18287

МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 14 МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ Означення добутку цілих невід’ємних чисел через декартів добуток множин. Існування і єдність добутку. Означення добутку цілих невід’ємних чисел через суму. Операція множення цілих невід’ємних чисел та...

Украинкский

2013-07-07

85 KB

65 чел.

Лекція 14

МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

  1.   Означення добутку цілих невід’ємних чисел через декартів добуток множин. Існування і єдність добутку.
  2.  Означення добутку цілих невід’ємних чисел через суму.
  3.  Операція множення цілих невід’ємних чисел та її властивості.
  4.  Формування понять добутку і множення в початковому курсі математики.
  5.  Означення частки цілих невід’ємних чисел через розбиття множини на класи рівнопотужних множин. Означення частки через добуток. Існування і єдність частки.
  6.  Операція ділення цілих невід’ємних чисел. Зв’язок ділення з множенням.
  7.  Основна властивість частки. Правила ділення суми, різниці і добутку на натуральне число.
  8.  Формування частки і ділення в початковій школі.

б) Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел.

  1.  Означення добутку цілих невід’ємних чисел через декартів добуток множин. Існування і єдність добутку

Операція множення цілих невід'ємних чисел у кількісній теорії пов'язана з декартовим множенням множин.

Добутком довільних цілих невід'ємних чисел a і b (позначається a·b) називається потужність декартового добутку множин A і B, потужностями яких є відповідно числа a і b:

" ab Î N0: a·b := |A ´ B|, де a = |A|, b = |B|.

Теорема 1. Означення добутку двох цілих невід'ємних чисел не залежить від вибору множин-представників.

► Нехай a і b – довільні цілі невід'ємні числа.

Якщо хоч одне з них дорівнює нулю, то в цьому випадку теорема очевидна. А тому будемо доводити теорему, коли числа a і b є натуральними.

Нехай a = |A| і b = |B|. Візьмемо довільні множини C і D такі, що A ~ C і B ~ D. За означенням рівнопотужності множин існують бієкції f: A → C i g: B → D. Розглянемо відношення φ між елементами множин A ´ B і C ´ D означене так: парі (xyΠA ´ B поставимо у відповідність пару (uvΠC ´ D, де u = f(x) i v = g(y). Неважко довести, що φ є бієкцією множини A ´ B на множину C ´ D, а тому A ´ B ~ C ´ D. Отже, a·b = |A ´ B| = |C ´ D|.  ◄

Теорема 2. Добуток двох довільних цілих невід'ємних чисел є цілим невід'ємним числом. Він завжди існує і визначається однозначно.

► Спочатку доведемо, що добуток двох довільних цілих невід'ємних чисел є цілим невід'ємним числом.

Нехай a і b – довільні цілі невід'ємні числа, де a = |A| і b = |B|. Розглянемо різні випадки.

1. Принаймні одне з чисел a або b дорівнює нулю, тоді хоча б одна з множин A або B є порожньою множиною. Тоді порожньою множиною є і їх декартів добуток. Отже, за означенням добутку цілих невід'ємних чисел будемо мати

a·b = |A ´ B| = |Æ| = 0.

2. Числа a і b є натуральними, причому одне з них, наприклад b = 1. Множини A та B непорожні і B, як одинична, матиме вид B = {y}. Розглянемо множини A ´ B і A та відношення φ між ними, визначене так: парі (xyΠA ´ B ставиться у відповідність елемент x множини A. Це відношення буде бієкцією множини A ´ B на множину A. Отже, A ´ B ~ A, а тому за означенням добутку

a·b = |A ´ B| = |A| = a

і добуток a·b є натуральним числом.

Аналогічно доводиться випадок, коли A є одиничною множиною.

3. Числа a і b є натуральними, відмінними від одиниці. Множини A і B є непорожніми, відмінними від одиничних. Множину B за властивостями скінченних множин можна розглядати як об'єднання одиничних множин, які попарно не перетинаються, тобто B = {y1È {y2È … È{yb}. Користуючись дистрибутивністю декартового множення відносно об'єднання множин, маємо

A ´ B = (A ´ {y1}) È (A ´ {y2}) È … È (A ´ {yb}).

Кожна з множин у правій частині останньої рівності є скінченною множиною, бо вона рівнопотужна скінченній множині A. Але об'єднання скінченної сукупності скінченних множин є скінченною множиною, а тому і множина A ´ B є скінченною множиною, а її потужність є натуральним числом.

Отже, доведено, що добуток двох довільних цілих невід'ємних чисел є цілим невід'ємним числом.

Оскільки добуток цілих невід'ємних чисел не залежить від множин-представників, а декартів добуток довільних множин завжди існує і визначається однозначно, то й добуток двох цілих невід'ємних чисел завжди існує і визначається однозначно, і, в силу доведеного вище, є цілим невід'ємним числом.  ◄

  1.  Означення добутку цілих невід’ємних чисел через суму

Операція на множині цілих невід'ємних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться у відповідність їх добуток a·b, називається множенням цілих невід'ємних чисел. Компоненти множення називаються множниками, а результат – добутком.

Із теореми 2 одержуються наслідки.

Наслідок 6 (властивість нуля при множенні):

" a Î N0: a · 0 = 0 · a = 0.

Наслідок 7 (властивість одиниці при множенні):

" a Î N0: a · 1 = 1 · a = a.

Наслідок 8. Добуток двох довільних натуральних чисел є натуральним числом.

Користуючись означенням добутку цілих невід'ємних чисел через декартів добуток множин та властивостями декартового множення, доводиться теорема про основні властивості множення.

Теорема 3. Операція множення цілих невід'ємних чисел:

комутативна: " ab Î N0: a·b = b·a;

асоціативна: " abc Î N0: (a·bc = a·(b·c);

дистрибутивна відносно додавання: " abc Î N0: (a + bc = a·c + b·c.

Наступні дві теореми пов'язують операцію множення цілих невід'ємних чисел з відношеннями рівності та порядку.

Теорема 4 (закони монотонності множення). Операція множення цілих невід'ємних чисел монотонна:

відносно відношення рівності:

" abc Î N0: (a = b) → (a·c = b·c);

відносно відношень порядку, зокрема:

" ab, c Î N0: (a < bÙ (c ≠ 0) → (a·c < b·c).

Теорема 5 (правила скорочення для множення). Для операції множення цілих невід'ємних чисел мають місце правила скорочення:

відносно відношення рівності:

" abc Î N0: (a·c = b·cÙ (c ≠ 0) → (a = b);

відносно відношень порядку, зокрема:

" abc Î N0: (a·c < b·cÙ (c ≠ 0) → (a < b).

Зауваження. Потрібно звернути увагу на формулювання законів монотонності і правил скорочення для множення цілих невід'ємних чисел, бо в них є істотна відмінність від формулювань аналогічних законів і правил для додавання.

  1.  Операція множення цілих невід’ємних чисел та її властивості

Поняття добутку двох цілих невід'ємних чисел можна узагальнити на довільну скінченну сукупність чисел.

Добутком довільних цілих невід'ємних чисел a1, a2, …, an (позначається a1a2an або ) називається потужність декартового добутку множин A1, A2, …, An, потужностями яких є відповідно числа a1, a2, …, an.

У шкільному курсі математики розглядається інше означення добутку цілих невід'ємних чисел, в основі якого лежить поняття суми. Нехай a i b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a = |A|, b = |B| і b > 1. За властивостями скінченних множин множина B є об'єднанням b одиничних множин, які попарно не перетинаються, тобто

B = {y1È {y2È … È {yb}.

Тоді декартів добуток A ´ B можна записати

A ´ B = A ´ ({y1È {y2È … È {yb}).

На основі дистрибутивного закону декартового множення відносно об'єднання множин

A ´ B = (A ´ {y1}) È (A ´ {y2}) È … È (Α ´ {yb}),

де |A ´ {yі}| = a·1, і = 1, 2, 3…, b; (A ´ {yi}) ∩ (A ´ {yj}) = Æ при i ≠ j, бо yi ≠ yj, ij = 1, 2, …, b. Тому |A ´ {yi}| = |A| = a i a·b = |A ´ {y1}| + |A ´ {y2}| + … + |A ´ {yb}| = |A| + |A| + … + |A| = .

Звідси, враховуючи перші частини наслідків 6 і 7, одержуємо таке означення добутку двох цілих невід'ємних чисел.

Добутком довільних цілих невід'ємних чисел a i b (позначається a·b) називається:

число нуль, якщо b = 0;

число a, якщо b = 1;

число, яке є сумою b доданків, кожний з яких дорівнює a, якщо b > 1.

  1.  Формування понять добутку і множення в

початковому курсі математики

У шкільному курсі розглядається означення добутку через суму, але вводиться воно у другому класі не все зразу, а частинами: спочатку дається означення: "Додавання однакових доданків називається множенням", потім: "При множенні довільного числа на одиницю одержується число, яке множили" і запис a·1 = a. Нарешті, означення: "Добуток довільного цілого невід'ємного числа на нуль дорівнює нулю", запис a·0 = a.

Комутативний закон множення, який у школі називається переставним, вивчається до розгляду випадків множення на одиницю і нуль. Комутативний закон істотно використовується при складанні таблиці множення.

Асоціативний закон множення розглядається також у початковій школі як правило множення добутку на число і числа на добуток.

Дистрибутивний закон множення відносно додавання розглядається спочатку на конкретних прикладах і його називають правилом множення числа на суму і суми на число.

  1.  
    Означення частки цілих невід’ємних чисел через розбиття множини на класи рівнопотужних множин.

Означення частки через добуток. Існування і єдність частки

Операція ділення цілих невід'ємних чисел у кількісній теорії пов'язана з розбиттям множини на класи.

Нехай a – довільне ціле невід'ємне число, що є потужністю множини A, яку розбито на рівнопотужні підмножини, що попарно не перетинаються, а b – довільне натуральне число. Часткою чисел a i b (позначаються a : b або ) називається або потужність кожної із множин розбиття, якщо множину A розбити на b підмножин, або число підмножин розбиття, якщо кожна з них має потужність b.

Можна показати, що означення частки не залежить від вибору множини-представника і що, коли частка існує, то вона визначається однозначно.

У математиці, зокрема у початковому курсі, користуються іншим означенням, в якому істотно використовується поняття добутку. Позначимо через х частку чисел a i b, тобто a : b = x, де a = |A|. За означенням частки множину A можна записати так:

або A = A1 È A2 È … È Ab,

де Ai ~ Aj, Ai ∩ Aj = Æ, |Ai| = x, i ≠ j, ij = 1, 2, …, b,

або A = A1 È A2 È … È Ax,

де Ai ~ Aj, Ai ∩ Aj = Æ, |Ai| = b, i ≠ j, ij = 1, 2, …, x.

Звідси на основі означення добутку чисел випливає, що або a = x·b, або a = b·x і за означенням добутку одержуємо таке означення.

Часткою довільних цілого невід'ємного числа a і натурального числа b (позначається a : b або ) називається ціле невід'ємне число x, добуток якого з числом b дорівнює a, тобто

" a Î N0 " b Î N: a : b = x Û b·x = a.

Не існує простих умов існування частки, але має місце теорема.

Теорема 6. Для довільних цілого невід'ємного числа a і натурального числа b, якщо їх частка існує, то вона єдина.

► Нехай числа a i b такі, що їх частка a : b існує. Припустимо, що a : b = x1 і a : b = x2. Отже, b·x1 = b·x2. Оскільки b ≠ 0, то за правилом скорочення для множення x1 = x2.  ◄

  1.  Операція ділення цілих невід’ємних чисел.

Зв’язок ділення з множенням

Операція у множині цілих невід'ємних чисел, при якій кожній парі чисел a i b, де b ≠ 0, ставиться у відповідність їх частка a : b називається діленням цілих невід'ємних чисел. При діленні перша компонента називається діленим, друга – дільником, а результат – часткою.

Операція ділення на основі другого означення частки є оберненою до операції множення, при якій за добутком двох чисел і одним із множників визначається другий множник. Безпосередньо з другого означення частки одержуємо такі наслідки.

Наслідок 9 (властивість нуля при діленні).

" a Î N: 0 : a = 0.

Наслідок 10 (властивість одиниці при діленні).

" a Î N0: a : 1 = a.

Наслідок 11.

" a Î N a : a = 1.

  1.  
    Основна властивість частки. Правила ділення суми,

різниці і добутку на натуральне число

Теорема 7 (основна властивість частки). При умові існування відповідних часток, частка не зміниться, якщо ділене і дільник поділити або помножити на одне й те саме число.

► Нехай a i b– довільні цілі невід'ємні числа такі, що їх частка існує

a : b = x.

(1)

За означенням частки a = b·x.

Візьмемо довільне натуральне число k. За законом монотонності для множення a·k = (b·xk.

З останньої рівності, користуючись асоціативністю і комутативністю множення, одержуємо a·k = (b·kx.

Звідси за означенням частки

(a·k) : (b·k) = x.

(2)

З рівностей (1) і (2) випливає:

a : b = (a·k) : (b·k).  ◄

Теорема 8 (правило ділення суми на число). При умові існування відповідних часток, щоб поділити суму декількох цілих невід'ємних чисел на натуральне число, потрібно поділити на це число кожний із доданків і одержані частки додати.

► Доведемо теорему для випадку двох доданків. Нехай a i b – довільні цілі невід'ємні числа, а c – довільне натуральне число, причому частки суми і кожного із доданків існують. Доведемо, що має місце рівність

(a + b) : c = a : c + b : c.

Якщо a : c = x1 і b : c = x2, то за означенням частки a = c·x1 і b = c·x2. Додавши почленно дві останні рівності, отримаємо

a + b = c·x1 + c·x2.

Звідси за дистрибутивним законом множення відносно додавання

a + b = c·(x1 + x2).

А тому за означенням частки (a + b) : c = x1 + x2.

Підставляючи в останню рівність замість x1 і x2 їхні значення, одержимо

(a + b) : c = a : c + b : c.  ◄

Теорема 9 (правило ділення добутку на число). При умові існування відповідних часток, щоб поділити добуток кількох цілих невід'ємних чисел на натуральне число, достатньо поділити на це число один із множників і одержану частку помножити на добуток решти множників.

► Проведемо доведення теореми у випадку двох множників. Нехай a i b – довільні цілі невід'ємні числа, c – довільне натуральне число. Причому ці числа такі, що відповідні частки існують. Доведемо, що мають місце рівності:

(a·b) : c = (a : cb = a·(b : c).

Позначимо (a : cb = x. Тоді

(a : cb = x Þ за законом монотонності для множення

c·((a : cb) = c·x Þ за асоціативністю множення

(c·(a : c))·b = c·x Þ за означенням частки

a·b = c·x Þ за означенням частки

(a·b) : c = x.

А тому (a·b) : c = (a : cb.

Щоб довести другу частину рівності, достатньо скористатися комутативністю множення.  ◄


Задача 2
. На основі теоретико-множинного підходу до побудови множини цілих невід'ємних чисел обґрунтувати вибір операцій при розв'язуванні задачі.

Майстер виготовляє 120 деталей за 8 год. Але коли він працює зі своїм учнем, то стільки ж деталей вони виготовляють за 5 год. Скільки деталей виготовляє учень за 1 год.?

► Нехай A – множина деталей, які виготовляє майстер за 8 год., працюючи сам, або з учнем за 5 год. B – множина деталей, які виготовляють майстер і учень за 1 год. разом, а C – множина деталей, які виготовляє майстер за 1 год. сам. Тоді множина C є підмножиною підмножини B. Множина деталей, що виготовляє учень за одну годину за означенням різниці буде |B \ C| = |B| – |C|.

Число деталей, що виготовляють майстер і учень за одну годину разом, тобто потужність множини B, буде дорівнювати потужності однієї з підмножин множини A, коли її розбити на 5 рівнопотужних множин, які попарно не перетинаються. Отже, за означенням частки будемо мати |B| = |A| : 5. За умовою задачі |A| = 120, а тому |B| = 120 : 5 = 24 (деталі).

Число деталей, які виготовляє майстер за одну годину, тобто потужність множини C, буде дорівнювати потужності однієї із підмножин множини A, коли її розбити на 8 рівнопотужних підмножин, які попарно не перетинаються. Значить, |C| = 120 : 8 = 15 (деталей).

Отже, число деталей, які виготовляє учень за одну годину, буде

24 – 15 = 9 (деталей).

Відповідь: учень виготовляє за одну годину 9 деталей.  ◄

  1.  Формування частки і ділення в початковій школі.

б) Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел

У шкільному, зокрема початковому, курсі математики поняття про ділення формується на основі практичних задач, пов'язаних з розбиттям множини на підмножини, які рівнопотужні і попарно не перетинаються, але без введення відповідної теоретико-множинної символіки і термінології. Розглядаються два типи задач, які називаються задачами на поділ на рівні частини і вміщення. Число підмножин і число елементів у кожній підмножині розбиття найчастіше на перших етапах встановлюється шляхом переліку. Основним засобом розкриття теоретико-множинного смислу ділення є розв'язування простих задач.

Ділення у початковій школі вивчається паралельно з множенням. Зв'язок між ними встановлюється при вивчення теми "Знаходження невідомого множника"; на цьому етапі проходить узагальнення двох смислів частки, які мають місце при теоретико-множинному трактуванні частки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72684. Вскрытие и промышленная разработка Тишинского месторождения 688.54 KB
  При выборе методики разведки Тишинского месторождения особенно на первых этапах изучения – до 1964 года наряду с геологическими особенностями решающее влияние имел фактор времени необходимость быстрейшего ввода его в эксплуатацию и геоморфологические условия.
72686. Структурный синтез логического преобразователя УА 275.05 KB
  Потребность в вычислениях возникла у людей на самых ранних стадиях развития человеческого общества. Причем с самого начала для облегчения счета люди использовали различные приспособления ( счеты, арифмометры). Многие из них были весьма интересными и остроумными по принципу действия...
72688. РАЗРАБОТКА ЭКСПЕРТНОЙ СИСТЕМЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ РЕЛЯЦИОННОГО ПОДХОДА СУБД ACCESS И С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВ VISUAL PROLOG 2.09 MB
  Систему, которую намерены построить мы, относится к классу идентификационных (или диагностических) систем. Системы этого класса решают задачу определения, т.е. идентификации, объекта по его признакам.
72690. ЛАБОРАТОРНАЯ ДИАГНОСТИКА НАРУШЕНИЙ ГЕМОСТАЗА 10.55 MB
  Оценка состояния свертывающей системы крови одна из самых сложных диагностических задач. В настоящем пособии этот вопрос рассматривается с различных точек зрения: общих биологических закономерностей функционирования многокомпонентных систем организма патофизиологических механизмов...
72692. Перевірка рівня сформованості основних навичок роботи з електронними таблицями 104 KB
  Права частина служить для переміщення по таблиці вправо уліво а ліва частина що містить ярлички аркушів дозволяє переміщатися між аркушами. Створення таблиці Створіть заготівлі таблиці самостійно застосовуючи наступні операції: запуск Excel; форматування рядка заголовка.