18298

МНОЖИНА ДОДАТНИХ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ. МНОЖИНА ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 25 МНОЖИНА ДОДАТНИХ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ. МНОЖИНА ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ Несумірні відрізки. Існування несумірних відрізків. Вимірювання несумірного з одиничним відрізком. Нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Від’ємні дійсні числа. Число нуль€. Множина д...

Украинкский

2013-07-07

188.5 KB

7 чел.

Лекція 25

МНОЖИНА ДОДАТНИХ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ.

МНОЖИНА ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ

  1.  Несумірні відрізки. Існування несумірних відрізків.
  2.  Вимірювання несумірного з одиничним відрізком. Нескінченні неперіодичні десяткові дроби.
  3.  Від’ємні дійсні числа. Число „нуль”. Множина дійсних чисел.
  4.  Взаємооднозначна відповідність між множиною дійсних чисел і точок координатної прямої. Протилежні числа.
  5.  Поняття про арифметичні операції над дійсними числами та їх властивості.

  1.  Несумірні відрізки. Існування несумірних відрізків

Відрізків, несумірних з одиничним, існує безліч. Для прикладу досить помножити або поділити діагональ чи сторону квадрата на довільне натуральне число.

Вимірювання відрізків, несумірних з одиничним відрізком, приводить до необхідності введення чисел нової природи, тобто до розширення множини додатних раціональних чисел.

Нехай ε – одиничний відрізок і α = OA – довільний відрізок, несумірний з ним. Не обмежуючи загальності міркувань, можна вважати, що α > ε (мал. 1).

Мал. 1.

З несумірності відрізків α і ε випливає, що відрізок ε не вміщується ціле число разів у відрізку α. Розглянемо множину натуральних чисел M таких, що α < m·ε. За аксіомою Архімеда множина M непорожня. Тоді за принципом найменшого число у ній знайдеться таке число a0 + 1, що

a0·ε < α < (a0 + 1)·ε.

Позначимо OA0 = a0·ε і 0 = (a0 + 1)·ε. Тоді A0В0 = ε. Поділимо відрізок A0В0 або, що те саме, одиничний відрізок на 10 рівних частин. Жодна з точок поділу не збігається з точкою A, бо інакше відрізки α і ε були б сумірними. Найближчі з точок поділу, між якими лежить точка A, позначимо A1 і В1. Занумеруємо точку A0, точки поділу і точку В0, починаючи з точки A0, зліва направо числами 0, 1, 2, …, 9, 10. Нехай точка A1  має номер a1, тоді точка В1 – (a1 + 1). Числа  і  будуть відповідно мірами відрізків OA1 і 1  при одиничному відрізку ε, тобто

.

Тоді ,

.

Продовжуючи аналогічні міркування щодо відрізків

A1В1, A2В2 Ì A1В1, …,         AnВn Ì An-1Вn-1,

одержимо

 і

.

Тоді

.

Очевидно, точка A не збігається з точками поділів, тобто вона буде внутрішньою для всіх відрізків AnВn, де n = 0, 1, 2, … Отже, процес вимірювання відрізка α, несумірного з одиничним відрізком ε, буде нескінченним. Система відрізків A0В0, A1В1, A2В2, …, AnВn, … вкладена і їй належить точка A. Міри відрізків OAk і k, де k = 0, 1, 2, … є додатними раціональними числами, які зображаються відповідно десятковими дробами

  i   .

(1)

Ці числа можна прийняти за наближені значення міри відрізка відповідно з недостачею і надлишком. Їх можна записати з будь-якою кількістю десяткових знаків. Побудована система пар десяткових дробів однозначно визначає нескінченний десятковий дріб, який є неперіодичним, бо інакше відрізки α та ε були б сумірними. Тому відрізку α, несумірному з одиничним відрізком ε, можна поставити у відповідність нескінченний неперіодичний дріб, який буде єдиним:  

Для кожного заданого нескінченного неперіодичного десяткового дробу можна побудувати послідовності десяткових дробів виду (1), які будуть мірами відрізків OAk і k, де  k = 0, 1, 2, …, на промені OX при одиничному відрізку ε. Відрізки AkВk утворюють вкладену систему відрізків, яка за аксіомою Кантора містить одну спільну точку. Позначимо її буквою A. Відрізок OA буде єдиним на промені OX, який можна поставити у відповідність заданому нескінченному неперіодичному десятковому дробу.

Таким чином, кожному відрізку α, несумірному з одиничним відрізком ε, ставиться у відповідність єдиний нескінченний неперіодичний десятковий дріб. Навпаки, при вибраному одиничному відрізку ε кожному такому дробу ставиться у відповідність єдиний відрізок OA на промені OX. Тому такий нескінченний неперіодичний десятковий дріб можна прийняти за міру відрізка α, тобто розглядати нескінченний неперіодичний десятковий дріб як новий вид числа.

Нескінченний неперіодичний десятковий дріб називається додатним ірраціональним числом. Усі такі числа складають множину додатних ірраціональних чисел.

Ірраціональні числа не обов'язково означати як нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Вони можуть бути означені як нескінченні неперіодичні системні дроби. Такі дроби можна отримати при діленні відрізків A0В0, A1В1, A2В2, , AnВn, … не на 10, а на g рівних частин, де g – довільне натуральне число більше одиниці.

  1.  Вимірювання несумірного з одиничним відрізком.

Нескінченні неперіодичні десяткові дроби

Вимірювання відрізка, що полягає у послідовному відкладанні одиничного відрізка і його частин на вимірюваному відрізку, розглядається як математичний процес, який базується на таких аксіомах.

1. Кожний відрізок можна поділити на n рівних відрізків, де n – довільне натуральне число більше одиниці.

Надалі нам достатньо користуватися тільки частковим випадком даного твердження при n = 10.

2. Аксіома Архімеда. Для довільних відрізків α і β існує натуральне число n таке, що n·α > β.

Аксіома Архімеда вказує на те, що які б не були фіксовані відрізки α і β, зокрема α може бути досить малим, а β – досить великим, то все рівно знайдеться таке натуральне число n, що сума n відрізків, кожний з яких дорівнює відрізку α, буде відрізком більшим за відрізок β.

3. Аксіома Кантора про вкладені відрізки. Якщо на довільній прямій дано послідовність відрізків

A0В0, A1В1, A2В2, , AnВn, …

(1)

таку, що:

1) кожний наступний відрізок є підмножиною попереднього;

2) для будь-якого наперед заданого відрізка CD знайдеться ціле невід'ємне число n таке, що AnBn < CD, то на прямій існує єдина точка, яка належить всім відрізкам послідовності (1).

Послідовність відрізків (1) на прямій, що задовольняє умовам аксіоми Кантора, називається вкладеною системою відрізків.

Аксіома Кантора виражає властивість прямої, що називають неперервністю прямої, суть якої полягає у тому, що коли на прямій вилучити хоча б одну точку, то завжди знайдеться система вкладених відрізків, які не мають спільної точки, зокрема такою системою є система вкладених відрізків, яким належить вилучена точка.

Як відомо, при вимірюванні відрізка, сумірного з одиничним відрізком, його мірою є додатне раціональне число.

Два відрізки називають несумірними, якщо не існує третього відрізка, який вкладався б ціле число разів у кожному з них.

Теорема 1. Діагональ квадрата несумірна з його стороною.

 Припустимо, що діагональ квадрата сумірна з його стороною. Візьмемо сторону квадрата за одиничний відрізок. Тоді мірою діагоналі квадрата буде додатне раціональне число, зображенням якого є деякий нескоротний дріб  і за теоремою Піфагора  = 2. Звідси одержуємо, що m2 = 2n2, отже, m2 M 2. Тому за теоремою про подільність добутку на просте число одержуємо, що m M 2. Покладемо m = 2m1, де m1 Î N. Тоді 4m12 = 2n2, значить, 2m12 = n2 і число n також ділиться на 2, тобто дріб  виявився скоротним, що суперечить його вибору. Отже, припущення хибне і діагональ квадрата несумірна з його стороною.  ◄

З доведеної теореми одержується наслідок.

Наслідок 1. Не існує додатного раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2.

Має місце більш загальне твердження, а саме: не існує додатного раціонального числа, n-й степінь якого дорівнює простому числу.

Розглянемо більш детально перетворення звичайного дробу у десятковий методом ділення. При цьому будемо вважати, що використовуються тільки правильні дроби. Дійсно, якщо дріб  неправильний, то поділивши s на n з остачею будемо мати

,  

Тоді     де  – правильний дріб.

Розіб'ємо метод ділення на кроки:

1) Помножимо 10 на m і поділимо 10m на n з остачею

.

2) Помножимо 10 на r1 і поділимо 10r1 на n з остачею

.

3) Помножимо 10 на r2 і поділимо 10r2 на  n з остачею

і т. д.

В результаті одержимо систему рівностей

(1)

У системі рівностей (1) всі числа  менші за n, а на основі теореми 4 § 14 усі числа  є одноцифровими числами, тобто є цифрами десяткової системи числення.

З рівностей (1) послідовно дістанемо, що при довільному натуральному числі k

Отже, остаточно одержуємо

тобто  .

Звідси матимемо рівність

.

(2)

Якщо , то враховуючи, що  , дістанемо .

Тоді з рівності (2) одержуємо

.

(3)

Очевидно, що коли  є неправильним дробом, то у (3) додасться ще ціла частина .

З цього випливає така теорема.

Теорема 2. Якщо до звичайного дробу  застосувати метод ділення для перетворення його у звичайний дріб і на k–тому кроці остача буде відмінною від нуля, то

Якщо при застосуванні методу ділення на деякому кроці виявиться, що , тоді і решта остач будуть рівні 0, а тому дріб перетворюється у десятковий дріб. Методом ділення можна користуватись у випадку довільного звичайного дробу. Розглянемо два приклади застосування методу ділення до звичайних дробів, які не перетворюються у десяткові дроби. Наприклад, для дробів  і  матимемо:

9

3

7

1

3

2

2

9

0

0,

2

4

3

2

4

3

...

1

3

0

0,

5

9

0

9

0

9

0

9

...

7

4

1

1

0

1

6

0

2

0

0

1

4

8

1

9

8

1

2

0

2

0

0

1

1

1

1

9

8

9

2

0

0

...

...

...

...

...

...

У цих прикладах одержуємо нескінченні десяткові дроби. Якщо ділення припинити на k–тому кроці, то отримаємо десятковий дріб, який є наближенням з недостачею даного дробу з точністю , а тому можемо покласти, що  = 0,243243243…  і   = 0,5909090…

Розгляд цих прикладів показує, що через скінченне число кроків одержується остача, яка або дорівнює чисельнику дробу (9), або одній з попередніх остач (20), а тому на основі теореми про єдиність частки і остачі при діленні з остачею нескінченний десятковий дріб утворюється, починаючи з деякого десяткового знаку, кортежем цифр, що повторюється. У першому прикладі це кортеж 243, а у другому – 90.

Нескінченний десятковий дріб називається періодичним, якщо він утворюється повторенням кортежу цифр, починаючи з деякого десяткового знаку.

Якщо повторюється кортеж цифр довжиною k, то повторюватимуться і кортежі цифр з довжиною 2k, 3k, 4k, … .

Число, десятковий запис якого є кортежем найменшої довжини, що за допомогою нього утворюється періодичний дріб, називається періодом, а довжина кортежу – довжиною періоду періодичного добу.

Періодичний дріб називається:

чистим, якщо період починається зразу після коми;

мішаним, якщо між комою і періодом є десяткові знаки.

Десяткові знаки між комою і періодом утворюють доперіодичну частину.

При символічному запису періодичних дробів замість десяткових знаків, що повторюються, вказується лише період, який береться у дужки. Так періодичний дріб 0,243243243… запишеться 0,(243) (читається "нуль цілих двісті сорок три у періоді"), а дріб 0,590909090… є мішаним періодичним дробом і запишеться 0,5(90) (читається "нуль цілих п'ять десятих до періоду і дев'яносто у періоді").

Теорема 3. Кожний нескоротний звичайний дріб перетворюється у періодичний дріб, якщо канонічний розклад знаменника містить хоча б один простий множник, відмінний від 2 і 5.

 Нехай  – довільний нескоротний звичайний дріб, канонічний розклад знаменника якого містить хоча б один простий множник відмінний від двох і п'яти. Можна вважати, що дріб  правильний, тобто m < n. Якщо це не так, то замість дробу  слід розглядати дріб , де . Як відомо, процес ділення m на n буде нескінченним. Запишемо його у вигляді нескінченної системи рівностей:

(1)

де 0 < ri < n,   qi < 10,   i = 1, 2, …, k, … .

Єдиність частки і остачі при діленні з остачею для фіксованих діленого і дільника приводить до того, що при ri = rk маємо qi+1 = qk+1 і ri+1 = rk+1. Це, у свою чергу, дає рівності qi+2 = qk+2, ri+2 = rk+2 і т. д. Таким чином, якщо у системі рівностей (1) будь-які дві остачі збігаються, то десяткові знаки повинні повторюватися, а тому нескінченний десятковий дріб стає періодичним. У рівностях (1) остачі повинні повторюватися, бо нерівність 0 < r < n задовольняється тільки (n  1) натуральними числами 1, 2, 3, …, n  1. Оскільки процес отримання остач нескінченний, тому не більше, як через (n  1) кроків, остача повинна повторитися. Отже, звичайний дріб  перетворюється у періодичний дріб.  ◄

Зауваження. Виберемо у системі рівностей (1) номер i та k найменшими й такими, що ri = rk, тобто ri – найперша остача, що повторюється, а rk – найперша остача після ri така, що ri = rk. Тоді із системи рівностей (1) випливає, що цифри q1, q2, , qn утворюють доперіодичну частину, а цифри qi+1, qi+2, qi+3, …, qk – період, тобто кількість цифр у періоді дорівнює k – i.

  1.  Від’ємні дійсні числа. Число „нуль”. Множина дійсних чисел

Часто потрібно знати не тільки числове значення величин, а й характер їх зміни. Коли величина мала значення a, а через деякий час має значення b, то при умові, що a < b, величина збільшиться на b  a; якщо  a > b, то величина зменшиться на a  b; якщо ж a = b, то величина не зміниться. Щоб не вживати терміни "збільшиться", "зменшиться", "не зміниться", бажано було б мати таку числову множину, щоб самі її елементи містили вказівку на те, який характер носить зміна величини. Додатних дійсних чисел для цього недостатньо. Необхідність розширення множини додатних дійсних чисел вимагають не тільки задачі практики, але й задачі самої математики. Зокрема, потрібна така числова множина, в якій рівняння b + x = a при довільних додатних дійсних числах a і b мало б єдиний розв'язок, тобто, щоб завжди існувала різниця чисел a і b. Таким розширенням множини додатних дійсних чисел є множина дійсних чисел.

Кожному додатному дійсному числу a поставимо у відповідність символ –a, який назвемо від'ємним дійсним числом. Усі від'ємні дійсні числа складають множину від'ємних дійсних чисел (позначається R  ).

Від'ємні дійсні числа a і b називаються:

1) рівними (записується a = b), якщо вони поставлені у відповідність рівним додатним дійсним числам;

2) нерівними (різними) (записується a  b), якщо вони поставлені у відповідність нерівним додатним дійсним числам.

Множина, елементами якої є всі додатні дійсні числа, всі від'ємні дійсні числа і число нуль, називається множиною дійсних чисел (позначається R), а її елементи – дійсними числами: R: = R+ È {0} È R -.

Отже, множина дійсних чисел розбивається на три класи: клас додатних дійсних чисел, клас від'ємних дійсних чисел і клас, якому належить лише єдине число нуль. При запису додатних дійсних чисел перед ними ставлять знак "+", хоч це не обов'язково, тобто можна записати + 35,8 або 35,8.

Числа, як відомо, використовуються для опису найрізноманітніших ситуацій. Зокрема, вони використовуються для визначення місця точки на промені, прямій чи якійсь іншій лінії. До створення понять "числовий промінь", "числова пряма" спонукав розгляд практичних задач, наприклад, такого змісту: "Один із поїздів знаходиться на віддалі 400 км від пункту відправлення. На якій віддалі від пункту відправлення знаходиться інший поїзд, якщо віддаль між поїздами 800 км і вони рухаються в одному напрямку?" На математичній мові ця задача може бути сформульована так: "На прямій вибрано деяку точку і потрібно визначити положення однієї з двох інших відносно неї, якщо відоме положення однієї з них відносно вибраної точки та їх положення відносно одна одної".

  1.  Взаємооднозначна відповідність між множиною дійсних чисел і точок координатної прямої. Протилежні числа

Пряма, на якій задано точки O та E, вказано напрям від O до E, називається координатною прямою, при цьому точка O називається початком відліку (початком координат), а відрізок OE приймається за одиничний відрізок.

Промінь OE називається додатним променем, а промінь, що доповнює його до прямої – від'ємним (мал. 1).

                                   O                     E                              M

                                                                                                           x

Мал. 1.

Встановимо відношення між точками координатної прямої і дійсними числами. Нехай задано координатну пряму і на ній довільну точку M (див. мал. 1). Можливі три випадки:

точка M належить додатному променю, тоді їй ставиться у відповідність додатне дійсне число, яке дорівнює мірі відрізка OM;

точка M належить від'ємному променю, тоді їй ставиться у відповідність від'ємне дійсне число, яке одержується, коли перед мірою відрізка OM ставиться знак "–";

точка M збігається з точкою O, тоді їй ставиться у відповідність число нуль.

Оскільки кожний відрізок OM має єдину міру при вибраному одиничному відрізу OE, яка є додатним числом, то при так означеному відношенні кожній точці координатної прямої ставиться у відповідність єдине дійсне число. Навпаки, кожному дійсному числу при цьому відношенні ставиться у відповідність єдина точка координатної прямої. Дійсно, для довільного дійсного числа x можливі три випадки:

1) число x є додатним, тоді йому ставиться у відповідність точка M координатної прямої, яка є кінцем відрізка OM, мірою якого є число x при одиничному відрізку OE і відрізок OM відкладений на додатному промені;

2) число x є від'ємним, тоді йому ставиться у відповідність точка M координатної прямої, яка є кінцем відрізка OM, мірою якого є додатне дійсне число, якому поставлене у відповідність від'ємне число x, при одиничному відрізку OE і відрізок OM відкладений на від'ємному промені;

3) число x дорівнює нулю, тоді йому ставиться у відповідність точка O, яка є початком відліку на координатній прямій.

Оскільки для кожного додатного дійсного числа можна побудувати єдиний відрізок (з точністю до рівності), що має його своєю мірою при заданому одиничному відрізку, то при так визначеному відношенні кожному дійсному числу ставиться у відповідність єдина точка на координатній прямій.

Отже, так побудоване відношення між множинами точок координатної прямої і дійсних чисел є бієктивним відображенням, тобто взаємно однозначною відповідністю. Таких бієктивних відображень можна встановити безліч, бо на прямій початок відліку O та одиничний відрізок OE вибираються довільно.

Дійсне число x, яке ставиться у відповідність точці M координатної прямої, називається координатою точки M і записується M(x).

Як уже раніше неодноразово зазначалось, у математиці часто множини, між елементами яких встановлено взаємно однозначну відповідність, ототожнюються, тобто можна користуватись однією з них. Тому на координатній прямій у більшості випадків відмічають не точки, а їх координати, а саму координатну пряму називають числовою прямою.

Дійсні числа a і b називаються протилежними, якщо вони є координатами точок, що симетричні відносно початку координат. Число протилежне числу a позначають –a. Очевидно, що для кожного дійсного числа існує єдине протилежне йому число і що число протилежне до додатного числа є від'ємним числом, а протилежне до від'ємного – додатним числом. Крім того, –(–a) = a. Протилежним числом до нуля є воно саме.

Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа x (позначається |x|) називається:

1) саме це число, якщо воно додатне;

2) протилежне йому число, якщо воно від'ємне;

3) нуль, якщо воно рівне нулю.

Отже,

З означення модуля дійсного числа випливає, що він є або нулем, або додатним дійсним числом. Іншими словами, модуль довільного дійсного числа є завжди невід'ємним дійсним числом. Геометрично модуль дійсного числа виражає віддаль на координатній прямій від точки M, яка має своєю координатою це число, до початку координат. Кожне дійсне число, відмінне від нуля, однозначно визначається своїм модулем і знаком.

Іноді на одній і тій же прямій доводиться розглядати дві системи координат. У цьому випадку одну з них називають старою, а іншу – новою системами координат. Якщо на прямій введено дві системи координат, то позначення того, що точка M прямої має своєю координатою x у старій і число  y  у новій системах координат записується Mс(x) і Mн(y).

Тлумачення дійсних чисел, як координат точок, дозволяє проілюструвати на числовій прямій додавання і множення додатних дійсних чисел, що дає можливість узагальнити результати для довільних дійсних чисел.

  1.  
    Поняття про арифметичні операції над дійсними числами та їх властивості

Як відомо, сума двох додатних дійсних чисел означається як міра суми двох відрізків, для яких дані числа є мірами при одному і тому ж одиничному відрізку.

Проілюструємо суму двох додатних дійсних чисел a і b на координатній прямій. Для цього введемо на прямій дві системи координат, в яких рівні одиничні відрізки, однакові напрямки і початок нової системи координат збігається з точкою A, що має своєю координатою число a у старій системі координат, а точка B має координатою число b у новій системі координат (мал. 2).

Мал. 2.

З мал. 2 видно, що сумі чисел a і b відповідає відрізок  = OA +  = OA + O1В, міра якого рівна координаті точки B у старій системі координат, тобто число a + b можна розглядати як координату точки B у старій системі координат.

Одержаний результат дає можливість поширити наведені міркування на випадок довільних дійсних чисел.

Зауваження. Для спрощення викладу будемо вважати, що у даному пункті стара і нова система координат відрізнятимуться тільки початком відліку.

Нехай a і b – довільні дійсні числа. Можливі такі випадки:

1) Принаймні одне з чисел дорівнює 0, наприклад, b = 0. Тоді з мал. 3

Aс(a), Bн(0)  та  A = В.

Звідси  = OA  і  Bс(a) = Aс(a).

Мал. 3.

2) Числа мають однакові знаки. Якщо a і b  є додатними числами, то, як вище було встановлено, Bс(a + b) або, що те саме, Bс(|a| +|b|).

Нехай тепер числа a і b є від'ємними числами. Тоді Aс(a), Bн(b) і  = OA +  = OA + O1В (мал. 4).

                Bн(b)         O1            E1

                                Aс(a)                                          O              E       x

Мал. 4.

Звідси |OB| = |OA| + |O1B| = |a| + |b|  і  Bс(–(|a| + |b|)).

3) Числа мають різні знаки. Нехай, наприклад, a є додатним, а b – від'ємним числами, причому |b| > |a|. Тоді, Aс(a), Bн(b) і ВO + OA =  (мал. 5).

 Bн(b)                                                                           O1            E1

                                   O              E                             Aс(a)                 x

Мал. 5.

Звідси |OB| = |AB|  |OA| = |b|  |a|  і  Bс(–(|b|  |a|)).

Якщо |b| = |a|, то Aс(a), Bн(b) і OA = O1В. Отже, Bс(0) (мал. 6).

                 Bн(b)                                                 O1             E1

                 O              E                                     Aс(a)                   x

Мал. 6.

Якщо ж  |b| < |a|, то не важко встановити, що Bс(|a|  |b|).

Аналогічно міркуючи, робимо висновок, що у випадку, коли a є від'ємним, а b – додатним числами, то Bс(|b|  |a|), якщо |b| > |a|;  Bс((|a|  |b|)), якщо |b| < |a|;  Bс(0), якщо |b| = |a|.

На основі проведених міркувань приходимо до такого означення суми двох довільних дійсних чисел.

Сумою довільних дійсних чисел a і b (позначається a + b) називається дійсне число, яке дорівнює:

1) одному з них, якщо друге дорівнює нулю;

2) нулю, коли ці числа протилежні;

3) числу, модуль якого дорівнює сумі модулів даних чисел, якщо ці числа мають однакові знаки, перед якими стоїть їх спільний знак;

4) числу, модуль якого дорівнює різниці більшого і меншого модулів даних чисел, якщо вони мають різні знаки, перед яким поставлено знак того числа, яке має більший модуль.

Аналіз означення суми двох дійсних чисел та властивості операцій над додатними дійсними числами приводять до теореми.

Теорема 1. Сума довільних двох дійсних чисел завжди існує та єдина.

На основі теореми 1 вводимо означення.

Операція на множині дійсних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться у відповідність їх сума a + b, називається додаванням дійсних чисел.

Із властивостей додавання і віднімання додатних дійсних чисел та означення суми дійсних чисел одержується наступна теорема, яка виражає властивості додавання дійсних чисел.

Теорема 2. Для довільних дійсних чисел мають місце:

властивість нуля при додаванні: " a Î R: a + 0 = 0 + a = a;

комутативний закон: " ab Î R: a + b = b + a;

асоціативний закон: " abc Î R: (a + b) + c = a + (b + c);

закон монотонності відносно відношення рівності:

" abc Î R: a = b ® a + c = b + c;

правило скорочення відносно відношення рівності:

" abc Î R: a + c = b + c ® a = b.

Віднімання дійсних чисел розглядається як операція обернена до додавання.

Різницею довільних дійсних чисел a і b (позначається a  b) називається дійсне число x таке, що b + x = a.

Отже, за означенням різниці b + (a  b) = a або (a  b) + b = a.

Теорема 3. Різниця довільних дійсних чисел a і b завжди існує і єдина.

 Доведемо існування різниці довільних дійсних чисел a і b. Дійсно, розглянемо суму

b + (a + (–b)) = за комутативністю та асоціативністю додавання дійсних чисел

= (b + (–b)) + a = за означенням суми протилежних чисел

= 0 + a = a. за властивістю нуля при додаванні

За транзитивністю відношення рівності звідси одержуємо

b + (a  b) = a.

Сума a + (–b) завжди існує, отже, завжди існує і різниця чисел a і b.

Покажемо, що ця різниця єдина. Нехай

(a  b = x1Ù (a  b = x2Þ за означенням різниці

(b + x1 = aÙ (a = b + x2Þ за транзитивністю відношення рівності

b + x1 = b + x2 Þ за правилом скорочення для додавання відносно відношення рівності

x1 = x2.

Отже, різниця єдина.  ◄

Із доведення теореми одержується наслідок.

Наслідок 1. Щоб знайти різницю довільних дійсних чисел a і b потрібно до числа a додати число, протилежне числу b:

" ab Î R: a – b = a + (–b).

Наслідок 2. Для довільних дійсних чисел a і b рівняння b + x = a має єдиний розв'язок.

Теорема 3 є основою для такого означення.

Операція на множині дійсних чисел, при якій кожній парі дійсних чисел a і b ставиться у відповідність їх різниця a  b, називається відніманням дійсних чисел.

Як відомо, добуток двох додатних дійсних чисел означався на основі переходу від одного одиничного відрізка до іншого. Розглянемо, як можна добуток додатних дійсних чисел a·b проілюструвати на координатній прямій. Для цього введемо на прямій дві системи координат OE та OE1, в яких однакові напрямки і число a є координатою точки A у старій системі координат, а число b є координатою точки E у новій системі координат (мал. 7).

                       E1           Eн(b)

              O                      E                                             Aс(a)

Мал. 7.

За означенням добутку додатних дійсних чисел число a·b є мірою відрізка OA у новій системі координат, тобто число a·b можна розглядати як координату точка A у новій системі координат.

Одержаний результат наводить на думку поширити проведені міркування на випадок довільних дійсних чисел, які відмінні від нуля. Нехай a і b – довільні дійсні числа, відмінні від нуля. Задамо на прямій системи координат OE та OE1 такі, що Aс(a), Eн(b). Неважко встановити, що |OA| = |a|·|b| при одиничному відрізку OE1. Отже, для знаходження координати точки A у новій системі координат потрібно вміти визначати положення точки A на координатній прямій або, що те саме, вміти встановлювати знак числа, яке є координатою точки A. Можливі такі випадки:

1) Числа мають однакові знаки.

Якщо a і b є додатними числами, то, як було встановлено вище,

Aн(a·b) = Aн(|a|·|b|).

Якщо ж числа a і b є від'ємними, то з того, що a і b від'ємні числа випливає, що точка O лежить між точками A та E, а також між точками E1 та E (мал. 8).

                                                    E1                                  Eн(b)

                Aс(a)                                   O                              E

Мал. 8.

Звідси одержуємо, що точки A та E1 знаходяться по один бік від точки O. Отже, координата точки A у новій системі координат OE1 є додатним числом, тобто Aн(|a|·|b|).

2) Числа мають різні знаки.

Нехай a – додатне, а b – від'ємне число. З того, що число a додатне випливає, що точки E та A лежать по один бік від точки O. З того ж, що число b від'ємне, одержується, що точка O лежить між точками E та E1 (мал. 9).

                 E1                                             Eн(b)

                                 O                              E                             Aс(a)

Мал. 9.

Тому точка O лежить між точками E1 та A. Звідси маємо, що координата точки A у новій системі координат OE1 є від'ємним числом, тобто A(–|a|·|b|).

Аналогічний результат одержується у випадку, коли a – від'ємне, а b – додатне числа.

Залишається розглянути випадок, коли хоч одне з чисел a і b дорівнює нулю. Оскільки множина A цілих невід'ємних чисел є підмножиною множини дійсних чисел і

" a Î N0: a·0 = 0·a = 0,

то потрібно, щоб ця умова виконувалася і для довільних дійсних чисел.

Наведені міркування є основою для такого означення добутку двох чисел.

Добутком довільних двох дійсних чисел a і b (позначається a·b) називається дійсне число, яке дорівнює:

1) нулю, коли хоч одне з них дорівнює нулю;

2) числу, модуль якого дорівнює добутку модулів даних чисел і взяте зі знаком "+", коли числа мають однакові знаки, і знаком "–" коли числа мають різні знаки.

Теорема 4. Добуток довільних двох дійсних чисел завжди існує та єдиний.

Дана теорема є безпосереднім висновком із означення добутку та властивостей добутку додатних дійсних чисел.

На основі теореми 4 вводиться означення.

Операція на множині дійсних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ставиться у відповідність їх добуток a·b, називається множенням дійсних чисел.

Із означення добутку дійсних чисел та властивостей множення додатних дійсних чисел одержується наступна теорема, яка виражає властивості множення дійсних чисел.

Теорема 5. Для множення дійсних чисел мають місце:

1) властивість нуля: " a Î R: a·0 = 0·a = 0;

2) властивість одиниці: " a Î R: a·1 = 1·a = a;

3) комутативний закон: " ab Î R: a·b = b·a;

4) асоціативний закон: " abc Î R: (a·bc = a·(b·c);

5) дистрибутивний закон множення відносно додавання:

" abc Î R: (a + bc = a·c + b·c;

6) закон монотонності відносно відношення рівності:

" abc Î R: a = b ® a·c = b·c.

Операція ділення дійсних чисел розглядається як обернена до операції множення. Як відомо, частка довільних додатних дійсних чисел завжди існує та єдина, що забезпечується наявністю у множині додатних дійсних чисел числа оберненого йому. Розглянемо аналог цього твердження у множині дійсних чисел.

Теорема 6. Для кожного дійсного числа b, відмінного від нуля, існує єдине обернене йому число, тобто існує єдине таке дійсне число y, що b·y = 1.

 Нехай b  0 – довільне дійсне число. Можливі лише такі два випадки: або b – додатне число, або b – від'ємне число.

Якщо b – додатне число, то існування та єдиність оберненого йому числа було доведено у множині додатних дійсних чисел.

Коли ж b є від'ємним числом, то протилежне йому число –b є додатним числом, для якого, як вище було зазначено, існує єдине обернене йому число y. Число –y, протилежне числу y, і буде оберненим до числа b. Оскільки за означенням добутку дійсних чисел (–by = b·(–y), але (–by =1, то й  b·(– y) = 1.  ◄

Дійсне число, обернене до числа b, позначається  або  b-1.

Часткою довільних дійсних чисел a і b ¹ 0 називається дійсне число x таке, що b·x = a.

Отже, b·(a : b) = a  або  (a : bb = a.

Має місце теорема.

Теорема 7. Частка довільних дійсних чисел a і b ¹ 0 завжди існує та єдина.

Доведення теореми 7 аналогічне доведенню відповідної теореми для додатних дійсних чисел.

Із теореми 7 одержується наслідок.

Наслідок 3. Для довільних дійсних чисел a і b ¹ 0 рівняння b·x = a має єдиний розв'язок.

На основі теореми 7 вводиться означення.

Операція у множині дійсних чисел, при якій кожній парі чисел a і b ¹ 0 ставиться у відповідність їх частка a : b, називається діленням дійсних чисел.

Операція ділення дійсних чисел є частковою операцією, оскільки вона не визначена для дільника рівного нулю.

Властивості ділення дійсних чисел залишаються такими ж як і для додатних дійсних чисел.

Наступна теорема виражає правило скорочення множення відносно відношення рівності.

Теорема 8. " abc Î R: (c ¹ 0) Ù (a·c = b·c) ® (a = b).

► Дійсно, якщо c ¹ 0 та a·c = b·c, то для числа c існує обернене йому число і тоді за законом монотонності множення відносно відношення рівності матимемо:

(a·cc-1 = (b·cc-1 Þ за асоціативністю множення дійсних чисел

a·(c·c-1) = b·(c·c-1) Þ за означенням оберненого числа

a·1 = b·1 Þ за властивістю одиниці при множенні

a = b.  ◄


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45094. Психические и поведенческие расстройства вследствие употребления опиоидов (F11) 31 KB
  Терапия острой передозировки опиатами включает применение налоксона 001 мг на кг веса или антаксона. К специфической терапии относятся метадоновая как первичная терапия при детоксикации так и в ходе реабилитации как поддерживающая терапия лечение клонидином в ходе детоксации а также терапия налоксоном и налтрексоном или бупренорфином как частичным агностом опиатов. Требуются также продолжительная и упорная групповая и индивидуальная психотерапия и реабилитация в специализированных центрах.
45095. Хронические бредовые расстройства (F22) 34.5 KB
  В строгом смысле это монотематический бред который вторично может приводить к депрессии если пациент не может реализовать своей моноидеи или агрессии против предполагаемых врагов. Идеи преследования величия отношения изобретательства или реформаторства ревности и влюбленности или убежденность в наличии некоего заболевания религиозные идеи аффективно заряжены. Идеи величия и религиозные идеи приводят пациентов к руководству еретическими сектами и новыми мессианскими течениями. Идеи ревности и влюбленности синдром Клерамбо нелепы при...
45096. Программирование КИХ-фильтра на языке ассемблера процессора ADSP-2181 569.5 KB
  Разработка программы КИХ-фильтра заданного типа и с заданными характеристиками на языке ассемблера ADSP-2181. Изучение характеристик спроектированного фильтра с использование программы DFT.ASM. Изучение преобразований типовых дискретных сигналов при прохождении через КИХ-фильтры.
45097. Исследование процесса аналого–цифрового преобразования радиолокационных эхо-сигналов 1.21 MB
  Исследование спектрально-корреляционных свойств радиолокационных сигналов и помех Временная реализация процесса: Автокорреляционная функция процесса: Спектр процесса: Исследование характеристик аналого-цифрового преобразования Исследование влияния на ошибки квантования спектры квантованного сигнала и сигнала ошибки выбора величины динамического диапазона АЦП Спектры квантованного сигнала и сигнала ошибки выбора величины динамического диапазона АЦП: А Д А=Д А Д При уменьшении амплитуды сигнала от D до...
45098. Знакомство с основами работы с Visual DSP++. Изучение программно-логической модели ADSP-2181 3.15 MB
  Сигнальный процессор взаимодействует с внешней средой путём использования адресной шины (ADDR), шины данных параллельного обмена (DATA), мультиплексированной шины адреса/данных (IAD)...
45099. Программная реализация алгоритма ДПФ на языке ассемблера процессора ADSP-2181 4.2 MB
  Сигнальный процессор взаимодействует с внешней средой путем использования адресной шины ADDR, шины данных параллельного обмена DATA, мультиплексированной шины адреса/данных IAD, линий последовательного обмена DT0, DR0, DT1, DR1 и использования информационных, управляющих, служебных сигналов и сигналов прерываний
45100. English in my life 15.61 KB
  English is the max widespread language nowadays. It is a world language, spoken by more than 1750 million people. Residents of more than 70 countries speak English(for example, Canada, Australia, New Zeeland, USA and others)
45101. Great Britain 14.21 KB
  Gret Britin is situted on the British Isles. The lrger of two big islnds is known s Gret Britin. The islnd of Gret Britin together with the neighboring minor islnds nd the northestern prt of Irelnd constitute the United Kingdom of Gret Britin nd Northern Irelnd.
45102. The Judicial System of Great Britain 17.32 KB
  The courts in Gret Britin re divided into two lrge groups: criminl division nd civil division. Criminl courts re Mgistrtes’ Courts nd Crown Courts. The mjority of ll criminl cses re delt with in the Mgistrtes’ courts by mgistrtes who re lso clled Justice of Pece. Mgistrtes’ courts normlly consist of three JP’s up to seven.