18288

АКСІОМИ ПЕАНО

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 15 АКСІОМИ ПЕАНО Поняття про аксіоматичний метод побудови теорії. Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел; неозначувані поняття аксіоми Пеано та деякі наслідки з них. Аксіоматичне означення операції додавання цілих невід’ємних чисел...

Украинкский

2013-07-07

93 KB

47 чел.

Лекція 15

АКСІОМИ ПЕАНО

  1.  Поняття про аксіоматичний метод побудови теорії.
  2.  Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел; неозначувані поняття, аксіоми Пеано та деякі наслідки з них.
  3.  Аксіоматичне означення операції додавання цілих невід’ємних чисел. Теорема про існування і єдність операції додавання (без доведення). Закони додавання. Таблиця додавання.
  4.  Аксіоматичне означення операції множення цілих невід’ємних чисел. Теорема про існування і єдність операції множення (без доведення). Закони множення. Таблиця множення.

  1.  Поняття про аксіоматичний метод побудови теорії

Відміною математики від інших наук є логічне доведення істинності тверджень на основі інших, раніше доведених. Оскільки різних тверджень скінченна кількість, то всі твердження не можуть бути доведеними, а тому деякі твердження приймаються у математиці істинними без доведення.

Твердження, які приймаються в межах даної теорії істинними без доведення, називаються аксіомами.

Будь-яка теорія є сукупністю понять і тверджень про них.

Аксіоматичний метод побудови теорії полягає у тому, що:

1) виділяються неозначувані (первісні) поняття теорії, всі інші поняття цієї теорії означаються через раніше означені, зрештою через первісні;

2) виділяються деякі вихідні твердження – аксіоми, які приймаються істинними у теорії без доведення, всі інші твердження цієї теорії, які називають її теоремами, доводяться на основі раніше доведених, зрештою – на основі аксіом. Аксіоми теорії є неявними означеннями її первісних понять.

Аксіоматичний метод, що зародився у працях давньогрецьких філософів і математиків, пройшов довгий шлях розвитку, у процесі якого зазнали докорінних змін такі поняття як "аксіома", "теорема", "доведення". Зокрема, поняття "аксіома" розглядалося спочатку як твердження, що не потребує доведення, і лише з побудовою М. І. Лобачевським (1792 – 1856) неевклідової геометрії, в основу якої покладена система аксіом, що відмінна від системи аксіом Евкліда, аксіоми стали розглядати як твердження, які приймаються істинними без доведення у межах даної теорії. Аксіоматична побудова теорії можлива лише тоді, коли відомо багато понять і тверджень про них у цій теорії.

Одна і та ж теорія може бути побудована на основі різних первісних понять і систем аксіом.

Система аксіом, на основі якої будується теорія, повинна задовольняти певним умовам (вимогам), найважливішою з яких є несуперечливість.

Система аксіом вважається несуперечливою, якщо серед її логічних наслідків немає двох, які є запереченням один одного.

Для суперечливої аксіоматичної теорії не може бути знайдена сукупність об'єктів, властивості яких і відношення між якими описувалися б у термінах даної теорії.

Важливою також є вимога незалежності системи аксіом, яка полягає у тому, що жодна з аксіом не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.

  1.  Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел; неозначувані поняття, аксіоми Пеано та деякі наслідки з них

При аксіоматичній побудові множини цілих невід'ємних чисел не можна вважати відомими властивості цих чисел. Усі відомості, якими можна користуватися при міркуваннях, черпаються з аксіом і наслідків із них. Крім того, не можна при такій побудові користуватися властивостями скінченних множин, які б вони не були очевидними, але не знайшли відображення в аксіомах.

Первісними поняттями аксіоматичної теорії цілих невід'ємних чисел є: "ціле невід'ємне число", "нуль" і відношення між числами "безпосередньо йде за" ("наступне за" або "йде за").

Цілі невід'ємні числа позначаються малими латинськими буквами a, b, c, …, число нуль – цифрою 0, ціле невід'ємне число, що йде безпосередньо за aa′, а множину всіх цілих невід'ємних чисел – N0.

Рівність a = b означає, що одне і те саме ціле невід'ємне число позначене двома різними буквами. Відношення рівності на множині цілих невід'ємних чисел є відношенням еквівалентності.

Нерівність a ≠ b означає, що буквами a і b позначено різні цілі невід'ємні числа.

Аксіомами при аксіоматичній побудові множини цілих невід'ємних чисел є:

1. Нуль є цілим невід'ємним числом, яке безпосередньо не йде за жодним невід'ємним числом:

" a Î N0: a′ ≠ 0.

2. Для кожного цілого невід'ємного числа існує одне і тільки одне невід'ємне число, яке безпосередньо йде за ним:

" ab Î N0: a = b → a′ = b′.

3. Кожне ціле невід'ємне число безпосередньо йде не більш як за одним цілим невід'ємним числом:

" ab Î N0: a′ = b′ → a = b.

4. (Аксіома індукції). Нехай M – довільна підмножина множини цілих невід'ємних чисел, яка має властивості:

1) нуль належить множині M;

2) для довільного цілого невід'ємного числа a, якщо a належить множині M, то й число a′, яке йде безпосередньо за числом a, належить множині M.

Тоді множина M містить усі цілі невід'ємні числа, тобто M = N0.

((M Ì N0Ù (0 Î MÙ (" a Î N0: a Î M → a′ Î M)) → (M = N0).

Перелічені аксіоми називаються аксіомами Пеано. Перед тим, як провести їх аналіз, доведемо теорему.

Теорема 1. Кожне ціле невід'ємне число відмінне від числа, що безпосередньо йде за ним.

► Нехай M – множина цілих невід'ємних чисел a таких, що a′ ≠ a. Тоді:

1) 0 Î M, оскільки 0′ ≠ 0 згідно з першою аксіомою;

2) нехай ціле невід'ємне число a належить множині M, тобто a′ ≠ a;

3) доведемо, що наступне число a′ належить множині M.

Дійсно, якби (a′)′ = a′, то на основі аксіоми 3 a′ = a. Отже, a Ï M. Одержана суперечність показує, що (a¢)¢ ≠ a¢, тобто a¢ Î M.

Значить, підмножина M множини N0 така, що

(0 Î MÙ (" a Î N0: a Î M → a¢ Î M).

Звідси за аксіомою індукції одержуємо M = N0.  ◄

Перша аксіома виділяє властивості числа нуль. Друга аксіома разом з теоремою 1 встановлює, фактично, нескінченність множини цілих невід'ємних чисел. Третя аксіома показує, що жодне ціле невід'ємне число не може бути наступним за двома різними числами. Нарешті, четверта аксіома покладена в основу методу доведення, який називається методом математичної індукції і який широко використовується в математиці.

Аксіом 1 – 4 досить для того, щоб побудувати всю арифметику цілих невід'ємних чисел, причому кожне наступне твердження доводиться після того, як доведено попередні твердження, тобто на перших порах розвитку теорії порядок слідування тверджень є істотним.

Крім відношення "наступне за" часто використовується відношення "попереднє до".

Ціле невід'ємне число a називається попереднім до цілого невід'ємного числа b, якщо число b безпосередньо йде за числом a, тобто a′ = b.

Теорема 2. Для кожного, відмінного від нуля, цілого невід'ємного числа a існує єдине попереднє число.

► Позначимо через M – множину цілих невід'ємних чисел, якій належить число нуль і ті цілі невід'ємні числа a, для яких існує попереднє число. Тоді:

за означенням множини M нуль їй належить;

нехай ціле невід'ємне число a, відмінне від нуля, належить множині M;

тому що a Î M, то й a′ Î M, оскільки a є попереднім до числа a′.

Отже, за аксіомою індукції M = N0. А тому для кожного цілого невід'ємного числа, відмінного від нуля, існує попереднє число. Єдиність його випливає з третьої аксіоми.  ◄

Скориставшись законом контрапозиції, з аксіом 2 і 3 одержуємо теореми.

Теорема 3. Для довільних двох невід'ємних чисел, якщо вони різні, то й наступні за ними числа різні:

" ab Î N 0: a ≠ b → a′ ≠ b′.

Теорема 4. Для довільних двох цілих невід'ємних чисел, якщо наступні за ними числа різні, то й самі числа різні:

" ab Î N0: a′ ≠ b′ → a ≠ b.

Цілі невід'ємні числа 0′, 0″, 0′″, 0″″, … позначають відповідно 0, 1, 2, 3…

Цілі невід'ємні числа, відмінні від нуля, називаються натуральними числами. Множину всіх натуральних чисел позначають N. Отже, N := N0 \ {0}.

Усі аксіоми Пеано, а також твердження, що формулюються для цілих невід'ємних чисел, справедливі і для натуральних чисел, але відповідно сформульовані.

Аксіоматичний підхід до побудови множини цілих невід'ємних чисел у шкільному курсі математики не розглядається, але властивості відношення "безпосередньо йде за", які знайшли своє відображення в аксіомах Пеано 1 – 4, є предметом вивчення в школі і використовуються при розв'язуванні задач. Уже у першому класі при розгляді чисел першого десятку з'ясовується, як може бути отримане кожне число, при цьому широко використовується поняття "йде за" ("наступне за"), "передує" ("попереднє до"), які вводяться за допомогою додавання і віднімання одиниці. Кожне нове число виступає як продовження раніше вивченого відрізка натурального ряду чисел. При такому підході створюються умови до того, щоб діти підмітили деяку спільну властивість чисел натурального ряду: не тільки дане число, яке розглядається на даному уроці, але й взагалі довільне число може бути одержане додаванням одиниці до числа, яке іде при лічбі зразу перед ним, тобто довільне число на одиницю більше, ніж число, що йому передує. Таким чином, уже у початковій школі учні переконуються у тому, що за кожним натуральним числом іде наступне число і при тому тільки одне, що натуральний ряд чисел нескінченний.

Операції додавання і множення цілих невід'ємних чисел також вводяться аксіоматично.

  1.  Аксіоматичне означення операції додавання цілих невід’ємних чисел. Теорема про існування і єдність операції додавання (без доведення). Закони додавання. Таблиця додавання

Додаванням цілих невід'ємних чисел називається операція, яка кожній парі a і b чисел ставить у відповідність число a + b таке, що мають місце аксіоми:

1. " a Î N0: a + 0 = a;

2. " ab Î N0: a + b′ = (a + b)′.

Число a + b називається сумою чисел a і b, а самі числа a та bдоданками.

Оскільки дається аксіоматичне означення додавання цілих невід'ємних чисел, то потрібно довести, що така операція існує. Дійсно має місце теорема.

Теорема 5. Операція додавання цілих невід'ємних чисел існує, причому єдина.

► І. Покажемо, що на множині цілих невід'ємних чисел N0 існує операція, яка задовольняє умовам означення. Нехай M – множина цілих невід'ємних чисел b таких, що для довільного цілого невід'ємного числа a і числа b існує і при тому єдине число, яке називатимемо сумою чисел a і b і позначатимемо a + b.

1) Покладемо за означенням

a + 0 := a.

(1)

Оскільки кожне ціле невід'ємне число a єдине в множині N0, то сума a + 0 для довільного цілого невід'ємного числа визначається однозначно.

Отже, 0 Î M.

2) Припустимо тепер, що число b Î M, тобто, що для числа b і для довільного числа a сума чисел a і b існує і визначається однозначно.

3) Доведемо, що b′ Î M. Дійсно, покладемо за означенням

a + b′ := (a + b)′.

(2)

З припущення про існування і єдиність суми a + b та аксіоми 2 випливає, що число a + b′ існує і єдине. Цим самим доведено, що сума a + b′ завжди існує і визначається однозначно, а тому b′ Î M.

Значить, за аксіомою індукції M = N0.

Отже, на множині цілих невід'ємних чисел існує операція, яку ми назвали додаванням. У силу рівностей (1) і (2) аксіоми 5 і 6 мають місце для цієї операції.

ІІ. Доведемо, що операція додавання єдина. Припустимо, що на множині цілих невід'ємних чисел, крім операції "+", визначена ще одна операція "*", для якої виконуються аксіоми 5 і 6:

" a Î N0: a * 0 = a,

(3)

" ab Î N: a * b′ = (a * b)′.

(4)

Позначимо через M – множину цілих невід'ємних чисел b таких, що для довільного цілого невід'ємного числа a виконується рівність

a + b = a * b.

(5)

1. Враховуючи аксіому 5 та твердження (3), для b = 0 матимемо

a + 0 = a = a * 0.

Отже, 0 Î M.

2. Припустимо, що b Î M, тобто, що для b і для довільного цілого невід'ємного числа a має місце рівність (5).

3. Тоді

a + b = a * b за аксіомою 2

(a + b)′ = (a * b)′ за аксіомою 6 і твердженням (4)

a + b′ = a * b′.

Значить, b′ Î M і за аксіомою індукції M = N0.

Отже, доведено твердження

" ab Î N0: a + b = a * b,

яке й показує, що операція додавання цілих невід'ємних чисел єдина.  ◄

Наслідок 1. Операція додавання на множині натуральних чисел існує, причому єдина.

Властивості додавання, які відомі ще з початкового курсу математики і теоретико-множинного підходу до побудови множини цілих невід'ємних чисел, можна довести на основі аксіом 1 – 6.

Теорема 6. Для довільних цілих невід'ємних чисел a, b і c при додаванні мають місце властивості (закони):

a + 0 = 0 + a = a властивість нуля при додавання;

a + 1 = 1 + a = a′ властивість одиниці при додавання;

(a + b) + c = a + (b + c) асоціативний закон додавання;

a + b = b + a комутативний закон додавання;

a = b → a + c = b + c закон монотонності додавання відносно відношення рівності.

Зауваження. При аксіоматичній побудові множини цілих невід'ємних чисел порядок, в якому формулюються і доводяться твердження, істотний. Вважається, що кожне попереду сформульоване твердження доведено і може бути використане при доведенні наступних тверджень.

Проведемо доведення тверджень 1) і 4).

► І. Доведення твердження 1) зводиться до встановлення істинності двох тверджень:

" a Î N0: a + 0 = a.

(6)

" a Î N0: 0 + a = a.

(7)

Твердження (6) є аксіома 5, а тому воно істинне. Залишається довести твердження (7).

Нехай M – множина цілих невід'ємних чисел a, для яких має місце рівність 0 + a = a. Тоді:

1) 0 Î M, тому що за аксіомою 5

0 + 0 = 0.

2) Припустимо, що ціле невід'ємне число a належить множині M, тобто 0 + a = a.

3) Покажемо, що й a′ належить множині M. Дійсно,

0 + a′ = за аксіомою 6

= (0 + a)′ = за припущенням

a′.

Отже, a′ Î M і за аксіомою індукції M = N0. А тому твердження (7) істинне.

ІІ. Доведемо твердження 4), тобто, що для довільних цілих невід'ємних чисел a і b має місце рівність

a + b =  ba.

(8)

Позначимо через M – множину тих невід'ємних чисел b, для яких при довільному цілому невід'ємному числу a має місце рівність (8).

1) За властивістю нуля при додаванні для цілого невід'ємного числа a має місце рівність:

a + 0 = 0 + a.

Отже, 0 Î M.

2) Припустимо, що b Î M, тобто, що для b і для довільного цілого невід'ємного числа a виконується рівність (8).

3) Доведемо, що і b′ Î M. Дійсно,

a + b′ = за аксіомою 6

= (a + b)′ = за припущенням

= (b + a)′ = за аксіомою 6

b + a′ =  за властивістю одиниці при додаванні

b + (1 + a) = за асоціативністю додавання

= (b + 1) + a = за властивістю одиниці при додаванні

b′ + a.

Звідси за транзитивністю відношення рівності одержуємо

a + b′ = b′ + a.

Отже, b′ Î M. А тому за аксіомою індукції M = N0. Це значить, що рівність (8) має місце для довільних цілих невід'ємних чисел a і b.  ◄

Відому з початкового курсу математики таблицю додавання одноцифрових чисел можна одержати на основі аксіом 1 – 6, позначивши 1 := 0′, 2 := 1′, 3 := 2′, 4 := 3′, 5 := 4′, …

Оскільки за властивостями додавання цілих невід'ємних чисел

" a Î N0: a + 0 = a;   " a Î N0: a + 1 = a′;   " ab Î N0: a + b = b + a,

то таблицю можна розпочати будувати з 2 + 2, 2 + 3, … 2 + 9, 3 + 3, 3 + 4, …, 3 + 9, … і закінчити 9 + 9.

Наведемо перші приклади її складання для числа 2.

1) 2 + 2 = за означенням числа 2

= 2 + 1′ = за аксіомою 6

= (2 + 1)′ = за властивістю одиниці при додаванні

= (2′)′ = за означенням числа 3

= 3′ = за означенням числа 4

= 4.

Звідси за транзитивністю відношення рівності одержуємо 2 + 2 = 4.

2) 2 + 3 = за означенням числа 3

= 2 + 2′ = за аксіомою 6

= (2 + 2)′ = за випадком 1)

= 4′ = за означенням числа 5

= 5.

Звідси за транзитивністю відношення рівності 2 + 3 = 5.

3) Запишемо коротко суму 2 + 4 = 2 + 3′ = (2 + 3)′ = 5′ = 6.

Отже, 2 + 4 = 6.

За допомогою аналогічних міркувань, користуючись комутативним законом, можна одержати всю таблицю додавання одноцифрових чисел.

  1.  Аксіоматичне означення операції множення цілих невід’ємних чисел. Теорема про існування і єдність операції множення (без доведення). Закони множення. Таблиця множення

Множенням цілих невід'ємних чисел називається операція, яка кожній парі чисел a і b ставить у відповідність число a · b таке, що мають місце аксіоми:

7. " a Î N0: a · 0 = 0;

8. " ab Î N0: a · b′ = a · b + a

Число a · b називається добутком чисел a та b, а самі числа a і bмножниками.

Аналогічно, як для додавання, доводиться теорема про існування і єдиність операції множення.

Теорема 7. Операція множення на множині цілих невід'ємних чисел існує, причому єдина.

Наслідок 2. Операція множення на множині натуральних чисел існує, причому єдина.

Властивості множення цілих невід'ємних чисел, які відомі також зі шкільного курсу математики і кількісної теорії, виводяться на основі аксіом 1 – 8.

Теорема 8. Для довільних цілих невід'ємних чисел a, b і c при множенні мають місце властивості (закони):

1) a · 0 = 0 · a = 0 – властивість нуля при множенні;

2) a · 1 = 1 · a = a – властивість одиниці при множенні;

3) (a + b) · c = a · c + b · c – правий дистрибутивний закон множення відносно додавання;

4) (a · b) · c = a · (b · c) – асоціативний закон множення;

5) a · b = b · a – комутативний закон множення;

6) a = b → a · c = b · c – закон монотонності множення відносно відношення рівності.

► Доведемо властивості 2) і 3).

І. Доведення твердження 2) зводиться до встановлення істинності двох тверджень

" a Î N0: a · 1 = a,

(1)

" a Î N0: 1 · a = a.

(2)

Доведемо твердження (1). Для довільного цілого невід'ємного числа a маємо

a · 1 = за означенням одиниці

a · 0′ = за аксіомою 8

a · 0 + a = за аксіомою 7

= 0 + a =  за властивістю нуля при додаванні

a.

Звідси за транзитивністю відношення рівності a · 1 = a.

Отже, твердження (1) доведено.

Доведемо тепер твердження (2). Позначимо через M – множину тих цілих невід'ємних чисел a, для яких має місце рівність

1 · a = a.

(3)

За аксіомою 7   1 · 0 = 0, отже, 0 Î M.

Припустимо тепер, що a Î M, тобто, що має місце рівність (3).

Тоді

1 · a′ = за аксіомою 8

= 1 · a + 1 = за припущенням

a + 1 = за властивістю одиниці при додаванні

a′.

Звідси за транзитивністю відношення рівності 1 · a′ = a′. А тому a′ Î M. Отже, за аксіомою індукції M = N0, і твердження (2) буде істинним. Значить, істинним є і доводжуване твердження (2).

ІІ. Доведемо тепер правий дистрибутивний закон множення відносно додавання:

" abc Î N0: (a + b ) · c = a · c + b · c.

Позначимо через M – множину тих цілих невід'ємних чисел c, що для довільних цілих невід'ємних чисел a і b має місце рівність

(a + b) · c = a · c + b · c.

(4)

1. Якщо c = 0, то

(a + b) · 0 = 0 за аксіомою 7

a · 0 + b · 0 = за аксіомою 7

= 0 + 0 = за аксіомою 5

= 0.

А тому (a + b) · 0 = a · 0 + b · 0. Отже, 0 Î M.

2. Нехай c Î M, тобто c таке ціле невід'ємне число, що для довільних цілих невід'ємних чисел a і b має місце рівність (4).

3. Тоді

(a + b) · c′ = за аксіомою 8

= (a + b) · c + (a + b) = за припущенням

= (a · c + b · c) + (a + b) = за комутативністю і асоціативністю додавання

= (a · c + a) + (b · c + b) = за аксіомою 8

a · c′ + b · c′.

Звідси за транзитивністю відношення рівності

(a + b) · c′ = a · c′ + b · c′.

Отже, c Î M. Тому за аксіомою індукції M = N0, а це й означає, що істинним є доводжуване твердження.  ◄

Відому з початкового курсу математики таблицю множення одноцифрових чисел можна отримати на основі аксіоматичного означення операцій додавання і множення, тобто на основі аксіом 1 – 8. Оскільки для множення цілих невід'ємних чисел

" a Î N0: a · 0 = 0;   " a Î N0: a · 1 = a;   " ab Î N0: a · b = b · a,

то таблицю можна розпочати будувати з 2 · 2, 2 · 3, …, 2 · 9; 3 · 3, 3 · 4, …¸ 3 · 9 і т. д., та закінчити 9 · 9.

Розглянемо перші кілька прикладів складання таблиці для числа 2.

1) 2 · 2 = за означенням числа 2

= 2 · 1′ = за аксіомою 8

= 2 · 1 + 2 = за властивістю одиниці при множенні

= 2 + 2 = за таблицею додавання для числа 2

= 4.

Отже, 2 · 2 = 4.

2) 2 · 3 = за означенням числа 3

= 2 · 2′ = за аксіомою 8

= 2 · 2 + 2 = за таблицею множення для числа 2

= 4 + 2 = за таблицею додавання для числа 2

= 6.

Отже, 2 · 3 = 6.

3) Запишемо коротко добуток 2 · 4, опускаючи обґрунтування:

2 · 4 = 2 · 3′ = 2 · 3 + 2 = 6 + 2 = 8.

Отже, 2 · 4 = 8.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21074. МАТЕРИАЛЬНЫЕ И НЕМАТЕРИАЛЬНЫЕ АКТИВЫ 100.5 KB
  Чем выше для оборудования в стоимости ОПФ тем при прочих равных условиях больше выпуск продукции выше показатель фондоотдачи. Доля зданий в общей стоимости ОПФ наиболее велика в лёгкой пищевой промышленности 44 сооружений – в топливной 17 машин и оборудования – в машиностроении 45. Улучшению структуры ОПФ способствует: обновление и модернизация оборудования; совершенствование структуры оборудования за счёт прогрессивных машин и станков; ликвидация лишнего оборудования и т. Моральный износ – это уменьшение стоимости машин и...
21075. Мотивация труда 34.5 KB
  не денежные методы мотивации результативности деятельности персонала предприятия могут быть сведены к следующему: гибкие рабочие графики что может быть особенно актуальным для значительного количества работников охрана труда вопросы связанные с возможностью продвижения по службе карьера и т. Однако следует отметить что значимость мотивационных элементов всех групп не снижает и значения тех элементов которые связаны с оплатой труда работников. За границей распространены системы материального стимулирования в форме участия в прибыли...
21076. ОБОРОТНЫЕ СРЕДСТВА ПРЕДПРИЯТИЯ 95 KB
  Понятие состав и структура оборотных средств предприятия. Нормирование оборотных средств предприятия. Измерение эффективности использования оборотных средств. Понятие состав и структура оборотных средств предприятия.
21077. Экологическая экспертиза 96 KB
  Сущность экологической экспертизы и ее объекты Экспертиза от лат. Основными задачами экологической экспертизы являются: организация научно обоснованной комплексной оценки объектов экологической экспертизы; определение степени экологической безопасности уровня экологичности запланированной или осуществляемой деятельности проведение комплексной экологоэкономической оценки взаимодействия экосистем с деструктивными антропогенными факторами; достижение соответствия объектов экспертизы требованиям экологического законодательства...
21078. Экологический маркетинг 80.5 KB
  Это определение можно детализировать таким образом: маркетинг комплекс мероприятий направленных на определение и анализ факторов которые влияют на процессы продвижения товаров от производителя к потребителям и учет их в производственносбытовой деятельности предприятий с целью обеспечения условий продолжительного выживания и развития на рынке. Главной задачей экологического маркетинга является формирование рынка экологических товаров с целью разрешения противоречий между экономическим развитием и необходимостью сохранения и улучшения...
21079. Экологический менеджмент на предприятии 124.5 KB
  Можно сказать что экологический менеджмент это тип управления принципиально ориентированный на формирование и развитие экологического производства и экологической культуры жизнедеятельности человека. Предметом экологического менеджмента являются прежде всего экологические природоохранные ресурсосберегающие и т. Конечной целью экологического менеджмента является минимизация отрицательных влияний бизнесдеятельности на окружающую природную среду достижение высокого уровня экологической безопасности процессов производства и потребления...
21080. Экологический учет, аудит и страхование на предприятии 112 KB
  Общие требования к системе экологического учета на предприятии Экологический учет как управленческий и информационный инструмент управления окружающей природной средой в современном виде сложился не сразу и его формирование продолжается. Обычно информация по первой и второй из перечисленных позиций объединяется под общим понятием собственно экологического учета который еще называют статистическим учетом. Специалисты большинства стран подчеркивают важность соблюдения относительно экологического учета таких общих принципов: сравнимость...
21081. Общетеоретические основы экономики природопользования в контексте проблемы функционирования хозяйственного механизма природопользования 111.5 KB
  Экологизация общественного производства 1. Природопользование представляет собой основную область и форму взаимодействия общественного производства и окружающей среды. Рациональное природопользование это процессы касающиеся рационального использования природных ресурсов воспроизводства отдельных природных ресурсов и элементов окружающей среды а также по охраны природы.13]: 1 социальноэкономические непосредственные связи в сфере производства; 2 экологические непосредственные связи в биоценозах экосистемах; 3...
21082. ГОСУДАРСТВЕННОЕ И РЫНОЧНОЕ ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ 91 KB
  Причины рыночной и государственной неэффективности в охране окружающей среды Формирование механизмов реализации экологической политики концепции устойчивого развития а также экологизации экономики может основываться на трех подходах: прямом регулировании связанном с воздействием государства на процессы экологизации экономики рационализации природопользования и охраны окружающей среды нормативноправовые административноконтрольные меры прямое регламентирование и т. Опыт бывшего Советского Союза и стран Восточной Европы...