18281

ЛОГІКА ВИСЛОВЛЕНЬ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 8 ЛОГІКА ВИСЛОВЛЕНЬ Поняття про твердження. Математичні твердження та їх види. Висловлювання логічне значення висловлення. Логічні сталі. Прості і складні висловлення. Пропозиційні змінні. Операції заперечення кон’юнкції диз’юнкції та еквіва

Украинкский

2013-07-07

143.5 KB

36 чел.

Лекція 8

ЛОГІКА ВИСЛОВЛЕНЬ

  1.  Поняття про твердження. Математичні твердження та їх види.
  2.  Висловлювання, логічне значення висловлення.
  3.  Логічні сталі. Прості і складні висловлення. Пропозиційні змінні.
  4.  Операції заперечення, кон’юнкції, диз’юнкції та еквіваленції над висловленнями.
  5.  Формули логіки висловлень. Таблиці логічних значень формули. Логічна структура складеного висловлення.
  6.  Тотожно істинні (логічні закони) і тотожно хибні формули.
  7.  Рівносильні формули. Властивості операції логіки висловлень.
  8.  Відношення логічного слідування на множині висловлень.

  1.  Поняття про твердження. Математичні твердження та їх види

Людина отримує знання про навколишній світ за допомогою спостережень, дослідів і міркувань, тобто мислення. Мислення є надзвичайно складний процес, який вивчається багатьма науками. Однією з них є формальна логіка, що розглядає форми і закони мислення. Застосування математичних методів у логіці привело до створення математичної або символічної логіки.

Результатом процесу мислення є думка. Думка фіксує істотне, закономірне в різноманітності об’єктів навколишнього світу.

Думка лежить в основі тверджень. Отже, твердження (судження) – думка, в якій виділяється певний об’єкт, встановлюється його властивості або зв’язок з іншими об’єктами.

  1.  
    Висловлювання, логічне значення висловлення

Одне із завдань математичної логіки – з'ясування правильності міркувань. Твердження можна сформулювати у письмовій чи усній формі за допомогою розповідних речень, різних за змістом і будовою, але таких, що про деякі з них можна сказати, що в них іде мова про факти, які мали чи мають місце у дійсності, або про факти, які не мали і не мають місця у дійсності. Про перші з них говорять, що вони істинні, а про другі – хибні. Висловленням називається твердження, про яке можна сказати, що воно тільки або істинне, або хибне. Вигук і запитання не є висловленням.

Прикладами висловлень у математиці є числові рівності і нерівності, аксіоми і теореми, тоді як означення вже не є висловленнями.

  1.  Логічні сталі. Прості і складні висловлення. Пропозиційні змінні

Висловлення утворюються з інших висловлень за допомогою виразів, серед яких виділяють такі: "неправильно, що …", "не …", "і", "або", "якщо …, то …", "… тоді і тільки тоді, коли …" та їх синонімів. Ці вирази називаються пропозиційними зв'язками. Крім цього із тверджень утворюються висловлення за допомогою виразів виду "для всіх …" і "існують …" та їх синонімів, які називаються кванторами (від лат. quantum – скільки).

Пропозиційні зв'язки і квантори називаються логічними сталими. Висловлення поділяються на прості і складені.

Висловлення називається простим, якщо воно не містить логічних сталих, і складеним – у протилежному випадку.

Будь-які прості висловлення називаються висловлювальними (пропозиційними) змінними і позначаються малими латинськими літерами p, q, r, .

Просте висловлення може набувати тільки одне із двох значень: або "істина", або "хиба", вони позначаються відповідно "1" чи "0" і називаються логічними (істинносними) значеннями висловлення.

Кожна логічна зв'язка породжує операцію логіки над висловленнями. Розділ математичної логіки, в якому вивчаються висловлення та операції над ними, називається логікою висловлень.

Складене висловлення також набуває тільки одне з логічних значень, що однозначно визначається логічними значеннями висловлень, з яких побудоване дане висловлення за допомогою операцій логіки висловлень. Будь-які висловлення позначаються великими писаними латинськими буквами A, B, C, ...

  1.  Операції заперечення, кон’юнкції, диз’юнкції та еквіваленції над висловленнями

Операції логіки висловлень можна описати за допомогою таблиць істинності (логічних значень), де зазначається, яких логічних значень набуває складене висловлення при різних логічних значеннях простих висловлень, що входять до його складу. Для спрощення викладу дамо означення основних логічних операцій логіки висловлень лише над простими висловленнями, хоч вони матимуть місце і для будь-яких висловлень.

Запереченням довільного висловлення називається висловлення, яке набуває логічного значення "1" тоді і тільки тоді, коли дане висловлення набуває логічного значення "0". Заперечення висловлення p позначається  і читається "неправильно, що p" або "не p".

Таблиця істинності для заперечення буде такою:

p

0

1

1

0

Операція на множині висловлень, при якій кожному висловленню A ставиться у відповідність заперечення Ā, називається операцією заперечення висловлень.

Кон'юнкцією (від лат. conjunctio – зв'язок, об'єднання) довільних двох висловлень називається висловлення, яке набуває логічного значення "1" тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення мають логічне значення "1". Кон'юнкція висловлень p і q записується p Ù q і читається "p і q". Операція на множині висловлень, при якій кожній упорядкованій парі висловлень A і B ставиться у відповідність їх кон'юнкція A Ù B, називається операцією кон'юнкції висловлень.

Означення кон'юнкції двох висловлень можна узагальнити на довільну кількість висловлень, а саме: кон'юнкцією висловлень називається висловлення, яке приймає логічне значення "1" тоді і тільки тоді, коли всі висловлення приймають логічне значення "1". Позначається кон'юнкція висловлень p1, p2, …, pn   p1 Ù p2 Ù … Ù pn    або

Диз'юнкцією (від лат. disjungo – роз'єдную, розрізняємо) довільних двох висловлень називається висловлення, яке набуває логічного значення "0" тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення мають логічне значення "0". Диз'юнкція висловлень p і q записується p Ú q і читається: "p або q".

Означення диз'юнкції двох висловлень можна узагальнити на довільну кількість висловлень, а саме: диз'юнкцією висловлень називається висловлення, яке набуває логічного значення "0" тоді і тільки тоді, коли всі висловлення мають логічне значення "0". Позначається диз'юнкція висловлень p1, p2, …, pn    p1 Ú p2 Ú … Ú pn   або

Імплікацією (від лат. implico – тісно зв'язую) довільних висловлень p і q називається висловлення, яке набуває логічного значення "0" тоді і тільки тоді, коли p має логічне значення "1", а q – "0". Імплікація висловлення p і q записується p ® q і читається: "якщо p, то q". В імплікації p ® q висловлення p називається умовою імплікації, а qвисновком (наслідком) імплікації.

Еквіваленцією (від лат aequivalens – рівноцінний) довільних двох висловлень p і q називається висловлення, яке набуває логічного значення "1" тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення приймають однакові логічні значення. Еквіваленція висловлень p і q записується p ↔ q і читається: "p тоді і тільки тоді, коли q".

Означення операцій диз'юнкції, імплікації, і еквіваленції двох висловлень аналогічне означенню операції кон'юнкції двох висловлень.

Таблиця істинності для кожної з операцій має такий вид:

p

q

p Ù q

p Ú q

p ® q

p ↔ q

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

  1.  Формули логіки висловлень. Таблиці логічних значень формули. Логічна структура складеного висловлення

Для вивчення висловлень, властивостей операцій над ними і встановлення структури складених висловлень користуються поняттям формули логіки висловлень. Якщо у складеному висловленні кожне просте висловлення замінити висловлювальною змінною, а пропозиційні зв'язки – відповідними операціями логіки висловлень, то одержиться вираз, який називається формулою логіки висловлень або просто формулою. Про формулу логіки висловлень говорять, що вона задає (визначає) логічну структуру висловлення. Означення формули можна уточнити так:

1) кожна висловлювальна змінна є формулою;

2) якщо A і B – формули, то формулами є , , A Ù B, A Ú B, A ® B, A ↔ B;

3) ніякі інші записи, крім тих, які утворені за 1) і 2) не є формулами.

У загальному випадку формули логіки висловлень позначаються великими писаними латинськими буквами A, B, C, … і, якщо потрібно, в дужках вказуються змінні, які входять у формулу, при цьому вважається, що змінні у формулі строго лінійно впорядковані, тобто вони утворюють кортеж, який називається кортежем (набором) змінних.

Порядок виконання операцій у формулі регулюється круглими дужками: спочатку виконуються операції у найглибших дужках, потім – у наступних і т. д. Якщо дужки відсутні, то порядок виконання операцій такий: заперечення над висловлювальною змінною, кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація і еквіваленція. У логіці висловлень, як в алгебрі для виразів, прийнято називати формулу назвою останньої операції у ній.

Якщо у формулу входить n змінних, то набір значень змінних є кортежем довжиною n, і кожна змінна набуває, незалежно від інших змінних, двох значень "0" чи "1", а тому за правилом добутку, різних наборів значень змінних буде 2n. Обчислення логічних значень формули на всіх наборах значень змінних записується у вигляді таблиці, яка має 2n рядків і називається таблицею логічних значень формули або таблицею істинності формули.

  1.  Тотожно істинні (логічні закони) і тотожно хибні формули

На кожному наборі значень змінних формула логіки висловлень може приймати одне і тільки одне із логічних значень "0" чи "1". У залежності від того, яких значень набирають формули, виділяють їх певні види.

Формула логіки висловлень називається:

нейтральною, якщо вона набирає кожне з логічних значень;

тотожно хибною або суперечливою, якщо на всіх наборах значень змінних вона набирає логічне значення "0";

тотожно істинною або тавтологією, якщо на всіх наборах значень змінних вона набирає логічне значення "1".

У логіці особливу роль відіграють тотожно істинні формули, їх ще називають логічними законами або законами логіки. Окремі логічні закони мають свої назви і широко використовуються у міркуваннях. Назвемо деякі з них.

1) p → p – закон тотожності;

2 – закон виключення третього;

3)  – закон несуперечності;

4) (p → qÙ p  q – правило висновку;

5) (p ® qÙ (q  r (p  r) – правило силогізму;

6) (p ® q) ↔ () – закон контрапозиції;

7) (p Ù q → r) ↔ () – закон розширеної контрапозиції.

Усі ці закони доводяться за допомогою побудови їх таблиць істинності.

Джерелом одержання нових тотожно істинних формул є така теорема.

Теорема 1. Якщо у тотожно істинній формулі A(p1, p2, …, pn) із n змінними кожну змінну на всіх місцях її входження замінити відповідно формулами A1, A2, …, An, то одержана формула буде тотожно істинною.

► Зробимо в формулі A(p1, p2, …, pn) підстановку: кожну змінну p1, p2, …, pn на всіх місцях її входження замінимо формулами A1, A2, …, An відповідно. Нехай кожна з формул A1, A2, …, An залежить від змінних q1, q2, …, qk, тоді одержимо формулу A(A1, A2, …, An), яка залежить від змінних q1, q2, …, qk. Розглянемо будь-який набір значень змінних (q10, q20, …, qk0), де кожне qі0 має логічне значення 0 чи 1, і = 1, 2, …, k. Тоді обчислення логічного значення формули A(A1, A2, …, An) на цьому наборі можна провести так: на місці кожного входження формули Aі, і = 1, 2, …, n, знаходимо її значення на наборі (q10, q20, …, qk0), вона приймає одне із значень 0 чи 1, а потім уже знайдемо значення формули A(A1, A2, …, An), яке й буде значенням формули A(p1, p2, …, pn) на деякому наборі (p10, p20, …, pn0). У силу того, що формула A(p1, p2, …, pn) тотожно істинна, то й формула A(A1, A2, …, An) буде тотожно істинною.  ◄

  1.  
    Рівносильні формули. Властивості операції логіки висловлень

Знаходження логічного значення формули за допомогою таблиці істинності нагадує безпосереднє обчислення числового значення виразу за допомогою підстановки числових значень змінних, що входять у цей вираз, і послідовного виконання всіх зазначених у ньому операцій. У той же час задача знаходження значення виразу може бути розв'язана швидше, якщо спростити його за допомогою тотожних перетворень.

Природно поставити питання про можливість спрощення логічних формул за допомогою таких перетворень, які не змінюють логічних значень цих формул при будь-яких можливих логічних значеннях пропозиційних змінних, з яких складається формула.

Аналогом поняття рівності чисел є поняття рівносильності висловлень.

Два висловлення називаються рівносильними, якщо вони мають однакові логічні значення. Очевидно, що відношення рівносильності на множині висловлень є відношенням еквівалентності і воно розбиває її на два класи: клас істинних висловлень і клас хибних висловлень.

Аналогом поняття рівності виразів є поняття рівносильності формул логіки висловлень.

Довільні дві формули логіки висловлень називаються рівносильними (логічно еквівалентними), якщо на всіх наборах значень змінних, що входять до їх складу, вони приймають рівні логічні значення. Рівносильність формул A і B записується A  B і читається: "формула A рівносильна формулі B" або "формули A і B рівносильні".

У формулу логіки висловлень можуть входити сталі висловлення. Кожне стале висловлення набирає одне і тільки одне логічне значення: "1"чи "0", а тому їх і позначають у формулах відповідно 1 чи 0.

Окремі рівносильності виражають закони операцій логіки висловлень. Вкажемо основні з них.

1. Закони для констант:

p Ù 0 º 0,                  p Ú 0 º p,

p Ù 1 º p,                  p Úº 1,

p Ù  º 0,                p Ú º 1.

2. Закон подвійного заперечення:

.

3. Комутативні закони:

p Ù q º q Ù p,           p Ú q º q Ú p.

4. Асоціативні закони:

(p Ù qÙ r º p Ù (q Ù r),       (p Ú qÚ r º p Ú (q Ú r).

5. Закони ідемпотентності:

p Ù p º p,                   p Ú p º p.

6. Дистрибутивні закони, що пов'язують операції кон'юнкції та диз'юнкції:

p Ù (q Ú rº (p Ù qÚ (p Ù r),         p Ú (q Ù rº (p Ú qÙ (p Ú r).

7. Закони де Моргана (правила заперечення кон'юнкції і диз'юнкції):

,       .

8. Правило виключення імплікації:

.

9. Правила виключення еквіваленції:

p ↔ q º (p → qÙ (q → p),   p ↔ q º (p Ù qÚ ().

Закони для констант, подвійного заперечення, комутативності асоціативності та ідемпотентності безпосередньо випливають з означення операцій логіки висловлень. Доведення інших законів можна виконати, побудувавши таблиці істинності для формул, що входять у праву і ліву частини рівностей. Покажемо це на прикладі.


Задача
. Довести одне із правил виключення еквіваленції:

p ↔ q º (p → qÙ (q → p).

► Побудуємо таблиці істинності для формул, що входять у ліву і праву частини рівносильності.

p

q

p ↔ q

(p → qÙ (q → p)

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

З таблиці за означенням рівносильності формул одержуємо

p ↔ q º (p → qÙ (q → p).  ◄

З кожною імплікацією p → q пов'язані ще три імплікації:

q → p – імплікація обернена даній;

– імплікація протилежна даній;

– імплікація обернена до протилежної даній або імплікація протилежна до оберненої даній.

Таблиці істинності всіх чотирьох імплікацій будуть такими:

p

q

p → q

q → p

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

Аналізуючи таблиці, дійдемо висновків:

1) операція імплікації висловлень не комутативна, тобто

p → q  q → p,

2) мають місце рівносильності

p → q º ,   q → p º ,

які називаються законами контрапозиції.

З означення рівносильності формул логіки висловлень та відношення еквівалентності одержується теорема.

Теорема 2. Відношення рівносильності на множині формул логіки висловлень є відношенням еквівалентності.

Відношення рівносильності дозволяє замінити формулу або її частину, яка також є формулою, на рівносильну їй і отримувати формулу, рівносильну заданій. Це дає можливість доводити рівносильність формул логіки висловлень так, як в алгебрі доводяться тотожності.

Задача. Довести, що має місце рівносильність

p ↔ q º (p Ù qÚ ().

► 

p ↔ q

º

за одним із правил виключення еквіваленції

º

(p → qÙ (q → p)

º

за правилом виключення імплікації

º

º

за дистрибутивним законом кон'юнкції відносно диз'юнкції

º

º

за дистрибутивним законом кон'юнкції відносно диз'юнкції

º

º

за законами для констант

º

º

за законами для констант

º

º

за комутативністю кон'юнкції і диз'юнкції

º

Звідси, за транзитивністю відношення рівносильності, одержуємо

p ↔ q º (p  qÚ ().  ◄

Відношення рівносильності і поняття тотожно істинної формули пов'язані між собою.

Теорема 3. Дві довільні формули рівносильні тоді і тільки тоді, коли їх еквіваленція є тотожно істинною формулою.

► 1. Нехай формули A і B рівносильні, тобто A º B. Отже, на всіх наборах значень змінних, що входять хоча б в одну з формул A і B, вони приймають рівні логічні значення. Тоді, за означенням еквіваленції висловлень, формула A ↔ B приймає логічне значення "1" на всіх наборах значень змінних, тобто вона є тотожно істинною.

2. Нехай формула A ↔ B є тотожно істинною. За означенням еквіваленції висловлень це буде тоді і тільки тоді, коли на всіх наборах значень змінних формули A і B приймають рівні логічні значення. Отже, вони будуть рівносильними, тобто

A ≡ B.  ◄

  1.  Відношення логічного слідування на множині висловлень

У більшості випадків нові знання одержуються з відомих раніше знань за допомогою міркувань, які проводяться на основі поняття логічного наслідку.

Формула B називається логічним наслідком формул A1, A2, …, An, якщо формула B набуває логічного значення "1" на всіх тих наборах значень змінних, на яких формули A1, A2, …, An мають логічне значення "1". Запис A1, A2, …, An ╞ B означає, що формула B є логічним наслідком формул A1, A2, …, An, при цьому самі формули A1, A2, …, An називаються посилками або гіпотезами, а формула Bнаслідком або висновком. Замість терміну "формула B є логічним наслідком формул A1, A2, …, An" користуються терміном "з формул A1, A2, …, An логічно випливає формула B".

Відношення логічного слідування пов'язано з поняттям тотожно істинної формули.

Теорема 4. З формул A1, A2, …, An логічно випливає формула B тоді і тільки тоді, коли формула A1 Ù A2 Ù … Ù An → B є тотожно істинною.

► 1. Нехай з формул A1, A2, …, An логічно випливає формула B. Доведемо, що формула

A1 Ù A2 Ù … Ù An → B

(1)

є тотожно істинною. Припустимо, що формула (1) не є тотожно істинною. Отже, існує набір значень змінних, на якому вона набуває логічного значення "0". Останньою операцією у формулі (1) є імплікація, значить, на цьому наборі умова імплікації A1 Ù A2 Ù … Ù An набуває логічного значення "1", а наслідок B – "0". Умова імплікації є кон'юнкцією висловлень, а кон'юнкція істинна тільки тоді, коли всі її члени істинні. Отже, існує набір значень змінних, на якому всі формули A1, A2, …, An набувають логічного значення "1", а формула B – "0". А це суперечить тому, що з формул A1, A2, …, An логічно випливає формула B. Одержане протиріччя доводить, що формула (1) є тотожно істинною.

2. Аналогічно доводиться друга частина теореми, тобто, що коли формула (1) є тотожно істинною, то A1, A2, …, An ╞ B.  ◄

Із теореми 4 випливає наслідок.

Наслідок 1. З формул A1, A2, …, An логічно випливає формула B тоді і тільки тоді, коли з формули A1 Ù A2 Ù  Ù An логічно випливає формула B.

На основі наслідку 1 відношення логічного слідування як (n + 1)–арне відношення, де n  1, на множині формул логіки висловлень завжди можна розглядати як бінарне відношення. Розглянемо його властивості.

Для довільної формули логіки висловлень A маємо A ╞ A. Отже, відношення логічного слідування рефлексивне.

Для довільних формул логіки висловлень A і B якщо A ╞ B і B ╞ A, то A ≡ B.

Це своєрідна форма властивості антисиметричності відношення логічного слідування.

Для довільних формул логіки висловлень A, B і C, якщо A ╞ B і B ╞ C, то A ╞ C.

Отже, відношення логічного слідування на множині формул логіки висловлень транзитивне.

4. Неважко переконатися у тому, що відношення логічного слідування на множині формул логіки висловлень незв'язне.

З одержаних результатів маємо наслідок.

Наслідок 2. Відношення логічного слідування на множині формул логіки висловлень є відношенням нестрогого часткового порядку.

Теорема 4 дає можливість по-іншому підійти до тлумачення логічних законів, які є імплікаціями. За теоремою 4 у таких законах це рівносильно тому, що висновок імплікації є логічним наслідком її умови. Наприклад, правило висновку, якщо скористуватися теоремою 1, можна записати так:

(A  BÙ A → B.

На основі теореми 4 це рівносильно тому, що

A → B,  A ╞ B.

(2)

Записом (2) правила висновку користуються у випадку, коли мають теорему A → B і якимось чином встановлюють, що висловлення A має логічне значення "1". Тоді на основі (2) робиться висновок, що й висловлення B має логічне значення "1".

Задача. Встановити, чи є формула p ↔ q логічним наслідком формул p → q і p Ú .

► Згідно теореми 4 складаємо формулу

(p → qÙ (p Ú ) → (p ↔ q).

До її складу входять дві змінні, а тому її таблиця істинності має 22 = 4 рядки. На кожному наборі значень змінних обчислюємо результати операцій логіки висловлень у порядку, який задається формулою.

p

Q

(p → qÙ (p Ú ) → (p ↔ q)

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

У таблиці остаточний результат виділено. З таблиці видно, що формула

(p → qÙ (p Ú ) → (p ↔ q) тотожно істинна, а тому за теоремою 4

(p → q), (p Ú ) ╞ (p ↔ q).  ◄


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51565. Откуда берутся шоколад и мед 60 KB
  Задачи: познакомить детей с производством хорошо известныхсладостей шоколад изюм мёд показать их природноепроисхождение. А вы хотите узнать откуда берется изюм мед шоколад. В первой баночке шоколад во второй изюм а в третьей мед.
51566. Обєми многогранників та тіл обертання 10.46 MB
  Спіймати на гарячому ювеліра Архімеду допоміг відкритий ним у ванні евристичний закон: об’єм зануреного у воду тіла можна знайти по витісненому тілом об’єму води див. щоб знайти об’єм циліндра використовували метод апроксимації для об’ємів подібних тіл принцип Кавальєрі для зрізання – формули Сімпсона; д. Додаткове питання вчитель Що необхідно щоб виміряти об’єм геометричного тіла Знайти число яке визначає скільки одиничних кубів міститься у даному геометричному тілі. Знайти об’єм повітря в кабінеті відповісти на питання:...
51568. Культурное наследие декабристов на поселении в Забайкалье: история и современность 151.5 KB
  Рассмотреть литературное наследие декабристов на поселении в Забайкалье (30-60 гг. XIX в.); Описать материальное наследие декабристов на поселении в Забайкалье (30-60 гг. XIX в.); Определить недвижимое наследие декабристов в Бурятии; Изучить недвижимое наследие декабристов в Забайкальском крае.
51569. Гармония в музыке 35 KB
  Конечно и мне будет вряд ли под силу провести Вас по всему этому пути хотя бы потому что не могу услышать Вашей реакции Ваших упражнений на клавиатуре и т. И даже в Ваших земных бытовых часто откровенно мелочных страстях и делах неизбежно работают те же законы что и там в этой сверкаючей черноте. А тогда разве не очевидно что та ничем неразрушимая симметрия и логичность мира которая поражает Ваши глаза конечно же живет и в Вас самих. И Ваши клетки и Ваши чувства и Ваши желания все это выстроено столь же тщательно как и все во...
51570. Название круглых сотен 50 KB
  Цель: Сформировать понятие сотни. Сформировать способность к счету сотнями, Сформировать знание способам их названия и записи, Сформировать умение сложению и вычитанию круглых сотен. Оборудование: интерактивная доска, презентация.
51571. Открытый урок «перевод» 97 KB
  I think I believe To my mind In my opinion I gree I do not quite gree I disgree It’s right You re not quite right You re mistken How right you re Excuse me but Would you kindly repet Полилог дискуссия за круглым столом Говорим по очереди S 1 монолог по 2 человека The first trend is the diversity in students. Students hve of course lwys been diverse. Whether in the pst or in the present dy students lern t unique pces show unique personlities nd lern in their own wys. Now more thn ever techers re likely to serve...
51572. ОСНОВНЫЕ ПЕРИОДЫ ЕВРЕЙСКОЙ КУЛЬТУРЫ 49.5 KB
  14 лет Завоевание Земли и раздел ее между коленами Вход в Землю ИзраиляИеhошуа БинНун Книга Иеhошуа история за воевания и раздела земли Период Судей 1З11 вв. Власть Судей не постоянная и не наследственная ГидеонШимшон Самсон Дебора Пророк ШмуэльСамуил Книга Судей история народа в этот периодШмуэльКнига Рут история семьи ДавидаШмуэль Период объединен ного царства 10 в. 80 лет Создание и расцвет объединенного еврейского царства со столицей в Иерусалиме царь Шауль Саул царь Давид царь Шломо СоломонПостроение Первого...