18283

МІРКУВАННЯ ТА ПЕРЕВІРКА ЇХ ПРАВИЛЬНОСТІ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 10 МІРКУВАННЯ ТА ПЕРЕВІРКА ЇХ ПРАВИЛЬНОСТІ Поняття про міркування. Правильні і неправильні міркування. Перевірка правильності міркувань за допомогою кругів Ейлера або наведення контрприкладу. Теореми і їх будова. Твердження що пов’язані з даною те

Украинкский

2013-07-07

87.5 KB

18 чел.

Лекція 10

МІРКУВАННЯ ТА ПЕРЕВІРКА ЇХ ПРАВИЛЬНОСТІ

  1.  Поняття про міркування. Правильні і неправильні міркування.
  2.  Перевірка правильності міркувань за допомогою кругів Ейлера або наведення контрприкладу.
  3.  Теореми і їх будова. Твердження, що пов’язані з даною теоремою, яка записана в імплікативній формі.
  4.  Поняття про доведення теореми. Способи доведення теореми.

  1.  Поняття про міркування. Правильні і неправильні міркування

Знання, джерела одержання яких різні, можна поділити на безпосередні і опосередковані. Безпосередні знання є результатом прямої дії предметів і явищ на органи чуттів, їх прийнято називати очевидними знаннями. Щоб переконатися в істинності таких знань, досить послатися на певну річ або зазначити її наявність.

Але людина не завжди може здобути потрібні їй знання безпосереднім шляхом. Більшість знань, якими вона користується, є опосередкованими (вивідними), тобто здобутими у результаті зв'язного логічного міркування на основі існуючих знань, які узагальнюють попередній досвід і наукові дослідження. Отже, опосередковані (вивідні) знання – це знання, здобуті за допомогою міркувань на основі відомих, зафіксованих у твердженнях, знань. Вони не підтверджуються безпосередньо тим чи іншим фактом або тим чи іншим предметом, а потребують теоретичного доведення (обґрунтування, виведення). Наприклад, твердження: "у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів" не є безпосереднім знанням. Воно встановлено за допомогою міркувань.

Логічною формою вираження опосередкованих знань, як і безпосередніх, є твердження (судження), а формою здобуття – умовивід.

Умовиводом називається форма мислення, в якій з одного або кількох тверджень одержується (говорять також виводиться) нове твердження, яке містить у собі нові знання.

Форму або логічну структуру умовиводу становить певний спосіб сполучення окремих тверджень між собою. Кожний умовивід складається:

1) з тверджень, із яких робиться висновок, їх називають посилками (гіпотезами, вихідними положеннями) умовиводу;

2) твердження, яке виводиться з посилок, його називають висновком (логічним наслідком) умовиводу;

3) сам вивід (виведення), який визначає можливість переходу від наявних тверджень (посилок) до нового твердження (висновку).

При цьому використовуються обґрунтовуючи знання, роль яких у математиці виконують аксіоми, означення і теореми.

Серед різних видів умовиводів виділяють дедуктивні умовиводи. Дедуктивним умовиводом називається умовивід, за допомогою якого від загальних положень переходять до вужчих положень. Дедуктивний умовивід застосовується щоразу, коли потрібно розглянути якесь конкретне явище на основі вже відомих загальних положень і дістати щодо цього явища певний висновок. Отже, дедуктивним умовиводом користуються завжди, коли конкретний факт підводиться під загальне правило, а потім із загального правила дістають висновок щодо цього конкретного факту.

Прикладом дедуктивного умовиводу є "Натуральне число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується парною цифрою. Число 5254 закінчується парною цифрою, отже, число 5264 ділиться на 2".

У даному умовиводі посилками є:

1. Натуральне число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується парною цифрою.

2. Число 5264 закінчується парною цифрою.

Висновком умовиводу є: число 5264 ділиться на 2.

  1.  Перевірка правильності міркувань за допомогою кругів Ейлера або наведення контр прикладу

Умовивід називається правильним, якщо завжди із істинності його посилок випливає істинність його висновку.

Якщо посилки умовиводу позначити A1, A2, …, An, а висновок – B, то схематично умовивід записується

.

(1)

Виходячи із означень умовиводу і логічного слідування, маємо, що ці поняття у математичній логіці рівносильні, а тому у термінах математичної логіки схема (1) запишеться

A1, A2, …, An |B.

(2)

У математичній логіці правильні умовиводи називаються правилами виведення.

Кожне міркування складається з одного або більше умовиводів. Міркування називається правильним, якщо всі умовиводи у ньому правильні.

Отже, щоб перевірити правильність міркування, треба встановити, що всі умовиводи у ньому правильні. На мові математичної логіки це значить довести, що завжди з тверджень A1, A2, …, An логічно випливає твердження B незалежно від конкретного змісту самих тверджень.

Якщо умовивід можна записати за допомогою формул логіки висловлень, то один із методів перевірки його правильності ґрунтується на використанні таблиць істинності. Так, на основі законів логіки маємо, що правильними є умовиводи

які в математичній логіці називаються відповідно: правилом висновку, правилом силогізму, правилом виключення кон'юнкції, правилом виключення диз'юнкції, правилом введення еквіваленції.

Для умовиводів, які містять предикати, такого методу не існує, але є деякі способи, за допомогою яких можна перевірити правильність умовиводів. Розглянемо деякі з них.

1. Спосіб наведення контрприкладу: щоб переконатися у тому, що умовивід неправильний, наводяться приклади конкретних предикатів, визначених на деякій множині, для яких посилки даного умовиводу є істинними, а наслідок – хибний. Взагалі, контрприкладом називається  приклад, що заперечує деяке загальне твердження.

Задача 1. З'ясувати правильність умовиводу: "Усі ромби – паралелограми. Деякі паралелограми – квадрати. Отже, деякі ромби – квадрати".

► У даному умовиводі можна виділити предикати:

P(x) – "x – паралелограм", R(x) – "x – ромб" і Q(x) – "x – квадрат", x Î M, де M – множина чотирикутників.

Символічно умовивід запишеться

,

де над рискою записано посилки, а під рискою – висновок.

Покажемо, що цей умовивід неправильний. Дійсно, розглянемо на множині натуральних чисел предикати

P(x) – "x M 5",   R(x) – "x M 10"  і   .

За наведеною схемою міркування запишеться так:

У ньому посилки істинні, а висновок хибний, а це означає, що міркування за такою схемою побудовані неправильно.  

2. Перевірка правильності умовиводу за допомогою кругів Ейлера ґрунтується на тому, що посилки і висновок умовиводу можуть бути записані у вигляді відношень між множинами або між множинами та їх елементами. Тоді, зображуючи ці відношення у вигляді кругів Ейлера і вважаючи посилки істинними, досліджують, чи завжди при цьому істинний висновок. Якщо виявиться, що висновок може бути хибним, то умовивід неправильний і ним користуватися не можна.

Задача 2. З'ясувати за допомогою кругів Ейлера правильність умовиводу: "Усі ромби – паралелограми. Деякі паралелограми – квадрати. Отже, деякі ромби – квадрати".

► Як і в попередній задачі міркування символічно запишеться так:

.

Якщо позначити P, R і Q множини істинності предикатів відповідно P(x), R(x) і Q(x), то на мові теорії множин міркування запишеться

Тепер, вважаючи множини P, R і Q – довільними, але такими, що для них істинні посилки міркування, перевіряємо за допомогою кругів Ейлера, чи буде істинним висновок міркування.

З того, що R Ì P і P Ç Q ¹ Æ, ще не випливає, що R Ç Q ≠ Æ. У цьому нас переконує мал. 1.

Мал. 1.

Отже, міркування за такою схемою неправильні.  

  1.  Теореми і їх будова. Твердження, що пов’язані з даною теоремою, яка записана в імплікативній формі

Твердження, істинність яких доводиться на основі вже відомих істинних тверджень, у математиці називається теоремами. Іноді замість терміну "теорема" вживаються також терміни "закон", "властивість", "наслідок", "правило" тощо.

Більшість теорем символічно можна записати у вигляді імплікації предикатів, на змінні яких навішено квантори. Наприклад,

" x Î M: P(x® Q(x).

Це так званий імплікативний (умовний) запис теореми. У теоремі, записаній у такій формі, виділяють три частини.

1. Пояснювальна частина: у ній описується множина об'єктів, про які йде мова у теоремі. Символічно до пояснювальної частини слід віднести запис, який стосується кванторів, у даному випадку " x Î M.

2. Умова теореми: предикат, який є умовою імплікації, тобто P(x).

3. Висновок теореми: предикат, який є висновком імплікації, тобто Q(x).

Іноді при формулюванні теореми опускають пояснювальну частину і змінні, але їх завжди мають на увазі.

З кожною теоремою виду

" x Î M: P(x® Q(x)

пов'язані ще три твердження:

1) твердження, обернене даній теоремі

" x Î M: Q(x® P(x);

2) твердження, протилежне даній теоремі

.

3) твердження, обернене до протилежного даній теоремі або протилежне до оберненого даній теоремі

.

За законом контрапозиції рівносильними є твердження 1) і 2) та сама теорема і твердження 3). Звідси отримуємо, що твердження 3) є також теоремою, її називають теоремою оберненою до протилежної даній або протилежною до оберненої даній. Твердження, обернене даній теоремі, не завжди є теоремою, але коли воно є нею, то й друге твердження також буде теоремою, і їх тоді називають: 1) – теорема, обернена даній, 2) – теорема, протилежна даній.

Задача 3. Користуючись логічною і математичною символікою, записати теорему: "Рівнобедрений трикутник має вісь симетрії" у символічній формі. Встановити будову теореми. Записати у символічній формі і сформулювати словами твердження, які пов'язані з даною теоремою, та встановити їх логічні значення.

► Щоб встановити будову теореми і сформулювати твердження, пов'язані з нею, запишемо її так: "Якщо трикутник рівнобедрений, то він має вісь симетрії". Запис теореми словами не містить пояснювальної частини і змінних, але їх легко встановити за змістом теореми. Дійсно, у даній теоремі мова йде про довільні трикутники з множини M усіх трикутників. Отже, x – будь-який трикутник множини M, і теорема символічно запишеться так:

" x Î M: P(x® Q(x),

де предикат P(x) – "x – рівнобедрений",

предикат Q(x) – "x має вісь симетрії".

Дана теорема має таку будову:

1) пояснювальна частина: "  x Î M;

2) умова теореми: P(x);

3) висновок теореми Q(x).

Твердження, обернене даній теоремі, символічно запишеться

" x Î M: Q(x® P(x).

Словами воно сформулюється: "Якщо трикутник має вісь симетрії, то він рівнобедрений".

Твердження, протилежне даній теоремі, символічно запишеться:

а словами: "Якщо трикутник не рівнобедрений, то він не має вісі симетрії".

Твердження, обернене протилежному до даної теореми, символічно запишеться:

а словами: "Якщо трикутник не має вісі симетрії, то він не рівнобедрений".

Усі твердження, пов'язані з даною теоремою, істинні. Отже, вони є теоремами.  

Теореми іноді формулюють у вигляді еквіваленції предикатів, на змінні якої навішено квантори. Логічна структура такої теореми

" x Î M: P(x) « Q(x).

При формулюванні її словами квантори й змінні опускаються. Наприклад, натуральне число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

Теорема, яка записана у вигляді еквіваленції, на основі правила виключення еквіваленції рівносильна кон'юнкції двох теорем, записаних у імплікативній формі, а саме

(" x Î M: P(x® Q(x)) Ù (" x Î M: Q(x® P(x)).

Щоб встановити її істинність, треба довести істинність таких теорем

" x Î M: P(x® Q(x) і " x Î M: Q(x® P(x).

  1.  Поняття про доведення теореми. Способи доведення теореми

Довести теорему – означає показати, що вона, як логічний наслідок, випливає з інших тверджень, істинність яких уже встановлена.

Засобами математичної логіки можна уточнити поняття теореми і її доведення.

Доведенням теореми математичної теорії називається скінченна послідовність тверджень

A1, A2, ..., An-1, An,

(1)

яка задовольняє умовам:

1) кожне твердження послідовності (1) повинно належати математичній теорії і бути сформульованим в її термінах;

2) кожне твердження послідовності (1) є аксіомою, означенням, раніше доведеною теоремою, припущенням або логічно випливає з попередніх тверджень цієї послідовності;

3) останнім твердженням послідовності (1) є теорема, яка доводиться.

Отже, щоб довести теорему, потрібно побудувати для неї хоча б одну послідовність (1) тверджень цієї теорії, яка задовольняла б умовам 1) – 3).

Користуючись поняттям доведення теореми, можна уточнити і саме поняття теореми, а саме: твердження математичної теорії називається теоремою, якщо для нього може бути побудоване хоча б одне доведення, тобто знайдена хоча б одна скінченна послідовність тверджень цієї теорії, яка б задовольняла умовам 1) – 3).

Зауваження. При доведенні теорем, крім поняття логічного слідування і рівносильності, користуються також поняттями:

1)"… випливає за означенням …", що позначатимемо ":Þ";

2)"… логічно випливає …", "… випливає з теореми …" тощо, які позначатимемо "Þ";

3)"… рівносильно за означенням … ", яке позначатимемо ":Û" (може читатися також "… за означенням тоді і тільки тоді, коли …");

4)"… рівносильно … " або "… тоді і тільки тоді, коли …", яке позначатимемо "Û".

Надалі будемо вести мову про теореми, записані імплікативно, тобто A ® B. Існують різні методи доведення теорем. Розглянемо найбільш вживані з них.

Прямий метод доведення теореми полягає у тому, що вважають істинною умову теореми A, тоді вона стає припущенням, і її приймають за перший член послідовності (1). Далі, користуючись припущенням A і відомими уже твердженнями теорії, показують, що з них логічно випливає істинність твердження B. Отже, істинною є й імплікація A ® B, яка й буде останнім членом шуканої послідовності (1).

У математиці, крім прямого методу доведення, користуються різними формами так званого непрямого методу доведення теорем. Найбільш вживаною з них є форма, яка у шкільному курсі математики називається доведенням від супротивного.

Міркування цим методом проводяться так:

1) припускають, що істинним твердженням є умова теореми, а висновок – хибним, а тому його заперечення – істинне твердження;

2) користуючись припущенням, отримують твердження, яке суперечить уже відомим твердженням або умові теореми;

3) отримана суперечність і доводить істинність твердження B, тобто, імплікація A ® B істинна.

Задача 4. Довести методом від супротивного теорему: "Відношення паралельності на множині прямих площини транзитивне".

► Сформулюємо теорему в імплікативній формі. Для цього множину всіх прямих на площині позначимо M, а самі прямі позначатимемо буквами x, y, z. Тепер теорема символічно запишеться так:

" xyz Î M: (x êêy Ù y êê z® (x êê z).

Теорема очевидна у тому випадку, коли серед прямих x, y і z є прямі, які збігаються, а тому будемо вважати, що всі три прямі різні. Нехай істинною є умова теореми (x || yÙ (y || z), а її наслідок хибний, тобто, що істинним є твердження . Прямі x і z є різними прямими, які лежать в одній площині, а тому вони перетинаються у деякій точці F. Звідси одержуємо, що через точку F проходять дві прямі x і z, паралельні прямій y. А це суперечить аксіомі паралельності прямих. Одержане протиріччя показує, що припущення  – хибне, а тому буде істинним твердженням x || z.  ◄

Іноді при непрямому доведені теореми A ® B замість неї доводять твердження, обернене до протилежного даній теоремі, тобто, , і тоді на основі закону контрапозиції робиться висновок, що буде істинною і дана теорема. Це так звана контрапозитивна форма непрямого доведення.

Задача 5. Довести контрапозитивним методом теорему

.

► Сформулюємо теорему, обернену до протилежної даній

або, що те саме,

.

Доведемо одержану теорему. Нехай  і . За властивостями нерівностей звідси одержуємо

тобто, x + y ≥ a.

Отже, теорема, обернена до протилежної даній, істинна, а тому за законом контрапозиції буде істинною і дана теорема.  ◄


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81951. Виды уголовных наказаний, применяемых к физическим лицам во Франции. Принцип действия закона во времени и пространстве по уголовному праву ФРГ 42.94 KB
  В теории уголовного права выделяются признаки которые являются характерными для уголовного наказания. В обобщённом виде эти признаки можно изложить следующим образом: особый характер этой меры связанный с тем что она назначается только за совершение преступления наиболее тяжкого из всех противоправных деяний...
81952. Основи методики розвитку витривалості. Контроль за рівнем витривалості. Техніка прийому м’яча 44.8 KB
  Загальна витривалість - це здатність тривало виконувати роботу помірної інтенсивності при глобальному функціонуванні м’язової системи, по-іншому її ще називають аеробною витривалістю. Людина, яка може витримати тривалий біг в помірному темпі тривалий час, здатна виконати і іншу роботу...
81953. Республика Беларусь в системе мирохозяйственных связей. Внешняя торговля Республики Беларусь 46.47 KB
  Для того чтобы определить, насколько Беларусь интегрирована в систему мирохозяйственных связей, необходимо оценить степень вовлеченности республики в систему международного разделения труда и международного обобществления производства страны путем участия в МРТ, выяснить ее место и роль...
81954. Звезды и их эволюция 47.05 KB
  Поверхностный взгляд найдет сходство между звездами и планетами. Ведь и планеты при наблюдении простым глазом видны как светящиеся точки различной яркости. Планеты изменяют свое положение на небе, перемещаются из одного созвездия в другое и за год успевают пройти значительный путь...
81955. Электроснабжение механического цеха 93.42 KB
  Работа приемников электроэнергии зависит от ее качества. Качество электроэнергии и, в частности, например: отклонение напряжения, вызывает изменение скорости движения электроприводов, что уменьшает или увеличивает производительность механизмов.
81956. Значення й методи аналізу майна підприємства. Основні показники оцінки майнового стану підприємства 40.13 KB
  Неодмінною складовою переходу України до ринкових відносин є створення нових підприємницьких структур та приватизація підприємств. Цей перехід зумовив еволюцію відносин власності і типів субєктів господарювання в напрямку забезпечення їх розмаїття.
81957. Расчет экономической эффективности восстановления детали 1.09 MB
  В процессе работы любой машины происходит износ ее деталей. Это естественное изнашивание носит закономерный характер и происходит в результате трения сопрягаемых поверхностей деталей, тепловых и химических воздействий среды, изменения физико-механических свойств материала деталей вследствие старения и усталости.
81958. Современные средства обучения и технического оснащения классов в современной школе 134.5 KB
  Средства обучения – обязательный элемент оснащения образовательного процесса. Наряду с целями, содержанием, формами и методами обучения средства обучения являются одним из главных компонентов дидактической системы.
81959. ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ В РАБОВЛАДЕЛЬЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ 107 KB
  Особенности развития физической культуры в Древнем Риме. Физическая культура в государстве достигшем наивысшей ступени развития в эпоху древнего мира относится к числу наиболее противоречивых проблем истории физической культуры.