18285

МНОЖИНА ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 12 МНОЖИНА ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ Натуральне число як спільна властивість класу скінченних непорожніх рівнопотужних множин. Поняття про нуль. Множина цілих невід’ємних чисел. Відношення рівності€ на множині цілих невід’ємних чисел та його властив

Украинкский

2013-07-07

53.5 KB

32 чел.

Лекція 12

МНОЖИНА ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

  1.  Натуральне число як спільна властивість класу скінченних непорожніх рівнопотужних множин. Поняття про нуль. Множина цілих невід’ємних чисел.
  2.  Відношення „рівності” на множині цілих невід’ємних чисел та його властивості.
  3.  Відношення „менше” і „більше” на множині цілих невід’ємних чисел та їх властивості.
  4.  Формування поняття про ціле невід’ємне число в початковому курсі математики.

  1.  Натуральне число як спільна властивість класу скінченних непорожніх рівнопотужних множин. Поняття про нуль.

Множина цілих невід’ємних чисел

Користуючись відношенням рівнопотужності, яке, як відомо, є відношенням еквівалентності, сукупність скінченних непорожніх множин можна розбити на класи рівнопотужних множин.

Кожний такий клас містить множини, природа елементів яких може бути найрізноманітнішою, і єдине спільне, незмінне, що не залежить при переході від однієї до іншої множини того самого класу, є те, що вони мають однакову кількісну характеристику.

Натуральним числом називається клас рівнопотужних скінченних непорожніх множин.

Як відомо, клас рівнопотужних скінченних непорожніх множин називається потужністю множини, яка йому належить, а тому натуральне число може бути означене й так: натуральним числом називається потужність скінченної непорожньої множини.

На інтуїтивному рівні натуральне число – це спільна властивість рівнопотужних скінченних непорожніх множин, яка не залежить ні від природи елементів цих множин, ні від порядку елементів у них. Ця властивість є не чим іншим, як чисельністю або числом елементів скінченної непорожньої множини.

Натуральні числа, які є потужностями скінченних непорожніх множин A, B, C, …, позначаються буквами a, b, c, … і це записується a = |A|, b = |B|, c = |C|, …; читається, наприклад, a = |A|: "число a є потужністю множини A".

Потужність одиничної множини називається одиницею і позначається 1. Отже, 1 := |E|, де E – одинична множина.

Усі натуральні числа складають множину натуральних чисел, її позначають N.

Потужність порожньої множини називається нулем і позначається 0. Значить 0 := |Æ|.

Множина, елементами якої є всі натуральні числа і число нуль, називається множиною цілих невід'ємних чисел і позначається N0, а її елементи – цілими невід'ємними числами. Таким чином,

N0 := N È {0}.

На основі означення натурального числа і числа нуль, означення цілого невід'ємного числа можна сформулювати так: цілим невід'ємним числом називається потужність скінченної множини.

Зауваження 1. Іноді у науковій літературі число нуль теж називають натуральним числом, а цілі невід'ємні числа – натуральними числами.

Домовимося для скорочення запису у розділі "Цілі невід'ємні числа" замість терміну "ціле невід'ємне число" вживати термін "число".

  1.  
    Відношення „рівності” на множині цілих невід’ємних

чисел та його властивості

Цілі невід'ємні числа a і b називаються рівними (записується a = b), якщо множини, для яких ці числа є потужностями, рівнопотужні, і нерівними (записується a ≠ b), якщо відповідні їм множини нерівнопотужні.

Теорема 1. Відношення рівності на множині цілих невід'ємних чисел є відношенням еквівалентності.

Кожному класу рівнопотужних скінченних множин ставиться у відповідність єдине ціле число, яке є потужністю будь-якої множини цього класу, при цьому різним класам ставляться у відповідність різні числа. Але й кожному цілому невід'ємному числу ставиться у відповідність єдиний клас рівнопотужних скінченних множин, для представників якого воно є потужністю. Цим самим встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною різних класів рівнопотужних скінченних множин і множиною цілих невід'ємних чисел.

Кожній скінченній множині ставиться у відповідність єдине ціле невід'ємне число, яке є її потужністю, але кожному цілому невід'ємному числу, за винятком нуля, можна поставити у відповідність не одну скінченну множину, тому що клас рівнопотужних скінченних множин містить безліч множин. У зв'язку з цим, при встановленні тверджень про властивості цілих невід'ємних чисел, які ґрунтуються на властивостях множин, потрібно доводити, що їх суть не залежить від вибору множин-представників, для яких цілі невід'ємні числа є потужностями. Це дає можливість оперувати у міркуваннях про числа множинами довільної природи.

Можна показати, що відношення рівності і нерівності на множині цілих невід'ємних чисел не залежать від вибору множин-представників.

У шкільному курсі математики поняття натурального числа розглядається як спільна властивість класу скінченних рівнопотужних непорожніх множин, а нуль, як потужність порожньої множини (звичайно без теоретико-множинної термінології). Коли учні вивчають число "один" для прикладу на сторінках підручника даються зображення одного яблука, одного хлопчика і т. д.; коли вивчають число "два" – даються зображення різних сукупностей, які містять два елементи: два круги, два кубики і т. д. Це повторюється при вивченні всіх чисел першого десятка і число елементів у сукупностях встановлюється за допомогою лічби.

  1.  Відношення „менше” і „більше” на множині цілих

невід’ємних чисел та їх властивості

Для довільних цілих невід'ємних чисел a і b число a, яке є потужністю множини A, називається меншим числа b, що є потужністю множини B (позначається a < b), якщо у множині B знайдеться відмінна від неї підмножина B1, рівнопотужна множині A.

" ab Î N0: a < b: Û $ B1 Ì B: B1 ≠ B Ù A ~ B1, де a = |A|, b = |B|.

Теорема 2. Відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел не залежить від вибору множин-представників.

► Нехай a і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a = |A|, b = |B| i a < b.

Візьмемо довільні множини C ~ A і F ~ B та доведемо, що C ~ F1, де F1 Ì F i F1 ≠ F.

За означенням відношення "менше" маємо

A ~ B1, де B1 Ì B і B1 ¹ B.

Позначимо B2 = B \ B1. Звідси за означенням різниці множин і з того, що B1 Ì B, одержуємо B = B1 È B2 і B1 Ç B2 = Ø.

B ~ F, а тому існує бієкція φ: B → F. У силу теореми 2 § 5 та того, що f бієкція, маємо F = φ(B) = φ(B1 ÈB2) = φ(B1È φ(B2), де F1 = φ(Β1), F2 = φ(B2), F1 Ç F2 = Ø, F1 Ì F, F1 ≠ F, крім того, B1 ~ φ(B1) ~ F1. Але ж A ~ B1 і A ~ C.

Отже, C ~ F1, де F1 Ì F, F1 ≠ F.  ◄

На основі теореми 2 і властивості скінченних множин одержуємо теорему.

Теорема 3. Для довільних цілих невід'ємних чисел a і b має місце одне і тільки одне із відношень

a = b,  a < b,  b < a.

Теорема 4. Відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел транзитивне:

" abc Î N: (a < bÙ (b < c) → (a < c).

► Нехай a, b і c – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a = |A|, b = |B| i c = |C|.

За означенням відношення "менше",

A ~ B1, де B1 Ì B і B1 ¹ B,

B ~ C1, де C1 Ì C і C1 ¹ C.

Оскільки B ~ С1, то існує бієкція φ: B → C1. Позначимо B2 = B \ B1. Звідси та з того, що B1 Ì B, одержуємо B = B1 ÈB2, B1 Ç B2 = Æ і

C1 = φ(B) = φ(B1 È B2) = φ(B1Èφ(B2) = C2 È C3,

де C2 = φ(B1), C = φ(B2) і C2 ∩ C3 = Æ.

Оскільки φ – бієкція, то C2 ~ B1, але B1 ~ A. Тому за транзитивністю відношення рівнопотужності

A ~ C2,  де C2 Ì C  і  C2 ¹ C.

Звідси за означенням відношення "менше" a < c.  ◄

Із теорем 3 і 4 одержуємо наслідок.

Наслідок 1. Відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел є відношенням строгого лінійного порядку, а сама множина N0 з цим відношенням є строго лінійно впорядкованою множиною.

Відношення, обернене до відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел, називається відношенням "більше" (позначається ">"):

" ab Î N0: a > bÛ b < a.

Відношення "менше" і "більше", як взаємно обернені, мають однакові властивості.

Відношення "менше або рівне" (позначається "≤") можна розглядати як об'єднання відношень "менше" і "рівне":

" ab Î N0: (a ≤ b): Û (a = bÚ (a < b).

Відношення "більше або рівне" (позначається "≥") можна розглядати і як об'єднання відношень "більше" і "рівне", і як обернене до відношення "менше або рівне":

" ab Î N0: (a ≥ b): Û (a = bÚ (a > b).

" ab Î N0: (a ≥ b): Û (b ≤ a).

На основі властивостей відношень "рівне і менше" та означень відношень "більше", "менше або рівне" і "більше або рівне" одержуємо наслідок.

Наслідок 2. Відношення "менше або рівне" і "більше або рівне" на множині цілих невід'ємних чисел є відношеннями нестрогого лінійного порядку.

Відношення <, >, ≤ і ≥ часто називаються відношеннями природного порядку на множині цілих невід'ємних чисел, а сама множина цілих невід'ємних чисел з одним із цих відношень – природно впорядкованою. Коли говорять про впорядкованість множини цілих невід'ємних чисел, то мають на увазі одне із відношень природного порядку. Властивості всіх відношень природного порядку випливають із властивостей відношень "менше" і "рівне". От чому надалі розглядаються в основному властивості лише цих двох відношень

  1.  
    Формування поняття про ціле невід’ємне число

в початковому курсі математики

У шкільному курсі математики розглянутий підхід до означення відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел широко використовується при вивченні цілих невід'ємних чисел, особливо при вивченні чисел першого і другого десятків. Порівняння чисел у період ознайомлення з числами від 1 до 5 здійснюється головним чином з опорою на наочність – порівняння двох сукупностей предметів. Наприклад, при введенні запису 3 < 4 проводяться такі міркування: візьмемо 3 голубих і 4 жовтих кружечки і кожний голубий накладемо на жовтий; бачимо, що один жовтий кружечок залишається не накритим, отже, голубих кружечків менше, ніж жовтих, тому можна записати 3 < 4. Відмітимо, що коли a і b є відповідно потужностями множин A і B (кружків, квадратів, паличок і т. д.) і a < b, то виділення у множині B підмножини, рівнопотужної множині A, на практиці проводиться самими різноманітними способами: накладанням, прикладанням, шляхом утворення пар і т. д.

Для чисел же більших 5 порівняння здійснюється на основі лічби: з двох натуральних чисел меншим є те, яке раніше зустрічається при лічбі.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69697. Змінні і масиви. Взаємні переходи 68 KB
  Упаковка змінних в масив. Функція compact() Функція compact() «упаковує» змінні і їх значення в масив. В результаті виходить асоціативний масив, ключами якого є імена, змінних, а значеннями елементів — значення змінних.
69699. СТИЛІ 127 KB
  Стиль HTML - це набір характеристик шрифту, символів і абзацу, застосовуваних до певної частини документа. Застосування стилів дозволяє уникнути необхідності додавання до HTML нових тегів форматування, оскільки нові команди форматування можуть включатись у стиль, а не у HTML-файл.
69700. Групування записів 25 KB
  Оператор SELECT дозволяє групувати значення, що повертаються. Наприклад, клієнт Іванов (C_NO=l) кілька разів замовляв у нас якийсь товар. Означає його номер зустрічається в таблиці ORDERS кілька разів. Інший клієнт також міг зробити декілька замовлень.
69701. КЛЮЧІ 27.5 KB
  В той же час, до цього номер 1 був закріплений за Івановим. У нас вийшло, що один і той же номер зіставлений різним клієнтам. Тепер уявимо, що про це нічого не знає оператор, що знаходиться в магазині. Сидоров замовляє монітор LG, але не оплачує його вчасно...
69702. Функції для роботи з окремими символами 74 KB
  При зміні регістра російських букв можуть виникнути проблеми, уникнути яких допоможе правильна установка локали. Локалью називатимемо сукупність локальних настройок системи, таких як формат дати і часу, мова, кодування.
69703. Спеціальні функції 35 KB
  Ми вже знайомі з технологією Cookies тому знаємо як зберегти поточний номер питання починаючи з якого тест буде продовжений. А як запам’ятати номери питань масив які згенерували для студента Зберегти масив в Cookies ми не можемо зате можна зберегти рядок.
69704. Математичні функції 47.5 KB
  Функція mах() повертає максимальний з переданих їй п аргументів. Наприклад, echo max(7,10, 3,1 $а, $b) виведе 10, якщо значення $а і $Ь менше або рівні 10. Якщо функції переданий один параметр, то він повинен бути масивом, в якому буде вироблений пошук максимального елементу.
69705. Читання і запис в бінарному режимі 53.5 KB
  Для кожного відкритого файлу система зберігає величину яка називається покажчиком поточної позиції файлу. При відкритті файлу цей покажчик встановлюється на початок файлу. З кожним викликом функції читання файлу покажчик поточної позиції зрушується...