18297

ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 24 ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ Поняття про десятковий дріб. Поширення позиційного принципу запису до запису десяткових дробів. Властивості десяткових дробів. Поняття про процент відсоток. Алгоритми арифметичних операцій над десятковими дробами. Перетворе

Украинкский

2013-07-07

177.5 KB

37 чел.

Лекція 24

ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ

  1.  Поняття про десятковий дріб. Поширення позиційного принципу запису до запису десяткових дробів. Властивості десяткових дробів.
  2.  Поняття про процент (відсоток).
  3.  Алгоритми арифметичних операцій над десятковими дробами.
  4.  Перетворення звичайних дробів у десяткові.
  5.  Нескінченні періодичні десяткові дроби.
  6.  Зображення додатних раціональних чисел нескінченими десятковими дробами.

б) Дійсні числа.

  1.  Поняття про десятковий дріб. Поширення позиційного принципу запису до запису десяткових дробів. Властивості десяткових дробів

Алгоритми порівняння додатних раціональних чисел і операції над ними складніші, ніж над натуральними числами, що записані у довільній позиційній системі числення. Тому природно поширити позиційний принцип запису натуральних чисел на додатні раціональні числа, вірніше, на окремі види дробів, що є їх зображеннями.

Дріб називається систематичним (системним), якщо його чисельник є натуральним числом, записаним у позиційній системі числення з основою g, а знаменник – натуральним степенем основи g. У практичній діяльності людини особливе місце посідає десяткова система, а тому із системних дробів найчастіше користуються десятковими дробами.

Дріб називається десятковим, якщо його чисельник є натуральним числом, записаним у десятковій системі числення, а знаменник – натуральним степенем 10. За означенням загальний вид десяткового дробу такий

.

Не обмежуючи загальності міркувань приймемо, що m > n. Цього завжди можна досягнути, приписавши у чисельнику зліва певну кількість нулів. Тоді m = k + n, де k, n Î N, а тому, змінивши позначення цифр чисельника, довільний десятковий дріб записується

Дроби , , , ... ,... можна розглядати як дробові розрядні одиниці, між якими існує та ж залежність, що й між розрядними одиницями десяткової системи числення, а саме: кожна наступна розрядна одиниця системи числення у десять разів менша попередньої.

Введення нових розрядних одиниць дозволяє поширити на десяткові дроби позиційний принцип запису натуральних чисел.

Як і десятковий запис натурального числа, сума

однозначно визначається кортежем цифр чисельника даного десяткового дробу і тому її, а, отже, й десятковий дріб, прийнято записувати , тобто без запису знаменника. Часто цей запис і називають десятковим дробом. У ньому число  називається цілою частиною десяткового дробу, а дріб  його дробовою частиною. причому цифри b1, b2, ..., bnдесятковими знаками, відповідно першим, другим, ... , nтим.

Якщо десятковий дріб правильний, то його ціла частина дорівнює нулю. Ціла частина від дробової відділяється комою. Для зручності часто цілу частину десяткового дробу позначають одним знаком, наприклад b0. Тоді десятковий дріб запишеться  .

Для того, щоб записати десятковий дріб, поступають так: записують чисельник даного дробу і справа наліво відраховують стільки цифр, який показник степеня його знаменника (скільки нулів має знаменник дробу); після цього відділяють відраховані цифри комою; якщо цифр чисельника для підрахунку недостатньо, то зліва приписують нулі. Читається десятковий дріб за таким правилом: спочатку називається число, зображене цифрами до коми, потім вимовляється слово "цілих", далі називається число, записане цифрами після коми, наприкінці називається знаменник дробу. Наприклад:  = 3,54 (три цілих п'ятдесят чотири сотих);  = 0,36 (нуль цілих тридцять шість сотих);  = 0,00207 (нуль цілих двісті сім стотисячних).

Навпаки, щоб записати десятковий дріб звичайним, потрібно відкинути кому і одержане число записати чисельником дробу, знаменником же записати число 10n,  де  n – кількість цифр після коми, тобто кількість десяткових знаків.

Наприклад: 0,0018 = ;    .

Натуральні числа також можна зображати десятковими дробами, в яких усі десяткові знаки рівні нулю.

На основі позиційного принципу запису десяткових дробів і властивостей звичайних дробів неважко встановити такі властивості десяткових дробів.

1. Дописування нулів справа до десяткового дробу не змінює його величини.

2. З двох десяткових дробів більший той, у якого більша його ціла частина, або ж, якщо цілі частини рівні, у якого раніше зустрінеться більший відповідний десятковий знак.

3. Щоб звести десяткові дроби до спільного знаменника, треба за допомогою дописування нулів справа зрівняти у них кількість десяткових знаків.

4. Щоб помножити (поділити) десятковий дріб на 10k, де k Î N, треба перенести у ньому кому вправо (вліво) на k цифр.

Наприклад: з двох десяткових дробів 23,546 і 23,583 більшим буде другий дріб, бо 23 = 23,  5 = 5,  а   4 < 8, отже 23,583 < 23,546.

  1.  Поняття про процент (відсоток)

На практиці часто доводиться користуватися десятковими дробами, знаменники яких дорівнюють числу 100, їх називають процентами або відсотками.

Процентом (відсотком) називається одна сота частина числа або одиниці (від латинського "pro centum" – "від ста") і позначається 1 %. Тому пишуть 1 % = 0,01.

Розрізняють три основні види задач на проценти:

знаходження процентів від числа;

знаходження числа за його процентами;

знаходження процентного відношення двох чисел.

Розв'язування кожної із цих задач базується на таких міркуваннях. Нехай число b становить p % від числа a. Для встановлення залежності між числами a, b і p % знайдемо, що 1 % числа дорівнює , бо число a становить 100 %, а з другого боку 1 % рівний , бо b становить p %. Отже,

.

(1)

Одержана формула і встановлює залежність між a, b і p %. Формулою (1) можна користуватися безпосередньо, а можна її відновлювати кожний раз, коли розв'язується відповідна задача.

Інший спосіб розв'язування кожної із вище названих задач ґрунтується на зведенні їх до розв'язування відповідних задач із дробами. Для прикладу розглянемо задачі.

Задача 3. У школі 200 учнів. З них 30 % – учні початкових класів. Скільки у школі навчається учнів у початкових класах?

 1 спосіб. За формулою (1) знаходимо, що у початкових класах навчається  (учнів).

2 спосіб. Оскільки 30 % = 0,3, то задача зводиться до знаходження 0,3 числа 200:  200·0,3 = 60 (учнів).  ◄

Задача 4. У початкових класах школи навчається 60 учнів, що становить 30 % числа всіх учнів школи. Скільки всього учнів у школі?

 1 спосіб. Скориставшись формулою (1), знаходимо, що всього учнів у школі  (учнів).

2 спосіб. Оскільки 30 % = 0,3, то задача зводиться до знаходження числа, 0,3 якого дорівнює 60; тоді саме число дорівнює:

60 : 0,3 = 200 (учнів).  ◄

Задача 5. У школі 200 учнів, з них 60 учнів навчається у початкових класах. Скільки процентів становлять учні початкових класів від числа всіх учнів?

 За формулою (1) знаходимо, що учні початкових класів становлять

 % від учнів школи.  ◄

Розглянемо більш складну задачу на процентні обчислення.

Задача 6. Урожайність картоплі у господарстві зросла за перший рік на 15 %, за другий рік ще на 20 %, порівняно з попереднім. На скільки процентів зросла врожайність картоплі за два роки?

 Початкову врожайність картоплі приймемо за 100 %. Тоді врожайність після першого року становитиме 100 % + 15 % = 115 % у порівнянні з початковою. Урожайність за другий рік у порівнянні з початковою збільшиться на 115 · 0,2 = 23 %. Отже, за два роки врожайність картоплі збільшилася на 15 % + 23 % = 38 % у порівнянні з початковою.

Відповідь: за два роки врожайність збільшилася на 38 %.  

Зауваження. При розв'язуванні задач такого типу часто допускають помилку, додаючи 15 % і 20 %, забуваючи при цьому, що дані проценти беруться від різних чисел.

  1.  Алгоритми арифметичних операцій над десятковими дробами

Позиційний принцип запису десяткових дробів полегшує виконання арифметичних операцій над ними, причому сума, різниця (якщо вона існує) і добуток десяткових дробів є також десятковим дробом. Але частка десяткових дробів не завжди буде десятковим дробом.

Розглянемо два довільних десяткових дроби, причому, не обмежуючи загальності міркувань, можна вважати, що у них однакове число десяткових знаків:

  і  .

Якщо записати десяткові дроби у вигляді звичайних, то матимемо:

Одержаний у результаті додавання дріб матиме чисельником натуральне число, записане у десятковій системі числення, а знаменник рівний натуральному степеню числа 10, тобто є десятковим дробом, що має стільки ж десяткових знаків, що й дроби-доданки. На практиці зрівнювання десяткових знаків зайве, оскільки приписування нулів не відіграє значної ролі при додаванні. Тому потрібно при додаванні двох або більше десяткових дробів підписати їх один під одними так, щоб цілі частини і відповідні десяткові знаки знаходились один під одним. Потім потрібно виконати додавання написаних чисел як натуральних і в одержаній сумі відокремити справа стільки десяткових знаків, скільки їх має доданок з найбільшою кількістю десяткових знаків. Наприклад:

2,347 + 0,4235 + 15,624 = 18,3945

+

2,

3

4

7

0,

4

2

3

5

1

5,

6

2

4

1

8,

3

9

4

5

При відніманні десяткових дробів, якщо різниця існує, можна поступати так, як і при відніманні натуральних чисел, при цьому немає необхідності зрівнювати кількість десяткових знаків у дробів-компонент.

Щоб знайти різницю двох десяткових дробів підписують їх один під одним так, щоб цілі частини і відповідні десяткові знаки знаходились один під одним. Потім потрібно виконати віднімання записаних чисел як натуральних і в одержаній різниці відділити справа стільки десяткових знаків, скільки їх у дробі-компоненті з найбільшою кількістю десяткових знаків. Наприклад:

5,243  2,5678 = 2,6752

5,

2

4

3

2,

5

6

7

8

2,

6

7

5

2

Знайдемо тепер добуток десяткових дробів  і :

В результаті отримали десятковий дріб з n + n десятковими знаками.

Щоб знайти добуток двох десяткових дробів потрібно перемножити їх як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми, а потім у добутку відділити комою справа стільки десяткових знаків, скільки їх є в обох множниках разом. Наприклад:

3,524 × 0,23 = 0,81052

×

3,

5

2

4

0,

2

3

+

1

0

5

7

2

7

0

4

8

0,

8

1

0

5

2

Знайдемо частку двох десяткових дробів:

 і  .

Цим самим частка двох десяткових дробів виражається за допомогою звичайного дробу. Цей факт часто трактується так: ділення десяткових дробів зводиться до ділення натуральних чисел.

На практиці ділення десяткових дробів виконується за таким правилом: ділення двох десяткових дробів зводиться до ділення десяткового дробу на натуральне число шляхом множення діленого і дільника на знаменник дільника, тобто на 10n, де n – число десяткових знаків дільника.

Наприклад: 0,3424 : 0,08 = 4,28.

Помножимо ділене і дільник на 102 = 100 і поділимо одержані числа: 0,3424 : 0,08 = 34,24 : 8 = 4,28.

  1.  Перетворення звичайних дробів у десяткові

Ділення десяткових дробів вимагає відповіді на питання про те, чи завжди частка від ділення двох десяткових дробів буде десятковим дробом. Іншими словами, чи завжди у класі рівних дробів знайдеться десятковий дріб.

Знаходження десяткового дробу, що дорівнює заданому звичайному дробу, називається перетворенням звичайного дробу у десятковий.

Має місце теорема.

Теорема 1. Нескоротний дріб  перетворюється у десятковий дріб тоді і тільки тоді, коли канонічний розклад знаменника дробу містить лише прості множники 2 або 5.

 Необхідність. Нехай нескоротний дріб  перетворюється у десятковий, тобто . Виходячи з рівності дробів  10a m = n·c. Звідси за означенням подільності 10a m M n.  З того, що m і n взаємно прості, випливає, що 10aM n. Тому на основі теореми 25 § 15 простими дільниками числа n можуть бути лише 2 або 5.

Достатність. Нехай канонічний розклад знаменника дробу має вигляд n = 2α 5β. Тоді за основною властивістю дробів

Отже, , тобто даний звичайний дріб перетворюється у десятковий.  ◄

Доведення достатності теореми може бути покладене в основу методу перетворення звичайного дробу у десятковий. Наприклад:

.

Перетворення звичайного дробу у десятковий можна здійснити і по-іншому. Нехай дріб  перетворюється у десятковий, тобто . Тоді за основною властивістю дробів, 10α·m = c·n. Отже, число c є часткою від ділення 10α т на n. Таким чином, для перетворення дробу  у десятковий слід до числа т дописати α нулів справа, одержане число поділити на n і у частці відокремити комою справа α десяткових знаків. На практиці виконують ділення чисельника на знаменник, дописуючи до чисельника нулі по одному, доки ділення не завершиться. Наприклад, дріб  перетвориться у десятковий, бо він нескоротний і 40 = 23·5. Маємо:

7

4

0

7

=

4

0

·

0

+

7

7

0

0,

1

7

5

7

0

=

4

0

·

1

+

3

0

4

0

3

0

0

=

4

0

·

7

+

2

0

3

0

0

2

0

0

=

4

0

·

5

+

0

2

8

0

2

0

0

2

0

0

0

Отже,  = 0,175.

Розглянутий метод перетворення звичайних дробів у десяткові називається методом ділення.

  1.  Нескінченні періодичні десяткові дроби

Розглянемо більш детально перетворення звичайного дробу у десятковий методом ділення. При цьому будемо вважати, що використовуються тільки правильні дроби. Дійсно, якщо дріб  неправильний, то поділивши s на n з остачею будемо мати

,  

Тоді     де  – правильний дріб.

Розіб'ємо метод ділення на кроки:

1) Помножимо 10 на m і поділимо 10m на n з остачею

.

2) Помножимо 10 на r1 і поділимо 10r1 на n з остачею

.

3) Помножимо 10 на r2 і поділимо 10r2 на  n з остачею

і т. д.

В результаті одержимо систему рівностей

(1)

У системі рівностей (1) всі числа  менші за n, а на основі теореми 4 § 14 усі числа  є одноцифровими числами, тобто є цифрами десяткової системи числення.

З рівностей (1) послідовно дістанемо, що при довільному натуральному числі k

Отже, остаточно одержуємо

тобто  .

Звідси матимемо рівність

.

(2)

Якщо , то враховуючи, що  , дістанемо .

Тоді з рівності (2) одержуємо

.

(3)

Очевидно, що коли  є неправильним дробом, то у (3) додасться ще ціла частина .

З цього випливає така теорема.

Теорема 2. Якщо до звичайного дробу  застосувати метод ділення для перетворення його у звичайний дріб і на k–тому кроці остача буде відмінною від нуля, то

Якщо при застосуванні методу ділення на деякому кроці виявиться, що , тоді і решта остач будуть рівні 0, а тому дріб перетворюється у десятковий дріб. Методом ділення можна користуватись у випадку довільного звичайного дробу. Розглянемо два приклади застосування методу ділення до звичайних дробів, які не перетворюються у десяткові дроби. Наприклад, для дробів  і  матимемо:

9

3

7

1

3

2

2

9

0

0,

2

4

3

2

4

3

...

1

3

0

0,

5

9

0

9

0

9

0

9

...

7

4

1

1

0

1

6

0

2

0

0

1

4

8

1

9

8

1

2

0

2

0

0

1

1

1

1

9

8

9

2

0

0

...

...

...

...

...

...

У цих прикладах одержуємо нескінченні десяткові дроби. Якщо ділення припинити на k–тому кроці, то отримаємо десятковий дріб, який є наближенням з недостачею даного дробу з точністю , а тому можемо покласти, що  = 0,243243243…  і   = 0,5909090…

Розгляд цих прикладів показує, що через скінченне число кроків одержується остача, яка або дорівнює чисельнику дробу (9), або одній з попередніх остач (20), а тому на основі теореми про єдиність частки і остачі при діленні з остачею нескінченний десятковий дріб утворюється, починаючи з деякого десяткового знаку, кортежем цифр, що повторюється. У першому прикладі це кортеж 243, а у другому – 90.

Нескінченний десятковий дріб називається періодичним, якщо він утворюється повторенням кортежу цифр, починаючи з деякого десяткового знаку.

Якщо повторюється кортеж цифр довжиною k, то повторюватимуться і кортежі цифр з довжиною 2k, 3k, 4k, … .

Число, десятковий запис якого є кортежем найменшої довжини, що за допомогою нього утворюється періодичний дріб, називається періодом, а довжина кортежу – довжиною періоду періодичного добу.

Періодичний дріб називається:

чистим, якщо період починається зразу після коми;

мішаним, якщо між комою і періодом є десяткові знаки.

Десяткові знаки між комою і періодом утворюють доперіодичну частину.

При символічному запису періодичних дробів замість десяткових знаків, що повторюються, вказується лише період, який береться у дужки. Так періодичний дріб 0,243243243… запишеться 0,(243) (читається "нуль цілих двісті сорок три у періоді"), а дріб 0,590909090… є мішаним періодичним дробом і запишеться 0,5(90) (читається "нуль цілих п'ять десятих до періоду і дев'яносто у періоді").

Теорема 3. Кожний нескоротний звичайний дріб перетворюється у періодичний дріб, якщо канонічний розклад знаменника містить хоча б один простий множник, відмінний від 2 і 5.

 Нехай  – довільний нескоротний звичайний дріб, канонічний розклад знаменника якого містить хоча б один простий множник відмінний від двох і п'яти. Можна вважати, що дріб  правильний, тобто m < n. Якщо це не так, то замість дробу  слід розглядати дріб , де . Як відомо, процес ділення m на n буде нескінченним. Запишемо його у вигляді нескінченної системи рівностей:

(1)

де 0 < ri < n,   qi < 10,   i = 1, 2, …, k, … .

Єдиність частки і остачі при діленні з остачею для фіксованих діленого і дільника приводить до того, що при ri = rk маємо qi+1 = qk+1 і ri+1 = rk+1. Це, у свою чергу, дає рівності qi+2 = qk+2, ri+2 = rk+2 і т. д. Таким чином, якщо у системі рівностей (1) будь-які дві остачі збігаються, то десяткові знаки повинні повторюватися, а тому нескінченний десятковий дріб стає періодичним. У рівностях (1) остачі повинні повторюватися, бо нерівність 0 < r < n задовольняється тільки (n  1) натуральними числами 1, 2, 3, …, n  1. Оскільки процес отримання остач нескінченний, тому не більше, як через (n  1) кроків, остача повинна повторитися. Отже, звичайний дріб  перетворюється у періодичний дріб.  ◄

Зауваження. Виберемо у системі рівностей (1) номер i та k найменшими й такими, що ri = rk, тобто ri – найперша остача, що повторюється, а rk – найперша остача після ri така, що ri = rk. Тоді із системи рівностей (1) випливає, що цифри q1, q2, , qn утворюють доперіодичну частину, а цифри qi+1, qi+2, qi+3, …, qk – період, тобто кількість цифр у періоді дорівнює k – i.

  1.  Зображення додатних раціональних чисел нескінченими десятковими дробами

б) Дійсні числа

За означенням кожне додатне раціональне число є класом рівних дробів. У цьому класі виділяється єдиний нескоротний дріб, останній перетворюється або у десятковий дріб, або у періодичний десятковий дріб діленням чисельника на знаменник. За основною властивістю частки цілих невід'ємних чисел усі рівні звичайні дроби перетворюються в один і той самий десятковий дріб. А тому кожне додатне раціональне число перетворюється або у десятковий дріб, або у періодичний десятковий дріб, причому при перетворенні методом ділення такий дріб буде єдиним.

Кожний десятковий дріб можна записати у вигляді періодичного дробу з різними періодами. Розглянемо це на прикладі:

0,5 = 0,500000… = 0,5(0).

Але неважко переконатися, що 0,5 = 0,49999… = 0,4(9), бо

Покажемо, що при перетворенні звичайного дробу у десятковий не може утворитися періодичний десятковий дріб, період якого складається із однієї цифри 9. Користуючись властивостями періодичних дробів, це твердження достатньо довести для нескоротного правильного звичайного дробу , який перетворюється у чистий періодичний дріб, тобто в якого 10 і n взаємно прості. Дійсно, припустимо, що існує нескоротний правильний дріб , який методом ділення перетворюється у періодичний дріб, період якого складається з однієї цифри 9. Маємо 10m = 9n + r1, де r1 = m. Звідси одержуємо, що 10m = 9n + m, тобто 9m = 9n і m = n, що суперечить тому, що дріб  правильний. Отже, такого дробу не існує.

Зі сказаного вище випливає теорема.

Теорема 6. Кожне додатне раціональне число однозначно зображається періодичним десятковим дробом, якщо не користуватися періодичними дробами, період яких складається з однієї цифри 9.

Зображення додатних раціональних чисел за допомогою періодичних десяткових дробів не єдине. Аналогічно тому, як побудовано теорію десяткових дробів, можна побудувати теорію системних дробів з довільною основою q > 1 і одержати теорему, аналогічну теоремі 6.

Теорема 7. Кожне додатне раціональне число однозначно зображається періодичним системним дробом з основою q > 1, якщо не користуватися системними періодичними дробами, період яких складається з однієї цифри q  1.

При виконанні операцій з періодичними десятковими дробами їх перетворюють у звичайні.


Задача
 2. Обчислити значення виразу:

.

 Для знаходження значення виразу використовуємо обчислення за операціями у порядку, визначеному виразом.

2) 

4) ;

5) 

Відповідь: значення виразу дорівнює 1.  ◄


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

646. Вдосконалення системи автоматизації відділення випарної станції 92 KB
  Умови праці. Наявність шкідливих та небезпечних факторів на робочому місці. Санітарно-гігієнічні вимоги до виробничих приміщень та розміщення технологічного обладнання. Розрахунок звукопоглинаючої конструкції операторського пункту.
647. Использование языка AHDL при проектировании цифровых устройств 159.5 KB
  Описание комбинационного устройства на языке AHDL. Реализация комбинационного устройства в CPLD и FLEX (выбор микросхемы, полная компиляция, моделирование, анализ, быстродействия и временных задержек). Функциональная компиляция и моделирование устройств.
648. Разработка и исследование характеристик платформенной инерциальной навигационной системы полуаналитического типа, построенной с использованием лазерных гироскопов 1.25 MB
  Краткое изложение теоретических сведений cистем координат в которой работает представленная ИНС. Пересчет координат из геоцентрической в географическую систему координат. Разработка алгоритма платформенной инерциальной навигационной системы, работающей в геоцентрической системе координат.
649. Створення програмної оболонки інформаційної системи обліку в Microsoft Excel VBA 202 KB
  Розробити книгу у MS Excel 2000 і скласти програму на мові Excel VBA для обліку нарахування заробітної плати. Ввести текстові і числові дані, записати формули, встановити зв'язок між основною таблицею та довідниками та виконати форматування таблиць. Скласти програму на мові Excel VBA.
650. Доказательства, собранные адвокатом и их правовое значение 120.5 KB
  Общие положения о доказательствах в арбитражном процессе. Понятие и предмет судебного доказывания. Относимость и допустимость доказательств. Письменные и вещественные доказательства. Заключение эксперта.
651. Применение аудио и видеотехнологий в правоохранительной деятельности 130 KB
  Обработка аудиоинформации. Аналого-цифровое преобразование. Технологии звукового синтеза. Форматы записи-воспроизведения аудиосигналов. Программные средства записи-воспроизведения звука.
652. Основы телекоммуникационных технологий и локальные сети в профессиональной деятельности 122.5 KB
  Назначение, компоненты и общая структура компьютерной сети. Современные коммуникационные технологии. Сети интегрального обслуживания. Проводные системы связи. Малогабаритные радиочастотные, инфракрасные и микроволновые системы. Национальные в международные компьютерные сети.
653. Теоретические основы конструирования, технологии и надежности РЭС 334.5 KB
  Принцип работы ЦАП. Импульсный источник питания. Выходной выпрямитель и стабилизатор. Определение основных параметров четырехполюсника. Расчет допусков на входное и выходное сопротивление и коэффициент передачи четырехполюсника.
654. Расчет погонной массы груза, тягового органа и движущих частей конвейера 136 KB
  Нормативные значения расчетных величин. Основные параметры рабочего органа. Расчет погонной массы груза, тягового органа и движущих частей конвейера. Расчет тягового органа на прочность. Основные размеры тягового органа. Кинематический расчет. Выбор элемента передач.