18295

ПРОСТІ І СКЛАДЕНІ ЧИСЛА

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 22 ПРОСТІ І СКЛАДЕНІ ЧИСЛА Розбиття множини цілих невід’ємних чисел на 4 класи за кількістю дільників. Прості і складені числа. Властивості відношення подільності між двома натуральними числами одне з яких просте. Існування простого дільника у кожно

Украинкский

2013-07-07

116.5 KB

57 чел.

Лекція 22

ПРОСТІ І СКЛАДЕНІ ЧИСЛА

  1.  Розбиття множини цілих невід’ємних чисел на 4 класи за кількістю дільників. Прості і складені числа.
  2.  Властивості відношення подільності між двома натуральними числами одне з яких просте.
  3.  Існування простого дільника у кожного натурального числа більшого одиниці.
  4.  Нескінченність множини простих чисел (теорема Евкліда).
  5.  Критерії простоти натурального числа. Решето Ератосфена.
  6.  Основна теорема арифметики. Канонічний розклад натурального числа більшого 1.
  7.  Загальний вид канонічних розкладів дільників натурального числа. Ознака подільності на складене число.
  8.  Алгоритми знаходження найменшого спільного кратного і найбільшого спільного дільника кількох натуральних чисел за їх канонічним розкладами.

  1.  Розбиття множини цілих невід’ємних чисел на 4 класи

за кількістю дільників. Прості і складені числа

Як відомо, для довільного цілого невід'ємного числа a і натурального числа b, якщо a ділиться на b, то число b називається дільником числа a.

Множину цілих невід'ємних чисел за кількістю натуральних дільників можна розбити на такі 4 класи:

1) клас, єдиним елементом якого є число нуль, що має безліч дільників;

2) клас, єдиним елементом якого є число 1, що має єдиний дільник;

3) клас, елементи якого мають два дільники;

4) клас, елементи якого мають більше як два дільники, але їх скінченна кількість.

Числа останніх двох класів займають у математиці особливе місце. Вони складають обсяги двох важливих понять.

Натуральне число більше одиниці називається:

1) простим, якщо воно має своїми дільниками тільки одиницю і саме себе;

2) складеним, якщо воно має не менше трьох дільників.

Наприклад, за цим означенням числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 прості, а числа 4, 6, 8, 9, 10, 12 – складені.

  1.  Властивості відношення подільності між

двома натуральними числами одне з яких просте

Теорема 18. Якщо просте число ділиться на натуральне число більше одиниці, то ці числа рівні.

► Нехай p – просте число і a > 1 – натуральне число таке, що p M a.  p  просте число, то за означенням воно має своїми дільниками лише 1 і p. a > 1 і є дільником p. Отже, a = p.  ◄

Теорема 19. Для довільних натурального числа a і простого числа p має місце одне і тільки одне із відношень: або a ділиться на p, або вони взаємно прості.

► Нехай a – довільне натуральне число, а p – довільне просте число. Розглянемо НСД(ap). Можливі лише два такі випадки: або НСД(ap) = 1, тоді числа a і p взаємно прості; або НСД(ap) = d > l. Звідси одержуємо, що p M d. За теоремою 18 маємо, що p = d, а тому a M p.  ◄

  1.  
    Існування простого дільника у кожного

натурального числа більшого одиниці

Теорема 20. Добуток кількох натуральних множників ділиться на просте число тоді і тільки тоді, коли хоч один із множників ділиться на просте число.

► Необхідність. Нехай p – довільне просте число і a1, a2, ... , an – будь-які натуральні числа такі, що

a1·a2·...·an M p.

Доведемо, що принаймні одне із чисел a1, a2, ..., an ділиться на p. Доведення проведемо методом математичної індукції по кількості множників.

1. Нехай n = 2  і  a1·a2 M p. Для натурального числа a1 і простого числа p за теоремою 19 можливі лише такі два випадки:

а) a1 M p, тоді доводжуване твердження істинне;

б) числа a1 і p взаємно прості. А тому маємо, що добуток двох чисел ділиться на третє число, яке взаємно просте з одним із них. Звідси за теоремою 15 одержуємо, що друге число ділиться на просте число. Отже, твердження істинне для двох множників.

2. Припустимо, що твердження істинне при n = k ³ 2, тобто, що коли a1·a2·...·ak M p, то принаймні один із множників ділиться на p.

3. Доведемо, що твердження істинне при n = k + 1. Дійсно, нехай задано добуток k + 1 множників a1·a2·…·ak·ak+1, який ділиться на p. За властивостями множення цілих невід'ємних чисел добуток можна записати (a1·a2·…·akak+1. Позначивши  a1·a2·…·ak = a, будемо мати  a·ak+1 M p.

Розглянемо число ak+1. Оскільки p – просте число, то можливі лише такі два випадки:

а) ak+1 M p і у цьому випадку твердження істинне при n = k + 1;

б) ak+1 і p взаємно прості числа. У цьому випадку за теоремою 15 одержуємо a M p, тобто a1·a2·…·ak M p. Звідси за припущенням маємо, що хоча б одне із чисел a1, a2, …, ak ділиться на p. Отже, і у цьому випадку твердження істинне при n = k + 1.

Тому за принципом математичної індукції твердження істинне для кожного натурального числа n ³ 2.

Достатність теореми випливає із теореми про подільність добутку.  ◄

Теорема 21. Кожне натуральне число більше одиниці має принаймні один простий дільник.

► Нехай a – довільне натуральне число більше одиниці. Розглянемо множину його дільників більших від 1, яку позначимо M. Вона непорожня, бо їй належить саме число a. За принципом найменшого числа у ній існує найменше число, позначимо його p і доведемо, що воно просте.

Припустимо протилежне, що число p не є простим. Тоді воно ділиться на деяке натуральне число g таке, що 1 < g < p. Маємо a M p і p M g. Звідси за транзитивністю відношення подільності a M g, де 1 < g < p, що суперечить вибору числа p як найменшого дільника числа a. Отже, p є простим дільником числа a.  ◄

З теореми 21 одержується наслідок.

Наслідок 10. Найменший, відмінний від одиниці, дільник натурального числа є числом простим.

  1.  Нескінченність множини простих чисел (теорема Евкліда)

Теорема 22 (теорема Евкліда). Множина простих чисел нескінченна.

► Доведемо теорему методом від супротивного. Припустимо, що множина простих чисел скінченна, тобто, що вона складається із простих чисел p1, p2, ..., pn. Розглянемо число

g = p1·p2· ... ·pn + 1.

Число g натуральне і більше одиниці, а тому воно має принаймні один простий дільник (теорема 21). Таким простим числом не може бути жодне з простих чисел p1, p2, ..., pn, бо число g при діленні на кожне з них дає в остачі 1. Отже, існує просте число, відмінне від чисел p1, p2, ..., pn. Значить, наше припущення про скінченність множини простих чисел хибне.  ◄

Простим чи складеним є задане натуральне число, більше від 1, встановлюється на основі теореми, яка може бути використана як критерій простоти натурального числа.

Теорема 23. Якщо натуральне число a більше одиниці не ділиться на жодне з простих чисел, квадрати яких не перевищують a, то число a просте.

► Доведемо теорему методом від супротивного. Припустимо, що число a складене. Тоді за властивістю простих чисел (наслідок 10) найменший його дільник, більший від 1, є числом простим. Позначимо його g. Матимемо

a = g·a1,   1 < g < a,   a1 > 1.

За вибором числа g воно є найменшим дільником числа a, більшим від одиниці, і простим, а тому g £ a1. Звідси за монотонністю множення цілих невід'ємних чисел g2 £ a1·g, тобто g2 £ a. Отже, g є простим дільником числа a, квадрат якого не перевищує a, а це суперечить умові теореми.  ◄

З теореми 23 одержується наслідок.

Наслідок 11. Найменший простий дільник натурального числа не перевищує кореня квадратного з даного числа.

Задача 3. Встановити, простим чи складеним є число 967.

► Для того, щоб встановити простим чи складеним є число 967, потрібно на основі теореми 23 перевірити, чи є його дільниками всі прості числа від 2 до 31, бо 312 = 961 < 967, а 322 = 1024 > 967.

За ознаками подільності встановлюємо, що число 967 не ділиться на прості числа 2, 3, 5 і 11. Безпосередньо перевіряємо, що це число не ділиться на прості числа 7, 13, 17, 19, 23, 29 і 31.

Отже, число 967 не ділиться на жодне з простих чисел, квадрати яких не перевищують числа 967, а тому воно буде простим.

Відповідь: число 967 – просте.  ◄ 

  1.  Критерії простоти натурального числа. Решето Ератосфена

Прості числа у натуральному ряді розподілені нерівномірно. Можна вказати досить великі проміжки натурального ряду, в яких немає жодного простого числа. Наприклад, серед чисел виду

n! + 2, n! + 3, n! + 4, …, n! + n

при достатньо великому n немає жодного простого числа. Нагадаємо, що n! = 1×2×3××n. Разом із тим існують послідовні непарні числа, що є простими. Такими, зокрема, є числа 3 і 5, 5 і 7, 11 і 13, 17 і 19, ... , 1000061087 і 1000061089, ... .

Для вивчення розподілу простих чисел у натуральному ряді та інших задач теорії чисел потрібно знати всі прості числа, які не перевищують заданого натурального числа. Для розв'язання цієї задачі є спеціальний метод, який називається решетом Ератосфена. Суть його полягає у наступному.

1. Виписують всі натуральні числа від 2 до n.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., n.

(1)

2. Число 2 ділиться тільки на 1 і саме на себе, отже, воно є простим. Викреслюють у ряді (1) усі числа кратні двом, крім самого числа 2.

3. Перше, наступне за 2 не викреслене число, буде 3. Воно не ділиться на 2 (інакше його б викреслили). Отже, 3 ділиться тільки на 1 і самого себе, а тому також буде простим. Викреслюють усі числа кратні 3, крім самого числа 3.

4. Перше, наступне за 3 не викреслене число, буде 5. Воно не ділиться ні на 2, ні на 3. Отже, 5 ділиться тільки на 1 і саме на себе, тому воно також буде простим. Викреслюють усі числа кратні 5, крім самого числа 5 і т. д.

Процес буде закінчено, коли одержиться просте число p таке, що p2 £ n, але для першого, наступного за p невикресленого простого числа p1, p12 > n. Усі не викреслені числа від 2 до n будуть простими.

Наприклад, щоб скласти таблицю простих чисел, які не перевищують 1000, викреслювання потрібно закінчити при p = 31, тому що 312 = 961 < 1000. Для наступного числа за 31, тобто для числа 32, маємо 322 = 1024 > 1000, а тому й поготів для наступного простого за 31 числа будемо мати таку ж нерівність.

Зауваження. 1. Щоб викреслити всі складені числа кратні простому числу p, не потрібно знати ознаки подільності на p, для цього досить у ряді (1) викреслити кожне p-те число після числа p, враховуючи й ті, які вже раніше були викреслені.

2. Викреслювання чисел кратних простому числу p слід починати з p2, тому що всі складені числа між p і p2 уже викреслені як кратні простим числам, меншим від p (на основі теореми 23).

  1.  Основна теорема арифметики.

Канонічний розклад натурального числа більшого 1

Прості числа відіграють особливу роль у математиці, вони є своєрідними "цеглинками", з яких будується кожне натуральне число більше одиниці. Це випливає з наступної теореми, яку називають основною теоремою арифметики.

Теорема 24. Кожне натуральне число більше одиниці є або простим або розкладається у добуток простих множників, причому цей розклад єдиний з точністю до порядку слідування множників.

► І. Спочатку покажемо, що кожне натуральне число більше одиниці є або простим, або розкладається в добуток простих множників. Для цього скористаємося методом математичної індукції.

1. 2 – просте число. Отже, твердження істинне при a = 2.

2. Припустимо, що твердження істинне для довільного натурального числа k такого, що 2 £ k < a, тобто, що кожне таке число є або простим, або розкладається в добуток простих множників.

3. Доведемо істинність твердження і для числа a.

Оскільки натуральне число a більше одиниці, то воно має принаймні один простий дільник (теорема 21). Позначимо його p1.

a = p1·k1.

(1)

У рівності (1) k1 є натуральним числом, отже, для нього можливі лише два такі випадки: або k1 = 1, або k1 > 1.

Якщо k1 = 1, то число a є простим, і доводжуване твердження у цьому випадку істинне і для a.

Якщо k1 > 1, то в силу рівності (1), 2 £ k1 < a. Звідси та з припущення одержуємо, що для числа k1 можливі лише два такі випадки:

а) число k1 є простим і тоді число a є добутком двох простих множників;

б) число k1 є складеним і розкладається у добуток простих чисел, тобто k1 = p2·p3·…·pn, і тоді a = p1·p2·…·pn.

Отже, твердження істинне для a і у випадку, коли k1 > 1. Таким чином, твердження істинне для a.

Звідси на основі принципу математичної індукції твердження істинне для довільного натурального числа a ≥ 2.

ІІ. Доведемо тепер, що для складеного натурального числа його розклад у добуток простих множників єдиний з точністю до порядку слідування множників. Дійсно, нехай складене число a має принаймні два розклади у добуток простих чисел

a = p1·p2·…·pn   і   a = g1·g2·...·gs.

Тоді

p1·p2·…·pn = g1· g2·...·gs.

(2)

З рівності (2) випливає, що добуток p1·p2·…·pn ділиться на просте число g1, а тому на основі теореми 20 про подільність добутку на просте число робимо висновок, що принаймні один із множників p1, p2, …, pn ділиться на число g1. Не обмежуючи загальності міркувань, можна вважати, що таким множником є число p1. Оскільки p1 і g1 – прості числа, то на основі теореми 18 про властивість простих чисел p1 = g1. Cкорочуючи обидві частини рівності (2) на p1, матимемо

p2·p3·…·pn = g2·g3·…·gs.

Повторюючи аналогічні міркування, через скінченне число кроків дістанемо

p1 = g1,   p2 = g2, …, pk = gk  і або n = s, або  n ≠ s.

Покажемо, що n = s. Дійсно, якщо припустити, що n < s, то

1 = gn+1·gn+2·…·gs,

що неможливо, бо добуток простих чисел більший 1. Аналогічно розглядається випадок, коли n > s.

Отже, n = s і розклади не відрізняються простими множниками, тобто він єдиний з точністю до порядку слідування множників.  

  1.  Загальний вид канонічних розкладів дільників натурального числа. Ознака подільності на складене число

Якщо для складеного натурального числа знайдено його представлення у вигляді добутку простих множників, і у ньому рівні прості множники записано у вигляді степенів простих множників, а самі прості множники розміщені у порядку зростання, то такий запис складеного числа у вигляді добутку простих множників називається канонічним розкладом натурального числа , де p1, p2, …, pn – різні прості дільники числа a і p1 < p2 < … < pn.

Якщо натуральне число a є простим, то сам його запис і є канонічним розкладом числа a.

Говорять, що просте число p входить у канонічний розклад числа , якщо воно дорівнює одному з чисел p1, p2, …, pn.

На основі поняття канонічного розкладу з основної теореми арифметики одержується наслідок.

Наслідок 12. Канонічний розклад складеного числа єдиний.

Щоб знайти канонічний розклад складеного числа, випробовують його подільність на прості числа у порядку зростання. При цьому користуються відомими ознаками подільності на прості числа. Результати обчислень зручно розташовувати так, як показано у наступній задачі.

Задача 4. Знайти канонічний розклад натурального числа 446688.

► Користуючись ознаками подільності на відомі нам прості числа, матимемо

446688

2

223344

2

111672

2

55836

2

27918

2

13959

3

4653

3

1551

3

517

11

47

47

1

Відповідь: 446688 = 25·33·11·47.  

  1.  Алгоритми знаходження найменшого спільного кратного і найбільшого спільного дільника кількох натуральних чисел за їх канонічним розкладами

При розгляді кількох натуральних чисел можна вважати, що їх канонічні розклади містять степені одних і тих самих простих множників, при цьому показники степенів у деяких з них можуть бути рівні нулеві, бо за означенням нульового показника степеня x0 = 1 для довільного числа x ≠ 0.

За допомогою канонічного розкладу натуральних чисел можна встановити вигляд їх дільників.

Теорема 25. Якщо натуральне число a має канонічний розклад

,

то натуральне число b є його дільником тоді і тільки тоді, коли воно має канонічний розклад   і  0 ≤ β1 ≤ α1,  0 ≤ β2 ≤ α2, …, 0 ≤ βn ≤ αn.

► Необхідність. Нехай число  ділиться на число b. Отже, a = b·g або, що те саме,  = b·g.

Внаслідок єдиності розкладу на прості множники, до канонічного  розкладу чисел b і g не можуть входити прості числа, відмінні від чисел p1, p2, ..., pn. А тому

 і  .

Отже,

 = ()·() = = .

Звідси, завдяки єдиності канонічного розкладу, одержуємо

.

Числа aі, bi і gi є цілими невід'ємними числами, тому з попередніх рівностей

£ b1 £ a1,  0 £ b2 £ a2,  …,  0 £ bn £ an.

Достатність. Нехай число b має такий канонічний розклад, як вказано у теоремі. Тоді число a можна записати

 = ()·().

Різниці ai – bi існують завдяки умові 0 £ bі £ ai, i = 1, 2, …, n. 3 одержаної рівності випливає, що число b є дільником числа a.  ◄

З теореми 25 випливають наслідки.

Наслідок 13. Натуральне число ділиться на просте число тоді і тільки тоді, коли дане просте число входить до його канонічного розкладу.

Наслідок 14. Два натуральних числа взаємно прості тоді і тільки тоді, коли їх канонічні розклади не мають спільних простих дільників.

Наслідок 15. Якщо кожне з двох даних натуральних чисел взаємно просте з третім натуральним числом, то і їх добуток взаємно простий з даним числом.

Теорема 25 також дає можливість за канонічними розкладами кількох натуральних чисел знайти їх найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне.

Теорема 26.

1. Канонічний розклад найбільшого спільного дільника кількох натуральних чисел містить ті ж самі прості множники, що й канонічні розклади цих чисел, але взятими з найменшими показниками степенів.

2. Канонічний розклад найменшого спільного кратного кількох натуральних чисел містить ті ж самі прості множники, що й канонічні розклади даних чисел, але взяті з найбільшими показниками степенів.

► Нехай задано кілька натуральних чисел і відомі їх канонічні розклади

.

Позначимо через m1 – найменше, а через n1 – найбільше з чисел a1, b1, … l1, тобто

m1 = min{a1, b1, …, l1},   n1 = max{a1, b1, …, l1}.

Аналогічно

m2 = min{a2, b2, …, l2},   n2 = max{a2, b2, …, l2},

………………………………

mn = min{an, bn, …, ln},   nn = max{an, bn, …, ln}.

На основі введених позначень, щоб довести теорему, потрібно показати, що

НСД(ab, …, l) = ,

(1)

НСК(ab, …, l) = 

(2)

Доведемо рівність (1). Нехай d = . Тоді за теоремою 25 число d є спільним дільником чисел a, b, …, l. За основною властивістю найбільшого спільного дільника число d є дільником числа D = НСД(ab, …, l). Знову, за теоремою 25 число D = , де s1 ³ mi,  i = 1, 2, …, n.

Покажемо, що s1 = mi, i = 1, 2, …, n. Дійсно, якби при деякому i0 було , то те з чисел a, b, …, l, до канонічного розкладу якого входить число , не ділилося б на D. Отже, s1 = mі,  i = 1, 2, …, n, тобто

НСД(ab, … , l) = .

Аналогічно доводиться рівність (2).  

Задача 5. Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне чисел 4680, 7722 і 4368 за їх канонічними розкладами.

► Знаходимо канонічні розклади даних чисел:

4680

2

7722

2

4368

2

2340

2

3861

3

2184

2

1170

2

1287

3

1092

2

585

3

429

3

546

2

195

3

143

11

273

3

65

5

13

13

91

7

13

13

1

13

13

1

1

Маємо 4680 = 23×32×5×13.

7722 = 2×33×11×13.

4368 = 24×3×7×13.

Отже, за теоремою 26 НСД(4680, 7722, 4368) = 2×3×13 = 78 і НСК(4680, 7722, 4368) = 24×33×5×7×11×13 = 2162160.

Відповідь:  НСД(4680, 7722, 4368) = 78,

НСК(4680, 7722, 4368) = 2162160.  ◄


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32064. Анализ ликвидности и платёжеспособности ОАО «Промтехмонтаж» 565 KB
  Техникоэкономическая характеристика деятельности предприятия 2.2 Обеспеченность предприятия ОАО Промтехмонтаж трудовыми и материальными ресурсами 31 2.3 Основные финансовые и экономические показатели деятельности предприятия 36 Глава 3. Финансовое состояние проявляется в платежеспособности предприятия в способности вовремя удовлетворять платежные требования поставщиков в соответствии с хозяйственными договорами возвращать кредиты выплачивать заработную плату вносить платежи в бюджет.
32065. Разработка предложений по оптимизации структуры активов исследуемой организации 2.32 MB
  Целью данной выпускной квалификационной дипломной работы является разработка предложений по оптимизации структуры активов исследуемой организации. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующий ряд задач: определить теоретические и методические подходы к оценке структуры активов организации: понятие сущность назначение активов организации; структуру активов организации методику оценки оптимальной структуры активов организации; оценить структуру активов организации на примере ОАО НГПЭ за 2006 2008 гг.; разработать...
32066. Оценка финансового состояния предприятия и разработка мероприятий по его улучшению (на примере ООО «Маркет-Сервис») 1.13 MB
  С его помощью вырабатывается стратегия и тактика развития предприятия обосновываются планы и управленческие решения осуществляется контроль их выполнения выявляются резервы повышения эффективности производства оцениваются результаты деятельности предприятия его подразделений и работников. Для обеспечения эффективной деятельности в современных условиях руководству необходимо уметь реально оценивать финансовоэкономическое состояние своего предприятия а также состояние деловой активности партнеров и конкурентов. Финансовое состояние...
32067. Исследование личностной и социальной идентичности в психологии 49 KB
  Агеев Белинская В психологии: Идентичность психологическое представление человека о своем Я; отождествление человеком самого себя частично осознаваемое неосознаваемое с теми или иными типологич. Социальная и личностная идентичность. Эриксон: идентичность возникающий на биологической основе продукт определенной культуры на становление влияют особенности культуры и возможности данного индивида. Идентичность формируется в процессе взаимодействия с социокультурным окружением поэтому важно чтобы ребенок общался со взрослыми с...
32068. Я-концепция Л и регуляции соц-ого поведения. Самоув и псих-е защиты 57 KB
  В 60е гг введение в обиход понятия идентичность помогло выйти из тупика т. идентичность задает дихотомию: социальное и личное есть место для 2х подходов. Он рассматривал идентичность как некоторую структуру состоящую из определенных элементов переживаемую субъективно как чувство тождественности и непрерывности собственной личности. Идентичность – это сложное личностное образование имеющее многоуровневую структуру.
32069. Теоретические и эмпирические исследования социально-психологических свойств и типов личности 50 KB
  Теоретические и эмпирические исследования социальнопсихологических свойств и типов личности. Проблема выделения и изучения социальнопсихологических свойств личности. проблема: каков перечень социально психологических качеств свойств личности и каковы критерии для их выделения. Основа типологии – отношение лти к соц.
32070. Большие социальные группы и методы их исследования 61 KB
  Большие социальные группы и методы их исследования. Большие соц группы – общности людей отличаются от МГ наличием слабых постоянных контактов между всеми их представителями но объединенные не меньше и потому оказывают существенное влияние на общественную жизнь. Классификация: 2 больших класса: 1 случайно стихийно возникшие достаточно кратковременно существующие общности толпа масса – неорганизованные; публика аудитория митинг полуорганизованные; 2 именно социальные группы т. группы сложившиеся в ходе исторического развития...
32071. Проблема малой группы в социальной психологии 59 KB
  Проблема малой группы в социальной психологии Проблема определения малой группы Само понятие группа возникло в середине 19 века когда начали изучаться отношения между людьми психология масс народов толпы а изучение малой группы началось с начала 20го века. Как минимум существует 4 группы определений малой группы: 1. – любое количество лиц находящихся во взаимодействии друг с другом в виде одной непосредственной встречи или ряда встреч во время которых каждый член группы получает некоторое восприятие каждого другого члена группы....
32072. Становление малой группы как психологической общности 63.5 KB
  Становление малой группы как психологической общности Детерминанты возникновения малой группы факторы общественноэкономического характера требования производства специфика Дти запросы общества социальные факторы: престижность профессии безработица ради выживания чел может браться за самую непрестижную работу престижность группы не зависит от престижности профессии материальный фактор успешность группы. Психологические факторы для неофициальных неформальных групп: потребности человека в безопасности в самоуважении в...