18291

ДЕСЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 18 ДЕСЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ Поняття про систему числення. Число і цифра. Непозиційні і позиційні системи числення. Десяткова система числення запис читання і порівняння цілих невід’ємних чисел в ній. Алгоритм додавання чисел в десятковій системі ...

Украинкский

2013-07-07

148 KB

52 чел.

Лекція 18

ДЕСЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ

  1.  Поняття про систему числення. Число і цифра. Непозиційні і позиційні системи числення.
  2.  Десяткова система числення, запис, читання і порівняння цілих невід’ємних чисел в ній.
  3.  Алгоритм додавання чисел в десятковій системі числення.
  4.  Алгоритми ділення чисел в десятковій системі числення.

На самостійне опрацювання

Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними

числами в десятковій системі числення

  1.  Алгоритм віднімання цілих невід’ємних чисел.
  2.  Алгоритм множення цілих невід’ємних чисел.

  1.  Поняття про систему числення. Число і цифра.

Непозиційні і позиційні системи числення

Діяльність людини сприяла появі все нових і нових чисел, які потрібно було не тільки називати і записувати, але й виконувати над ними різні операції. За тривалий період розвитку у різних народів були створені різні системи найменування і позначення чисел.

Системою числення називається сукупність знаків і правил, за допомогою яких можна записати і прочитати довільне ціле невід'ємне число.

Перед кожною системою числення ставляться такі три вимоги:

будь-яке ціле невід'ємне число однозначно записується у даній системі числення;

числа легко порівнювати на основі їх запису;

алгоритми виконання арифметичних операцій над числами, записаними у даній системі числення, порівняно прості.

Для деяких цілих невід'ємних чисел є індивідуальні спеціальні знаки для їх позначення і запису. Ці знаки називаються цифрами, а самі числа, що позначаються цими знаками, називаються вузловими, усі інші числа записуються за допомогою арифметичних операцій над вузловими числами і називаються алгоритмічними.

Системи числення поділяються на позиційні і непозиційні. У непозиційних системах числення значення цифри не залежить від того, яке місце (позицію) вона займає у запису числа. З непозиційних систем числення на даний час найбільш відомою є римська, якою іноді користуються і зараз. Основні її цифри I, V, X, L, C, D, M, якими зображаються відповідно вузлові числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Інші числа можна одержати у результаті додавання і віднімання вузлових чисел за певними правилами. Наприклад, у римській системі числення записом числа 1996 буде MCMXCVI. Одним із недоліків непозиційних систем числення є те, що у них для запису великих чисел потрібно вводити все нові і нові вузлові числа, а, значить, нові цифри.

У позиційних системах числення, на відміну від непозиційних, числове значення кожної цифри змінюється із зміною її положення (позиції) у запису числа, що значно полегшує його запис, а також порівняння чисел і виконання арифметичних операцій над ними. Тому позиційні системи числення набули широкого вжитку. У них використовується розрядний принцип запису чисел: число g одиниць одного розряду складає одну одиницю наступного вищого розряду. Іншими словами число g, яке називається основою системи числення, вказує на те, що при зміні положення цифри у запису числа на одну одиницю вліво (вправо) числове значення її збільшується (зменшується) у g разів. За основу системи числення може бути вибране довільне натуральне число g > 1. Для запису чисел у позиційній системі числення з основою g потрібно g цифр, кожна з яких позначає одне з цілих невід'ємних чисел від 0 до g – 1, які називаються одноцифровими числами. Зокрема, при g = 10 одержується позиційна система числення, яка називається десятковою.

  1.  Десяткова система числення, запис,

читання і порівняння цілих невід’ємних чисел в ній

Десяткова система числення є одним із видів позиційних систем числення. Широке впровадження її у практику обумовлено наявністю у людини найпростішого лічильного пристрою – 10 пальців рук. Вивчення десяткової системи числення – одне з основних завдань курсу математики сучасної школи.

У десятковій системі числення для запису перших десяти цілих невід'ємних чисел використовуються десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, які називаються цифрами десяткової системи числення, а самі числа –одноцифровими.

Десятковим записом натурального числа a називається подання його у вигляді

a = an10n + an110n1 + …+ a110 + a0.

(1)

де a0, a1, …, an – цифри десяткової системи числення і an ≠ 0.

Сума an10n  + an-110n-1 + …+ a110 + a0 коротко записується .

Числа 1 = 100, 101, 102, …, 10n, тобто 1, 10, 100, …,    (у числі n нулів) називаються розрядними одиницями відповідно першого, другого, …, (n + 1)-розрядів, причому 10 одиниць одного розряду складають одну одиницю наступного вищого розряду.

У запису (1) доданки a0, a1101, a2102,… an-110n-1, an10n називають розрядними доданками.

Десятковий запис числа показує, скільки одиниць найнижчого розряду є у числі і як вони розподілені, як одиниці вищих розрядів.

Теорема 1. Десятковий запис натурального числа завжди існує і єдиний.

Теорема 1 є окремим випадком теореми про запис числа у позиційній системі числення, яка буде доведена пізніше.

Зауваження. Оскільки

" a Î N0: 0 · a = 0  і  " a Î N0: 0 + a = a,

то приписування нулів зліва до числа, записаного у десятковій системі числення не змінює його значення, що дає можливість зрівнювати кількості цифр, де це доцільно, у десятковому записі чисел.

У шкільному, зокрема, початковому курсі математики під десятковим записом часто розуміють суму його розрядних доданків, тобто коли у запису

an10n + an-110n-1 + … + a110 + a0

операції множення і піднесення до степеня замінити їх результатами. Наприклад, 23081 = 2·104 + 3·103 + 0·10 + 8·10 + 1 = 20000 + 3000 + 80 + 1.

Для читання числа його розряди, починаючи з найнижчого, діляться на класи по три розряди у кожному, причому останній клас може включати і менше розрядів. Перший розряд (найнижчий) кожного з класів називається розрядом одиниць, другий – розрядом десятків, третій – розрядом сотень відповідного класу.

Перший клас (найнижчий) називається класом одиниць, другий – класом тисяч, третій – класом мільйонів, четвертий – класом мільярдів, п'ятий – класом трильйонів і т. д.

Для найменування чисел у межах трильйона потрібно знати лише 18 слів: нуль, один, два, три, чотири, п'ять, шість, сім, вісім, дев'ять, десять, сорок, дев'яносто, сто, тисяча, мільйон, мільярд і трильйон.

Назва чисел другого десятка, крім десяти, тобто чисел виду  = 10 + a0, утворюється із поєднання назв одноцифрового числа і слова "десять" (десять є першим двоцифровим числом). Наприклад, число 12 читається: "два-на-дцять" (два на десять). У цих назвах природно вживати сполучник "і" (два і десять), але наші пращури вживали прийменник "на", що й залишилося у мові.

Числа від 21 до 999 в основному читаються так: послідовно називається число одиниць, якщо воно є у запису, третього, другого і першого розрядів, причому назва останнього розряду не вказується. Наприклад, число 254 читається: двісті п'ятдесят чотири.

Для читання чисел, записи яких містять більше як три цифри, їх спочатку ділять на класи, а потім послідовно читають числа кожного класу, починаючи з найвищого, причому вказується найменування кожного класу, за винятком класу одиниць. Наприклад, число 34 605 328 006 670 містить 5 класів і читається: тридцять чотири трильйони шістсот п'ять мільярдів триста двадцять вісім мільйонів шість тисяч шістсот сімдесят.

Порівняння чисел, записаних у десятковій системі числення, ґрунтується на таких теоремах.

Теорема 2. Одна одиниця вищого розряду більша за число, яке складається з одиниць нижчих розрядів:

" k Î N: 10k > .

► Нехай k – довільне натуральне число і . Запишемо число a у вигляді суми розрядних доданків і врахуємо те, що кожне одноцифрове число не перевищує 10 – 1. Звідси одержуємо

a = ak-110k-1 + ak-210k-2 + … + a110 + a0 ≤ (10 – 1)·10k-1 + (10 – 1)·10k-2 +…

+ (10 – 1)·10 + (10 – 1) = (10k – 10k-1) + (10k-1 + 10k-2) + … + (102 – 10) +

+ (10 – 1) = 10k – 1 < 10k.

Отже, 10k > ak-110k-1 + ak-210k-2 + … + a110 + a0.  ◄

При формулюванні наступної теореми вважатимемо, що кількість цифр у десяткових записах чисел однакова.

Теорема 3. З двох чисел більшим буде те, у десятковому записі якого раніше зустрічається більша кількість одиниць відповідного розряду.


► Нехай

a = an10n + an-110n-1 + … + ak+110k+1 + ak10k + … + a110 + a0,

b = bn10n + bn-110n-1 + … + bk+110k+1 + bk10k + … + b110 + b0,

де

an = bn,  an-1 = bn-1,  …,  ak+1 = bk+1

(2)

і

ak > bk.

(3)

З рівностей (2) на основі монотонності множення цілих невід'ємних чисел матимемо

.

(4)

З нерівності (3) і дискретності множини цілих невід'ємних чисел одержимо ak ≥ bk + 1, і, значить,

ak = bk + c + 1,  де c Î N0.

(5)

За теоремою 2

10k > bk110k1 + bk210k2 + … + b110 + b0.

(6)

Крім того, очевидно, що

c10k + ak110k1 + … + a110 + a0 ≥ 0.

(7)

Додавши почленно рівності і нерівності (4), (6) і (7), дістанемо

an10n + an-110n-1 + … + ak+110k+1 + (bk + c + 1)10k + ak-110k-1 + … + a110 + a0 >

bn 10n + bn1 10n1 + … + bk+1 10k+1 + bk 10k + … + b110 + b0.

(8)

Враховуючи рівність (5) та десятковий запис чисел a і b, з нерівності (8) одержуємо a > b.  ◄

Наприклад, з двох чисел 367001 і 366987 перше число буде більше другого, бо 3 = 3, 6 = 6, але 7 > 6.

Розгляд попереднього матеріалу показує, що у десятковій системі числення:

кожне ціле невід'ємне число записується однозначно;

легко порівнювати числа на основі їх запису.

  1.  Алгоритм додавання чисел в десятковій системі числення

Встановимо алгоритм додавання багатоцифрових чисел у десятковій системі числення. Очевидно, що для довільних одноцифрових чисел s і t виконуються умови

s + t ≤ 18   i   s + t + 1 ≤ 19,

тобто обидві ці суми є або одноцифровими числами, або двоцифровими числами виду  = 10 + a0.

Для знаходження суми двох багатоцифрових цілих невід'ємних чисел у десятковій системі числення користуються їх десятковим записом, причому, як було обумовлено раніше, можна вважати, що записи містять однакову кількість цифр.

Нехай  a = an10n + an–110n–1 + … + a110 + a0

і b = bn10n + bn–110n–1 + … + b110 + b0.

Тоді

a + b = (an10n + an-110n-1 … + a110 + a0) + (bn10n + bn-110n-1 + … + b110 + b0).

Скориставшись комутативним і асоціативним законами додавання, суму a + b можна подати у вигляді

a + b = (an + bn)10n + (an-1 + bn-1) 10n-1 + … + (a1 + b1)10 + (a0 + b0)

(1)

Права частина рівності (1) є десятковим записом суми чисел a і b лише у тому випадку, коли всі суми ai + bi, і = 0, 1, …, n будуть одноцифровими числами. Коли ж серед сум ai + bi є двоцифрові числа, то міркують так: нехай k – найменше серед значень і, при якому сума ai + bi є двоцифровим числом, тоді, згідно зауваження, зробленого на початку цього пункту,

(ak + bk)10k = (10 + ck)10k = 10k+1 + ck10k , де ck < 10,

і запис (1) набере вигляду

a + b = (an + bn)10n + (an1 + bn1)10n1 + … + (ak + bk)10k + (ak+1 + bk+1)10k+1 + … + (a1 + b1)10 + (a0 + b0) = (an + bn)10n + (an1 + bn1)10n–1 + … + (ak+1 + bk+1)10k+1 + 10k+1 + ck10k + … + (a1 + b1)10 + (a0 + b0) = (an + bn)10n + (an–1 + bn–1) 10n-1 + … + (ak+1 + bk+1 + 1) 10k+1 + ck10k +

+ (a1 + b1) 10 + (a0 + b0).

(2)

Якщо сума ak+1 + bk+1 + 1, а також інші суми запису (2) будуть двоцифровими числами, то проводять міркування, аналогічні попереднім, поки не одержать десятковий запис суми чисел a і b.

Таким чином, додавання багатоцифрових чисел у десятковій системі числення зводиться до додавання одноцифрових чисел, суми яких можна знайти, скориставшись однією з раніше вивчених теорій цілих невід'ємних чисел. Враховуючи це, таблицю додавання, як одну із зручних форм алгоритму додавання одноцифрових чисел, слід знати бездоганно, зокрема учням початкової школи.

На основі проведених міркувань алгоритм додавання можна сформулювати так:

Записати перший доданок і під ним підписати другий доданок так, щоб одиниці однойменних розрядів знаходились одні під одними.

Доданки від суми відділити горизонтальною рискою.

Додати одиниці найнижчих розрядів. Якщо їх сума одноцифрове число, то записати її під одиницями цього розряду і перейти до додавання одиниць наступного розряду.

Якщо сума одиниць найнижчого розряду є двоцифровим числом, то його подати у вигляді 10 + c0, де c0 – одноцифрове число, записати c0 під одиницями найнижчого розряду, а число 1 додати до суми одиниць наступного розряду і перейти до знаходження цієї суми.

Повторювати ці ж операції з одиницями кожного наступного розряду.

Процес закінчиться після того, як будуть додані одиниці найвищого розряду, причому їх сума повністю записується під рискою.

6. Число, записане під рискою, буде сумою даних чисел.

Наприклад:

1) 8276 + 7629 = 15905;

2) 35647 + 6849 = 42496.

+

8276

+

35647

7629

06849

15905

42496

При виконанні операції додавання не обов'язково зрівнювати кількість цифр у доданках.

  1.  Алгоритми ділення чисел в десятковій системі числення

Для цілих невід'ємних чисел визначено операцію ділення з остачею на натуральне число, яку і мають на увазі, коли мова йде про ділення.

Добуток натуральних одноцифрових чисел не перевищує 81, а при ділення числа a ≤ 81 на одноцифрове число b можна скористатися таблицею множення у випадку, коли a < 10b.

Наприклад, поділити числа 30 і 52 на 6.

У таблиці множення на число 6 серед добутків є число 30 = 6 · 5.

Отже, 30 : 6 = 5.

Число 52 у таблиці множення на 6 відсутнє, але серед добутків можна знайти найближче до нього число 48 = 6 · 8. Значить, неповною часткою при діленні 52 на 6 буде число 8. Для знаходження остачі слід від 52 відняти 48, одержиться число 4 і 52 = 6 · 8 + 4.

Наступна теорема є одним із важливих теоретичних положень, на яких ґрунтується процес ділення.

Теорема 4. Для довільних натуральних чисел m і n записаних у десятковій системі числення, якщо m < n, то при діленні з остачею числа 10m + k, де k – одноцифрове число, на n у частці одержиться одноцифрове число.

► Нехай m i n – довільні натуральні числа такі, що

m < n.

(1)

Поділимо з остачею число 10m + k, де k – одноцифрове число, на n:

10m + k = n·q + r,  r < n.

(2)

Припустимо, що q ≥ 10, тоді

n·q ≥ 10n.

(3)

З (1) і (2) одержуємо k ≥ 10(n – m) + r. Звідси випливає

k ≥ 10 (n – m).

(4)

Оскільки n > m, то різниця n – m є натуральним числом. Нерівність (4) показує, що одноцифрове число буде не меншим як принаймні двоцифрове число. Одержали протиріччя. А тому припущення хибне. Отже, q – одноцифрове число.  ◄

Розглянемо ділення багатоцифрового числа

a = an10n  + an–110n1 + … + a110 + a0

(5)

на одноцифрове число b.

Якщо an > b, то поділимо an на b з остачею

an = b·qn + rn,  rn < b,  qn < 10.

Тоді запис (5) набуде виду

a = (b·qn + rn)10n + an110n1 + … + a110 + a0 =

= (b·qn)10n + (10rn + an1)10n1 + … a110 + a0.

(6)

Число 10rn + an1 знову поділимо на число b з остачею:

10rn + an1 = bqn1 + rn1,  rn1 < b.

На основі теореми 4  qn1 < 10.

Запис (6) набуде виду

a = (b·qn) 10n + (b·qn1 + rn1)10n1 + an-210n2 + … + a110 + a0 =

(b·qn) 10n + (b·qn-1)10n-1 + (10rn-1 + an-2)10n-2 + an-310n-3 + … + a110 + a0.

(7)

Продовжуючи аналогічні міркування, через скінченне число кроків прийдемо до запису

a = (b·qn)10n + (b·qn1)10n1 + … + (b·q1)10 + b q0 + r0 =

b·(qn10n + qn110n–1 + … + q110 + q0) + r0,   r0 < b.

(8)

Числа qn, qn–1, … q1, q0 є одноцифровими, отже,

qn10n + qn110n1 + … + q110 + q0

є десятковим записом натурального числа q і

a = b·q + r0,  r0 < b.

Тобто число q є неповною часткою, а r0 остачею від ділення числа a на число b.

У випадку, коли an b, то число a можна записати

a = (an10 + an1)10n1 + an210n2 + … + a110 + a0

і до чисел an10 + an–1 та b застосувати алгоритм ділення з остачею як у попередніх міркуваннях.

На основі проведених міркувань алгоритм ділення багатоцифрового числа на одноцифрове число у десятковій системі числення можна сформулювати так:

1. Записати ділене a = an10n + an–110n1 + … + a110 + a0, потім дільник b з невеликим проміжком між ними в одному рядку.

2. Між діленим і дільником спочатку провести вертикальну риску, а потім під дільником провести горизонтальну риску до перетину з вертикальною.

3. Якщо an ³ b, то неповну частку qn від ділення числа an на число b записують під горизонтальною рискою відразу після вертикальної, добуток b·qn підписують під an і знаходять їх різницю rn.

4. До числа rn дописують an–1 і неповну частку qn–1 від ділення числа  на число b записують справа від qn, добуток b·qn–1 підписують під  і знаходять їх різницю rn–1.

5. Процес продовжують, поки при діленні на число b не будуть використані всі цифри числа a.

6. Якщо ж an < b, то замість числа an розглядають число  і діють згідно пункту 3.

7. Число, записане під горизонтальною рискою, є неповною часткою, а остання остача r0 – остачею від ділення числа a на число b.

Сформульований алгоритм ділення прийнято називати "ділення кутом". Наприклад:

1)  8473 : 6 = 1412 (остача 1)

або 8473 = 6 · 1412 + 1, бо

2)  2142 : 7 = 306

або 2142 = 7 · 306, бо

8

4

7

3

6

2

1

4

2

7

6

1412

2

1

306

2

4

0

4

2

2

4

4

2

0

7

0

6

1

3

1

2

1

Алгоритм ділення багатоцифрового числа на багатоцифрове у десятковій системі числення встановлюється і записується аналогічно.

Наприклад, 79823 : 26 = 3070 (остача 3) або 79823 = 26 · 3070 + 3.

7

9

8

2

3

26

7

8

3070

1

8

2

1

8

2

3

На самостійне опрацювання

Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними

числами в десятковій системі числення

  1.  Алгоритм віднімання цілих невід’ємних чисел

Як відомо, сума двох одноцифрових чисел не перевищує 18. Користуючись таблицями додавання, можна знайти різницю чисел a і b (a ≥ b), де a ≤ 18, а b – одноцифрове число, у вигляді числа c, такого, що b + c = a.

Якщо ж числа багатоцифрові, то суть віднімання залишається тією ж самою, але процес знаходження різниці інший. У ньому суттєво використовуються правила віднімання числа від суми і суми від числа, дистрибутивні закони множення відносно додавання і віднімання, а також таблиця додавання одноцифрових чисел у десятковій системі числення, причому як і при додаванні, будемо вважати, що числа мають однакову кількість цифр:

Записати зменшуване і під ним від'ємник так, щоб одиниці однойменних розрядів знаходилися одні під одними.

Від'ємник і зменшуване відділити від різниці горизонтальною рискою.

Якщо число одиниць найнижчого розряду зменшуваного не менше числа одиниць від'ємника, то виконати їх віднімання, результат записати під одиницями цього розряду і перейти до віднімання одиниць наступного розряду.

Якщо ж у зменшуваному число одиниць найнижчого розряду менше числа одиниць цього розряду від'ємника, а число одиниць наступного розряду відмінне від нуля, то одночасно у зменшуваному число одиниць наступного розряду зменшити на одиницю, а число одиниць найнижчого розряду збільшити на 10, тепер виконати віднімання одиниць цього розряду, результат записати під ним і перейти до віднімання одиниць наступного розряду.

Якщо у зменшуваному число одиниць найнижчого розряду менше числа одиниць цього розряду від'ємника, а число одиниць наступного розряду в зменшуваному рівне нулю, то у першому з наступних вищих розрядів, число одиниць якого відмінне від нуля, число одиниць зменшити на одиницю, число одиниць всіх нижчих розрядів, крім останнього, збільшити на 9, а число одиниць останнього розряду збільшити на 10 і виконати віднімання одиниць цього розряду. Результат записати під ним і перейти до віднімання одиниць наступного розряду.

У наступному розряді повторити описаний процес.

Віднімання закінчити після того, як буде здійснено віднімання одиниць найвищого розряду.

Число, записане під рискою, буде різницею даних чисел.

Наприклад:

1) 7452 – 5637 = 1815;

2) 4605 – 598 = 3007;

3) 400002 – 398725 = 1277.

7452

4605

400002

5637

0598

398725

1815

3007

001277

При виконанні віднімання, як і при додаванні, не обов'язково зрівнювати кількість цифр у компонентах.

  1.  Алгоритм множення цілих невід’ємних чисел

Для знаходження добутку двох одноцифрових чисел можна також скористатися однією з раніше вивчених теорій цілих невід'ємних чисел. Таблицю множення одноцифрових чисел, як одну із зручних форм алгоритму множення, слід знати бездоганно, зокрема учням початкової школи. Зауважимо, що для довільних одноцифрових чисел m, s і t

m·s + t ≤ 90.

Нехай потрібно знайти добуток двох багатоцифрових чисел  і  у десятковій системі числення. Маємо

a·b = a·(bk10k + bk–110k–1 + … + b110 + b0).

Скориставшись дистрибутивним законом множення відносно додавання, а також асоціативним і комутативним законами множення, одержимо

a·b = (a·bk)10k + (a·bk1)10k-1 + … + (a·b1)10 + (a0·b).

(1)

Як видно з рівності (1), для знаходження добутку двох багатоцифрових чисел потрібно вміти множити число на натуральні степені десяти і багатоцифрове число на одноцифрове.

Очевидно, що множення на 10i, і Î N, будь-якого натурального числа, записаного у десятковій системі числення, зводиться до приписування до даного числа справа і нулів.

Нехай  – багатоцифрове число і b – одноцифрове число. Користуючись десятковим записом числа a та законами арифметичних операцій, будемо мати

a·b = (an10n + an110n1 + … + a110 + a0)b =

= (an·b)10n + (an1·b)10n1 + … + (a1·b)10 + (a0·b).

(2)

Права частина рівності (2) є десятковим записом добутку чисел a і b тільки у тому випадку, коли добутки ai·b, і = 0, 1, 2, …, n, будуть одноцифровими числами. Коли серед добутків ai·b є двоцифрові числа, поступають так: нехай k – найменше серед значень і, при якому добуток ak·b є двоцифровим числом. Тоді ak·b = 10ck1 + ck0, де ck1 i ck0 – цифри десяткової системи числення і ck1 ≠ 0.

Тепер запис (2) набере такого вигляду

a·b = (an·b)10n + … + (ak+1·b)10k+1 + (10ck1 + ck0)10k + (ak1·b)10k–1 + … + (a1·b)10 + (a0·b) = (an·b)10n + … + (ak+1·b + ck1)10k+1 + ck0 10k + … + (a1·b)10 + (a0·b).

(3)

Якщо (ak+1·b + ck1), а також інші добутки запису (3) є двоцифровими числами, то проводять міркування аналогічні попереднім, поки не отримають десятковий запис добутку чисел a i b.

На основі проведених міркувань алгоритм множення багатоцифрового числа на одноцифрове у десятковій системі числення можна сформулювати так:

Записати першим багатоцифрове число a і під його одиницями найнижчого розряду підписати число b.

Множники від добутку відділити горизонтальною рискою.

Помножити число одиниць найнижчого розряду числа a на число b. Якщо добуток a0·b менший від десяти, то записати його під числом b і перейти до множення числа одиниць наступного розряду числа a на число b.

Якщо добуток a0·b не менший від десяти, то потрібно представити його у вигляді c110 + c0, де c1 і c0 – цифри десяткової системи числення. Число c0 записати як одиницю найнижчого розряду шуканого добутку, а число c1 запам'ятати і перейти до множення одиниць наступного розряду числа a на число b. До добутку a1·b додати число c1. Якщо одержана сума менша 10, то її записати як другу розрядну одиницю добутку. Якщо ж одержана сума не менша від десяти, то її потрібно записати у вигляді d110 + d0, де d1 i d0 – цифри десяткової системи числення, при цьому число d0 записати під рискою як цифру наступного розряду добутку чисел a і b, а число d1 запам'ятати і перейти до множення одиниць наступного розряду числа a на число b, до якого потім додати число d1.

Процес множення закінчити після того, як помножаться одиниці найвищого розряду числа a на число b.

Число, записане під рискою, буде добутком чисел a і b.

Враховуючи закони арифметичних операцій над цілими невід'ємними числами, запис їх у десятковій системі числення, таблицю множення одноцифрових чисел, алгоритм множення багатоцифрового числа на одноцифрове число та множення числа на натуральний степінь десяти, можна сформулювати алгоритм множення у десятковій системі числення багатоцифрового числа на багатоцифрове:

Записати перший множник і під ним підписати другий множник так, щоб однойменні розрядні одиниці були підписані одні під одними. Як правило, першим береться той множник, у якого більша кількість цифр.

Множники a і b від добутку відділити горизонтальною рискою.

Помножити число a на число одиниць найнижчого розряду числа b і записати добуток a·b0 (перший неповний добуток) під рискою.

Помножити число a на число одиниць наступного розряду числа b і записати добуток a·b1 (другий неповний добуток) під числом a·b0, але із зсувом на один розряд вліво, що відповідає множенню на число 10.

Процес обчислення неповних добутків закінчиться після того, як помножиться число a на число одиниць найвищого розряду числа b.

Всі знайдені неповні добутки додати.

Одержана сума є добутком чисел a i b.

Аналіз алгоритму множення та властивості множення цілих невід'ємних чисел на нуль дають можливість зробити такі два зауваження:

Якщо у другому множнику одна із цифр дорівнює нулю, то на неї можна і не множити, а наступний неповний добуток потрібно зсунути вліво на дві цифри.

Якщо хоч один з множників закінчується нулями, то при підписуванні множників один під одним і множенні нулі не враховуються. Лише після виконання множення до одержаного добутку дописується стільки нулів, скількома нулями закінчуються обидва множники разом.

Наприклад:

40700·3050 = 124135000;

×

     40700

     3050  

+

   2035    

1221        

124135000

Розглянуті алгоритми додавання, віднімання і множення називаються виконанням операцій "у стовпчик".


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69735. Віртуальні методи 45 KB
  Це не завжди можливо, оскільки в різний час покажчик може посилатися на об’єкти різних класів ієрархії, і під час компіляції програми конкретний клас може бути невідомий. Можна навести як приклад функцію, параметром якої є покажчик на об’єкт базового класу.
69736. Використання шаблонів класів 32.5 KB
  Щоб створити за допомогою шаблона конкретний об’єкт конкретного класу (цей процес називається інстанціонуванням), при описі об’єкту після імені шаблона в кутових дужках перераховуються його аргументи...
69737. Області значень 44 KB
  Область значень — це інтервал від мінімального до максимального значення, яке може бути представлена в змінній даного типу. В таблиці 1 приведений розмір займаємої пам’яті і області значень змінних для кожного типу. Оскільки змінних типу void не існує, він не включений в цю таблицю.
69738. Програми друку граничних констант 38 KB
  Введених засобів препроцесора і мови цілком достатньо для програми, що виводить на друк (на екран дісплея) значення констант, що визначають в конкретній системі (для конкретного компілятора) межі зміни даних різних типів.
69739. Мультиплікативні операції 26 KB
  Типи першого і другого операндів можуть відрізнятися, при цьому виконуються перетворення операндів за замовчуванням. Типом результату є тип операндів після перетворення.
69740. Пріоритет і порядок виконання 50 KB
  Пріоритет і асоціативність операцій мови Сі впливаяють на порядок групування операндів і обчислення операцій у виразі. Пріоритет операцій суттєвий тільки за наявності декількох операцій, що мають різний приоритет. Вирази з більш пріоритетними операціями обчислюються першими.
69741. Ініціалізація масивів 24.5 KB
  Якщо у визначенні масиву явно вказаний його розмір, то кількість початкових значень не може бути більше кількості елементів в масиві. Якщо кількість початкових значень менше ніж оголошена довжина масиву, то початкові значення отримають тільки перші елементи масиву...
69742. Символьні масиви. Рядковий тип 40 KB
  Крім того, для рядкових масивів допустима операція конкатенації, яку позначають символом +. Вона полягає у формуванні нового символьного масиву, розмір якого дорівнює сумі розмірів масивів-операндів, а значення - це елементи масивів-операторів, розміщені послідовно.
69743. Записи з варіантами 33 KB
  Іноді треба вводити в запис деяку інформацію, яка залежить від іншої інформації, що вже є в записі. Це зумовлює потребу введення додаткових полів, які залежать від значень інших полів. Комбінований тип допускає таку організацію даних, оскільки, крім фіксованої частини запису...