18293

ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 20 ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ Відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел та його властивості. Подільність суми різниці і добутку. Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля. Ознаки подільності на 2 3 4 5 9 11 25 в десятко...

Украинкский

2013-07-07

73 KB

90 чел.

Лекція 20

ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ

  1.  Відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел та його властивості.
  2.  Подільність суми, різниці і добутку.
  3.  Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля.
  4.  Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25 в десятковій системі числення.

  1.  Відношення подільності на множині цілих

невід’ємних чисел та його властивості

Для цілих невід'ємних чисел віднімання і ділення є частковими операціями. Якщо для віднімання існує проста ознака виконуваності, то для ділення вона не існує. Пошуки таких ознак почалися давно. Вони привели не тільки до відкриття ряду ознак, а й до встановлення важливих властивостей чисел, пов'язаних з розглядом спеціального відношення, яке називається відношенням подільності.

Про довільні цілі невід'ємні числа a і b говорять, що a знаходиться у відношенні з b, або що a ділиться на b (позначається a M b), якщо існує ціле невід'ємне число x таке, що a = b·x:

" ab Î N0: a M b Û $ x Î N0: a = b·x.

З означення відношення подільності випливають наслідки.

Наслідок 1. Нуль ділиться на будь-яке ціле невід'ємне число:

" ab Î N0: 0 M a.

Наслідок 2. Будь-яке ціле невід'ємне число ділиться на одиницю:

" ab Î N0: a M 1.

Теорема 1. Відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел:

1) рефлексивне: " a Î N0: a M a;

2) антисиметричне: " ab Î N0: (a M bÙ (b M a® (a = b);

3) транзитивне: " abc Î N0: (a M bÙ (b M c® (a M c);

4) незв'язне.

► 1. Оскільки для довільного цілого невід'ємного числа a за властивістю одиниці при множенні a = a · 1, то за означенням відношення подільності одержуємо a M a. Отже, відношення подільності рефлексивне.

2. Нехай a і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a M b і b M a. Звідси за означенням відношення подільності a = b·x1 і b = a·x2. А тому

a = a·(x1·x2).

(1)

Для цілого невід'ємного числа a можливі два випадки:

1) a = 0, тоді, очевидно, і b = 0. Отже, a = b.

2) a ¹ 0, тоді з рівності (1), в силу правила скорочення для множення, одержується x1·x2 = 1. Але добуток двох цілих невід'ємних чисел дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли ці числа рівні 1. Значить, і у цьому випадку a = b.

Тому завжди, якщо a M b і b M a, то a = b. Отже, відношення подільності цілих невід'ємних чисел антисиметричне.

3. Нехай a, b і c – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a M b і b M c. Звідси за означенням відношення подільності a = b·x1, b = c·x2, x1, x2 Î N0.

Якщо замість b у першу рівність підставити його значення з другої рівності, то одержимо a = (c·x2x1 або a = c·(x2·x1). Оскільки добуток двох цілих невід'ємних чисел є цілим невід'ємним числом, то a = c·x, де x1·x2 = x Î N0. Звідси за означенням подільності цілих невід'ємних чисел одержуємо a M c. Таким чином, відношення подільності транзитивне.

4. Числа 2 і 3 різні. Ні 2 не ділиться на 3, ні 3 не ділиться на 2. Отже, відношення подільності незв'язне.  ◄

З теореми 1 випливає наслідок.

Наслідок 3. Відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел є відношенням нестрогого часткового порядку.

Особливе місце у теорії подільності займають числа 0 і 1. За наслідком 1 нуль ділиться на довільне ціле невід'ємне число, а тому висловлення "0 M 0" буде істинним. З другого боку, якщо a M 0, то за означенням подільності a = 0·x, що можливо лише тоді, коли a = 0. Отже, на нуль з цілих невід'ємних чисел ділиться лише 0. А тому іноді відношення подільності a M b розглядається лише тоді, коли b є натуральним числом. У цьому випадку замість терміну "a ділиться на b" користуються термінами "a кратне b", "b є дільником a" або "a ділиться націло на b".

Зауваження. Відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел слід відрізняти від операції ділення у цій множині: пару чисел, яка належить цьому відношенню, не можна ототожнювати з результатом операції ділення, що ставиться їй у відповідність.

На основі означення відношення подільності, частки і ділення з остачею одержуються наслідки.

Наслідок 4. Для довільних цілого невід'ємного числа a і натурального числа b число a ділиться на b тоді і тільки тоді, коли при діленні a на b з остачею остача дорівнює нулю.

Наслідок 5. Для довільних цілого невід'ємного числа a і натурального числа b число a ділиться на b тоді і тільки тоді, коли існує частка чисел a і b.

Наступна теорема є необхідною умовою подільності натуральних чисел.

Теорема 2. Для довільних натуральних чисел a і b якщо a ділиться на b, то a не менше b, зокрема, якщо a ¹ b, то a > b.

► Нехай a і b – довільні натуральні числа такі, що a M b. Звідси за означенням подільності a = b·x, x Î N. Оскільки x – натуральне число, то x ³ 1, і за монотонністю множення b·x ³ b, тобто a ³ b. Зокрема, якщо a ¹ b, то x > 1 і a > b.  ◄

  1.  
    Подільність суми, різниці і добутку

Відношення подільності цілих невід'ємних чисел пов'язане з операціями над ними. На цей зв'язок вказують наступні теореми.

Теорема 3. Якщо кожний із доданків ділиться на задане число, то й сума ділиться на це число.

► Доведення теореми проведемо для випадку двох доданків.

Нехай a1, a2 і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що a1 M b і a2 M b. Звідси за означенням подільності

a1 = b·x1,  a2 = b·x2,  x1x2 Î N0.

Додамо одержані рівності почленно:

a1 + a2 = b·x1 + b·x2.

На основі дистрибутивності множення відносно додавання

a1 + a2 = b·(x1 + x2).

Число x = x1 + x2 є цілим невід'ємним числом, як сума цілих невід'ємних чисел. Отже, a1 + a2 = b·x, x Î N0. Тому за означенням подільності (a1 + a2M b.  ◄

Аналогічно доводиться наступна теорема.

Теорема 4. Якщо зменшуване і від'ємник діляться на дане число, то й різниця ділиться на це число.

Вираз, у якому є тільки операції додавання і віднімання, називається алгебраїчною сумою, а його компоненти – доданками. Із теорем 3 і 4 одержується наслідок.

Наслідок 6. Якщо алгебраїчна сума кількох чисел і кожний її доданок, за винятком одного, діляться на задане число, то й цей доданок ділиться на задане число.

Теорема 5. Якщо у добутку кількох чисел хоч один із множників ділиться на задане число, то й добуток ділиться на це число.

► Доведення проведемо для випадку двох множників. Нехай a1, a2 і b – довільні цілі невід'ємні числа такі, що, наприклад, a1 M b. З того, що a1 M b, за означенням подільності випливає a1 = b·x1, x1 Î N0. Тоді a1·a2 = (b·x1a2 = b·(x1·a2). Але x = x1·a2 є цілим невід'ємним числом як добуток цілих невід'ємних чисел. Тому a1·a2 = b·x, x Î N0. Отже, за означенням подільності a1·a2 M b.  ◄

З властивостей відношення подільності та теореми 5 одержується наслідок.

Наслідок 7. Якщо число ділиться на добуток кількох чисел, то воно ділиться на кожний множник.

Теореми 3, 4 і 5 називаються відповідно теоремами про подільність суми, різниці і добутку.

  1.  Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля

У зв'язку з тим, що процес ділення одного числа на друге досить трудомісткий, нелегко з'ясувати істинність висловлення "a M b" при безпосередньому діленні одного числа на друге, а тому виникає задача пошуку одержання відповіді без виконання ділення.

Ознакою подільності одного натурального числа на інше називається необхідна і достатня умова, при виконанні якої одне число ділиться на інше, причому перевірка умови виконується легше, ніж безпосереднє ділення.

Багато ознак подільності натуральних чисел одержуються із загальної ознаки подільності Паскаля.

Теорема 6 (загальна ознака подільності Паскаля). Для того щоб натуральне число

,

записане у позиційній системі числення з основою g, ділилося на натуральне число b, необхідно і достатньо, щоб на b ділилася сума

r = a0 + a1·r1 + a2·r2 + … + an·rn,

де r1, r2, …, rn – остачі від ділення g, g2, …, gn на число b.

► Розглянемо запис числа a у позиційній системі числення з основою g:

a = an·gn + an–1·gn–1 + … + a2·g2 + a1·g + a0.

(1)

На основі ділення з остачею степені основи системи числення запишуться:

g = b·q1 + r1,  r1 < b;

g2 = b·q2 + r2,   r2 < b;

……………………

gn = b·qn + rn,  rn < b.

Підставляючи значення g, g2, …, gn у (1) дістанемо

a = an·(b·qn + rn) + … + a2·(b·q2 + r2) + a1·(b·q1 + r1) + a0.

(2)

На основі законів операцій множення і додавання цілих невід'ємних чисел рівність (1) можна записати так:

a = b·(an·qn + … + a2·q2 + a1·q1) + (an·rn + … + a2·r2 + a1·r1 + a0).

Якщо ввести позначення q = an·qn + … + a2·q2 + a1·q1 і r = a0 + a1·r1 + a2·r2 + … + an·rn, то одержимо рівність

a = b·q + r.

(3)

З рівності (3) матимемо:

1. За теоремою 5 про подільність добутку число b·q ділиться на b. Якщо і другий доданок r ділиться на b, то за теоремою про подільність суми a M b.

2. Навпаки, якщо число r ділиться на число b, то за наслідком 6 і число a ділиться на b.

Цим самим доведено, що

a M b Û r M b.  ◄

  1.  
    Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25

в десятковій системі числення

Користуючись теоремою 6, можна встановлювати ознаку подільності на довільне задане натуральне число у позиційній системі числення з будь-якою основою. Найбільш вживаними є ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11 і 25 у десятковій системі числення, деякі з них відомі ще із середньої школи.

Теорема 7. Для того щоб натуральне число , записане у десятковій системі числення, ділилося:

1) на 2, необхідно і достатньо, щоб a0 ділилося на 2;

2) на 5, необхідно і достатньо, щоб остання його цифра була 0 або 5;

3) на 3 (або 9), необхідно і достатньо, щоб на 3 (або 9) ділилося число a0 + a1 + a2 + … + an;

4) на 4, необхідно і достатньо, щоб число a0 + 2a1 ділилося на 4;

5) на 11 необхідно і достатньо, щоб на 11 ділилася різниця

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …);

6) на 25, необхідно і достатньо, щоб на 25 ділилося число .

► Усі ознаки доводяться на основі ознаки Паскаля. Як приклад доведемо ознаку подільності на 11.

Розглянемо десятковий запис числа

a = an10n + an–110n–1 + … + a2102 + a110 + a0.

Знаходимо остачі r1, r2, …, rn при діленні 10, 102 ..., 10n на 11.

10 = 11 × 0 + 10, r1 = 10,

102 = 99 + 1 = 11 × 9 + 1, r2 = 1.

Взагалі, якщо n = 2k, k Î n, то

102k = + 1 = 11g + 1, r2k = 1.

Якщо ж n = 2k + 1, k Î N, то 102k+1 = 102k ∙10 = (11g + 1) ×10 = 11×(10g) + 10, отже, r2k+1 = 10.

А тому маємо

r = a0 + 10a1 + a2 + 10a3 + a4 + 10a5 + … = (a0 + a2 + a4 + …) + 10(a1 + a3 + a5 +…).

Якщо додати і відняти до правої частини одержаної рівності вираз (a1 + a3 + a5 + …), то можна записати

r = ((a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)) + 11·(a1 + a3 + a5 + …).

Звідси, за властивостями відношення подільності та ознакою Паскаля, дістанемо

a M 11 Û ((a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)) M 11.  

Наприклад, число 153623 не ділиться на 11, бо (3 + 6 + 5) – (2 + 3 + 1) = 8 і 8 не ділиться на 11, а число 150623 ділиться на 11, бо (3 + 6 + 5) – (2 + 0 + 1) = 11 і 11 ділиться на 11.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65122. Медные джучидские монеты XV века 70 KB
  Особенностью этих пулов является форма начертания слова чекан. Тем же резчиком очевидно делались и штемпеля для чеканки аверса пулов с изображением утки в картуше. Опираясь на фактурные признаки не характерные для пулов предыдущего периода.
65123. ПО ПОВОДУ ОДНОГО «ОТКРЫТИЯ» В ДЖУЧИДСКОЙ НУМИЗМАТИКЕ 38 KB
  На основании этих данных усугубленных грамматически ошибочным чтением строки 2 в первом издании во втором; перевод не соответствует ни тому ни другому: Да будет счастлив этот год Лебедев выстраивает следующую логическую цепочку...
65124. СТАРЫЙ И НОВЫЙ САРАЙ - СТОЛИЦА ЗОЛОТОЙ ОРДЫ 61 KB
  В археологической и исторической литературе последнего столетия посвященной проблемам истории Золотой Орды и государств соприкасавшихся с ней указываются обычно две столицы Сарай и Новый Сарай. Арабский писатель Эломари ал Омари рассказывая о делах в Улусе Джучиевом приводит два описания города Сарая...
65125. ДЖУЧИДСКИЕ МОНЕТЫ В КОНТЕКСТЕ ТЮРКСКОЙ И МУСУЛЬМАНСКОЙ КУЛЬТУР 69.5 KB
  Воины Чингизхана конем и мечём перекраивали карту континента. Кроме этого полновесные из хорошего серебра монеты должны были помочь ханам Золотой Орды в политике протекции торговле и привлечении иностранных купцов на рынки восстановленных и новопостроенных городов.
65126. О ПРАВЛЕНИИ ХАНОВ В КРЫМУ В 1419 - 1422 ГОДАХ ПО НУМИЗМАТИЧЕСКИМ ДАННЫМ 89.5 KB
  Хромов Весной 2001 года в районе поселка Коктебель АР Крым был найден комплекс золотоордынских монет первой четверти XV века. Общая численность хорошо определяемых монет большей части комплекса составила около 600 экземпляров.
65127. Об одной группе медных подражаний джучидским деньгам из Николаевской области (Украина) 206 KB
  Одним из таких районов является район нижнего Побужья вместе с выпуском подражаний медной монете Сарая ал Джедид с цветочным орнаментом выпуск нескольких серий медных монет с высокой точностью имитирующих серебряные денги Сарая ал Джедид с именами ханов Бердибека фото...
65128. Перечеканка привозных монет в Крымском улусе в XIII веке 140 KB
  Кроме того это позволяет дать в последующем ответы на некоторые вопросы метрологии – ведь вес и проба серебра в монете-заготовке должны были соответствовать установленным в Крымском Улусе нормам следовательно на определенном этапе Крым начал использовать для своей монеты общепринятую в регионе весовую норму.
65130. Уточнение датировки крымского дирхема токты 704 г. Нумизматика и Фалеристика 60 KB
  При разборке новых поступлений в собственную коллекцию а также при осмотре монет из коллекций моих друзей приходится постоянно уточнять выпускные сведения некоторых монет. Причиной неудовлетворительного состояния в правильной атрибуции крымских монет Золотой Орды...