18284

РІЗНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 11 РІЗНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ Короткі історичні відомості про виникнення натурального числа і нуля. Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел. Скінченні множини та їх властивості: а Теоретикомн

Украинкский

2013-07-07

70 KB

31 чел.

Лекція 11

РІЗНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

  1.  Короткі історичні відомості про виникнення натурального числа і нуля.
  2.  Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел.
  3.  Скінченні множини та їх властивості:

а) Теоретико-множинна побудова множини цілих невід’ємних чисел (кількісна теорія).

  1.  Короткі історичні відомості про виникнення

натурального числа і нуля

Одне з основних понять математики – поняття числа, зокрема натурального. Виникнення поняття натурального числа – питання загальної культури людства. Його формування не можна простежити за безпосередніми письмовими джерелами. Про виникнення лічби і зумовлених нею понять можна судити на основі таких джерел:

1. Дослідження відсталих у культурному розвитку народів, що проводились у XVII–XX століттях.

2. Вивчення історичних пам'яток: художніх виробів, наскальних малюнків, написів на руїнах старих будівель тощо.

3. Вивчення родових переказів, казок, прислів'їв, приказок, а особливо мов, які зберігають багато слідів тих часів, коли люди ще не вміли писати.

4. Спостереження за дітьми, коли вони навчаються говорити і лічити. Кожна дитина, розвиваючись, повторює розвиток усього людства. Звичайно, цей процес відбувається дуже швидко: шлях розвитку, на який попереднім поколінням потрібні були століття або навіть тисячоліття, дитина проходить за роки або навіть місяці.

Порівнюючи відомості, взяті з цих чотирьох джерел, можна приблизно відтворити картину того, як люди опановували лічбу і виникло поняття натурального числа, що тісно пов'язане з поняттям скінченної множини. У процесі практичної діяльності людині часто доводиться порівнювати між собою скінченні множини. Наприклад, для одержання відповіді на питання, чи вистачить спійманих рибин на всіх членів сім'ї, можна встановити взаємно однозначну відповідність між елементами множин спійманих рибин і членів сім'ї або між елементами однієї з них і елементами власної підмножини іншої.

Якщо виконується перший випадок, то вважають, що чисельності множин однакові, якщо – другий, то та з множин має меншу чисельність, яка рівнопотужна власній підмножині іншої.

Цей спосіб порівняння чисельності множин не потребує переліку їх елементів, але ним можна користуватися не завжди. Зокрема, з його допомогою не можна дізнатися, в якому із двох табунів, що знаходяться на різних пасовищах, коней більше, або порівняти чисельність табуна коней у даний момент часу з його чисельністю у минулому році. Тому для порівняння й фіксації чисельності множин стали використовувати множини-посередники, що складалися з пальців рук людини, камінців, раковин тощо, і з якими легко оперувати. Так, для порівняння двох табунів коней брали множину камінців, що дорівнювала чисельності одного з них, переносили її туди, де перебував інший табун, і порівнювали її з ним.

Одну і ту ж саму множину-посередник можна було порівнювати і з множиною тварин у стаді, і з множиною мішків зібраного урожаю і т. д. Тому назви множин-посередників почали використовувати, як вираження чисельності порівнюваних з ними множин. Наприклад, говорили "рука яблук", тобто стільки яблук, скільки пальців на руці. А для вираження числа стріл, що дорівнює числу пальців людини, говорили "людина стріл". Так виникло поняття числівника як назва множини-посередника. Процес абстрагування призвів до виникнення загального поняття натуральних чисел "один", "два", "три", "чотири", "п¢ять" і т. д. Оскільки найчастіше лічба велася за допомогою пальців, то такі множини-посередники, як 1, 5, 10, 20, 100 (десять десятків) відігравали особливу роль, інші одержувалися з них шляхом додавання або віднімання (говорили, наприклад, "двадцять без двох" замість "вісімнадцять"). Отже, спочатку натуральні числа з'явилися у вигляді чисел-острівців, які потім злилися в єдиний материк – множину натуральних чисел. Пізніше стали розміщувати натуральні числа у ряд, в якому кожне наступне число одержується з попереднього додаванням до нього одиниці. Так виникло поняття натурального ряду чисел:

1, 2, 3, …, n, … .

Виникнення понять натурального числа і натурального ряду є важливим етапом у розвитку математики. Стало можливим вивчати ці числа незалежно від конкретних задач, у зв'язку з якими вони виникли. Появляється теоретична наука про число – арифметика або теорія чисел.

  1.  Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел

Нуль використовувався спочатку для позначення відсутності відповідних розрядних одиниць у запису числа. Лише значно пізніше нуль стали називати числом, яке означало чисельність порожньої множини. Множина, яка є результатом приєднання числа нуль до множини натуральних чисел, називається множиною цілих невід'ємних чисел, а її елементи – цілими невід'ємними числами. Саме побудова множини цілих невід'ємних чисел і буде далі розглянута.

Натуральні числа виконують дві функції:

1) дають інформацію про чисельність множини класу рівнопотужних скінченних непорожніх множин, тобто вони виконують кількісну функцію. У цьому випадку натуральні числа називаються кількісними;

2) визначають положення елементів певним чином строго лінійно впорядкованої скінченної непорожньої множини. У цьому випадку натуральні числа називаються порядковими.

Відповідно до цих функцій існують теоретико-множинна (кількісна) й аксіоматична теорії натуральних чисел. Кількісна теорія натуральних чисел була розроблена у 70-х роках XIX ст. німецьким математиком Г. Кантором (1845-1918); аксіоматична теорія розроблялася багатьма математиками і остаточно була сформульована італійським математиком Д. Пеано (1853-1932) наприкінці XIX ст.

  1.  Скінченні множини та їх властивості:

а) Теоретико-множинна побудова множини

цілих невід’ємних чисел (кількісна теорія)

Натуральне число виникло внаслідок оперування із скінченними множинами і може бути означене через поняття "скінченна множина". У зв'язку з цим раніше сформульованим означенням скінченної множини, елементи якої можна перелічити, користуватися не можна. Отже, потрібно дати означення скінченної множини, не використовуючи поняття натурального числа.

Множина називається:

1) скінченною, якщо вона не має власної підмножини, рівнопотужної їй;

2) нескінченною, якщо вона має власну підмножину, рівнопотужну їй.

Означення скінченної множини можна сформулювати і так: множина називається скінченною, якщо вона збігається з будь-якою своєю підмножиною, що рівнопотужна їй.

Порожня і одинична множини є скінченними, тому що вони зовсім не мають власних підмножин.

На основі теорії множин і наведеного означення скінченної множини можна довести, хоч це не завжди і просто, ряд властивостей скінченних множин, які потрібні для побудови кількісної теорії цілих невід'ємних чисел.

1. Множина, рівнопотужна скінченній множині, скінченна.

► Нехай A і B – довільні множини такі, що A – скінченна і

B ~ A.

(1)

Припустимо, що множина B – нескінченна. Тоді за означенням нескінченної множини множина B має власну підмножину B1 таку, що

B ~ B1.

(2)

За умовою теореми B ~ A, а тому за означенням рівнопотужності множин існує бієктивне відображення f: B ® A. Нехай f(B1) = A1. Оскільки f бієкція і B1 – власна підмножина B, то й A1 буде власною підмножиною A і

B1 ~ A1.

(3)

Із відношень (1), (2) і (3), у силу транзитивності відношення рівнопотужності, одержуємо A ~ A1.

Отже, множина A рівнопотужна своїй власній підмножині. Але це суперечить тому, що множина A скінченна. Значить, припущення хибне, тому множина B – скінченна.  ◄

2. Довільна підмножина скінченної множини є множина скінченна.

► Нехай A – будь-яка скінченна множина. Не обмежуючи загальності міркувань можна вважати, що множина A непорожня і неодинична, бо у цьому випадку її підмножини є скінченними множинами.

Нехай B – довільна підмножина множини A, причому власна, бо коли вона невласна, то вона скінченна. Припустимо, що множина B – нескінченна. Тоді за означенням нескінченної множини множина B має власну підмножину B1, яка їй рівнопотужна. На основі залежності між множинами A, B, і B1 матимемо, що (A \ BÈ B1 буде власною підмножиною множини A. За припущенням

B1 ~ B.

(4)

Оскільки

A \ B ~ A \ B,

(5)

(A \ BÇ B1 = Æ,

(6)

(A \ BÇ B = Æ,

(7)

то з відношень (4), (5), (6) і (7) на основі теореми 5 § 5 маємо

(A \ BÈ B1 ~ (A \ BÈ B.

(8)

В силу того, що B Ì A, одержуємо

(A \ BÈ B = A.

(9)

Враховуючи (9), відношення (8) запишеться

A ~ (A \ BÈ B1,

де (A \ BÈ B1 – власна підмножина A, а це суперечить тому, що множина A – скінченна. Одержане протиріччя доводить, що припущення хибне, а тому множина B – скінченна.  ◄

3. Об'єднання скінченної множини і одиничної множини є множина скінченна.

► Нехай A – скінченна множина і E = {e} – одинична множина. Якщо e Î A, то A È E = A. Отже, A È E – скінченна множина. Тому можна вважати, що e Ï A.

Розглянемо множину B = A È E і доведемо, що вона скінченна. Припустимо, що це не так, тобто, що множина B – нескінченна. Тоді за означенням нескінченної множини існує власна підмножина B1 множини B така, що B ~ B1. А тому існує бієкція f: B ® B1. Встановимо властивості бієкції f. Розглянемо множину A1 = f(A). Оскільки f – бієкція, то

A ~ A1.

(10)

Множина A1 не може бути власною підмножиною множини A, бо це суперечило б тому, що множина A – скінченна. Не може мати також місця рівність A1 = A, бо тоді f(eÏ A і оскільки f(eΠB = A È {e}, то f(e) = e, а тому мали б

F(A È {e}) = за теоремою 2 §5

f(AÈ f({e}) = A È E = B.

А це неможливо, бо f(B) = B1, де B1 – власна підмножина множини B. Цим самим доведено, що при бієктивному відображенні множини B на множину B1 образ множини A не може бути підмножиною множини A.

Отже, у множині A існує елемент a0 такий, що його образом є елемент, який не належить множині A, але таким елементом є лише елемент e з множини B, тобто

$ a0 Î A:  f(a0) = e.

(11)

Враховуючи, що f – бієкція, то образом елемента e не може бути елемент e, а тому

$ a1 Î A: f(e) = a1.

(12)

Тепер розглянемо відношення j між елементами множини B визначене так:

Виходячи з означення відношення j та (11) і (12), одержуємо, що j є ін'єктивним відображенням множини B у себе.

Знайдемо область значення цього відображення E(j) = j (B).

Оскільки {a0e} Ì B, то має місце рівність

B = (B \ {a0e}È {a0e}.

Отже, j (B) = j ((B\{a0e})È{a0e}) = за теоремою 2 § 5

j (B \ {a0e}È j({a0e}) = за означенням відношення j

f(B \ {a0e}È {a1e} = за теоремою 3 § 5

= (f(B \ f{a0e}È {a1e} = за (11) і (12)

= (B1 \ {a0e}È {a1e}.

Із (11) і (12) випливає , що {a1e} Ì B1, а тому j(B) = B1. Отже, f є бієкцією множини B на множину B1, і тепер образом j(A) множини A є підмножина множини A, бо елемент e відображається сам у себе. Одержано протиріччя, бо, як показано раніше, це неможливо. А тому B є скінченною множиною.  ◄

4. Кожна скінченна непорожня множина, що відмінна від одиничної, є об'єднанням скінченної множини попарно різних одиничних множин.

► Ця властивість випливає з того, що коли A – довільна непорожня множина, яка відмінна від одиничної, то її можна записати так:

  ◄

Наступні три властивості наведемо без доведення.

5. Об'єднання довільних скінченних множин A і B є множина скінченна.

6. Об'єднання довільної скінченної сукупності скінченних множин є множина скінченна.

7. Для довільних скінченних множин A і B має місце одне і тільки одне із відношень:

A ~ B,

A ~ B1, B1 Ì B і B1 ≠ B,

B ~ A1, A1 Ì A і A1 ≠ A.

Для довільних множин ця властивість місця не має. Для них має місце властивість, яка виражається наступною теоремою, що називається теоремою Кантора – Бернштейна.

Теорема. Якщо кожна з двох множин рівнопотужна власній підмножині другої, то ці множини рівнопотужні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45363. Диагностика результатов обучения школьников. Проверка и оценка работы школьников в процессе обучения 50.5 KB
  План Диагностика качества обучения определение цель принципы формула Контроль Понятие контроля Виды контроля Формы контроля Методы контроля Требования к контролю Тест как метод контроля Проверка Оценка 1. Принципы диагностирования обученности: Систематичность – разнообразие постоянство форм методов средств контроля. Необходимость контроля на всех этапах обучения. Понятие контроля.
45364. Проблема целей и содержания воспитания. Культурологический подход к воспитанию и обучению 45.5 KB
  Проблема целей и содержания воспитания. Понятие воспитания Цели воспитания Культурологический подход к воспитанию и обучению Содержание воспитания 1. Понятие воспитания Воспитание – это деятельность воспитателей по созданию условий для культурного становления и саморазвития личности иначе – деятельность педагога по организации жизни ребёнка на уровне культуры. Цели воспитания Цель воспитания – идеал к которому стремится общество и отдельный воспитатель.
45365. Проблемное обучение. Использование методов проблемного обучения в информатике 36.5 KB
  Использование методов проблемного обучения в информатике. План Технология проблемного обучения Проблемная ситуация Проблемное изложение Частичнопоисковая Исследовательская деятельность Приемы создания проблемных ситуаций Преимущества и недостатки проблемного обучения Использование методов проблемного обучения в информатике 1. Технология проблемного обучения предполагает организацию под руководством учителя самостоятельной поисковой деятельности учащихся по решению учебных проблем в ходе которых у школьников формируются новые...
45366. Познавательный интерес. Его формирование и развитие. Активизация познавательного интереса при обучении информатике 37.5 KB
  Познавательный интерес. Активизация познавательного интереса при обучении информатике. Понятие познавательного интереса Формирование познавательных интересов в обучении.
45367. Методы обучения. Их многообразие и классификация. Специфичность методов обучения информатике 62 KB
  Методы обучения. Методы по логике передачи и восприятия учебной информации индуктивные дедуктивные 3. Методы стимулирования интереса 3. Методы стимулирования и активации долга и ответственности 3.
45368. Индивидуализация и дифференциация обучения. Формы и методы индивидуализации и дифференциации 24 KB
  Модели дифференциации: Модель потоков. Продвинутые средние низкие потоки Модель гибкого состава класса. Некоторые пары вместе Модель разнородных классов. Всё время разные дети на один предмет Интерактивная модель.
45369. Воспитательная система. Многообразие воспитательных систем 60.5 KB
  Многообразие воспитательных систем План Сущность воспитательной системы. Структура воспитательной системы. Этап становления Отработка содержания деятельности и структуры системы Завершающий Обновление и совершенствование системы Разнообразие воспитательных систем 4. Сущность воспитательной системы Воспитательная система – это упорядоченная совокупность компонентов взаимодействие и интеграция которых определяет наличие у школы способностей целенаправленно и эффективно содействовать развитию личности ребенка.
45370. Системы развивающего обучения 47.5 KB
  Системы развивающего обучения План Понятие и сущность развивающего обучения ЗАР ЗБР принципы структура Дидактическая система Л. Зонкова цель принципы методы формы результат Теория содержательного обучения и дидактическая система Эльконина и Давыдова цели требования к процессу обучения. Формы уроков методы результат Теория поэтапного формирования умственных действий Гальперина Талызиной цели 6 этапов Понятие и сущность развивающего обучения С 30г. В России начинается разработка дидактических систем развивающего...
45371. Сущность процесса обучения: его противоречия, функции, этапы 53.5 KB
  Сущность процесса обучения: его противоречия функции этапы. План Сущность обучения Особенности процесса обучения Закономерности процесса обучения Принципы процесса обучения общие спеуифические Противоречия процесса обучения перечисление противоречий задачи для их преодоления Функции обучения Образовательная Воспитательная Развивающая Этапы процесса обучения Живое созерцание Абстрактное мышление Практика Двусторонний характер обучения Процесс преподавания Процесс учения 1. Сущность обучения – то что...