18293

ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 20 ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ Відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел та його властивості. Подільність суми різниці і добутку. Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля. Ознаки подільності на 2 3 4 5 9 11 25 в десятко...

Украинкский

2013-07-07

73 KB

89 чел.

Лекція 20

ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ

  1.  Відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел та його властивості.
  2.  Подільність суми, різниці і добутку.
  3.  Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля.
  4.  Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25 в десятковій системі числення.

  1.  Відношення подільності на множині цілих

невід’ємних чисел та його властивості

Для цілих невід'ємних чисел віднімання і ділення є частковими операціями. Якщо для віднімання існує проста ознака виконуваності, то для ділення вона не існує. Пошуки таких ознак почалися давно. Вони привели не тільки до відкриття ряду ознак, а й до встановлення важливих властивостей чисел, пов'язаних з розглядом спеціального відношення, яке називається відношенням подільності.

Про довільні цілі невід'ємні числа a і b говорять, що a знаходиться у відношенні з b, або що a ділиться на b (позначається a M b), якщо існує ціле невід'ємне число x таке, що a = b·x:

" ab Î N0: a M b Û $ x Î N0: a = b·x.

З означення відношення подільності випливають наслідки.

Наслідок 1. Нуль ділиться на будь-яке ціле невід'ємне число:

" ab Î N0: 0 M a.

Наслідок 2. Будь-яке ціле невід'ємне число ділиться на одиницю:

" ab Î N0: a M 1.

Теорема 1. Відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел:

1) рефлексивне: " a Î N0: a M a;

2) антисиметричне: " ab Î N0: (a M bÙ (b M a® (a = b);

3) транзитивне: " abc Î N0: (a M bÙ (b M c® (a M c);

4) незв'язне.

► 1. Оскільки для довільного цілого невід'ємного числа a за властивістю одиниці при множенні a = a · 1, то за означенням відношення подільності одержуємо a M a. Отже, відношення подільності рефлексивне.

2. Нехай a і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a M b і b M a. Звідси за означенням відношення подільності a = b·x1 і b = a·x2. А тому

a = a·(x1·x2).

(1)

Для цілого невід'ємного числа a можливі два випадки:

1) a = 0, тоді, очевидно, і b = 0. Отже, a = b.

2) a ¹ 0, тоді з рівності (1), в силу правила скорочення для множення, одержується x1·x2 = 1. Але добуток двох цілих невід'ємних чисел дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли ці числа рівні 1. Значить, і у цьому випадку a = b.

Тому завжди, якщо a M b і b M a, то a = b. Отже, відношення подільності цілих невід'ємних чисел антисиметричне.

3. Нехай a, b і c – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a M b і b M c. Звідси за означенням відношення подільності a = b·x1, b = c·x2, x1, x2 Î N0.

Якщо замість b у першу рівність підставити його значення з другої рівності, то одержимо a = (c·x2x1 або a = c·(x2·x1). Оскільки добуток двох цілих невід'ємних чисел є цілим невід'ємним числом, то a = c·x, де x1·x2 = x Î N0. Звідси за означенням подільності цілих невід'ємних чисел одержуємо a M c. Таким чином, відношення подільності транзитивне.

4. Числа 2 і 3 різні. Ні 2 не ділиться на 3, ні 3 не ділиться на 2. Отже, відношення подільності незв'язне.  ◄

З теореми 1 випливає наслідок.

Наслідок 3. Відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел є відношенням нестрогого часткового порядку.

Особливе місце у теорії подільності займають числа 0 і 1. За наслідком 1 нуль ділиться на довільне ціле невід'ємне число, а тому висловлення "0 M 0" буде істинним. З другого боку, якщо a M 0, то за означенням подільності a = 0·x, що можливо лише тоді, коли a = 0. Отже, на нуль з цілих невід'ємних чисел ділиться лише 0. А тому іноді відношення подільності a M b розглядається лише тоді, коли b є натуральним числом. У цьому випадку замість терміну "a ділиться на b" користуються термінами "a кратне b", "b є дільником a" або "a ділиться націло на b".

Зауваження. Відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел слід відрізняти від операції ділення у цій множині: пару чисел, яка належить цьому відношенню, не можна ототожнювати з результатом операції ділення, що ставиться їй у відповідність.

На основі означення відношення подільності, частки і ділення з остачею одержуються наслідки.

Наслідок 4. Для довільних цілого невід'ємного числа a і натурального числа b число a ділиться на b тоді і тільки тоді, коли при діленні a на b з остачею остача дорівнює нулю.

Наслідок 5. Для довільних цілого невід'ємного числа a і натурального числа b число a ділиться на b тоді і тільки тоді, коли існує частка чисел a і b.

Наступна теорема є необхідною умовою подільності натуральних чисел.

Теорема 2. Для довільних натуральних чисел a і b якщо a ділиться на b, то a не менше b, зокрема, якщо a ¹ b, то a > b.

► Нехай a і b – довільні натуральні числа такі, що a M b. Звідси за означенням подільності a = b·x, x Î N. Оскільки x – натуральне число, то x ³ 1, і за монотонністю множення b·x ³ b, тобто a ³ b. Зокрема, якщо a ¹ b, то x > 1 і a > b.  ◄

  1.  
    Подільність суми, різниці і добутку

Відношення подільності цілих невід'ємних чисел пов'язане з операціями над ними. На цей зв'язок вказують наступні теореми.

Теорема 3. Якщо кожний із доданків ділиться на задане число, то й сума ділиться на це число.

► Доведення теореми проведемо для випадку двох доданків.

Нехай a1, a2 і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a1 M b і a2 M b. Звідси за означенням подільності

a1 = b·x1,  a2 = b·x2,  x1x2 Î N0.

Додамо одержані рівності почленно:

a1 + a2 = b·x1 + b·x2.

На основі дистрибутивності множення відносно додавання

a1 + a2 = b·(x1 + x2).

Число x = x1 + x2 є цілим невід'ємним числом, як сума цілих невід'ємних чисел. Отже, a1 + a2 = b·x, x Î N0. Тому за означенням подільності (a1 + a2M b.  ◄

Аналогічно доводиться наступна теорема.

Теорема 4. Якщо зменшуване і від'ємник діляться на дане число, то й різниця ділиться на це число.

Вираз, у якому є тільки операції додавання і віднімання, називається алгебраїчною сумою, а його компоненти – доданками. Із теорем 3 і 4 одержується наслідок.

Наслідок 6. Якщо алгебраїчна сума кількох чисел і кожний її доданок, за винятком одного, діляться на задане число, то й цей доданок ділиться на задане число.

Теорема 5. Якщо у добутку кількох чисел хоч один із множників ділиться на задане число, то й добуток ділиться на це число.

► Доведення проведемо для випадку двох множників. Нехай a1, a2 і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що, наприклад, a1 M b. З того, що a1 M b, за означенням подільності випливає a1 = b·x1, x1 Î N0. Тоді a1·a2 = (b·x1a2 = b·(x1·a2). Але x = x1·a2 є цілим невід'ємним числом як добуток цілих невід'ємних чисел. Тому a1·a2 = b·x, x Î N0. Отже, за означенням подільності a1·a2 M b.  ◄

З властивостей відношення подільності та теореми 5 одержується наслідок.

Наслідок 7. Якщо число ділиться на добуток кількох чисел, то воно ділиться на кожний множник.

Теореми 3, 4 і 5 називаються відповідно теоремами про подільність суми, різниці і добутку.

  1.  Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля

У зв'язку з тим, що процес ділення одного числа на друге досить трудомісткий, нелегко з'ясувати істинність висловлення "a M b" при безпосередньому діленні одного числа на друге, а тому виникає задача пошуку одержання відповіді без виконання ділення.

Ознакою подільності одного натурального числа на інше називається необхідна і достатня умова, при виконанні якої одне число ділиться на інше, причому перевірка умови виконується легше, ніж безпосереднє ділення.

Багато ознак подільності натуральних чисел одержуються із загальної ознаки подільності Паскаля.

Теорема 6 (загальна ознака подільності Паскаля). Для того щоб натуральне число

,

записане у позиційній системі числення з основою g, ділилося на натуральне число b, необхідно і достатньо, щоб на b ділилася сума

r = a0 + a1·r1 + a2·r2 + … + an·rn,

де r1, r2, …, rn – остачі від ділення g, g2, …, gn на число b.

► Розглянемо запис числа a у позиційній системі числення з основою g:

a = an·gn + an–1·gn–1 + … + a2·g2 + a1·g + a0.

(1)

На основі ділення з остачею степені основи системи числення запишуться:

g = b·q1 + r1,  r1 < b;

g2 = b·q2 + r2,   r2 < b;

……………………

gn = b·qn + rn,  rn < b.

Підставляючи значення g, g2, …, gn у (1) дістанемо

a = an·(b·qn + rn) + … + a2·(b·q2 + r2) + a1·(b·q1 + r1) + a0.

(2)

На основі законів операцій множення і додавання цілих невід'ємних чисел рівність (1) можна записати так:

a = b·(an·qn + … + a2·q2 + a1·q1) + (an·rn + … + a2·r2 + a1·r1 + a0).

Якщо ввести позначення q = an·qn + … + a2·q2 + a1·q1 і r = a0 + a1·r1 + a2·r2 + … + an·rn, то одержимо рівність

a = b·q + r.

(3)

З рівності (3) матимемо:

1. За теоремою 5 про подільність добутку число b·q ділиться на b. Якщо і другий доданок r ділиться на b, то за теоремою про подільність суми a M b.

2. Навпаки, якщо число r ділиться на число b, то за наслідком 6 і число a ділиться на b.

Цим самим доведено, що

a M b Û r M b.  ◄

  1.  
    Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25

в десятковій системі числення

Користуючись теоремою 6, можна встановлювати ознаку подільності на довільне задане натуральне число у позиційній системі числення з будь-якою основою. Найбільш вживаними є ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11 і 25 у десятковій системі числення, деякі з них відомі ще із середньої школи.

Теорема 7. Для того щоб натуральне число , записане у десятковій системі числення, ділилося:

1) на 2, необхідно і достатньо, щоб a0 ділилося на 2;

2) на 5, необхідно і достатньо, щоб остання його цифра була 0 або 5;

3) на 3 (або 9), необхідно і достатньо, щоб на 3 (або 9) ділилося число a0 + a1 + a2 + … + an;

4) на 4, необхідно і достатньо, щоб число a0 + 2a1 ділилося на 4;

5) на 11 необхідно і достатньо, щоб на 11 ділилася різниця

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …);

6) на 25, необхідно і достатньо, щоб на 25 ділилося число .

► Усі ознаки доводяться на основі ознаки Паскаля. Як приклад доведемо ознаку подільності на 11.

Розглянемо десятковий запис числа

a = an10n + an–110n–1 + … + a2102 + a110 + a0.

Знаходимо остачі r1, r2, …, rn при діленні 10, 102 ..., 10n на 11.

10 = 11 × 0 + 10, r1 = 10,

102 = 99 + 1 = 11 × 9 + 1, r2 = 1.

Взагалі, якщо n = 2k, k Î n, то

102k = + 1 = 11g + 1, r2k = 1.

Якщо ж n = 2k + 1, k Î N, то 102k+1 = 102k ∙10 = (11g + 1) ×10 = 11×(10g) + 10, отже, r2k+1 = 10.

А тому маємо

r = a0 + 10a1 + a2 + 10a3 + a4 + 10a5 + … = (a0 + a2 + a4 + …) + 10(a1 + a3 + a5 +…).

Якщо додати і відняти до правої частини одержаної рівності вираз (a1 + a3 + a5 + …), то можна записати

r = ((a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)) + 11·(a1 + a3 + a5 + …).

Звідси, за властивостями відношення подільності та ознакою Паскаля, дістанемо

a M 11 Û ((a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)) M 11.  

Наприклад, число 153623 не ділиться на 11, бо (3 + 6 + 5) – (2 + 3 + 1) = 8 і 8 не ділиться на 11, а число 150623 ділиться на 11, бо (3 + 6 + 5) – (2 + 0 + 1) = 11 і 11 ділиться на 11.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42124. Задача с городской олимпиады по математике для начальных классов 134.5 KB
  Сколько учащихся в классе РЕШЕНИЕ Решение задачи можно начать оттого что находим количество тех кто изучает английские и французские языки. Сколько лет каждой если 1 2 лет одной равен 1 4 лет другой РЕШЕНИЕ Общий возраст 36 лет. За какое время они вместе могли бы съесть 6 пирожных РЕШЕНИЕ Люба съедает 6 пирожных за 12 минут узнаём сколько потребуется времени Любе чтобы съесть одно пирожное. Отсюда можно узнать сколько потребуется времени Лене чтобы съесть одно пирожное.