18289

ВЛАСТИВОСТІ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 16 ВЛАСТИВОСТІ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ Ділення з остачею. Теорема про ділення з остачею. Операції ділення з остачею. Формування поняття ділення з остачею в початковій школі. Принцип і метод математичної індукції. б Натуральне число як р...

Украинкский

2013-07-07

124 KB

41 чел.

Лекція 16

ВЛАСТИВОСТІ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ

  1.  Ділення з остачею. Теорема про ділення з остачею. Операції ділення з остачею.
  2.  Формування поняття ділення з остачею в початковій школі.
  3.  Принцип і метод математичної індукції.

б) Натуральне число як результат вимірювання величин.

Питання на самостійне опрацювання

  1.  Відношення „менше” і „більше” на множині цілих невід’ємних чисел та його властивості.
  2.  Дискретність і нескінченність множини цілих невід’ємних чисел. Принципи найменшого і найбільшого числа (без доведення).
  3.  Операції віднімання і ділення. Неможливість ділення на нуль.

Властивості арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами

  1.  Означення відношення „менше” і „більше” в аксіоматичній теорії через суму та доведення їх властивостей.
  2.  Принцип найменшого числа та його доведення.

  1.  Ділення з остачею. Теорема про ділення з остачею.

Операції ділення з остачею

Ділення цілих невід'ємних чисел є частковою операцією. Розглянемо деяке її узагальнення, яке називається діленням з остачею. Для довільних цілих невід'ємних чисел a і b ≠ 0 поділити a на b з остачею означає знайти таку пару цілих невід'ємних чисел q і r, що

a = b · q + r, r < b.

Число q називається часткою (неповною часткою), а rостачею при діленні числа a на число b з остачею.

Має місце теорема.

Теорема 16. Для довільних цілих невід'ємних чисел a і b ≠ 0 існує і при тому єдина пара цілих невід'ємних чисел q і r така, що

a = b · q + r,   r < b.

(1)

► Доведення теореми проведемо поетапно: спочатку доведемо існування такої пари чисел q і r, що виконуються умови (1), а потім доведемо її єдиність.

І. Розглянемо множину A цілих невід'ємних чисел x таких, що x = a  b·y, де y Î N0. Множина A – непорожня, бо при y = 0 x = a і за означенням множини A  a Î A. За принципом найменшого числа у множині A при деякому y = q число r = a – b·q є найменшим. Звідси

a = b · q + r.

(2)

Доведемо, що r < b. Припустимо, що r ≥ b. Тоді існує різниця r  b = r1 чисел r i b. За означенням різниці і відношення "менше" дістанемо r = b + r1 i r1 < r. З рівності (2) матимемо a = b · q + (b + r1) = b · (q + 1) + r1, тобто a = b · (q + 1) + r1. Одержуємо, що r1 = a – b · (q + 1) i r1 Î A та r1 < r. А це суперечить вибору числа r як найменшого у множині A.

Отже, r < b і пара чисел q та r існує.

ІІ. Доведемо тепер єдиність пари чисел q i r, які задовольняють умові (1). Дійсно, припустимо, що

a = b · q1 + r1,  r1 < b  і  a = b · q2 + r2,  r2 < b.

Тоді

b · q1 + r1 = b · q2 + r2,  r1 < b,  r2 < b,

(3)

причому (q1 , r1) ≠ (q2 , r2).

Якщо r1 = r2, то з (3) за правилом скорочення матимемо q1 = q2, що й доводить єдиність пари у цьому випадку.

Будемо вважати r1 ≠ r2. Не обмежуючи загальності міркувань, приймемо r1 < r2. Тоді з (3) одержуємо

r1 – r2 = b · (q1 – q2),  r1 < r2 < b.

Отже, існує частка чисел r1 – r2 і b. Але r1 < r2 < b і тому 1 ≤ r1 - r2 < b, що суперечить необхідній умові існування частки натуральних чисел. Одержане протиріччя і доводить єдиність частки і остачі.  ◄

Розглянемо приклади. Поділити a на b з остачею, якщо

a = 25 і b = 7; маємо 25 = 7 · 3 + 4;

a = 35 і b = 7; маємо 35 = 7 · 5 + 0;

a = 6 і b = 7; маємо   6 = 7 · 0 + 6.

Теорема 16 дає можливість ввести означення.

Відображення декартового добутку множини цілих невід'ємних чисел і натуральних чисел у декартів квадрат множини цілих невід'ємних чисел, при якому кожній парі чисел a і b ≠ 0 ставиться у відповідність пара цілих невід'ємних чисел q i r така, що

a = b · q + r,  r < b.

називається діленням з остачею в множині цілих невід'ємних чисел. Операція ділення з остачею у множині цілих невід'ємних чисел не є бінарною алгебраїчною операцією, бо її результатом є не число, а впорядкована пара, тобто результат не належить самій множині. Поняття ділення з остачею дає можливість встановити умову існування частки у множині цілих невід'ємних чисел.

Теорема 17. Для довільних цілих невід'ємних чисел a і b ≠ 0 їх частка a : b існує тоді і тільки тоді, коли при діленні a на b з остачею, остача дорівнює нулю.

  1.  Формування поняття ділення з остачею в початковій школі

Ділення у множині цілих невід'ємних чисел можна розглядати як частковий випадок ділення з остачею, коли остача дорівнює нулю.

Ділення з остачею вивчається вже у другому класі. Є істотна відмінність в означенні ділення з остачею у вузівському та шкільному курсах математики. В останньому з них поділити з остачею число a на число b ≠ 0 означає знайти ціле невід'ємне число q таке, що

b · q ≤ a < b · (q + 1).

Число r = a – b · q називається остачею при ділення a на b. Записується ділення з остачею числа a на число b так:

a : b = q (остача r).

Наприклад: 29 : 7 = 4 (остача 1).

Виконуючи ділення з остачею, учнів підводять до висновку, що остача завжди менша дільника. У початковому курсі математики не розглядається випадок, коли остача дорівнює нулю. Вивчення ділення з остачею у початковому курсі необхідно тому, що на ньому ґрунтується алгоритм ділення багатоцифрових чисел.

  1.  Принцип і метод математичної індукції

Нескінченність множини цілих невід'ємних чисел не дає можливості перевіряти доводжувані твердження для всіх чисел. Тому є спеціальний метод доведення, який називається методом математичної індукції, теоретичною основою якого є теорема.

Теорема 18 (принцип математичної індукції). Якщо предикат P(n), визначений на множині цілих невід'ємних чисел, такий, що:

1) висловлення P(0) – істинне,

2) з того, що предикат P(n) істинний при довільному цілому невід'ємному числу k, випливає, що він істинний і при k + 1, то предикат P (n) істинний на множині цілих невід'ємних чисел:

(P(0) Ù (" k Î N0: P(k) → P(k + 1))) → (" n Î N0: P(n)).

Принцип математичної індукції і аксіома індукції – рівносильні твердження. Важливість принципу математичної індукції полягає у тому, що він дозволяє замінити міркування, що складаються з нескінченного ланцюжка кроків, на міркування, що складаються із скінченного числа кроків.

Схема доведення методом математичної індукції така:

Встановлюється перевіркою, що предикат P(n) істинний при n = 0.

Припускається, що предикат P(n) істинний при n = k.

Доводиться, що предикат P(n) істинний при n = k + 1.

За принципом математичної індукції робиться висновок про те, що предикат P(n) істинний для всіх цілих невід'ємних чисел, тобто, що висловлення " nΠN0: P(n) – істинне.

Зауваження 1. При формулювання принципу математичної індукції замість виразу "предикат, визначений на множині цілих невід'ємних чисел" користуються виразами "твердження відносно довільного цілого невід'ємного числа" або "твердження про довільне ціле невід'ємне число".

Зауваження 2. Задачі, які будуть розглянуті у даному пункті, відносяться не обов'язково до аксіоматичної теорії цілих невід'ємних чисел.

Задача 1. Довести, що довільна множина A з n елементами має 2n підмножин.

► Доведення проведемо методом математичної індукції.

1. При n = 0 твердження, що доводиться, істинне, бо порожня множина має лише одну підмножину (саму себе), з другого боку 20 = 1.

2. Припустимо, що твердження, яке доводиться, істинне при n = k, тобто, що множина Ak = {a1, a2, …, ak} з k елементами має 2k підмножин.

3. Доведемо, що множина Ak+1 = {a1, a2, …, ak, ak+1} з k + 1 елементами має 2k+1 підмножин.

Усі підмножини множини Ak, яка за припущенням має 2k підмножин, будуть підмножинами і множини Ak+1. Приєднаємо до кожної з цих підмножин елемент ak+1 і дістанемо ще 2k підмножин множини Ak+1. Отже, всього буде 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 підмножин. Інших підмножин множина Ak+1 не містить. Дійсно, будь-яка підмножина множини Ak+1 або не містить елемент ak+1, або його містить. У першому випадку така підмножина буде і підмножиною множини Ak, отже, вона врахована при підрахунку числа підмножин множини Ak. У другому випаду, вилучивши з підмножини елемент ak+1, також дістанемо підмножину множини Ak, значить, і така підмножина множини Ak+1 була врахована при підрахунку. Таким чином, число всіх підмножин множини Ak+1 буде 2k+1.

4. На основі принципу математичної індукції доводжуване твердження істинне для всіх цілих невід'ємних чисел.  ◄

Часто користуються іншою формою принципу математичної індукції.

Теорема 19. Якщо предикат P(n), визначений для всіх натуральних чисел n ≥ a, де a – задане натуральне число, такий, що:

1) висловлення P(a) – істинне,

2) з того, що предикат P(n) істинний при довільному натуральному числу k > a, випливає, що предикат P(n) істинний і при n = k + 1, то предикат істинний для всіх натуральних чисел n ≥ a.

► Теорема 19 є безпосереднім наслідком теореми 18, коли у предикат P(n) замість змінної n ввести нову змінну m таку, що n = m + a де m Î N0 і a – задане натуральне число, про яке йде мова у теоремі 19.  ◄

Задача 2. Довести, що для всіх натуральних чисел n ≥ 3 має місце нерівність n2 > 2n + 1.

► Доведення проведемо методом математичної індукції у формі, даній в теоремі 19.

1. При n = 3 : 32 = 9, 2 · 3 + 1 = 7 і 9 > 7. Отже, нерівність істинна при n = 3.

2. Припускаємо, що нерівність істинна при n = k , тобто, що має місце нерівність k2 > 2k + 1.

3. Доведемо, що нерівність істинна при n = k + 1, тобто, що

(k + 1)2 > 2(k + 1) + 1.

Дійсно, за формулою для квадрата суми двох чисел одержуємо

(k + 1)2 = k2 + 2k + 1.

За припущенням k2 > 2k + 1, а тому k2 + 2k + 1 > (2k + 1) + (2k + 1) або k2 + 2k + 1 > (2k + 2) + 2k. Оскільки k – натуральне число, то 2k > 1. Отже,

(k + 1)2 > 2(k + 1) + 1.

4. За принципом математичної індукції нерівність істинна для всіх натуральних чисел n ≥ 3.  ◄

Принцип найменшого числа дає можливість довести іншу форму принципу математичної індукції.

Теорема 20. Якщо предикат P(n), визначений на множині цілих невід'ємних чисел, такий, що:

1) висловлення P(0) – істинне,

2) з того, що предикат P(n) істинний для всіх цілих невід'ємних чисел k < n, випливає, що предикат P(n) істинний і при n, то предикат P(n) істинний для всіх цілих невід'ємних чисел.

► Припустимо протилежне, що предикат P(n) не є істинним для всіх цілих невід'ємних чисел, тоді множина

A = {x Î N0 | )}

буде непорожньою множиною цілих невід'ємних чисел. За принципом найменшого числа вона містить найменше число. Позначимо його n. Оскільки n Î A і P(n) – хибне висловлення, то n > 0. Але n найменше число у множині A, тому для всіх k < n твердження P(k) – істинне, отже, за умовою теореми повинно бути істинним і твердження P(n), що неможливо. Одержане протиріччя і доводить теорему.  ◄

Як і для першого формулювання принципу математичної індукції теорема 20 узагальнюється так:

Теорема 21. Якщо предикат P(n), визначений для всіх натуральних чисел n ≥ a, де a – задане натуральне число, такий, що:

висловлення P(a) – істинне,

з того, що предикат P(n) істинний для всіх натуральних чисел k, які задовольняють умові a ≤ k < n, випливає, що предикат істинний і при n, то предикат P(n) істинний і для всіх натуральних чисел n ≥ a.

Питання на самостійне опрацювання

  1.  Відношення „менше” і „більше” на множині цілих невід’ємних чисел та його властивості

Для довільних цілих невід'ємних чисел a і b число a називається меншим числа b (позначається a < b), якщо існує натуральне число x таке, що a + x = b.

" ab Î N0: a < b : Û $ x Î N0: a + x = b.

На основі того, що a + 1 = 1 + a = a′, одержуємо наслідок.

Наслідок 3. " a Î N0: a < a′.

Теорема 9. Відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел транзитивне:

" ab Î N0: (a < bÙ (b < c) → (a < c).

► Нехай a, b і c – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a < b і b < c. Звідси за означенням відношення "менше"

a + x1 = b, x1 Î N.

(1)

b + x2 = c, x2 Î N.

(2)

З (1) і (2) одержуємо

(a + x1) + x2 = c Þ за асоціативністю додавання

a + (x1 + x2) = c.

Оскільки x1 і x2 – натуральні числа, то і їх сума x = x1 + x2 також натуральне число. Отже, a + x = c, x Î N. А тому за означенням відношення "менше" a < c.  ◄

Для встановлення інших властивостей відношення "менше" доведемо одну допоміжну теорему.

Теорема 10. " ax Î N0: x ≠ 0 → a + x ≠ a.

► Нехай M – множина тих цілих невід'ємних чисел a, для яких при довільному цілому невід'ємному числу x ≠ 0 має місце нерівність

a + x ≠ a.

(3)

1. Оскільки 0 + x = x і x ≠ 0, то 0 Î M.

2. Нехай ціле невід'ємне число a належить множині M, тобто при цьому a і при довільному x ≠ 0 виконується нерівність (3).

1. З припущення a + x ≠ a Þ за теоремою 3

(a + x)′ ≠ a′ Þ за комутативністю додавання

(x + a)′ ≠ a′ Þ за аксіомою 6

x + a′ ≠ a′ Þ за комутативністю додавання

a′ + x ≠ a′.

Отже, a′ Î M. Тому за аксіомою індукції M = N0, тобто нерівність (3) має місце при довільних цілому невід'ємному числу a і натуральному числу x.  ◄

Теорема 12. Для довільних цілих невід'ємних чисел a і b має місце одне і тільки одне із відношень:

a = b,

(4)

a < b,

(5)

b < a.

(6)

► І. Спочатку доведемо, що для довільних цілих невід'ємних чисел a і b має місце принаймні одне з відношень, про які говориться у теоремі.

Нехай M – множина цілих невід'ємних чисел a таких, що для довільного цілого невід'ємного числа b має місце принаймні одне з відношень (4) – (6).

1. Нехай a = 0. Для b можливий один і тільки один із випадків: або b = 0, або b ≠ 0.

Якщо b = 0, то у цьому випадку a = b.

Якщо ж b ≠ 0, то b є натуральним числом, і на основі властивості нуля при додаванні 0 + b = b. Отже, за означенням відношення "менше" 0 < b. Значить, для числа 0 і для довільного цілого невід'ємного числа b можливе одне із відношень (4) або (5), тому 0 Î M.

2. Припустимо, що ціле невід'ємне число a належить множині M. За означенням множини M для числа a і довільного цілого невід'ємного числа b має місце принаймні одне із вказаних відношень (4) – (6). Для цього розглянемо всі можливі відношення між a і b.

1) Нехай

a = b Þ за аксіомою 2

a′ = b′ Þ за властивістю одиниці при додаванні

b + 1 = a′ Þ за означенням відношення "менше"

b < a′.

Отже, в цьому випадку між a′ і b має місце відношення (6).

2) Нехай тепер

a < b Þ за означенням відношення "менше"

a + x = b,  x ≠ 0.

Оскільки x ≠ 0, то для нього існує попереднє число y, тобто y′ = x. Отже

a + y′ = b Þ за властивістю одиниці при додаванні

a + (1 + y) = b Þ за асоціативним законом додавання

(a + 1) + y = b Þ за властивістю одиниці при додаванні

a′ + y = b.

Для цілого невід'ємного числа y можливі лише такі два випадки або y = 0, або y ≠ 0. У першому випадку a′ = b. У другому випадку a′ < b. Отже, між числами a′ і b мають місце відношення (4) або (6).

3) Нарешті, нехай

b < a Þ за означенням відношення "менше"

(b + x = aÙ (x ≠ 0) Þ за аксіомою 2

(b + x)′ = a′ Þ за аксіомами 6 і 1

(b + x′ = a′) Ù (x′ ≠ 0) Þ за означенням відношення "менше"

b < a′.

Значить, в цьому випадку між числами a′ і b має місце відношення (6).

Таким чином, у всіх трьох випадках маємо, що коли a Î M, то a′ Î M.

А тому за аксіомою індукції M = N0, тобто для довільних цілих невід'ємних чисел a і b має місце одне з трьох відношень (4) – (6).

ІІ. Доведемо тепер, що має місце тільки одне з трьох вказаних відношень.

1. Нехай має місце відношення (4), тобто a = b. Припустимо, що виконується також відношення a < b. Тоді

a < b Þ за означенням відношення "менше"

a + x = b, x ≠ 0.

Підставляючи в останню рівність замість числа b рівне йому число a, одержимо

a + x = a, x ≠ 0,

що суперечить теоремі 10.

Аналогічно протиріччя одержується, коли b < a. Отже, відношення a = b не може мати місце разом з відношеннями a < b чи b < a.

2. Нехай має місце відношення (5), тобто a < b. Тоді, як доведено попереду, воно несумісне з відношенням (4). Доведемо, що воно не сумісне і з відношенням (6). Дійсно, припустимо, що мають місце одночасно відношення (5) і (6). Тоді

(a < bÙ (b < aÞ за означенням відношення "менше"

(a + x1 = bÙ (b + x2 = aÙ (x1 ≠ 0) Ù (x2 ≠ 0) Þ підстановка у другу рівність значення b з першої

((a + x1) + x2 = aÙ (x1 ≠ 0) Ù (x2 ≠ 0) Þ за асоціативним законом додавання

(a + (x1 + x2) = aÙ (x1 ≠ 0) Ù (x2 ≠ 0) Þ за властивістю суми натуральних чисел

(a + (x1 + x2) = aÙ (x1 + x2 = x ≠ 0)

Останнє твердження суперечить теоремі 10.

Цим самим доведено, що відношення (4), (5) і (6) попарно несумісні і виконується тільки одне з них на основі доведеного у пункті І.  ◄

Із теорем 9 і 11 одержується наслідок.

Наслідок 4. Відношення "менше" на множині цілих невід'ємних чисел є відношенням строгого лінійного порядку, а сама множина разом з цим відношенням є строго лінійно впорядкованою множиною.

Відношення "більше" (позначається ">"), "менше або рівне" (позначається "≤"), "більше або рівне" (позначається "≥") означаються аналогічно тому, як вони означені в кількісній теорії цілих невід'ємних чисел, тобто відношення "більше" є оберненим до відношення "менше"; відношення "менше або рівне" є об'єднанням двох відношень, а саме "менше" і "рівне"; відношення "більше або рівне" можна означити двома способами: як відношення обернене до відношення "менше або дорівнює", або як об'єднання двох відношень "більше" і "рівне".

З аналізу доведення теореми 11 і наслідку 3 одержимо

Наслідок 5. Нуль є найменшим цілим невід'ємним числом:

" a Î N0: 0 ≤ a.

Наслідок 6. Одиниця є найменшим натуральним числом

" a Î N: 1 ≤ a.

Наслідок 7. У множині цілих невід'ємних чисел не існує найбільшого числа.

Останній наслідок є одним із формулювань властивості нескінченності множини цілих невід'ємних чисел.

  1.  Дискретність і нескінченність множини цілих невід’ємних чисел. Принципи найменшого і найбільшого числа (без доведення)

В аксіоматичній теорії цілих невід'ємних чисел можна довести ряд властивостей, які у кількісній теорії доводити значно складніше, або навіть неможливо довести на основі тих знань, які відомі у кількісній теорії.

Строго лінійно впорядкована множина називається дискретною, якщо для кожного її елемента існує сусідній елемент, тобто строго лінійно впорядкована відношенням ρ множина M називається дискретною, коли

" x Î M  $ y Î M:  (x ρ yÙ .

Теорема 12. Множина цілих невід'ємних чисел N0, впорядкована відношенням "менше", дискретна.

► Доведемо, що для кожного цілого невід'ємного числа існує сусіднє число.

Дійсно, для будь-якого цілого невід'ємного числа a за аксіомою 2 існує наступне число a. Покажемо, що числа a і a′ є сусідніми.

Візьмемо будь-яке ціле невід'ємне число b таке, що

a < b Þ за означенням відношення "менше" для цілих невід'ємних чисел

a + x = b, x Î N Þ за теоремою 2 про існування попереднього числа

(y′ = xÙ (a + y′ = bÞ за властивістю одиниці при додаванні

a + (1 + y) = b Þ за асоціативним законом додавання

(a + 1) + y = b Þ за властивістю одиниці при додаванні

a′ + y = b.

Враховуючи те, що для довільного цілого невід'ємного числа y можливі лише такі випадки: або y = 0, або y ≠ 0, тоді за означенням відношень "менше" і "менше або рівне" будемо мати: якщо a < b, то a ≤ b. Отже, такого цілого невід'ємного числа, яке було б більше a і менше a′ не існує. Тому a і a′ є сусідніми. Значить, множина цілих невід'ємних чисел, впорядкована відношенням "менше", є дискретною.  ◄

Теорема 13 (принцип найменшого числа). У кожній непорожній множині цілих невід'ємних чисел існує найменше число.

Теорема 14 (принцип найбільшого числа). У кожній непорожній множині цілих невід'ємних чисел, які не перевищують заданого числа, існує найбільше число.

Відношення "менше" і "більше" для натуральних чисел вводиться у першому класі і розглядається на протязі всіх років навчання у школі. І хоч перше ознайомлення з ними проводиться на теоретико-множинній основі, при виконанні ряду завдань уже у першому класі "неявно" використовуються прийняті в аксіоматичній теорії означення відношень "менше" і "більше". Наприклад, учень може пояснити, що 9 > 7, бо 9  7 = 2. Нерідко неявно використовуються і закони монотонності при розв'язування таких вправ: 7 + 3 < 7 + 4, бо 3 < 4; 65 · 4 < 65 · 8, бо 4 < 8.

  1.  Операції віднімання і ділення. Неможливість ділення на нуль

В аксіоматичній теорії цілих невід'ємних чисел операції віднімання і ділення розглядаються як обернені операції відповідно до додавання і множення. Таке їх означення було розглянуте і у кількісній теорії.

Зупинимося ще раз на діленні цілих невід'ємних чисел.

Часткою довільних цілих невід'ємних чисел a і b ≠ 0 (позначається a : b або ) називається ціле невід'ємне число x таке, що b · x = a, тобто

b · (a : b) = (a : b) · b = a.

З'ясуємо, чому при означенні частки чисел a і b на b накладається умова b ≠ 0. Згідно з означенням бінарної алгебраїчної операції результат повинен визначатися однозначно її компонентами. На множині цілих невід'ємних чисел розглянемо рівняння

b · x = a.

(1)

Якщо b = 0, то рівняння (1) або зовсім немає розв'язків, при a ≠ 0, або ж має безліч розв'язків при a = 0.

Якщо ж b ≠ 0, то рівняння (1) має єдиний розв'язок.

Отже, при b = 0 розв'язок рівняння (1) визначається неоднозначно. Щоб уникнути цього, в означенні покладають b ≠ 0. У шкільному курсі математики вказана властивість формулюється у вигляді правила: ділення на нуль неможливе.

У кількісній теорії було встановлено єдиність частки при умові її існування. Отже, поняття частки породжує у множині цілих невід'ємних чисел операцію, яку називають діленням.

Не існує простої умови існування частки. Оскільки

" b Î N:  0 : b = 0,

то звідси випливає, що ділення можна розглядати лише у множині натуральних чисел. Має місце теорема, яка дає необхідну умову існування частки натуральних чисел.

Теорема 15. Для натуральних чисел a і b, якщо їх частка a : b існує, то a ≥ b, зокрема, коли a ≠ b, то a > b.

► Дійсно, нехай існує частка натуральних чисел a і b, тобто a : b = x. Звідси за означенням частки b · x = a. Оскільки a ≠ 0, то з останньої рівності випливає, що x ≠ 0. Отже, x ≥ 1. Тому за законом монотонності множення матимемо b · x ≥ b або, що те саме, a ≥ b.  ◄


Властивості арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами

  1.  Означення відношення „менше” і „більше” в аксіоматичній теорії через суму та доведення їх властивостей

В аксіоматичній теорії цілих невід'ємних чисел, як і у кількісній теорії, порівняно легко доводяться для операцій додавання і множення закони монотонності та правила скорочення.

Із законів монотонності множення і додавання цілих невід'ємних чисел одержуються властивості рівностей і нерівностей, пов'язаних з операціями над ними.

Наслідок 8. Рівності з цілими невід'ємними числами можна почленно додавати (множити):

" abcd Î N0: (a = bÙ (c = d) → (a + c = b + d),

(7)

" abcd Î N0: (a = bÙ (c = d) → (a · c = b · d).

(8)

► Доведемо (8). Нехай a, b, c і d – довільні цілі невід'ємні числа такі, що

(a = bÙ (c = d) за монотонністю множення цілих невід'ємних чисел

(a · c = b · cÙ (b · c = b · d) за транзитивністю відношення рівності цілих невід'ємних чисел

a · c = b · d.  ◄

Нерівності a < b, c < d (a > b і c > d) називаються нерівностями однакового смислу, а нерівності a < b, c > d (a > b і c < d) – нерівностями протилежного смислу.

Наслідок 9. Нерівності з цілими невід'ємними числами однакового смислу можна почленно додавати (множити), зокрема:

" abcd Î N0: (a < bÙ (c < d) → (a + c < b + d),

(9)

" abcd Î N0: (a < bÙ (c < d) → (a · cb · d).

(10)

► Доведемо (10). Нехай a, b, c, d – довільні цілі невід'ємні числа такі, що

(a < bÙ (c < dÞ за означенням відношення "менше" для цілих невід'ємних чисел

(a + x1 = b, x1 Î NÙ (c + x2 = d,   x Î NÞ за наслідком 8

(a + x1)(c + x2) = b · d,   x1·x2 Î N Þ за властивостями множення і додавання цілих невід'ємних чисел

a · c + (a · x2 + x1 · cx1 · x2) = b · d,   x1·x2 Î N Þ за властивостями множення і додавання цілих невід'ємних чисел

a · c + y = b · d,   y = a · x2 + x1 · cx1 · x2 Î N Þ за означенням відношення "менше" для цілих невід'ємних чисел

a · c < b · d.

Наслідок 10. Рівність і нерівність з цілими невід'ємними числами можна також почленно додавати, зберігаючи в результаті знак нерівності, зокрема:

" abcd Î N0: (a = bÙ (c < d) → (a + c < b + d).

Наслідок 11. Рівність з натуральними числами і нерівність з цілими невід'ємними числами можна почленно перемножати, зберігаючи при цьому знак нерівності, зокрема:

" ab Î N: " cd Î N0: (a = b) (c < d) → (a · c < b · d).

► Нехай a і b – довільні натуральні числа, а c і d – довільні цілі невід'ємні числа такі, що

a = b Ù c < d Þ за означенням відношення "менше" для цілих невід'ємних чисел

(a = b,  ab Î NÙ (c + x = d,  x Î NÞ за наслідком 8

a · (c + x) = b · d,   ax Î N Þ за властивостями додавання і множення цілих невід'ємних чисел

a · c + y = b · d,   y Î N Þ за означенням відношення "менше" для цілих невід'ємних чисел.

a · c < b · d.  

  1.  Принцип найменшого числа та його доведення

Теорема  (принцип найменшого числа). У кожній непорожній множині цілих невід'ємних чисел існує найменше число.

► Нехай A – довільна непорожня множина цілих невід'ємних чисел. Потрібно довести, що

$ c Î N0: (c Î AÙ (" x Î A: c ≤ x).

Розглянемо множину M, визначену так:

M = {y Î N0 | " x Î A: y ≤ x}.

Оскільки A – непорожня множина, то

на основі того, що 0 є найменшим цілим невід'ємним числом, тоді за означенням множини маємо 0 Î M;

існує число a Î A, причому a < a′. Тоді за означенням множини M маємо a′ Ï M. Отже, M ¹ N0.

З одержаних властивостей множини M випливає, що існує ціле невід'ємне число c таке, що

c Î M  і  c′ Ï M,

бо коли б для кожного цілого невід'ємного числа c разом з ним множині M належало б і число c′, то за аксіомою індукції мали б M = N0, а це суперечить доведеному вище.

Оскільки c Î M, то за її означенням " x Î A: c ≤ x.

Покажемо, що c Î A. Дійсно, якби c Ï A, то було б " x Î A: c < x.

Звідси за дискретністю множини цілих невід'ємних чисел одержуємо " x Î A: c′ ≤ x. А тому за означенням множини M  c′ Î M, що суперечить вибору c.

Отже, c Î A і цим самим доведено, що у кожній непорожній множині цілих невід'ємних чисел існує найменше число.  ◄


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64310. МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ САМООРГАНІЗАЦІЇ В СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМАХ 1.19 MB
  В економічній теорії відбувається перехід до нової парадигми розвитку, що ґрунтується на інформації; змінюються погляди на простір і час. В інформаційній економіці провідну роль відіграє людський фактор, а отже, змінюються вимоги до побудови нових відносин у суспільстві.
64311. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕІЗОТЕРМІЧНОГО ВОЛОГОПЕРЕНЕСЕННЯ І В’ЯЗКОПРУЖНОГО СТАНУ В ДЕРЕВИНІ У ПРОЦЕСІ СУШІННЯ 293.5 KB
  Процеси що відбуваються у деревині під час сушіння характеризуються взаємозв’язаними анізотропними фізикомеханічними властивостями і істотно залежать від густини температури вологовмісту та реологічної поведінки деревини.
64312. ОБҐРУНТУВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ПІДНІМАЛЬНО-ТРАНСПОРТУВАЛЬНОЇ МАШИНИ І РЕЖИМІВ ЇЇ ФУНКЦІОНУВАННЯ НА ЛІСОВИХ СКЛАДАХ З МАЛИМ ВАНТАЖООБІГОМ 9.11 MB
  Невідповідність між можливостями наявного устатковання лісових складів і обсягом робіт усувають шляхом його замінювання що є актуальним завданням вирішення якого дасть змогу підвищити ефективність роботи устатковання та впровадити комплексну механізацію лісоскладських робіт.
64313. Вплив пізнього модифікування та швидкості охолодження на структуру виливків з високоміцного чавуну 176 KB
  Проблема покращення структуроутворення тонкостінних виливків з високоміцного чавуну може бути вирішена підвищенням ефективності модифікування. Дослідження особливостей гідродинаміки і тепломасообміну процесів модифікування в проточних реакторах та розробка...
64314. СУХА БУДІВЕЛЬНА СУМІШ ДЛЯ ОТРИМАННЯ ТЕПЛОІЗОЛЯЦІЙНИХ МАТЕРІАЛІВ ЗНИЖЕНОЇ ПАРОПРОНИКНОСТІ 250.5 KB
  Для досягнення поставленої мети розв'язувалися наступні завдання дослідження: теоретично обґрунтувати зниження паропроникності теплоізоляційних матеріалів на основі спученого перліту цементного в’яжучого і хімічних добавок...
64315. Підвищення експлуатаційних показників систем автоматичного регулювання напруги низьковольтних кіл електрорухомого складу 502 KB
  Основними елементами систем автоматичного регулювання напруги низьковольтних кіл електрорухомого складу який знаходиться в експлуатації є акумуляторна батарея генератор постійного струму та вузол керування генератором який впливає на струм збудження генератора.
64316. ВИЗНАЧЕННЯ НАДІЙНОСТІ БУДІВЕЛЬ ПІДВИЩЕНОГО РІВНЯ ВІДПОВІДАЛЬНОСТІ З УРАХУВАННЯМ ФАКТОРІВ РИЗИКУ 3.03 MB
  Зростання рівня аварійності будівель та споруд внаслідок дії різноманітних невизначених факторів які непередбачені нормами проектування або невраховані проектними рішеннями що проявляються в реальних умовах експлуатації об’єкта актуалізує питання удосконалення...
64317. ПОЛІПШЕННЯ ЕКСПЛУАТАЦІЙНОЇ ЕФЕКТИВНОСТІ КОЛІСНИХ ТРАНСПОРТНИХ ЗАСОБІВ КАТЕГОРІЇ М2 379 KB
  Це колісні транспортні засоби КТЗ категорії М2. Недостатній аналіз функціональної придатності КТЗ категорії М2 за умов експлуатаційної ефективності ускладнює їх вибір стримує досягнення оптимальних показників техніко експлуатаційних властивостей.
64318. УДОСКОНАЛЕННЯ МЕТОДОЛОГІЧНОГО ПІДХОДУ ДО ОЦІНКИ ЕКОНОМІЧНОЇ ЕФЕКТИВНОСТІ ПРОФІЛІВ ЗАЛІЗНИЧНИХ КОЛІС 865 KB
  Наприкінці попереднього сторіччя з ряду причин темпи зношування коліс бандажів досягли наднормативних значень. У ремонт на обточування коліс бандажів стали направляти рухомий склад не у зв’язку з передбаченим розрахунком прокатом поверхні кочення а у зв’язку зі зношуванням гребенів.