18290

НАТУРАЛЬНЕ ЧИСЛО ЯК МІРА ВІДРІЗКА

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 17 НАТУРАЛЬНЕ ЧИСЛО ЯК МІРА ВІДРІЗКА Поняття про величини та їх вимірювання. Поняття про відрізок. Відношення дорівнює€ менше€ більше€ на множині відрізків та їх властивості. Поняття про додавання і віднімання над відрізками та їх властивос...

Украинкский

2013-07-07

87 KB

15 чел.

Лекція 17

НАТУРАЛЬНЕ ЧИСЛО ЯК МІРА ВІДРІЗКА

  1.  Поняття про величини та їх вимірювання.
  2.  Поняття про відрізок. Відношення „дорівнює”, „менше”, „більше” на множині відрізків та їх властивості.
  3.  Поняття про додавання і віднімання над відрізками та їх властивості.
  4.  Поняття про множення і ділення відрізків на натуральні числа.
  5.  Поняття про вимірювання відрізків. Натуральне число як міра відрізка.
  6.  Означення множення і ділення натуральних чисел, що розглядаються як міри відрізків.
  7.  Формування поняття про відрізки та їх вимірювання в початковому курсі математики.

  1.  Поняття про величини та їх вимірювання

У практичній діяльності людина має справу з різними величинами. Вимірювання їх, як і потреба лічби, сприяли виникненню поняття натурального числа. Способи вимірювання величин різні, але всі вони ґрунтуються на одному і тому ж самому принципі: серед об'єктів, що потрібно виміряти, вибирається довільний, який називають еталоном або одиничним елементом, а всі інші порівнюються з ним. Результатом порівняння є різного виду числа, насамперед натуральні. А тому зміст натурального числа, як результату вимірювання величин, можна розглянути на прикладі однієї з них – вимірюванні відрізка.

  1.  
    Поняття про відрізок. Відношення „дорівнює”, „менше”, „більше” на множині відрізків та їх властивості

Відрізком називається множина точок прямої, що лежать між двома її різними точками, які називаються кінцями відрізка, а всі інші точки відрізка – його внутрішніми точками.

Відрізки α і β називаються рівними (позначаються α = β), якщо один з них можна накласти на другий так, що їхні кінці збіжаться.

Теорема 1. Відношення рівності на множині відрізків є відношенням еквівалентності.

Для порівняння відрізків α і β на промені OX відкладають відрізки OA = α і OB = β. Можливі три випадки.

  1.  Точки A і B збігаються (мал. 1). В цьому випадку OA = OB або, що те саме, α = β.

Мал. 1.

2. Точка B є внутрішньою точкою відрізка OA (мал. 2). У цьому випадку відрізок OB називається меншим за відрізок OA, а відрізок OAбільшим за відрізок OB (записується відповідно OB < OA чи OA > OB або, що те саме, β < α чи α > β).

Мал. 2.

3. Точка A є внутрішньою точкою відрізка OB (мал. 3). У цьому випадку відрізок OA називається меншим за відрізок OB, а відрізок OBбільшим за відрізок OA (записується відповідно OA < OB чи OB > OA або, що те саме, α < β чи β > α).

Мал. 3.

На основі проведених міркувань одержуємо теорему.

Теорема 2. Для довільних відрізків α і β має місце одне і тільки одне із відношень: або α = β, або α < β, або α > β.

Неважко довести теорему.

Теорема 3. Відношення "менше" ("більше") транзитивне на множині відрізків.

Із теорем 2 і 3 одержуємо наслідок.

Наслідок 1. Відношення "менше" ("більше") є відношенням строгого лінійного порядку на множині відрізків.

Користуючись відношенням "рівне", "менше" ("більше") множину всіх відрізків можна розбити на класи рівних між собою відрізків і класи строго лінійно впорядкувати.

  1.  Поняття про додавання і віднімання над

відрізками та їх властивості

Нехай n i k – будь-які натуральні числа. Виберемо довільний одиничний відрізок ε і розглянемо відрізки α = n×ε та β = k×ε. Матимемо

В останню суму відрізок ε входить n + k разів, а тому

α + β = (n + k)×ε.

Цим самим доведено теорему.

Теорема 7. Якщо при вибраному одиничному відрізку ε відрізки α і β мають мірами відповідно натуральні числа n і k, то їх сума має мірою натуральне число n + k.

Доведена теорема дає можливість так сформулювати означення суми довільних двох натуральних чисел.

Сумою довільних двох натуральних чисел n i k (позначається n + k) називається натуральне число, яке є мірою відрізка, що є сумою двох відрізків, перший з яких має мірою натуральне число n, а другий – натуральне число k при одному й тому ж одиничному відрізку.

Теорема 8. Так означена сума натуральних чисел завжди існує і єдина.

► Нехай n і k – довільні натуральні числа, а ε – будь-який одиничний відрізок. Побудуємо відрізки α = n×ε і β = k×ε. Сума відрізків α + β завжди існує і єдина (теорема 4) і є об'єднанням двох скінченних множин одиничних відрізків. Звідси на основі означення міри відрізка мірою відрізка α + β буде натуральне число, причому воно єдине при вибраному одиничному відрізку (наслідок 2). Отже, сума натуральних чисел, означена таким чином, завжди існує і єдина.  ◄

Теорема 8 дає можливість вести мову про операцію додавання на множині натуральних чисел. Оскільки сума натуральних чисел означена через суму відрізків, то для операції додавання натуральних чисел матимуть місце властивості, аналогічні властивостям операції додавання відрізків (теорема 5).

Аналогічні міркування приводять до такого означення різниці натуральних чисел, які розглядаються як міри відрізків.

Різницею двох довільних натуральних чисел n і k (позначається n – k) називається натуральне число, яке є мірою різниці двох відрізків, перший з яких має мірою натуральне число n, другий – натуральне число k при одному і тому ж одиничному відрізку.

Оскільки різниця натуральних чисел означена через різницю відрізків, яка існує і єдина тоді і тільки тоді, коли перший відрізок більший другого, то й різниця натуральних чисел існує і єдина тоді і тільки тоді, коли перше число більше за друге. Отже, операція віднімання є частковою операцією у множині натуральних чисел.

Розгляд суми і різниці натуральних чисел як міри величин дозволяє обґрунтувати вибір операцій при розв'язуванні різних задач, які розглядаються у курсі математики.

Задача 1. Обґрунтувати вибір операцій при розв'язуванні задачі.

За перший день турист пройшов 7 км, а за другий – 5 км. Яку відстань пройшов турист за два дні? На скільки кілометрів більше пройшов турист першого дня, ніж другого?

► Шлях, пройдений туристом за два дні, можна розглядати як суму двох відрізків, кожний з яких є шляхом, пройденим туристом відповідно за перший і другий дні, мірами яких є числа 7 і 5 при одиничному відрізку кілометр.

Міра відрізка, який є сумою відрізків, дорівнює сумі мір даних відрізків, тому міра всього шляху знаходиться за допомогою операції додавання:

7 + 5 = 12 (км).

Оскільки 7 > 5, то існує відрізок, який є різницею відрізків, що відповідають шляхам, пройденим туристом відповідно за перший і другий дні, а його числове значення вказує, на скільки перший відрізок більший за другий. Міра відрізка, що дорівнює різниці відрізків, знаходиться за допомогою операції віднімання:

7 – 5 = 2 (км).

Відповідь: турист пройшов за два дні 12 км, причому за перший день на 2 км більше, ніж за другий.  ◄

  1.  Поняття про множення і ділення відрізків на натуральні числа

До поняття добутку і частки натуральних чисел, що розглядаються як міри відрізків, можна дійти за допомогою розв'язування задач про знаходження міри відрізка при різних одиничних відрізках.

Нехай ε і ε1 – одиничні відрізки, а n і k – натуральні числа такі, що n – міра відрізка α при одиничному відрізку ε, а k – міра відрізка ε при одиничному відрізку ε1, тобто α =  і ε = 1. За означенням міри відрізка матимемо

Звідси

А тому за означенням добутку натуральних чисел дістанемо

α = (n×k)×ε1.

Отже, доведено теорему.

  1.  Поняття про вимірювання відрізків.

Натуральне число як міра відрізка

Порівняння відрізків та операції над ними не завжди зручно виконувати, користуючись самими відрізками, а тому виникає задача, як звести це до порівняння і операцій над числами, зокрема натуральними. Виявляється, що дана задача розв'язується за допомогою вимірювання відрізків.

Зафіксуємо у множині відрізків деякий відрізок ε, який назвемо одиничним відрізком. Візьмемо тепер довільний відрізок α. Будемо розбивати його на відрізки рівні одиничному відрізку ε. Можливі два випадки:

1) Відрізок α розіб'ється на n відрізків рівних ε, тобто

.

На мал. 6  n = 4.

Мал. 6.

2) Не існує такого натурального числа n, щоб відрізок α можна було розбити на n відрізків, кожний з яких дорівнює ε. На мал. 7 наведено такий приклад.

Мал. 7.

Якщо вибрано одиничний відрізок ε і відрізок α можна розбити на n одиничних відрізків, то число n називається мірою відрізка α при одиничному відрізку ε. Якщо ж відрізок α дорівнює одиничному відрізку, то за означенням покладають, що його міра дорівнює одиниці.

За цим означенням, коли натуральне число n є мірою відрізка α при одиничному відрізку ε, то

або

α := n×ε.

Число n ще називають числовим значенням довжини відрізка α при одиничному відрізку ε або коротко – довжиною відрізка α.

Як показує наведений на мал. 8 приклад, числове значення довжини відрізка залежить від одиничного відрізка, де α = 3×ε і α = 6×ε1.

Мал. 8.

Коли ж одиничний відрізок зафіксовано і відрізок має міру, то вона визначається однозначно.

Для довільного натурального числа n при вибраному одиничному відрізку ε існує і притому єдиний відрізок, з точністю до відношення рівності, мірою якого є число n. Але, як показано на мал. 7, не кожен відрізок при одиничному відрізку має своєю мірою натуральне число.

З попередніх міркувань одержується наслідок.

Наслідок 2. Натуральне число як міра відрізка вказує, сумою скількох одиничних відрізків є заданий відрізок. При вибраному одиничному відрізку це число єдине.

Якщо зафіксувати одиничний відрізок і розглядати натуральні числа як міри відрізків, то матимемо наслідки.

Наслідок 3. Два натуральні числа будуть рівними тоді і тільки тоді, коли відрізки, для яких вони є мірами, рівні.

Наслідок 4. З двох натуральних чисел перше буде менше другого тоді і тільки тоді, коли перший відрізок, мірою якого є перше число, менший другого відрізка, мірою якого є друге число.

Тлумачення натурального числа як міри відрізка дає можливість по-іншому підійти до означення арифметичних операцій над натуральними числами, які будуть потрібні надалі для розширення поняття натурального числа.

  1.  Означення множення і ділення натуральних чисел,

що розглядаються як міри відрізків

Теорема 9. Якщо при вибраних одиничних відрізках ε і ε1 таких, що відрізок α при одиничному відрізку ε має мірою натуральне число n, а відрізок ε при одиничному відрізку ε1 має мірою натуральне число k, то мірою відрізка α при одиничному відрізку ε1 буде натуральне число, що дорівнює добутку чисел n і k:

α = (n×k)×ε1.

Дана теорема дає можливість так сформулювати означення добутку натуральних чисел, що розглядаються як міри відрізків.

Добутком двох довільних натуральних чисел n i k (позначається n×k) називається натуральне число, яке є мірою відрізка при одиничному відрізку ε1, де n є мірою цього ж самого відрізка при одиничному відрізку ε, а число k є мірою відрізка ε при одиничному відрізку ε1.

Теорема 10. Так означений добуток двох довільних натуральних чисел завжди існує і єдиний.

► Нехай n і k – довільні натуральні числа, а ε – одиничний відрізок. Побудуємо відрізок α = n×ε. Виберемо одиничний відрізок ε1, такий, що ε = k×ε1.

Відрізок α є об'єднанням скінченної множини одиничних відрізків ε, кожний з яких, у свою чергу, є об'єднанням скінченної множини одиничних відрізків ε1. Отже, відрізок α є об'єднанням скінченної множини одиничних відрізків ε1. Звідси на основі означення міри відрізка відрізок α має мірою натуральне число, причому воно єдине при одиничному відрізку ε1.

Отже, означений таким чином добуток натуральних чисел завжди існує і єдиний.  ◄

Теорема 10 дає можливість говорити про операцію множення натуральних чисел. Встановлення властивостей множення натуральних чисел на основі даного означення добутку натуральних чисел складає певні труднощі.

Нехай існує частка натуральних чисел n i k: n : k = p, або, що те саме, n = k·p. Візьмемо одиничний відрізок ε і розглянемо відрізки α = n·ε та ε1 = k·ε. Встановимо, якою буде міра відрізка α при одиничному відрізку ε1.

За означенням міри відрізка, матимемо:

Враховуючи, що , відрізок α можна записати

.

Звідси одержуємо, що , тобто α = (n : kε1.

Отже, маємо теорему.

Теорема 11. Якщо при вибраних одиничних відрізках ε і ε1 таких, що відрізок α має мірою натуральне число n при одиничному відрізку ε, а відрізок ε1 має мірою натуральне число k при одиничному відрізку ε, то мірою відрізка α при одиничному відрізку ε1 буде частка чисел n і k, при умові, що частка існує:

α = (n : k× ε1.

Дана теорема дає можливість так сформулювати означення частки натуральних чисел, що розглядаються як міри відрізків.

Часткою двох довільних натуральних чисел n і k (позначається n : k або ) називається натуральне число, яке є мірою відрізка при одиничному відрізку ε1, де число n є мірою цього ж відрізка при одиничному відрізку ε, а число k є мірою відрізка ε1 при одиничному відрізку ε.

Оскільки довільний відрізок α не завжди можна розбити на відрізки ε1 = k·ε, де k > 1, то частка натуральних чисел не завжди існує. Якщо ж частка натуральних чисел існує, то вона єдина. А тому, коли знаходження частки натуральних чисел назвати діленням, то ця операція буде частковою операцією у множині натуральних чисел.

Означення добутку і частки натуральних чисел, що розглядаються як міри відрізків, показують, що за допомогою множення здійснюється перехід до менших, а при діленні – до більших одиничних відрізків.

Трактування натуральних чисел як міри величин дозволяє обґрунтувати вибір арифметичних операцій при розв'язуванні задач.

Задача 2. Обґрунтувати вибір арифметичних операцій при розв'язуванні задачі.

На дитяче пальто витрачають два метри сукна. Скільки таких пальт можна пошити з 12 м сукна?

► Все сукно можна розглядати як відрізок, мірою якого є натуральне число 12 при одиничному відрізку "метр", а пальто – як новий еталон, мірою якого є натуральне число 2 при одиничному відрізку "метр". Число пальт буде мірою відрізка сукна при еталоні "пальто", і, оскільки "пальто" є більшим еталоном, ніж "метр", то відповідь на питання задачі одержуємо за допомогою операції ділення:

12 : 2 = 6 (пальт).

Відповідь: із 12 м сукна можна пошити 6 дитячих пальт.  ◄

  1.  Формування поняття про відрізки та їх вимірювання в початковому курсі математики

У шкільному, зокрема, початковому курсі математики приділяється велика увага питанню вимірювання величин, причому результатом їх вимірювання тут завжди є натуральне число. У процесі вимірювання учні переконуються на практиці, що воно здійснюється за допомогою лічби і у результаті вимірювання одержується число, яке вказує, наприклад, скільки гир масою 1 кг потрібно поставити на другу шальку терезів, щоб врівноважити зважуваний предмет, скільки літрів води, молока і т. д. містить дана посудина.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34992. Взаимодействие между спросом и предложением 52.5 KB
  Конкуренция в переводе с латинского означает сходиться сталкиваться это экономическое соперничество состязательность обособленных товаропроизводителей и потребителей за получение максимального дохода. В широком смысле слова понятие конкуренция употребляется в экономической науке как элемент рыночного механизма обеспечивающий взаимодействие субъектов рыночного хозяйства в процессе производства купли и продажи товаров а также в сфере приложения капитала. В более узком смысле понятие конкуренция употребляется как соперничество...
34993. Препринимательство 30.5 KB
  Самостоятельность в организации производства дополняется коммёрческой свободой. Она предполагает поиск новых путей развития производства. Предприниматель второго типа для достижения намеченной цели имеет во внешней среде альтернативные возможности сопоставляет их с имеющимися ресурсами и выбирает новую комбинацию факторов производства. Предприниматель берет на себя инициативу соединения и координацию факторов производства труда земли и капитала.
34994. Основные понятия собственности. Формы деловых предприятий 30.5 KB
  Основные понятия собственности. В отношении собственности выделяют юридические правовые и экономические отношения собственности. Первые характеризуют отношения субъектов собственности собственников к объектам собственности имуществу. Экономические отношения собственности возникают только там где собственность служит источником дохода.
34996. Бухгалтерские издержки 30.5 KB
  Бухгалтерские издержки определяются фактическими затратами на заработную плату рабочих и служащих расходами на сырье и материалы величиной амортизационных отчислений по капитальному оборудованию и т. Бухгалтерские издержки лежат в основе определения бухгалтерской фактической прибыли предприятия которая определяется как общая выручка минус бухгалтерские издержки. Инструментами экономического анализа выступают так называемые экономические издержки. Экономические издержки фирмы это издержки рассчитанные с учетом альтернативного...
34998. Закон убывающей производительности (отдачи) 29 KB
  Дело в том что в краткосрочном периоде когда технологический процесс остается неизменным а величина хотя бы одного фактора является фиксированной неизменной неизбежно наступает такой момент когда каждая новая вовлекаемая в производство единица переменного фактора будет обеспечивать меньшее увеличение выпуска продукции чем предыдущая. Но по закону убывающей предельной производительности последовательное увеличение переменного ресурса при неизменности других ведет к убывающей отдаче данного фактора то есть к снижению предельного...
34999. Издержки производства в долгосрочном периоде. Эффекты мас 32 KB
  Хозяйственная практика показывает что на каждой ступени расширения производственных мощностей и увеличения объемов производства происходит постепенное снижение издержек производства на единицу продукции. Эта закономерность проявляющаяся слабее или сильнее практически в любом виде производства объясняется действием так называемых эффектов масштаба. Если долговременные средние издержки падают с ростом выпуска говорят что фирма имеет экономию обусловленную ростом масштабов производства.
35000. Принцип формирования и виды доходов населения 32 KB
  Признаются равно справедливыми и приемлемыми и высокие доходы тех кто преуспел в конкуренции и низкие доходы а то и отсутствие таковых тех кто потерпел неудачу. Доходы населения принято классифицировать в соответствии с разными признаками. доходы за вычетом налогов и взносов. Номинальные доходы сумма денег полученная человеком за определенный период времени.