18296

МНОЖИНА ДОДАТНИХ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ. АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ДОДАТНИМИ РАЦІОНАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 23 МНОЖИНА ДОДАТНИХ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ. АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ДОДАТНИМИ РАЦІОНАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ Задача розширення поняття числа. Короткі історичні відомості про виникнення раціональних і дійсних чисел. Сумірні відрізки. Вимірювання відрізків сум...

Украинкский

2013-07-07

363.5 KB

39 чел.

Лекція 23

МНОЖИНА ДОДАТНИХ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ. АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ДОДАТНИМИ РАЦІОНАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ

  1.  Задача розширення поняття числа.
  2.  Короткі історичні відомості про виникнення раціональних і дійсних чисел.
  3.  Сумірні відрізки. Вимірювання відрізків сумірних із одиничним відрізком. Поняття дробу.
  4.  Відношення рівності дробів та його властивості.
  5.  Додатне раціональне число та його запис (зображення). Нескоротний запис додатного раціонального числа. Множина додатних раціональних чисел.
  6.  Відношення „менше”, „більше” на множині додатних раціональних чисел та його властивості.
  7.  Щільність множини додатних раціональних чисел.
  8.  Означення суми додатних раціональних чисел, її існування і єдиність.
  9.  Операція додавання додатних раціональних чисел та її властивості.
  10.  Означення різниці додатних раціональних чисел, її існування і єдиність. Операція віднімання.
  11.  Означення добутку додатних раціональних чисел, його існування і єдиність.
  12.  Операція множення додатних раціональних чисел та її властивості.
  13.  Означення частки додатних раціональних чисел, її існування і єдиність. Операція ділення.
  14.  Дроби в початковому курсі математики, підхід до їх означення. Розв’язування арифметичних задач з використанням дробів.

  1.  Задача розширення поняття числа

У практичній діяльності людина найчастіше використовує числа при розв'язуванні задач про підрахунок числа елементів скінченної множини та вимірюванні величин. Для розв'язування першої задачі достатньо натуральних чисел, чого не можна сказати про другу задачу. Міра вимірюваного об'єкта при довільно вибраному еталоні не завжди може бути виражена натуральним числом. Отже, щоб задача вимірювання величин була розв'язною, одних тільки натуральних чисел недостатньо, потрібне більш широке поняття числа. Крім того, потреби самої математики вимагають також узагальнення, розширення поняття числа. Зокрема, у множині натуральних чисел не завжди існують результати операцій віднімання і ділення. Бажано мати числові множини, які б включали множину натуральних чисел, де б ці операції були виконуваними.

Нехай A і B – довільні непорожні числові множини. Множина B називається розширенням множини A, якщо:

1) множина A є власною підмножиною множини B;

2) операції і відношення, які визначені на множині A, визначені також і у множині B, причому їх смисл для елементів множини A, що розглядаються як елементи множини B, повинен збігатися з тим, який вони мали у множині A;

3) у множині B повинні виконуватися операції або мати місце властивості, які не завжди виконувались або мали місце у множині A.

Зауваження. Фактично у множині B міститься не сама множина A, а знайдеться власна підмножина, яка рівнопотужна множині A, причому бієктивне відображення між ними зберігає всі основні операції і відношення у них. Такі множини, як уже зазначалося, у математиці не розрізняють. Тому й говорять, що множина A є власною підмножиною множини B.

Якщо числова множина B є розширенням числової множини A, то числа, які розглядаються як елементи множини B, називаються узагальненням чисел, що розглядаються як елементи множини A, а сам процес побудови узагальнення – розширенням поняття числа. Виконання нових операцій або відношень у новопобудованій множині є основним для неї, власне саме для цього і будується розширення.

  1.  Короткі історичні відомості про виникнення

раціональних і дійсних чисел

Процес розширення поняття числа пройшов довгий шлях історичного розвитку. Натуральне число, як засіб лічби, з'явилося на ранніх етапах розвитку людства. Першим розширенням було приєднання до множини натуральних чисел дробових чисел. Спочатку з'явилися зручні дроби виду , які називають аліквотними або основними. Тільки пізніше і дуже повільно виникає уявлення про більш складні дроби як частку від ділення двох натуральних чисел одного на інше у випадку, коли ділене націло не ділиться на дільник. Збереглися єгипетські папіруси з часів 2000 – 1600 рр. до н. е. із записом арифметичних операцій над дробами. Стародавні вавілоняни залишили після себе пам'ятки, які містять обчислення з дробами. Запис дробів у індійців відрізняється від сучасного тільки відсутністю дробової риски. У стародавній Греції дроби широко використовувалися, починаючи з V ст. до н. е. Ними користувалися не тільки у задачах обчислювальної геометрії, комерційної арифметики та алгебри, а й теорії музики. Греки вільно виконували всі арифметичні операції над дробами, хоча числами їх не вважали.

До XV – XVI ст. вчення про дроби набуває, по–суті, сучасного вигляду, але за формою воно було не досить виразним: про походження дробів тоді часто не говорили або говорили дуже мало. Чітке уявлення про дробові числа, як про абстрактні числа, виникло тільки у XVI ст.

Треба зазначити, що розділ арифметики про дроби довгий час був одним із найважчих. У німців збереглося прислів'я: "Потрапити у дроби", що означає – потрапити у безвихідне становище. Навіть найосвіченіші люди вважали операції з дробами дуже важкими, бо не було розроблено алгоритмів арифметичних операцій над дробами.

Отже, історично перше розширення поняття числа – приєднання до множини натуральних чисел дробових додатних чисел. Утворилася нова числова множина, яка називається множиною додатних раціональних чисел (позначається Q+), в якій завжди виконуваною є операція ділення і міра відрізка, сумірного з одиничним відрізком, є елементом цієї множини.

Два відрізки не завжди сумірні. Ще старогрецькі математики відкрили існування несумірних відрізків (наприклад, сторона квадрата і його діагональ). Міра відрізка, несумірного з одиничним відрізком, не може бути виражена додатним раціональним числом. Отже, потреба вимірювання відрізків вимагає нового розширення числа, яке б дозволило виражати міру відрізка, несумірного з одиничним. Виникає поняття додатного ірраціонального числа.

Індійці та араби першими почали розглядати ірраціональні числа як числа нового виду, поширюючи на них закони операцій над раціональними числами. У Західній Європі згадка про ірраціональні числа зустрічається у книзі Леонарда Пізанського у XIII ст. Проте ці числа ввійшли в європейську математику лише у XV – XVII ст., з розвитком алгебри і тригонометрії.

Знайти прообрази додатних ірраціональних чисел поза геометричними величинами математики XV – XVI ст. не вміли, тому для них ірраціональні числа поза геометрією були символами, позбавленими конкретного змісту.

Будь-яке додатне раціональне число може бути виражене як частка двох натуральних чисел. Але додатне ірраціональне число не можна подати скінченною комбінацією додатних раціональних чисел, зв'язаних чотирма арифметичними операціями. Ці факти знали математики XV-XVI ст. і майже завжди використовували як аргумент "неповноцінності" ірраціональних чисел. Але оскільки багато задач приводили до появи ірраціональних чисел, їх все одно потрібно було розглядати.

Отже, другим розширенням поняття числа була множина, яка складалася з усіх додатних раціональних чисел та усіх додатних ірраціональних чисел, яка називається множиною додатних дійсних чисел (позначається R+), в якій будь-який відрізок має міру при довільному одиничному відрізку.

Додатних дійсних чисел достатньо для вимірювання величин. Але їх недостатньо, щоб характеризувати зміну величини. Крім того, у множині додатних дійсних чисел не завжди виконується операція віднімання, тобто рівняння b + x = a не завжди має розв'язок. Потреби практики і математики вимагали нового розширення поняття числа, що пов'язується з введенням від'ємних чисел.

Вперше поняття про додатні та від'ємні дійсні числа зустрічаються понад 2000 р. тому у Китаї у книзі "Математика у дев'яти книгах", де додатні числа трактуються як майно, а від'ємні – як борг.

У VI-VII ст. н. е. індійські вчені вже систематично користувалися від'ємними числами при розв'язуванні рівнянь, причому віднімання замінювалося додаванням. Проте, запровадивши від'ємні числа, індійські вчені вважали їх нерівноправними з додатними числами.

У європейській математиці до ідеї від'ємного числа досить близько підійшов на початку XIII ст. Леонардо Пізанський, але ці числа почали широко використовуватися з часів французького математика і філософа Р. Декарта (1596-1650). Створена ним і П. Ферма (1601-1665) аналітична геометрія дала можливість розглядати корені рівняння f(x) = 0 як координати точок перетину кривої  y = f(x)  з віссю абсцис. Це остаточно усунуло принципову відмінність між додатними і від'ємними числами, бо їх тлумачення, по–суті, стало однаковим. Нуль перестав бути знаком нічого і почав розглядатися як число рівноправне з іншими числами.

Множина, елементами якої є всі додатні дійсні числа, всі від'ємні дійсні числа і число нуль, називається множиною дійсних чисел (позначається R), а її елементи – дійсними числами. У множині дійсних чисел виконуваними є всі арифметичні операції, за винятком ділення на нуль, тобто ця множина є полем. Але рівняння x2 + 1 = 0 не має розв'язків у множині дійсних чисел, тому що за означенням добутку дійсних чисел для довільних дійсного числа x  0 і парного натурального числа n:  xn > 0.

Дальший етап розширення поняття числа пов'язаний із введенням уявної одиниці i як числа, квадрат якого дорівнює –1, тобто i2 = –1. Числа виду a + bi, де  a  і  b – довільні дійсні числа, називаються комплексними. При b = 0 дістаємо дійсні числа, тобто множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел (позначається C).

  1.  Сумірні відрізки. Вимірювання відрізків сумірних

із одиничним відрізком. Поняття дробу

При заданому одиничному відрізку міра не кожного відрізка виражається натуральним числом. Бажано було б розширити множину натуральних чисел так, щоб задача знаходження міри відрізка при заданому одиничному відрізку стала розв'язною для ширшої множини відрізків. Суттєву роль при цьому відіграє поняття сумірних відрізків.

Говорять, що два відрізки сумірні, якщо існує відрізок, який називається їх спільною мірою, що вкладається ціле число разів у кожному з них.

Отже, якщо відрізки a і b сумірні, то існують відрізок g і натуральні числа m та n такі, що

a = m·g  і  b = n·g.

Якщо два відрізки сумірні, то їх спільна міра не єдина. Дійсно, якщо відрізок g є спільною мірою відрізків a і b, тобто

a = m·g,  b = n·g,   mn Î N,

то тоді відрізок g1 такий, що g = k·g1 і k Î N, буде також спільною мірою відрізків a  і  b, бо

a = m·(k·g1) = (m·kg1  і  b = n· (k·g1) = (n·kg1.

Таким чином, якщо відрізки сумірні, то вони мають безліч спільних мір. Можна показати, що серед них існує єдина найбільша спільна міра.

Зафіксуємо одиничний відрізок e. Нехай a – довільний відрізок, сумірний з одиничним відрізком e. Тоді

a = m·g,  e = n·g,   mn Î N.

(1)

З (1) маємо

 i  .

Розглянемо рівність

,   mn Î N.

(2)

У ній натуральне число m можна розглядати як міру відрізка α, але при одиничному відрізку . Отже, щоб виразити натуральним числом міру відрізка, сумірного з одиничним відрізком, потрібно його ділити на певне число рівних між собою частин, що не завжди зручно. Тому поступають по-іншому – не намагаються завжди виразити міру натуральним числом, а зберігають один і то й же одиничний відрізок, але кожного разу вказують, на яке число рівних частин його ділять та із скількох таких частин складається вимірюваний відрізок. Результатом такого вимірювання є впорядкована пара натуральних чисел, яку записують символом  і тоді рівність (2) запишеться так

,   m, n Î N.

Отже, у випадку сумірності вимірюваного відрізка a з одиничним відрізком e можна вважати, що його міра виражається символом , який означає, що  частина одиничного відрізка e вміщується у відрізку a m разів.

Навпаки, для кожної пари натуральних чисел r і s, записаної символічно , і одиничного відрізку e можна побудувати відрізок , сумірний з одиничним відрізком.

Таким чином, впорядкована пара натуральних чисел буде відігравати роль міри відрізка. А тому виникає необхідність вивчення впорядкованих пар натуральних чисел, записаних у вигляді .

  1.  Відношення рівності дробів та його властивості

Упорядкована пара натуральних чисел m і n, що записується символом , називається звичайним дробом або просто дробом, при  цьому число m називається чисельником, а число nзнаменником дробу. Дріб  читається: "ем ентих".

Іншими словами, звичайний дріб – це елемент множини N ´ N = N 2, що записується у вигляді .

Для кожного дробу  при вибраному одиничному відрізку e завжди можна побудувати відрізок a з точністю до рівності відрізків, що має мірою цей дріб. Для цього потрібно відрізок e  поділити на n рівних частин і взяти суму m таких частин. Відрізок a визначається дробом  однозначно, але дріб, за яким будується відрізок рівний a, не єдиний.

Дійсно, нехай . Тоді a = m·g  і e = n·g. Візьмемо відрізок g1 такий, що  g = k·g1. Матимемо

a = m·(k·g1) = (m·kg1  і  e = n·(k·g1) = (n·kg1.

Звідси випливає, що .

Цим самим доведено наслідок.

Наслідок 1. При одиничному відрізку e дроби  і , де k – довільне натуральне число, визначають один і той же клас рівних відрізків.

Має місце теорема.

Теорема 1. Для довільних відрізків a і b, сумірних з одиничним відрізком e, таких, що  і , відрізки a  і  b  рівні тоді і тільки тоді, коли  m×s = r×n.

► Нехай відрізки a і b сумірні з одиничним відрізком e і такі, що  і . Тоді, враховуючи властивості сумірних відрізків та наслідок 1, матимемо

,

(1)

.

(2)

Необхідність. Якщо a = b , то з (1) і (2) одержуємо

.

Звідси за властивістю міри відрізка, що виражена натуральним числом,

m×s = r×n.

Отже, умова необхідна.

Достатність. Якщо m×s = r×n, то за властивістю міри відрізка, яка виражена натуральним числом,

.

Звідси, враховуючи (1) і (2),  a = b.

Отже, умова достатня.  

Доведена теорема приводить до думки так сформулювати означення рівності дробів.

Довільні дроби  і  називаються рівними (позначається ) тоді і тільки тоді, коли  m×s = r×n:

: Û m×s = r×n.

Зауваження. У математиці замість терміну "рівні дроби" вживаються також терміни "рівносильні дроби", "еквівалентні дроби".

Теорема 2. Відношення рівності дробів є відношенням еквівалентності.

► 1. Для кожного дробу  маємо т×n = т×n. Звідси за означенням рівності дробів .  Отже, відношення рівності дробів рефлексивне.

2. Нехай тепер  i  – довільні дроби такі, що

 Þ  за означенням рівності дробів

m×s = r×n Þ за симетричністю рівності натуральних чисел

r×n = m×s Þ  за означенням рівності дробів

.

Таким чином, відношення рівності дробів симетричне.

3. Нарешті, нехай ,  і  – довільні дроби такі, що

 Þ  за означенням рівності дробів

(m·s = r·nÙ (r·g = p·s) Þ  за властивостями рівностей для цілих невід'ємних чисел

(m·s)·(r·g) = (r·n)·(p·s) Þ  за комутативністю та асоціативністю множення цілих невід'ємних чисел

(m·g)·(s·r) = (p·n)·(s·r) Þ  за правилом скорочення для цілих невід'ємних чисел

m·g = p·n Þ  за означенням рівності дробів

.

Отже, відношення рівності дробів транзитивне.

Таким чином, відношення рівності дробів рефлексивне, симетричне і транзитивне. Отже, воно є відношенням еквівалентності.  ◄

Користуючись рівністю дробів, як відношенням еквівалентності, множину всіх дробів можна розбити на класи рівних дробів, причому кожний з класів є нескінченною множиною, бо разом з кожним дробом  йому належать і дроби , де k Î N.

Наступна теорема виражає властивість дробів, яка називається їх основною властивістю.

Теорема 3. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити (якщо ділення можливе) на одне і те ж саме натуральне число, то одержиться дріб рівний даному.

► Нехай  – довільним дріб і k – будь-яке натуральне число. Маємо

m·n = m·n Þ  за монотонністю множення цілих невід'ємних чисел

(m·n)·k = (m·n)·k Þ  за комутативними та асоціативними законами множення цілих невід'ємних чисел

m·(n·k) = (m·k)·n Þ  за означенням рівності дробів.

.

(1)

З (1), у силу симетричності рівності дробів, і випливає доводжувана теорема.  ◄

За допомогою основної властивості дробів розв'язуються такі дві задачі для них:

1. Скорочення дробів: заміна дробу на рівний йому дріб шляхом ділення чисельника і знаменника на одне і те ж натуральне число, яке є їх спільним дільником.

2. Зведення дробів до спільного знаменника: заміна кожного дробу рівним йому дробом з однаковими знаменниками.

Задача 1. Скоротити дріб  .

► Застосування ознак подільності дозволяє зробити висновок, що числа 11730 і 23664 діляться на 2 і 3, тобто на 6. Поділивши чисельник і знаменник дробу на 6, отримаємо  .

Стверджувати, що дріб  нескоротний не можна, хоча подальше використання ознак подільності не дає відповіді на це питання. Потрібно тепер, скориставшись алгоритмом Евкліда, знайти НСД (1955, 3944).

2

57

2

3944

1955

34

17

3910

170

34

34

255

0

238

17

Звідси, НСД (1955, 3944) = 17 і  .

Відповідь:  .  ◄

Задача 2. Звести до спільного знаменника дроби .

 Дроби  можна скоротити. Після цього одержаться дроби  і .  НСК (5, 3, 6) = 30, а множники, на які потрібно помножити чисельники і знаменники дробів  і , рівні відповідно 30 : 5 = 6, 30 : 3 = 10, 30 : 6 = 5.

Отже, дроби  і  рівні дробам  і  та мають однакові знаменники. Відмітимо, якщо дроби   і   попередньо не скоротити, то НСК (5, 18, 24) = 120, що менш зручно, ніж при користуванні числом 30.

Відповідь: ,   .  

Дріб називається нескоротним, якщо його чисельник і знаменник взаємно прості числа.

Теорема 4. У кожному класі рівних дробів існує єдиний нескоротний дріб.

► Нехай K – довільний клас рівних дробів і дріб  Î K. Якщо d = НСД (mn), то дріб  належить класу K і за властивостями найбільшого спільного дільника є нескоротним. Покажемо, що він єдиний у класі K. Дійсно, коли  ще один нескоротний дріб даного класу, то тоді з того, що  за означенням рівності дробів матимемо

m1·s = r·n1.

(1)

З рівності (1) за означенням відношення подільності m1·s M r. Але числа r і s взаємно прості, отже,

m1 M r.

(2)

Аналогічно з тієї ж рівності (1) одержуємо

r M m1.

(3)

Із відношень (2) і (3) за антисиметричною властивістю відношення подільності дістанемо m1 = r. Тоді з рівності (1) випливає, що n1 = s.

Отже,  і  – це один і той же дріб.  

З теореми 4 одержується наслідок.

Наслідок 1. Кожний дріб з класу рівних дробів одержується із нескоротного дробу цього класу множенням чисельника і знаменника нескоротного дробу даного класу на натуральне число.

Дріб називається правильним, якщо його чисельник менший від знаменника, у протилежному випадку, тобто, коли чисельник дробу не менший від знаменника, то дріб називається неправильним.

Щоб розглянути інші властивості дробів доведемо теорему.

Теорема 5. Для довільних відрізків a і b, сумірних з одиничним відрізком e, якщо

і ,

то a < b тоді і тільки тоді, коли m×s < r×n.

► Нехай відрізки a і b сумірні з одиничним відрізком e  і

, .

Тоді, враховуючи властивості відрізків, сумірних з одиничним відрізком, матимемо

 =,

(1)

 =.

(2)

Необхідність. Нехай a < b. Тоді, користуючись властивістю міри відрізка, що виражається натуральним числом, на основі (1) і (2) одержуємо m·s < r·n.

Отже, умова необхідна.

Достатність. Нехай m·s < r·n. Тоді, користуючись властивістю міри відрізка, що виражається натуральним числом, на основі (1) і (2) дістанемо a < b. Таким чином, умова достатня.  

Теорема 5 є підставою для такого означення відношення "менше" на множині дробів.

Для довільних дробів  і  дріб  називається меншим дробу  (позначається ) тоді і тільки тоді, коли m·s < r·n.

: Û m·s < r·n.

На основі означення одержуємо наслідки.

Наслідок 2. З двох дробів із рівними знаменниками менший той, у якого чисельник менший.

Наслідок 3. З двох дробів із рівними чисельниками менший той, у якого знаменник більший.

Теорема 6. Відношення "менше" на множині дробів транзитивне.

► Нехай ,  і  – довільні дроби, такі що:

 Þ  за означенням відношення "менше" на множині дробів

(m·s < r·nÙ (r·g < p·s) Þ  за властивостями нерівностей для цілих невід'ємних чисел

(m·s)·(r·g) < (r·n)·(p·s) Þ  за комутативністю та асоціативністю множення цілих невід'ємних чисел

(m·g)·(s·r) < (p·n)·(s·r) Þ  за правилом скорочення для множення цілих невід'ємних чисел

m·g < p·n Þ  за означенням відношення "менше" на множині дробів

.

Отже, відношення "менше" на множині дробів транзитивне.  

Теорема 7. Для довільних дробів  і  має місце одне і тільки одне із відношень:

або ,  або ,  або .

► Нехай  і  – довільні дроби. Розглянемо натуральні числа m·s і r·n. Оскільки множина натуральних чисел строго лінійно впорядкована відношенням "менше", то для натуральних чисел m·s і r·n має місце одне і тільки одне із відношень:

або m·s = r·n, тоді за означенням рівності дробів ;

або m·s < r·n, тоді за означенням відношення "менше" для дробів ,

або r·n < m·s, тоді за означенням відношення "менше" для дробів .  

З теорем 6 і 7 випливає наслідок.

Наслідок 4. Відношення "менше" на множині дробів є відношенням строгого лінійного порядку.

Теорема 8. Відношення "менше" між двома довільними дробами зберігається при заміні їх рівними дробами.

► Нехай  і  довільні дроби такі, що .

З того, що  за означенням відношення "менше" між дробами одержуємо

m·s < r·n.

(1)

За означенням рівності дробів

m1·n = m·n1;

(2)

r·s1 = r1·s.

(3)

З (2) і (3) за властивістю рівностей для цілих невід'ємних чисел

(m1·n)·(r·s1) = (m·n1)·(r1·s).

Звідси за комутативністю та асоціативністю множення цілих невід'ємних чисел

(m1·s1)·(n·r) = (r1·n1)·(m·s).

(4)

З (1) за означенням відношення "менше" для цілих невід'ємних чисел

m·s + x = r·n,   x Î N.

(5)

Замінимо r·n  у (4) його значенням із (5) і будемо мати

(m1·s1)·(m·s + x) = (r1·n1)·(m·s) Þ  за властивостями додавання і множення цілих невід'ємних чисел

(m1·s1)·(m·s) + y = (r1·n1)·(m·s),  y Î N Þ  за означенням відношення "менше" для цілих невід'ємних чисел

(m1·s1)·(m·s) < (r1·n1)·(m·s) Þ  за правилом скорочення для множення цілих невід'ємних чисел

m1·s1 < r1·n1 Þ  за означенням відношення "менше" для дробів.

 < .  

Те, що відношення "менше" зберігається для рівних дробів, дозволяє строго лінійно впорядкувати цим відношенням класи рівних дробів, причому саме впорядкування можна виконати за допомогою будь-яких представників кожного класу.

Відношення "більше" на множині дробів розглядається як обернене до відношення "менше", тому воно також буде відношенням строгого  лінійного порядку.

Відношення "менше або рівне" є об'єднанням відношень "рівне" і "менше", а відношення "більше або рівне" можна розглядати як обернене до відношення "менше або рівне" або як об'єднання відношень "рівне" і "більше". Обидва з цих відношень є відношеннями нестрогого лінійного порядку.

Елементарні уявлення про дроби учні одержують на основі задачі про поділ предметів на рівні частини і розгляду однієї з них, яку позначають , де n – число рівних частин, на які ділиться предмет. Дещо пізніше учні знайомляться із дробами виду ,  mn Î N, та їх тлумаченням: предмет поділено на n рівних між собою частин і взято т таких частин.

  1.  Додатне раціональне число та його запис (зображення). Нескоротний запис додатного раціонального числа.

Множина додатних раціональних чисел

Як уже зазначалось, дроби з'явилися у зв'язку з вимірюванням величин, зокрема вимірюванням відрізків, сумірних з одиничним відрізком: кожному відрізку a, сумірному з одиничним відрізком e, ставиться у відповідність дріб, за яким можна однозначно визначити цей відрізок, причому кожному класу рівних дробів ставиться у відповідність клас рівних відрізків. Отже, клас рівних дробів можна розглядати, як новий вид числа. Клас рівних дробів називається додатним раціональним числом, а кожний з його дробів – записом або зображенням додатного раціонального числа.

Оскільки кожний клас рівних дробів містить нескінченну множину дробів, то кожне додатне раціональне число має безліч зображень, серед яких виділяється єдине нескоротне зображення, тобто зображення у вигляді нескоротного дробу. Твердження "додатне раціональне число a має своїм зображенням дріб " символічно записується .

Оскільки кожне додатне раціональне число має нескінченну множину зображень, то при встановленні тверджень про ці числа, що базуються на властивостях дробів, потрібно доводити, що суть твердження не залежить від вибору зображень.

Усі додатні раціональні числа утворюють множину додатних раціональних чисел, яка позначається Q+. Множина натуральних чисел N є її власною підмножиною. Дійсно, для довільного натурального числа m класу рівних дробів

, k Î N,

відповідає клас рівних відрізків, мірою яких є натуральне число т при вибраному одиничному відрізку. Тому цей клас рівних дробів можна ототожнити з натуральним числом m. Отже, кожне натуральне число є додатним раціональним числом, але не кожне додатне раціональне число є натуральним. Наприклад, додатне раціональне число

не є натуральним числом.

Натуральні числа, що розглядаються як елементи множини додатних раціональних чисел, називаються цілими додатними раціональними числами або цілими додатними числами, а всі інші додатні раціональні числа – дробовими додатними раціональними числами або дробовими додатними числами.

Додатні раціональні числа означені як класи рівних дробів, а тому два додатних раціональних числа a і b називаються рівними (позначається a = b), якщо відповідні їм класи дробів рівні. Оскільки відношення рівності для додатних раціональних чисел означено через рівність множин, то воно має ті ж самі властивості, що й відношення рівності множин, а саме: рефлексивність, симетричність і транзитивність.

Класи рівних дробів рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх будь-які представники. А тому має місце теорема.

Теорема 1. Довільні додатні раціональні числа a і b, що мають своїми зображеннями відповідно дроби  і , рівні тоді і тільки тоді, коли m·s = r·n.

  1.  Відношення „менше”, „більше” на множині

додатних раціональних чисел та його властивості

Для довільних додатних раціональних чисел a і b число a називається меншим числа b (позначається a < b), якщо довільний дріб класу, який визначає число a, менший довільного дробу класу, який визначає число b.

На основі даного означення та властивостей відношення "менше" для дробів одержується теорема.

Теорема 2. Для довільних додатних раціональних чисел a і b, що мають своїми зображеннями відповідно дроби  і , a < b тоді і тільки тоді, коли m·s < r·n:

"ab Î Q+: .

Відношення "менше" на множині додатних раціональних чисел є відношенням строгого лінійного порядку, бо таким є це відношення на множині класів рівних дробів.

Відношення "більше" (позначається ">") на множині додатних раціональних чисел визначається як обернене до відношення "менше", а тому воно також є відношенням строгого лінійного порядку.

Відношення "менше або рівне" (позначається "£") на множині додатних раціональних чисел визначається як об¢єднання відношень "менше" і "рівне".

Відношення "більше або рівне" (позначається "³") може бути визначене як обернене до відношення "менше або рівне", або ж як об¢єднання відношень "більше" і "рівне". Обидва ці відношення є відношеннями нестрогого лінійного порядку.

Як і для цілих невід¢ємних чисел, розглянуті відношення порядку "<", ">" ,"£" і "³" називаються відношеннями природного порядку на множині додатних раціональних чисел. Означення відношень рівності і порядків та їх властивості дозволяють у всіх випадках, коли мова йде про порівняння додатних раціональних чисел, користуватися будь-якими їх зображеннями.

  1.  Щільність множини додатних раціональних чисел

Множина M, на якій визначено відношення строгого лінійного порядку r, називається щільною, якщо для довільних її елементів x і y таких, що x r y, існує елемент z Î M такий, що x r z  і  z r y.

Доведемо, що множина додатних раціональних чисел щільна.

Теорема 3. Для довільних додатних раціональних чисел a і b, якщо a < b, то існує додатне раціональне число c таке, що a < c < b:

"ab Î Q+: a < b ® $ c Î Q+: a < c < b.

 Не обмежуючи загальності міркувань серед зображень чисел a і b можна вибрати такі їх зображення:  і . Оскільки a < b, то за означенням відношення "менше" для додатних раціональних чисел матимемо 2m < 2r. Враховуючи, що 2m і 2r є парними натуральними числами, існує натуральне число s таке, що

2m < s < 2r.

Тоді за означенням відношення "менше" для дробів дістанемо

.

і за число c можна взяти додатне раціональне число, яке має зображенням дріб .  

Множину додатних раціональних чисел можна впорядкувати не тільки за допомогою відношень природного порядку.

Висотою додатного раціонального числа називається сума чисельника і знаменника нескоротного дробу, що є його зображенням.

Наприклад, висоту 5 мають додатні раціональні числа, зображеннями яких є дроби ; раціональне число 8 має висоту 9, бо його зображенням є нескоротний дріб . Користуючись поняттям висоти додатного раціонального числа можна не тільки впорядкувати множину додатних раціональних чисел, а й довести теорему.

Теорема 4. Множина додатних раціональних чисел рівнопотужна множині натуральних чисел.

► Розмістимо всі додатні раціональні числа у порядку зростання їх висоти, а числа однієї висоти – у порядку зростання чисельників.

Бієктивне відображення множини Q+ на множину N зручно задати таблицею

Q+

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Існування бієктивного відображення множини Q+ на множину N і доводить, що Q+ ~ N.  ◄

Виходить, що додатних раціональних чисел така ж "кількість" як і натуральних чисел, хоча множина натуральних чисел є власною підмножиною множини раціональних чисел. Серед нескінченних множин множина натуральних чисел займає особливе місце. Вона до деякої міри містить "найменше" елементів серед нескінченних множин. Множину, рівнопотужну множині натуральних чисел, називають зчисленною.

За цим означенням сама множина натуральних чисел зчисленна, а згідно теореми 4 зчисленною буде й множина додатних раціональних чисел.

  1.  
    Означення суми додатних раціональних чисел,

її існування і єдиність

Додатні раціональні числа (вірніше дроби) з'явилися у зв'язку з вимірюванням величин, зокрема вимірюванням відрізків, сумірних з одиничним відрізком. А тому арифметичні операції над додатними раціональними числами потрібно ввести так, щоб операції над числами відповідали операціям над відрізками із збереженням властивостей останніх.

Нехай a і b – довільні додатні раціональні числа, що мають своїми зображеннями відповідно дроби  і . Виберемо довільний одиничний відрізок ε і побудуємо відрізки α і β такі, що

 і  .

Отже, відрізки α і β мають своїми мірами відповідно натуральні числа m·s i r·n при одиничному відрізку . За властивостями міри відрізків, яка виражена натуральним числом, мірою відрізка α + β є натуральне число m·s + r·n при одиничному відрізку , бо

,

а це означає, що мірою відрізка α + β при одиничному відрізку ε є дріб , тобто .

Попередні міркування наводять на думку дати таке означення суми двох додатних раціональних чисел.

Сумою довільних додатних раціональних чисел a і b (позначається a + b), які мають своїми зображеннями відповідно дроби  і , називається додатне раціональне число, яке має своїм зображенням дріб .

Це означення є одночасно і означенням суми дробів

.

Теорема 5. Сума довільних додатних раціональних чисел не залежить від їх зображень.

 Нехай для довільних додатних раціональних чисел a і b, крім зображень відповідно  і , взято довільні їх зображення  i .

Потрібно довести, що .

Дійсно, з того, що

 Þ  за означенням рівності дробів

(m·n1 = m1·nÙ (r·s1 = r1·s) Þ  за монотонністю множення цілих

(m·n1)·(s·s1) = (m1·n)·(s·s1Ù       невід'ємних чисел

Ù (r·s1)·(n·n1) = (r1·s)·(n·n1) Þ  за комутативністю і асоціативністю

(m·s)·(n1·s1) = (m1·s1)·(n·sÙ       множення цілих невід'ємних чисел

Ù (r·n)·(n1·s1) = (r1·n1)·(n·s) Þ  за властивістю рівностей цілих

(m·s)·(n1·s1) + (r·n)·(n1·s1) =       невід'ємних чисел

=(m1·s1)·(n·s) + (r1·n1)·(n·s) Þ  за дистрибутивністю множення

(m·s + r·nn1·s1 = цілих невід'ємних чисел відносно додавання

=(m1·s1 + r1·n1)·n·s Þ  за означенням рівності дробів

.  

Наслідок 1. Сума двох дробів з рівними знаменниками є дробом з тим самим знаменником і чисельником, що дорівнює сумі чисельників даних дробів.

Теорема 6. Сума довільних двох додатних раціональних чисел завжди існує і єдина.

 Згідно теореми 5 сума довільних двох додатних раціональних чисел не залежить від вибору їх зображень. При вибраних же зображеннях сума визначається однозначно, бо чисельник і знаменник зображення суми знаходяться однозначно як результати виконання додавання і множення натуральних чисел, які завжди  існують і єдині.  

  1.  Операція додавання додатних раціональних чисел та її властивості

Операція у множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться у відповідність їх сума a + b, називається додаванням додатних раціональних чисел.

Теорема 7. Операція додавання додатних раціональних чисел:

1) комутативна :"ab Î Q+: a + b = b + a;

2) асоціативна :"abc Î Q+: (a + b) + c = a + (b + c).

► Доведемо асоціативність додавання. Нехай a, b, c – довільні додатні раціональні числа. Виберемо їх зображення з рівними знаменниками відповідно . Тоді

 = за означенням суми дробів

= = за асоціативністю додавання цілих невід'ємних чисел

= = за означенням суми дробів

= = за означенням суми дробів

= = за транзитивністю відношення рівності дробів

=.

Отже, (a + b) + c = a + (b + c).  

Теорема 8. Для довільних додатних раціональних чисел a і b  a < b тоді і тільки тоді, коли існує додатне раціональне число x таке, що a + x = b.

 Нехай a і b – довільні додатні раціональні числа. Виберемо їх зображення із рівними знаменниками відповідно  і .

Необхідність. Нехай a < b. Тоді за означенням відношення "менше" для додатних раціональних чисел матимемо

m < r Þ  за означенням відношення "менше" для цілих невід'ємних чисел

m + y = r,  y Î N Þ  за означенням рівності для дробів

 Þ  за означенням суми дробів

.

Позначивши через x додатне раціональне число, яке має своїм зображенням дріб , будемо мати a + x = b.

Отже, умова необхідна.

Достатність. Нехай a + x = b. Виберемо зображення для чисел a, x і b, які мають рівні знаменники, відповідно ,  і . Будемо мати

 Þ  за означенням суми дробів

 Þ  за означенням рівності дробів

m + y = r Þ  за означенням "менше" для цілих невід'ємних чисел

m < r Þ  за означенням "менше" для дробів

 Þ  за означенням "менше" для додатних раціональних чисел a < b.

Отже, умова достатня.  

На основі теореми 8 можна по-іншому дати означення відношення "менше" для додатних раціональних чисел.

Для довільних додатних раціональних чисел a і b  a називається меншим b, якщо існує додатне раціональне число x таке, що a + x = b.

"ab Î Q+: a < b: Û $ x Î Q+: a + x = b.

Цим означенням відношення "менше" зручно користуватися у доведеннях.

Теорема 9 (закони монотонності додавання). Операція додавання додатних раціональних чисел монотонна відносно:

1) відношення рівності: "abc Î Q+: a = b ® a + c = b + c;

2) відношень порядку, зокрема: "abc Î Q+: a < b ® a + c < b + c.

► 1. Для довільних додатних раціональних чисел a, b і c з того, що a = b, випливає, що (ac) = (bc). Оскільки додавання додатних раціональних чисел є операцією, то з останньої рівності одержуємо, що a + c = b + c.

2. Для довільних додатних раціональних чисел a, b і c, якщо

a < b Þ  за означенням відношення "менше" для додатних раціональних чисел

a + x = b,  x Î Q+ Þ  за монотонністю додавання відносно відношення рівності для додатних раціональних чисел

(a x) + c = b c,  x Î Q+ Þ  за асоціативністю і комутативністю додавання додатних раціональних чисел

(a c) + x = b c,  x Î Q+ Þ  за означенням відношення "менше" для додатних раціональних чисел

a + c < b + c.  

На основі законів монотонності додавання додатних раціональних чисел, скориставшись методом доведення від супротивного, можна довести наступну теорему.

Теорема 10 (правила скорочення для додавання). Для операції додавання додатних раціональних чисел мають місце правила скорочення відносно:

1) відношення рівності: "abc Î Q+: a + c = b + c ® a = b;.

2) відношень порядку, зокрема: "abc Î Q+: a + c < b + c ® a < b.

Якщо дробове додатне раціональне число має своїм зображенням неправильний дріб , то тоді m > n. Поділивши т на n з остачею, матимемо m = n·g + r, де 0 < r < n. Отже,

.

Запис  вживається рідко, замість нього користуються таким , тобто знак операції додавання опускається.

Мішаним числом називається сума натурального числа і правильного дробу, що записані поруч (спочатку пишеться натуральне число, а потім дріб).

Слід пам'ятати, що у запису мішаного числа опущено знак додавання, а не множення.

Зауваження. 1. При проведенні обчислень з додатними раціональними числами, тобто з дробами, додаткові відомості або обчислення подаються у фігурних дужках.

2. Остаточний результат обчислення виражається нескоротним дробом, а якщо він неправильний, то ще й мішаним числом.

Приклади.

1) ={НСК (8, 7) = 56}=;

2) {НСК(15, 18, 6) = 90} =

.

Відмітимо, що додавання натуральних чисел є частковим випадком додавання додатних раціональних чисел. Дійсно, будь-яке натуральне число можна зобразити дробом із знаменником рівним 1. Отже, рівність m + n = k, де mnk Î N, може бути записана у вигляді

.

  1.  Означення різниці додатних раціональних чисел,

її існування і єдиність. Операція віднімання

Операція віднімання додатних раціональних чисел розглядається як обернена до операції додавання.

Різницею довільних додатних раціональних чисел a і b (позначається a – b) називається додатне раціональне число x таке що b + x = a.

Теорема 11. Для довільних додатних раціональних чисел a і b їх різниця існує тоді і тільки тоді, коли b < a.

Якщо різниця додатних раціональних чисел існує, то вона єдина.

► 1. Необхідність.  Нехай a і b – довільні додатні раціональні числа такі, що їх різниця існує, тобто

a – b = x,  x Î Q+ Þ  за означеним різниці

b + x = a,  x Î Q+ Þ  за означенням відношення "менше" для додатних раціональних чисел

b < a.

Отже, умова необхідна.

2. Достатність. Нехай a і b – довільні додатні раціональні числа такі, що

b < a Þ  за означенням відношення "менше" для додатних раціональних чисел

b + x = a,  x Î Q+ Þ  за означенням різниці

a – b = x.

Значить умова достатня.

3. Єдиність різниці. Нехай різниця довільних додатних раціональних чисел існує. Доведемо, що вона єдина. Дійсно, якщо

(a – b = x1Ù (a – b = x2) Þ  за означенням різниці

(b + x1 = a) Ù (a = b + x2) Þ  за транзитивністю відношення рівності для додатних раціональних чисел

b + x1 = b + x2 Þ  за правилом скорочення для додатних раціональних чисел

x1 = x2.  

Теорема 11 є теоретичною основою наступного означення.

Операція у множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться  у відповідність їх різниця a – b, називається відніманням додатних раціональних чисел.

У силу теореми 11 віднімання додатних раціональних чисел є частковою операцією. Операція віднімання додатних раціональних чисел має ті ж самі властивості, що й віднімання цілих невід'ємних чисел.

Приклади:

{7 × 6 > 5 × 8, НСК(8, 6) = 24} = ;

;

.

  1.  
    Означення добутку додатних раціональних чисел,

його існування і єдиність

Операція віднімання додатних раціональних чисел розглядається як обернена до операції додавання.

Різницею довільних додатних раціональних чисел a і b (позначається a – b) називається додатне раціональне число x таке що b + x = a.

Теорема 11. Для довільних додатних раціональних чисел a і b їх різниця існує тоді і тільки тоді, коли b < a.

Якщо різниця додатних раціональних чисел існує, то вона єдина.

► 1. Необхідність.  Нехай a і b – довільні додатні раціональні числа такі, що їх різниця існує, тобто

a – b = x,  x Î Q+ Þ  за означеним різниці

b + x = a,  x Î Q+ Þ  за означенням відношення "менше" для додатних раціональних чисел

b < a.

Отже, умова необхідна.

2. Достатність. Нехай a і b – довільні додатні раціональні числа такі, що

b < a Þ  за означенням відношення "менше" для додатних раціональних чисел

b + x = a,  x Î Q+ Þ  за означенням різниці

a – b = x.

Значить умова достатня.

3. Єдиність різниці. Нехай різниця довільних додатних раціональних чисел існує. Доведемо, що вона єдина. Дійсно, якщо

(a – b = x1Ù (a – b = x2) Þ  за означенням різниці

(b + x1 = a) Ù (a = b + x2) Þ  за транзитивністю відношення рівності для додатних раціональних чисел

b + x1 = b + x2 Þ  за правилом скорочення для додатних раціональних чисел

x1 = x2.  

Теорема 11 є теоретичною основою наступного означення.

Операція у множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться  у відповідність їх різниця a – b, називається відніманням додатних раціональних чисел.

У силу теореми 11 віднімання додатних раціональних чисел є частковою операцією. Операція віднімання додатних раціональних чисел має ті ж самі властивості, що й віднімання цілих невід'ємних чисел.

Приклади:

{7 × 6 > 5 × 8, НСК(8, 6) = 24} = ;

;

.

4. Множення додатних раціональних чисел

Якщо натуральне число розглядати як результат вимірювання відрізка, то добуток двох натуральних чисел є мірою того ж відрізка при переході до іншої одиниці вимірювання. Ця ж ідея кладеться в основу означення добутку двох додатних раціональних чисел.

Нехай довільні додатні раціональні числа a і b мають своїми зображеннями відповідно дроби  і , а відрізок a та одиничні відрізки e і e1 такі, що

,  .

Виходячи з поняття міри відрізка, маємо

.

Дріб  доцільно взяти за зображення добутку додатних раціональних чисел a і b.

Добутком довільних додатних раціональних чисел a і b (позначається a·b), які мають своїми зображеннями відповідно дроби  і , називається додатне раціональне число c, що має своїм зображенням дріб .

Означення добутку двох додатних раціональних чисел є одночасно й означенням добутку двох дробів:

.

Теорема 12. Добуток двох додатних раціональних чисел не залежить від їх зображень.

► Нехай a і b – довільні додатні раціональні числа, які мають своїми зображеннями відповідно дроби  і . Якщо

 Þ  за означенням рівності дробів

(m·n1 = m1·nÙ (r·s1 = r1·s) Þ  за властивістю рівностей для цілих невід'ємних чисел  

(m·n1)·(r·s1) = (m1·n)·(r1·s) Þ  за асоціативністю і комутативністю множення цілих невід'ємних чисел

(m·r)·(n1·s1) = (r1·n1)·(n·s) Þ  за означенням рівності дробів

.

Отже, добуток двох довільних додатних раціональних чисел не залежить від їх зображень.  

Теорема 13. Добуток довільних двох додатних раціональних чисел завжди існує і єдиний.

► На основі теореми 12 добуток двох довільних додатних раціональних чисел не залежить від їх зображень. При вибраних же зображеннях добуток визначається однозначно, бо чисельник і знаменник зображення добутку знаходяться однозначно, як результати виконання множення натуральних чисел, які завжди існують та єдині.  

  1.  Операція множення додатних раціональних чисел та її властивості

Операція на множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться у відповідність їх добуток a·b, називається множенням додатних раціональних чисел.

Теорема 14. Операція множення додатних раціональних чисел:

1) комутативна: "ab Î Q+: a·b = b·a;

2) асоціативна: "abc Î Q+: (a·bc = a·(b·c);

3) дистрибутивна відносно додавання: "abc Î Q+: (a + bc = a·c + b·c.

► Доведемо дистрибутивність множення відносно додавання. Нехай a, b і c – довільні додатні раціональні числа, зображеннями яких є відповідно дроби ,  і . Маємо

= Þ  за означенням суми дробів

= Þ  за означенням добутку дробів

= Þ  за дистрибутивністю множення відносно додавання для цілих невід'ємних чисел

= Þ  за означенням суми дробів

 Þ  за основною властивістю дробів

 Þ  за означенням добутку дробів

.

Отже, за транзитивністю відношення рівності дробів

,

а тому (a + bc = a·c + b·c.  

Теорема 15 (закони монотонності множення). Операція множення додатних раціональних чисел монотонна відносно:

1) відношення рівності: "abc Î Q+: a = b ® a·c = b·c;

2) відношень порядку, зокрема: "abc Î Q+: a < b ® a·c < b·c.

Доведення теореми 15 цілком аналогічне доведенню теореми 8.

Теорема 16 (правила скорочення для множення). Для множення додатних раціональних чисел мають місце правила скорочення відносно:

1) відношення рівності: "abc Î Q+: a·c = b·c ® a = b;

2) відношень порядку, зокрема: "a, b, c Î Q+: a·c < b·c ® a < b.

 1. Нехай a, b і c – довільні додатні раціональні числа такі, що a·c = b·c.

Припустимо, що a ¹ b. Множина додатних раціональних чисел строго лінійно впорядкована відношенням "менше", то для чисел a і b можливі лише такі два випадки:

або  a < b,  тоді за монотонністю множення додатних раціональних чисел a·c < b·c,

або ж  a > b, тоді, аналогічно до першого випадку, a·c > b·c.

Отже, в обох випадках a·c ¹ b·c, тобто приходимо до протиріччя. Тому a = b.

2. Нехай a, b і c – довільні додатні раціональні числа такі, що a·c < b·c. Припустимо, що a ³ b. Звідси за монотонністю множення додатних раціональних чисел a·c ³ b·c. Одержане протиріччя і доводить, що a < b 

На підставі законів монотонності додавання і множення додатних раціональних чисел, аналогічно як і для цілих невід'ємних чисел, доводяться властивості рівностей чи нерівностей.

Знайдемо добуток двох натуральних чисел, що розглядаються як додатні раціональні числа. Нагадаємо, що їх нескоротними зображеннями є дроби, чисельники яких дорівнюють заданим натуральним числам, а знаменники – одиниці. Нехай m і k довільні натуральні числа. Розглядаючи натуральні числа т і k як дроби, матимемо

.

Це показує, що множення додатних раціональних чисел є узагальненням поняття множення натуральних чисел, а поняття множення натуральних чисел – частковим випадком множення додатних раціональних чисел.

Зауваження. Іноді у прикладах і задачах дроби  записуються , а мішані числа .

Множення додатного раціонального числа на натуральне число можна проілюструвати на такому прикладі.

Автомобіль проходить за 1 хв. 3/5 км. Який шлях пройде автомобіль за 4 хв.?

Для одержання відповіді є два способи розв'язування:

1) (км),

2) (км),

які приводять до одного і того ж самого результату. Це дає змогу у загальному випадку говорити про те, що множенню додатного раціонального числа на натуральне число можна надати той же зміст, що й множенню натуральних чисел, коли добуток визначається через суму рівних доданків, чого не можна сказати про множення натурального числа на дробове додатне число. Розглянемо приклад.

Швидкість автомобіля 50 км/год. Знайти шлях, який пройде автомобіль за: 1)  год.;  2)  год.;  3)  год.

Очевидно, що за  год. автомобіль пройде шлях 50 : 5 = 10 (км) і 50 ×  = 10 (км).

Оскільки за  год. автомобіль пройде 10 км, то за  год. він пройде 10 × 3 = 30 (км)  і  50 ×  = 30 (км).

Оскільки  год. =  год., то за  год. автомобіль пройде 10 × 7 = 70 (км)  і  50 ×  = 50 ×  = 70 (км).

Говорять, що множення додатного раціонального числа, зокрема натурального, на дробове число є знаходженням "частини" від "цілого", навіть якщо "частина" більша одиниці.

  1.  Означення частки додатних раціональних чисел,

її існування і єдиність. Операція ділення

Ділення додатних раціональних чисел розглядається як операція обернена множенню.

Часткою довільних додатних раціональних чисел a і b (позначається a : b  або  ) називається додатне раціональне число x таке, що b·x = a.

Отже, b·(a : b) = a  або  (a : bb = a.

Теорема 17. Частка довільних двох додатних раціональних чисел завжди існує і єдина.

► Нехай a і b – довільні додатні раціональні числа, зображеннями яких є відповідно дроби   і  , а дріб  є зображенням шуканої частки x. Тоді за означенням частки матимемо

 Þ  за означенням добутку дробів

 Þ  за означенням рівності дробів

(r·yn = m·(s·z) Þ  за комутативністю і асоціативністю множення цілих невід'ємних чисел

y·(n·r) = (m·sz Þ  за означенням рівності дробів

.

Отже, дріб  є зображенням частки чисел a і b.

Покажемо, що частка додатних раціональних чисел a і b не залежить від їх зображень. Дійсно, нехай крім зображень чисел a і b відповідно дробами  і  вибрано ще їх зображення  і .

Тоді

 Þ  за означенням рівності дробів

 Þ  за властивостями рівностей для цілих невід'ємних чисел

 Þ  за комутативністю та асоціативністю множення цілих невід'ємних чисел

 Þ  за означенням рівності дробів

А рівні дроби є зображенням одного і того ж додатного раціонального числа.

Доведемо тепер єдиність частки довільних двох додатних раціональних чисел. Дійсно, нехай

(a : b = x1Ù (a : b = x2) Þ  за означенням частки додатних раціональних чисел

(b·x1 = aÙ (a = b·x2) Þ  за транзитивністю відношення рівності для додатних раціональних чисел

b·x1 = b·x2 Þ  за правилом скорочення для множення додатних раціональних чисел

x1 = x2.

Отже, частка двох довільних додатних раціональних чисел завжди існує і єдина.  

На основі теореми 17 вводиться означення.

Операція на множині додатних раціональних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться у відповідність їх частка a : b, називається діленням додатних раціональних чисел.

Доведена теорема 17 дає можливість знаходити частку двох дробів, а саме:

.

Дріб  називається оберненим до дробу .

З теореми 17 одержується наслідок.

Наслідок 3. На множині додатних раціональних чисел для довільних чисел a і b рівняння b·x = a має єдиний розв'язок.

Додатне раціональне число b називається оберненим до додатного раціонального числа a, якщо їх добуток дорівнює 1. Число, обернене до числа a, позначається a-1.

З наслідку 3 одержуємо.

Наслідок 4. Для кожного додатного раціонального числа існує єдине обернене йому число.

Очевидно, що коли число a має своїм зображенням дріб, то обернене йому число матиме своїм зображенням дріб обернений даному, тобто .

Приклади:

1) ;

2) ;

3) .

Ділення натуральних чисел є частковим випадком ділення додатних раціональних чисел. Дійсно,

.

Отже, дріб можна розглядати як частку від ділення його чисельника на знаменник.

Розглянемо задачу. Автомобіль проходив a км за b год. Знайти швидкість автомобіля.

Відповідь знаходиться за допомогою ділення a на b незалежно від того, якими є числа a і b. Наприклад:

1) a = 80 км,  b = 2 год.,      a : b =  80 : 2 = 40 (км/год.),

2) a =  км,   b =  год.,   a : b = (км/год.);

3) a = 70 км,  b =  год.,   a : b = 70 :  = 70 ×  = 40 (км/год.).

Оскільки у таких і подібних їм задачах дуже часто число b буває меншим від одиниці, то такі задачі можна трактувати при b < 1 як знаходження "цілого" (швидкості за 1 год.) за його "частиною".

Говорять, що ділення на додатне дробове число є знаходженням цілого за його частиною, навіть коли "частина" більша 1.

Побудована множина додатних раціональних чисел Q+ є розширенням множини натуральних чисел N. Дійсно, множина N є власною підмножиною множини Q+. Крім того, всі операції та їх властивості збереглися для натуральних чисел як для  додатних раціональних чисел. Операція ділення, яка була частковою у множині N, стала виконуваною на множині Q+.

  1.  Дроби в початковому курсі математики, підхід до їх означення. Розв’язування арифметичних задач з використанням дробів

У нас поняття дробу  виникло в процесі вимірювання сумірного відрізка з одиничним. Якщо ε – є одиничний відрізок і α – відрізок сумірний з ним, то дріб  показує, що n-та частина одиничного відрізка вміщується у відрізку α m разів, тобто α = ε

Взагалі дріб  показує, що деяка величина (число, об’єкт) поділено на n рівних частин і взято таких m частин. На цьому понятті базуються такі задачі (три типи задач на дроби):

  1.  Знаходження дробу від числа;
  2.  Знаходження числа за його дробом;
  3.  Знаходження дробового відношення 2-х чисел.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57644. Мистецтво робити покупки 35 KB
  Опрацювати лексику – назви магазинів та товарів, які там продаються; вчити переглядовому читанню тексту; вчити складати діалоги; повторити вживання структур у пасивному стані.
57645. Mass Media 79 KB
  Teacher’s objectives: to perfect students’ cognitive and creative skills; to define the problematic areas in students’ speaking, reading, listening of the giving topics; to develop students’ speaking and listening comprehension skills...
57646. Роль грошей у житті людства 44.5 KB
  Good morning my students and our guests! Sit down,please. It’s so nice to see you. How are you? Thank you. I’m fine too. So prepare everything required for the lesson. Make yourself comfortable and be attentive.
57647. Nature. The Londoners 47 KB
  Objectives: Structures: Preposition of time: in, on, at. Talking about the seasons and the weather. Vocabulary: Seasons: autumn, spring, summer, winter. Months of the year (revision). Weather: cloudy, cold, hot, rainy, snowy, stormy, sunny, windy.
57648. Nature is in danger 110.5 KB
  Objectives: to acquaint students with the problems of nature protection to teach students to express the opinion to practise student’s speaking stills to develop creative thinking to develop positive attitude towards the world around us...
57649. Nature. Weather 55 KB
  Objectives: by the end of the lesson pupils will be able to use the words from the topic “Weather”; to complete the dialogues; to compare the weather in different parts of the world; to answer the questions about the weather...
57650. The Nobel Prizes 263 KB
  Objectives: - to teach pupils to work in groups; to teach pupils to gather additional information on the topic; to practice speaking; to develop pupils language skills...
57651. Occupation, Profession, Trade 31 KB
  Objectives: to practice the new vocabulary for talking about professions and trades to develop communicative skills to involve students into reading, writing, communicative activities...
57652. Sports. Olympic Games 106 KB
  Good morning, my dear children. I am very glad and happy to see all of you today. Today we are going to speak about... So, can you guess what we would be talking about at the lesson? Look at the screen. Let’s open the words.