18286

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 13 ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ Означення суми цілих невід’ємних чисел через об’єднання множин. Існування і єдність суми. Операція додавання цілих невід’ємних чисел та їх властивості. Формування понять суми і додавання в початкові...

Украинкский

2013-07-07

74 KB

78 чел.

Лекція 13

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

  1.  Означення суми цілих невід’ємних чисел через об’єднання множин. Існування і єдність суми.
  2.  Операція додавання цілих невід’ємних чисел та їх властивості.
  3.  Формування понять суми і додавання в початковій школі.
  4.  Означення різниці цілих невід’ємних чисел через доповнення. Існування і єдність різниці.
  5.  Операція віднімання цілих невід’ємних чисел. Зв’язок віднімання з додаванням. Правила віднімання числа від суми і суми від числа.
  6.  Формування понять різниці і віднімання в початковому курсі математики.

  1.  Означення суми цілих невід’ємних чисел через об’єднання множин. Існування і єдність суми

Операція додавання цілих невід'ємних чисел пов'язана з об'єднанням множин.

Сумою довільних цілих невід'ємних чисел a і b (позначається a + b) називають потужність об'єднання множин A і B, які не перетинаються і мають своїми потужностями відповідно числа a і b:

" ab Î N0: a + b = |A È B|, де A ∩ B = Æ, a = |A| і b = |B|.

На основі теореми 5 § 5 можна довести, що сума довільних двох цілих невід'ємних чисел не залежить від множин-представників.

За властивостями скінченних множин об'єднання двох скінченних множин є скінченною множиною, а тому сума довільних двох цілих невід'ємних чисел є цілим невід'ємним числом.

Оскільки об'єднання множин завжди існує і визначається однозначно, то й сума двох довільних цілих невід'ємних чисел завжди існує і визначається однозначно. Отже, доведено теорему.

Теорема 5. Сума двох довільних цілих невід'ємних чисел є цілим невід'ємним числом. Вона завжди існує і визначається однозначно.

Із теореми 5 одержуємо наслідок.

Наслідок 3. Сума довільного цілого невід'ємного і натурального чисел є натуральним числом.

Наслідок 4. Властивість нуля при додаванні:

" a Î N0: a + 0 = 0 + a = a.

  1.  Операція додавання цілих невід’ємних чисел та їх властивості

Операція на множині цілих невід'ємних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться у відповідність їх сума a + b, називається додаванням цілих невід'ємних чисел. Компоненти додавання називаються доданками, а результат  сумою.

На основі означення додавання і властивостей операції об'єднання множин одержуються властивості додавання, які сформульовані у наступній теоремі.

Теорема 6. Операція додавання цілих невід'ємних чисел:

комутативна: " ab Î N0: a + b = a + b.

асоціативна: " abc Î N0: (a + b) + c = a + (b + c);

монотонна відносно відношення рівності:

" abc Î N0: a = b → a + c = b + c.

Користуючись додаванням цілих невід'ємних чисел, можна по-іншому дати означення відношення "менше". Підставою є наступна теорема.

Теорема 7. Для довільних цілих невід'ємних чисел a і b a < b тоді і тільки тоді, коли існує натуральне число x таке, що a + x = b, де a = |A| і b = |B|.

► І. Нехай a і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a < b. Тоді за означенням відношення "менше" A ~ B1, де B1 Ì B і B1 ¹ B. Якщо покласти B2 = B \ B1, то на основі того, що B1 Ì B і B1 ¹ B, одержимо, що B = B1 È B2, B1 ∩ B2 = Æ і B2 ≠ Æ.

Отже, за означенням суми |B| = |B1| + |B2|, тобто b = a + x, де x = |B2| і x Î N.

ІІ. Нехай a і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що існує натуральне число x, яке задовольняє умові a + x = b. Розглянемо множини A і X такі, що a = |A|, x = |X|, A ∩ X = Æ і X ≠ Æ. Тоді, покладаючи B = A È X, одержуємо A ~ A, A Ì B і A ≠ B. Звідси за означенням відношення "менше" дістанемо a < b.  ◄

На основі теореми 7 можна дати таке означення: для довільних цілих невід'ємних чисел a і b число a називається меншим числа b, якщо існує натуральне число x таке, що a + x = b.

" ab Î N0: a < bÛ $ x Î N: a + x = b.

Цим означенням зручно користуватися при доведеннях. За його допомогою доводяться наступні теореми.

Теорема 8. Операція додавання цілих невід'ємних чисел монотонна відносно відношень порядку, зокрема

" abc Î N0: a < b: → a + c < b + c.

Теорема 9 (правила скорочення для додавання). Для додавання цілих невід'ємних чисел мають місце правила скорочення:

відносно відношення рівності

" abc Î N0: a + c = b + c → a = b.

відносно відношень порядку, зокрема

" abc Î N0: a + c < b + c → a < b.

  1.  
    Формування понять суми і додавання в початковій школі

Поняття суми двох цілих невід'ємних чисел узагальнюється на довільну скінченну сукупність чисел.

Сумою довільних цілих невід'ємних чисел a1, a2, …, an (позначається a1 + a2 + … + an або ) називається потужність об'єднання множин A1, A2, …, An, які попарно не перетинаються і потужностями яких є відповідно числа a1, a2, …, an.

Власне з вивчення множини цілих невід'ємних чисел (спочатку без теоретичних обґрунтувань) і розпочинається шкільний курс математики. У початковому курсі математики означення суми цілих невід'ємних чисел не дається, а описується на основі практичних вправ, пов'язаних з об'єднанням двох скінченних множин (природно, без використання термінології і символіки), при цьому число елементів у даних множинах і їх об'єднанні найчастіше на перших кроках знаходиться шляхом переліку. Головним шляхом розкриття теоретико-множинного змісту додавання є розв'язування простих задач.

Значна увага у початковому курсі математики приділяється комутативному закону додавання – у школі його називають переставним законом. Правило про перестановку доданків вивчається у першому класі, а його виведення неявно ґрунтується на комутативності об'єднання множин. Пізніше появляється запис a + b = b + a.

Асоціативний закон у початковій школі також явно не вивчається, але використовується у комбінації з комутативним законом при вивченні правил додавання числа до суми і суми до числа. Наприклад, правило додавання числа до суми вводиться при розгляді суми виду (4 + 3) + 2. Вона може бути знайдена одним із способів:

(4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;

(4 + 3) + 2 = 4 + (3 + 2) = 4 + 5 = 9;

(4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9.

Аналізуючи ці випадки, бачимо, що випадки 1) і 2) ґрунтуються на використанні асоціативного закону додавання; у випадку 3) застосовано асоціативний і комутативний закони додавання, причому без обґрунтування проміжних тверджень. Детальне обґрунтування перетворень у випадку 3) можна провести так: до суми (4 + 3) + 2 застосуємо асоціативний закон, одержимо 4 + (3 + 2). На основі комутативного закону одержимо 4 + (2 + 3), і, нарешті, скориставшись асоціативним законом, маємо (4 + 2) + 3.

  1.  Означення різниці цілих невід’ємних чисел через доповнення. Існування і єдність різниці

Операція віднімання цілих невід'ємних чисел у кількісній теорії цілих невід'ємних чисел пов'язана з доповненням підмножини до множини, тобто з відніманням множин.

Різницею довільних цілих невід'ємних чисел a і b (позначається a – b) називається потужність доповнення підмножини B до множини A, де число a є потужністю множини A, а число b є потужністю множини B:

" ab Î N0: a – b: = |A \ B|, де a = |A|, b = |B| і B Ì A.

Можна показати, що означена так різниця не залежить від вибору множин-представників. Оскільки для довільних множин, у тому числі і для скінченних, A \ B Ì A, то різниця цілих невід'ємних чисел a і b, які є потужностями множин A і B, де B Ì A, є цілим невід'ємним числом і існує тільки при a ≥ b.

Різницю двох цілих невід'ємних чисел можна визначити через суму. Нехай a і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a = |A|, b = |B| і B Ì A. За означенням різниці a – b = |A \ B|. Оскільки у цьому випадку (A \ BÈB = A і (A \ B) ∩ B = Æ, то за означенням суми цілих невід'ємних чисел |A \ B| + |B| = a, тобто (a – b) + b = a. Отже, різницею довільних цілих невід'ємних чисел a i b (позначається a – b) називається ціле невід'ємне число x, сума якого з числом b дорівнюватиме числу a, тобто x + b = a або (a – b) + b = b + (a – b) = a.

У більшості випадків більш доцільно користуватися означенням різниці через суму, особливо в доведеннях.

Теорема 10. Для довільних цілих невід'ємних чисел a та b їх різниця існує тоді і тільки тоді, коли a ≥ b. Якщо різниця цілих невід'ємних чисел існує, то вона єдина.

► І. Доведемо існування різниці.

1) Нехай a ≥ b. Можливі два випадки або a = b, або a > b. Якщо a = b, то за властивістю нуля при додаванні будемо мати b + 0 = a. Звідси за означенням різниці одержуємо

a – b = 0.

Якщо ж a > b, то за означенням відношення "більше" дістанемо b  x = a, де x Î N. Звідси за означенням різниці a – b = x.

2) Нехай різниця цілих невід'ємних чисел a та b існує. Покажемо, що a ≥ b. Дійсно, оскільки різниця цілих невід'ємних чисел a і b існує, то за означенням різниці знайдеться ціле невід'ємне число x таке, що b + x = a. Для x можливі два випадки: або x = 0, або x ≠ 0 (тобто, x Î N).

Якщо x = 0, то з того, що b + 0 = a, випливає (за властивістю нуля при додаванні) b = a.

Якщо ж x Î N, то з того, що b + x = a, одержуємо (за означенням відношення "більше") a > b.

А тому маємо, що при існуванні різниці чисел a і b,  a ≥ b.

Отже, існування різниці доведено.

ІІ. Доведемо єдиність різниці. Нехай різниця цілих невід'ємних чисел a і b існує. Припустимо, що a − b = x1, і a – b = x2. Звідси за означенням різниці маємо a = b + x1 і a = b + x2. Отже, b + x1 = b + x2 і за правилом скорочення для додавання одержимо x1 = x2.

Значить, різниця цілих невід'ємних чисел, якщо вона існує, визначається однозначно.  ◄

З доведеної теореми одержуємо наслідок.

Наслідок 5.

" a Î N0: a – 0 = a;

" a Î N0: a – a = 0.

Теорема 10 є теоретичною основою наступного означення.

  1.  Операція віднімання цілих невід’ємних чисел. Зв’язок віднімання з додаванням. Правила віднімання числа від суми і суми від числа

Операція у множині цілих невід'ємних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться у відповідність їх різниця a – b, називається відніманням цілих невід'ємних чисел. Компоненти віднімання називаються: перша – зменшуваним, друга – від'ємником, а результат – різницею.

На підставі означення різниці через суму одержуємо, що віднімання цілих невід'ємних чисел є оберненою операцією до додавання. А теорема 10 показує, що віднімання є частковою операцією для цілих невід'ємних чисел.

Теорема 11 (правило віднімання числа від суми). Для довільних невід'ємних чисел a, b і c, якщо відповідні різниці існують, то мають місце рівності:

(a + b) – c = a + (b – c) = (a – c) + b.

► Нехай має місце умова теореми. Доведемо, що тоді істинною є рівність

(a + b) – c = a + (b – c).

(1)

Позначимо праву частину рівності (1) через x, тобто

a + (b – c) = x.

(2)

Тоді будемо мати

a + (b – c) = x за означенням різниці

b – c = x – a за означенням різниці

b = (x – a) + c за монотонністю додавання

a + b = a + ((x – a) + c) за асоціативністю додавання

a + b = (a + (x – a)) + c за означенням різниці

a + b = x + c за означенням різниці

(a + b) – c = x.

(3)

З рівностей (2) і (3) одержуємо

(a + b) – c = a + (b – c), тобто рівність (1).

Другу частину даної теореми легко одержати, скориставшись комутативністю додавання та доведеною першою частиною.  ◄

Теорему 11 можна узагальнити на довільне скінченне число доданків.

При умові існування відповідних різниць, щоб відняти число від суми кількох доданків, достатньо відняти його від одного з них і одержану різницю додати до суми решти доданків.

Аналогічно до попередньої теореми доводиться наступна теорема.

Теорема 12 (правило віднімання суми від числа). Для довільних цілих невід'ємних чисел a, b і c, якщо існують відповідні різниці, то має місце рівність:

a – (b + c) = (a – b) – c = (a – c) – b.

Теорема 12 також узагальнюється на довільне скінченне число доданків.

При умові існування відповідних різниць, щоб відняти суму від числа, достатньо відняти від цього числа один із доданків, від одержаної різниці відняти ще один із доданків, що залишився, і т. д. поки не віднімемо останній доданок.

Теореми 11 і 12 можна також довести, скориставшись теоретико-множинним підходом до побудови множини цілих невід'ємних чисел. Його ж покладають в основу обґрунтування вибору операцій при розв'язуванні арифметичних задач.

Задача. На основі теоретико-множинного підходу до побудови множини цілих невід'ємних чисел обґрунтувати вибір операцій при розв'язуванні задачі.

Брат і сестра збирали гриби. Брат знайшов 32 гриби, а сестра на 5 грибів менше. Скільки грибів знайшли брат і сестра разом?

► Задача зводиться до знаходження потужності об'єднання двох скінченних множин A і B, які є множинами грибів, що зібрали відповідно брат і сестра. Оскільки A ∩ B = Æ, то за означенням суми цілих невід'ємних чисел |A È B| = |A| + |B|, де |A| = 32, а потужність множини B невідома.

Оскільки сестра зібрала на 5 грибів менше, то множина B рівнопотужна множині A1, яка є власною підмножиною множини A. Отже, множина A = A1 È A2, де A2 = A \ A1 і множини A1 та A2 не перетинається, причому |A2| = 5. Звідси A1 = A \ A2 і за означенням різниці |A1| = |A|  |A2| = |B| = 32 – 5 = 27. Отже, |A È B| = 32 + 27 = 59.

Відповідь: брат і сестра зібрали разом 59 грибів.  ◄

  1.  Формування понять різниці і віднімання в

початковому курсі математики

У шкільній математиці віднімання вводиться на основі практичних вправ, пов'язаних з виділенням підмножини даної множини і утворення нової множини – доповнення виділеної підмножини. При цьому, звичайно, теоретико-множинна символіка і термінологія не використовуються, а число елементів підмножини і її доповнення знаходяться способом переліку. Головним засобом розкриття теоретико-множинного смислу віднімання є розв'язування простих задач.

Зв'язок віднімання з додаванням встановлюється при розгляді теми "як знайти невідомий доданок". Означення віднімання, як операції оберненої до додавання, в явному виді не дається, але постійно використовується. Правила віднімання числа від суми і суми від числа вводяться ще у першому класі, по суті, на теоретико-множинній основі. Приклади, які розглядаються при цьому, ілюструються наочністю.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19692. Творческий путь А. А. Фета. Своеобразие поэзии и литературной позиции 27.5 KB
  Творческий путь А. А. Фета. Своеобразие поэзии и литературной позиции. А. А. Фет 1820 1892. Первый сборник стихотворений Лирический Пантеон вышел в Москве в 1840 г.. В сборнике преобладали баллады и антологические стихотворения т.е. стилизации под античную поэзию; в воспеван...
19693. Драматургия А. Н. Островского: поэтика, эволюция 28.5 KB
  Драматургия А. Н. Островского: поэтика эволюция. Островский 1823 1886 пришел в литературу как создатель национальносамобытного театрального стиля опирающегося в поэтике на фольклорную традицию. Это оказалось возможно потому что он начинал с изображения патриархальных...
19694. Творческий путь Салтыкова-Щедрина 27.5 KB
  Творческий путь СалтыковаЩедрина. СалтыковЩедрин 1826 1889 родился в семье богатых помещиков. С детских лет он стал свидетелем страшных картин крепостнического произвола что оказало определяющее влияние на формирование его взглядов. В 1841 г. опубликована первое стихо...
19695. Салтыков как сатирик 30 KB
  Салтыков как сатирик. Сказки написаны с 1869 по 1886 г. Выбрал жанр сказки не случайно. В качестве причин его интереса можно назвать: условия цензуры; воздействие на писателя фольклорной и литературной традиции; появление нового читателя представляющего демо
19696. Историческая концепция в «Истории одного города» 39.5 KB
  Историческая концепция в Истории одного города Если историческая концепция и существует то это очень странная концепция. Одной фразой ее можно выразить так: история могла бы существовать но ее не возникло. То что происходило на протяжении огромного количества вре...
19697. Историческая концепция в «Истории одного города» вповести М.Е. Салтыкова-Щедрина 32 KB
  Историческая концепция в Истории одного города. Повесть М. Е. СалтыковаЩедрина €œИстория одного города€ представляет собой цикл рассказов не связанных между собой сюжетом или одними и теми же героями но объединенных в одно произведение ввиду общей цели сатиричес...
19698. Творческий путь Лескова 30 KB
  Творческий путь Лескова. Н. С. Лесков 18311895 известен прежде всего как прозаик автор множества романов повестей рассказов. Однако свой творческий путь он начал с публицистики. Будучи выходцем из семьи небогатого орловского чиновника Лесков рано поступил на службу в Ор...
19699. Своеобразие поэтики Лескова 43.5 KB
  Своеобразие поэтики Лескова Что касается собственного творчества писатель шел против течений. Он любит жанры новеллы и анекдота в основе которых новость неожиданность т.е. то что вступает в противоречие с привычным взглядом на вещи. Лесков стремился не
19700. Творческий путь Достоевского. Поэтика романов 33.5 KB
  Творческий путь Достоевского. Поэтика романов. Достоевский учился в Инженерном училище. Там Достоевский начал писать трагедии от которых сохранились только названия: Борис Годунов и Мария Стюарт. Настоящий дебют в литературе повесть в письмах иногда называет