
59349. Святий Миколай 51.5 KB
  Вчити дітей знаходити префікси у словах утворювати за допомогою них нові слова. Дописують в зошитах Поясніть значення цього слова порівнявши його в таких реченнях: Лихо пам’ятають а добро повік не забувають.
59350. Cценарій «На Великдень» 43 KB
  Гей Хто тут Озовися Наліг що вже тріщить Ти чуєш Підіймися Не можу біль терпіть Хрін: Хто ниє біля мене У цей святковий день Яйце: Це я яйце свячене Хтось душить наче пень. Мене їдять і діти І вся людська сім’я: Гей гопса гопсаса Червоні в мене боки – Танцює ковбаса....
59351. СЦЕНАРІЙ ВЕЧОРА ГЕОГРАФІЇ 61.5 KB
  На протязі минулого тижня в нашій школі проходив Тиждень географії і екології. Учні школи прийняли активну участь у проведенні цього Тижня. Були проведені цікаві конкурси, такі, як:...
59352. ІНТЕЛЕКТУАЛЬНО-ПІЗНАВАЛЬНА ГРА “LG-ЕВРИКА” 76 KB
  Мета: сприяти формуванню та розвитку інтелектуальних і творчих здібностей учнів, поглибити й розширити знання учнів з математично-природничих дисциплін; розвивати пізнавальний інтерес, творчу активність...
59353. Ток-шоу: “Ціна перемоги: баланс втрат і здобутків України в роки Другої світової війни (1939-1945 рр.)” 42 KB
  Розвиваюча: В учнів уміння працювати і порівнювати статистичні дані, аналізувати позиції істориків та діячів стосовно масштабів втрат та руйнувань, завданих українському народові Другої Світовою війною.
59354. Сценарій. Свято рідної мови 112 KB
  Йому має передувати попередня робота можливо тиждень української мови в школі спрямована на зацікавлення учнів історією та розвитком української мови. Зал святково прикрашений рушниками кетягами калини колоссям плакатами стіннівками...
59355. Сценарій вечора-реквієму: Чорнобиль не має минулого часу 51.5 KB
  26 квітня, 19 років тому о І годині ночі 23 хвилини 40 секунд, коли всі спали безтурботним сном, над четвертим реактором Чорнобильської АЕС несподівано розірвало нічну темряву велетенське полумя.