18293

ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 20 ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ Відношення подільності на множині цілих невідємних чисел та його властивості. Подільність суми різниці і добутку. Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля. Ознаки подільності на 2 3 4 5 9 11 25 в десятко...

Украинкский

2013-07-07

73 KB

92 чел.

Лекція 20

ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ

  1.  Відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел та його властивості.
  2.  Подільність суми, різниці і добутку.
  3.  Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля.
  4.  Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25 в десятковій системі числення.

  1.  Відношення подільності на множині цілих

невід’ємних чисел та його властивості

Для цілих невід'ємних чисел віднімання і ділення є частковими операціями. Якщо для віднімання існує проста ознака виконуваності, то для ділення вона не існує. Пошуки таких ознак почалися давно. Вони привели не тільки до відкриття ряду ознак, а й до встановлення важливих властивостей чисел, пов'язаних з розглядом спеціального відношення, яке називається відношенням подільності.

Про довільні цілі невід'ємні числа a і b говорять, що a знаходиться у відношенні з b, або що a ділиться на b (позначається a M b), якщо існує ціле невід'ємне число x таке, що a = b·x:

" ab Î N0: a M b Û $ x Î N0: a = b·x.

З означення відношення подільності випливають наслідки.

Наслідок 1. Нуль ділиться на будь-яке ціле невід'ємне число:

" ab Î N0: 0 M a.

Наслідок 2. Будь-яке ціле невід'ємне число ділиться на одиницю:

" ab Î N0: a M 1.

Теорема 1. Відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел:

1) рефлексивне: " a Î N0: a M a;

2) антисиметричне: " ab Î N0: (a M bÙ (b M a® (a = b);

3) транзитивне: " abc Î N0: (a M bÙ (b M c® (a M c);

4) незв'язне.

► 1. Оскільки для довільного цілого невід'ємного числа a за властивістю одиниці при множенні a = a · 1, то за означенням відношення подільності одержуємо a M a. Отже, відношення подільності рефлексивне.

2. Нехай a і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a M b і b M a. Звідси за означенням відношення подільності a = b·x1 і b = a·x2. А тому

a = a·(x1·x2).

(1)

Для цілого невід'ємного числа a можливі два випадки:

1) a = 0, тоді, очевидно, і b = 0. Отже, a = b.

2) a ¹ 0, тоді з рівності (1), в силу правила скорочення для множення, одержується x1·x2 = 1. Але добуток двох цілих невід'ємних чисел дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли ці числа рівні 1. Значить, і у цьому випадку a = b.

Тому завжди, якщо a M b і b M a, то a = b. Отже, відношення подільності цілих невід'ємних чисел антисиметричне.

3. Нехай a, b і c – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a M b і b M c. Звідси за означенням відношення подільності a = b·x1, b = c·x2, x1, x2 Î N0.

Якщо замість b у першу рівність підставити його значення з другої рівності, то одержимо a = (c·x2x1 або a = c·(x2·x1). Оскільки добуток двох цілих невід'ємних чисел є цілим невід'ємним числом, то a = c·x, де x1·x2 = x Î N0. Звідси за означенням подільності цілих невід'ємних чисел одержуємо a M c. Таким чином, відношення подільності транзитивне.

4. Числа 2 і 3 різні. Ні 2 не ділиться на 3, ні 3 не ділиться на 2. Отже, відношення подільності незв'язне.  ◄

З теореми 1 випливає наслідок.

Наслідок 3. Відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел є відношенням нестрогого часткового порядку.

Особливе місце у теорії подільності займають числа 0 і 1. За наслідком 1 нуль ділиться на довільне ціле невід'ємне число, а тому висловлення "0 M 0" буде істинним. З другого боку, якщо a M 0, то за означенням подільності a = 0·x, що можливо лише тоді, коли a = 0. Отже, на нуль з цілих невід'ємних чисел ділиться лише 0. А тому іноді відношення подільності a M b розглядається лише тоді, коли b є натуральним числом. У цьому випадку замість терміну "a ділиться на b" користуються термінами "a кратне b", "b є дільником a" або "a ділиться націло на b".

Зауваження. Відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел слід відрізняти від операції ділення у цій множині: пару чисел, яка належить цьому відношенню, не можна ототожнювати з результатом операції ділення, що ставиться їй у відповідність.

На основі означення відношення подільності, частки і ділення з остачею одержуються наслідки.

Наслідок 4. Для довільних цілого невід'ємного числа a і натурального числа b число a ділиться на b тоді і тільки тоді, коли при діленні a на b з остачею остача дорівнює нулю.

Наслідок 5. Для довільних цілого невід'ємного числа a і натурального числа b число a ділиться на b тоді і тільки тоді, коли існує частка чисел a і b.

Наступна теорема є необхідною умовою подільності натуральних чисел.

Теорема 2. Для довільних натуральних чисел a і b якщо a ділиться на b, то a не менше b, зокрема, якщо a ¹ b, то a > b.

► Нехай a і b – довільні натуральні числа такі, що a M b. Звідси за означенням подільності a = b·x, x Î N. Оскільки x – натуральне число, то x ³ 1, і за монотонністю множення b·x ³ b, тобто a ³ b. Зокрема, якщо a ¹ b, то x > 1 і a > b.  ◄

  1.  
    Подільність суми, різниці і добутку

Відношення подільності цілих невід'ємних чисел пов'язане з операціями над ними. На цей зв'язок вказують наступні теореми.

Теорема 3. Якщо кожний із доданків ділиться на задане число, то й сума ділиться на це число.

► Доведення теореми проведемо для випадку двох доданків.

Нехай a1, a2 і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a1 M b і a2 M b. Звідси за означенням подільності

a1 = b·x1,  a2 = b·x2,  x1x2 Î N0.

Додамо одержані рівності почленно:

a1 + a2 = b·x1 + b·x2.

На основі дистрибутивності множення відносно додавання

a1 + a2 = b·(x1 + x2).

Число x = x1 + x2 є цілим невід'ємним числом, як сума цілих невід'ємних чисел. Отже, a1 + a2 = b·x, x Î N0. Тому за означенням подільності (a1 + a2M b.  ◄

Аналогічно доводиться наступна теорема.

Теорема 4. Якщо зменшуване і від'ємник діляться на дане число, то й різниця ділиться на це число.

Вираз, у якому є тільки операції додавання і віднімання, називається алгебраїчною сумою, а його компоненти – доданками. Із теорем 3 і 4 одержується наслідок.

Наслідок 6. Якщо алгебраїчна сума кількох чисел і кожний її доданок, за винятком одного, діляться на задане число, то й цей доданок ділиться на задане число.

Теорема 5. Якщо у добутку кількох чисел хоч один із множників ділиться на задане число, то й добуток ділиться на це число.

► Доведення проведемо для випадку двох множників. Нехай a1, a2 і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що, наприклад, a1 M b. З того, що a1 M b, за означенням подільності випливає a1 = b·x1, x1 Î N0. Тоді a1·a2 = (b·x1a2 = b·(x1·a2). Але x = x1·a2 є цілим невід'ємним числом як добуток цілих невід'ємних чисел. Тому a1·a2 = b·x, x Î N0. Отже, за означенням подільності a1·a2 M b.  ◄

З властивостей відношення подільності та теореми 5 одержується наслідок.

Наслідок 7. Якщо число ділиться на добуток кількох чисел, то воно ділиться на кожний множник.

Теореми 3, 4 і 5 називаються відповідно теоремами про подільність суми, різниці і добутку.

  1.  Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля

У зв'язку з тим, що процес ділення одного числа на друге досить трудомісткий, нелегко з'ясувати істинність висловлення "a M b" при безпосередньому діленні одного числа на друге, а тому виникає задача пошуку одержання відповіді без виконання ділення.

Ознакою подільності одного натурального числа на інше називається необхідна і достатня умова, при виконанні якої одне число ділиться на інше, причому перевірка умови виконується легше, ніж безпосереднє ділення.

Багато ознак подільності натуральних чисел одержуються із загальної ознаки подільності Паскаля.

Теорема 6 (загальна ознака подільності Паскаля). Для того щоб натуральне число

,

записане у позиційній системі числення з основою g, ділилося на натуральне число b, необхідно і достатньо, щоб на b ділилася сума

r = a0 + a1·r1 + a2·r2 + … + an·rn,

де r1, r2, …, rn – остачі від ділення g, g2, …, gn на число b.

► Розглянемо запис числа a у позиційній системі числення з основою g:

a = an·gn + an–1·gn–1 + … + a2·g2 + a1·g + a0.

(1)

На основі ділення з остачею степені основи системи числення запишуться:

g = b·q1 + r1,  r1 < b;

g2 = b·q2 + r2,   r2 < b;

……………………

gn = b·qn + rn,  rn < b.

Підставляючи значення g, g2, …, gn у (1) дістанемо

a = an·(b·qn + rn) + … + a2·(b·q2 + r2) + a1·(b·q1 + r1) + a0.

(2)

На основі законів операцій множення і додавання цілих невід'ємних чисел рівність (1) можна записати так:

a = b·(an·qn + … + a2·q2 + a1·q1) + (an·rn + … + a2·r2 + a1·r1 + a0).

Якщо ввести позначення q = an·qn + … + a2·q2 + a1·q1 і r = a0 + a1·r1 + a2·r2 + … + an·rn, то одержимо рівність

a = b·q + r.

(3)

З рівності (3) матимемо:

1. За теоремою 5 про подільність добутку число b·q ділиться на b. Якщо і другий доданок r ділиться на b, то за теоремою про подільність суми a M b.

2. Навпаки, якщо число r ділиться на число b, то за наслідком 6 і число a ділиться на b.

Цим самим доведено, що

a M b Û r M b.  ◄

  1.  
    Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25

в десятковій системі числення

Користуючись теоремою 6, можна встановлювати ознаку подільності на довільне задане натуральне число у позиційній системі числення з будь-якою основою. Найбільш вживаними є ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11 і 25 у десятковій системі числення, деякі з них відомі ще із середньої школи.

Теорема 7. Для того щоб натуральне число , записане у десятковій системі числення, ділилося:

1) на 2, необхідно і достатньо, щоб a0 ділилося на 2;

2) на 5, необхідно і достатньо, щоб остання його цифра була 0 або 5;

3) на 3 (або 9), необхідно і достатньо, щоб на 3 (або 9) ділилося число a0 + a1 + a2 + … + an;

4) на 4, необхідно і достатньо, щоб число a0 + 2a1 ділилося на 4;

5) на 11 необхідно і достатньо, щоб на 11 ділилася різниця

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …);

6) на 25, необхідно і достатньо, щоб на 25 ділилося число .

► Усі ознаки доводяться на основі ознаки Паскаля. Як приклад доведемо ознаку подільності на 11.

Розглянемо десятковий запис числа

a = an10n + an–110n–1 + … + a2102 + a110 + a0.

Знаходимо остачі r1, r2, …, rn при діленні 10, 102 ..., 10n на 11.

10 = 11 × 0 + 10, r1 = 10,

102 = 99 + 1 = 11 × 9 + 1, r2 = 1.

Взагалі, якщо n = 2k, k Î n, то

102k = + 1 = 11g + 1, r2k = 1.

Якщо ж n = 2k + 1, k Î N, то 102k+1 = 102k ∙10 = (11g + 1) ×10 = 11×(10g) + 10, отже, r2k+1 = 10.

А тому маємо

r = a0 + 10a1 + a2 + 10a3 + a4 + 10a5 + … = (a0 + a2 + a4 + …) + 10(a1 + a3 + a5 +…).

Якщо додати і відняти до правої частини одержаної рівності вираз (a1 + a3 + a5 + …), то можна записати

r = ((a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)) + 11·(a1 + a3 + a5 + …).

Звідси, за властивостями відношення подільності та ознакою Паскаля, дістанемо

a M 11 Û ((a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)) M 11.  

Наприклад, число 153623 не ділиться на 11, бо (3 + 6 + 5) – (2 + 3 + 1) = 8 і 8 не ділиться на 11, а число 150623 ділиться на 11, бо (3 + 6 + 5) – (2 + 0 + 1) = 11 і 11 ділиться на 11.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29345. Special Colloquial Vocabulary 22.56 KB
  The first thing that strikes the scholar is the fact that no other European language has singled out a special layer of vocabulary and named it slang though all of them distinguish such groups of words as jargon cant and the like. Webster's Third New International Dictionary gives the following meanings of the term: Slang [origin unknown] 1: language peculiar to a particular group: as a: the special and often secret vocabulary used by class as thieves beggars; b: the jargon used by or associated with a particular trade profession or...
29346. Phonetic Expressive Means and Stylistic Devices 18.9 KB
  This is the way a word a phrase or a sentence sounds. The sound of most words taken separately will have little or no aesthetic value. The way a separate word sounds may produce a certain euphonic impression but this is a matter of individual perception and feeling and therefore subjective. In poetry we cannot help feeling that the arrangement of sounds carries a definite aesthetic function.
29347. Lexical Expressive Means and Stylistic Devices 21.57 KB
  By being forcibly linked together the elements acquire a slight modification of meaning. The elevated ancestors simile unhallowed disturb in the now obsolete meaning of tear to pieces are put alongside the colloquial contraction the Country's the country is and the colloquial done for. Interaction of different of different types of lexical meaning Words in context as has been pointed out may acquire additional lexical meanings not fixed in dictionaries what we have called contextual meanings. The latter may sometimes deviate from...
29348. Interaction of primary and derivative logical meanings. Stylistic Devices Based on Polysemantic Effect, Zeugma and Pun 23.92 KB
  Epithet is a stylistic device based on the interplay of emotive and logical meanings in an attributive word emotionally colored attitude of the speaker to the object he describes. 1 refer the mind to the concept due to some quality of the object it is attached to. 2 attributes used to characterize the object by adding a feature unexpected in it. One of the two members of oxymoron illuminates the feature observed while the other one offers a purely subjective individual perception of the object.
29349. Syntactical expressive means and stylistic devices 23.95 KB
  Its expressive effect may be based on the absence of logically required components of speech parts of the sentence formal words or on the other hand on a superabundance of components of speech; they may be founded on an unusual order of components of speech the change of meaning of syntactical constructions and other phenomena. The object is placed at the beginning of the sentence: Talent Mr. The adverbial modifier is placed at the beginning of the sentence: My dearest daughter at your feet I fall. However in modern English and American...
29350. Particular ways of combining parts of the utterance 16.65 KB
  Particular ways of combining parts of the utterance Asyndeton Asyndeton that is connection between parts of a sentence or between sentences without any formal sign becomes a stylistic device if there is a deliberate omission of the connective where it is generally expected to be according to the norms of the literary language. Polysyndeton Polysyndeton is the stylistic device of connecting sentences or phrases or syntagms or words by using connectives mostly conjunctions and prepositions before each component part as in: The heaviest...
29351. Functional Styles 19.61 KB
  Therefore functional style of language is a historical category. Thus the FS of emotive prose actually began to function as an independent style after the second half of the 16th century; the newspaper style budded off from the publicistic style; the oratorical style has undergone considerable fundamental changes and so with other FSs The development of each style is predetermined by the changes in the norms of standard English. The BellesLetters Style We have already pointed out that the belleslettres style is a generic term for three...
29352. Functional Styles. Newspaper Style 33.05 KB
  Not all the printed materials found in newspapers come under newspaper style. Only materials which perform the function of informing the reader and providing him with an evaluation of information published can be regarded as belonging to newspaper style. English newspaper style can be defined as a system of interrelated lexical phraseological and grammatical means which is perceived by the community as a separate linguistic unity that serves the purpose of informing and instructing the reader.
29353. General Notes on Stylistics. It’s subject and Object 40.48 KB
  It deals mainly with two interdependent tasks: The investigation of the inventory of special language media which secure the desirable effect of the utterance The investigation of certain types of texts which are distinguished due to the choice and arrangement of language means. The types of texts that are distinguished by the pragmatic aspect of communication are called functional styles of language FS; the special media of language which secure the desirable effect of the utterance are called stylistic devices SD and expressive means...