18284

РІЗНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 11 РІЗНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІДЄМНИХ ЧИСЕЛ Короткі історичні відомості про виникнення натурального числа і нуля. Різні підходи до побудови множини цілих невідємних чисел. Скінченні множини та їх властивості: а Теоретикомн

Украинкский

2013-07-07

70 KB

31 чел.

Лекція 11

РІЗНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

  1.  Короткі історичні відомості про виникнення натурального числа і нуля.
  2.  Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел.
  3.  Скінченні множини та їх властивості:

а) Теоретико-множинна побудова множини цілих невід’ємних чисел (кількісна теорія).

  1.  Короткі історичні відомості про виникнення

натурального числа і нуля

Одне з основних понять математики – поняття числа, зокрема натурального. Виникнення поняття натурального числа – питання загальної культури людства. Його формування не можна простежити за безпосередніми письмовими джерелами. Про виникнення лічби і зумовлених нею понять можна судити на основі таких джерел:

1. Дослідження відсталих у культурному розвитку народів, що проводились у XVII–XX століттях.

2. Вивчення історичних пам'яток: художніх виробів, наскальних малюнків, написів на руїнах старих будівель тощо.

3. Вивчення родових переказів, казок, прислів'їв, приказок, а особливо мов, які зберігають багато слідів тих часів, коли люди ще не вміли писати.

4. Спостереження за дітьми, коли вони навчаються говорити і лічити. Кожна дитина, розвиваючись, повторює розвиток усього людства. Звичайно, цей процес відбувається дуже швидко: шлях розвитку, на який попереднім поколінням потрібні були століття або навіть тисячоліття, дитина проходить за роки або навіть місяці.

Порівнюючи відомості, взяті з цих чотирьох джерел, можна приблизно відтворити картину того, як люди опановували лічбу і виникло поняття натурального числа, що тісно пов'язане з поняттям скінченної множини. У процесі практичної діяльності людині часто доводиться порівнювати між собою скінченні множини. Наприклад, для одержання відповіді на питання, чи вистачить спійманих рибин на всіх членів сім'ї, можна встановити взаємно однозначну відповідність між елементами множин спійманих рибин і членів сім'ї або між елементами однієї з них і елементами власної підмножини іншої.

Якщо виконується перший випадок, то вважають, що чисельності множин однакові, якщо – другий, то та з множин має меншу чисельність, яка рівнопотужна власній підмножині іншої.

Цей спосіб порівняння чисельності множин не потребує переліку їх елементів, але ним можна користуватися не завжди. Зокрема, з його допомогою не можна дізнатися, в якому із двох табунів, що знаходяться на різних пасовищах, коней більше, або порівняти чисельність табуна коней у даний момент часу з його чисельністю у минулому році. Тому для порівняння й фіксації чисельності множин стали використовувати множини-посередники, що складалися з пальців рук людини, камінців, раковин тощо, і з якими легко оперувати. Так, для порівняння двох табунів коней брали множину камінців, що дорівнювала чисельності одного з них, переносили її туди, де перебував інший табун, і порівнювали її з ним.

Одну і ту ж саму множину-посередник можна було порівнювати і з множиною тварин у стаді, і з множиною мішків зібраного урожаю і т. д. Тому назви множин-посередників почали використовувати, як вираження чисельності порівнюваних з ними множин. Наприклад, говорили "рука яблук", тобто стільки яблук, скільки пальців на руці. А для вираження числа стріл, що дорівнює числу пальців людини, говорили "людина стріл". Так виникло поняття числівника як назва множини-посередника. Процес абстрагування призвів до виникнення загального поняття натуральних чисел "один", "два", "три", "чотири", "п¢ять" і т. д. Оскільки найчастіше лічба велася за допомогою пальців, то такі множини-посередники, як 1, 5, 10, 20, 100 (десять десятків) відігравали особливу роль, інші одержувалися з них шляхом додавання або віднімання (говорили, наприклад, "двадцять без двох" замість "вісімнадцять"). Отже, спочатку натуральні числа з'явилися у вигляді чисел-острівців, які потім злилися в єдиний материк – множину натуральних чисел. Пізніше стали розміщувати натуральні числа у ряд, в якому кожне наступне число одержується з попереднього додаванням до нього одиниці. Так виникло поняття натурального ряду чисел:

1, 2, 3, …, n, … .

Виникнення понять натурального числа і натурального ряду є важливим етапом у розвитку математики. Стало можливим вивчати ці числа незалежно від конкретних задач, у зв'язку з якими вони виникли. Появляється теоретична наука про число – арифметика або теорія чисел.

  1.  Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел

Нуль використовувався спочатку для позначення відсутності відповідних розрядних одиниць у запису числа. Лише значно пізніше нуль стали називати числом, яке означало чисельність порожньої множини. Множина, яка є результатом приєднання числа нуль до множини натуральних чисел, називається множиною цілих невід'ємних чисел, а її елементи – цілими невід'ємними числами. Саме побудова множини цілих невід'ємних чисел і буде далі розглянута.

Натуральні числа виконують дві функції:

1) дають інформацію про чисельність множини класу рівнопотужних скінченних непорожніх множин, тобто вони виконують кількісну функцію. У цьому випадку натуральні числа називаються кількісними;

2) визначають положення елементів певним чином строго лінійно впорядкованої скінченної непорожньої множини. У цьому випадку натуральні числа називаються порядковими.

Відповідно до цих функцій існують теоретико-множинна (кількісна) й аксіоматична теорії натуральних чисел. Кількісна теорія натуральних чисел була розроблена у 70-х роках XIX ст. німецьким математиком Г. Кантором (1845-1918); аксіоматична теорія розроблялася багатьма математиками і остаточно була сформульована італійським математиком Д. Пеано (1853-1932) наприкінці XIX ст.

  1.  Скінченні множини та їх властивості:

а) Теоретико-множинна побудова множини

цілих невід’ємних чисел (кількісна теорія)

Натуральне число виникло внаслідок оперування із скінченними множинами і може бути означене через поняття "скінченна множина". У зв'язку з цим раніше сформульованим означенням скінченної множини, елементи якої можна перелічити, користуватися не можна. Отже, потрібно дати означення скінченної множини, не використовуючи поняття натурального числа.

Множина називається:

1) скінченною, якщо вона не має власної підмножини, рівнопотужної їй;

2) нескінченною, якщо вона має власну підмножину, рівнопотужну їй.

Означення скінченної множини можна сформулювати і так: множина називається скінченною, якщо вона збігається з будь-якою своєю підмножиною, що рівнопотужна їй.

Порожня і одинична множини є скінченними, тому що вони зовсім не мають власних підмножин.

На основі теорії множин і наведеного означення скінченної множини можна довести, хоч це не завжди і просто, ряд властивостей скінченних множин, які потрібні для побудови кількісної теорії цілих невід'ємних чисел.

1. Множина, рівнопотужна скінченній множині, скінченна.

► Нехай A і B – довільні множини такі, що A – скінченна і

B ~ A.

(1)

Припустимо, що множина B – нескінченна. Тоді за означенням нескінченної множини множина B має власну підмножину B1 таку, що

B ~ B1.

(2)

За умовою теореми B ~ A, а тому за означенням рівнопотужності множин існує бієктивне відображення f: B ® A. Нехай f(B1) = A1. Оскільки f бієкція і B1 – власна підмножина B, то й A1 буде власною підмножиною A і

B1 ~ A1.

(3)

Із відношень (1), (2) і (3), у силу транзитивності відношення рівнопотужності, одержуємо A ~ A1.

Отже, множина A рівнопотужна своїй власній підмножині. Але це суперечить тому, що множина A скінченна. Значить, припущення хибне, тому множина B – скінченна.  ◄

2. Довільна підмножина скінченної множини є множина скінченна.

► Нехай A – будь-яка скінченна множина. Не обмежуючи загальності міркувань можна вважати, що множина A непорожня і неодинична, бо у цьому випадку її підмножини є скінченними множинами.

Нехай B – довільна підмножина множини A, причому власна, бо коли вона невласна, то вона скінченна. Припустимо, що множина B – нескінченна. Тоді за означенням нескінченної множини множина B має власну підмножину B1, яка їй рівнопотужна. На основі залежності між множинами A, B, і B1 матимемо, що (A \ BÈ B1 буде власною підмножиною множини A. За припущенням

B1 ~ B.

(4)

Оскільки

A \ B ~ A \ B,

(5)

(A \ BÇ B1 = Æ,

(6)

(A \ BÇ B = Æ,

(7)

то з відношень (4), (5), (6) і (7) на основі теореми 5 § 5 маємо

(A \ BÈ B1 ~ (A \ BÈ B.

(8)

В силу того, що B Ì A, одержуємо

(A \ BÈ B = A.

(9)

Враховуючи (9), відношення (8) запишеться

A ~ (A \ BÈ B1,

де (A \ BÈ B1 – власна підмножина A, а це суперечить тому, що множина A – скінченна. Одержане протиріччя доводить, що припущення хибне, а тому множина B – скінченна.  ◄

3. Об'єднання скінченної множини і одиничної множини є множина скінченна.

► Нехай A – скінченна множина і E = {e} – одинична множина. Якщо e Î A, то A È E = A. Отже, A È E – скінченна множина. Тому можна вважати, що e Ï A.

Розглянемо множину B = A È E і доведемо, що вона скінченна. Припустимо, що це не так, тобто, що множина B – нескінченна. Тоді за означенням нескінченної множини існує власна підмножина B1 множини B така, що B ~ B1. А тому існує бієкція f: B ® B1. Встановимо властивості бієкції f. Розглянемо множину A1 = f(A). Оскільки f – бієкція, то

A ~ A1.

(10)

Множина A1 не може бути власною підмножиною множини A, бо це суперечило б тому, що множина A – скінченна. Не може мати також місця рівність A1 = A, бо тоді f(eÏ A і оскільки f(eΠB = A È {e}, то f(e) = e, а тому мали б

F(A È {e}) = за теоремою 2 §5

f(AÈ f({e}) = A È E = B.

А це неможливо, бо f(B) = B1, де B1 – власна підмножина множини B. Цим самим доведено, що при бієктивному відображенні множини B на множину B1 образ множини A не може бути підмножиною множини A.

Отже, у множині A існує елемент a0 такий, що його образом є елемент, який не належить множині A, але таким елементом є лише елемент e з множини B, тобто

$ a0 Î A:  f(a0) = e.

(11)

Враховуючи, що f – бієкція, то образом елемента e не може бути елемент e, а тому

$ a1 Î A: f(e) = a1.

(12)

Тепер розглянемо відношення j між елементами множини B визначене так:

Виходячи з означення відношення j та (11) і (12), одержуємо, що j є ін'єктивним відображенням множини B у себе.

Знайдемо область значення цього відображення E(j) = j (B).

Оскільки {a0e} Ì B, то має місце рівність

B = (B \ {a0e}È {a0e}.

Отже, j (B) = j ((B\{a0e})È{a0e}) = за теоремою 2 § 5

j (B \ {a0e}È j({a0e}) = за означенням відношення j

f(B \ {a0e}È {a1e} = за теоремою 3 § 5

= (f(B \ f{a0e}È {a1e} = за (11) і (12)

= (B1 \ {a0e}È {a1e}.

Із (11) і (12) випливає , що {a1e} Ì B1, а тому j(B) = B1. Отже, f є бієкцією множини B на множину B1, і тепер образом j(A) множини A є підмножина множини A, бо елемент e відображається сам у себе. Одержано протиріччя, бо, як показано раніше, це неможливо. А тому B є скінченною множиною.  ◄

4. Кожна скінченна непорожня множина, що відмінна від одиничної, є об'єднанням скінченної множини попарно різних одиничних множин.

► Ця властивість випливає з того, що коли A – довільна непорожня множина, яка відмінна від одиничної, то її можна записати так:

  ◄

Наступні три властивості наведемо без доведення.

5. Об'єднання довільних скінченних множин A і B є множина скінченна.

6. Об'єднання довільної скінченної сукупності скінченних множин є множина скінченна.

7. Для довільних скінченних множин A і B має місце одне і тільки одне із відношень:

A ~ B,

A ~ B1, B1 Ì B і B1 ≠ B,

B ~ A1, A1 Ì A і A1 ≠ A.

Для довільних множин ця властивість місця не має. Для них має місце властивість, яка виражається наступною теоремою, що називається теоремою Кантора – Бернштейна.

Теорема. Якщо кожна з двох множин рівнопотужна власній підмножині другої, то ці множини рівнопотужні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32870. РЕВОЛЮЦИЯ И РЕФОРМА 79.5 KB
  Современные ученые выделяют несколько видов революции: социальная экономическая политическая культурная идеологическая и т. По Марксу социальные революции являются выражением сущности естественно исторического процесса развития общества. Открытый марксизмом закон социальной революции указывает на объективную необходимость в смене одной общественноэкономической формации другой более прогрессивной. Спенсер сравнивал социальные революции с голодом бедствиями повальными болезнями проявлениями неповиновения и “агитацией разросшейся до...
32871. РУССКАЯ АКСИОЛОГИЯ 49.78 KB
  Проблемы ценностей в философии Человека интересует не просто истина а значение объекта для человека для удовлетворения его потребностей. Философские направления XX в выдвигают проблему ценностей на первый план. Выработка ценностей: Часть ценностей человек приобретает по наследству от тех традиций в которые он попал в результате рождения. Интерпритация всегда есть переплавка старых ценностей в новые установки.
32872. ИЛЬИН Иван Александрович 25.84 KB
  усматривал главный порок Человека началасередины 20 века во внутренней расколотости в противоречии между разумом умом рассудком и чувствами душой сердцем. Но в выборе направления движения и основных целях его он был прав поскольку без обретения свободы преодоление тоталитарного отчуждения человека его освобождение невозможно и немыслимо. искал пути к снятию противоречий к такой схеме их взаимодействий при которой отедельные части оппозиции становятся разными проявлениями одних и тех же проблем в существовании человека. Пол это...
32873. ФИЛОСОФИЯ КАК МИРОВОЗЗРЕНИЕ. ПРЕДМЕТ ФИЛОСОФИИ 37.61 KB
  ПРЕДМЕТ ФИЛОСОФИИ. ОСНОВНОЙ ВОПРОС ФИЛОСОФИИ. Главное отличие философии от всех иных наук заключается в том что философия является теоретическим мировоззрением предельным обобщением ранее накопленных человечеством знаний. Предмет философии шире предмета исследования любой отдельной науки философия обобщает интегрирует иные науки но не поглощает их не включает в себя все научное знание не стоит над ним.
32874. МИФОЛОГИЯ КАК МИРОВОЗЗРЕНИЕ. ПЕРВОБЫТНАЯ МИФОЛОГИЯ. РЕЛИГИЯ КАК МИРОВОЗЗРЕНИЕ 57.06 KB
  Как правило мифы пытаются дать ответ на следующие основные вопросы: происхождение Вселенной Земли и человека; объяснение природных явлений; жизнь судьба смерть человека; деятельность человека и его достижения; вопросы чести долга этики и нравственности. Религия форма мировоззрения основанная на вере в наличие фантастических сверхъестественных сил которые влияют на жизнь человека и окружающий мир. При религиозном мировоззрении для человека характерна чувственная образноэмоциональная а не рациональная форма восприятия...
32875. АНТИЧНАЯ ФИЛОСОФИЯ. ПИФАГОР, СОКРАТ, ПЛАТОН, АРИСТОТЕЛЬ, ДЕМОКРИТ, ЭПИКУР 64.08 KB
  Подобно тому как математик ставит вопрос что такое единица и дает довольнотаки сложное определение этого казалось бы простейшего понятия так и философ с глубокой древности задается проблемой: что такое бытие что значит быть Эта специфика философии проливает известный свет и на вопрос о том почему и когда философия возникает. Философ ставит все это под сомнение но делает это для того чтобы докопаться до подлинных корней из которых растет сама данная традиция; в этом и состоит смысл его вопроса: что значит быть что такое бытие А...
32876. СРЕДНЕВЕКОВАЯ ФИЛОСОФИЯ. ОТЦЫ ЦЕРКВИ. ВАСИЛИЙ ВЕЛИКИЙ, ГРИГОРИЙ БОГОСЛОВ, ИОАНН ЗЛАТОУСТ, ФОМА АКВИНСКИЙ, ГРИГОРИЙ ПАЛАМА. РЕАЛИЗМ И НОМИНАЛИЗМ 45.65 KB
  которое признавало Бога в качестве высшего существующего начала а весь окружающий мир Его творения. 50 Можно выделить следующие основные черты средневековой теологической философии: теоцентризм главной причиной всего сущего высшей реальностью основным предметом философских исследований являлся Бог; изучению самого по себе космоса природы явлений окружающего мира уделялось мало внимания так как они считались творением Бога; господствовали догматы истины не нуждающиеся в доказательствах о творении всего Богом и откровении...
32877. Географическая среда в развитие общества. Географическое направление в обществоведении 41.93 KB
  Географическая среда в развитие общества. В более узком смысле это часть материи за исключением общества т. Географическая среда имеет историческую обусловленность и расширяется с развитием общества. Географическая среда является важным фактором развития общества: Она влияет на разделение труда на размещение отраслей производства что изучается экономической географией; Она влияет на темпы развития общества может быть боле или менее благоприятной; Она опосредованно влияет на характер политических систем что изучается...
32878. Материальное производство. Труд. Производительные силы. Технологический способ труда. Технократическое направление в обществоведении 41.14 KB
  Технологический способ труда. Лишь для земледельческого труда делалось некоторое исключение. Средневековую цивилизацию многие историки культуры трактуют как цивилизацию труда. ознаменовался новым сдвигом в социальном статусе и образе труда.