18285

МНОЖИНА ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 12 МНОЖИНА ЦІЛИХ НЕВІДЄМНИХ ЧИСЕЛ Натуральне число як спільна властивість класу скінченних непорожніх рівнопотужних множин. Поняття про нуль. Множина цілих невідємних чисел. Відношення рівності€ на множині цілих невідємних чисел та його властив

Украинкский

2013-07-07

53.5 KB

35 чел.

Лекція 12

МНОЖИНА ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

  1.  Натуральне число як спільна властивість класу скінченних непорожніх рівнопотужних множин. Поняття про нуль. Множина цілих невід’ємних чисел.
  2.  Відношення „рівності” на множині цілих невід’ємних чисел та його властивості.
  3.  Відношення „менше” і „більше” на множині цілих невід’ємних чисел та їх властивості.
  4.  Формування поняття про ціле невід’ємне число в початковому курсі математики.

  1.  Натуральне число як спільна властивість класу скінченних непорожніх рівнопотужних множин. Поняття про нуль.

Множина цілих невід’ємних чисел

Користуючись відношенням рівнопотужності, яке, як відомо, є відношенням еквівалентності, сукупність скінченних непорожніх множин можна розбити на класи рівнопотужних множин.

Кожний такий клас містить множини, природа елементів яких може бути найрізноманітнішою, і єдине спільне, незмінне, що не залежить при переході від однієї до іншої множини того самого класу, є те, що вони мають однакову кількісну характеристику.

Натуральним числом називається клас рівнопотужних скінченних непорожніх множин.

Як відомо, клас рівнопотужних скінченних непорожніх множин називається потужністю множини, яка йому належить, а тому натуральне число може бути означене й так: натуральним числом називається потужність скінченної непорожньої множини.

На інтуїтивному рівні натуральне число – це спільна властивість рівнопотужних скінченних непорожніх множин, яка не залежить ні від природи елементів цих множин, ні від порядку елементів у них. Ця властивість є не чим іншим, як чисельністю або числом елементів скінченної непорожньої множини.

Натуральні числа, які є потужностями скінченних непорожніх множин A, B, C, …, позначаються буквами a, b, c, … і це записується a = |A|, b = |B|, c = |C|, …; читається, наприклад, a = |A|: "число a є потужністю множини A".

Потужність одиничної множини називається одиницею і позначається 1. Отже, 1 := |E|, де E – одинична множина.

Усі натуральні числа складають множину натуральних чисел, її позначають N.

Потужність порожньої множини називається нулем і позначається 0. Значить 0 := |Æ|.

Множина, елементами якої є всі натуральні числа і число нуль, називається множиною цілих невід'ємних чисел і позначається N0, а її елементи – цілими невід'ємними числами. Таким чином,

N0 := N È {0}.

На основі означення натурального числа і числа нуль, означення цілого невід'ємного числа можна сформулювати так: цілим невід'ємним числом називається потужність скінченної множини.

Зауваження 1. Іноді у науковій літературі число нуль теж називають натуральним числом, а цілі невід'ємні числа – натуральними числами.

Домовимося для скорочення запису у розділі "Цілі невід'ємні числа" замість терміну "ціле невід'ємне число" вживати термін "число".

  1.  
    Відношення „рівності” на множині цілих невід’ємних

чисел та його властивості

Цілі невід'ємні числа a і b називаються рівними (записується a = b), якщо множини, для яких ці числа є потужностями, рівнопотужні, і нерівними (записується a ≠ b), якщо відповідні їм множини нерівнопотужні.

Теорема 1. Відношення рівності на множині цілих невід'ємних чисел є відношенням еквівалентності.

Кожному класу рівнопотужних скінченних множин ставиться у відповідність єдине ціле число, яке є потужністю будь-якої множини цього класу, при цьому різним класам ставляться у відповідність різні числа. Але й кожному цілому невід'ємному числу ставиться у відповідність єдиний клас рівнопотужних скінченних множин, для представників якого воно є потужністю. Цим самим встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною різних класів рівнопотужних скінченних множин і множиною цілих невід'ємних чисел.

Кожній скінченній множині ставиться у відповідність єдине ціле невід'ємне число, яке є її потужністю, але кожному цілому невід'ємному числу, за винятком нуля, можна поставити у відповідність не одну скінченну множину, тому що клас рівнопотужних скінченних множин містить безліч множин. У зв'язку з цим, при встановленні тверджень про властивості цілих невід'ємних чисел, які ґрунтуються на властивостях множин, потрібно доводити, що їх суть не залежить від вибору множин-представників, для яких цілі невід'ємні числа є потужностями. Це дає можливість оперувати у міркуваннях про числа множинами довільної природи.

Можна показати, що відношення рівності і нерівності на множині цілих невід'ємних чисел не залежать від вибору множин-представників.

У шкільному курсі математики поняття натурального числа розглядається як спільна властивість класу скінченних рівнопотужних непорожніх множин, а нуль, як потужність порожньої множини (звичайно без теоретико-множинної термінології). Коли учні вивчають число "один" для прикладу на сторінках підручника даються зображення одного яблука, одного хлопчика і т. д.; коли вивчають число "два" – даються зображення різних сукупностей, які містять два елементи: два круги, два кубики і т. д. Це повторюється при вивченні всіх чисел першого десятка і число елементів у сукупностях встановлюється за допомогою лічби.

  1.  Відношення „менше” і „більше” на множині цілих

невід’ємних чисел та їх властивості

Для довільних цілих невід'ємних чисел a і b число a, яке є потужністю множини A, називається меншим числа b, що є потужністю множини B (позначається a < b), якщо у множині B знайдеться відмінна від неї підмножина B1, рівнопотужна множині A.

" ab Î N0: a < b: Û $ B1 Ì B: B1 ≠ B Ù A ~ B1, де a = |A|, b = |B|.

Теорема 2. Відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел не залежить від вибору множин-представників.

► Нехай a і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a = |A|, b = |B| i a < b.

Візьмемо довільні множини C ~ A і F ~ B та доведемо, що C ~ F1, де F1 Ì F i F1 ≠ F.

За означенням відношення "менше" маємо

A ~ B1, де B1 Ì B і B1 ¹ B.

Позначимо B2 = B \ B1. Звідси за означенням різниці множин і з того, що B1 Ì B, одержуємо B = B1 È B2 і B1 Ç B2 = Ø.

B ~ F, а тому існує бієкція φ: B → F. У силу теореми 2 § 5 та того, що f бієкція, маємо F = φ(B) = φ(B1 ÈB2) = φ(B1È φ(B2), де F1 = φ(Β1), F2 = φ(B2), F1 Ç F2 = Ø, F1 Ì F, F1 ≠ F, крім того, B1 ~ φ(B1) ~ F1. Але ж A ~ B1 і A ~ C.

Отже, C ~ F1, де F1 Ì F, F1 ≠ F.  ◄

На основі теореми 2 і властивості скінченних множин одержуємо теорему.

Теорема 3. Для довільних цілих невід'ємних чисел a і b має місце одне і тільки одне із відношень

a = b,  a < b,  b < a.

Теорема 4. Відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел транзитивне:

" abc Î N: (a < bÙ (b < c) → (a < c).

► Нехай a, b і c – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a = |A|, b = |B| i c = |C|.

За означенням відношення "менше",

A ~ B1, де B1 Ì B і B1 ¹ B,

B ~ C1, де C1 Ì C і C1 ¹ C.

Оскільки B ~ С1, то існує бієкція φ: B → C1. Позначимо B2 = B \ B1. Звідси та з того, що B1 Ì B, одержуємо B = B1 ÈB2, B1 Ç B2 = Æ і

C1 = φ(B) = φ(B1 È B2) = φ(B1Èφ(B2) = C2 È C3,

де C2 = φ(B1), C = φ(B2) і C2 ∩ C3 = Æ.

Оскільки φ – бієкція, то C2 ~ B1, але B1 ~ A. Тому за транзитивністю відношення рівнопотужності

A ~ C2,  де C2 Ì C  і  C2 ¹ C.

Звідси за означенням відношення "менше" a < c.  ◄

Із теорем 3 і 4 одержуємо наслідок.

Наслідок 1. Відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел є відношенням строгого лінійного порядку, а сама множина N0 з цим відношенням є строго лінійно впорядкованою множиною.

Відношення, обернене до відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел, називається відношенням "більше" (позначається ">"):

" ab Î N0: a > bÛ b < a.

Відношення "менше" і "більше", як взаємно обернені, мають однакові властивості.

Відношення "менше або рівне" (позначається "≤") можна розглядати як об'єднання відношень "менше" і "рівне":

" ab Î N0: (a ≤ b): Û (a = bÚ (a < b).

Відношення "більше або рівне" (позначається "≥") можна розглядати і як об'єднання відношень "більше" і "рівне", і як обернене до відношення "менше або рівне":

" ab Î N0: (a ≥ b): Û (a = bÚ (a > b).

" ab Î N0: (a ≥ b): Û (b ≤ a).

На основі властивостей відношень "рівне і менше" та означень відношень "більше", "менше або рівне" і "більше або рівне" одержуємо наслідок.

Наслідок 2. Відношення "менше або рівне" і "більше або рівне" на множині цілих невід'ємних чисел є відношеннями нестрогого лінійного порядку.

Відношення <, >, ≤ і ≥ часто називаються відношеннями природного порядку на множині цілих невід'ємних чисел, а сама множина цілих невід'ємних чисел з одним із цих відношень – природно впорядкованою. Коли говорять про впорядкованість множини цілих невід'ємних чисел, то мають на увазі одне із відношень природного порядку. Властивості всіх відношень природного порядку випливають із властивостей відношень "менше" і "рівне". От чому надалі розглядаються в основному властивості лише цих двох відношень

  1.  
    Формування поняття про ціле невід’ємне число

в початковому курсі математики

У шкільному курсі математики розглянутий підхід до означення відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел широко використовується при вивченні цілих невід'ємних чисел, особливо при вивченні чисел першого і другого десятків. Порівняння чисел у період ознайомлення з числами від 1 до 5 здійснюється головним чином з опорою на наочність – порівняння двох сукупностей предметів. Наприклад, при введенні запису 3 < 4 проводяться такі міркування: візьмемо 3 голубих і 4 жовтих кружечки і кожний голубий накладемо на жовтий; бачимо, що один жовтий кружечок залишається не накритим, отже, голубих кружечків менше, ніж жовтих, тому можна записати 3 < 4. Відмітимо, що коли a і b є відповідно потужностями множин A і B (кружків, квадратів, паличок і т. д.) і a < b, то виділення у множині B підмножини, рівнопотужної множині A, на практиці проводиться самими різноманітними способами: накладанням, прикладанням, шляхом утворення пар і т. д.

Для чисел же більших 5 порівняння здійснюється на основі лічби: з двох натуральних чисел меншим є те, яке раніше зустрічається при лічбі.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39918. Модель парной линейной регрессии 531.5 KB
  Этот коэффициент характеризует степень финансового риска проекта для собственников предприятия и кредиторов и обычно анализируется банками при решении вопроса о предоставлении долгосрочного кредита; коэффициент покрытия долгосрочных обязательств отношение чистого прироста свободных средств сумма чистой прибыли после уплаты налога амортизации и чистого прироста собственных и заемных средств за вычетом осуществленных в отчетном периоде инвестиций к величине платежей по долгосрочным обязательствам погашение займов проценты по ним. Для...
39919. Модели сетевого планирования и управления, назначения, область применения и основные характеристики 66.75 KB
  Сетевой моделью СМ называется экономикоматематическая модель отражающая весь комплекс работ и событий связанных с реализацией проекта в их логической и технологической последовательности и связи. Модели сетевого планирования и управления модели СПУ предназначены для планирования и управления сложными комплексами работ проектами направленными на достижение определенной цели в заданные сроки строительство разработка и производство сложных объектов и др. Область применения: сетевое планирование позволяет осуществлять анализ проекта...
39922. ТИПОЛОГО-ТЕХНОЛОГІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ НОВИХ МЕДІА В УКРАЇНІ 77.5 KB
  Зміни у сучасній інформаційній системі не носять тотального характеру що обумовлено економічною нестабільністю як усієї країни взагалі так і розвитком окремих підприємств. У той же час стає очевидною необхідність формулювання нової структури системи масмедіа і внесення істотних змін із зазначеного питання до журналістських підручників. Як правило до складових системи засобів масової інформації відносять газети радіо телебачення....
39923. Інтернет-медіа як новий вид ЗМІ 66.5 KB
  Городенко Інтернетмедіа як новий вид ЗМІ Твердження про те що сучасний світ переходить від індустріального суспільства з його автомобілями і машинами до нового інформаційного побудованого на компютерах та мережах це вже не гіпотеза чи позиція Д. Нині ця концепція втілена у сучасній мережі Інтернет. Інтернет як сегмент інформаційного ринку сформувався досить недавно сучасний інтерфейс існує трохи більше десяти років2 і перебуває на стадії активного розвитку і поширення.
39924. Пошук знань 93 KB
  Інструменти для корпоративних масивів Отже на жорстких дисках окремих компютерів або на серверах в корпоративних мережах накопичуються величезні масиви документів навігація в яких із зрозумілих причин утруднена. Для забезпечення комфортності роботи із такими масивами документів зазвичай намагаються класифікувати розподілити їх по тематичних папка або каталогах. Поряд з пошуком великого значення набувають завдання угрупування тематично близьких документів автоматичного реферування перекладу виявлення ключових понять проведення...
39925. Що таке WEB 2.0 350.5 KB
  0 Усього лише декілька років тому цього терміну не існувало в природі зараз пошукова система Google видає мільйони посилань на документи де згадується поняття Web 2. Він пророчив WiFi пошукову систему Google і книжковий магазин mzon при цьому студенти які зробили Yhoo пропонували купити у них цей сайт за мільйон але О'Рейллі поскупився. Google Ще недавно це була просто фантастична success story і саме яскраве досягнення доткоміндустрії а зараз взагалі невідомо як до неї ставитися: ще трохи і Google все охопить. Google випустив...
39926. СЕМАНТИЧНИЙ ВЕБ 122 KB
  Тому подальший розвиток Internet багато вчених повязують з концепцією Семантичного Web Semntic Web яка багато в чому завдяки уніфікації обміну даними імовірно дасть можливість інтегрувати в Internet навіть обєкти реального світу Концепцію Семантичного Web висунув Тім БернерсЛі один з основоположників World Wide Web і голова консорціуму W3C на міжнародній конференції XML2000 що відбулася у 2000 році у Вашингтоні. В процесі реалізації концепції Семантичного Web отримали широкий розвиток синтаксичні методи представлення інформації...